G7 Eigenschaften der Achsenspiegelung G7 Konstruktionen bei der Achsenspiegelung

G7 Eigenschaften der Achsenspiegelung
Die Verbindungsstrecke von einem Punkt A
und seinem Bildpunkt A’ wird von der
Symmetrieachse a senkrecht halbiert.
Abbildungen durch Achsenspiegelung sind
F geradentreu,
F längentreu und
F gegenseitig winkeltreu.
1) Die Fixpunkte liegen auf der Symmetrieachse.
2) Die Fixgeraden sind die Lotgeraden zur Symmetrieachse.
3) Die Punkte liegen auf der Symmetrieachse.
1) Wo liegen die Fixpunkte einer Achsenspiegelung?
2) Welches sind die Fixgeraden einer Achsenspiegelung?
3) Wo liegen die Punkte, die von zwei zueinander symmetrischen
Punkten gleich weit entfernt sind?
G7 Konstruktionen bei der Achsenspiegelung
Der Bildpunkt P’
zu einem Punkt P:
Die Achse zu einem Punkt
und seinem Bildpunkt:
1) 2)
1) Konstruiere zu einem selbst gewählten Punkt P und einer selbst
gewählten Achse a den Bildpunkt P’!
2) Konstruiere zu zwei selbst gewählten Punkten P und P’ die Achse
a!

G7 Grundkonstruktionen: Lot
„Lot fällen“
von P auf g:
„Lot in P errichten“:
y
5
4
g
R
3
Q
2
Zeichne die Gerade g durch die Punkte P(-1I-2) und Q(3I3) und ferner den
Punkt R(-1I3).
1) Fälle das Lot von R auf g!
2) Errichte in P das Lot auf g!
3) Wie verlaufen die beiden Lotgeraden zueinander?
1
x
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
90
-2
P
-3
-4
-5
o
1)
2)
3) Die beiden Lotgeraden verlaufen parallel zueinander.
G7 Grundkonstruktionen: Halbieren
„Strecke halbieren“
„Mittelsenkrechte errichten“:
„Winkel halbieren“:
1)
Mittelsenkrechte der
Strecke[AB] ist die
Gerade CD.
1
⋅ a = [AE]
4
3 von a = [AF]
4
125 % von a =[AG]
AB
1) Errichte die Mittelsenkrechte der Strecke [AB] = a mit AB = 7cm!
1 3
Konstruiere anschließend Strecken der Länge ⋅ a , von a, 125 % von a!
4 4
2) Konstruiere folgende Winkel: 90°, 45 °, 22,5°, 11,25°, 135°, 67,5°, 157,5°!
2) Tipp: 90° : Mittelsenkrechte errichten
1
45° = ⋅ 90°
2
135° = 90° + 45°
1
22,5° = ⋅ 45°
2
67,5° = 45° + 22,5°
1
11,25° = ⋅ 22,5°
2
157,5° = 90° + 35° + 22,5°

G7 Eigenschaften der Punktspiegelung
Die Verbindungsstrecke punktsymmetrischer
Punkte wird vom Zentrum Z halbiert.
Abbildungen durch Punktspiegelung sind
F geradentreu,
Z x
F längentreu,
F gleichsinnig winkeltreu und
F Gerade g und
Bildgerade g’
sind stets parallel und
haben vom Zentrum gleichen Abstand.
1) Wo liegen die Fixpunkte und Fixgeraden einer Punktspiegelung?
2) Warum kann ein Dreieck nicht punktsymmetrisch sein?
3) Welche Eigenschaften müssen zwei Strecken besitzen, damit sie durch
eine Punktspiegelung aufeinander abgebildet werden können?
1) Der einzige Fixpunkt einer Punktspiegelung ist Z.
Fixgeraden sind all die Gerden, die durch Z gehen.
2) Bei drei Punkten in punktsymmetrischer Lage müsste
einer der Punkte das Symmetriezentrum Z sein. Z wäre
dann zugleich der Mittelpunkt der beiden anderen, zueinander
symmetrischen Punkte. Die drei Punkte liegen
dann auf einer Strecke, bilden also kein Dreieck.
3) Die Strecken [AB] und [CD] müssen parallel und gleich
lang sein.
G7 Grundkonstruktionen bei der Punktspiegelung
Bildpunkt P’ zu P:
Symmetriezentrum Z:
1) 2)
1) Zeichne eine Gerade g und ein Symmetriezentrum Z, das nicht auf g
liegt! Konstruiere die zu g symmetrische Gerade g’!
2) Zeichne eine Gerade g und einen Punkt Q, der nicht auf g liegt. Konstruiere
die Parallele zu g durch Q und beschreibe dein Vorgehen in einer
Lösungsidee!

