Kapitel 7 Geostatistik: ortsabhängige Daten

Kapitel 7
Geostatistik: ortsabhängige Daten
7.1 Einführung
Im Gegensatz zu üblich verwendeten Daten in der Statistik, von denen statistische
Unabhängigkeit angenommen wird, werden häufig Merkmale an verschiedenen
Orten“ gemessen, wobei sie über die verschiedenen Lagen der Meßorte statistische
”
Abhängigkeiten aufweisen. Beispiele sieht man typisch in den Erdwissenschaften -
daher auch der Name Geostatistik“ - (Dicke eines Kohleflözes, Salzkonzentration
”
in einem Salzbergwerk, Magnetisierung der Erdoberfläche etc.), in den Umweltwissenschaften
(Virenausbreitung im Grundwasser, Luftverschmutzung, Waldschäden,
epidemiologische Probleme), aber auch in den technischen Wissenschaften (Druckverteilungen
bei komplizierten Konstruktionen).
In der Zeitreihenanalyse wird die Variable von Interesse als von der Zeit, also
von einer eindimensionalen Variablen, abhängig angenommen, und Modelle mit
Autokorrelationen“ werden konstruiert. Allgemeiner wird aber ein Ort als ein-,
”
zwei- oder dreidimensional betrachtet. Das Abhängigkeitsmaß, das i.a. dann zusätzlich
noch richtungsabhängig sein kann, heißt Korrelogramm oder Variogramm.
Wegen der Komplexität des Problems wird meist auf ein genaues wahrscheinlichkeitstheoretisches
Modell verzichtet, und man konzentriert sich nur auf die ersten
beiden Momente der Verteilungen. Das Variogramm stellt das wesentliche Werkzeug
dieses Methodenkreises dar.
Wir streifen in diesem Kapitel kurz den Begriff der regionalisierten Variablen“,
”
des Variogramms und der statistischen Interpolation von räumlich abhängigen Daten.
Weiterführende Bücher hiezu sind z.B. Journel and Huijbregts (1978) oder
Dutter (1985).
7.2 Regionalisierte Variable
Eine Variable z(x), die Werte in Abhängigkeit vom Ort x in einem bestimmten
Bereich (Region) angibt, bezeichnet man als regionalisierte Variable. Wir inter-
87

7.2. Regionalisierte Variable 88
pretieren diese als Realisation einer Zufallsfunktion Z = Z(x), von der wir einige
Eigenschaften in diesem Abschnitt diskutieren. Z an einem bestimmten, fixen Ort
x bedeutet dabei eine übliche, eindimensionale Zufallsvariable.
7.2.1 Momente, Variogramme
Eine Zufallsfunktion Z wird durch die Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen
Z(x) an jeder Stelle x und die gegenseitigen Abhängigkeiten charakterisiert. Die
dabei definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt auch räumliches Verteilungsgesetz.
In den Umwelt- und Erdwissenschaften wird aber nie das gesamte Gesetz
benötigt, sondern es genügt normalerweise das 1. und 2. Moment, um akzeptable,
approximative Lösungen zu finden. Häufig werden zur Beschreibung der Verteilung
auch nur diese zwei verwendet, sodass zwei Zufallsvariablen Z(x 1 ) und Z(x 2 ) in
ihrer Struktur nicht unterschieden werden, wenn die ersten beiden Momente gleich
sind.
Die Erwartung (oder 1. Moment) schreiben wir, sofern sie existiert, jetzt als
ortsabhängig, nämlich
m(x) = E[Z(x)],
also als gewichteten, durchschnittlichen Wert aller möglichen Realisationen von Z
an der Stelle x. Die Varianz von Z(x) ist definiert als
σ 2 (x) = V ar(Z(x)) = E[(Z(x) − m(x)) 2 ],
die Existenz der Erwartung ebenfalls vorausgesetzt. Betrachten wir zwei Punkte
im Raum, nämlich x und x 2 = x + h mit Abstand h. Dann wird die Kovarianz,
die wir jetzt auch mit C bezeichnen, zwischen den Zufallsvariablen an den beiden
Orten x und x + h definiert durch
C(x,x + h) = σ Z(x),Z(x+h) = E[(Z(x) − m(x))(Z(x + h) − m(x + h))].
Ein anderes Maß für die Abhängigkeit zwischen Z(x) und Z(x + h) stellt das
Variogramm (oder die Variogramm-Funktion) dar, das durch
2γ(x,x + h) = V ar[Z(x) − Z(x + h)],
der Varianz der Zuwächse, definiert ist. Es sei vermerkt, dass bei Unabhängigkeit
und Gleichheit der Varianzen von Z(x) und Z(x + h) gilt
2γ(x,x + h) = 2V ar(Z(x)),
womit die Konstante 2 in der Definition motiviert sein soll. Der Ausdruck γ(x,x+h)
wird auch Semi-Variogramm genannt.

7.2. Regionalisierte Variable 89
7.2.2 Stochastische Annahmen
Leider steht von jeder Zufallsvariablen Z(x) häufig höchstens eine Realisation
z(x) zur Verfügung, womit man schlecht weitreichende Schlussfolgerungen auf die
Struktur der Variablen machen kann. Daher müssen bezüglich der Wahrscheinlichkeitsstruktur
gewisse Annahmen getroffen werden. Die einschneidendste Annahme
wäre die der strengen Stationarität, was ”
Invarianz des räumlichen Verteilungsgesetzes
gegenüber Translation“ heißt, oder ”
jede Gruppe von k Zufallsvariablen
{Z(x 1 ), Z(x 2 ), ...,Z(x k )} weist die gleiche Verteilung wie {Z(x 1 +h), Z(x 2 +
h), ...,Z(x k +h)} für beliebige Werte von h und k = 1, 2, ... auf“. In der Geostatistik
arbeitet man jedoch meist nur mit den ersten zwei Momenten, sodass man
sich auf eine Definition von Stationarität im weiten Sinne beschränken kann.
Man spricht von Stationarität 2. Ordnung, wenn
(i) die Erwartung E[Z(x)] existiert und nicht vom Ort x abhängt, d.h.
E[Z(x)] = m für alle x,
(ii) für jedes Paar von Zufallsvariablen (Z(x), Z(x+h)) die Kovarianz existiert
und nur vom Abstand h abhängt, d.h.
C(h) = E[Z(x + h).Z(x)] − m 2 für alle x.
Die Stationarität der Kovarianz impliziert die Stationarität der Varianz und
des Variogramms. Es gilt nämlich
V ar[Z(x)] = E[Z(x) − m] 2 = C(0) für alle x, und
γ(h) = γ(x,x + h) = 1 E[Z(x + h) − Z(x)]2
2
= 1E[Z(x + h) − 2 m]2 + 1E[Z(x) − 2 m]2 − E[(Z(x + h) − m)(Z(x) − m)]
= C(0) − C(h).
Die letzte Gleichung zeigt auch an, dass unter der Hypothese der Stationarität
2. Ordnung die Kovarianz und das Variogramm zwei gleichwertige Hilfsmittel bei
der Betrachtung des Zusammenhanges (der Autokorrelation) der beiden Variablen
Z(x + h) und Z(x) darstellen. Als dimensionslose Hilfsgröße bietet sich auch die
Korrelation, oder besser, die Korrelationsfunktion, das Korrelogramm, an, nämlich
ρ(h) = C(h)
C(0) = 1 − γ(h)
C(0) .
Die Forderung der Existenz der Momente 2. Ordnung ist strenger als die der
Existenz des Variogramms. Nachdem aber meist nur mit dem Variogramm gearbeitet
wird, kann man sich in diesem Fall mit der wesentlichen (intrinsischen)
Hypothese begnügen, die lautet:
(i) die Erwartung E[Z(x)] existiert für alle x und hängt nicht vom Ort x ab;

