FH Formelsammlung 15 Mechatronik.pdf - TechBoard
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Inhaltsverzeichnis<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
1 Grundlagen ........................................................................................................ 3<br />
1.1 magnetische Flussverkettung .......................................................................................................... 3<br />
1.2 Umrechnungen ................................................................................................................................ 3<br />
1.2.1 Drehzahl und Kreisfrequenz ............................................................................................... 3<br />
1.2.2 Maschinenkonstante ........................................................................................................... 4<br />
2 Gleichstrommaschine ...................................................................................... 5<br />
2.1 Maschinenkenngrössen .................................................................................................................. 5<br />
2.2 Funktionsweise ............................................................................................................................... 5<br />
2.3 Erregungsarten ............................................................................................................................... 6<br />
2.4 Kennlinien ....................................................................................................................................... 7<br />
2.4.1 Nebenschlusserregung und Fremderregung sowie Permanenterregung ........................... 7<br />
2.4.2 Reihenschlusserregung ...................................................................................................... 8<br />
2.5 Berechnung ..................................................................................................................................... 9<br />
2.5.1 Kreisbewegung ................................................................................................................... 9<br />
2.5.2 vereinfachte Modelle, H. Rohrer ....................................................................................... 10<br />
2.5.2.1 Fremderregung oder Permanenterregung ................................................................... 10<br />
2.5.2.2 Reihenschlusserregung ............................................................................................... 14<br />
2.5.3 detailliertes Modell für Fremderregung oder Permanenterregung, A. Vezzini .................. 16<br />
2.5.3.1 Ankerkreis .................................................................................................................... 16<br />
2.5.3.2 Feldkreis ...................................................................................................................... 17<br />
2.5.4 vereinfachtes Modell für Fremderregung oder Permanenterregung, N. Mohan ................ 18<br />
2.5.4.1 Ersatzschaltung, Modellierung ..................................................................................... 18<br />
2.5.4.2 Kennlinie ...................................................................................................................... 19<br />
2.5.4.3 Beschleunigung ........................................................................................................... 21<br />
2.5.4.4 Bremsung .................................................................................................................... 23<br />
2.5.4.5 Energiebetrachtung...................................................................................................... 25<br />
3 Stellglieder für Gleichstrommaschinen ........................................................ 27<br />
3.1 Buck Converter, Step Down Converter, Abwärtsregler, Abwärtswandler, Tiefsetzsteller .............. 27<br />
3.2 Boost Converter, Step Up Converter, Aufwärtsregler, Aufwärtswandler, Hochsetzsteller ............. 30<br />
3.3 Effektivwert eines Dreiecksignals .................................................................................................. 33<br />
3.4 Halbbrücke .................................................................................................................................... 33<br />
3.4.1 Spannungen und Ströme .................................................................................................. 33<br />
3.4.2 Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation, PWM, 0 v<br />
ˆ<br />
tri<br />
Vtri<br />
.......................................... 34<br />
3.4.3 Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation, PWM, Vˆ ˆ<br />
tri<br />
vtri Vtri<br />
.................................... 35<br />
3.5 Vollbrücke ..................................................................................................................................... 36<br />
3.5.1 Spannungen ..................................................................................................................... 36<br />
3.5.2 Ströme .............................................................................................................................. 37<br />
3.5.3 Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation, PWM ................................................................. 38<br />
3.5.4 Ansteuerung einer Gleichstrommaschine ......................................................................... 40<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 1
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Stichwortverzeichnis<br />
Bezeichnungen bei A. Vezzini ......................... 4<br />
Bezeichnungen bei H. Rohrer ......................... 4<br />
Bezeichnungen bei J. Götte ............................ 4<br />
Bezeichnungen bei N. Mohan ......................... 4<br />
Drehmomentkonstante .................................... 4<br />
Drehzahl .......................................................... 3<br />
Flussverkettung ........................................... 3, 4<br />
Geometriekonstante ........................................ 4<br />
Gleichstrommaschine ...................................... 5<br />
A. Vezzini ................................................... 16<br />
Ankerkreis .................................................. 16<br />
Anschluss von Arbeitsmaschinen .............. 13<br />
Arbeitsmaschinen ...................................... 13<br />
Belastung von Arbeitsmaschinen ............... 13<br />
Beschleunigung ......................................... 21<br />
Bremsung .................................................. 23<br />
detailliertes Modell ..................................... 16<br />
Doppelschlusserregung ............................... 6<br />
Energiebetrachtung.................................... 25<br />
Erregungsarten ............................................ 6<br />
Feldkreis .................................................... 17<br />
Fremderregung ....................... 6, 7, 10, 16, 18<br />
Funktionsweise ............................................ 5<br />
Generator ................................................... 10<br />
H. Rohrer ................................................... 10<br />
Kennlinie ................................................ 7, 19<br />