G7 Vierecke
Konvexes Viereck
Konkaver Drachen
Windvogel
Gib alle Vierecke an, die folgende Eigenschaften
besitzen:
1) Alle Seiten sind gleich lang.
2) Zwei Gegenwinkel sind gleich groß.
3) Das Viereck besitzt genau zwei Symmetrieachsen.
4) Das Viereck ist punktsymmetrisch.
1) Quadrat, Raute
2) Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Drachenviereck
3) Rechteck, Raute
4) Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm
G7 Winkel ∢
1)
Nachbarwinkel
(E-Winkel)
ergänzen sich zu
180°.
2)

G7 Winkelsummen ∢
α*
γ*
β*
In einem Dreieck beträgt
die Innenwinkelsumme α + β + γ = 180°,
die Außenwinkelsumme α∗ + β∗ + γ∗ = 360°,
In jedem Viereck beträt die
Innenwinkelsumme 360°.
In einem Vieleck mit n Ecken beträgt
die Innenwinkelsumme (n – 2) ⋅ 180°.
1) Wie groß ist die Innenwinkelsumme in einem Fünfeck?
2) Berechne die restlichen Innen- und Außenwinkel des Dreiecks ABC
mit a) α = 35°, β = 135°, b) α = 24°, β* = 42°
3) Gibt es ein Dreieck mit a) α* = β* = 60°, b) α = 90°, β* = 100°?
1) (5 – 2) ⋅ 180° = 540°
2) a) α* = 145°, β* = 45°, γ = 10°, γ* = 170°
b) α* = 156°, β = 138°, γ = 18°, γ* = 162°
3) a) α = β = 120°, damit ist α + β = 240° > 180°
Ein solches Dreieck gibt es nicht, da die Innenwinkelsumme
größer als 180° wäre.
b) β = 80°, damit ist α + β = 170° < 180°
Ein solches Dreieck gibt es.
A7 Äquivalente Terme §
Der gleiche Flächeninhalt
kann durch
verschieden aussehende
Terme beschrieben
werden.
Bei jedem Einsetzen
von Zahlen für die Variablen
erhalten wir bei
jedem der drei Terme
den gleichen Wert.
1) Zeige, dass der Term T( x;
y) = x ⋅ y
alle drei folgenden Flächeninhalte
beschreibt!
Mithilfe der Rechengesetze können wir
Terme in äquivalente Terme umformen.
2) Untersuche, ob folgende Terme äquivalent sind:
a) T 1 (x) = x² + x² und T 2 (x) = 2x², b) T 1 (x) = x² - 1 und T 2 (x) = x(x-1)
1) Rechteck: T( x;
y) = x ⋅ y
x ⋅ 2y
Dreieck: T ( x;
y) = = x ⋅ y
1
2
2
2x
2
Trapez: T ( x;
y) = ⋅( 2x
− 2 + 2) ⋅ y = ⋅ y = x ⋅ y
2) a) T 1 und T 2 sind äquivalente Terme, da x² + x² = 2x² ist.
b) T 1 und T 2 sind nicht äquivalente Terme, da man beim Einsetzen
von 0 nicht den gleichen Wert erhält: T 1 (0) = - 1 und T 2 (0) = 0