7.2. Regionalisierte Variable 90
(ii) für alle h und x besitzt das Inkrement (Z(x + h) − Z(x)) eine endliche
Varianz, die nicht von x abhängt, d.h.
V ar[Z(x + h) − Z(x)] = E[Z(x + h) − Z(x)] 2 = 2γ(h).
Die Stationarität 2. Ordnung impliziert also diese, wie man auch sagt, Hypothese
der stationären Zuwächse. Die Umkehrung muss natürlich nicht gelten. In
der Praxis muss man häufig noch die Größenordnung von h beschränken, und die
wesentliche Hypothese kann nur für | h | < b für ein gewisses b > 0 angenommen
werden. In diesem Fall spricht man von Quasi-Stationarität.
Beispiel 7.1: Ein Kupferlager wurde durch eine Reihe von vertikalen Bohrlöchern
erforscht. Der Kupfergehalt verringert sich systematisch mit zunehmender
Tiefe, was einen gewissen Trend (Nicht-Stationarität) in der vertikalen Richtung
anzeigt. Das geschätzte (berechnete) (Semi-)Variogramm in vertikaler Richtung h
über alle Bohrlöcher wird in Abb. 7.1 dargestellt. Die Eigenschaften dieses ex-
3
.
γ(h)
2
1
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . .
[%Cu] 2 0 50 100 150 200
h [ft]
Abbildung 7.1: Variogramm eines Kupferlagers.
perimentellen Variogramms lassen sich folgendermaßen zusammenfassen (spezielle
Ausdrücke werden später noch erklärt):
(i) Ein Klumpeneffekt (Nugget-Effekt) von ca. .4 [%Cu] 2 .
(ii) Eine Übergangserscheinung zwischen 0 und ca. 100 Fuß mit einem Schwellenwert
von 1 und einem Einflussbereich von ca. 50 Fuß.
(iii) Nach etwa 100 Fuß steigt das Variogramm plötzlich wieder an, was den
erwähnten Trend anzeigt.
Zusammenfassend können wir feststellen, dass in diesem Beispiel in einem vertikalen
Bereich von 100 Fuß die intrinsische Hypothese für die Mineralisierung

7.3. Das Variogramm 91
akzeptiert werden kann. Das Semi-Variogramm weist einen endlichen (Einfluss-)
Bereich von 50 Fuß auf. In diesem Bereich lässt sich auch eine theoretische Kurve,
das sogenannte ”
Sphärische Modell“, anpassen, die sich durch
mit
beschreiben lässt.
γ(h) = C o + C(1.5h/a − .5h 3 /a 3 )
C o = .4[%Cu] 2 , C = .6[%Cu] 2 , a = 50[ft],
7.3 Das Variogramm
In diesem Abschnitt diskutieren wir Eigenschaften des Variogramms, die zur Strukturanalyse
einer Region (z.B. Lagerstätte) verwendet werden können. Wir werden
frei das Wort Variogramm statt Semi-Variogramm verwenden, wenn klar aus dem
Text hervorgeht, was gemeint ist. Ein Kovariogramm dient zur gleichzeitigen Betrachtung
mehrerer regionalisierter Variablen.
7.3.1 Strukturelle Eigenschaften des Variogramms
Die Kovarianz C(h) besitzt die Eigenschaften, dass C(0) = V ar(Z(x)) ≥ 0, dass
sie symmetrisch um 0 ist (d.h. C(h) = C(−h)) und dass gilt | C(h) | ≤ C(0)
(Schwarz’sche Ungleichung). Außerdem geht der Grad der Abhängigkeit der beiden
Zufallsvariablen Z(x) und Z(x+h) meistens mit dem Abstand | h | zurück, sodass
i.a. die Funktion C(h) monoton fällt und praktisch nach einem gewissen Radius,
d.h. | h | ≥ a, sogar verschwindend klein wird. Das Verhalten des Variogramms
γ(h) = C(0) −C(h) ist entgegengesetzt: Als Varianz wird es natürlich nie negativ,
für h = 0 gleich γ(0) = 0, dann aber steigt es im allgemeinen, und für | h | ≥ a ist
es ungefähr gleich dem asymptotischen Wert γ(∞) = C(0).
(a) Einflussbereich
Der oben angedeutete Bereich | h | < a wird auch als Einflussbereich oder
Einflusszone einer Probe, der Wert a als Reichweite (range) und C = γ(h) für
| h | = a als Schwellenwert bezeichnet. Außerhalb dieser Zone gelten Z(x) und
Z(x + h) als voneinander unabhängig oder besser unkorreliert.
Dieser Einflussbereich ist aber im mehrdimensionalen Raum meistens nicht einfach
als kugeliges Gebilde mit Radius a zu beschreiben. Die Reichweite hängt von
der Richtung ab. Eine Illustration findet man in Abb. 7.2.
(b) Geschachtelte Strukturen
Die Variabilität einer regionalisierten Variablen kann viele Ursachen haben. Wir
führen einige, nach gewissen Größenordnungen, wie sie typisch in den Erdwissenschaften
vorkommen, eingeteilt, an:

7.3. Das Variogramm 92
vertikal
.
horizontaler Bereich
. . .
. .
. .
v erti
k aler
B ereich
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a 1 a 2
.
.
horizontal
.
.
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.
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.
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.
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.
.
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.
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.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . .
Abbildung 7.2: Einflussbereich einer regionalisierten Variablen.
(i) Auf dem Niveau der Messpunkte (h ≃ 0): Die Variabilität hängt direkt
mit der Messung zusammen (zufällige Fehler der Stichprobenerhebung).
(ii) Auf dem petrografischen Niveau (z.B. | h | < 1 cm): Die Variabilität entsteht
wegen des Überganges von einem mineralogischen Element zu einem anderen.
(iii) Auf dem Niveau der Schichtung oder mineralisierter Linsen (z.B.| h | <
100 m): Vermischung von verschiedenen Schichten oder Linsen mit fremden Einschlüssen
verursacht die Variabilität.
(iv) Auf dem Niveau eines Landes (z.B. | h | < 100 km): Die Gebirgsbildung
eines Landes bewirkt die Variabilität.
Etc.
Zu jeder dieser Strukturen gehört ein anderes Variogramm mit verschiedener
Reichweite a und verschiedenem Schwellenwert C. Diese Strukturen sind ineinandergeschachtelt“,
und man bekommt ein zusammengesetztes Variogramm, das sich ”
manchmal in seine Komponenten zerlegen lässt. (Siehe Abb. 7.3.)
(c) Verhalten in der Nähe des Ursprungs
Dieses kann zur Interpretation der Kontinuität und Regelmässigkeit der Variablen
Z(x) im Raum verwendet werden. Vier Haupttypen werden grob unterschieden,
die im folgenden, nach abnehmender Regularität geordnet, aufgeführt sind
(siehe Abb. 7.4).
(i) Parabolisches Verhalten: Das Variogramm verhält sich ungefähr quadratisch,
d.h. γ(| h |) ≃ c | h | 2 für h → 0. Es ist stetig und differenzierbar an der Stelle

