Aussagenlogik - Fachbereich 4: HTW Berlin

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Logik © Wolfgang Hebold
Aussagenlogik
Die Logik befasst sich mit dem Erhalt von Wahrheitswerten beim Bilden von zusammengesetzten Sätzen.
Resultierender Satz und sämtliche Teilsätze können nur entweder wahr oder falsch sein. Der Sinn all dieser
Sätze ist für die Logik belanglos. Ebensowenig ist die Logik mit der Frage beschäftigt, ob ein einzelner,
noch nicht zusammengesetzter Satz wahr ist oder nicht. Es geht ihr nur um die Verknüpfung von wahren
oder falschen Sätzen zu einem Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
Anmerkung
Dass der Sinn der Sätze ohne Belang ist, mag zunächst irritieren. Aber über den Sinn kommt ein
Moment der Interpretation in die Logik, der eben durch den Übergang zur reinen Logik aus der
Sprache verbannt werden soll. Damit geht natürlich ein wichtiges Moment von Sprachen verloren: Der
Spielraum der Interpretation. Dies aber nun, wie es gelegentlich gemacht wird, der Logik vorzuwerfen,
geht an der Sache vorbei.
Anmerkung
Die Logik ist also nicht mit der Frage beschäftigt, ob ein Satz tatsächlich wahr oder falsch ist. Sie fragt
nicht nach der Wahrheit eines einzelnen Satzes, sondern nur, wie und ob die Wahrheit eines
zusammengesetzten Satzes aus seinen Teilsätzen folgt. Allerdings nimmt sie in vielen Fällen an, dass
ein Satz wahr ist und untersucht, was dann mit den resultierenden Sätzen geschieht.
Aussagen
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Wir sagen: Die Aussage ist gültig, wenn sie
wahr ist und die Aussage ist ungültig, wenn sie falsch ist. Damit meinen alle wahren Sätze logisch
dasselbe: Den Wahrheitswert wahr. Ebenso meinen alle falschen Sätze logisch dasselbe: Den Wahrheitswert
falsch. Einen dritten Wert gibt es nicht. Das besagt das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten.
Anmerkung
Um die Aussagen vom Text abzuheben, sind sie entweder durch Kursivschrift oder durch
Anführungszeichen vom Rest des Textes abgesetzt. Wir schreiben also Die Sonne scheint oder »Die
Sonne scheint«.

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Anmerkung
Diese beiden Prinzipien: Die Beschränkung auf die beiden Wahrheitswerte und die Offenheit, welcher
Wahrheitswert es nun ist, den ein Satz hat, sind für die Satzlogik grundlegend. Durch die
Beschränkung wird der Bereich der Betrachtung eingegrenzt. Durch die Offenheit werden Aussagen
über Sätze, deren Geltung nicht geklärt wird, überhaupt möglich.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint« ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist; also handelt es sich um
eine Aussage. Entsprechend ist der Satz »Der Mond ist eckig« eine falsche Aussage.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne ist schön« ist keine Aussage, weil nicht entschieden werden kann, ob er wahr
oder falsch ist. Ebensowenig ist der Satz »Der Baum sind grün« eine Aussage, jedenfalls nicht, wenn
nicht spezifiziert wird, welcher Baum gemeint ist.
Mitunter sind Aussagen so gemeint, dass ihr Wahrheitswert unter der Hand festgelegt ist. Wir sagen »Die
Sonne scheint«, meinen damit aber nicht die Aussage, die überhaupt erst überprüft werden soll, sondern
stellen fest, dass es so ist. Diese Aussage, die eigentlich eine Feststellung ist, unterscheidet sich aber
sprachlich nicht von jener. Und wir haben auch keine Möglichkeit, diesen Unterschied allein im Rahmen der
Aussage abschließend deutlich zu machen. Denn der Versuch, mit dem Satz »Die Sonne scheint ist wahr«,
die Sache zu klären, endet nur in eben diesem weiteren Satz, der lediglich wiederum eine Aussage ist, die
wiederum wahr oder falsch ist. Und jedem weiteren Versuch in der Art eines »wirklich, wirklich« ergeht es
genauso.
Wir stehen hier vor einem Phänomen, dem man in der Logik immer wieder begegnet: Wir machen Aussagen
über Aussagen und bewegen uns dabei in einer erweiterten Ebene, dh. in einer weiteren Sprache, in der
wir über eine andere Sprache reden. In der gesprochenen Sprache ändern wir in aller Regel den Tonfall, um
eine Aussage über eine Aussage zu formulieren. In der geschriebene Sprache sind wir gezwungen, Sätze,
die Aussagen zu sein scheinen, tatsächlich aber Feststellungen sind, jeweils von außen als solche zu
kennzeichnen, etwa graphisch durch »Die Sonne scheint ist wahr«, ohne jedoch diesen Satz wieder als
Aussage, die wahr oder falsch ist, zu verstehen. Wir sprechen dann speziell von einer Feststellung über
eine Aussage und nicht mehr von einer Aussage. Feststellungen sind aber Teil einer anderen Sprache, einer
Sprache über die Geltung von Aussagen einer gegebenen Sprache. Diese untersuchte Sprache, in der die
Aussagen formuliert sind, wird Objektsprache bezeichnet, ist sie doch das Objekt der Untersuchung.
Entsprechend sprechen wir von der Sprache, in der die Untersuchung durchgeführt wird, als Metasprache.
Diese beiden Sprachebenen müssen jeweils deutlich unterschieden werden. Was mitunter schwierig wird, da
auch die Metasprache untersucht werden kann und sich das Spiel dann auf einer neuen Ebene wiederholt.