A7 Terme umformen
Gleichartige Terme unterscheiden sich nur im Koeffizienten (= Vorzahl) der
Variablen.
Beispiele: gleichartige Terme: 2ab², -5ab², 3 b²a
2
nicht gleichartige Terme: 2ab, -5a²b, b²
Addieren und Subtrahieren:
Nur gleichartige Terme darfst
du zusammenfassen:
7ab² + 7b² - 6ab² - 8b² = ab² - b²
Berechne:
Multiplizieren:
Faktoren darfst du vertauschen
und klammern:
2x ⋅ 3x²
= 2⋅3
⋅ x ⋅ x²
= 6x
( ) ( ) ³
( − 2a) ⋅( −3a³
) ⋅4b
= + 2⋅3⋅4
⋅
1) 49ux² - 13 x²u - 27x – 33ux² + 34x – 8x
2)
3 1 3 5 2 7 11
7 ⋅ x ⋅ x −11
x − 9 − 4 x − 2 + 8 x
8 3 5 6 15 14
3)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ − ⎟ ⋅ ( − ) ⋅ ⎜ −
2
s 12s
st ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
4
a⋅a³ ⋅b
= 24a
b
1) 49ux² - 13 x²u - 27x – 33ux² + 34x – 8x = 3ux² - x
13 2 23 1
2 x − 2 x −12
2) 24 42 15
3)
−
3 2
4s
t
A7 Klammerregeln §
Distributivgesetz:
Ausmultiplizieren / Verteilen:
Ausklammern:
1) 1 x 2 − 4 x + 5
3
2) 3x + 7x
3) 5b(b² + 6b – 9)
Multipliziere aus: 1) −
1 ⋅( − x
2 + 12x
−15)
3
⎛ 3x
7x
⎞
2) a⎜
+ ⎟
⎝ a a ⎠
Klammere aus: 3) 5b³ + 30b² – 45b
4) –a(a + 1) - a
4) –a² - a – a = -a² - 2a = -a(a + 2)

A7 Lösen von linearen Gleichungen
Eine Gleichung, bei der die Variable nur in der ersten
Potenz vorkommt, heißt lineare Gleichung.
1) 0 = 14 – 8x + x – 3x + x + 4
2) 19 + 3x – 23 = 10 + 2x – 34
3) -0,5x + 1,5 + 6x = 0,5x – 1,5 + 5x
4) 6x – 0,5x + 1,5 = 5x + 1,5 + 0,5x
1) 0 = 14 – 8x + x – 3x + x + 4
0 = -9x + 18 I+9x
9x = 18 I:9
x = 2 (eindeutig lösbar)
2) 19 + 3x – 23 = 10 + 2x – 34
-4 + 3x = -24 + 2x I-2x + 4
x = -20
3) -0,5x + 1,5 + 6x = 0,5x – 1,5 + 5x
5,5x + 1,5 = 5,5x – 1,5 I-5,5x
1,5 = -1,5
Dieser Widerspruch bedeutet, dass die Gleichung nicht lösbar ist.
4) 6x – 0,5x + 1,5 = 5x + 1,5 + 0,5x
5,5x + 1,5 = 5,5x + 1,5 I-5,5x -1,5
0 = 0
Diese wahre Aussage bedeutet, dass die Gleichung allgemein gültig
ist.
A7 Rechenregeln für Potenzen §
Potenzen multiplizieren:
Potenzen dividieren:
a
m n m+
n m m
⋅ a = a , a ⋅ b = ( a ⋅ b) m
a
a
a
m
m n
m−n
: a = = a
n , (a ≠ 0, m >n)
m m
a b :
1)
m
m
a ⎛ a ⎞
( a b) m =
m
⎜ ⎟ (b ≠ 0)
b ⎝ b ⎠
2)
m⋅
a
4
⎛ 2 7
⋅ 3) (-3ab³c²)² + (-0,1xy)³ - 27 0
: = ,
m
n
Potenzen potenzieren: ( )
Potenzen mit Exponent 0: a 0 = 1, (a ≠ 0)
1)
y +
a
4 5 12 6
⋅ y x : x 2)
n
=
4 7
3 k v
⎞
⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
4 5
y ⋅ y +
x
12
: x
6
=
4+
5 12−6
9
y + x = y +
4
4
4 7 ⎛ 2 ⎞ 7 3 ⋅ 2
3 k ⋅⎜
⎟ v = k
7 v
7 = 16 kv
4
⎝ 3 ⎠
3
( ) 7
3) (-3ab³c²)² + (-0,1xy)³ - 270 = 9a²b6c4 – 0,001(xy)³ - 1
x
6