7.3. Das Variogramm 93
. .
C
.
.
C 2
C 1
. . . . . . . . . . . . . . . .
.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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..
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.
.
a 1 a 2 h
.
.
Abbildung 7.3: Geschachteltes Variogramm.
h = 0. Dies ist charakteristisch für ein sehr regelmäßiges Verhalten, wie es z.B.
bei geophysikalischen und gewissen geochemischen Variablen, Mächtigkeiten etc.
auftreten kann.
(ii) Lineares Verhalten: Es gilt γ(| h |) ≃ c | h | für h → 0. Das Variogramm
ist nicht mehr differenzierbar an der Stelle 0, aber noch stetig. Dies kann man z.B.
bei Erzgehalten finden.
(iii) Unstetigkeit im Ursprung: γ(h) strebt nicht gegen 0, wenn h gegen 0 geht,
obwohl γ(0) = 0 definiert ist. Das Variogramm ist also unstetig an der Stelle 0, was
bedeutet, dass die Variabilität zwischen zwei ”
nahen“ Punkten Z(x) und Z(x +h)
bereits sehr groß sein kann. Dieses Phänomen ist in der Physik unter dem Namen
”
weißes Rauschen“ bekannt. Die Variabilität kann allerdings für größere Werte
von h wieder stetig ansteigen. Diese Unstetigkeit im Ursprung des Variogramms
wird ”
Klumpeneffekt“ ( ”
nugget effect“) genannt, und die Höhe des Sprunges heißt
Nugget-Varianz. Dieser Sprung entsteht durch die mögliche Mikro-Variabilität der
Mineralisierung, aber auch durch Messungenauigkeiten, weil diese Variabilität auf
engem Raum nicht erfasst werden kann.
(iv) Reiner Klumpeneffekt: Dies erscheint als Grenzfall, wenn das Variogramm
nur eine Unstetigkeit im Ursprung aufweist und sonst konstant ist;
γ(0) = 0 und γ(h) = C o für h ≠ 0.
In der Praxis kann so ein Modell entstehen, wenn der Bereich a extrem klein in
Relation zu den experimentellen Beobachtungen angenommen werden muss. Dieser
reine Klumpeneffekt, dem die totale Nichtexistenz einer Autokorrelation entspricht,
kommt allerdings sehr selten in den erdwissenschaftlichen Anwendungen vor.
(d) Anisotropien

7.3. Das Variogramm 94
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . .
.
.
0 h
.
.
0 h
.
.
0 h
.
.
0 h
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Abbildung 7.4: Verhalten des Variogramms im Ursprung.
Das Argument h des Variogramms γ ist im allgemeinen vektorwertig, d.h. es
besteht aus dem absoluten Betrag | h | und der Richtung α (eventuell vektorwertig
mit α 1 und α 2 ). Häufig wird das Variogramm γ(h) für verschiedene Richtungen verschiedene
Formen aufweisen (siehe Abb. 7.5). Dann sprechen wir von Anisotropie
und erwähnen zwei Spezialfälle:
.
.
a α4
.
. .
a α2
.
.
a α3
.
.
a α1
.
.
a α4
.
. .
a α2
.
.
a α1
a α3
.
.
a.
α4
.
×
a α2
. .
×
× × a α3
a α1
.
.
.
.
Isotropie
geom. Anisotropie
zonale Anisotropie
Abbildung 7.5: Bereiche bei Anisotropie.
(i) Geometrische Anisotropie: Wenn Variogramme von verschiedenen Richtungen
den gleichen Schwellenwert und die gleiche Nugget-Varianz, aber verschiedene
Anstiege aufweisen, so kann eine geometrische Anisotropie vorliegen. Wenn der Bereich
sich als einfache geometrische Form (z.B. als Ellipsoid) darstellen lässt, ist
es einfach, durch Koordinatentransformation einen isotropischen Fall zu erhalten
(siehe Abb. 7.6).
(ii) Zonale Anisotropie: In vielen Fällen ist das Variogramm in einer ausgezeichneten
Richtung sehr abweichend. Dies kann z.B. bei schichtigen Lagerstätten
auftreten. Senkrecht zur Schichtung variiert der Lagerstätteninhalt viel stärker als
etwa in der Richtung der Schichtung. In so einem Fall kann das Variogrammodell
in zwei Terme aufgespaltet werden, in eine isotropische Komponente γ 1 (| h |) und
in eine rein anisotropische γ 2 (h), die an eine bestimmte Richtung h 2 gebunden ist.
Man erhält also
γ(h) = γ 1 (| h |) + γ 2 (h),

7.3. Das Variogramm 95
γ(h)
. .
gleicher
Schwellenwert
. . . . . .
.
.
.
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.
a α3 a α1 a α2 a α4 |h|
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
Abbildung 7.6: Geometrische Anisotropie.
wobei γ 2 (h) nur von der spezifischen Richtung h 2 abhängt. Der Grund dieser ”
Additivität“
liegt in der möglicherweise geschachtelten Struktur der Fehler.
(e) Proportional-Effekt
Manchmal ist die Varianz an einer Stelle von der mittleren Größe der Variablen
abhängig. Stellen wir uns zwei quasi-stationäre Bereiche V 1 (x 1 ) und V 2 (x 2 )
mit den jeweiligen Zentren x 1 und x 2 vor. Die entsprechenden Semi-Variogramme
γ 1 (h) und γ 2 (h) sind im allgemeinen verschieden, manchmal aber nur über einen
Proportionalitätsfaktor f(x 1 ,x 2 ). Ist dieser gleich dem Quadrat des Verhältnisses
der beiden mittleren Werte m(x 1 )/m(x 2 ), so kann man ein Variogramm γ 0 (h) über
beide Bereiche berechnen, indem man jeden Wert der Variablen z(x) vorher durch
den geschätzten Mittelwert ˆm des entsprechenden Bereichs dividiert. Es gilt dann
γ 1 (h) = γ 0 (h)[ ˆm(x 1 )] 2
und
γ 2 (h) = γ 0 (h)[ ˆm(x 2 )] 2 .
7.3.2 Variogrammodelle und ihre Anpassung
Wie man sich bei einer Häufigkeitsverteilung eine zugrundeliegende theoretische
Verteilung (z.B. Normalverteilung) vorstellt, kann man auch bei experimentellen
Variogrammen ein mathematisches Modell zugrunde legen. Dieses muss gewissen
Regularitätsbedingungen genügen und kann auch leichter für weitere Rechnungen
verwendet werden.
Die Auswahl des Modells konzentriert sich meistens auf einige wesentliche Gesichtspunkte:
(i) Das Verhalten in der Nähe des Ursprungs: Die eventuell vorhandene Nugget-
Varianz (Unstetigkeit) wird durch Extrapolation gegen die Ordinate gefunden.
(ii) Das Vorhandensein einer Schwelle (Übergangsmodell). In erster Näherung
kann die statistische Varianz der Messwerte als Schwellenwert genommen werden.

7.3. Das Variogramm 96
(iii) Das Auftreten von Anisotropien, geschachtelten Strukturen etc.
Folgende Modelle werden häufig in der Praxis verwendet:
(a) Modelle für Variogramme ohne Schwellenwert
(i) Das Potenzmodell γ(h) = p| h | λ mit 0 < λ < 2. Praktisch wird aber nur das
lineare Modell
γ(h) = p | h |
verwendet. Das Variogramm steigt linear an, zumindest bis zu den Entfernungen,
die im experimentellen Variogramm erreicht werden. Diese Modelle entsprechen
einer regionalisierten Variablen mit unbegrenzter Streuung.
(ii) Das logarithmische Modell (De Wijs)
γ(h) = log h.
Dieses kann natürlich nicht bis zum Ursprung h = 0 angepasst werden. Es bietet
allerdings erhebliche rechnerische Vorteile.
(b) Modelle für Variogramme mit Schwellenwert
Diese werden auch Übergangsmodelle genannt. Der Schwellenwert entspricht
der Varianz C(0).
(i) Lineares Verhalten am Ursprung.
Das sphärische Modell (Matheron) hat die Form
{
C[
3 h
γ(h) =
− 1 2 a 2 (h a )3 ] für h ≤ a
C für h > a,
wobei a die Reichweite und C den Schwellenwert bezeichnet. Die Tangente an
das Variogramm durch den Ursprung schneidet die Schwelle bei 2a/3. Die zwei
Parameter werden deshalb auch meist händisch geschätzt.
Das exponentielle Modell (Formery) wird durch
γ(h) = C[1 − e −h/a ]
beschrieben. Hier schneidet die Tangente im Ursprung die Schwelle an der Stelle
a. Allerdings muss man feststellen, dass das Variogramm den Schwellenwert C gar
nicht annimmt, sondern sich nur asymptotisch für h → ∞ nähert. Man definiert
aber hier als Bereich a ′ = 3a, wobei γ(a ′ ) = C(1 − e −3 ) = .95C.
(ii) Das Gauß’sche Modell. Dieses zeigt ein quadratisches Verhalten am Ursprung
und wird definiert durch
γ(h) = C[1 − e −h2 /a 2 ]
Der Schwellenwert wird wieder nur asymptotisch erreicht, und der praktische Bereich
wird als a ′ = √ 3a betrachtet, wobei wiederum γ(a ′ ) = C(1 − e −3 ) = .95C.
Die drei Modelle mit Schwellenwert sind in Abb. 7.7 skizziert.