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Beispiel
Der Unterschied in der Interpretation eines Satzes - einmal als Feststellung und einmal als zu prüfende
Behauptung - ist vergleichbar mit der Gleichung f ( 4 ) = 0, die Feststellung verstanden werden kann
oder als Aufforderung, zu prüfen, ob 4 eine Nullstelle von f ist.
Anmerkung
Die Umgangssprache geht den umgekehrten Weg: Hier behauptet jede Aussage implizit, wahr zu sein:
Der Satz »Die Sonne scheint« besagt also meistens »Die Sonne scheint ist wahr«. Nur lassen wir den
Zusatz zumeist weg. Denn wir wissen, dass wir ihn weglassen müssen, wollen wir nicht eine unendliche
Kette von Zusicherungen erzeugen. Dieses implizite Mitmeinen des Wahrheitsanspruchs ist ebenfalls
eine Art Metaebene, die zur gesprochenen Sprache gehört. In der Arithmetik ergibt sich das Problem
nicht, weil das Ergebnis einer Gleichung zu viele Varianten offen lässt und wir erst gar nicht auf die
Idee kommen, die spezifische Lösung zu unterschlagen.
Anmerkung
Das wahr tritt also tatsächlich in drei Formen auf: Als wahr im beschreibenden Satz, als wahr in einer
Aussage und als der Wahrheitswert selber. Dabei haben wahr und wahr die Funktion eines Namens für
den Wahrheitswert. Einmal innerhalb eines normalen Satzes, einmal innerhalb einer Aussage, über die
wir in einem normalen Satz sprechen. Die beiden Wörter wahr und wahr meinen also dasselbe. Für
falsch gilt entsprechendes.
Verknüpfungen
Aussagen können durch Junktoren - auch logische Partikel oder Wahrheitsfunktionen genannt -
verknüpft werden. Die Junktoren sind Negation, Konjunktion, Adjunktion und Konditional. Sie werden
auf Aussagen angewendet und liefern neue Aussagen, die wiederum wahr oder falsch sind.
Die Negation einer Aussage ist die verneinte Aussage. Ist eine Aussage wahr, dann ist die verneinte
Aussage falsch. Ist eine Aussage falsch, dann ist die verneinte Aussage wahr. Soll eine Aussage verneint
werden, dann wird ihr das NICHT vorangestellt.
Anmerkung
Die Verwendung von Kapitälchen soll die Junktoren vom restlichen Text und von den Aussagen
abheben.

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Beispiel
Die Negation der Aussage »Die Sonne scheint« ist die Aussage »Die Sonne scheint nicht« bzw. NICHT
»Die Sonne scheint«.
Die Konjunktion von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen mit Hilfe von UND
entstandene Aussage. Ist eine der beiden Aussagen falsch, dann ist die Verknüpfung falsch. Andernfalls ist
die Verknüpfung wahr.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund« eine andere. Der Satz
»Die Sonne scheint UND Müller ist gesund« ist die durch Konjunktion der beiden einzelnen Aussagen
entstandene Aussage.
Die Adjunktion - auch Disjunktion - von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen
mit Hilfe von ODER entstandene Aussage. Ist eine der beiden Aussagen wahr, dann ist die Verknüpfung wahr.
Andernfalls ist die Verknüpfung falsch.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund« eine andere. Der Satz
»Die Sonne scheint ODER Müller ist gesund« ist die durch Adjunktion der beiden einzelnen Aussagen
entstandene Aussage.
Das Konditional - auch Subjunktion - von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen
mit Hilfe von FOLGT entstandene Aussage. Ist die erste Aussage wahr und die zweite Aussage falsch, dann ist
die Verknüpfung falsch. Andernfalls ist die Verknüpfung wahr.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund« eine andere. Der Satz
»Die Sonne scheint FOLGT Müller ist gesund« ist die durchs Konditional der beiden einzelnen Aussagen
entstandene Aussage.
Anmerkung
Dieses sogenannte materiale Konditional ist ausdrücklich kein Bedingungssatz, sondern lediglich eine
von mehreren Möglichkeiten, zwei Aussagen zu verknüpfen. Es handelt sich also nicht um eine
sprachliche Konstruktion, mit der über zwei Sätze ausgesagt wird, dass sie auseinander hervorgehen.
Es ist eine Verknüpfung innerhalb der Objektsprache.
Auf der Basis der Verknüpfung von zwei Aussagen, kann man auch die Verknüpfung von mehr als zwei
Aussagen erklären. Die weiteren Aussagen werden durch die Junktoren mit dem Ausgangssatz

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zusammengefügt. Daraus ergeben sich komplexe Aussagen. Sie sind, ebenso wie die einfachen Aussagen,
wahr oder falsch.
Welchen Wert komplexe Aussagen haben, hängt allein von den Wahrheitswerten der Teilsätze ab. Um den
Wert eines komplexen Satz zu bestimmen, müssen also nur die Teilsätze ausgewertet und dann die
entsprechenden Junktoren angewendet werden. Das besagt das sogenannte Extensionalitätsprinzip. Das
bedeutet umgekehrt, dass jeder Satz, der aus der Zusammensetzung von Aussagen mit Hilfe sogenannter
Junktoren entsteht, nur die Werte wahr oder falsch haben kann. Gelegentlich findet man dies auch als
Erläuterung des Extensionalitätsprinzips.
Satzschemata
Die Aussagenlogik betrachtet allein die Form der Aussageverknüpfungen, nicht die Aussagen selber. Damit
ist der Sinn der Aussagen ohne Bedeutung fürs ganze und es interessieren allein die Wahrheitswerte, die die
Aussagen meinen. Daher können konkrete Aussagen durch Konstanten, auch Literale, für diese Aussagen
ersetzt werden. Die Namen der Konstanten müssen allerdings eineindeutig sein, dh. unterschiedliche
Namen meinen unterschiedliche Aussage.
Weil die Aussagenlogik nur an Aussageverknüpfungen interessiert ist, kann man sagen, sie versuche,
Aussagen über Aussageverknüpfungen zu machen. Damit wechselt sie auf die Ebene über den konkreten
Aussagen, dh. in die Metasprache. Auf dieser Ebene werden dann zwar weiterhin Sätze gebildet, die ganz
ähnlich wie Aussagen aufgebaut sind. Aber in diesen Sätzen werden Zeichen verwendet, die für Aussagen
stehen. Sie halten den Platz für eine beliebige Aussage frei. Diese Platzhalter vertreten innerhalb eines
Satzes ein und dieselbe Aussage. Allerdings ist es egal, um welche konkrete Aussage es sich handelt. Das
unterscheidet Platzhalter von den zuvor erklärten Konstanten.
Anmerkung
Um Konstanten und Platzhalter voneinander zu unterscheiden, werden Konstanten in Fettdruck und
Platzhalter kursiv gesetzt. Die verwendeten Namen für Konstanten und Platzhalten sind deren
Bezeichner.
Anmerkung
Konkrete Sätze können also durch Konstanten ersetzt werden, während Platzhalter durch beliebige
Aussagen ersetzt werden können. Die konkreten Sätze gehen den Konstanten, die Platzhalter den
Aussagen vorher. Bei Konstanten ohne konkreten Satz handelt es sich tatsächlich um Platzhalter, die