Kreisbewegung ............................................ 9<br />
Leerlauf ................................................ 10, 14<br />
Mohan ........................................................ 18<br />
Motor .......................................................... 10<br />
N. Mohan ................................................... 18<br />
Nebenschlusserregung ............................ 6, 7<br />
Permanenterregung ................ 6, 7, 10, 16, 18<br />
Reihenschlusserregung ..................... 6, 8, 14<br />
Richtungsänderung .................................... 23<br />
Richtungsumkehr ....................................... 23<br />
Rohrer ........................................................ 10<br />
Stillstand .............................................. 10, 14<br />
Verbunderregung ......................................... 6<br />
vereinfachtes Modell ............................. 10, 18<br />
Vezzini ........................................................16<br />
Kreisfrequenz ...................................................3<br />
magnetische Flussverkettung ....................... 3, 4<br />
Maschinenkenngrössen ...................................5<br />
Maschinenkonstante ........................................4<br />
n 3<br />
n rpm ...................................................................3<br />
rpm ...................................................................3<br />
Spannungskonstante ........................................4<br />
Stellglieder .....................................................27<br />
Abwärtsregler ..............................................27<br />
Abwärtswandler ..........................................27<br />
Ansteuerung einer Gleichstrommaschine ...40<br />
Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation ..... 34,<br />
35, 38<br />
Aufwärtsregler .............................................30<br />
Aufwärtswandler .........................................30<br />
Boost Converter ..........................................30<br />
Buck Converter ...........................................27<br />
Dreiecksignal ..............................................33<br />
Effektivwert .................................................33<br />
Gleichstrommaschine .................................40<br />
Halbbrücke..................................................33<br />
Hochsetzsteller ...........................................30<br />
Mittelwert ....................................................33<br />
Pulsweitenmodulation ..................... 34, 35, 38<br />
PWM ............................................... 34, 35, 38<br />
Spannungen bei der Halbbrücke ................33<br />
Spannungen bei der Vollbrücke ..................36<br />
Step Down Converter .................................27<br />
Step Up Converter ......................................30<br />
Ströme bei der Halbbrücke .........................33<br />
Ströme bei der Vollbrücke ..........................37<br />
Tiefsetzsteller ..............................................27<br />
Vollbrücke ...................................................36<br />
Welligkeit ....................................................33<br />
Winkelgeschwindigkeit .....................................3<br />
ω 3<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 2
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
1 Grundlagen<br />
1.1 magnetische Flussverkettung<br />
: magnetische Flussverkettung Wb<br />
N : Windungszahl<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
N <br />
1.2 Umrechnungen<br />
1.2.1 Drehzahl und Kreisfrequenz<br />
n,<br />
<br />
n : Drehzahl (verwendet bei Berechnungen) s -1<br />
n<br />
rpm<br />
: Drehzahl (verwendet im Datenblatt) min -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz (verwendet bei Berechnungen) rad s -1<br />
Drehzahl<br />
n rpm<br />
min 1<br />
n <br />
60 s 2<br />
rad<br />
n<br />
rpm<br />
s 30<br />
s<br />
n60 <br />
min rad min<br />
Winkelgeschwindigkeit,<br />
Kreisfrequenz<br />
nrpm<br />
rad min<br />
2<br />
n rad <br />
30 s<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 3
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
1.2.2 Maschinenkonstante<br />
Maschinenkonstante, Geometriekonstante,<br />
c<br />
m<br />
:<br />
verwendet bei Berechnungen mit Winkelgeschwindigkeit ω<br />
rad -1<br />
Maschinenkonstante, Geometriekonstante,<br />
c<br />
u<br />
:<br />
verwendet bei Berechnungen mit Drehzahl n<br />
: magnetischer Fluss Wb = V s<br />
a,<br />
<br />
f magnetische Flussverkettung<br />
N m A -1 = V s oder<br />
N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
k , k Drehmomentkonstante<br />
m<br />
T<br />
k , k Spannungskonstante<br />
g<br />
z :<br />
p :<br />
i :<br />
E<br />
Anzahl der Ankerleiter<br />
Polpaarzahl<br />
Anzahl paralleler Ankerzweigpaare<br />
N m A -1 = V s oder<br />
N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
N m A -1 = V s oder<br />
N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
Hinweis<br />
Berechnung<br />
Bei Berechnungen mit der Winkelgeschwindigkeit ω werden die Maschinenkonstante,<br />
Geometriekonstante c m mit der Einheit rad -1 sowie die Grössen Ψ a , Ψ f , k m , k T , k g und k E mit den<br />
Einheiten N m A -1 rad -1 = V s rad -1 verwendet.<br />
Bei Berechnungen mit der Drehzahl n werden die Maschinenkonstante, Geometriekonstante c m mit<br />
der Einheit 1 sowie die Grössen Ψ a , Ψ f , k m , k T , k g und k E mit den Einheiten N m A -1 = V s verwendet.<br />
c<br />
m<br />
z<br />
p<br />
2 i<br />
c<br />
u<br />
z<br />
p<br />
<br />
i<br />
Umrechnung<br />
c<br />
u<br />
2<br />
c<br />
verwendet bei H. Rohrer<br />
m<br />
andere<br />
Bezeichnungen<br />
c <br />
a<br />
u<br />
c 2<br />
a<br />
m<br />
k k c <br />
m g u<br />
k k c 2<br />
m g m<br />
k k c <br />
T E u<br />
k k c 2<br />
T E m<br />
verwendet bei A. Vezzini<br />
verwendet bei J. Götte<br />
verwendet bei N. Mohan<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 4
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2 Gleichstrommaschine<br />
2.1 Maschinenkenngrössen<br />
Name Formelzeichen Einheit<br />
Maschinenkonstante,<br />
c<br />
Geometriekonstante<br />
m<br />
rad<br />
Maschinenkonstante,<br />
c<br />
Geometriekonstante<br />
u<br />
magnetische Flussverkettung , N m A -1 = V s<br />
Drehmomentkonstante ,<br />
Spannungskonstante ,<br />
m<br />
a<br />
T<br />
f<br />
k k N m A -1 = V s<br />
k k N m A -1 = V s<br />
Ankerwiderstand Rm , RA,<br />
R<br />
a<br />
Ω<br />
Ankerinduktivität Lm , LA,<br />
L<br />
a<br />
H<br />
Ankerträgheitsmoment Jem, Jm, J<br />
A, Tem , Tm , T<br />
A<br />
: kg m -2<br />
induzierte Spannung,<br />
Quellenspannung,<br />
innere Spannung<br />
2.2 Funktionsweise<br />
g<br />
E<br />
UI , ui , Uq, uq, Ea , ea<br />
, e V<br />
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<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.3 Erregungsarten<br />
Reihenschlusserregung (Reihenspeisung der Wicklungen)<br />
Schaltung Kennlinie Eigenschaften<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
hohes Anlaufmoment<br />
Drehzahl lastabhängig<br />
Drehzahlsteuerung durch Spannungsänderung<br />
oder Feldstromänderung<br />
nicht leerlauffest<br />