..
7.4. Statistische Interpolation 97
γ(r)
C
0.95 1.0
. .
Sphärisch
Gauß
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
. .
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.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Exponential
.
√ .
0 2/3 1 3 2
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Abbildung 7.7: Verschiedene Variogramme.
7.4 Statistische Interpolation
Unter lokalem Schätzen (im Gegensatz zum globalen) versteht man das Schätzen
des Mittelwertes einer regionalisierten Variablen über einen begrenzten Bereich, in
dem die Messpunkte relativ zum Einflussbereich in kleinen Abständen voneinander
liegen. Wir wollen das Problem des lokalen Schätzens streifen, wobei allerdings nur
die Größe des Mittelwertes (mit seiner statistischen Genauigkeit) der betrachteten
Variablen untersucht wird.
Die zur Verfügung stehende Information besteht im allgemeinen aus einem Datensatz
(z.B. n Messungen der Variablen) und Angaben über die Struktur (z.B.
ein Modell des Variogramms). Wir werden den einfachsten Krige-Schätzer (benannt
nach dem südafrikanischen Geostatistiker D.G. Krige) besprechen, der die
gesuchte Größe mit den gegebenen Daten ”
linear, am besten und erwartungstreu“
schätzt.
7.4.1 Der Krige-Schätzer
Betrachten wir die regionalisierte Variable Z(x) und nehmen an, dass die Erwartung
E(Z(x)) = m
von x unabhängig ist, und dass entweder die Kovarianz
oder das Variogramm
E[(Z(x + h) − m)(Z(x) − m)] = C(h)
E[Z(x + h) − Z(x)] 2 = 2γ(h)
existiert (Stationarität 2. Ordnung oder die wesentliche Hypothese sollte gelten).
Die Aufgabe ist die Schätzung des mittleren Wertes
Z V (x o ) = 1 ∫
Z(x)dx
V V (x o)

7.4. Statistische Interpolation 98
in einem Bereich V (x o ) mit Zentrum x o .
Bezeichnen wir die n gegebenen Datenpunkte mit z i , i = 1, ...,n, die i.a. bereits
Mittelwerte über kleine Bereiche v i sein werden. Diese Werte werden als Realisierungen
der Zufallsvariablen Z i interpretiert und es gilt: E(Z i ) = m für alle i. Der
lineare Schätzer von Z V stellt sich als Linearkombination der Z i dar, nämlich als
n∑
Ẑ V = λ i Z i .
i=1
Die Gewichte λ i müssen so gewählt werden, dass ẐV erwartungstreu ist und minimale
Varianz aufweist.
(a) Erwartungstreue
Aus der Bedingung der Erwartungstreue
E(ẐV ) = ∑ λ i EZ i = m ∑
i
i
λ i = EZ V = m
folgt für die Gewichte λ i
n ∑
i=1
λ i = 1.
(b) Minimale Schätzvarianz
Rechnen wir zunächst die Schätzvarianz E(Z V − ẐV ) 2 aus. Wir haben
E(Z V − ẐV ) 2 = EZ 2 V − 2E(Z V Ẑ V ) + EẐ2 V ,
wobei mittels Durchschnittsbildung folgt
EZV 2 = 1 ∫
E[Z(x)Z(x
V
∫V
′ )]dx ′ dx = ¯C(V, V ) + m 2 ,
2 V
E(Z V Ẑ V ) = ∑ ∫
λ i
E[Z(x)Z(x
i
V v i
∫V
′ )]dx ′ dx = ∑ λ i ¯C(V, vi ) + m 2
v i i
und
EẐ2
= ∑ 1
i
∑j λ i λ j v i
∫v j
E[Z(x)Z(x ′ )]dx ′ dx
= ∑ ∑
i j λ i λ j ¯C(vi , v j ) + m 2 .
v i v j
∫
Beim Zusammenfassen der 3 Terme fällt m 2 weg, und wir erhalten
σE 2 = E(Z V − ẐV ) 2 = ¯C(V, V ) − 2 ∑ λ i ¯C(V, vi ) + ∑ ∑
λ i λ j ¯C(vi , v j ).
i
i j
Der Ausdruck für σ 2 E soll nun minimiert werden unter der Bedingung ∑ λ i = 1,
der Erwartungstreue. Am einfachsten geschieht dies durch die Verwendung des
Lagrange’schen Multiplikator µ, sodass
σ 2 E − 2µ( ∑ i
λ i − 1)

7.4. Statistische Interpolation 99
bezüglich λ i und µ minimiert werden soll. Die Ableitungen nach λ i und µ müssen
verschwinden, sodass wir ein System von n+1 Gleichungen mit n+1 Unbekannten
erhalten:
∑ nj=1
λ j ¯C(vi , v j ) − µ = ¯C(V, v i ), i = 1, ...,n,
∑ nj=1
λ j = 1.
Dieses System heißt auch Krige-System. Die minimale Schätzvarianz, oder auch
Krige-Varianz, bekommt man nun durch Einsetzen der Lösungen für λ i als
σK 2 = min E(Z V − ẐV ) 2 = ¯C(V,
n∑
V ) + µ − λ i ¯C(vi , V ).
i=1
Wegen des direkten Zusammenhangs zwischen der Kovarianz und dem Variogramm
lassen sich Krige-System und Krige-Varianz auch in Termen des Variogramms
schreiben: ∑
λ j¯γ(v i , v j ) + µ = ¯γ(v i , V ), i = 1, ...,n,
(b) Matrixform
j
∑
λ j = 1
j
n∑
σK 2 = λ i¯γ(v i , V ) + µ − ¯γ(V, V ).
i=1
Die linearen Gleichungen des Krige-Systems lassen sich einfacher mit Matrizen
darstellen. Bezeichnen wir mit K die ”
Krige-Matrix“
⎛
K =
⎜
⎝
und mit λ und c, zwei Vektoren,
¯C(v 1 , v 1 ) . .. ¯C(v1 , v j ) . .. ¯C(v1 , v n ) 1
.
¯C(v i , v 1 ) . .. ¯C(vi , v j ) . .. ¯C(vi , v n ) 1
.
¯C(v n , v 1 ) . .. ¯C(vn , v j ) . .. ¯C(vn , v n ) 1
1 1 1 0
⎛
λ =
⎜
⎝
λ 1
λ 2
.
λ i
.
λ n
−µ
⎞
⎛
, c =
⎟ ⎜
⎠ ⎝
¯C(v 1 , V )
¯C(v 2 , V )
.
¯C(v i , V )
.
¯C(v n , V )
1
⎞
,
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

