Komplexe halbeinfache Lie-Algebren
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<strong>Komplexe</strong> <strong>halbeinfache</strong> <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong><br />
Dipl.-Inform. Wolfgang Globke<br />
Institut für Algebra und Geometrie<br />
Arbeitsgruppe Differentialgeometrie<br />
Karlsruher Institut für Technologie<br />
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Levi-Zerlegung<br />
Es sei g eine komplexe <strong>Lie</strong>-Algebra und dim g < ∞.<br />
Dann gilt<br />
g = s ⊕ r,<br />
wobei<br />
s halbeinfach ist,<br />
d.h. die Killing-Form von s ist nicht ausgeartet,<br />
r auflösbar ist,<br />
d.h. die Killing-Form ist ausgeartet mit Radikal [r, r].<br />
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Auflösbar vs. halbeinfach<br />
Unterschiedliches Verhalten von auflösbaren und <strong>halbeinfache</strong>n<br />
<strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong>:<br />
g auflösbar:<br />
g halbeinfach:<br />
g ⊃ [g, g] ⊃ [[g, g], [g, g]] ⊃ . . . ⊃ {0}.<br />
g = [g, g] = [g, [g, g]] = . . .<br />
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Beispiele<br />
Auflösbar:<br />
Abelsche <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong>, insbesondere <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong> von<br />
Diagonalmatrizen.<br />
Die Heisenberg-Algebra.<br />
<strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong> von oberen Dreiecksmatrizen.<br />
Halbeinfach:<br />
Die klassischen <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong> sl n (C), so n (C), sp n (C).<br />
Weder noch:<br />
gl n (C) hat die Levi-Zerlegung<br />
gl n (C) = sl n (C) ⊕ C.<br />
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Charakterisierung <strong>halbeinfache</strong>r <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong><br />
Ein Ideal h in g ist eine Unteralgebra, die<br />
erfüllt.<br />
[g, h] ⊆ h<br />
Eine <strong>Lie</strong>-Algebra g heißt einfach, wenn sie keine Ideale (außer<br />
{0} und g selbst) besitzt.<br />
Cartan-Kriterium:<br />
Eine <strong>Lie</strong>-Algebra g ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine<br />
direkte Summe von einfachen Idealen g 1 , . . . , g k ist:<br />
und [g i , g j ] = {0} für i ≠ j.<br />
g = g 1 ⊕ . . . ⊕ g k ,<br />
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sl n (C) als Modell einer einfachen <strong>Lie</strong>-Algebra<br />
Die <strong>Lie</strong>-Algebra<br />
sl n (C) = {X ∈ C n×n | tr(X ) = 0}<br />
ist einfach.<br />
An ihr lassen sich alle Struktureigenschaften einfacher <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong><br />
demonstrieren.<br />
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Elementarmatrizen<br />
Elementarmatrix:<br />
⎛<br />
⎞<br />
0<br />
.<br />
0<br />
E ij =<br />
0 · · · 0 1 0 · · · 0<br />
, D ij = E ii − E jj .<br />
0<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎝<br />
.<br />
⎠<br />
0<br />
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Zerlegung von sl n (C)<br />
sl n (C) lässt sich in spezielle Unteralgebren zerlegen:<br />
sl n (C) = a ⊕ n + ⊕ n − .<br />
⎛<br />
⎞<br />
{ λ 1 0<br />
⎜<br />
a = ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ ∣ ∑ }<br />
λ i = 0 = 〈D ij 〉,<br />
0 λ n<br />