Nebenschlusserregung (Parallelspeisung der Wicklungen)<br />
Schaltung Kennlinie Eigenschaften<br />
<br />
<br />
geringfügige Drehzahländerung bei Laständerung<br />
Drehzahlsteuerung durch Spannungsänderung<br />
oder Feldstromänderung<br />
Doppelschlusserregung, Reihen- und Nebenschlusserregung, Verbunderregung<br />
Schaltung Kennlinie Eigenschaften<br />
<br />
je nach Compoundierung vorwiegend Reihenschlussoder<br />
Nebenschlussverhalten<br />
Fremderregung oder Permanenterregung (unabhängige Speisung der Wicklungen)<br />
Schaltung Kennlinie Eigenschaften<br />
geringfügige Drehzahländerung bei Laständerung<br />
Drehzahlsteuerung durch Spannungsänderung<br />
oder Feldstromänderung<br />
getrennte Änderung der Spannung von Ankerwicklung<br />
und Feldwicklung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 6
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.4 Kennlinien<br />
2.4.1 Nebenschlusserregung und Fremderregung sowie Permanenterregung<br />
M<br />
i<br />
: inneres Drehmoment N m<br />
M : Nenndrehmoment im Stillstand N m<br />
St,<br />
N<br />
Drehmoment<br />
n : Drehzahl der Welle s -1 Drehzahl<br />
n : Nennleerlaufdrehzahl der Welle s -1<br />
0,N<br />
R<br />
V<br />
: Reihenvorwiderstand Ω<br />
U : Ankerspannung, Klemmenspannung V<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
veränderliche Grössen<br />
Kennlinie<br />
Reihenvorwiderstand<br />
Ankerspannung,<br />
Klemmenspannung<br />
magnetischer Fluss<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 7
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.4.2 Reihenschlusserregung<br />
M<br />
i<br />
: inneres Drehmoment N m<br />
M : Nenndrehmoment in Stillstand N m<br />
St,<br />
N<br />
Drehmoment<br />
n : Drehzahl der Welle s -1 Drehzahl<br />
n : Bezugsdrehzahl der Welle s -1<br />
BN ,<br />
R<br />
V<br />
: Reihenvorwiderstand Ω<br />
U : Klemmenspannung V<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
veränderliche Grössen<br />
Kennlinie<br />
Reihenvorwiderstand<br />
Klemmenspannung<br />
magnetischer Fluss<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 8
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Aufbau<br />
2.5 Berechnung<br />
2.5.1 Kreisbewegung<br />
Blockschaltbild<br />
T<br />
em<br />
<br />
+<br />
<br />
T<br />
res 1<br />
res<br />
<br />
J<br />
<br />
, t<br />
, t<br />
0<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
: Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
, t<br />
: Winkel, Position rad<br />
gesamter Aufbau<br />
0<br />
: Startwinkel, Startposition rad<br />
T<br />
res<br />
: resultierendes Drehmoment N m<br />
J , J : resultierendes Trägheitsmoment kg m -2<br />
res<br />
eq<br />
E<br />
Rot<br />
: Rotationsenergie J<br />
T : Drehmoment N m<br />
em<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
em<br />
P : Rotationsleistung W<br />
em<br />
T : Drehmoment N m<br />
L<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
L<br />
T<br />
L<br />
P<br />
L<br />
: Rotationsleistung W<br />
t : Zeit s<br />
x : Integrationsvariable s<br />
Motor<br />
Last<br />
Andere<br />
Zusammenhänge<br />
Ein grosses resultierendes Drehmoment T res führt zu grossen Winkelbeschleunigungen α.<br />
Ein grosses resultierendes Trägheitsmoment J res führt zu kleinen Winkelbeschleunigungen α.<br />
Ein positives resultierendes Drehmoment T res führt zur Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit ω.<br />
Ein negatives resultierendes Drehmoment T res führt zur Absenkung der Winkelgeschwindigkeit ω.<br />
d T T T<br />
<br />
dt J J J<br />
em L res<br />
em L res<br />
Winkelbeschleunigung<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
Winkel, Position<br />
Leistung<br />
t 0 <br />
x dx<br />
<br />
t 0 <br />
x dx<br />
em<br />
<br />
P T <br />
em<br />
t<br />
t<br />
0<br />
0<br />
P T <br />
L<br />
L<br />
Rotationsenergie<br />
1<br />
2<br />
ERot<br />
Jres<br />
<br />
2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 9
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.2 vereinfachte Modelle, H. Rohrer<br />
2.5.2.1 Fremderregung oder Permanenterregung<br />
2.5.2.1.1 Betrieb als Motor und Generator<br />
prinzipieller Aufbau<br />
Schaltbild<br />
U<br />
A<br />
: Ankerspannung, Klemmenspannung V<br />
U , U : induzierte Spannung, Quellenspannung, innere Spannung V<br />
I<br />
q<br />
U<br />
B<br />
: Bürstenspannung V<br />
U , U : Erregerspannung V<br />
A<br />
E<br />
F<br />
I : Ankerstrom, Klemmenstrom A<br />
I : Ankerstrom, Klemmenstrom in Stillstand A<br />
A,<br />
St<br />
I , I : Erregerstrom A<br />
E<br />
i<br />
F<br />
M : inneres Drehmoment N m<br />
M : inneres Drehmoment im Stillstand N m<br />
i,<br />
St<br />
M<br />
R<br />
: Reibungsdrehmoment, Bremsdrehmoment N m<br />
M : zur Verfügung stehendes Drehmoment N m<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Drehmoment<br />
n<br />
0<br />
: Drehzahl der Welle im Leerlauf (kein Lastdrehmoment) s -1<br />
Drehzahl<br />
n : Drehzahl der Welle s -1<br />
n : Drehzahländerung der Welle bei Belastung s -1<br />
innere Leistung,<br />
P<br />
i<br />
: Rotationsleistung der Welle,<br />
W<br />
elektrische Leistung der Welle<br />
Leistungen<br />
P : Eingangsleistung W<br />
in<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
A<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
: Wirkungsgrad<br />
c<br />
u<br />
:<br />
Maschinenkonstante<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 10
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Eigenschaften<br />
variabel<br />
c<br />
u<br />
variabel<br />
const.<br />
c const.<br />
u<br />
Fremderregung<br />
Permanenterregung<br />
Klemmenspannung<br />
U U R I 2 U<br />
als Motor betrieben<br />
A I A A B<br />
U U R I 2 U<br />
als Generator betrieben<br />
A I A A B<br />
induzierte Spannung<br />
Drehmoment<br />
U c n<br />
I<br />
u<br />
cu<br />
Mi<br />
I<br />
2<br />
A<br />
M M M<br />
i<br />
R<br />
Drehzahl,<br />
Betrieb als Motor<br />
U<br />
A<br />
RA I<br />
A<br />
U<br />
B<br />
n <br />
c c c <br />
2<br />
<br />
c<br />
2<br />
u u u<br />
U<br />
A<br />
2 RA 2U<br />
B<br />
n Mi<br />
<br />
c <br />
c <br />
u<br />
u<br />
u<br />
U 2<br />
R 2U<br />
n M <br />
A A B<br />
0<br />
<br />
2 R<br />
cu<br />
c<br />
c<br />
u<br />
<br />
u<br />
<br />
UA<br />
2UB<br />
1<br />
n0<br />
U A<br />
2U<br />
c c c <br />
u u u<br />
B<br />
<br />
M 0<br />
M<br />
i<br />
M<br />
R<br />
M 0 M 0<br />
M 0<br />
i<br />
R<br />
n<br />
2<br />
RA<br />
c<br />
2<br />
u<br />
M<br />
i<br />
Drehzahl, Betrieb<br />
als Generator<br />
U<br />
A<br />
RA I<br />
A<br />
U<br />
B<br />
n <br />
c c c <br />
2<br />
<br />
c<br />
2<br />
u u u<br />
U<br />
A<br />
2 RA 2U<br />
B<br />
n Mi<br />
<br />
c <br />
c <br />
u<br />
u<br />
u<br />
U 2<br />
R 2U<br />
n M <br />
A A B<br />
0<br />
<br />
2 R<br />
cu<br />
c<br />
c<br />
u<br />
<br />
u<br />
<br />
UA<br />
2UB<br />
1<br />
n0<br />
U A<br />
2U<br />
c c c <br />
u u u<br />
B<br />
<br />
M 0<br />
M<br />
i<br />
M<br />
R<br />
M 0 M 0<br />
M 0<br />
i<br />
R<br />
n<br />
2<br />
RA<br />
c<br />
2<br />
u<br />
M<br />
i<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 11
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Leistungen<br />
P M <br />
n U I<br />
i i I A<br />
P U I U I U I R I U I<br />
