Aussagenlogik - Fachbereich 4: HTW Berlin
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Logik © Wolfgang Hebold<br />
<strong>Aussagenlogik</strong><br />
Die Logik befasst sich mit dem Erhalt von Wahrheitswerten beim Bilden von zusammengesetzten Sätzen.<br />
Resultierender Satz und sämtliche Teilsätze können nur entweder wahr oder falsch sein. Der Sinn all dieser<br />
Sätze ist für die Logik belanglos. Ebensowenig ist die Logik mit der Frage beschäftigt, ob ein einzelner,<br />
noch nicht zusammengesetzter Satz wahr ist oder nicht. Es geht ihr nur um die Verknüpfung von wahren<br />
oder falschen Sätzen zu einem Satz, der entweder wahr oder falsch ist.<br />
Anmerkung<br />
Dass der Sinn der Sätze ohne Belang ist, mag zunächst irritieren. Aber über den Sinn kommt ein<br />
Moment der Interpretation in die Logik, der eben durch den Übergang zur reinen Logik aus der<br />
Sprache verbannt werden soll. Damit geht natürlich ein wichtiges Moment von Sprachen verloren: Der<br />
Spielraum der Interpretation. Dies aber nun, wie es gelegentlich gemacht wird, der Logik vorzuwerfen,<br />
geht an der Sache vorbei.<br />
Anmerkung<br />
Die Logik ist also nicht mit der Frage beschäftigt, ob ein Satz tatsächlich wahr oder falsch ist. Sie fragt<br />
nicht nach der Wahrheit eines einzelnen Satzes, sondern nur, wie und ob die Wahrheit eines<br />
zusammengesetzten Satzes aus seinen Teilsätzen folgt. Allerdings nimmt sie in vielen Fällen an, dass<br />
ein Satz wahr ist und untersucht, was dann mit den resultierenden Sätzen geschieht.<br />
Aussagen<br />
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Wir sagen: Die Aussage ist gültig, wenn sie<br />
wahr ist und die Aussage ist ungültig, wenn sie falsch ist. Damit meinen alle wahren Sätze logisch<br />
dasselbe: Den Wahrheitswert wahr. Ebenso meinen alle falschen Sätze logisch dasselbe: Den Wahrheitswert<br />
falsch. Einen dritten Wert gibt es nicht. Das besagt das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten.<br />
Anmerkung<br />
Um die Aussagen vom Text abzuheben, sind sie entweder durch Kursivschrift oder durch<br />
Anführungszeichen vom Rest des Textes abgesetzt. Wir schreiben also Die Sonne scheint oder »Die<br />
Sonne scheint«.
2<br />
Anmerkung<br />
Diese beiden Prinzipien: Die Beschränkung auf die beiden Wahrheitswerte und die Offenheit, welcher<br />
Wahrheitswert es nun ist, den ein Satz hat, sind für die Satzlogik grundlegend. Durch die<br />
Beschränkung wird der Bereich der Betrachtung eingegrenzt. Durch die Offenheit werden Aussagen<br />
über Sätze, deren Geltung nicht geklärt wird, überhaupt möglich.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Die Sonne scheint« ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist; also handelt es sich um<br />
eine Aussage. Entsprechend ist der Satz »Der Mond ist eckig« eine falsche Aussage.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Die Sonne ist schön« ist keine Aussage, weil nicht entschieden werden kann, ob er wahr<br />
oder falsch ist. Ebensowenig ist der Satz »Der Baum sind grün« eine Aussage, jedenfalls nicht, wenn<br />
nicht spezifiziert wird, welcher Baum gemeint ist.<br />
Mitunter sind Aussagen so gemeint, dass ihr Wahrheitswert unter der Hand festgelegt ist. Wir sagen »Die<br />
Sonne scheint«, meinen damit aber nicht die Aussage, die überhaupt erst überprüft werden soll, sondern<br />
stellen fest, dass es so ist. Diese Aussage, die eigentlich eine Feststellung ist, unterscheidet sich aber<br />
sprachlich nicht von jener. Und wir haben auch keine Möglichkeit, diesen Unterschied allein im Rahmen der<br />
Aussage abschließend deutlich zu machen. Denn der Versuch, mit dem Satz »Die Sonne scheint ist wahr«,<br />
die Sache zu klären, endet nur in eben diesem weiteren Satz, der lediglich wiederum eine Aussage ist, die<br />
wiederum wahr oder falsch ist. Und jedem weiteren Versuch in der Art eines »wirklich, wirklich« ergeht es<br />
genauso.<br />
Wir stehen hier vor einem Phänomen, dem man in der Logik immer wieder begegnet: Wir machen Aussagen<br />
über Aussagen und bewegen uns dabei in einer erweiterten Ebene, dh. in einer weiteren Sprache, in der<br />
wir über eine andere Sprache reden. In der gesprochenen Sprache ändern wir in aller Regel den Tonfall, um<br />
eine Aussage über eine Aussage zu formulieren. In der geschriebene Sprache sind wir gezwungen, Sätze,<br />
die Aussagen zu sein scheinen, tatsächlich aber Feststellungen sind, jeweils von außen als solche zu<br />
kennzeichnen, etwa graphisch durch »Die Sonne scheint ist wahr«, ohne jedoch diesen Satz wieder als<br />
Aussage, die wahr oder falsch ist, zu verstehen. Wir sprechen dann speziell von einer Feststellung über<br />
eine Aussage und nicht mehr von einer Aussage. Feststellungen sind aber Teil einer anderen Sprache, einer<br />
Sprache über die Geltung von Aussagen einer gegebenen Sprache. Diese untersuchte Sprache, in der die<br />
Aussagen formuliert sind, wird Objektsprache bezeichnet, ist sie doch das Objekt der Untersuchung.<br />
Entsprechend sprechen wir von der Sprache, in der die Untersuchung durchgeführt wird, als Metasprache.<br />
Diese beiden Sprachebenen müssen jeweils deutlich unterschieden werden. Was mitunter schwierig wird, da<br />
auch die Metasprache untersucht werden kann und sich das Spiel dann auf einer neuen Ebene wiederholt.