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ihren Wert nicht ändern können, dh. um konstante Platzhalter. Konstanten und Platzhalter sind Teil der
Objektsprache.
Anmerkung
Konkrete Sätze und Namen werden auch als atomare Aussagen bezeichnet, da mit ihrer Hilfe
komplexe Sätze gebildet werden. Durch Verwendung von Junktoren aus atomaren Aussagen
entstandene Aussagen sind nicht atomar. Gelegentlich werden sie auch als Moleküle bezeichnet.
Werden solche Moleküle allerdings durchgehend als Einheit betrachtet, dann handelt man sie ebenfalls
als atomare Aussagen ansehen, da ja die interne Zusammensetzung nicht mehr Teil der Analyse ist.
Ein Satz, in dem Platzhalter auftreten, ist ein logisches Satzschema; auch kurz Satzschema,
Aussageform oder aussagelogische Formel genannt. Ein Satzschema hat keinen logischen Wert. Es ist
also weder wahr noch falsch. Es ist, weil die Platzhalter keinen konkreten Wert haben, offen. Insbesondere
ist ein Satzschema keine Aussage.
Anmerkung
Die Offenheit eines Satzschemas darf nicht mit der Offenheit einer Aussage verwechselt werden, von
der nicht gesagt werden kann, ob sie wahr oder falsch ist. In einem Satzschema sind die Aussagen, die
für die Platzhalter eingesetzt werden, unbekannt. Bei einem Satzschema handelt es sich um einen Satz
aus einer anderen Kategorie.
Anmerkung
Sätze, in denen nur Konstanten von Aussagen auftreten, sind dagegen weiterhin Aussagen.
Anmerkung
Ein Satzschema entspricht also in etwa dem, was man als Formel aus dem Bereich der Funktionen
kennt. Die Platzhalter sind die Variablen. Die Variablenwerte den Wahrheitswerten wahr und falsch.
Beispiel
Der Satz »Helena hat einen Ball und x« ist ein Satzschema, das die Aussage »Helena hat einen Ball«
und den Platzhalter x durch die Konjunktion verbindet. Für x kann irgendeine Aussage stehen. Der
Satz sagt also nicht, »Helena hat einen Ball UND x« im Sinne von x zusätzlich zum Ball haben. Der Satz
ist nur die Form für eine Aussage, die durch das Einsetzen einer Aussage für x erst entsteht. Die
Aussage könnte zB. der Satz »Die Sonne scheint« sein. Damit würde aus dem Satzschema die Aussage
»Helena hat einen Ball UND Die Sonne scheint.« Dieser Satz ist dann wahr oder falsch. An Stelle von x
kann aber zB. auch ein Satzschema stehen. Dann würde aus dem Satzschema ein anderes Satzschema
werden. Erhält der Satz »Helena hat einen Ball« als Namen die Konstante a, dann lautet das
Aussageschema »a UND x«.

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Im Prinzip können Platzhalter beliebige Aussagen vertreten. Da der Wahrheitswert der einzelnen
eingesetzten Aussagen jedoch nicht von Interesse ist, kann man bei der Betrachtung der Satzbildung auf die
konkreten Aussagen verzichten und sich auf die Kombination der möglichen Wahrheitswerte beschränken.
Aussagen werden durch deren mögliche Wahrheitswerte vertreten.
Das Ersetzen der Platzhalter durch die Wahrheitswerte wahr oder falsch ist die Interpretation des
Platzhalters. Bei der Interpretation der Platzhalter in einem Satzschema ergeben sich nun drei
unterschiedliche Möglichkeiten: Es gibt wenigstens eine Kombination von Wahrheitswerten, die aus dem
Schema eine wahre Aussage macht. Es gibt keine solche Kombination. Oder jede Kombination macht das
Satzschema wahr. Im ersten Fall, wenn das Satzschema für wenigstens eine Interpretation wahr ist, heißt es
gültig. Wir sagen, es ist für eine Interpretation erfüllbar oder auch kurz: Es ist erfüllbar. Im zweiten Fall,
wenn es keine Interpretation gibt, die aus dem Schema eine wahre Aussage macht, heißt es ungültig. Wir
sagen, es ist für keine Interpretation erfüllbar oder kurz: Es ist nicht erfüllbar. Im dritten Fall, wenn
überhaupt jede Interpretation das Schema erfüllt, wird das Satzschema als allgemeingültig bezeichnet. In
allen drei Fällen handelt es sich um Sätze über Aussageschemata, dh. um Sätze aus einer Metasprache. Die
Schemata sind dagegen Teil der Objektsprache.
Anmerkung
Allgemeingültigkeit ist also eine Feststellung über ein Satzschema; ebenso gültig und ungültig. In
diesem Sinne sind, wie wir schon sagten, nicht erfüllbar und allgemeingültig Teil der Metasprache.
Zugleich kann man die Feststellung aber auch als Aussage über ein Satzschema lesen. Dann ist
unbekannt, ob es stimmt oder nicht. Untersuchungen über die Allgemeingültigkeit gehören dann in
eine weitere Metaebene der Sprache.
Anmerkung
Der Fall eines gültigen Schemas, das zumindest in einer Kombination auch falsch liefert, wird
gelegentlich als neutrales Schema bezeichnet.
Beispiel
Das Satzschema »x ODER NICHT x« ist allgemeingültig. Egal welcher Satz den Platz von x einnimmt, die
resultierende Aussage ist immer wahr. Die für x eingesetzte Aussage wird dabei als wahr oder falsch
angenommen.
Beispiel
Die Allgemeingültigkeit eines Konditionals ist die Implikation. In diesem Sinn ist die Implikation eine
Feststellung. In der Literatur wird das Konditional oft als materiale Implikation, auch logische oder