⎛ ⎞<br />
{ 0 ∗ }<br />
n + ⎜<br />
= ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ = 〈E ij | i < j〉,<br />
0 0<br />
⎛ ⎞<br />
{ 0 0 }<br />
n − ⎜<br />
= ⎝<br />
. ..<br />
⎟<br />
⎠ = 〈E ij | i > j〉.<br />
∗ 0<br />
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Cartan-Unteralgebra<br />
Die abelsche Algebra a der Diagonalmatrizen mit Spur 0 ist<br />
die Cartan-Unteralgebra von sl n (C).<br />
Für D = diag(λ 1 , . . . , λ n ) ∈ a gilt:<br />
ad(D)E ij = [D, E ij ] = (λ i − λ j )E ij .<br />
Also ist E ij Eigenvektor von ad(D) zum Eigenwert λ i − λ j .<br />
Außerdem liegt a im Eigenraum von ad(D) zum Eigenwert 0.<br />
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Wurzelzerlegung (I)<br />
Definiere α ij ∈ a ∗ (i ≠ j) durch<br />
Die α ij heißen Wurzeln von a.<br />
α ij (D) = λ i − λ j .<br />
Eine Wurzel repräsentiert einen Satz von simultanen<br />
Eigenwerten für alle ad(D), D ∈ a.<br />
Die Zerlegung sl n (C) = a ⊕ n + ⊕ n − lässt sich zu einer<br />
Zerlegung in simultane Eigenräume für alle D ∈ a verfeinern:<br />
sl n (C) = a ⊕<br />
⊕<br />
g α .<br />
Dies ist die Wurzelzerlegung.<br />
α Wurzel<br />
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Wurzelzerlegung (II)<br />
In der Wurzelzerlegung<br />
sl n (C) = a ⊕<br />
⊕<br />
α Wurzel<br />
ist g α der Raum<br />
g α = {X ∈ sl n (C) | ad(D)X = α(D)X für alle D ∈ a}.<br />
Außerdem gilt<br />
a = g 0 = {X ∈ sl n (C) | ad(D)X = 0 für alle D ∈ a},<br />
da a maximal abelsch ist.<br />
g α<br />
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Eigenschaften der Wurzeln<br />
Für jede Wurzel α = α ij gilt<br />
g αij = 〈E ij 〉.<br />
Insbesondere dim g α = 1 für alle Wurzeln α.<br />
Es gilt<br />
[E ij , E kl ] = δ jk E il − δ li E kj .<br />
Folge: Für alle Wurzeln α, β gilt:<br />
[g α , g β ] = g α+β .<br />
Dann ist entweder g α+β = {0}, oder α + β ist ebenfalls<br />
Wurzel.<br />
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Wurzelzerlegung (III)<br />
Für jede Wurzel α = α ij existiert eine Wurzel −α = α ji , und<br />
es gilt<br />
[g α , g −α ] ⊂ g 0 = a.<br />
Konkret:<br />
[E ij , E ji ] = E ii − E jj = D ij ∈ a.<br />
Die Menge R aller Wurzeln lässt sich nun zerlegen:<br />
wobei<br />
R = R + ∪ R − ,<br />
α ∈ R + ⇔ −α ∈ R − .<br />
Die Wurzelzerlegung lässt sich weiter verfeinern:<br />
sl n (C) = a ⊕ ⊕<br />
α∈R + (g α ⊕ g −α )<br />
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sl 2 (C) ist allgegenwärtig<br />
Beobachtung:<br />
Für alle Wurzeln α und X α ∈ g α , Y α ∈ g −α ,<br />
H α = [X α , Y α ] ∈ a gilt:<br />
[H α , X α ] = 2X α , [H α , Y α ] = −2Y α , [X α , Y α ] = H α .<br />
Also:<br />
s α := 〈H〉 ⊕ g α ⊕ g −α<br />
∼ = sl2 (C).<br />
Folge:<br />
sl n (C) lässt als Summe von Kopien von sl 2 (C) schreiben:<br />
sl n (C) = ∑<br />
α∈R + s α .<br />
Im Allgemeinen ist diese Summe nicht direkt, denn<br />
H α+β = H α + H β , sofern α + β ∈ R.<br />
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Wurzelsysteme (I)<br />
Es sei g eine beliebige komplexe <strong>halbeinfache</strong> <strong>Lie</strong>-Algebra.<br />
Die Ergebnisse über sl n (C) lassen sich analog auf g<br />
übertragen.<br />
Insbesondere<br />
g = ∑<br />
α∈R + s α .<br />
Wenn nun jedes g Summe von sl 2 (C)-Kopien ist, wodurch<br />
