4. Wurzelsystem und Längenfunktion 17 Definiere A := { v ∈ W ...

4. Wurzelsystem und Längenfunktion 17
Definiere
A := { v ∈ W ∣ ∣ v −1 w ∈ W s,t und l(v)+l s,t (v −1 w)=l(w) } .
Wir stellen zuerst fest, dass A ≠ ∅, daw ∈ A.
Nun wählen wir v ∈ A ein Element kleinster Länge, also l(v) l(v ′ )für alle v ′ ∈ A, und
setzen v 0 := v −1 w ∈ W s,t . Es gilt dann also
Behauptung: wt ∈ A.
(wt) −1 w = t ∈ W s,t ̌
l(wt)+l s,t (t) =l(w) − 1+1=l(w) ̌
Nach der Wahl von v ∈ A ist also
w = vv 0 und l(v)+l s,t (v 0 )=l(w). (#)
l(v) l(wt) =l(w) − 1, d. h. l(v)

18 Spiegelungsgruppen
Schliesslich
wα s = vv 0 α s }{{}
∈ Rα s ⊕ Rα t da v 0 ∈ W s,t
schreibe v 0 α s =: xα s + yα t
= xvα }{{} s + yvα t . }{{}
∈ Φ + ∈ Φ +
Wenn wir zeigen können, dass x 0 und y 0 gelten, so ist der Satz bewiesen. Damit
haben wir alles auf eine Rechnung in der Diedergruppe W s,t reduziert.
Behauptung: l s,t (v 0 s) l s,t (v 0 ).
Wenn nicht, so wäre
l(ws) =l(vv 0 s) l(v)+l(v 0 s)
l(v)+l s,t (v 0 s) Annahme
< l(v)+l s,t (v 0 ) (#)
= l(w).
Widerspruch zu l(ws) =l(w)+1.
Es folgt: eine reduzierte Zerlegung von v 0 ∈ W s,t kann nicht mit s enden.
• Falls m st = ∞, so entnehmen wir der Seite 12
für v 0 =(st) n
für v 0 = t(st) n
v 0 α s =(2n +1)α s +2nα t
v 0 α s =(2n +1)α s +(2n +2)α t
d. h. alle Koeffizienten sind 0für n 0.
• Falls m st = m ≠ ∞, mussl s,t (v 0 )

4. Wurzelsystem und Längenfunktion 19
Als nächstes zeigen wir, dass die einfache Spiegelung s ∈ S die von α s verschiedenen
positiven Wurzeln permutiert.
Proposition 4.8 Für s ∈ S gilt s ( Φ + −{α s } ) =Φ + −{α s }.
Beweis. Sei ϕ ∈ Φ + −{α s }, sagen wir ϕ = ∑ c t α t (c t 0).
t∈S
Wegen B(α s ,α s )=1istΦ + ∩ Rα s = {α s }, und da ϕ ≠ α s gibt es mindestens einen strikt
positiven Koeffizienten c t > 0für ein t ≠ s. Die Wurzel
sϕ = ϕ − 2B(α s ,ϕ)α s
unterscheidet sich von ϕ nur in ihrem α s -Koeffizienten, hat also denselben α t -Koeffizienten
c t > 0wieϕ. Somit gilt auch sϕ ∈ Φ + . (Hier verwenden wir die Tatsache, dass jede Wurzel
positiv oder negativ ist!) Auch klar ist, dass sϕ ≠ α s (denn sϕ = α s ⇒ ϕ = sα s = −α s ).
Somit haben wir s ( Φ + −{α s } ) ⊆ Φ + −{α s }. Und wenn wir noch mit s darauf wirken,
erhalten wir Φ + −{α s } = s 2( Φ + −{α s } ) ⊆ s ( Φ + −{α s } ) , zusammen also die gesuchte
Gleichheit.
□
Die obige Proposition liefert ein einfaches, aber effizientes Mittel, um Wurzeln als einfache
Wurzeln zu erkennen.
Korollar 4.9 Für ϕ ∈ Φ + und s ∈ S gilt: sϕ ∈ Φ − ⇒ ϕ = α s .
Wir hatten bereits die Menge aller Spiegelungen T := { wsw −1 ∣ ∣ s ∈ S, w ∈ W
}
definiert
und festgestellt, dass wsw −1 in der standard geometrischen Darstellung als Spiegelung
längs ϕ = wα s an der Hyperebene H ϕ := { λ ∈ V ∣ ∣ B(ϕ, λ) =0
}
wirkt. Da die standard
geometrische Darstellung treu ist, erhalten wir zu jeder Wurzel ϕ ∈ Φ eine wohlbestimmte
Spiegelung s ϕ ∈ W (mit anderen Worten: ϕ = wα s = vα t ⇒ wsw −1 = vtv −1 =: s ϕ ),
und es gilt natürlich s −ϕ = s ϕ . Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion zwischen der
Menge der Spiegelungen und der Menge der positiven Wurzeln. Speziell für die Wurzel
α s haben wir natürlich s αs = s, und allgemein gilt s wϕ = ws ϕ w −1 .
Übung 4.4 Seien ϕ = wα s und ψ = vα t zwei Wurzeln (w, v ∈ W , s, t ∈ S). Gesucht ist ein Kriterium
dafür, dass x ∈ W existiert mit xϕ = ψ.
Wir können nun den Satz 4.5 verallgemeinern.
Satz 4.10 Sei (W, S) ein Coxetersystem. Für w ∈ W und ϕ ∈ Φ + gilt
l(ws ϕ ) >l(w) ⇐⇒ wϕ ∈ Φ + ,
l(ws ϕ ) l(w) =⇒ wϕ ∈ Φ +