7.4. Statistische Interpolation 100
so kann man das Krige-System in der einfachen Form
Kλ = c
schreiben, woraus bei Invertierbarkeit der Matrix K sofort die Lösung für λ folgt:
λ = K −1 c.
Die Krige-Varianz vereinfacht sich zu
σK 2 = ¯C(V, V ) − λ ⊤ c,
wobei λ ⊤ der umgeklappte (transponierte) Vektor von λ ist.
7.4.2 Diskussion
Bemerkung 1: Der Krige-Schätzer ist nicht nur erwartungstreu, er interpoliert auch
” genau“, d.h., wenn der Bereich V mit einem v i der Daten übereinstimmt, liefert
der Schätzer
(i) einen Schätzwert ẑ K , der mit dem bekannten Datenpunkt z i übereinstimmt,
und
(ii) eine Krige-Varianz σ 2 K = 0. Dies ist nicht bei allen Schätzern selbstverständlich,
z.B. bei der kleinsten Quadrate-Interpolation (Ausgleich) mit Polynomen.
Bemerkung 2: Die Ausdrücke im Krige-System und in der Krige-Varianz gelten
mit den Begriffen ¯C und ¯γ bezüglich v i und V sehr allgemein:
(i) Die Bereiche v i der Daten können beliebig angeordnet sein: v i und v j können
sich auch überschneiden, dürfen allerdings nicht identisch sein (für i ≠ j). v i kann
auch im Bereich V liegen.
(ii) Die zugrundeliegende Struktur, die durch C(h) oder γ(h) charakterisiert
wird, ist im wesentlichen beliebig, z.B. anisotropisch.
Bemerkung 3: Das Krige-System und die Krige-Varianz hängen nur von der
Struktur C(h) oder γ(h) und von den relativen Anordnungen der verschiedenen
Bereiche v i , v j und V ab, jedoch nicht von den spezifischen Werten der Daten z i .
Wenn also einmal die Konfiguration der Datenbeschaffung (also die einzelnen Bereiche)
festgelegt ist, kann noch vor jedem Bohren das Krige-System gelöst werden
und die entsprechende Schätzvarianz berechnet werden. Dies kann vor dem Bohren
sehr zur Kostensenkung beitragen.
Bemerkung 4: Die Krige-Matrix K hängt nur von den relativen Anordnungen
der v i und nicht von V ab. Folglich muss bei gleichen Anordnungen nur einmal
die Krige-Matrix aufgestellt und invertiert werden. Wegen der oft enormen Größe
dieser Matrix ergibt sich daraus eine große Rechenzeitersparnis. Wenn außerdem
zwei Bereiche V und V ′ gleiche geometrische Anordnungen bezüglich der erhobenen
Daten aufweisen, erhält man gleiche Gewichte λ für den Schätzer. Dies regt
natürlich an, dass bei der Datenerhebung möglichst systematisch und regelmäßig
vorgegangen werden sollte.

7.4. Statistische Interpolation 101
Bemerkung 5: Das Krige-System und die Krige-Varianz ziehen die folgenden 4
wesentlichen und intuitiven Punkte in Betracht.
(i) Die geometrische Form des zu schätzenden Bereiches V drückt sich im Term
¯γ(V, V ) der Varianz aus.
(ii) Die Abstände zwischen V und den Datenpunkten v i werden in ¯γ(v i , V ) des
Vektors c berücksichtigt.
(iii) Die geometrische Anordnung der Datenpunkte v i beeinflusst durch ¯γ(v i , v j )
die Krige-Matrix K. Die Genauigkeit der Schätzung wird nicht nur durch die Anzahl
von gegebenen Daten bestimmt, sondern auch durch ihre relative Anordnung.
(iv) Die Struktur der Variabilität eines betrachteten Phänomens wird hauptsächlich
durch das Semi-Variogramm γ(h) charakterisiert.
Beispiel 7.2: Betrachten wir die Schätzung in einem Bereich V in 2 Dimensionen
durch 4 Datenpunkte A, B, C und D, die symmetrisch angeordnet sind, wie
es in Abb. 7.8 dargestellt wird. Wir nehmen an, dass die zugrundeliegende Mineralisierung
eine ausgeprägtere Richtung u der Kontinuität aufweist, die sich in der
Anisotropie des Semi-Variogramms γ(h u , h v ) ausdrückt, und zwar durch geringere
Variabilität in der Richtung u. Das Krige-System legt daher mehr Gewicht auf die
Punkte B und D, obwohl sie gleiche Abstände wie A und C von V haben.
×A
×
D
V
×
B
v
. .
×C
.
.
u
Abbildung 7.8: Gewichtigkeit von Messpunkten.

Kapitel 8
Multivariate Methoden: Überblick
Häufig — und glücklicherweise — steht für jedes Objekt ein ganzer Satz von Beobachtungen
unterschiedlicher Merkmale und nicht bloß die Ausprägung eines einzigen
zur Verfügung (Personenmerkmale wie Körpergröße, –gewicht, Alter, Blutdruck,
...), der als p–dimensionaler Beobachtungsvektor x = (x 1 , ...,x p ) ⊤ die
Grundlage aller multivariaten statistischen Verfahren bildet. Im allgemeinen ist
damit ein größerer Informationsgehalt verbunden, der zu einer besseren Modellierung
von Merkmalen führen kann, als man sie aus der univariaten Statistik kennt.
Allerdings entsteht ein unmittelbarer Interessenskonflikt zwischen dem Wunsch
nach höchstmöglichem Informationsgewinn und damit verbunden einer Vielzahl beobachteter
Charakteristika auf der einen Seite und dem teils stark erhöhten Rechen–
und Datenaufwand auf der anderen Seite. Weiters ist zu bedenken, dass mit wachsender
Dimensionalität i.a. auch die Abhängigkeiten unter den einzelnen Merkmalen
steigen können, wodurch der Informationsgewinn wieder bescheidener ausfällt.
Demnach ist zwischen Variablenanzahl und Aufwand ein vernünftiger Kompromiss
anzustreben.
Ausgangspunkt für alle statistischen Verfahren bildet die Datenmatrix X der
Beobachtungen an n Objekten, also
⎛
X =
⎜
⎝
⎞
x 11 x 12 · · · x 1p
x 21 x 22 · · · x 2p
⎟
. . . .
x n1 x n2 · · · x np
⎠ .
Der erste Schritt in der Statistik und speziell in der multivariaten Statistik nach
der Datengewinnung ist der Aufbereitung des Datenmaterials gewidmet, wozu meist
auch eine vernünftige grafische Darstellung gehört. Gut aufbereitete Daten lassen
bereits Strukturen erkennen und erleichtern damit Modell- und oft auch Methodenwahl
(inhomogene Grundgesamtheit, Verteilungsannahme, parametrische/nichtparametrische
Verfahren u.ä.m.), was in der multivariaten Statistik auf Grund der oft
starken Abhängigkeiten besonders wichtig ist. Kategorielle und mehrdimensionale
102