3<br />
Beispiel<br />
Der Unterschied in der Interpretation eines Satzes - einmal als Feststellung und einmal als zu prüfende<br />
Behauptung - ist vergleichbar mit der Gleichung f ( 4 ) = 0, die Feststellung verstanden werden kann<br />
oder als Aufforderung, zu prüfen, ob 4 eine Nullstelle von f ist.<br />
Anmerkung<br />
Die Umgangssprache geht den umgekehrten Weg: Hier behauptet jede Aussage implizit, wahr zu sein:<br />
Der Satz »Die Sonne scheint« besagt also meistens »Die Sonne scheint ist wahr«. Nur lassen wir den<br />
Zusatz zumeist weg. Denn wir wissen, dass wir ihn weglassen müssen, wollen wir nicht eine unendliche<br />
Kette von Zusicherungen erzeugen. Dieses implizite Mitmeinen des Wahrheitsanspruchs ist ebenfalls<br />
eine Art Metaebene, die zur gesprochenen Sprache gehört. In der Arithmetik ergibt sich das Problem<br />
nicht, weil das Ergebnis einer Gleichung zu viele Varianten offen lässt und wir erst gar nicht auf die<br />
Idee kommen, die spezifische Lösung zu unterschlagen.<br />
Anmerkung<br />
Das wahr tritt also tatsächlich in drei Formen auf: Als wahr im beschreibenden Satz, als wahr in einer<br />
Aussage und als der Wahrheitswert selber. Dabei haben wahr und wahr die Funktion eines Namens für<br />
den Wahrheitswert. Einmal innerhalb eines normalen Satzes, einmal innerhalb einer Aussage, über die<br />
wir in einem normalen Satz sprechen. Die beiden Wörter wahr und wahr meinen also dasselbe. Für<br />
falsch gilt entsprechendes.<br />
Verknüpfungen<br />
Aussagen können durch Junktoren - auch logische Partikel oder Wahrheitsfunktionen genannt -<br />
verknüpft werden. Die Junktoren sind Negation, Konjunktion, Adjunktion und Konditional. Sie werden<br />
auf Aussagen angewendet und liefern neue Aussagen, die wiederum wahr oder falsch sind.<br />
Die Negation einer Aussage ist die verneinte Aussage. Ist eine Aussage wahr, dann ist die verneinte<br />
Aussage falsch. Ist eine Aussage falsch, dann ist die verneinte Aussage wahr. Soll eine Aussage verneint<br />
werden, dann wird ihr das NICHT vorangestellt.<br />
Anmerkung<br />
Die Verwendung von Kapitälchen soll die Junktoren vom restlichen Text und von den Aussagen<br />
abheben.
4<br />
Beispiel<br />
Die Negation der Aussage »Die Sonne scheint« ist die Aussage »Die Sonne scheint nicht« bzw. NICHT<br />
»Die Sonne scheint«.<br />
Die Konjunktion von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen mit Hilfe von UND<br />
entstandene Aussage. Ist eine der beiden Aussagen falsch, dann ist die Verknüpfung falsch. Andernfalls ist<br />
die Verknüpfung wahr.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Die Sonne scheint« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund« eine andere. Der Satz<br />
»Die Sonne scheint UND Müller ist gesund« ist die durch Konjunktion der beiden einzelnen Aussagen<br />
entstandene Aussage.<br />
Die Adjunktion - auch Disjunktion - von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen<br />
mit Hilfe von ODER entstandene Aussage. Ist eine der beiden Aussagen wahr, dann ist die Verknüpfung wahr.<br />
Andernfalls ist die Verknüpfung falsch.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Die Sonne scheint« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund« eine andere. Der Satz<br />
»Die Sonne scheint ODER Müller ist gesund« ist die durch Adjunktion der beiden einzelnen Aussagen<br />
entstandene Aussage.<br />
Das Konditional - auch Subjunktion - von zwei Aussagen ist eine durch Verknüpfung der beiden Aussagen<br />
mit Hilfe von FOLGT entstandene Aussage. Ist die erste Aussage wahr und die zweite Aussage falsch, dann ist<br />
die Verknüpfung falsch. Andernfalls ist die Verknüpfung wahr.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Die Sonne scheint« ist eine Aussage, der Satz »Müller ist gesund« eine andere. Der Satz<br />
»Die Sonne scheint FOLGT Müller ist gesund« ist die durchs Konditional der beiden einzelnen Aussagen<br />
entstandene Aussage.<br />
Anmerkung<br />
Dieses sogenannte materiale Konditional ist ausdrücklich kein Bedingungssatz, sondern lediglich eine<br />
von mehreren Möglichkeiten, zwei Aussagen zu verknüpfen. Es handelt sich also nicht um eine<br />
sprachliche Konstruktion, mit der über zwei Sätze ausgesagt wird, dass sie auseinander hervorgehen.<br />
Es ist eine Verknüpfung innerhalb der Objektsprache.<br />
Auf der Basis der Verknüpfung von zwei Aussagen, kann man auch die Verknüpfung von mehr als zwei<br />
Aussagen erklären. Die weiteren Aussagen werden durch die Junktoren mit dem Ausgangssatz
5<br />
zusammengefügt. Daraus ergeben sich komplexe Aussagen. Sie sind, ebenso wie die einfachen Aussagen,<br />
wahr oder falsch.<br />
Welchen Wert komplexe Aussagen haben, hängt allein von den Wahrheitswerten der Teilsätze ab. Um den<br />
Wert eines komplexen Satz zu bestimmen, müssen also nur die Teilsätze ausgewertet und dann die<br />
entsprechenden Junktoren angewendet werden. Das besagt das sogenannte Extensionalitätsprinzip. Das<br />
bedeutet umgekehrt, dass jeder Satz, der aus der Zusammensetzung von Aussagen mit Hilfe sogenannter<br />
Junktoren entsteht, nur die Werte wahr oder falsch haben kann. Gelegentlich findet man dies auch als<br />
Erläuterung des Extensionalitätsprinzips.<br />
Satzschemata<br />
Die <strong>Aussagenlogik</strong> betrachtet allein die Form der Aussageverknüpfungen, nicht die Aussagen selber. Damit<br />
ist der Sinn der Aussagen ohne Bedeutung fürs ganze und es interessieren allein die Wahrheitswerte, die die<br />
Aussagen meinen. Daher können konkrete Aussagen durch Konstanten, auch Literale, für diese Aussagen<br />
ersetzt werden. Die Namen der Konstanten müssen allerdings eineindeutig sein, dh. unterschiedliche<br />
Namen meinen unterschiedliche Aussage.<br />
Weil die <strong>Aussagenlogik</strong> nur an Aussageverknüpfungen interessiert ist, kann man sagen, sie versuche,<br />
Aussagen über Aussageverknüpfungen zu machen. Damit wechselt sie auf die Ebene über den konkreten<br />
Aussagen, dh. in die Metasprache. Auf dieser Ebene werden dann zwar weiterhin Sätze gebildet, die ganz<br />