A7 Produkte von Summen §
(a + b)(c + d) =
Jedes Glied der ersten Klammer wird
mit jedem Glied der zweiten Klammer
multipliziert und diese Produkte werden
addiert.
Die Umwandlung einer Summe/Differenz in ein Produkt heißt Faktorisieren.
Multipliziere und fasse zusammen!
1) (2x – 3)(4y + 5) 3) (7k + 2m)(m – 1) – (m – 1)(2k – 7m)
2) (-a + 1)(2a² - 1) 4) 2x – 6(2y – x) + 3 (3x – y)
a
⎛ −
2 − − −
2 +
3 a
a 4ab
b a 3a
4b
⎜ −
6
⎝ 6
5) ( )( ) ( ) ⎟
⎠
⎞
1) (2x – 3)(4y + 5) = 8xy + 10x – 12y – 15
2) (-a + 1)(2a² - 1) = -2a³ + a + 2a² - 1
3) (7k + 2m)(m – 1) – (m – 1)(2k – 7m) = 7km – 7k + 2m² - 2m – 2km +
7m² + 2k – 7m = 5km - 5k + 9m² - 9m
[Faktorisieren: = 5k (m – 1) + 9m (m – 1) = (5k + 9m)(m – 1)]
4) 2x – 6(2y – x) + 3 (3x – y) = 2x – 12y + 6x + 9x – 3y = 17x – 15y
a
5)
⎛ ⎞
−
2
( − )( − ) −
2
( +
3 a
a 4ab
b a 3a
4b
) ⎜ − ⎟ =
6
⎝ 6 ⎠
3 3
a 2 3 2 2 3a
4ab
= − ( a b − a − 4ab
+ 4a
b) + + =
6
6 6
3 4 2 2 3 3 3
− a b + a + 4a
b − 4a
b + 3a
+ 4ab
=
6
5 3 1 4 1 3 2 2 2 3
= − a b + a + a + a b + ab
6 6 2 3 3
3
− 5a
b + a
=
4
3 2
+ 3a
+ 4a
b
6
2
+ 4ab
3
=
A7 Binomische Formeln §
1) a) -84ab
b) -24x² - 56xy – 25y²
c) y 4 – 2x²y² + x 4
Achtung: Für a² + b² gibt es keine reelle Produktform!!
2) a) (2y + 0,3x)(2y – 0,3x)
b) nicht möglich
c) (x – 4)²
d) (2y + 0,1)²
1) Vereinfache: a) (7a – 3b)² - (7a + 3b)² b) (3y + 5x)(5x – 3y) – (7x + 4y)²
c) (x + y)² . (x – y)²
2)Faktorisiere folgende Terme mit Hilfe der binomischen Formeln, falls möglich:
a) 4y² - 0,09x² b) 3,6 – a² c) x² + 16 – 8x d) 0,01 + 4y²+ 0,4y