unterscheiden sich <strong>halbeinfache</strong> <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong>?<br />
Durch die Aktion der Cartan-Algebra a.<br />
Genauer: Durch die Struktur ihrer Wurzelsysteme R.<br />
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Wurzelsysteme (I)<br />
Es sei g eine beliebige komplexe <strong>halbeinfache</strong> <strong>Lie</strong>-Algebra.<br />
Die Ergebnisse über sl n (C) lassen sich analog auf g<br />
übertragen.<br />
Insbesondere<br />
g = ∑<br />
α∈R + s α .<br />
Wenn nun jedes g Summe von sl 2 (C)-Kopien ist, wodurch<br />
unterscheiden sich <strong>halbeinfache</strong> <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong>?<br />
Durch die Aktion der Cartan-Algebra a.<br />
Genauer: Durch die Struktur ihrer Wurzelsysteme R.<br />
15 / 43
Wurzelsysteme (II)<br />
Die Wurzeln erzeugen den Dualraum a ∗ von a.<br />
Da [g α , g β ] = g α+β , sind die Wurzeln ganzzahlige<br />
Linearkombinationen einer Basis von a ∗ , die selbst aus<br />
Wurzeln besteht.<br />
Folge:<br />
Wenn dim a = r, so wird das Wurzelsystem von r Elementen<br />
erzeugt. Daher heißt r der Rang von R bzw. von g.<br />
Die Killing-Form induziert ein Skalarprodukt auf a und somit<br />
auf a ∗ . Dieses Skalarprodukt liefert geometrische<br />
Beschränkungen für die Struktur der Wurzelsysteme.<br />
Somit ist eine vollständige Klassifikation der Wurzelsysteme<br />
möglich.<br />
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Klassifikation<br />
Typ g dim g<br />
A n sl n+1 (C) n ≥ 1 n 2 + 2n<br />
B n o 2n+1 (C) n ≥ 2 2n 2 + n<br />
C n sp n (C) n ≥ 3 2n 2 + n<br />
D n o 2n (C) n ≥ 4 2n 2 − n<br />
G 2 - 14<br />
F 4 - 52<br />
E 6 - 72<br />
E 7 - 133<br />
E 8 - 248<br />
Außerdem: A 1 = B 1 = C 1 , B 2 = C 2 und A 3 = D 3 .<br />
17 / 43
Wurzelsysteme: A 1<br />
Die <strong>Lie</strong>-Algebra sl 2 (C) hat das Wurzelsystem A 1 :<br />
−α<br />
0<br />
α<br />
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Wurzelsysteme: A 1 × A 1<br />
Die <strong>Lie</strong>-Algebra sl 2 (C) ⊕ sl 2 (C) hat das Wurzelsystem A 1 × A 1 :<br />
β<br />
−α<br />
α<br />
−β<br />
19 / 43
Wurzelsysteme: A 2<br />
Die <strong>Lie</strong>-Algebra sl 3 (C) hat das Wurzelsystem A 2 :<br />
β<br />
α + β<br />
−α<br />
α<br />
−α − β<br />
−β<br />
20 / 43
Wurzelsysteme: B 2<br />
Die <strong>Lie</strong>-Algebra so 5 (C) hat das Wurzelsystem B 2 :<br />
β<br />
α + β<br />
2α + β<br />
−α<br />
α<br />
−2α − β<br />
−α − β<br />
−β<br />
21 / 43
Wurzelsysteme: G 2<br />
Die exotische <strong>Lie</strong>-Algebra g 2 hat das Wurzelsystem G 2 :<br />
α 2<br />
α 1 + α 2<br />
−α 1<br />
−α 2 22 / 43<br />
β 2 β 1 + β 2<br />
α 1<br />
−β 1<br />
−β 2<br />
β 1<br />
−α 1 − α 2<br />
−β 1 − β 2
Aktion auf den Wurzeldiagrammen (I)<br />
Erinnerung:<br />
Für X α ∈ g α , H ∈ a gilt:<br />
[H, g α ] = g α , [X −α , g β ] = g β−α , [X α , g β ] = g α+β .<br />
Das bedeutet:<br />
H ∈ a fixiert die Eigenräume g α und g −α .<br />
X α bewegt den Eigenraum g β in den Eigenraum g α+β .<br />
Dies lässt sich anhand der Wurzeldiagramme veranschaulichen.<br />
23 / 43
Aktion auf den Wurzeldiagrammen (II)<br />
Beispiel B 2 :<br />
β<br />
α + β<br />
2α + β<br />
X α<br />
X β<br />
24 / 43<br />
−α<br />
α<br />
−2α − β<br />
−α − β<br />
−β