ähnlich wie Aussagen aufgebaut sind. Aber in diesen Sätzen werden Zeichen verwendet, die für Aussagen<br />
stehen. Sie halten den Platz für eine beliebige Aussage frei. Diese Platzhalter vertreten innerhalb eines<br />
Satzes ein und dieselbe Aussage. Allerdings ist es egal, um welche konkrete Aussage es sich handelt. Das<br />
unterscheidet Platzhalter von den zuvor erklärten Konstanten.<br />
Anmerkung<br />
Um Konstanten und Platzhalter voneinander zu unterscheiden, werden Konstanten in Fettdruck und<br />
Platzhalter kursiv gesetzt. Die verwendeten Namen für Konstanten und Platzhalten sind deren<br />
Bezeichner.<br />
Anmerkung<br />
Konkrete Sätze können also durch Konstanten ersetzt werden, während Platzhalter durch beliebige<br />
Aussagen ersetzt werden können. Die konkreten Sätze gehen den Konstanten, die Platzhalter den<br />
Aussagen vorher. Bei Konstanten ohne konkreten Satz handelt es sich tatsächlich um Platzhalter, die
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ihren Wert nicht ändern können, dh. um konstante Platzhalter. Konstanten und Platzhalter sind Teil der<br />
Objektsprache.<br />
Anmerkung<br />
Konkrete Sätze und Namen werden auch als atomare Aussagen bezeichnet, da mit ihrer Hilfe<br />
komplexe Sätze gebildet werden. Durch Verwendung von Junktoren aus atomaren Aussagen<br />
entstandene Aussagen sind nicht atomar. Gelegentlich werden sie auch als Moleküle bezeichnet.<br />
Werden solche Moleküle allerdings durchgehend als Einheit betrachtet, dann handelt man sie ebenfalls<br />
als atomare Aussagen ansehen, da ja die interne Zusammensetzung nicht mehr Teil der Analyse ist.<br />
Ein Satz, in dem Platzhalter auftreten, ist ein logisches Satzschema; auch kurz Satzschema,<br />
Aussageform oder aussagelogische Formel genannt. Ein Satzschema hat keinen logischen Wert. Es ist<br />
also weder wahr noch falsch. Es ist, weil die Platzhalter keinen konkreten Wert haben, offen. Insbesondere<br />
ist ein Satzschema keine Aussage.<br />
Anmerkung<br />
Die Offenheit eines Satzschemas darf nicht mit der Offenheit einer Aussage verwechselt werden, von<br />
der nicht gesagt werden kann, ob sie wahr oder falsch ist. In einem Satzschema sind die Aussagen, die<br />
für die Platzhalter eingesetzt werden, unbekannt. Bei einem Satzschema handelt es sich um einen Satz<br />
aus einer anderen Kategorie.<br />
Anmerkung<br />
Sätze, in denen nur Konstanten von Aussagen auftreten, sind dagegen weiterhin Aussagen.<br />
Anmerkung<br />
Ein Satzschema entspricht also in etwa dem, was man als Formel aus dem Bereich der Funktionen<br />
kennt. Die Platzhalter sind die Variablen. Die Variablenwerte den Wahrheitswerten wahr und falsch.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Helena hat einen Ball und x« ist ein Satzschema, das die Aussage »Helena hat einen Ball«<br />
und den Platzhalter x durch die Konjunktion verbindet. Für x kann irgendeine Aussage stehen. Der<br />
Satz sagt also nicht, »Helena hat einen Ball UND x« im Sinne von x zusätzlich zum Ball haben. Der Satz<br />
ist nur die Form für eine Aussage, die durch das Einsetzen einer Aussage für x erst entsteht. Die<br />
Aussage könnte zB. der Satz »Die Sonne scheint« sein. Damit würde aus dem Satzschema die Aussage<br />
»Helena hat einen Ball UND Die Sonne scheint.« Dieser Satz ist dann wahr oder falsch. An Stelle von x<br />
kann aber zB. auch ein Satzschema stehen. Dann würde aus dem Satzschema ein anderes Satzschema<br />
werden. Erhält der Satz »Helena hat einen Ball« als Namen die Konstante a, dann lautet das<br />
Aussageschema »a UND x«.
7<br />
Im Prinzip können Platzhalter beliebige Aussagen vertreten. Da der Wahrheitswert der einzelnen<br />
eingesetzten Aussagen jedoch nicht von Interesse ist, kann man bei der Betrachtung der Satzbildung auf die<br />
konkreten Aussagen verzichten und sich auf die Kombination der möglichen Wahrheitswerte beschränken.<br />
Aussagen werden durch deren mögliche Wahrheitswerte vertreten.<br />
Das Ersetzen der Platzhalter durch die Wahrheitswerte wahr oder falsch ist die Interpretation des<br />
Platzhalters. Bei der Interpretation der Platzhalter in einem Satzschema ergeben sich nun drei<br />
unterschiedliche Möglichkeiten: Es gibt wenigstens eine Kombination von Wahrheitswerten, die aus dem<br />
Schema eine wahre Aussage macht. Es gibt keine solche Kombination. Oder jede Kombination macht das<br />
Satzschema wahr. Im ersten Fall, wenn das Satzschema für wenigstens eine Interpretation wahr ist, heißt es<br />
gültig. Wir sagen, es ist für eine Interpretation erfüllbar oder auch kurz: Es ist erfüllbar. Im zweiten Fall,<br />
wenn es keine Interpretation gibt, die aus dem Schema eine wahre Aussage macht, heißt es ungültig. Wir<br />
sagen, es ist für keine Interpretation erfüllbar oder kurz: Es ist nicht erfüllbar. Im dritten Fall, wenn<br />
überhaupt jede Interpretation das Schema erfüllt, wird das Satzschema als allgemeingültig bezeichnet. In<br />
allen drei Fällen handelt es sich um Sätze über Aussageschemata, dh. um Sätze aus einer Metasprache. Die<br />
Schemata sind dagegen Teil der Objektsprache.<br />
Anmerkung<br />
Allgemeingültigkeit ist also eine Feststellung über ein Satzschema; ebenso gültig und ungültig. In<br />
diesem Sinne sind, wie wir schon sagten, nicht erfüllbar und allgemeingültig Teil der Metasprache.<br />
Zugleich kann man die Feststellung aber auch als Aussage über ein Satzschema lesen. Dann ist<br />
unbekannt, ob es stimmt oder nicht. Untersuchungen über die Allgemeingültigkeit gehören dann in<br />
eine weitere Metaebene der Sprache.<br />
Anmerkung<br />
Der Fall eines gültigen Schemas, das zumindest in einer Kombination auch falsch liefert, wird<br />
gelegentlich als neutrales Schema bezeichnet.<br />
Beispiel<br />
Das Satzschema »x ODER NICHT x« ist allgemeingültig. Egal welcher Satz den Platz von x einnimmt, die<br />
resultierende Aussage ist immer wahr. Die für x eingesetzte Aussage wird dabei als wahr oder falsch<br />
angenommen.<br />
Beispiel<br />
Die Allgemeingültigkeit eines Konditionals ist die Implikation. In diesem Sinn ist die Implikation eine<br />
