Skript
Skript Skript
Fur n0gilt: n = 1 T T Z2 ; T 2 f(t) cos(jnj!t)dt + j T | {z } = T 2 an T Z2 ; T 2 f(t) sin(jnj!t)dt | {z } = T 2 bn (9) = a n + jb n (10) 2 n = a n ; jb n : 2 In Gl. (5) nimmt n auch negative Werte an, die auf sogenannte negative Frequenzen fuhren, welche keine physikalische Relevanz haben. Sie sind eine Folge des mathematischen Formalismus, der Sinus- und Kosinusfunktionen in Paare von Exponentialfunktionen uberfuhrt. Bei Schwierigkeiten sollte man sich erinnern, da die Koezienten der Fourier-Reihe reell sein mussen, wenn f(t) eine reelle Funktion von t ist. Der Grund fur die Exponentialdarstellung liegt darin, da sie direkt auf das Fourier- Integral und die Fourier-Transformation fuhrt, die wichtig sind, um die Frequenzbereichs- Konzepte auf nichtperiodische Funktionen und ggf. im Hinblick auf die Laplace- Transformation zu erweitern. 1.2 Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation Die Amplitudenspektren von periodischen Funktionen sind diskret (Linienspektren). Die relevante Frequenz ! = 2 T wird mit wachsendem T kleiner und die Spektrallinien in den Amplituden- und Phasenspektren werden dichter. Im Grenzfall T !1wird aus dem diskreten Spektrum eine glatte Kurve, das kontinuierliche Amplitudenspektrum. Fur T !1mu f(t) nicht mehr periodisch sein. Nichtperiodische Funktionen treten haug als Systemantworten auf, so da die Fourier-Reihenentwicklung diesbezuglich modiziert werden soll: Folgende Anderungen in der Notation sind dafur notig, denn ! = 2 ! 0 und n werden T bedeutungslos, wenn T !1. In einem kontinuierlichen Spektrum kann ! jeden Wert annehmen. Eine Redenition der relevanten Groen gibt die folgende Tabelle an: Fourier-Reihe Denition Fourier-Integral n! harmonische Komponente ! ! Fundamentalfrequenz ! T Periode von f(t) 7 2 !
mit ! =0 ! 2! ! f(t) = ! = ! 2 +1X ! e j!t (11) ! ! =;1 + Z T 2 ; T 2 f(t)e ;j!t dt (12) Einsetzen von (12) in (11) liefert: Fur T !1folgt: f(t) = 1 2 2 6 4 f(t) = 1 2 +1X T Z2 ! =;1 ! ; T 2 Z +1 ;1 8 < Z : +1 ;1 Gl. (13) ist die Darstellung von f(t) alsFourierintegral. ! Denition der Fourier-Transformation: F (!) = und der inversen Fourier-Transormation: f(t) = 1 2 Z +1 ;1 Z 3 7 f(t)e ;j!t dt5 ej!t ! 9 = f(t)e ;j!t dt ej!t d! (13) +1 ;1 Gln. (14) und (15) heien Fourier-Transformations-Paar. F (!) ist die Fourier-Transformierte von f(t): F (!) =Fff(t)g f(t) ist die inverse Fourier-Transformierte von F (!): f(t) =F ;1 fF (!)g: f(t)e ;j!t dt (14) F (!)e j!t d! (15) Das Betragsquadrat F (!)F (!) =jF (!)j 2 des Amplitudenspektrums jF (!)j wird als Leistungsdichtespektrum bezeichnet. Beispiel: Amplitudenspektrum eines einzelnen Rechteck-Pulses der Dauer T : ( f0 0
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mit ! =0 ! 2! <br />
! f(t) =<br />
! = !<br />
2<br />
+1X<br />
! e j!t (11)<br />
!<br />
! =;1<br />
+<br />
Z<br />
T 2<br />
; T 2<br />
f(t)e ;j!t dt (12)<br />
Einsetzen von (12) in (11) liefert:<br />
Fur T !1folgt:<br />
f(t) = 1<br />
2<br />
2<br />
6<br />
4<br />
f(t) = 1<br />
2<br />
+1X<br />
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Z2<br />
!<br />
=;1 ! ; T 2<br />
Z<br />
+1<br />
;1<br />
8<br />
< Z<br />
:<br />
+1<br />
;1<br />
Gl. (13) ist die Darstellung von f(t) alsFourierintegral.<br />
! Denition der Fourier-Transformation:<br />
F (!) =<br />
und der inversen Fourier-Transormation:<br />
f(t) = 1<br />
2<br />
Z<br />
+1<br />
;1<br />
Z<br />
3<br />
7<br />
f(t)e ;j!t dt5 ej!t !<br />
9<br />
=<br />
f(t)e ;j!t dt<br />
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+1<br />
;1<br />
Gln. (14) und (15) heien Fourier-Transformations-Paar.<br />
F (!) ist die Fourier-Transformierte von f(t):<br />
F (!) =Fff(t)g<br />
f(t) ist die inverse Fourier-Transformierte von F (!):<br />
f(t) =F ;1 fF (!)g:<br />
f(t)e ;j!t dt (14)<br />
F (!)e j!t d! (15)<br />
Das Betragsquadrat F (!)F (!) =jF (!)j 2 des Amplitudenspektrums jF (!)j wird als<br />
Leistungsdichtespektrum bezeichnet.<br />
Beispiel: Amplitudenspektrum eines einzelnen Rechteck-Pulses der Dauer T :<br />
(<br />
f0 0
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