2<br />
in A A E E I A A A E E<br />
Wirkungsgrad<br />
Leerlauf,<br />
Betrieb als Motor<br />
Stillstand,<br />
Betrieb als Motor<br />
Pi<br />
<br />
P<br />
in<br />
U U 2U c n 2 U I 0 M 0<br />
A I B u B<br />
M 0<br />
I 0 M 0<br />
i<br />
U R I 2 U<br />
U 0<br />
M<br />
A A A B<br />
i,<br />
St<br />
c U 2U<br />
<br />
2<br />
R<br />
u A B<br />
A<br />
A<br />
A<br />
I<br />
U 0<br />
I<br />
R<br />
R<br />
I<br />
A,<br />
St<br />
UA<br />
2UB<br />
UI<br />
0<br />
R<br />
A<br />
Mi<br />
I<br />
A<br />
n<br />
1<br />
M I n<br />
i, St A, St<br />
0<br />
Leerlauf, Betrieb<br />
als Generator<br />
U U 2U c n 2 U I 0 M 0<br />
A I B u B<br />
M 0<br />
I 0 M 0<br />
i<br />
A<br />
A<br />
R<br />
R<br />
Stillstand, Betrieb<br />
als Generator<br />
U<br />
M<br />
I<br />
A<br />
i,<br />
St<br />
A,<br />
St<br />
0<br />
0<br />
0<br />
U<br />
I<br />
0 I 0<br />
A<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 12
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.2.1.2 Anschluss von Arbeitsmaschinen<br />
lineare Abhängigkeit von der Drehzahl quadratische Abhängigkeit von der Drehzahl<br />
Kennlinien<br />
Hubantriebe<br />
Gebläse, Lüfter, Pumpen und Mühlen<br />
<br />
<br />
nMotor<br />
M<br />
i<br />
U<br />
A<br />
:<br />
Drehzahl-Drehmoment Kennlinie des<br />
Ankerspannung, Klemmenspannung<br />
s -1 V<br />
U<br />
B<br />
: Bürstenspannung V<br />
M<br />
i<br />
: inneres Drehmoment N m Motor<br />
n : Drehzahl der Welle s -1<br />
R<br />
A<br />
: Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
c :<br />
Maschinenkonstante<br />
u<br />
nLastQ<br />
M i : Kennlinie der Last, Arbeitsmaschine, s -1 Last, quadratisch<br />
k<br />
Q<br />
: Steigung der Kennlinie der Last, Arbeitsmaschine N m s -2<br />
<br />
<br />
nLastL<br />
M<br />
i<br />
: Kennlinie der Last, Arbeitsmaschine, s -1 Last, Linear<br />
k : Steigung der Kennlinie der Last, Arbeitsmaschine N m s -1<br />
L<br />
M : Drehzahl im Arbeitspunkt N m<br />
res<br />
res<br />
n : Drehzahl im Arbeitspunkt s -1<br />
Arbeitspunkt<br />
Motor<br />
Last, quadratisch<br />
U<br />
A<br />
2<br />
RA 2U<br />
B<br />
nMotor Mi Mi<br />
<br />
c <br />
c <br />
n<br />
LastQ<br />
u<br />
i<br />
M<br />
<br />
i<br />
M<br />
k<br />
Q<br />
c<br />
2<br />
u<br />
u<br />
k<br />
Q<br />
M<br />
<br />
n<br />
i<br />
2<br />
LastQ<br />
Last, linear<br />
n<br />
LastL<br />
i<br />
M<br />
<br />
i<br />
M<br />
k<br />
L<br />
k<br />
L<br />
M<br />
<br />
n<br />
i<br />
LastL<br />
Arbeitspunkt<br />
<br />
n n M n M<br />
res Motor res LastQ res<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 13
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.2.2 Reihenschlusserregung<br />
U : Klemmenspannung V<br />
U , U : induzierte Spannung, Quellenspannung, innere Spannung V<br />
I<br />
q<br />
U<br />
B<br />
: Bürstenspannung V<br />
M : inneres Drehmoment N m<br />
i<br />
M<br />
R<br />
: Reibungsdrehmoment, Bremsdrehmoment N m<br />
M : zur Verfügung stehendes Drehmoment N m<br />
Spannungen<br />
Drehmoment<br />
n : Drehzahl der Welle s -1 Drehzahl<br />
n : Drehzahl der Welle im Leerlauf (kein Lastdrehmoment) s -1<br />
0<br />
innere Leistung,<br />
P<br />
i<br />
: Rotationsleistung der Welle,<br />
W<br />
elektrische Leistung der Welle<br />
P<br />
in<br />
: Eingangsleistung W<br />
I : Klemmenstrom A<br />
R : Widerstand der Anker- und Erregerwicklung Ω<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
: Wirkungsgrad<br />
c<br />
u<br />
: Maschinenkonstante<br />
c : Maschinenkonstante für Reihenschlusserregung V s A -1<br />
R<br />
Leistungen<br />
Andere<br />
Maschinenkonstanten<br />
Eigenschaften<br />
Klemmenspannung<br />
induzierte Spannung<br />
magnetischer Fluss<br />
Drehmoment<br />
variabel<br />
U U R I 2<br />
U<br />
I<br />
I<br />
U c n<br />
c<br />
c<br />
u<br />
R<br />
<br />
u<br />
I<br />
cu<br />
cR<br />
M i<br />
I I<br />
2<br />
2<br />
<br />
B<br />
2<br />
M M M<br />
i<br />
R<br />
Drehzahl<br />
n <br />
U<br />
R<br />
<br />
c<br />
2<br />
cR<br />
Mi<br />
R<br />
n<br />
0<br />
<br />
U<br />
R<br />
<br />
c<br />
2<br />
cR<br />
MR<br />
R<br />
M 0<br />
M<br />
i<br />
M<br />
R<br />
n lim n <br />
0<br />
M i 0<br />
M 0 M 0<br />
M 0<br />
i<br />
R<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 14
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Leistungen<br />
P M <br />
n U I<br />
i i I<br />
P U I U I R<br />
I<br />
in<br />
I<br />
2<br />
Wirkungsgrad<br />
Leerlauf,<br />
Betrieb als Motor<br />
Stillstand,<br />
Betrieb als Motor<br />
Pi<br />
<br />
P<br />
in<br />
U UI 2UB cu n 2 UB<br />
I 0 M R<br />
0<br />
Mi<br />
0<br />
I 0 M R<br />
0<br />
U R I 2 UB<br />
U 0<br />
M<br />
M<br />
i<br />
i<br />
c U 2<br />
U<br />
<br />
2<br />
R<br />
u A B<br />
cR U A<br />
2U<br />
B <br />
<br />
2<br />
R <br />
2<br />
I<br />
U 0<br />
I<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc <strong>15</strong>
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.3 detailliertes Modell für Fremderregung oder Permanenterregung, A.<br />
Vezzini<br />
2.5.3.1 Ankerkreis<br />
ua<br />
t : Klemmenspannung V<br />
ui<br />
t : induzierte Spannung, Quellenspannung, innere Spannung V<br />
ub<br />
t : Bürstenspannung V<br />
ia<br />
t : Ankerstrom A<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
L : Ankerinduktivität, Induktivität der Ankerwicklung H<br />
a<br />
t<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
Mi<br />
t : inneres Drehmoment N m<br />
<br />
: Winkelgeschwindigkeit der Welle rad s-1<br />
m<br />
innere Leistung,<br />
Rotationsleistung der Welle,<br />
W<br />
elektrische Leistung der Welle<br />
p t : Eingangsleistung W<br />
pi<br />
t :<br />
in <br />
c : Maschinenkonstante rad -1<br />
m<br />
Klemmenspannung<br />
induzierte Spannung<br />
inneres Drehmoment<br />
Leistungen<br />
ua t ui t R d<br />
a<br />
ia t La ia t uB<br />
t<br />
dt<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
u t c t t<br />
i m m<br />
<br />
<br />
M t c i t t<br />
i m a<br />
<br />
<br />
p t t M t u t i t<br />
i m i i a<br />
2<br />
<br />
p t u t i t u t i t R i t<br />
in a a i a a a<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 16
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.3.2 Feldkreis<br />
ue<br />
t : Erregerspannung V<br />
ie<br />
t : Erregerstrom A<br />
pe<br />
t : Erregerleistung W<br />
t<br />
: magnetische Flussverkettung Wb<br />
t<br />
: magnetischer Fluss Wb<br />
R<br />
e<br />
: Erregerwiderstand, Widerstand der Erregerwicklung Ω<br />
L : Erregerinduktivität, Induktivität der Erregerwicklung H<br />
e<br />
N :<br />
e<br />
Windungszahl der Erregerwicklung<br />
Erregerspannung<br />
Flussverkettung<br />
Erregerleistung<br />
d<br />
d<br />
ue t Re ie t Ne t Re ie t Le ie<br />
t<br />
dt<br />
dt<br />
<br />
t N t L i t<br />
linearisierte Erregungskennlinie<br />
e e e<br />
2<br />
<br />
p t u t i t R i t<br />
e e e e e<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 17
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Aufbau<br />
2.5.4 vereinfachtes Modell für Fremderregung oder Permanenterregung, N.<br />
Mohan<br />
2.5.4.1 Ersatzschaltung, Modellierung<br />
Wicklungen<br />
Motor und Last<br />
elektrisches<br />