20 Spiegelungsgruppen
zu zeigen. [Da s ϕ eine Spiegelung ist, ist l(ws ϕ )−l(w) ungerade und somit l(ws ϕ ) ≠ l(w).]
Induktion nach l(w).
l(w) =0⇒ w =1⇒ wϕ = ϕ ∈ Φ + ̌
Sei l(w) > 0, w = s 1 ...s n eine reduzierte Zerlegung (mit s 1 ,...,s n ∈ S). Für s := s 1 gilt
l(sw) =l(w) − 1. Wir haben (unter Verwendung der Eigenschaft (5) in Proposition 4.3)
l(sws ϕ ) (5)
−1+l(ws ϕ ) > −1+l(w) =l(sw) Induktion
=⇒ swϕ ∈ Φ + .
Behauptung: wϕ ∈ Φ + .
Korollar 4.9
Falls nicht, also s(swϕ) =wϕ ∈ Φ − =⇒ swϕ = α s .
Betrachten wir die zugehörige Spiegelung
}
s swϕ = s αs = s
}{{}
=⇒ ws ϕ = sw.
= sws ϕ (sw) −1
Aber l(ws ϕ ) >l(w) >l(sw) =l(ws ϕ ), ein Widerspruch. □
5 Austauschbedingung
Satz 5.1 (Starke Austauschbedingung) Seien (W, S) ein Coxetersystem und T ⊆ W
die Menge aller Spiegelungen in W . Seien w = s 1 ...s n (s 1 ,...,s n ∈ S) undt ∈ T mit
l(wt)

5. Austauschbedingung 21
ϕ ∈ Φ +
s n ϕ
⎫⎪ wähle i so, dass
⎬ }
s n−1 s n ϕ
s i+1 ...s n ϕ ∈ Φ + Korollar 4.9
.
s i (s i+1 ...s n ϕ) ∈ Φ −
=⇒ s i+1 ...s n ϕ = α si
⎪
wϕ = s 1 ...s n ϕ ∈ Φ ⎭
−
Für die Spiegelung längs dieser Wurzel α si
erhalten wir somit
s i = s αsi
= s si+1 ...s nϕ = s i+1 ...s n s ϕ (s i+1 ...s n ) −1
d. h.
und schliesslich
Zum Zusatz: Ist
s i s i+1 ...s n = s i+1 ...s n t
wt = s 1 ...s n t = s 1 ...s i s i ...s n = s 1 ...ŝ i ...s n .
mit i