8.1. Skalierung kategorieller Merkmale 103
Skalierung, Kontingenztafeln und grafische Statistik sind Begriffe, die in diesem
Zusammenhang in erster Linie zu nennen sind.
Eine weitere Gruppe von Verfahren dient dem Auffinden von Strukturen, sowohl
in Hinblick auf inhomogene Grundgesamtheiten (Mischverteilungen) als auch wegen
möglicher Abhängigkeiten von Merkmalen. Hiezu gehören etwa Clusteranalyse,
Faktorenanalyse, z.T. Diskriminanzanalyse und Korrelationsanalyse.
Schließlich bilden multivariate Varianzanalyse und Regressionsanalyse, oder allgemein
das multivariate lineare Modell die natürlichen Verallgemeinerungen der
entsprechenden univariaten Verfahren und sind ausschließlich der Modellierung von
Merkmalsabhängigkeiten gewidmet.
Die folgende Auflistung multivariater Methoden stellt erstens nicht den Anspruch
auf Vollständigkeit und gibt zweitens nur einen groben Einblick in die Ideen.
Für ein genaueres Studium kann u.a. auf Hartung und Elpelt (1986) oder Mardia
et al. (1979) verwiesen werden.
8.1 Skalierung kategorieller Merkmale
Oft treten bei Umfragen u.ä. qualitative Merkmale (ja/nein, gut/schlecht, Farbe,
Staatsbürgerschaft usw.) auf, sodass die Standardmethoden der multivariaten Statistik
mit den häufigen Normalverteilungsannahmen nicht direkt anwendbar sind.
Ein Weg, diese Schwierigkeit zu umgehen, liegt in einer geeigneten ( ”
kontinuierlichen“)
Skalierung der nominalen Merkmale.
Eine der ältesten Methoden dafür ist die marginale Normalisierung, wobei hier
das betrachtete Merkmal x mit den Ausprägungen a (1) , ...,a (k) als ordinal vorausgesetzt
werden muss (z.B.: Schulnote, Erdbebenstärke, Bewölkung). Dabei wird bei
n Beobachtungen den einzelnen Ausprägungen von x entsprechend ihrer Reihenfolge
ein Bereich einer standardnormalverteilten Zufallsgröße zugeordnet, dessen
Anteil der Häufigkeit der Ausprägung entspricht. Als Skalenwerte x (l) , l = 1, ...,k,
wählt man dann den Erwartungswert dieser Bereiche. Die Abb. 8.1 veranschaulicht
Abbildung 8.1: Skalierung eines kategoriellen Merkmals

8.2. Mehrdimensionale Skalierung 104
diesen Vorgang.
Formal erfolgt diese Skalierung, indem zu den relativen Häufigkeiten h l für die
Ausprägungen a (l) (l = 1, ...,k) entsprechende Quantile
l∑
u l = Φ −1 ( h l ′) l = 1, ...,k − 1
l ′ =1
der Standardnormalverteilung bestimmt und schließlich
x (1) = −φ(u 1 )/h 1
x (l) = [φ(u l−1 ) − φ(u l )]/h l für l = 2, ...,k − 1
x (k)
= φ(u k−1 )/h k
als neue Skalenwerte von x erhält, wobei φ und Φ für die Dichtefunktion und die
Verteilungsfunktion der N(0, 1)–Verteilung stehen.
Bei nominalen Merkmalen kommt das Problem einer nichtdefinierten (logischen)
Reihenfolge unter den Ausprägungen hinzu. Eine Möglichkeit zur Skalierung
stellt die Methode nach Lancaster dar. Dabei werden zwei (nominale) Merkmale
zueinander skaliert, indem man aus allen Anordnungsmöglichkeiten für die Ausprägungen
die beiden bestimmt, für die die Korrelation zwischen den Merkmalen
größtmöglich ist, wobei die Skalen dann so gewählt werden, dass die Merkmale als
standardisiert gelten.
8.2 Mehrdimensionale Skalierung
Ausgehend von der (n × p)–Datenmatrix X oder einer (n × n)–Distanzmatrix
⎛
D =
⎜
⎝
0 d(1, 2) · · · d(1, n)
d(2, 1) 0 · · · d(2, n)
. . . .
d(n, 1) d(n, 2) · · · 0
⎞
⎟ , ⎠
wird aus Gründen der Anschaulichkeit versucht, ein i.a. niederdimensionales Mess–
(d.h. Koordinaten–) System zu finden. Dieses Skalensystem im IR q soll die gegebenen
Objekte bestmöglich beschreiben. Typische Werte für q sind 2 oder 3, womit
die Objekte unmittelbar grafisch darstellbar werden.
Eine Methode dafür ist das Nonlinear Mapping (NLM). Dabei werden für die
beobachteten Objekte neue q–dimensionale Datenvektoren y i = (y i1 , ...,y iq ) ⊤ , i =
1, ...,n, konstruiert, für die etwa der sogenannte Mapping Error
n−1 ∑
g E (y 1 , ...,y q ) = (
n∑
i=1 j=i+1
[d(i, j) − d ∗ (i, j)] 2
d(i, j)
n−1 ∑
)/(
n∑
i=1 j=i+1
d(i, j)) (8.1)

8.3. Clusteranalyse 105
mit
d ∗ q∑
(i, j) := ‖y i − y j ‖ = √ (y ik − y jk ) 2
k=1
minimal ausfällt. Es wird dadurch der relative Fehler“ bzgl. der Distanz zweier Objekte,
der durch die Repräsentation der Objekte im neuen Skalensystem entsteht,
”
im Duchschnitt minimiert.
Beispiel 8.1: (Hartung und Elpelt, 1986) Eine jährliche Erhebung der US-
Konsumentenorganisation brachte im Jahre 1971 folgende Statistik über die fünf
größten Automobilgruppen (1: American Motors, 2: Chrysler, 3: Ford, 4: General
Motors, 5: Ausländer) bzgl. der 7 wesentlichen Reparaturindikatoren (Karosserie
innen/ außen/ Eisenteile, Bremsen, Getriebe, Stoßdämpfer, Radaufhängung).
Die Werte wurden dabei mittels geeigneter kategorieller Skalierung (Lancaster-
Skalierung bzgl. der Automobilgruppe) aus einer 5-stufigen Nominalskala (Reparaturanfälligkeit
deutlich über/ über/ gleich/ unter/ deutlich unter der anderer
Teile) gewonnen:
⎛
X =
⎜
⎝
0.452 −0.394 −0.752 −0.241 −0.355 0.472 0.150
0.424 −0.399 −0.515 −0.638 0.643 −0.354 0.026
0.063 −0.045 −0.008 −0.270 −0.414 −0.289 −0.504
−0.766 −0.309 0.358 0.873 0.260 −0.360 −0.287
0.658 1.524 0.518 −0.454 −0.703 1.357 1.164
Wählt man für die Distanzmatrix die euklidische Distanz, so erhält man für q = 2
folgende transformierte Datenmatrix
⎛
⎞
3.066 1.941
2.070 0.983
Y =
3.269 0.642
,
⎜
⎟
⎝ 4.481 −0.037 ⎠
4.974 3.221
und Abb. 8.2 zeigt diese neuen Datenpunkte grafisch.
Andere bekannte Verfahren in diesem Zusammenhang sind etwa die Hauptkoordinaten–Methode,
die Kruskal–Methode und verschiedene Unfold–Techniken.
⎞
⎟
⎠
.
8.3 Clusteranalyse
Ziel der Clusteranalyse ist das Auffinden vorhandener, aber meist nicht leicht erkennbarer
Strukturen (Meinungen/ Parteienzugehörigkeit, Prüfungsergebnisse an
der Universität/ absolvierter Schultyp) oder deren künstliche Konstruktion (Konfektionsgrößen,
Absatzmärkte). Dabei wird der gesamte Datensatz oder eine daraus
gewonnene Distanz- oder Ähnlichkeitsmatrix zugrundegelegt, und die Struktur