Ersatzschaltbild<br />
T<br />
em<br />
: inneres Drehmoment N m<br />
v : Ankerspannung, Klemmenspannung V<br />
a<br />
e : induzierte Spannung, Quellenspannung, innere Spannung V<br />
a<br />
a<br />
i : Ankerstrom, Klemmenstrom A<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
L : Ankerinduktivität, Induktivität der Ankerwicklung H<br />
a<br />
: Winkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
T<br />
m<br />
k : Drehmomentkonstante N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
k : Spannungskonstante N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
E<br />
Tem kT ia<br />
ea kE m<br />
k<br />
T<br />
k<br />
E<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 18
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.4.2 Kennlinie<br />
grosse Klemmenspannung<br />
kleine Klemmenspannung<br />
T<br />
em<br />
: inneres Drehmoment N m<br />
T : Nenndrehmoment N m<br />
n<br />
V : Ankerspannung, Klemmenspannung V<br />
a<br />
E : induzierte Spannung, Quellenspannung, innere Spannung V<br />
a<br />
a<br />
I : Ankerstrom, Klemmenstrom A<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
<br />
m<br />
: Winkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
Winkelgeschwindigkeit der Welle im Leerlauf,<br />
<br />
0<br />
:<br />
(Lastdrehmoment: T em = 0)<br />
rad s -1<br />
Winkelgeschwindigkeit der Welle bei Nennbelastung,<br />
<br />
n<br />
:<br />
(Lastdrehmoment: T em = T n )<br />
rad s -1<br />
Winkelgeschwindigkeitsänderung der Welle bei Belastung,<br />
m<br />
:<br />
(Lastdrehmoment: T em = beliebig)<br />
rad s -1<br />
k : Drehmomentkonstante N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
T<br />
k : Spannungskonstante N m A -1 rad -1 = V s rad -1<br />
E<br />
Zusammenhänge<br />
beliebige Belastung<br />
Ein grosser Ankerstrom I a führt zu einem grossen Drehmoment T em .<br />
Eine grosse Klemmenspannung V a führt zu einer grossen Winkelgeschwindigkeit ω m .<br />
I<br />
a<br />
T<br />
<br />
k<br />
em<br />
T<br />
Ea kE m<br />
V k <br />
R I<br />
Bürstenspannung vernachlässigt<br />
a E m a a<br />
Tem<br />
Va<br />
Ra<br />
<br />
Ea Va Ra Ia kT<br />
Va Ra<br />
m<br />
T<br />
k k k k k k<br />
<br />
m<br />
E E E E E T<br />
0<br />
m<br />
R R R<br />
<br />
T T T<br />
a a a<br />
m em 2 em 2 em<br />
kE kT kE kT<br />
em<br />
Bürstenspannung vernachlässigt<br />
Bürstenspannung vernachlässigt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 19
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Leerlauf<br />
Nennbelastung<br />
E<br />
V<br />
a a<br />
0<br />
k<br />
I<br />
E<br />
k<br />
0 a<br />
<br />
E<br />
V<br />
R<br />
a a<br />
n<br />
Tn<br />
kE kE kT<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 20
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.4.3 Beschleunigung<br />
Ankerstrom<br />
Winkelgeschwindigkeit der Welle<br />
induzierte Spannung<br />
Ankerspannung<br />
T<br />
res<br />
: resultierendes Drehmoment N m<br />
J , J : resultierendes Trägheitsmoment kg m -2<br />
res<br />
m<br />
t <br />
eq<br />
: Winkelgeschwindigkeit der Welle rad s-1<br />
<br />
m0<br />
: Anfangswinkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
: Endwinkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
m1<br />
t<br />
1<br />
: benötigte Zeit zum Beschleunigen von ω m0 auf ω m1 s<br />
t : Zeit s<br />
T : Drehmoment N m<br />
em<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
em<br />
a <br />
ea<br />
t :<br />
a <br />
v t : Ankerspannung, Klemmenspannung V<br />
induzierte Spannung, Quellenspannung,<br />
innere Spannung<br />
i t : Ankerstrom, Klemmenstrom A<br />
I<br />
a,max<br />
: maximaler Ankerstrom, Klemmenstrom, positiv A<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
k<br />
T<br />
:<br />
k<br />
E<br />
:<br />
Drehmomentkonstante<br />
Spannungskonstante<br />
V<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
T<br />
L<br />
: Drehmoment N m<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
L<br />
gesamter Aufbau<br />
Motor<br />
Last<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 21
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
resultierende<br />
Grössen<br />
T<br />
res<br />
T T k I T für 0 t t<br />
<br />
TL<br />
für t t1<br />
em L T a,max L<br />
1<br />
Jres Jem JL<br />
zeitabhängige<br />
Grössen<br />
i<br />
a<br />
t<br />
T T T<br />
I für 0 t t<br />
<br />
<br />
Tem<br />
TL<br />
für t t1<br />
kT<br />
kT<br />
em res L<br />
a,max 1<br />
kT<br />
kT<br />
<br />
m<br />
t<br />
<br />
T<br />
<br />
t für 0 t t<br />
<br />
<br />
m<br />
1<br />
für t t1<br />
a E m<br />
res<br />
0 1<br />
Jres<br />
<br />
e t k t<br />
<br />
<br />
v t e t R i t k t R i t<br />
a a a a E m a a<br />
Beschleunigungszeit<br />
J<br />
t1 m1 m0<br />
<br />
T<br />
res<br />
res<br />
J<br />
res<br />
t1 m<br />
1 m m0<br />
Tres<br />
0 0 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 22
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.4.4 Bremsung<br />
Ankerstrom<br />
Winkelgeschwindigkeit der Welle<br />
induzierte Spannung<br />
Ankerspannung<br />
T<br />
res<br />
: resultierendes Drehmoment N m<br />
J , J : resultierendes Trägheitsmoment kg m -2<br />
res<br />
m<br />
t <br />
eq<br />
: Winkelgeschwindigkeit der Welle rad s-1<br />
<br />
m0<br />
: Anfangswinkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
: Endwinkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
m1<br />
t<br />
1<br />
: benötigte Zeit zum Bremsen von ω m0 auf ω m1 s<br />
t : Zeit s<br />
T : Drehmoment N m<br />
em<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
em<br />
a <br />
ea<br />
t :<br />
a <br />
v t : Ankerspannung, Klemmenspannung V<br />
induzierte Spannung, Quellenspannung,<br />
innere Spannung<br />
i t : Ankerstrom, Klemmenstrom A<br />
I<br />
a,max<br />
: maximaler Ankerstrom, Klemmenstrom, negativ A<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
k<br />
T<br />
:<br />
k<br />
E<br />
:<br />
Drehmomentkonstante<br />
Spannungskonstante<br />
V<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
T<br />
L<br />
: Drehmoment N m<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
L<br />
gesamter Aufbau<br />
Motor<br />
Last<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 23
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
resultierende<br />
Grössen<br />
T<br />
res<br />
T T k I T für 0 t t<br />
<br />
TL<br />
für t t1<br />
em L T a,max L<br />
1<br />
Jres Jem JL<br />
zeitabhängige<br />
Grössen<br />
i<br />
a<br />
t<br />
T T T<br />
I für 0 t t<br />
<br />
<br />
Tem<br />
TL<br />
für t t1<br />
kT<br />
kT<br />
em res L<br />
a,max 1<br />
kT<br />
kT<br />
<br />
m<br />
t<br />
<br />
T<br />
<br />
t für 0 t t<br />
<br />
<br />
m<br />
1<br />
für t t1<br />
a E m<br />
res<br />
0 1<br />
Jres<br />
<br />
e t k t<br />
<br />
<br />
v t e t R i t k t R i t<br />
a a a a E m a a<br />
Bremszeit<br />
J<br />
t1 m1 m0<br />
<br />
T<br />
res<br />
res<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 24
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.4.5 Energiebetrachtung<br />
zurückgewonnene Energie beim Bremsen<br />
aufgewendete Energie beim Beschleunigen<br />
J<br />
Energiedifferenz nach<br />
Winkelgeschwindigkeitsänderung<br />
J<br />
E : verbrauchte Energie durch Ankerwiderstand J<br />