Feststellung. In der Literatur wird das Konditional oft als materiale Implikation, auch logische oder
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objektsprachliche Implikation bezeichnet. Die Implikation, wie sie hier verstanden wird, ist dann die<br />
metasprachliche oder auch semantische Implikation.<br />
Anmerkung<br />
Die Eigenschaft, allgemeingültig zu sein, ist bei einem Satz, der sich auf die Realtät bezieht, keine<br />
positive Eigenschaft. Ein allgemeingültiger Satz eignet sich nämlich nicht, etwas in der Welt zu<br />
beschreiben. Er trifft ja auf alles zu, beschreibt also alles. Ebenso ist die Eigenschaft widersprüchlich<br />
zu sein, keine negative Eigenschaft eines Satzes, der sich auf die Realität bezieht. Es gibt eben einfach<br />
keine Realität, auf die er sich beziehen könnte.<br />
Obwohl Satzschemata selber keine Aussagen sind, können sie also unter bestimmten Umständen<br />
bestimmter als Aussagen sein. Nämlich dann, wenn allein die Konstruktion des Satzschemas dafür sorgt,<br />
dass jede denkbare Interpretation eines Platzhalters zu einer falschen bzw. wahren Aussage führt. Während<br />
für eine Aussage innerhalb der Logik im Grunde immer offen bleibt, ob sie wahr oder falsch ist, ist ein<br />
Satzschema unter Umständen festgelegt. Die entsprechenden Arten von Schemata sind von so<br />
grundlegender Bedeutung nicht nur für die Logik, dass sie eigene Namen verdienen: Ein ungültiges<br />
Satzschema heißt Widerspruch oder auch Kontradiktion, ein allgemeingültiges Schema dagegen<br />
Tautologie.<br />
Die Tautologie ist ein Satzschema, das in jeder Interpretation wahr ist. In einem tautologischen Satzschema<br />
kann ich mit jeder für die Platzhalter eingesetzten Aussage eine insgesamt wahre Aussage erzeugen. Man<br />
kann die Interpretation also auch lassen. Oder man lässt im Schema gleich die Platzhalter weg. Da das aber<br />
syntaktisch nicht geht, wird ein spezielles, platzhalterloses Schema eingeführt, das für jedes<br />
tautologische Schema einspringen kann. Wir schreiben es ⊤ und nennen es ebenfalls Tautologie. Es liefert<br />
bei jeder Interpretation den Wert wahr. Damit kann es in einem Satzschema zusätzlich eine wahre Aussage<br />
vertreten. Das alles kann man mit gleichsam umgekehrtem Vorzeichen natürlich auch für die ungültigen<br />
Schemata sagen. Das entsprechende platzhalterlose Satzschema für den Widerspruch nennen wir<br />
Kontradiktion und bezeichnen es mit ⊥. Es liefert falsch und kann daher in einem Satzschema falsche<br />
Aussagen vertreten.<br />
Anmerkung<br />
Weil ein tautologischer Satz ein Satzschema ist, das durch Einsetzen egal welcher Aussage wahr wird,<br />
ist man schnell dabei, jede Tautologie und insbesondere ⊤ selber für wahr zu halten. Ja, man ist<br />
verleitet zu sagen: »Eine Tautologie ist wahr«. Das zu sagen, ist aber nicht etwa falsch, sondern leer,<br />
solange nicht abschließend geklärt ist, was Satzschemata sind. Versteht man ein Satzschema als Name<br />
für die Menge der Aussagen, mit denen es gültig ist, dann bezeichnet ein Satzschema eine Menge. Von<br />
einem Namen zu sagen, er sei wahr, ist aber, zumindest in der Logik, regelrecht unsinnig. Aber auch
9<br />
bei einem Schema wäre es allenfalls sinnvoll zu sagen, dass es für die Dinge steht, die das Schema<br />
erfüllen. Wiederum ist es nicht sinnvoll zu sagen, ein Schema ist wahr. Es ist lediglich sinnvoll davon zu<br />
sprechen, ob zwei Schemata dieselbe Menge bezeichnen. Also: Ein tautologischer Satz ist ein<br />
Satzschema und keine Aussage. Insbesondere ist ein tautologischer Satz keine Feststellung. Und<br />
umgekehrt: Auf Aussagen kann man die Charakterisierung tautologisch nicht sinnvoll anwenden.<br />
Satzschemata sind tautologisch.<br />
Beispiel<br />
Der Satz »Die Sonne scheint ODER Die Sonne scheint NICHT« ist keine Tautologie. Er ist<br />
genaugenommen nicht einmal wahr. Es handelt sich weiterhin um eine Aussage, die wahr oder falsch<br />
sein kann. Erst nach einer Analyse des Satzes zeigt sich, dass diese Aussage niemals falsch sein kann.<br />
Dafür ist allerdings der Rückgriff auf das Satzschema nötig, auf dem der Satz basiert. Dieses Schema<br />
erweist sich als tautologisch. Trotzdem sagt man in diesem Fall, die Aussage sei immer wahr.<br />
Anmerkung<br />
Tautologien sind mit Funktionen vergleichbar, die für jeden Wert den gleichen Funktionswert liefern.<br />
Eigentlich bräuchte man nichts auswerten, wenn man wüsste, dass es sich um eine konstante Funktion<br />
handelt. f ( x ) = 0 ⋅ x wäre so ein Fall. Die Funktion f ( x ) = c gehört im Grunde ebenfalls dazu. Nur<br />
dass man hier sofort erkennt, dass die Funktion konstant ist.<br />
Anmerkung<br />
Das angedeutete Missverständnis, dass man tautologische Sätze für Aussagen hält, tritt insbesondere<br />
bei ⊤ auf. Denn ⊤ ist ein Satzschema; aber ein Satzschema ohne Platzhalter. Dadurch wird diese<br />
Verwechslung beinahe erzwungen. Durch das Fehlen des Platzhalters rutscht ⊤ gleichsam in den<br />
Bereich der Aussagen. Dass ⊤ zudem als wahr interpretiert wird, macht die Sache rund.<br />
Ein Blick in die Arithmetik verdeutlicht die Problematik, wenn man konstante Funktionen betrachtet.<br />
Schreibt man sie f ( x ) = a bzw. f ( x ) = 3 und versteht den Ausdruck f ( x ) als Name für die Funktion,<br />
dann steht die Konstante auf der rechten Seite nicht mehr für eine Zahl. Sie vertritt statt dessen die<br />
Funktion, die alle Werte des Definitionsbreichs auf 3 abbildet und nicht die Zahl 3. In diesem Sinn ist ⊤<br />
ein Schema und eben nicht der Wert wahr. Nimmt man die Schreibweise x 2 für Funktionen, dann wird<br />
die Sache noch deutlicher. Jetzt müsste die Kurzschreibweise für f ( x ) = 3 eigentlich lauten: 3. Das<br />
macht aber praktisch keiner, weil die Verwechslungsgefahr zu offenbar ist.<br />
Die Besonderheit von allgemeingültigen und kontradiktorischen Satzschemata ist, dass allein aus dem<br />
Satzschema erschlossen werden kann, ob die sich jeweils ergebenden Aussagen wahr oder falsch sind. Und<br />
darin liegt die Bedeutung von Tautologie und Widerspruch.