G7 Kongruenzsätze
Dreiecke sind schon deckungsgleich oder kongruent (in Zeichen: ), wenn sie
Dreiecke sind schon deckungsgleich oder kongruent, wenn sie
1. …in drei Seiten übereinstimmen (SSS),
2. …in zwei Seiten und dem Zwischenwinkel übereinstimmen (SWS),
3. …in einer Seite und zwei anliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW),
4. …in einer Seite, einem anliegenden Winkel und dem Gegenwinkel übereinstimmen
(SWW),
5. … in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen
(SsW).
Formuliere die Kongruenzsätze in deinen eigenen Worten!
G7 Dreiecks- und Viereckskonstruktionen
1) Planfigur: Konstruktionsplan: Konstruktion:
Strategie:
1. Zeichne eine Planfigur und hebe die gegebenen Seiten und Winkel farbig hervor.
2. Entwickle den Konstruktionsplan:
Beginne mit einer Größe. Wenn du nicht weiterkommst, beginne mit einer anderen
Größe. Verwende die Formulierungen:
(1) Punkte … und … sind durch … gegeben.
(2) Punkt … liegt: 1. auf …
2. auf …
Benutze dabei: auf dem Kreis um … mit Radius …
auf dem freien Schenkel des Winkels …, angetragen in … an …
auf der Parallelen zu … durch … (im Abstand …)
auf dem Thaleskreis über …
3. Konstruiere nur mit Zirkel und Lineal das gesuchte Dreieck bzw. Viereck.
2) Planfigur: Konstruktionsplan: Konstruktion:
3) Planfigur: Konstruktionsplan: Konstruktion:
1) Konstruiere ein Dreieck ABC mit: b = 5 cm, β = 62°, h a = 4 cm
2) Konstruiere ein Dreieck ABC mit: b = 5 cm, α = 70 °, w γ = 4,8 cm
3) Konstruiere ein Viereck ABC mit: a = 5 cm, d = 6 cm, c = 2,5 cm,
α = 45°, γ = 90°

G7 Gleichschenkliges Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig.
α=β
γ
2
γ
2
α=β
Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch.
Die Symmetrieachse ist zugleich
Höhe auf die Basis, Mittelsenkrechte der Basis und
Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze.
Basiswinkelsatz:
In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die
beiden Basiswinkel gleich groß.
Ein Dreieck mit drei gleich langen
Seiten heißt gleichseitig.
Darin misst jeder Winkel 60°.
1) 180° - 2 . 49° = 82°.
2) 3
3) a) h = 6,75 cm
b) a = 5,2 cm
1) Die Neigung eines Satteldaches beträgt 49°. Welchen Winkel schließen
die beiden Dachhälften ein?
2) Wie viele Symmetrieachsen besitzt jedes gleichseitige Dreieck?
3) Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck mit a) a = 7,8 cm, b) h = 4,5 cm!
G7 Rechtwinkliges Dreieck
Ein Dreieck mit 90° heißt
rechtwinklig.
Satz des Thales:
Liegen die Ecken eines Dreiecks so
auf einem Kreis, dass eine Seite
Kreisdurchmesser ist, so ist das Dreieck
rechtwinklig.
1) β = ω = 32°;
α = γ = 90° - 32° = 58°
δ = 180° - α – γ = 64°
ε = 180° - δ = 116°
2)
1) M ist der Mittelpunkt der Kreislinie
durch die Punkte A, B und
C. ω = 32°. Berechne die fehlenden
Winkel! (Beachte, dass
die Länge der Strecke [AM]
noch zweimal auftritt!)
2) Zeige: α = β