E tot<br />
:<br />
E Rot<br />
:<br />
el<br />
T : resultierendes Drehmoment N m<br />
res<br />
J , J : resultierendes Trägheitsmoment kg m -2<br />
res<br />
eq<br />
<br />
m0<br />
: Anfangswinkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
<br />
m1<br />
: Endwinkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
t : Dauer des Brems- oder Beschleunigungsvorgangs s<br />
T : Drehmoment N m<br />
em<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
em<br />
I : Ankerstrom, Klemmenstrom A<br />
a<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
k<br />
T<br />
:<br />
Drehmomentkonstante<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
T<br />
L<br />
: Drehmoment N m<br />
J : Trägheitsmoment kg m -2<br />
L<br />
Energien<br />
gesamter Aufbau<br />
Motor<br />
Last<br />
allgemein<br />
Tem kT Ia<br />
Jres Jem JL<br />
J<br />
t<br />
m1 m0<br />
<br />
T<br />
res<br />
res<br />
E R I t<br />
2<br />
el a a<br />
1<br />
E J <br />
2<br />
2 2<br />
Rot res m1 m0<br />
<br />
Bremsen<br />
Tres Tem TL<br />
T 0<br />
em<br />
Etot Erot Eel<br />
0<br />
E Rot<br />
Beschleunigen<br />
Tres Tem TL<br />
T 0<br />
em<br />
Etot Erot Eel<br />
0<br />
E Rot<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 25
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
► Beispiel<br />
beim Bremsen<br />
Eine Gleichstrommaschine mit dem Ankerwiderstand R a = 0.35 Ω, dem Trägheitsmoment J em = 0.02 kg<br />
m 2 und der Drehmomentkonstante k T = 0.5 N m A -1 wird von der Anfangswinkelgeschwindigkeit ω m0 =<br />
<strong>15</strong>7.08 rad s -1 auf die Endwinkelgeschwindigkeit ω m1 = 78.54 rad s -1 bei einem Ankerstrom von I a = -10 A<br />
gebremst. Die Last besitzt dabei ein Trägheitsmoment von J L = 0.04 kg m 2 und ein Lastdrehmoment T L =<br />
2 N m.<br />
Wie gross die zurückgewonnene Energie?<br />
Resultierende Grössen:<br />
J J J 0.02 kg m 0.04 kg m 0.06 kg m<br />
res em L<br />
res em L T a L<br />
2 2 2<br />
T T T k I T<br />
<br />
<br />
-1<br />
0.5 N m A 10 A 2 N m 3 N m<br />
Dauer des Bremsvorganges:<br />
2<br />
Jres<br />
1 1<br />
0.06 kg m<br />
t<br />
m1 m0 78.54 rad s <strong>15</strong>7.08 rad s 1.571 s<br />
T<br />
3 N m<br />
res<br />
Zurückgewonnene Energie aus der Rotationsbewegung:<br />
1 2 2 1 2 1 1<br />
1 0 0.06 kg m 78.54 rad s<br />
<strong>15</strong>7.08 rad s<br />
<br />
ERot Jres m m<br />
555 J<br />
2 2<br />
Verbrauchte Energie durch Ankerwiderstand:<br />
2<br />
el a a<br />
2<br />
E R I t<br />
0.35 10 A 1.571 s 55 J<br />
Zurückgewonnene Energie:<br />
E E E 555 J 55 J 500 J<br />
tot rot el<br />
<br />
► Beispiel<br />
beim Beschleunigen<br />
Eine Gleichstrommaschine mit dem Ankerwiderstand R a = 0.35 Ω, dem Trägheitsmoment J em = 0.02 kg<br />
m 2 und der Drehmomentkonstante k T = 0.5 N m A -1 wird von der Anfangswinkelgeschwindigkeit ω m0 =<br />
78.54 rad s -1 auf die Endwinkelgeschwindigkeit ω m1 = <strong>15</strong>7.08 rad s -1 bei einem Ankerstrom von I a = 10 A<br />
beschleunigt. Die Last besitzt dabei ein Trägheitsmoment von J L = 0.04 kg m 2 und ein Lastdrehmoment<br />
T L = 2 N m.<br />
Wie gross die aufzuwendende Energie?<br />
Resultierende Grössen:<br />
J J J 0.02 kg m 0.04 kg m 0.06 kg m<br />
res em L<br />
res em L T a L<br />
2 2 2<br />
T T T k I T<br />
<br />
-1<br />
0.5 N m A 10 A 2 N m 3 N m<br />
Dauer des Beschleunigungsvorgangs:<br />
2<br />
Jres<br />
1 1<br />
0.06 kg m<br />
t<br />
m1 m0 <strong>15</strong>7.08 rad s 78.54 rad s 1.571 s<br />
T<br />
3 N m<br />
res<br />
Aufgewendete Energie für die Rotationsbewegung:<br />
1 2 2 1 2 1 1<br />
1 0 0.06 kg m <strong>15</strong>7.08 rad s<br />
78.54 rad s<br />
<br />
ERot Jres m m<br />
555 J<br />
2 2<br />
Verbrauchte Energie durch Ankerwiderstand:<br />
2<br />
el a a<br />
2<br />
E R I t<br />
0.35 10 A 1.571 s 55 J<br />
Aufgewendete Energie:<br />
E E E 555 J 55 J 610 J<br />
tot rot el<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 26
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3 Stellglieder für Gleichstrommaschinen<br />
3.1 Buck Converter, Step Down Converter, Abwärtsregler, Abwärtswandler,<br />
Tiefsetzsteller<br />
Schaltung<br />
Signalverläufe<br />
Ansteuerung<br />
Steuersignal q = 1 Steuersignal q = 0<br />
diskontinuierlicher<br />
Betrieb, DCM<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 27
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
V<br />
in<br />
: Eingangsspannung V<br />
V : mittlere Ausgangsspannung V<br />
o<br />
V : mittlere Diodenspannung V<br />
A<br />
I : mittlerer Eingangsstrom A<br />
in<br />
I : kritischer mittlerer Eingangsstrom A<br />
in,<br />
crit<br />
I : mittlerer Ausgangstrom A<br />
o<br />
I : kritischer mittlerer Ausgangsstrom A<br />
o,<br />
crit<br />
I : mittlerer Spulenstrom A<br />
L<br />
I : kritischer mittlerer Spulenstrom A<br />
L,<br />
crit<br />
iL<br />
t : Spulenstrom A<br />
i t : Welligkeit des Spulenstroms A<br />
L,<br />
ripple<br />
i L<br />
: maximale Welligkeit des Spulenstroms A<br />
C<br />
<br />
i t : Kondensatorstrom A<br />
P<br />
in<br />
: mittlere Eingangsleistung W<br />
P : mittlere Ausgangsleistung W<br />
o<br />
P : kritische mittlere Ausgangsleistung W<br />
o,<br />
crit<br />
L : Induktivität H<br />
L<br />
crit<br />
: kritische Induktivität H<br />
R . Lastwiderstand Ω<br />
R<br />
crit<br />
: kritischer Lastwiderstand Ω<br />
D : Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
q : Steuersignal<br />
T<br />
s<br />
: Periodendauer s<br />
f<br />
s<br />
: Schaltfrequenz Hz<br />
t : Zeit s<br />
diskontinuierlicher Betrieb,<br />
DCM :<br />
i L (t) wird zu bestimmten Zeitpunkten negativ<br />
kontinuierlicher Betrieb,<br />
CCM :<br />
i L (t) zu allen Zeitpunkten positiv<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Leistungen<br />
Bauelemente<br />
Ansteuerung<br />
Andere<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Vo VA D Vin<br />
Vo Vin<br />
<br />
L L L,<br />
ripple<br />
<br />
i t I i t<br />
C<br />
<br />
L,<br />
ripple<br />
<br />
i t i t<br />
1 1<br />
i L Vin Vo D Ts Vo 1<br />
D<br />
Ts<br />
L<br />
L<br />
<br />
I<br />
V<br />
R<br />
o<br />
L<br />
I <br />
o<br />
Fläche A<br />
Po<br />
V<br />
o<br />
Fläche B<br />
Iin D IL D<br />
Io<br />
Leistungen<br />
P V I<br />
in in in<br />
P V I<br />
P<br />
o o o<br />
in<br />
P<br />
o<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 28
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
kritischer Fall<br />
Spulenstrom<br />
Betriebsarten<br />
i<br />
V<br />
I I D D<br />
L in<br />
L, crit o, crit<br />
1<br />
2 2L<br />
fs<br />
V V<br />
P D D<br />
in o<br />
o, crit<br />
1<br />
2L<br />
fs<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
V<br />
I D D<br />
in 2<br />
in, crit<br />
1<br />
2L<br />
fs<br />
Vin<br />
Vo<br />
Lcrit<br />
D 1<br />
D<br />
2P<br />
f<br />
o<br />
s<br />
<br />
<br />
<br />
R<br />
crit<br />
2L<br />
f<br />
<br />
1<br />
D<br />
<br />
s<br />
<br />
DCM kritischer Fall CCM<br />
IL IL, crit<br />
Iin Iin,<br />
crit<br />
IL IL, crit<br />
Iin Iin,<br />
crit<br />
I I ,<br />
I I<br />
,<br />
I<br />
L L crit in in crit<br />
o<br />
Io,<br />
crit<br />
Io<br />
Io,<br />
crit<br />
Io<br />
Io,<br />
crit<br />
o<br />
Po , crit<br />
Po<br />
Po , crit<br />