10<br />
Zwei zentrale Aufgabe der Logik ergeben sich nun: Einmal will man aus dem Wahrheitswert einer Aussage<br />
auf den Wahrheitswert einer anderer Aussagen schließen. Zum anderen will man erkennen, ob und welche<br />
Satzschemata allgemeingültig bzw. widersprüchlich sind.<br />
Syntax<br />
Satzschemata wurden bisher durch die Kombination von Aussagen und Platzhaltern gebildet. Regeln für die<br />
Syntax der Sätze wurde nicht definiert. Das soll nun geschehen, um einen formalen Rahmen zu erhalten.<br />
Wir werden also die Ebene der natürlichen Sprachen verlassen.<br />
Da die einzelnen Aussagen ohne Belang sind, betrachten wir nur noch Satzschemata, in denen keine<br />
konkreten Aussagen auftreten. In den Schemata können Platzhalter stehen, die durch Buchstaben des<br />
lateinischen Alphabets vertreten werden. Dazu kommen die Junktoren NICHT, UND, ODER und FOLGT,<br />
vertreten durch ¬, ∧, ∨ und →. Als Hilfszeichen werden runde Klammern benötigt. Zusätzlich ergänzen wir<br />
diese Zeichen durch Namen für zwei Satzschemata, die keinen Platzhalter haben: ⊤ und ⊥. Es sei aber<br />
noch einmal betont, dass es sich bei beiden um Namen für Schemata handelt und nicht um Namen für<br />
Aussagen oder Feststellungen. Zur Definition zusammengefasst erhalten wir für die Menge der<br />
verwendeten Zeichen:<br />
DEFINITION Zeichensatz Σ<br />
Eine aufzählbare Menge von Konstanten a, b, c, … und Platzhaltern x, y, z, … ; wir schreiben auch<br />
a 1 , a 2 , a 3 , bzw. x 1 , x 2 , x 3 , … wenn der Zeichenvorrat unbegrenzt sein soll.<br />
Die Symbole ¬, ∧, ∨ und → für die Junktoren NICHT, UND, ODER und FOLGT. Dazu noch ↔ für das<br />
Bikonditional.<br />
Die konstanten Wahrheitsschemata ⊤ und ⊥.<br />
Die Klammern ( und ) als Hilfszeichen.<br />
Anmerkung<br />
Die Menge der Konstanten bzw. der Platzhalter kann unendlich sein. Sie muss aber aufzählbar bleiben.<br />
Anmerkung<br />
Konstanten werden grundsätzlich mit Normalschrift geschrieben und beginnen mit den ersten<br />
Buchstaben des Alphabets. Platzhalter werden grundsätzlich kursiv geschrieben und beginnen mit den
11<br />
letzten Buchstaben des Alphabets. Die Indizierung wird für größere Mengen von Bezeichnern<br />
genommen.<br />
Die Sprache der Aussagelogik enthält alle syntaktisch korrekten Satzschemata. Was ein syntaktisch<br />
korrektes Satzschema ist, wird zunächst informell erklärt:<br />
DEFINITION Aussageform, Satzschema<br />
Geg. ist der Zeichensatz Σ der <strong>Aussagenlogik</strong>.<br />
Dann gelten zunächst die 3 Grundregeln:<br />
(1) Die Menge der Konstanten a, b, c, ... sind Aussageformen.<br />
(2) Die Menge der Platzhalter x, y, z, … sind Aussageformen.<br />
(3) Die beiden konstanten Wahrheitsschemata ⊤ und ⊥ sind Aussageformen.<br />
Zu diesen kommen noch die beiden Konstruktionsschemata:<br />
(4) Ist α eine Aussageform, dann sind auch ( α ) und ¬ α Aussageform.<br />
(5) Sind α und β Aussageformen, dann sind auch α ∧ β, α ∨ β und α → β Aussageformen.<br />
Anmerkung<br />
Man muss deutlich zwischen den Basiszeichen, die in Regel (1), (2) und (3) fixiert werden, und den<br />
Produktionsregeln in (4) und (5) unterscheiden. Die Basiszeichen setzen die Ausgangspunkte, die<br />
Regeln beschreiben die Struktur der Aussagen bzw. Aussageformen.<br />
Anmerkung<br />
Man beachte, dass nach dieser Definition Konstanten syntaktisch gesehen ebenfalls Aussageformen<br />
sind.<br />
Anmerkung<br />
In (4) und (5) werden griechische Buchstaben als Bezeichner für beliebige Aussageformen<br />
verwendet. Sie gehören zur Metasprache. Damit gehören auch Ausdrück wie α ∧ β zur Metasprache.<br />
Konstanten und Platzhalter sind dagegen, wie schon gesagt, Teil der Objektsprache. Der Ausdruck x ∧<br />
y gehört also zur Objektsprache.
15<br />
I ⟦ α ⟧ = f ( I ⟦ α 1 ⟧ , … , I ⟦ α n ⟧ )<br />
mit f als eine der Funktionen aus B.<br />
Dieser Zerlegungsprozess muss solange durchgeführt werden, bis sich entweder eine Konstante:<br />
I ⟦ a ⟧ = a<br />
findet mit dem a auf der rechten Seite als Konstante auf dem entsprechenden Bereich oder ein Platzhalter:<br />
I ⟦ a ⟧ = v a = v ( a )<br />
bzw. in einer Indexschreibweise:<br />
I ⟦ v i ⟧ = v i<br />
Für die Konstanten ⊤ und ⊥ ergibt sich einfach:<br />
I ⟦ ⊤ ⟧ = T<br />
bzw.<br />
I ⟦ ⊥ ⟧ = F<br />
Wir finden also einen doppelten rekursiven Prozess, der mit Platzhaltern bzw. Konstanten nach einer endlich<br />
Anzahl von Schritten abschließen muss. Zum einen wird das Satzschema zerlegt, zum anderen werden nach<br />
und nach die entsprechenden Funktionen aus B gebildet. Die Klammern haben jetzt nur noch eine<br />
steuernde Wirkung. Sie treten als Klammern in den Anordnungen der Funktionsparameter zu Geltung.<br />
Der eigentlich kritische Punkt sind also weder die Klammer noch die Konstanten, sondern die Funktionen,<br />
die mit den Satzschemata assoziiert werden sollen. Denn ganz offenbar hängt es von der Anzahl der<br />
Platzhalter ab, welches f es denn ist, auf das sich das Satzschema bezieht. Bemerkenswert ist nun aber,<br />
dass diese Stelligkeit für die Interpretation keine Rolle spielt und der gesamte Rekursionsprozess allein<br />
über ein- und zweistellige, ja überhaupt nur über zweistellige Funktionen abgewickelt werden kann. Dann<br />
lässt sich die Interpretation wie folgt definieren:<br />
I ⟦ α ⟧ ) = I ⟦ α 1 ∧ α 2 ⟧ ) = f 8 ( I ⟦ α 1 ⟧ ), I ⟦ α 2 ⟧ ) )<br />
und entsprechend für die anderen Junktoren. Damit wird die Interpretation eindeutig bestimmt, denn zu<br />
jedem Junktor gibt es nur genau eine Funktion aus B 2 bzw B 1 für die Negation.