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objektsprachliche Implikation bezeichnet. Die Implikation, wie sie hier verstanden wird, ist dann die
metasprachliche oder auch semantische Implikation.
Anmerkung
Die Eigenschaft, allgemeingültig zu sein, ist bei einem Satz, der sich auf die Realtät bezieht, keine
positive Eigenschaft. Ein allgemeingültiger Satz eignet sich nämlich nicht, etwas in der Welt zu
beschreiben. Er trifft ja auf alles zu, beschreibt also alles. Ebenso ist die Eigenschaft widersprüchlich
zu sein, keine negative Eigenschaft eines Satzes, der sich auf die Realität bezieht. Es gibt eben einfach
keine Realität, auf die er sich beziehen könnte.
Obwohl Satzschemata selber keine Aussagen sind, können sie also unter bestimmten Umständen
bestimmter als Aussagen sein. Nämlich dann, wenn allein die Konstruktion des Satzschemas dafür sorgt,
dass jede denkbare Interpretation eines Platzhalters zu einer falschen bzw. wahren Aussage führt. Während
für eine Aussage innerhalb der Logik im Grunde immer offen bleibt, ob sie wahr oder falsch ist, ist ein
Satzschema unter Umständen festgelegt. Die entsprechenden Arten von Schemata sind von so
grundlegender Bedeutung nicht nur für die Logik, dass sie eigene Namen verdienen: Ein ungültiges
Satzschema heißt Widerspruch oder auch Kontradiktion, ein allgemeingültiges Schema dagegen
Tautologie.
Die Tautologie ist ein Satzschema, das in jeder Interpretation wahr ist. In einem tautologischen Satzschema
kann ich mit jeder für die Platzhalter eingesetzten Aussage eine insgesamt wahre Aussage erzeugen. Man
kann die Interpretation also auch lassen. Oder man lässt im Schema gleich die Platzhalter weg. Da das aber
syntaktisch nicht geht, wird ein spezielles, platzhalterloses Schema eingeführt, das für jedes
tautologische Schema einspringen kann. Wir schreiben es ⊤ und nennen es ebenfalls Tautologie. Es liefert
bei jeder Interpretation den Wert wahr. Damit kann es in einem Satzschema zusätzlich eine wahre Aussage
vertreten. Das alles kann man mit gleichsam umgekehrtem Vorzeichen natürlich auch für die ungültigen
Schemata sagen. Das entsprechende platzhalterlose Satzschema für den Widerspruch nennen wir
Kontradiktion und bezeichnen es mit ⊥. Es liefert falsch und kann daher in einem Satzschema falsche
Aussagen vertreten.
Anmerkung
Weil ein tautologischer Satz ein Satzschema ist, das durch Einsetzen egal welcher Aussage wahr wird,
ist man schnell dabei, jede Tautologie und insbesondere ⊤ selber für wahr zu halten. Ja, man ist
verleitet zu sagen: »Eine Tautologie ist wahr«. Das zu sagen, ist aber nicht etwa falsch, sondern leer,
solange nicht abschließend geklärt ist, was Satzschemata sind. Versteht man ein Satzschema als Name
für die Menge der Aussagen, mit denen es gültig ist, dann bezeichnet ein Satzschema eine Menge. Von
einem Namen zu sagen, er sei wahr, ist aber, zumindest in der Logik, regelrecht unsinnig. Aber auch

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bei einem Schema wäre es allenfalls sinnvoll zu sagen, dass es für die Dinge steht, die das Schema
erfüllen. Wiederum ist es nicht sinnvoll zu sagen, ein Schema ist wahr. Es ist lediglich sinnvoll davon zu
sprechen, ob zwei Schemata dieselbe Menge bezeichnen. Also: Ein tautologischer Satz ist ein
Satzschema und keine Aussage. Insbesondere ist ein tautologischer Satz keine Feststellung. Und
umgekehrt: Auf Aussagen kann man die Charakterisierung tautologisch nicht sinnvoll anwenden.
Satzschemata sind tautologisch.
Beispiel
Der Satz »Die Sonne scheint ODER Die Sonne scheint NICHT« ist keine Tautologie. Er ist
genaugenommen nicht einmal wahr. Es handelt sich weiterhin um eine Aussage, die wahr oder falsch
sein kann. Erst nach einer Analyse des Satzes zeigt sich, dass diese Aussage niemals falsch sein kann.
Dafür ist allerdings der Rückgriff auf das Satzschema nötig, auf dem der Satz basiert. Dieses Schema
erweist sich als tautologisch. Trotzdem sagt man in diesem Fall, die Aussage sei immer wahr.
Anmerkung
Tautologien sind mit Funktionen vergleichbar, die für jeden Wert den gleichen Funktionswert liefern.
Eigentlich bräuchte man nichts auswerten, wenn man wüsste, dass es sich um eine konstante Funktion
handelt. f ( x ) = 0 ⋅ x wäre so ein Fall. Die Funktion f ( x ) = c gehört im Grunde ebenfalls dazu. Nur
dass man hier sofort erkennt, dass die Funktion konstant ist.
Anmerkung
Das angedeutete Missverständnis, dass man tautologische Sätze für Aussagen hält, tritt insbesondere
bei ⊤ auf. Denn ⊤ ist ein Satzschema; aber ein Satzschema ohne Platzhalter. Dadurch wird diese
Verwechslung beinahe erzwungen. Durch das Fehlen des Platzhalters rutscht ⊤ gleichsam in den
Bereich der Aussagen. Dass ⊤ zudem als wahr interpretiert wird, macht die Sache rund.
Ein Blick in die Arithmetik verdeutlicht die Problematik, wenn man konstante Funktionen betrachtet.
Schreibt man sie f ( x ) = a bzw. f ( x ) = 3 und versteht den Ausdruck f ( x ) als Name für die Funktion,
dann steht die Konstante auf der rechten Seite nicht mehr für eine Zahl. Sie vertritt statt dessen die
Funktion, die alle Werte des Definitionsbreichs auf 3 abbildet und nicht die Zahl 3. In diesem Sinn ist ⊤
ein Schema und eben nicht der Wert wahr. Nimmt man die Schreibweise x 2 für Funktionen, dann wird
die Sache noch deutlicher. Jetzt müsste die Kurzschreibweise für f ( x ) = 3 eigentlich lauten: 3. Das
macht aber praktisch keiner, weil die Verwechslungsgefahr zu offenbar ist.
Die Besonderheit von allgemeingültigen und kontradiktorischen Satzschemata ist, dass allein aus dem
Satzschema erschlossen werden kann, ob die sich jeweils ergebenden Aussagen wahr oder falsch sind. Und
darin liegt die Bedeutung von Tautologie und Widerspruch.