Po<br />
Po , crit<br />
L Lcrit<br />
L<br />
Lcrit<br />
R Rcrit<br />
R<br />
Rcrit<br />
P<br />
L L crit<br />
R R crit<br />
► Beispiel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 29
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.2 Boost Converter, Step Up Converter, Aufwärtsregler, Aufwärtswandler,<br />
Hochsetzsteller<br />
Schaltung<br />
Signalverläufe<br />
Ansteuerung<br />
Steuersignal q = 1 Steuersignal q = 0<br />
diskontinuierlicher<br />
Betrieb DCM<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 30
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
V<br />
in<br />
: Eingangsspannung V<br />
V : mittlere Ausgangsspannung V<br />
o<br />
V : mittlere Schalterspannung V<br />
A<br />
I : mittlerer Eingangsstrom A<br />
in<br />
I : kritischer mittlerer Eingangsstrom A<br />
in,<br />
crit<br />
I : mittlerer Ausgangstrom A<br />
o<br />
I : kritischer mittlerer Ausgangsstrom A<br />
o,<br />
crit<br />
I : mittlerer Spulenstrom A<br />
L<br />
I : kritischer mittlerer Spulenstrom A<br />
L,<br />
crit<br />
iL<br />
t : Spulenstrom A<br />
i t : Welligkeit des Spulenstroms A<br />
L,<br />
ripple<br />
i L<br />
: maximale Welligkeit des Spulenstroms A<br />
C<br />
<br />
i t : Kondensatorstrom A<br />
I : mittlerer Diodenstrom A<br />
diode<br />
diode <br />
i t : Diodenstrom A<br />
diode,<br />
ripple<br />
<br />
i t : Welligkeit des Diodenstroms A<br />
P<br />
in<br />
: mittlere Eingangsleistung W<br />
P : mittlere Ausgangsleistung W<br />
o<br />
P : kritische mittlere Ausgangsleistung W<br />
o,<br />
crit<br />
L : Induktivität H<br />
L<br />
crit<br />
: kritische Induktivität H<br />
R . Lastwiderstand Ω<br />
R<br />
crit<br />
: kritischer Lastwiderstand Ω<br />
D :<br />
Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
q :<br />
Steuersignal<br />
T<br />
s<br />
: Periodendauer s<br />
f<br />
s<br />
: Schaltfrequenz Hz<br />
t : Zeit s<br />
diskontinuierlicher Betrieb,<br />
DCM :<br />
i L (t) wird zu bestimmten Zeitpunkten negativ<br />
kontinuierlicher Betrieb,<br />
CCM :<br />
i L (t) zu allen Zeitpunkten positiv<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Leistungen<br />
Bauelemente<br />
Ansteuerung<br />
Andere<br />
Spannungen<br />
V<br />
V<br />
o<br />
in<br />
1<br />
V V<br />
1 D<br />
o in<br />
Ströme<br />
<br />
L L L,<br />
ripple<br />
<br />
i t I i t<br />
<br />
i t i t i t I i t I<br />
C diode,<br />
ripple diode diode diode o<br />
1 1<br />
i V D T V V 1<br />
D<br />
T<br />
L<br />
L<br />
<br />
I<br />
L in s o in s<br />
V<br />
R<br />
o<br />
<br />
o<br />
Po<br />
V<br />
o<br />
Fläche A Fläche B<br />
Vo Io 1 Vo<br />
I L<br />
I in<br />
Io<br />
V 1D 1D R<br />
in<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 31
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Leistungen<br />
P V I<br />
in in in<br />
P V I<br />
P<br />
o o o<br />
in<br />
P<br />
o<br />
kritischer Fall<br />
Spulenstrom<br />
Betriebsarten<br />
iL<br />
Vin<br />
IL, crit<br />
Iin,<br />
crit<br />
D<br />
2 2L<br />
f<br />
s<br />
V<br />
V<br />
I D D D<br />
2<br />
in<br />
in<br />
o, crit<br />
1<br />
2Vo L fs 2 L fs<br />
<br />
P<br />
o,<br />
crit<br />
2<br />
Vin<br />
<br />
2L<br />
f<br />
s<br />
D<br />
L<br />
crit<br />
2<br />
Vin<br />
<br />
2P<br />
f<br />
o<br />
s<br />
D<br />
R<br />
crit<br />
2L<br />
fs<br />
<br />
D<br />
1D 2<br />
DCM kritischer Fall CCM<br />
I I I I I I ,<br />
I I<br />
,<br />
I I ,<br />
I I<br />
,<br />
I<br />
L L, crit in in,<br />
crit L L crit in in crit L L crit in in crit<br />
o<br />
Io,<br />
crit<br />
Io<br />
Io,<br />
crit<br />
Io<br />
Io,<br />
crit<br />
o<br />
Po , crit<br />
Po<br />
Po , crit<br />
Po<br />
Po , crit<br />
L Lcrit<br />
L<br />
Lcrit<br />
R Rcrit<br />
R<br />
Rcrit<br />
P<br />
L L crit<br />
R R crit<br />
► Beispiel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 32
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.3 Effektivwert eines Dreiecksignals<br />
I<br />
rms<br />
: Effektivwert A<br />
I : Mittelwert A<br />
I : Welligkeit A<br />
1<br />
Irms<br />
I I<br />
12<br />
2 2<br />
3.4 Halbbrücke<br />
3.4.1 Spannungen und Ströme<br />
v<br />
aN<br />
: mittlere Ausgangsspannung V<br />
V : Speisespannung V<br />
d<br />
i : mittlerer Eingangsstrom A<br />
da<br />
i : mittlerer Ausgangsstrom A<br />
a<br />
d :<br />
a<br />
q<br />
a<br />
:<br />
Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
Steuersignal des Schalters,<br />
bei q a = 1: Schalter verbunden zu V d ,<br />
bei q a = 0: Schalter verbunden zu N<br />
Ausgangsspannung<br />
Eingangsstrom<br />
vaN da Vd<br />
ida da ia<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 33
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.2 Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation, PWM, v<br />
Vˆ<br />
Aufbau<br />
Signalverläufe<br />
0<br />
tri tri<br />
d<br />
a<br />
:<br />
Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
Steuersignal des Schalters,<br />
q<br />
a<br />
: bei q a = 1: Schalter verbunden zu V d ,<br />
bei q a = 0: Schalter verbunden zu N<br />
v : Steuerspannung V<br />
cntrl , a<br />
v<br />
tri<br />
: Dreiecksignal V<br />
V<br />
ˆtri<br />
: Amplitude des Dreiecksignals V<br />
v<br />
aN<br />
: mittlere Ausgangsspannung V<br />
V : Speisespannung der Halbbrücke V<br />
d<br />
T : Periodendauer s<br />
s<br />
f<br />
s<br />
: Schaltfrequenz Hz<br />
N : Bezugspunkt, Masse<br />
Ansteuerung<br />
Spannungen<br />
Andere<br />
Tastgrad<br />
Steuerspannung<br />
mittlere<br />
Ausgangsspannung<br />
d<br />
v<br />
aN<br />
a<br />
0d 1<br />
V<br />
a<br />
<br />
d<br />
v d Vˆ<br />
cntrl , a a tri<br />
V<br />
v d V v<br />
aN A d cntrl , a<br />
Vˆd<br />
tri<br />
Steuersignal<br />
q<br />
a<br />
1 wenn<br />
<br />
0 wenn<br />
v<br />
v<br />
cntrl , a<br />
cntrl , a<br />
v<br />
v<br />
tri<br />
tri<br />
Periodendauer<br />
T<br />
s<br />
<br />
1<br />
f<br />
s<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 34
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.3 Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation, PWM, Vˆ v Vˆ<br />
Aufbau<br />
Signalverläufe<br />
tri tri tri<br />
d<br />
A<br />
:<br />
Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
Steuersignal des Schalters,<br />
q<br />
A<br />
: bei q A = 1: Schalter verbunden zu V d ,<br />
bei q A = 0: Schalter verbunden zu N<br />
v : Steuerspannung V<br />
cA ,<br />
v<br />
tri<br />
: Dreiecksignal V<br />
V<br />
ˆtri<br />
: Amplitude des Dreiecksignals V<br />
v<br />
AN<br />
: mittlere Ausgangsspannung V<br />
V : Speisespannung der Halbbrücke V<br />
d<br />
k : Spannungsverstärkung der Halbbrücke<br />
pole<br />
T<br />
s<br />
: Periodendauer s<br />
f<br />
s<br />
: Schaltfrequenz Hz<br />
N : Bezugspunkt, Masse<br />
Ansteuerung<br />
Steuerspannungen<br />
Spannungen<br />
Andere<br />
Tastgrad<br />
Steuerspannung<br />
mittlere<br />
Ausgangsspannung<br />
d<br />
1 1<br />
v<br />
cA ,<br />
A<br />
0d 1<br />
2 2 Vˆ<br />
A<br />
<br />
tri<br />
<br />
v 2 d 1<br />
Vˆ<br />
c,<br />
A A tri<br />
<br />
V<br />
v d V 0.5V 0.5 v ˆ<br />
d<br />
AN A d d c,<br />
A<br />
V<br />
DC Anteil<br />
tri<br />
k pole<br />
Spannungsverstärkung<br />
k<br />
pole<br />
V<br />
0.5<br />