G7 Grundkonstruktionen: Tangenten an einen Kreis
Tangente
in einem Berührpunkt B
Zwei Tangenten
durch einen gegebenen Punkt T
außerhalb des Kreises:
1) 2)
.
1) Zeichne einen Kreis mit Radius 2,5 cm. Konstruiere die Tangente in einem beliebigen
Punkt B auf dem Kreis!
2) Zeichne einen Kreis mit Radius 3 cm. Konstruiere die beiden Tangenten an den Kreis
durch einen Punkt T außerhalb des Kreises, der vom Mittelpunkt des Kreises 8 cm entfernt
ist!
G7 Transversalen im Dreieck: Höhen
Wenn bei
Die Höhen sind die Lote von den
geometrischen
Ecken auf die gegenüberliegenden
Aufgaben Höhenlinien
Dreiecksseiten (oder deren Verlängereungen).
konstruiert werden sollen,
so kann man den
Thaleskreis anwenden.
Planfigur:
Konstruktionsplan:
D
Konstruktion:
C 2
B
D
Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 10 cm, h c = 7 cm, h a = 4 cm!
C 1
D 1
A
D 2

G7 Transversalen im Dreieck: Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierenden eines
Dreiecks schneiden sich in einem
Punkt S, dem Schwerpunkt
des Dreiecks. Sie teilen sich
dabei gegenseitig im Verhältnis
2:1.
Der Schwerpunkt S ist der
Punkt, an dem eine Figur auf
einer Nadelspitze aufgesetzt
werden muss, um ausbalanciert
zu sein.
34 mm, 41 mm, 45 mm
Konstruiere den Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC mit den Seitenlängen
8 cm, 7 cm und 6 cm. Miss die Längen SA, SB und SC der
Strecken [SA], [SB] und [SC]!
G7 Transversalen im Dreieck: Mittelsenkrechte
Der gemeinsame Schnittpunkt der
Mittelsenkrechten ist der
Umkreismittelpunkt M.
Wahr oder falsch? Zeichne bei wahren Sätzen ein Beispiel und begründe
sie. Widerlege falsche Sätze, indem du ein Gegenbeispiel zeichnest.
a) Der Radius des Umkreises ist immer kürzer als jede Dreiecksseite.
b) Eine Dreiecksseite ist immer kürzer als der Umkreisdurchmesser.

G7 Transversalen im Dreieck: Winkelhalbierende
z.B.:
Der gemeinsame Schnittpunkt der
Winkelhalbierenden ist der
Inkreismittelpunkt M
Zeichne ein Dreieck, bei dem eine Mittelsenkrechte und eine Winkelhalbierende
zusammenfallen!
A7 Das arithmetische Mittel x
Hans hat seine mündlichen Noten 3,4,4,6 und 6 notiert.
a) Berechne das arithmetische Mittel dieser Noten.
b) Hans wird noch einmal ausgefragt. Welche Note muss er erzielen,
damit das arithmetische Mittel besser als 4,5 wird?

G7 Kongruenzsätze
Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn
1. …es durch drei Bestimmungsstücke entsprechend den
Kongruenzsätzen festgelegt wird.
γ
φ
2. …die Dreiecksungleichung gilt, d.h. die längste Seite kürzer als
die Summe der beiden anderen Seiten ist.
(Überprüfung bei SSS)
α
β
δ
ε
3. …die Winkelsummenbedingung eingehalten wird.
(Überprüfung bei WSW, SWW)
Welche der Dreiecke ABC und DEF sind mit Sicherheit kongruent, welche sind nicht
konstruierbar? Gib im Falle der Kongruenz den entsprechenden Kongruenzsatz an!
1) a = 5, b = 4, c = 6; d = 6, e = 5, f = 4;
2) a = 8, b = 3, c = 4; d = 4, e = 8, f = 3;
3) a = 6, c = 3, β = 40°; e = 3, f = 6, δ = 40°;
4) b = 6, α = 30°, γ = 70°; f = 6, δ = 30°, φ = 80°;
5) c = 5, β = 130° γ = 60°; d = 5, δ = 60°, φ = 130°;
6) a = 7, α = 40°, γ = 75°; e = 6, δ = 40°, ε = 75°
1) SSS
2) nicht konstruierbar
3) SWS
4) WSW bzw. SWW
5) nicht konstruierbar
6) nicht kongruent