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Zwei zentrale Aufgabe der Logik ergeben sich nun: Einmal will man aus dem Wahrheitswert einer Aussage
auf den Wahrheitswert einer anderer Aussagen schließen. Zum anderen will man erkennen, ob und welche
Satzschemata allgemeingültig bzw. widersprüchlich sind.
Syntax
Satzschemata wurden bisher durch die Kombination von Aussagen und Platzhaltern gebildet. Regeln für die
Syntax der Sätze wurde nicht definiert. Das soll nun geschehen, um einen formalen Rahmen zu erhalten.
Wir werden also die Ebene der natürlichen Sprachen verlassen.
Da die einzelnen Aussagen ohne Belang sind, betrachten wir nur noch Satzschemata, in denen keine
konkreten Aussagen auftreten. In den Schemata können Platzhalter stehen, die durch Buchstaben des
lateinischen Alphabets vertreten werden. Dazu kommen die Junktoren NICHT, UND, ODER und FOLGT,
vertreten durch ¬, ∧, ∨ und →. Als Hilfszeichen werden runde Klammern benötigt. Zusätzlich ergänzen wir
diese Zeichen durch Namen für zwei Satzschemata, die keinen Platzhalter haben: ⊤ und ⊥. Es sei aber
noch einmal betont, dass es sich bei beiden um Namen für Schemata handelt und nicht um Namen für
Aussagen oder Feststellungen. Zur Definition zusammengefasst erhalten wir für die Menge der
verwendeten Zeichen:
DEFINITION Zeichensatz Σ
Eine aufzählbare Menge von Konstanten a, b, c, … und Platzhaltern x, y, z, … ; wir schreiben auch
a 1 , a 2 , a 3 , bzw. x 1 , x 2 , x 3 , … wenn der Zeichenvorrat unbegrenzt sein soll.
Die Symbole ¬, ∧, ∨ und → für die Junktoren NICHT, UND, ODER und FOLGT. Dazu noch ↔ für das
Bikonditional.
Die konstanten Wahrheitsschemata ⊤ und ⊥.
Die Klammern ( und ) als Hilfszeichen.
Anmerkung
Die Menge der Konstanten bzw. der Platzhalter kann unendlich sein. Sie muss aber aufzählbar bleiben.
Anmerkung
Konstanten werden grundsätzlich mit Normalschrift geschrieben und beginnen mit den ersten
Buchstaben des Alphabets. Platzhalter werden grundsätzlich kursiv geschrieben und beginnen mit den

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letzten Buchstaben des Alphabets. Die Indizierung wird für größere Mengen von Bezeichnern
genommen.
Die Sprache der Aussagelogik enthält alle syntaktisch korrekten Satzschemata. Was ein syntaktisch
korrektes Satzschema ist, wird zunächst informell erklärt:
DEFINITION Aussageform, Satzschema
Geg. ist der Zeichensatz Σ der Aussagenlogik.
Dann gelten zunächst die 3 Grundregeln:
(1) Die Menge der Konstanten a, b, c, ... sind Aussageformen.
(2) Die Menge der Platzhalter x, y, z, … sind Aussageformen.
(3) Die beiden konstanten Wahrheitsschemata ⊤ und ⊥ sind Aussageformen.
Zu diesen kommen noch die beiden Konstruktionsschemata:
(4) Ist α eine Aussageform, dann sind auch ( α ) und ¬ α Aussageform.
(5) Sind α und β Aussageformen, dann sind auch α ∧ β, α ∨ β und α → β Aussageformen.
Anmerkung
Man muss deutlich zwischen den Basiszeichen, die in Regel (1), (2) und (3) fixiert werden, und den
Produktionsregeln in (4) und (5) unterscheiden. Die Basiszeichen setzen die Ausgangspunkte, die
Regeln beschreiben die Struktur der Aussagen bzw. Aussageformen.
Anmerkung
Man beachte, dass nach dieser Definition Konstanten syntaktisch gesehen ebenfalls Aussageformen
sind.
Anmerkung
In (4) und (5) werden griechische Buchstaben als Bezeichner für beliebige Aussageformen
verwendet. Sie gehören zur Metasprache. Damit gehören auch Ausdrück wie α ∧ β zur Metasprache.
Konstanten und Platzhalter sind dagegen, wie schon gesagt, Teil der Objektsprache. Der Ausdruck x ∧
y gehört also zur Objektsprache.

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I ⟦ α ⟧ = f ( I ⟦ α 1 ⟧ , … , I ⟦ α n ⟧ )
mit f als eine der Funktionen aus B.
Dieser Zerlegungsprozess muss solange durchgeführt werden, bis sich entweder eine Konstante:
I ⟦ a ⟧ = a
findet mit dem a auf der rechten Seite als Konstante auf dem entsprechenden Bereich oder ein Platzhalter:
I ⟦ a ⟧ = v a = v ( a )
bzw. in einer Indexschreibweise:
I ⟦ v i ⟧ = v i
Für die Konstanten ⊤ und ⊥ ergibt sich einfach:
I ⟦ ⊤ ⟧ = T
bzw.
I ⟦ ⊥ ⟧ = F
Wir finden also einen doppelten rekursiven Prozess, der mit Platzhaltern bzw. Konstanten nach einer endlich
Anzahl von Schritten abschließen muss. Zum einen wird das Satzschema zerlegt, zum anderen werden nach
und nach die entsprechenden Funktionen aus B gebildet. Die Klammern haben jetzt nur noch eine
steuernde Wirkung. Sie treten als Klammern in den Anordnungen der Funktionsparameter zu Geltung.
Der eigentlich kritische Punkt sind also weder die Klammer noch die Konstanten, sondern die Funktionen,
die mit den Satzschemata assoziiert werden sollen. Denn ganz offenbar hängt es von der Anzahl der
Platzhalter ab, welches f es denn ist, auf das sich das Satzschema bezieht. Bemerkenswert ist nun aber,
dass diese Stelligkeit für die Interpretation keine Rolle spielt und der gesamte Rekursionsprozess allein
über ein- und zweistellige, ja überhaupt nur über zweistellige Funktionen abgewickelt werden kann. Dann
lässt sich die Interpretation wie folgt definieren:
I ⟦ α ⟧ ) = I ⟦ α 1 ∧ α 2 ⟧ ) = f 8 ( I ⟦ α 1 ⟧ ), I ⟦ α 2 ⟧ ) )
und entsprechend für die anderen Junktoren. Damit wird die Interpretation eindeutig bestimmt, denn zu
jedem Junktor gibt es nur genau eine Funktion aus B 2 bzw B 1 für die Negation.