V ˆd<br />
tri<br />
Steuersignal<br />
q<br />
A<br />
1 wenn<br />
<br />
0 wenn<br />
v<br />
v<br />
c,<br />
A<br />
c,<br />
A<br />
v<br />
v<br />
tri<br />
tri<br />
Periodendauer<br />
T<br />
s<br />
<br />
1<br />
f<br />
s<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 35
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.5 Vollbrücke<br />
3.5.1 Spannungen<br />
v<br />
o<br />
: mittlere Ausgangsspannung V<br />
v : mittlere Ausgangsspannung der Halbbrücke a zu N V<br />
aN<br />
v : mittlere Ausgangsspannung der Halbbrücke b zu N V<br />
bN<br />
v : mittlere Ausgangsspannung der Halbbrücke a zu n V<br />
an<br />
v : mittlere Ausgangsspannung der Halbbrücke b zu n V<br />
bn<br />
v : mittlerer Spannungsoffset V<br />
com<br />
V<br />
d<br />
: Speisespannung der Vollbrücke V<br />
N : Bezugspunkt, Masse<br />
n : virtueller Bezugspunkt<br />
Spannungen<br />
Bezugspunkte<br />
allgemein<br />
vo vaN vbN<br />
Vd<br />
vcom<br />
<br />
2<br />
bezogen zu n<br />
vo<br />
van<br />
<br />
2<br />
vo<br />
vbn<br />
<br />
2<br />
bezogen zu N<br />
Vd<br />
vo<br />
vaN<br />
<br />
2 2<br />
Vd<br />
vo<br />
vbN<br />
<br />
2 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 36
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.5.2 Ströme<br />
i<br />
d<br />
: mittlerer Eingangsstrom A<br />
<br />
i , i t : mittlerer Ausgangsstrom A<br />
o<br />
o<br />
i<br />
da<br />
: mittlerer Eingangsstrom A<br />
<br />
i , i t : mittlerer Ausgangsstrom A<br />
a<br />
a<br />
d<br />
a<br />
: Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
i : mittlerer Eingangsstrom A<br />
db<br />
<br />
i , i t : mittlerer Ausgangsstrom A<br />
b<br />
b<br />
Vollbrücke<br />
Halbbrücke a<br />
Halbbrücke b<br />
d<br />
b<br />
: Tastgrad, duty cycle, duty factor<br />
t : Zeit s Andere<br />
Halbbrücken<br />
Vollbrücke<br />
Ausgangsstrom<br />
i d i<br />
da a a<br />
i d i<br />
db b b<br />
id ida idb da ia db ib<br />
<br />
i t i t i t<br />
a b o<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 37
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.5.3 Ansteuerung mit Pulsweitenmodulation, PWM<br />
Aufbau<br />
Signalverläufe<br />
v<br />
cntrl , a<br />
: Steuerspannung für die Halbbrücke a V<br />
v<br />
cntrl , b<br />
: Steuerspannung für die Halbbrücke b V<br />
v , v : Steuerspannung V<br />
cntrl<br />
c,<br />
A<br />
v<br />
tri<br />
: Dreiecksignal V<br />
V<br />
ˆtri<br />
: Amplitude des Dreiecksignals V<br />
v<br />
o<br />
: mittlere Ausgangsspannung V<br />
v : mittlere Ausgangsspannung der Halbbrücke a V<br />
aN<br />
v : mittlere Ausgangsspannung der Halbbrücke b V<br />
bN<br />
V : Speisespannung der Vollbrücke V<br />
d<br />
k : Spannungsverstärkung der Vollbrücke<br />
pwm<br />
i<br />
d<br />
: mittlerer Eingangsstrom A<br />
i : mittlerer Ausgangsstrom A<br />
o<br />
d :<br />
a<br />
Tastgrad, duty cycle, duty factor der Halbbrücke a<br />
d<br />
b<br />
: Tastgrad, duty cycle, duty factor der Halbbrücke b<br />
d : Tastgrad der Vollbrücke<br />
T : Periodendauer s<br />
s<br />
f<br />
s<br />
: Schaltfrequenz Hz<br />
N : Bezugspunkt, Masse<br />
Steuerspannungen<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Tastgrade<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 38
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Steuerspannungen<br />
v<br />
cntrl , a<br />
Vˆ<br />
Vˆ<br />
v<br />
<br />
2 2 V<br />
tri tri o<br />
d<br />
v<br />
cntrl , b<br />
Vˆ<br />
Vˆ<br />
v<br />
<br />
2 2 V<br />
v Vˆ<br />
v<br />
<br />
2 2 V<br />
cntrl tri o<br />
tri tri o<br />
d<br />
d<br />
v<br />
V<br />
o<br />
d<br />
v<br />
<br />
Vˆ<br />
cntrl<br />
tri<br />
Tastgrade<br />
d<br />
a<br />
vaN 1 1 vo 1 1 vcntrl<br />
0d 1<br />
V 2 2 V 2 2 Vˆ<br />
a<br />
<br />
d d tri<br />
d<br />
d<br />
d<br />
b<br />
a<br />
a<br />
vbN 1 1 vo 1 1 vcntrl<br />
0d 1<br />
V 2 2 V 2 2 Vˆ<br />
b<br />
<br />
d<br />
b<br />
d d tri<br />
1<br />
vo<br />
v<br />
db<br />
<br />
V Vˆ<br />
d d d<br />
a<br />
b<br />
d<br />
cntrl<br />
tri<br />
Spannungen<br />
1 1 v<br />
vaN da Vd Vd<br />
<br />
<br />
2 2 Vˆ<br />
<br />
cntrl<br />
tri<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 v<br />
vbN db Vd Vd<br />
<br />
<br />
2 2 Vˆ<br />
<br />
<br />
v d d V<br />
<br />
o a b d<br />
Vd<br />
v v v v<br />
Vˆ<br />
o aN bN cntrl<br />
tri<br />
k pwm<br />
cntrl<br />
tri<br />
<br />
<br />
<br />
k<br />
pwm<br />
V<br />
<br />
V<br />
ˆd<br />
tri<br />
Ströme<br />
<br />
<br />
i d d i<br />
d a b o<br />
i<br />
d<br />
vo<br />
vcntrl<br />
i<br />
V<br />
Vˆ<br />
<br />
d<br />
tri<br />
o<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 39
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Aufbau<br />
3.5.4 Ansteuerung einer Gleichstrommaschine<br />
Überlagerung<br />
V<br />
d<br />
: Speisespannung der Vollbrücke V<br />
v : Ausgangsspannung V<br />
o<br />
v : mittlere Ausgangsspannung V<br />
o<br />
v : Welligkeit der Ausgangsspannung V<br />
o,<br />
ripple<br />
i<br />
d<br />
: mittlerer Eingangsstrom A<br />
i : Ausgangsstrom A<br />
o<br />
i : mittlerer Ausgangsstrom A<br />
o<br />
i : Effektivwert des Ausgangsstroms A<br />
o,<br />
RMS<br />
i : Welligkeit des Ausgangsstroms A<br />
o,<br />
ripple<br />
: maximale Welligkeit des Ausgangsstroms A<br />
I<br />
p p<br />
P<br />
d<br />
: mittlere Eingangsleistung W<br />
P : mittlere Ausgangsleistung W<br />
o<br />
d :<br />
a<br />
Tastgrad, duty cycle, duty factor der Halbbrücke A<br />
d<br />
b<br />
: Tastgrad, duty cycle, duty factor der Halbbrücke B<br />
d : Tastgrad der Vollbrücke<br />
induzierte Spannung, Quellenspannung,<br />
e<br />
a<br />
:<br />
innere Spannung<br />
V<br />
R : Ankerwiderstand, Widerstand der Ankerwicklung Ω<br />
a<br />
L : Ankerinduktivität, Induktivität der Ankerwicklung H<br />
a<br />
: Winkelgeschwindigkeit der Welle rad s -1<br />
m<br />
k<br />
T<br />
:<br />
k<br />
E<br />
:<br />
Drehmomentkonstante<br />
Spannungskonstante<br />
T<br />
s<br />
: Periodendauer s<br />
f : Schaltfrequenz Hz<br />
s<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
N m A -1 rad -1<br />
= V s rad -1<br />
Spannungen<br />
Ströme<br />
Leistungen<br />
Tastgrade<br />
Motor<br />
Andere<br />
Tastgrade<br />
d d d<br />
a<br />
b<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> <strong>15</strong> <strong>Mechatronik</strong>.doc 40
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Mechatronik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Ausgangsspannung<br />
v v v<br />
o o o,<br />
ripple<br />
v v v V v<br />
o,<br />
ripple o o d o<br />
v e R i<br />
o a a o<br />
v k <br />
R i<br />
o E m a o<br />
d<br />
vo,<br />
ripple<br />
La io La<br />
<br />
dt<br />
<br />
d<br />
a<br />
I<br />
d<br />
p<br />
p<br />
b<br />
<br />
Ts<br />
<br />
2<br />
Ausgangsstrom<br />
i i i<br />
o o o,<br />
ripple<br />
T<br />
io<br />
<br />
k<br />
em<br />
T<br />
1<br />
Ts<br />
I v d d <br />
2<br />
p<br />
p o,<br />
ripple a b<br />
La<br />
Leistungen<br />
P V i<br />
d d d<br />
P v i<br />
P<br />
o o o<br />
d<br />
P<br />
o<br />
1<br />
P R i R <br />
i i<br />
12<br />
2 2 2<br />
o a o, RMS a o o,<br />
ripple<br />
<br />
<br />
<br />
► Beispiel<br />
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