16<br />
Dieser für die Auswertung eines Satzschemas wichtigen Vereinfachung entspricht die folgende Eigenschaft<br />
der Satzschemata: Offenbar gibt es beliebig viele Sätze, die zwei Platzhalter enthalten, ja sogar unendlich<br />
viele. Für einen Moment könnte man daher meinen, dass auch die Zahl der Funktionen, die jeweils einem<br />
Schema entsprechen, unendlich wird. Nun ist aber B 2 nicht unendlich groß. Also müssen eine Vielzahl von<br />
Schemata auf ein und dieselbe Abbildung verweisen. Vom logischen Werteverlauf aus betrachtet sind diese<br />
Satzschemata also allesamt gleich. Ja, diese unterschiedlichen Zeichenfolgen meinen vom durch die<br />
Interpretation entstehenden Wert aus betrachtet alle dasselbe. Oder noch deutlicher: Es gibt im Endeffekt<br />
nur endlich viele Funktionen mit unendlichen vielen Schemata, die sie beschreiben bzw. bezeichnen. All<br />
diese Zeichenfolgen, die auf dieselbe Funktion referieren, werden daher zu Äquivalenzklassen<br />
zusammengefasst und jeder Äquivalenzklasse ein Satzschema als Repräsentant zugeordnet, der dann<br />
zugleich auch als Bezeichner fungiert.<br />
Für die einstelligen Satzschemata ergibt sich zu den 4 Funktionen aus B 1 :<br />
x f 1 f 2 f 3 f 4<br />
T T T F F<br />
F T F T F<br />
⊤ ¬ ¬ ⊥<br />
Für die 16 Funktionen aus B 2 ergeben sich:<br />
x y f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f 16<br />
T T T T T T T T T T F F F F F F F F<br />
T F T T T T F F F F T T T T F F F F<br />
F T T T F F T T F F T T F F T T F F<br />
F F T F T F T F T F T F T F T F T F<br />
⊤ ∨ → ↔ ∧ ⊕ ⊥<br />
Unter diesen 16 Funktionen befinden sich zunächst die oben bereits genannten Konjunktion, Adjunktion<br />
und Konditional. Daneben werden die folgenden regelmäßig gebraucht:<br />
Die Tautologie (f 1 ) liefert für jedes Wertepaar T. Sie wird durch den Ausdruck ⊤ benannt.<br />
Die logische Kontradiktion (f 16 ) liefert für jedes Wertepaar F. Sie wird durch den Ausdruck ⊥ benannt.
17<br />
Anmerkung<br />
Tautologie und Kontradiktion werden oftmals ebenfalls mit F und T bezeichnet. Allerdings führt das zur<br />
Verwirrung, weil die Ebenen der Wahrheitswerte und der Funktionen nicht mehr deutlich getrennt<br />
sind.<br />
Die exklusive Adjunktion - auch exklusive Disjunktion, ausschließendes ODER oder exklusives ODER - liefert<br />
nur dann T, wenn die beiden Werte des Wertespaares verschieden sind. Sie wird als XOR oder auch ⊕<br />
bezeichnet.<br />
Das logische Bikonditional ist das Konditional in beiden Richtungen. Es ist genau dann T, wenn beide<br />
Sätze T oder beide F sind. Die beiden Sätze entsprechen sich im Sinne der <strong>Aussagenlogik</strong>. Es wird mit ↔<br />
bezeichnet.<br />
Die verneinende Konjunktion - auch verneinendes UND, Sheffer Stroke oder NAND - ist genau dann wahr,<br />
wenn die Konjunktion falsch ist. Sie ist die einzige Operation, mit der sich alle anderen Operationen<br />
darstellen lassen.<br />
Weniger häufig werden die folgenden Junktoren gebraucht:<br />
Die verneinende Adjunktion - auch verneinendes ODER oder Peirce Pfeil - ist genau dann wahr, wenn die<br />
Konjunktion falsch ist.<br />
Die binäre Negation des ersten Arguments und die binäre Negation des zweiten Arguments.<br />
Das umgekehrte Konditional.<br />
Das Nichtkonditional und das umgekehrte Nichtkonditional.<br />
Die beiden zweistelligen Identitäten, einmal für das erste und das andere Mal für das zweite Argument.<br />
Anmerkung<br />
Diese zweistelligen Operationen sind zueinander dual, d.h. es gibt zu jeder auf das UND bezogenen<br />
Funktion ein Pendant für das ODER. Anders gesagt: Man kann wahr und falsch vertauschen. Was nur<br />
eine andere Art ist zu sagen, dass die <strong>Aussagenlogik</strong> rein formal und eben nicht inhaltlich ist.<br />
Für B 3 ergeben sich entsprechend viele Funktionen. Wiederum ist man versucht, jeder Funktion einen<br />
Namen zu verleihen. Und so weiter über alle B n . Das ist aber nicht nötig. Denn all diese Funktionen können<br />
aus einer Reihe von Basisfunktionen aus B 2 und durch Verknüpfung dieser Funktionen dargestellt werden.<br />
Welche Basisfunktionen aus B 2 man wählt, ist Sache des Geschmacks, sofern nur alle Funktionen<br />
darstellbar sind.
21<br />
Sprachebenen<br />
Allgemeingültigkeit, Folgerung und Äquivalenz sind nach dem bisher Gesagten Sätze der Metasprache.<br />
Dann handelt es sich zB. bei der Folgerung um einen Satz, bei dem die Wahrheit der Hypothese<br />
vorausgesetzt wird.<br />
Zugleich kann man die Sätze aller drei Klassen aber auch als Aussagen lesen. Dann wird die Metasprache<br />
ihrerseits formalisiert und Ausdrück wie ⊨ α oder α ⊨ β werden zu Aussagen, die entweder wahr oder<br />
falsch sind. ⊨ α bedeutet dann eben nicht mehr, dass α allgemeingültig ist, sondern die Aussage »α ist<br />
allgemeingültig«, die jedoch wahr oder falsch sein kann. Für α ⊨ β gilt dasselbe. In diesem erweiterten<br />
Rahmen werden die genannten Sätze Teil einer Formalisierung der Metaebene mit ihren eigenen Regeln.<br />
Auf die Allgemeingültigkeit hat dieser Übergang zwar keine Auswirkung. Doch die Folgerung α ⊨ β wird<br />
nun zu einer Art Konditional, dh. sie ist wahr, wenn α entweder falsch oder α wahr und β ebenfalls wahr; in<br />
den anderen Fällen ist sie falsch. Der Definitionsbereich des Ausdrucks α wird also um mögliche falsche<br />
Sätze erweitert. Für diese formalisierte Folgerung benutzen wir die Kurzform:<br />
α ⇒ β<br />
und bezeichnen sie gleichfalls als Implikation. Die Gültigkeit dieser Implikation, also ⊨ α ⇒ β, entspricht<br />
dann der Allgemeingültigkeit des Konditionals, dh.:<br />
⊨ α → β<br />
Ist mehr als eine Prämisse vorhanden, dann schreiben wir für:<br />
⊨ α 1 ∧ … ∧ α n → β<br />
die formalisierte Fassung:<br />
α 1 ∧ … ∧ α n ⇒ β<br />
Diese entspricht dem halb-formalisierten Ausdruck:<br />
α 1 , … , α n ⊨ β<br />
In der formalisierten Metaebene handelt es sich bei diesen Sätzen um Sätze der Objektsprache. Die<br />
Metasprache für diese Sätze ist dann die gewöhnliche Sprache. Andernfalls hätte man es mit<br />
Konstruktionen der Art ⊨ ⊨ α → β zu tun. Das ginge rein formal zwar auch, wäre aber verwirrend.