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Dieser für die Auswertung eines Satzschemas wichtigen Vereinfachung entspricht die folgende Eigenschaft
der Satzschemata: Offenbar gibt es beliebig viele Sätze, die zwei Platzhalter enthalten, ja sogar unendlich
viele. Für einen Moment könnte man daher meinen, dass auch die Zahl der Funktionen, die jeweils einem
Schema entsprechen, unendlich wird. Nun ist aber B 2 nicht unendlich groß. Also müssen eine Vielzahl von
Schemata auf ein und dieselbe Abbildung verweisen. Vom logischen Werteverlauf aus betrachtet sind diese
Satzschemata also allesamt gleich. Ja, diese unterschiedlichen Zeichenfolgen meinen vom durch die
Interpretation entstehenden Wert aus betrachtet alle dasselbe. Oder noch deutlicher: Es gibt im Endeffekt
nur endlich viele Funktionen mit unendlichen vielen Schemata, die sie beschreiben bzw. bezeichnen. All
diese Zeichenfolgen, die auf dieselbe Funktion referieren, werden daher zu Äquivalenzklassen
zusammengefasst und jeder Äquivalenzklasse ein Satzschema als Repräsentant zugeordnet, der dann
zugleich auch als Bezeichner fungiert.
Für die einstelligen Satzschemata ergibt sich zu den 4 Funktionen aus B 1 :
x f 1 f 2 f 3 f 4
T T T F F
F T F T F
⊤ ¬ ¬ ⊥
Für die 16 Funktionen aus B 2 ergeben sich:
x y f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16
T T T T T T T T T T F F F F F F F F
T F T T T T F F F F T T T T F F F F
F T T T F F T T F F T T F F T T F F
F F T F T F T F T F T F T F T F T F
⊤ ∨ → ↔ ∧ ⊕ ⊥
Unter diesen 16 Funktionen befinden sich zunächst die oben bereits genannten Konjunktion, Adjunktion
und Konditional. Daneben werden die folgenden regelmäßig gebraucht:
Die Tautologie (f 1 ) liefert für jedes Wertepaar T. Sie wird durch den Ausdruck ⊤ benannt.
Die logische Kontradiktion (f 16 ) liefert für jedes Wertepaar F. Sie wird durch den Ausdruck ⊥ benannt.

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Anmerkung
Tautologie und Kontradiktion werden oftmals ebenfalls mit F und T bezeichnet. Allerdings führt das zur
Verwirrung, weil die Ebenen der Wahrheitswerte und der Funktionen nicht mehr deutlich getrennt
sind.
Die exklusive Adjunktion - auch exklusive Disjunktion, ausschließendes ODER oder exklusives ODER - liefert
nur dann T, wenn die beiden Werte des Wertespaares verschieden sind. Sie wird als XOR oder auch ⊕
bezeichnet.
Das logische Bikonditional ist das Konditional in beiden Richtungen. Es ist genau dann T, wenn beide
Sätze T oder beide F sind. Die beiden Sätze entsprechen sich im Sinne der Aussagenlogik. Es wird mit ↔
bezeichnet.
Die verneinende Konjunktion - auch verneinendes UND, Sheffer Stroke oder NAND - ist genau dann wahr,
wenn die Konjunktion falsch ist. Sie ist die einzige Operation, mit der sich alle anderen Operationen
darstellen lassen.
Weniger häufig werden die folgenden Junktoren gebraucht:
Die verneinende Adjunktion - auch verneinendes ODER oder Peirce Pfeil - ist genau dann wahr, wenn die
Konjunktion falsch ist.
Die binäre Negation des ersten Arguments und die binäre Negation des zweiten Arguments.
Das umgekehrte Konditional.
Das Nichtkonditional und das umgekehrte Nichtkonditional.
Die beiden zweistelligen Identitäten, einmal für das erste und das andere Mal für das zweite Argument.
Anmerkung
Diese zweistelligen Operationen sind zueinander dual, d.h. es gibt zu jeder auf das UND bezogenen
Funktion ein Pendant für das ODER. Anders gesagt: Man kann wahr und falsch vertauschen. Was nur
eine andere Art ist zu sagen, dass die Aussagenlogik rein formal und eben nicht inhaltlich ist.
Für B 3 ergeben sich entsprechend viele Funktionen. Wiederum ist man versucht, jeder Funktion einen
Namen zu verleihen. Und so weiter über alle B n . Das ist aber nicht nötig. Denn all diese Funktionen können
aus einer Reihe von Basisfunktionen aus B 2 und durch Verknüpfung dieser Funktionen dargestellt werden.
Welche Basisfunktionen aus B 2 man wählt, ist Sache des Geschmacks, sofern nur alle Funktionen
darstellbar sind.

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Sprachebenen
Allgemeingültigkeit, Folgerung und Äquivalenz sind nach dem bisher Gesagten Sätze der Metasprache.
Dann handelt es sich zB. bei der Folgerung um einen Satz, bei dem die Wahrheit der Hypothese
vorausgesetzt wird.
Zugleich kann man die Sätze aller drei Klassen aber auch als Aussagen lesen. Dann wird die Metasprache
ihrerseits formalisiert und Ausdrück wie ⊨ α oder α ⊨ β werden zu Aussagen, die entweder wahr oder
falsch sind. ⊨ α bedeutet dann eben nicht mehr, dass α allgemeingültig ist, sondern die Aussage »α ist
allgemeingültig«, die jedoch wahr oder falsch sein kann. Für α ⊨ β gilt dasselbe. In diesem erweiterten
Rahmen werden die genannten Sätze Teil einer Formalisierung der Metaebene mit ihren eigenen Regeln.
Auf die Allgemeingültigkeit hat dieser Übergang zwar keine Auswirkung. Doch die Folgerung α ⊨ β wird
nun zu einer Art Konditional, dh. sie ist wahr, wenn α entweder falsch oder α wahr und β ebenfalls wahr; in
den anderen Fällen ist sie falsch. Der Definitionsbereich des Ausdrucks α wird also um mögliche falsche
Sätze erweitert. Für diese formalisierte Folgerung benutzen wir die Kurzform:
α ⇒ β
und bezeichnen sie gleichfalls als Implikation. Die Gültigkeit dieser Implikation, also ⊨ α ⇒ β, entspricht
dann der Allgemeingültigkeit des Konditionals, dh.:
⊨ α → β
Ist mehr als eine Prämisse vorhanden, dann schreiben wir für:
⊨ α 1 ∧ … ∧ α n → β
die formalisierte Fassung:
α 1 ∧ … ∧ α n ⇒ β
Diese entspricht dem halb-formalisierten Ausdruck:
α 1 , … , α n ⊨ β
In der formalisierten Metaebene handelt es sich bei diesen Sätzen um Sätze der Objektsprache. Die
Metasprache für diese Sätze ist dann die gewöhnliche Sprache. Andernfalls hätte man es mit
Konstruktionen der Art ⊨ ⊨ α → β zu tun. Das ginge rein formal zwar auch, wäre aber verwirrend.

