Skript

Fur n0gilt:
n = 1 T
T
Z2
; T 2
f(t) cos(jnj!t)dt
+ j T
| {z }
= T 2 an
T
Z2
; T 2
f(t) sin(jnj!t)dt
| {z }
= T 2 bn (9)
= a n + jb n
(10)
2
n = a n ; jb n
:
2
In Gl. (5) nimmt n auch negative Werte an, die auf sogenannte negative Frequenzen
fuhren, welche keine physikalische Relevanz haben. Sie sind eine Folge des mathematischen
Formalismus, der Sinus- und Kosinusfunktionen in Paare von Exponentialfunktionen
uberfuhrt.
Bei Schwierigkeiten sollte man sich erinnern, da die Koezienten der Fourier-Reihe
reell sein mussen, wenn f(t) eine reelle Funktion von t ist.
Der Grund fur die Exponentialdarstellung liegt darin, da sie direkt auf das Fourier-
Integral und die Fourier-Transformation fuhrt, die wichtig sind, um die Frequenzbereichs-
Konzepte auf nichtperiodische Funktionen und ggf. im Hinblick auf die Laplace-
Transformation zu erweitern.
1.2 Fourier-Integrale und Fourier-Tranformation
Die Amplitudenspektren von periodischen Funktionen sind diskret (Linienspektren).
Die relevante Frequenz ! = 2
T
wird mit wachsendem T kleiner und die Spektrallinien in den
Amplituden- und Phasenspektren werden dichter.
Im Grenzfall T !1wird aus dem diskreten Spektrum eine glatte Kurve, das kontinuierliche
Amplitudenspektrum.
Fur T !1mu f(t) nicht mehr periodisch sein. Nichtperiodische Funktionen treten haug
als Systemantworten auf, so da die Fourier-Reihenentwicklung diesbezuglich modiziert
werden soll:
Folgende Anderungen in der Notation sind dafur notig, denn ! = 2 ! 0 und n werden
T
bedeutungslos, wenn T !1.
In einem kontinuierlichen Spektrum kann ! jeden Wert annehmen. Eine Redenition der
relevanten Groen gibt die folgende Tabelle an:
Fourier-Reihe Denition Fourier-Integral
n! harmonische Komponente !
! Fundamentalfrequenz !
T
Periode von f(t)
7
2
!