Aktion auf den Wurzeldiagrammen (III)<br />
Wir haben gesehen, dass sich g aus Kopien von sl 2 (C)<br />
zusammensetzt.<br />
Auch die Aktion von g auf sich selbst (auf dem<br />
Wurzeldiagramm) setzt sich aus Aktionen von sl 2 (C)<br />
zusammen.<br />
Aktionen gegeben durch irreduzible Darstellungen von sl 2 (C):<br />
ϱ : sl 2 (C) → gl n (C), X ↦→ ϱ(X ).<br />
25 / 43
Darstellungen von sl 2 (C) (I)<br />
sl 2 (C) wird erzeugt von H, X , Y mit den Relationen<br />
[H, X ] = 2X , [H, Y ] = −2Y , [X , Y ] = H.<br />
Das Element ϱ(H) ist diagonalisierbar.<br />
Ist v ∈ C n ein Eigenvektor von ϱ(H) zum Eigenwert λ, so gilt:<br />
H.(X .v) = (λ + 2)X .v,<br />
H.(Y .v) = (λ − 2)Y .v.<br />
D.h. X (bzw. Y ) bildet den Eigenraum V λ auf den Eigenraum<br />
zu V λ+2 (bzw. V λ−2 ) ab.<br />
26 / 43
Darstellungen von sl 2 (C) (II)<br />
Y<br />
H<br />
Y<br />
H<br />
Y<br />
H<br />
...<br />
V λ−4<br />
V λ−2<br />
V λ<br />
X<br />
X<br />
X<br />
Da C n endlich-dimensional ist, muss diese Kette irgendwann<br />
abbrechen.<br />
Es folgt, dass die Eigenwerte von H eine Folge von ganzen<br />
Zahlen bilden:<br />
−n, −n + 2, . . . , n − 2, n.<br />
27 / 43
Aktion auf den Wurzeldiagrammen (IV)<br />
Zurück zum Beispiel B 2 .<br />
Die α-Linie entspricht der adjungierten Darstellung<br />
ad : sl 2 (C) → gl(sl 2 (C)) ∼ = gl 3 (C), X ↦→ ad(X ).<br />
−α<br />
α<br />
X α<br />
28 / 43
Aktion auf den Wurzeldiagrammen (V)<br />
Die β-Linien entsprechen einmal der adjungierten Darstellung und<br />
einmal der Standarddarstellung id : sl 2 (C) → gl 2 (C), X ↦→ X .<br />
β<br />
X β<br />
α + β<br />
−β<br />
X β<br />
α<br />
29 / 43
Darstellungen <strong>halbeinfache</strong>r <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong><br />
Die Darstellungen <strong>halbeinfache</strong>r <strong>Lie</strong>-<strong>Algebren</strong> setzen sich aus den<br />
Darstellungen von sl 2 (C) zusammen.<br />
30 / 43
Quantenphysik<br />
Elementarteilchen werden durch Elemente eines komplexen<br />
Hilbert-Raumes X beschrieben.<br />
Eine physikalische Größe O wird durch die Eigenwerte eines<br />
hermiteschen Operators Ô auf X beschrieben.<br />
Zwei Größen O 1 , O 2 sind gleichzeitig messbar, wenn der<br />
Kommutator<br />
[Ô 1 , Ô 2 ] = Ô 1 Ô 2 − Ô 2 Ô 1<br />
verschwindet.<br />
31 / 43
Quarks (I)<br />
Es sei nun X ∼ = C 3 ein dreidimensionaler Hilbert-Raum mit<br />
Orthogonalbasis {u, d, s}, dem Up-Quark, Down-Quark und<br />
Strange-Quark bezeichnen.<br />
Die <strong>Lie</strong>-Algebra sl 3 (C) lässt sich schreiben als<br />
sl 3 (C) = su 3 ⊕ i · su 3 .<br />
i · su 3 sind die hermiteschen Operatoren auf X ,<br />
su 3 sind die infinitesimal-unitären Transformationen auf X .<br />
32 / 43
Quarks (II)<br />
Die Cartan-Algebra von sl 3 (C) hat eine Basis<br />
⎛ ⎞<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
1<br />
2<br />
0 0<br />
ˆT 3 = ⎝0 − 1 3<br />
0 0<br />
2<br />
0⎠ und Ŷ = ⎝ 1<br />
0<br />
3<br />
0 ⎠ ,<br />
0 0 0<br />
0 0 − 2 3<br />
wobei T 3 die z-Komponente des Isospins<br />
und Y die Hyperladung ist.<br />
33 / 43
Quarks (III)<br />
Da [ ˆT 3 , Ŷ ] = 0, lassen sich die Quarks durch ihre Eigenwerte<br />
bezüglich ˆT 3 und Ŷ charakterisieren:<br />
Y<br />
d<br />
1/3<br />
u<br />
−1/2<br />
1/2<br />
T 3<br />
−2/3<br />
s<br />
34 / 43