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Ordnungen
Implikation und Äquivalenz definieren auf der Menge der Schemata jeweils zweistellige Relationen. Dabei
stehen zwei Schemata α und β in Relation zu einander, wenn α → β allgemeingültig ist. Mit dieser Relation
ist auf der Menge der Schemata eine Ordnung gegeben. α wird auch als verglichen mit β logisch stärker
bezeichnet. Die Ordnung ist reflexiv und transitiv aber nicht antisymmetrisch, dh. es handelt sich um eine
Präordnung:
SATZ
Die Implikation ist eine reflexive, transitive und nicht anti-symmetrische Relation.
BEWEIS
Reflexivität - zz. ist, dass für jedes Schema α die Implikation α ⇒ α gültig ist, also die
Allgemeingültigkeit des Konditionals. Da α ein Schema ist, das entweder T oder F liefert, reicht es, die
Erfüllbarkeit von p → p für alle Aussagen p in einer Wertetabelle zu zeigen.
α α α → α
F F T
T T T
Transitivität - zz. ist, dass für jedes Schema α, β, γ gilt: Falls α → β und β → γ jeweils allgemeingültig
sind, dann auch α → γ. Für die Allgemeingültigkeit von α → γ muss lediglich gezeigt werden, dass aus
der Gültigkeit von α die Gültigkeit von γ folgt. In jedem anderen Falls ist α → γ ohnehin erfüllbar. Sei
also α gültig, dann ist auch β gültig. Und aus der Gültigkeit von β folgt die von γ.
α β γ α → β β → γ α → γ
F F F T T T
F F T T T T
F T F T F T
F T T T T T
T F F F T F
T F T F T T
T T F T F F
T T T T T T

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Die fehlende Anti-Symmetrie folgt direkt aus der Definition der Anti-Symmetrie: Eine Relation R heißt
anti-symmetrisch, falls aus ( α, β ) ∈ R folgt ( β, α ) ∉ R. Wiederum wird der Beweis über eine
Wahrheitstabelle geführt:
α β α → β β → α
F F T T
F T T F
T F F T
T T T T
In zwei Zeilen ergibt sich jeweils für beide Ausdrücke der Wert T, dh. die Umkehrung gilt, was bei
Antisymmetrie aber nicht sein dürfte.
Anmerkung
Man beachte, dass der Satz auf einer Aussage über Mengen von Schemata basiert.
Anmerkung
Wäre die Implikation antisymmetrisch, hätten wir es mit einer Halbordnung zu tun.
Anmerkung
Wegen der fehlenden Antisymmetrie wird das Zeichen ≤ für ⇒ in aller Regel vermieden.
Mit diesen Formalisierungen lassen sich Behauptungen aufstellen und Berechnungen durchführen.
Beispiel
Der satzlogische modus ponens besagt:
⊨ ( (α → β) ∧ α ) → β
mit α und β als Satzschemata. Er soll überprüft werden. Die Überprüfung geschieht durch Einsetzen:
α β α → β α → β∧α ((α → β) ∧ α) → β
T T T T T
T F F F T
F T T F T
F F T F T

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Der Zusatz satzlogisch soll darauf verweisen, dass die Bezeichnung modus ponens in anderen
Bereichen als der Aussagenlogik verwendet wird.
Ableitungen
Nachdem die Frage, wie man ermittelt, ob eine Aussage allgemeingültig ist oder nicht, prinzipiell geklärt
ist, kommen wir nun zu einer ähnlich wichtigen Frage: Ist es möglich, die Menge aller allgemeingültigen
Sätze systematisch zu erzeugen? Um diese Frage zu klären, greift die Logik auf ein Verfahren zurück, dass
schon bei der syntaktischen Analyse von Sätzen gebraucht wird. Es werden Übergänge zwischen Sätzen
erklärt und dann mit Hilfe dieser Übergänge neue aus bereits vorhandenen Sätze erzeugt. Das führt auf ein
System von Übergangsregeln, die nicht irgendwelche Sätze miteinander verbinden, sondern aus gültigen
Satzschemata weitere gültige Schemata erschließen und so gleichsam als rein logische Ableitung dienen:
DEFINITION Ableitungsregel
Geg. sind die Satzschemata α 1 , α 2 , … α n ∈ F 0 und das Satzschema α ∈ F 0 .
Dann ist:
α 1
,…,α n
α
eine Ableitungsregel (inference rule), die besagt, dass α erfüllt ist, falls alle α i erfüllt sind;
geschrieben α 1 , … , α n ⊢ α.
Die Ausdrück über dem 'Bruchstrich' sind die Prämisse, auch Voraussetzung. Der Ausdruck unter dem
'Bruchstrich' ist die Konklusion, auch Folgerung.
Anmerkung
Die gebräuchlichere 'Bruch'-Schreibweise der Definition hat gegenüber der zeilenweise Schreibweise
mit ⊢ zwei Vorteile:
Zum einen werden Voraussetzung und Folgerung deutlich getrennt. Insbesondere werden durch die
Verwendung von Kommata an Stelle von ∧ Objekt- und Metasprache weiterhin durch die verwendeten
Zeichen geschieden. An Stelle von Kommata wird oftmals eine Mengenschreibweise gewählt, was
plausibel ist, da es sich bei den Prämissen um Mengen von erfüllbaren Sätzen handelt.

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Zum anderen erlaubt die 'Bruch'-Schreibweise eine Art von Parallelität. Die Prämissen stehen alle
nebeneinander und führen zusammen zur Konklusion, während sie sich in der linearen Notation auf die
vorherigen Schlüsse verteilen.
Anmerkung
Die Ableitungsregel ist so zu lesen: Falls die α 1 , α 2 , … α n erfüllbar sind, dann auch α. Ein
Beweisverfahren wird, anders als bei der Folgerung, ausdrücklich nicht erwähnt. Damit entspricht die
Ableitung zwar vordergründig der Folgerung:
α 1 , … , α n ⊨ α
Aber tatsächlich ist hier eine andere Art des Fortschreitens von Schema zu Schema intendiert, die
eben nicht auf Wahrheitswerten basiert. Sie ist rein formal, greift also allein auf Zeichenfolgen und
entsprechende Substitutionen zurück. Wir sprechen daher auch von einer syntaktischen Folgerung im
Gegensatz zur semantischen, die auf die Wahrheitswerte rekurriert. Daher die andere Schreibweise.
Anmerkung
Die Ableitbarkeitsregeln ähneln sehr der Implikation. Ein Schema
α 1
,…,α n
α
könnte also als α 1 ,… , α n ⇒ α verstanden werden, dh. als Allgemeingültigkeit des Konditionals. Diese
Ähnlichkeit hat einen einfachen Grund: Soll die Ableitbarkeit semantisch überprüft werden, dann
genügt als Beweis der Allgemeingültigkeit des Konditionals der Beweis für die Fälle, in denen die α i
gelten. Im anderen Fall gilt das Konditional ohnehin. Diese Beweistechnik darf aber nicht darüber
hinwegtäuschen, dass Ableitbarkeitsregeln keine Implikationen sind, denn es wird lediglich die
Erfüllbarkeit der Prämissen angenommen. Es handelt sich bei Ableitungsregeln also immer um
aussagenlogische Folgerungen, dh. um Sätze über Aussageschemata.
Anmerkung
Die Menge der Ableitungsregeln ist rein mathematisch formuliert eine Relation R ⊆ F 0 n ⨯ F 0 . x ∈ R ist
dann ein Ableitungsregel.
Ableitungen können auch nacheinander und mehrfach angewendet werden. Für eine Menge { ⊢ 1 , … ⊢ n }
von Ableitungen ergibt sich dann jeweils eine Ableitungskette; geschrieben α ⊢ 1 … ⊢ n β, falls die Kette
von α zu β führt. Die Erfüllbarkeit eines Schemas geht über die Ableitungen nicht verloren, dh. wenn α