22<br />
Ordnungen<br />
Implikation und Äquivalenz definieren auf der Menge der Schemata jeweils zweistellige Relationen. Dabei<br />
stehen zwei Schemata α und β in Relation zu einander, wenn α → β allgemeingültig ist. Mit dieser Relation<br />
ist auf der Menge der Schemata eine Ordnung gegeben. α wird auch als verglichen mit β logisch stärker<br />
bezeichnet. Die Ordnung ist reflexiv und transitiv aber nicht antisymmetrisch, dh. es handelt sich um eine<br />
Präordnung:<br />
SATZ<br />
Die Implikation ist eine reflexive, transitive und nicht anti-symmetrische Relation.<br />
BEWEIS<br />
Reflexivität - zz. ist, dass für jedes Schema α die Implikation α ⇒ α gültig ist, also die<br />
Allgemeingültigkeit des Konditionals. Da α ein Schema ist, das entweder T oder F liefert, reicht es, die<br />
Erfüllbarkeit von p → p für alle Aussagen p in einer Wertetabelle zu zeigen.<br />
α α α → α<br />
F F T<br />
T T T<br />
Transitivität - zz. ist, dass für jedes Schema α, β, γ gilt: Falls α → β und β → γ jeweils allgemeingültig<br />
sind, dann auch α → γ. Für die Allgemeingültigkeit von α → γ muss lediglich gezeigt werden, dass aus<br />
der Gültigkeit von α die Gültigkeit von γ folgt. In jedem anderen Falls ist α → γ ohnehin erfüllbar. Sei<br />
also α gültig, dann ist auch β gültig. Und aus der Gültigkeit von β folgt die von γ.<br />
α β γ α → β β → γ α → γ<br />
F F F T T T<br />
F F T T T T<br />
F T F T F T<br />
F T T T T T<br />
T F F F T F<br />
T F T F T T<br />
T T F T F F<br />
T T T T T T
23<br />
Die fehlende Anti-Symmetrie folgt direkt aus der Definition der Anti-Symmetrie: Eine Relation R heißt<br />
anti-symmetrisch, falls aus ( α, β ) ∈ R folgt ( β, α ) ∉ R. Wiederum wird der Beweis über eine<br />
Wahrheitstabelle geführt:<br />
α β α → β β → α<br />
F F T T<br />
F T T F<br />
T F F T<br />
T T T T<br />
In zwei Zeilen ergibt sich jeweils für beide Ausdrücke der Wert T, dh. die Umkehrung gilt, was bei<br />
Antisymmetrie aber nicht sein dürfte.<br />
Anmerkung<br />
Man beachte, dass der Satz auf einer Aussage über Mengen von Schemata basiert.<br />
Anmerkung<br />
Wäre die Implikation antisymmetrisch, hätten wir es mit einer Halbordnung zu tun.<br />
Anmerkung<br />
Wegen der fehlenden Antisymmetrie wird das Zeichen ≤ für ⇒ in aller Regel vermieden.<br />
Mit diesen Formalisierungen lassen sich Behauptungen aufstellen und Berechnungen durchführen.<br />
Beispiel<br />
Der satzlogische modus ponens besagt:<br />
⊨ ( (α → β) ∧ α ) → β<br />
mit α und β als Satzschemata. Er soll überprüft werden. Die Überprüfung geschieht durch Einsetzen:<br />
α β α → β α → β∧α ((α → β) ∧ α) → β<br />
T T T T T<br />
T F F F T<br />
F T T F T<br />
F F T F T
24<br />
Der Zusatz satzlogisch soll darauf verweisen, dass die Bezeichnung modus ponens in anderen<br />
Bereichen als der <strong>Aussagenlogik</strong> verwendet wird.<br />
Ableitungen<br />
Nachdem die Frage, wie man ermittelt, ob eine Aussage allgemeingültig ist oder nicht, prinzipiell geklärt<br />
ist, kommen wir nun zu einer ähnlich wichtigen Frage: Ist es möglich, die Menge aller allgemeingültigen<br />
Sätze systematisch zu erzeugen? Um diese Frage zu klären, greift die Logik auf ein Verfahren zurück, dass<br />
schon bei der syntaktischen Analyse von Sätzen gebraucht wird. Es werden Übergänge zwischen Sätzen<br />
erklärt und dann mit Hilfe dieser Übergänge neue aus bereits vorhandenen Sätze erzeugt. Das führt auf ein<br />
System von Übergangsregeln, die nicht irgendwelche Sätze miteinander verbinden, sondern aus gültigen<br />
Satzschemata weitere gültige Schemata erschließen und so gleichsam als rein logische Ableitung dienen:<br />
DEFINITION Ableitungsregel<br />
Geg. sind die Satzschemata α 1 , α 2 , … α n ∈ F 0 und das Satzschema α ∈ F 0 .<br />
Dann ist:<br />
α 1<br />
,…,α n<br />
α<br />
eine Ableitungsregel (inference rule), die besagt, dass α erfüllt ist, falls alle α i erfüllt sind;<br />
geschrieben α 1 , … , α n ⊢ α.<br />
Die Ausdrück über dem 'Bruchstrich' sind die Prämisse, auch Voraussetzung. Der Ausdruck unter dem<br />
'Bruchstrich' ist die Konklusion, auch Folgerung.<br />
Anmerkung<br />
Die gebräuchlichere 'Bruch'-Schreibweise der Definition hat gegenüber der zeilenweise Schreibweise<br />
mit ⊢ zwei Vorteile:<br />
Zum einen werden Voraussetzung und Folgerung deutlich getrennt. Insbesondere werden durch die<br />
Verwendung von Kommata an Stelle von ∧ Objekt- und Metasprache weiterhin durch die verwendeten<br />
Zeichen geschieden. An Stelle von Kommata wird oftmals eine Mengenschreibweise gewählt, was<br />
plausibel ist, da es sich bei den Prämissen um Mengen von erfüllbaren Sätzen handelt.