8.3. Clusteranalyse 106
Abbildung 8.2: Datenpunkte im neuen Skalensystem
direkt daraus konstruiert, ohne etwa den Umweg über eine MDS–Methode (Multidimensionale
Skalierung) zu wählen. Im wesentlichen unterscheidet man Gruppierungsmethoden,
bei denen die Objekte in mehr oder weniger zusammengehörende
Gruppen eingeteilt werden (eigentliche Clusterung), und hierarchische Verfahren,
wo in Form einer Hierarchie solange jeweils ”
verwandte“ Gruppen zu einer größeren
Gruppe zusammengefasst werden, bis alle Objekte eine einzige Klasse bilden.
Praktisch alle Clusteranalysealgorithmen stellen dabei iterative Prozeduren dar.
Die Gruppierungsmethoden teilen die Objekte so in eine i.a. gegebene feste
Zahl von Gruppen auf, dass die Ähnlichkeit innerhalb der Gruppen möglichst groß
ausfällt und die Unterscheidung zwischen den Gruppen bestmöglich ist. Die einzelnen
Methoden unterscheiden sich nach den zugrundeliegenden Optimalitätskriterien
und nach dem Konstruktionsalgorithmus. Zu den bekanntesten zählt wohl der
KMEANS–Algorithmus, bei dem von einer Anfangsgruppierung ausgehend in jedem
Iterationsschritt dasjenige Objekt aus seiner Klasse in eine andere transferiert
wird, bei dem der größte Effekt erzielt wird. Dabei liegt das sogenannte Varianzkriterium
zugrunde, bei dem die (gewichtete) Summe der einzelnen Gruppenvarianzen
minimal ausfallen soll.
Hierarchische Methoden beginnen i.a. mit einer vollständigen Zerlegung in einzelne
Objekte und fassen Zug um Zug zunächst ähnliche Objekte, dann auch ähnliche
Gruppen zu übergeordneten Klassen zusammen. Die Hierarchie gilt als erstellt,
wenn nur mehr eine einzige gemeinsame Klasse aller Objekte übrig bleibt. Üblicherweise
werden diese Verschmelzungsschritte baumartig als sogenanntes Dendrogramm
dargestellt, wobei die einzelnen Objekte die Blätter, die Vereinigung von
Gruppen die Knoten und die Gesamtmenge die Wurzel bilden. Durch den lotrechten
Abstand eines Knoten zur Ebene der Blätter lässt sich der Abstand der zwei im
Knoten vereingten Gruppen darstellen. Dem Auswerter obliegt es, die geeignetste

8.4. Faktorenanalyse 107
Gruppierung durch einen Schnitt im Dendrogramm festzuhalten. Die Methoden
unterscheiden sich hauptsächlich durch das Kriterium, das dem Begriff ” Ähnlichkeit“
von Objekten und Klassen zugrundeliegt. Zu den bekanntesten Verfahren
zählen die Single–Linkage–Methode (Distanz = Abstand zwischen den nächstliegenden
Objekten), die Complete–Linkage–Methode (Distanz = Abstand zwischen
den weitestentfernten Objekten) und die Average–Linkage–Methode (Distanz =
Durchschnitt aller Abstände).
Beispiel 8.2: (Hartung und Elpelt, 1986) 13 PKW–Typen wurden hinsichtlich
der Merkmale Hubraum (x 1 , in cm 3 ), Leistung (x 2 , in PS), Verbrauch (x 3 ,
in l/100 km) und Höchstgeschwindigkeit (x 4 ; ”
Spitze“ in km/h) verglichen, wobei
die Datenmatrix aus Tab. 8.1 herauskam. Diese Daten lassen sich für jedes Merk-
Tabelle 8.1: Leistungsmerkmale von 13 PKW–Typen
PKW Hubraum Leistung Verbrauch Spitze
1 1696 80 11.0 155
2 1573 85 11.5 168
3 1985 78 11.0 158
4 2496 130 16.0 175
5 843 37 8.0 124
6 598 30 7.0 116
7 2753 125 13.0 158
8 1618 74 10.5 143
9 1470 55 9.5 143
10 1285 40 9.5 120
11 1780 96 14.5 169
12 1078 55 9.5 136
13 1582 90 12.5 185
mal standardisieren, und als mögliches Abstandsmaß kann dann die euklidische
Distanz zwischen zwei Objekten (= Datenpunkten) gewählt werden. Damit erhält
man die Distanzmatrix D aus Tab. 8.2. Das Dendogramm, das durch Anwendung
der Single–Linkage–Methode entsteht, findet sich in Abb. 8.3. Die Position der Vereinigungsstelle
spiegelt dabei den Abstand zwischen den beiden zu vereinigenden
Klassen wider. Ein möglicher Schnitt zur Gewinnung einer konkreten Gruppierung
ist durch die strichlierte Linie angedeutet.
8.4 Faktorenanalyse
Wie in der Einleitung bereits angedeutet, bedingt eine große Zahl beobachtbarer
Merkmale häufig auch starke Abhängigkeiten zwischen diesen. Wenn man von

8.4. Faktorenanalyse 108
j
Tabelle 8.2: Distanzmatrix für die 13 beobachteten PKW–Typen
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 0 0.68 0.51 3.02 2.71 3.41 2.42 0.63 1.20 2.24 1.62 1.68 1.54
2 0.68 0 0.88 2.78 3.14 3.82 2.47 1.26 1.70 2.79 1.29 2.09 0.89
3 0.51 0.88 0 2.84 3.03 3.74 2.13 0.95 1.45 2.50 1.63 2.05 1.58
4 3.02 2.78 2.84 0 5.66 6.35 1.50 3.50 4.18 5.04 1.74 4.61 2.47
5 2.71 3.14 3.03 5.66 0 0.71 4.95 2.20 1.59 0.97 4.12 1.07 3.92
6 3.41 3.82 3.74 6.35 0.71 0 5.62 2.89 2.30 1.56 4.81 1.76 4.60
7 2.42 2.47 2.13 1.50 4.95 5.62 0 2.78 3.46 4.28 2.03 3.97 2.58
8 0.63 1.26 0.95 3.50 2.20 2.89 2.78 0 0.77 1.66 2.13 1.20 2.15
9 1.20 1.70 1.45 4.18 1.59 2.30 3.46 0.77 0 1.20 2.71 0.73 2.53
10 2.24 2.79 2.50 5.04 0.97 1.56 4.28 1.66 1.20 0 3.59 0.94 3.62
11 1.62 1.29 1.63 1.74 4.12 4.81 2.03 2.13 2.71 3.59 0 3.06 1.15
12 1.68 2.09 2.05 4.61 1.07 1.76 3.97 1.20 0.73 0.94 3.06 0 2.90
13 1.54 0.89 1.58 2.47 3.92 4.60 2.58 2.15 2.53 3.62 1.15 2.90 0
den seltenen Fällen absieht, in denen die beteiligten Größen einander direkt beeinflussen
(z.B. Körpergröße und Körpergewicht), erklärt sich dieser Zusammenhang
meistens durch dahinterstehende (latente) Größen (z.B. Schulnote in Mathematik
und Deutsch; Einflussfaktor: Intelligenz). Ziel der Faktorenanalyse ist die möglichst
gute und einfache (d.h. lineare) Erklärung der beobachtbaren quantitativen Merkmale
aus einer i.a. kleinen Gruppe dahinterstehender Einflussfaktoren. Im Falle
qualitativer Merkmale ist ein entsprechender Skalierungsalgorithmus voranzustellen.
Nach Standardisierung der p Merkmale x l zu
y l = x l − E(x l )
√
Var(x l )
ist das zugehörende theoretische (lineare) Modell von der Gestalt
y l = λ l1 f 1 + λ l2 f 2 + . .. + λ lq f q + e l l = 1, ...,p . (8.2)
In Matrixschreibweise lautet dieses Modell dann
y = L f + e (8.3)
mit dem standardisierten Merkmalsvektor y = (y 1 , ...,y p ) ⊤ , dem standardisierten
Faktorvektor f = (f 1 , ...,f q ) ⊤ und L = (λ lk ) l=1,...,p, k=1,...,q als Ladungsmatrix.
Dabei wird
E(f) = 0 E(e) = 0
E(ff ⊤ ) = I q E(ee ⊤ ) = diag(δ1, 2 ...,δp) 2 E(fe ⊤ ) = 0
vorausgesetzt. Je nach Größe und Verteilung der Ladungen λ lk (l = 1, ...,p) spricht
man bei f k von einem