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erfüllbar ist, dann auch β. Eine Ableitungskette definiert somit eine weitere Ableitungsregel, die, wenn man
Glück hat, noch kein Element der Ausgangsmenge ist.
Beispiel
Gegeben sei etwa die Ableitungsregel:
α ,α → β
β
Aus dem allgemeingültigen Satz α → ( α → α ) folgt nun durch Einsetzen von α → α für β:
α ,α →(α → α)
α → α
dh. eine weitere Ableitungsregel und zudem die Allgemeingültigkeit von α → α.
Doch nicht nur die Erfüllbarkeit geht auf die neuen Sätze über. Auch die Allgemeingültigkeit wird gleichsam
den abgeleiteten Sätze vererbt:
SATZ
Geg. sei eine Ableitung α 1 ,… , α n , ⊢ α.
Sind die α i allgemeingültig, dann auch α.
BEWEIS
Aus der Erfüllbarkeit von α i folgt nach der Ableitungsregel die Erfüllbarkeit von α. Sind die α i für alle v
erfüllbar, dann ist auch α für alle v erfüllbar, also allgemeingültig.
Anmerkung
Weil hier nicht mehr auf die Wahrheitstabellen zurückgegriffen wird, bleibt die Untersuchung im
Rahmen der Syntax.
Mit Hilfe einer Menge von Ableitungsregeln kann man nun zu neuen Sätzen gelangen, indem man die
Regeln mehrfach hintereinander anwendet.
DEFINITION Ableitbarkeit
Geg. sei eine Menge von Ableitungsregeln { ⊢ 1 , … ⊢ n }.
Ein Satzschema β heißt ableitbar aus α, wenn α Prämisse in ⊢ 1 und β Konklusion von ⊢ n ist.

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Nimmt man zur Menge der Ableitungsregeln noch eine Menge von allgemeingültigen Sätzen hinzu, hat man
bereits das gesuchte Verfahren zur Erzeugung von allgemeingültigen Satzschemata. Ausgehend von den
Axiomen werden mit Hilfe der Ableitungen neue, wiederum allgemeingültige Schemata generiert. Ein
Rückgriff auf Wahrheitswerte findet dann aber beim Produzieren neuer Ableitungsregeln nicht mehr statt.
Gibt es nun ein System von Ableitungsregeln mit dessen Hilfe die Menge aller erfüllbaren Schemata aus
einer vorhandenen Menge von gültigen Satzschemata widerspruchsfrei erzeugt werden können, spricht
man von einer Axiomatisierung der Aussagenlogik. Dabei wird unter vollständig verstanden, dass alle
allgemeingültigen Schemata aus diesem System ableitbar sind. Widerspruchsfrei besagt, dass unter den
ableitbaren Satzschemata keine sind, die sich widersprechen.
Anmerkung
Es geht also ausdrücklich um die Möglichkeit, aus allgemeingültigen Sätzen allgemeingültige Sätze zu
schließen. Anders gesagt: Das System produziert alle Tautologien. Man kann aber auch sagen: Es
lassen sich alle Sätze beweisen, denn ein Satz ist ja nichts weiter, als die Behauptung der Erfüllbarkeit
eines Satzschemas.
Das folgende System von Aussagen bildet ein Axiomensystem, dh. eine Menge von Tautologien, aus denen
sich alle Tautologien mit Hilfe bestimmter Regeln ableiten lassen:
(A1) ⊨ α → ( β → α )
(A2) ⊨ ( α → ( β → γ ) ) → ( ( α → β ) → ( α → γ ) )
(A3) ⊨ ( ¬ α → ¬ β ) → ( β → α )
Benötigt wird nunmehr noch wenigstens eine Ableitungsregel. Im der sogenannten klassischen
Axiomatisierung nach Tarski wird die Ableitung:
(I1)
α ,α → β
β
(modus ponens)
genommen, die im Unterschied zum satzlogischen modus ponens ein metasprachliches Konstrukt ist.
Anmerkung
Dass es sich beim modus ponens um einen metasprachlichen Satz handelt, ist hier notwendig.
Andernfalls könnte β ggf. auch ungültig sein, obgleich die Ableitung insgesamt wahr ist. Dann darf β
aber nicht als allgemeingültiger Satz in weiteren Ableitungsregeln verwendet werden. Womit der
eigentliche Zweck der Ableitungsregeln verfehlt wäre.

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Mit Hilfe dieser Axiome und der Ableitungsregel lassen sich nun sämtliche Tautologien der Aussagenlogik
beweisen bzw. ableiten.
SATZ
Die Implikation ist reflexiv, dh. α ⇒ α bzw. ⊨ α → α.
BEWEIS
Aus (A1) folgt mit β = α der Satz ⊨ α → ( α → α ). Da α nach Voraussetzung gilt, ergibt sich die
Reflexivität aus:
α ,α →(α → α)
α → α
und damit ⊨ α → α bzw. α ⇒ α.
Auf ähnliche Weise lassen sich Transitivität und fehlende Antisymmetrie der Implikation zeigen.
SATZ
Die Implikation ist transitiv, dh. aus α ⇒ β und β ⇒ γ folgt die Gültigkeit von α ⇒ γ.
BEWEIS
Aus α und α → β folgt mit (I1) β und aus β und β → γ folgt ebenfalls mit (I1) γ; dh. aus α folgt γ bzw.
α ⇒ γ.