25<br />
Zum anderen erlaubt die 'Bruch'-Schreibweise eine Art von Parallelität. Die Prämissen stehen alle<br />
nebeneinander und führen zusammen zur Konklusion, während sie sich in der linearen Notation auf die<br />
vorherigen Schlüsse verteilen.<br />
Anmerkung<br />
Die Ableitungsregel ist so zu lesen: Falls die α 1 , α 2 , … α n erfüllbar sind, dann auch α. Ein<br />
Beweisverfahren wird, anders als bei der Folgerung, ausdrücklich nicht erwähnt. Damit entspricht die<br />
Ableitung zwar vordergründig der Folgerung:<br />
α 1 , … , α n ⊨ α<br />
Aber tatsächlich ist hier eine andere Art des Fortschreitens von Schema zu Schema intendiert, die<br />
eben nicht auf Wahrheitswerten basiert. Sie ist rein formal, greift also allein auf Zeichenfolgen und<br />
entsprechende Substitutionen zurück. Wir sprechen daher auch von einer syntaktischen Folgerung im<br />
Gegensatz zur semantischen, die auf die Wahrheitswerte rekurriert. Daher die andere Schreibweise.<br />
Anmerkung<br />
Die Ableitbarkeitsregeln ähneln sehr der Implikation. Ein Schema<br />
α 1<br />
,…,α n<br />
α<br />
könnte also als α 1 ,… , α n ⇒ α verstanden werden, dh. als Allgemeingültigkeit des Konditionals. Diese<br />
Ähnlichkeit hat einen einfachen Grund: Soll die Ableitbarkeit semantisch überprüft werden, dann<br />
genügt als Beweis der Allgemeingültigkeit des Konditionals der Beweis für die Fälle, in denen die α i<br />
gelten. Im anderen Fall gilt das Konditional ohnehin. Diese Beweistechnik darf aber nicht darüber<br />
hinwegtäuschen, dass Ableitbarkeitsregeln keine Implikationen sind, denn es wird lediglich die<br />
Erfüllbarkeit der Prämissen angenommen. Es handelt sich bei Ableitungsregeln also immer um<br />
aussagenlogische Folgerungen, dh. um Sätze über Aussageschemata.<br />
Anmerkung<br />
Die Menge der Ableitungsregeln ist rein mathematisch formuliert eine Relation R ⊆ F 0 n ⨯ F 0 . x ∈ R ist<br />
dann ein Ableitungsregel.<br />
Ableitungen können auch nacheinander und mehrfach angewendet werden. Für eine Menge { ⊢ 1 , … ⊢ n }<br />
von Ableitungen ergibt sich dann jeweils eine Ableitungskette; geschrieben α ⊢ 1 … ⊢ n β, falls die Kette<br />
von α zu β führt. Die Erfüllbarkeit eines Schemas geht über die Ableitungen nicht verloren, dh. wenn α
26<br />
erfüllbar ist, dann auch β. Eine Ableitungskette definiert somit eine weitere Ableitungsregel, die, wenn man<br />
Glück hat, noch kein Element der Ausgangsmenge ist.<br />
Beispiel<br />
Gegeben sei etwa die Ableitungsregel:<br />
α ,α → β<br />
β<br />
Aus dem allgemeingültigen Satz α → ( α → α ) folgt nun durch Einsetzen von α → α für β:<br />
α ,α →(α → α)<br />
α → α<br />
dh. eine weitere Ableitungsregel und zudem die Allgemeingültigkeit von α → α.<br />
Doch nicht nur die Erfüllbarkeit geht auf die neuen Sätze über. Auch die Allgemeingültigkeit wird gleichsam<br />
den abgeleiteten Sätze vererbt:<br />
SATZ<br />
Geg. sei eine Ableitung α 1 ,… , α n , ⊢ α.<br />
Sind die α i allgemeingültig, dann auch α.<br />
BEWEIS<br />
Aus der Erfüllbarkeit von α i folgt nach der Ableitungsregel die Erfüllbarkeit von α. Sind die α i für alle v<br />
erfüllbar, dann ist auch α für alle v erfüllbar, also allgemeingültig.<br />
Anmerkung<br />
Weil hier nicht mehr auf die Wahrheitstabellen zurückgegriffen wird, bleibt die Untersuchung im<br />
Rahmen der Syntax.<br />
Mit Hilfe einer Menge von Ableitungsregeln kann man nun zu neuen Sätzen gelangen, indem man die<br />
Regeln mehrfach hintereinander anwendet.<br />
DEFINITION Ableitbarkeit<br />
Geg. sei eine Menge von Ableitungsregeln { ⊢ 1 , … ⊢ n }.<br />
Ein Satzschema β heißt ableitbar aus α, wenn α Prämisse in ⊢ 1 und β Konklusion von ⊢ n ist.
27<br />
Nimmt man zur Menge der Ableitungsregeln noch eine Menge von allgemeingültigen Sätzen hinzu, hat man<br />
bereits das gesuchte Verfahren zur Erzeugung von allgemeingültigen Satzschemata. Ausgehend von den<br />
Axiomen werden mit Hilfe der Ableitungen neue, wiederum allgemeingültige Schemata generiert. Ein<br />
Rückgriff auf Wahrheitswerte findet dann aber beim Produzieren neuer Ableitungsregeln nicht mehr statt.<br />
Gibt es nun ein System von Ableitungsregeln mit dessen Hilfe die Menge aller erfüllbaren Schemata aus<br />
einer vorhandenen Menge von gültigen Satzschemata widerspruchsfrei erzeugt werden können, spricht<br />
man von einer Axiomatisierung der <strong>Aussagenlogik</strong>. Dabei wird unter vollständig verstanden, dass alle<br />
allgemeingültigen Schemata aus diesem System ableitbar sind. Widerspruchsfrei besagt, dass unter den<br />
ableitbaren Satzschemata keine sind, die sich widersprechen.<br />
Anmerkung<br />
Es geht also ausdrücklich um die Möglichkeit, aus allgemeingültigen Sätzen allgemeingültige Sätze zu<br />
schließen. Anders gesagt: Das System produziert alle Tautologien. Man kann aber auch sagen: Es<br />
lassen sich alle Sätze beweisen, denn ein Satz ist ja nichts weiter, als die Behauptung der Erfüllbarkeit<br />
eines Satzschemas.<br />
Das folgende System von Aussagen bildet ein Axiomensystem, dh. eine Menge von Tautologien, aus denen<br />
sich alle Tautologien mit Hilfe bestimmter Regeln ableiten lassen:<br />
(A1) ⊨ α → ( β → α )<br />
(A2) ⊨ ( α → ( β → γ ) ) → ( ( α → β ) → ( α → γ ) )<br />
(A3) ⊨ ( ¬ α → ¬ β ) → ( β → α )<br />
Benötigt wird nunmehr noch wenigstens eine Ableitungsregel. Im der sogenannten klassischen<br />
Axiomatisierung nach Tarski wird die Ableitung:<br />
(I1)<br />
α ,α → β<br />
β<br />
(modus ponens)<br />
genommen, die im Unterschied zum satzlogischen modus ponens ein metasprachliches Konstrukt ist.<br />
Anmerkung<br />
Dass es sich beim modus ponens um einen metasprachlichen Satz handelt, ist hier notwendig.<br />
Andernfalls könnte β ggf. auch ungültig sein, obgleich die Ableitung insgesamt wahr ist. Dann darf β<br />
aber nicht als allgemeingültiger Satz in weiteren Ableitungsregeln verwendet werden. Womit der<br />
eigentliche Zweck der Ableitungsregeln verfehlt wäre.
28<br />
Mit Hilfe dieser Axiome und der Ableitungsregel lassen sich nun sämtliche Tautologien der <strong>Aussagenlogik</strong><br />
beweisen bzw. ableiten.<br />
SATZ<br />
Die Implikation ist reflexiv, dh. α ⇒ α bzw. ⊨ α → α.<br />
BEWEIS<br />
Aus (A1) folgt mit β = α der Satz ⊨ α → ( α → α ). Da α nach Voraussetzung gilt, ergibt sich die<br />
Reflexivität aus:<br />
α ,α →(α → α)<br />
α → α<br />
und damit ⊨ α → α bzw. α ⇒ α.<br />
Auf ähnliche Weise lassen sich Transitivität und fehlende Antisymmetrie der Implikation zeigen.<br />
SATZ<br />
Die Implikation ist transitiv, dh. aus α ⇒ β und β ⇒ γ folgt die Gültigkeit von α ⇒ γ.<br />
BEWEIS<br />
Aus α und α → β folgt mit (I1) β und aus β und β → γ folgt ebenfalls mit (I1) γ; dh. aus α folgt γ bzw.<br />
α ⇒ γ.