Dreimal sl 2 (C) in sl 3 (C)<br />
Wir betrachten drei Einbettungen von sl 2 (C) in sl 3 (C):<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
2<br />
0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 0<br />
ˆT 3 = ⎝0 − 1 2<br />
0⎠ , ˆT + = ⎝0 0 0⎠ , ˆT − = ⎝1 0 0⎠ ,<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
Û 3 = ⎝ 1<br />
0<br />
2<br />
0 ⎠ , Û + = ⎝0 0 1⎠ , Û − = ⎝0 0 0⎠ ,<br />
0 0 − 1 2<br />
0 0 0<br />
0 1 0<br />
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />
1<br />
2<br />
0 0<br />
0 0 1<br />
0 0 0<br />
ˆV 3 = ⎝0 0 0 ⎠ , ˆV+ = ⎝0 0 0⎠ , ˆV− = ⎝0 0 0⎠ .<br />
0 0 − 1 2<br />
0 0 0<br />
1 0 0<br />
35 / 43
Aktion der Schiebeoperatoren<br />
Die Operatoren ˆT + , ˆT − , Û + , Û − , ˆV + , ˆV − operieren nach folgendem<br />
Schema in der T 3 ,Y -Ebene:<br />
Y +1<br />
Û +<br />
Y<br />
Y − 1<br />
ˆV −<br />
ˆV+<br />
ˆT+<br />
Û −<br />
ˆT −<br />
T 3<br />
T 3 − 1 2<br />
T 3 + 1 2<br />
36 / 43
Elementarteilchen<br />
In der Natur kommen keine vereinzelten Quarks vor, sondern<br />
nur aus Quarks und Antiquarks zusammengesetzte Teilchen.<br />
Antiquarks sind die Elemente des Dualraums X ∗ , auf dem<br />
sl 3 (C) durch die duale Darstellung A ↦→ −A ⊤ operiert.<br />
Zusammengesetzte Teilchen entsprechen simultanen<br />
Eigenvektoren für irreduzible Darstellungen von sl 3 (C). Diese<br />
werden aus Tensorprodukten von X und X ∗ gewonnen.<br />
37 / 43
Baryonen (I)<br />
Baryonen setzen sich aus drei Quarks zusammen.<br />
Betrachte die Darstellung<br />
gegeben durch<br />
ϱ B : sl 3 (C) → gl(X ⊗ X ⊗ X ),<br />
ϱ B (A)(q i ⊗q j ⊗q k ) = Aq i ⊗q j ⊗q k + q i ⊗Aq j ⊗q k + q i ⊗q j ⊗Aq k .<br />
Dann:<br />
X ⊗ X ⊗ X = B 1 ⊕ B 8 ⊕ B 8 ⊕ B 10 ,<br />
wobei jedes B k ein irreduzibler Modul (Multiplett) der Dimension<br />
k ist.<br />
38 / 43
Baryonen (II)<br />
Das Baryonen-Oktett B 8 :<br />
Y<br />
p<br />
1<br />
n<br />
Σ − Σ 0 Σ +<br />
−1<br />
1<br />
− 1 1<br />
2<br />
2<br />
T 3<br />
Λ 0 39 / 43<br />
Ξ − Ξ 0<br />
−1
Baryonen (III)<br />
Das Baryonen-Dekuplett B 10 :<br />
Y<br />
∆ − ∆ 0 1 ∆ + ∆ ++<br />
− 3 2<br />
Σ ∗− Σ ∗0 Σ ∗+<br />
−1<br />
− 1 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2<br />
T 3<br />
Ξ ∗−<br />
Ω − 40 / 43<br />
−1<br />
Ξ ∗0<br />
−2
Mesonen (I)<br />
Mesonen setzen sich aus einem Quark und einem Antiquark<br />
zusammen.<br />
Betrachte die Darstellung<br />
gegeben durch<br />
Dann:<br />
ϱ M : sl 3 (C) → gl(X ⊗ X ∗ ),<br />
ϱ M (A)(q i ⊗ q ∗ j ) = Aq i ⊗ q ∗ j − q i ⊗ A ⊤ q ∗ j .<br />
X ⊗ X ∗ = M 1 ⊕ M 8 ,<br />
wobei M 8 eine irreduzibler Modul der Dimension 8 ist.<br />
41 / 43
Mesonen (II)<br />
Das Mesonen-Oktett M 8 :<br />
Y<br />
K 0 1 K +<br />
π − η π 0 π +<br />
−1<br />
1<br />
− 1 1<br />
2<br />
2<br />
T 3<br />
K −<br />
−1<br />
K 0<br />
42 / 43
O. Baues, W. Globke<br />
<strong>Lie</strong> Groups and <strong>Lie</strong> Algebras<br />
??? ???<br />
W. Fulton, J. Harris<br />
Representation Theory: A First Course<br />
Springer 1997<br />
W. Greiner, B. Müller<br />
Quantenmechanik: Symmetrien<br />
Harri Deutsch 2005<br />
B. Hall<br />
<strong>Lie</strong> Groups, <strong>Lie</strong> Algebras, and Representations<br />
Springer 2004<br />
A. Knapp<br />
<strong>Lie</strong> Groups Beyond an Introduction<br />
Birkhäuser 2002<br />
43 / 43