8.4. Faktorenanalyse 109
11 47
10 56
13
12
9
2
8
3
1
Abbildung 8.3: Single-Linkage-Dendrogramm für 13 PKW
• allgemeinen Faktor (engl. general factor), wenn mehr oder weniger alle der
oben angeführten Ladungen deutlich von Null verschieden sind;
• gemeinsamen Faktor (engl. common factor), wenn mindestens zwei Ladungen
beträchtlich von Null verschieden sind.
• Einzelrestfaktor (engl. unique factor) nennt man die Restkomponente e l ; diese
werden unkorreliert vorausgesetzt.
Für die Korrelationsmatrix R = (ρ lk ) l,k=1(1)p von x gilt nun
R = E(yy ⊤ )
= L E(ff ⊤ )L ⊤ + L E(fe ⊤ ) + E(ef ⊤ ) L ⊤ + E(ee ⊤ )
} {{ } } {{ }
0 0
= LL ⊤ + diag(δ1, 2 ...,δp) 2 ,
wobei die wesentliche Bedeutung bei der reduzierten Korrelationsmatrix
⎛
˜R = LL ⊤ =
⎜
⎝
κ 2 1 ρ 12 · · · ρ 1p
ρ 21 κ 2 2 · · · ρ 2p
. . . .
ρ p1 ρ p2 · · · κ 2 p
⎞
⎟ = R − ⎠ diag(δ2 1, ...,δp) 2 (8.4)
liegt, die der eigentlichen Faktorenanalyse zugrundegelegt wird. Die Diagonalelemente
κ 2 j = 1 − δ 2 j = λ 2 j1 + · · · + λ 2 jq j = 1, ...,p (8.5)
werden als Kommunalitäten bezeichnet und beschreiben den Anteil der Varianz
des standardisierten Merkmals y j , der durch die Wirkung gemeinsamer Faktoren
erklärbar ist. Im Gegensatz dazu heißt die merkmalseigene Varianz δ 2 j auch Einzelrestvarianz
(in der englischen Literatur uniqueness).

8.4. Faktorenanalyse 110
Der obige Ansatz (8.2) ist allerdings nicht eindeutig, wie man etwa leicht durch
Einfügen einer Orthogonalmatrix T in die Modellgleichung in der Form
y = LT ⊤ Tf + e = ˜L˜f + e
mit ˜L = LT ⊤ und ˜f = Tf einsieht (Orthogonaltransformation!), sodass Nebenbedingungen
notwendig sind. Eine Möglichkeit dafür ergibt sich durch die Forderung,
dass
L ⊤ diag(δ1 −2 , ...,δp −2 )L (8.6)
eine Diagonalmatrix sein soll.
Mit Hilfe der Faktorrotation, also der Anwendung einer orthogonalen Transformation
T auf die Faktoren, versucht man eine neue Ladungsmatrix ˜L = LT ⊤ von
möglichst einfacher Struktur zu erhalten, damit die Erklärung der gegebenen Merkmale
erleichtert wird. Eine Definition für die Einfachstruktur einer Ladungsmatrix
geht auf Thurstone zurück (siehe Hartung und Elpelt, 1986).
Zu den bekanntesten derartigen Verfahren zählt die Varimax–Methode, bei der
die über die q Spalten der Ladungsmatrix kumulierten Abweichungsquadratsummen
der quadrierten und durch die Kommunalitäten normierten Ladungen bezüglich
jeder einzelnen Spalte, also
mit
q∑ p∑
s 2 L := (zlk 2 − z.k 2 )2 (8.7)
k=1 l=1
z lk = λ lk
κ l
und z.k 2 = 1 p∑
zlk
2 p
l=1
maximiert werden. Damit lassen sich die gegebenen Merkmale bzgl. der Faktoren
möglichst gut trennen. Ein anderes bekanntes Verfahren ist die Quartimax–
Methode, bei der die Summe der vierten Potenzen der Ladungen
Q =
q∑ p∑
λ 4 lk
k=1 l=1
maximiert wird. Dadurch erreicht man die Dominanz einiger weniger, meist auch
nur eines einzigen Faktors für jedes Merkmal. (Warum hier keine Mittelwerte abgezogen
werden, sieht man in der Grundidee der Maximierung der empirischen
Varianzen aller quadrierten Ladungen
∑ ∑
(λ
2
ij − λ 2 ..) 2 ,
weil sich
λ 2 .. = 1 ∑ ∑
λ 2 ij = 1 ∑
pq pq
durch Drehung nicht verändert.)
i
j
i
κ i

8.4. Faktorenanalyse 111
Generell sollen sich durch die Rotation die gegebenen Merkmale bzgl. der Faktoren
in gut getrennte Gruppen einteilen lassen. Häufig ist diese Forderung durch
eine orthogonale Transformation nicht zu erfüllen, während dies mit schiefwinkeligen
Rotationen ermöglicht wird.
Schließlich sind auch noch die Faktorwerte bei gegebenen Merkmalsausprägungen
von Interesse. Dazu soll f = (f 1 , ...,f q ) ⊤ so gewählt werden, dass für eine
gegebene (d.h. bereits ermittelte) Ladungsmatrix L
y ≈ Lf
bestmöglich erfüllt ist. Mit einem übertragenen GLS–Ansatz (generalized least
squares) erhält man als mögliche Wahl ( ”
Schätzung“) ˆf von f
ˆf = L ⊤ R −1 y , (8.8)
soferne die Korrelationsmatrix R von x regulär ist.
Der wesentliche Schritt in der Faktorenanalyse besteht nach Obigem aber in der
Schätzung einer Ladungsmatrix aus einem gegebenen Datensatz x i = (x i1 , ...,x ip ) ⊤ ,
i = 1, ...,n, der in der (n ×p)–Datenmatrix X zusammengefasst ist. Das wohl bekannteste
Verfahren ist durch die Maximum–Likelihood–Methode gegeben, bei der
unter Annahme eines p–dimensional normalverteilten Merkmals x die Likelihood–
Funktion
1
n∑
(2π) np/2 |det(R)| exp (−1 y ⊤ n/2 i R −1 y
2
i )
maximiert wird, wobei y i für die standardisierte Form von x i steht und für
i=1
R = LL ⊤ + diag(δ 2 1, ...,δ 2 p) = LL ⊤ + U 2
die Nebenbedingung (8.6) erfüllt sein muss. Die Lösung für L und δ 2 1, ...,δ 2 p ergibt
sich aus dem Eigenwertproblem
˜RU −2 A = AJ
in der Form
ˆL = AJ 1/2 .
Das Eigenwertproblem selbst wird iterativ gelöst (siehe Hartung und Elpelt, 1986).
Andere bekannte Verfahren der Faktorenanalyse sind etwa die kanonische Faktorenanalyse,
bei der die Faktoren so gewählt werden, dass die kanonischen Korrelationen
zwischen den Faktoren und den p Merkmalen maximal ausfallen, oder die
Hauptkomponenten– bzw. die Hauptfaktorenanalyse.
Im zweiten Schritt der Analyse werden die Faktoren im Sinne eines der in der
Einführung genannten Kriteriums optimal rotiert. Schließlich erhält man durch

8.5. Korrelationsanalyse 112
Anwendung von (8.8) aus der ursprünglichen (n × p)–Datenmatrix die (n × q)–
Faktormatrix
⎛
⎞
f 11 f 12 · · · f 1n
f 21 f 22 · · · f 2n
F =
⎜
⎟
(8.9)
⎝ . . . . ⎠
f q1 f q2 · · · f qn
als möglichst gute Anpassung von
Y = LF . (8.10)
Häufig dient die Faktormatrix F als reduzierte Datenmatrix als Ausgangspunkt
für weitere multivariaten Verfahren (z.B. Clusteranalyse, Regressionsanalyse), weil
einerseits auf Grund der Faktorkonstruktion kaum Information verlorengeht, aber
andererseits durch die oft deutlich reduzierte Variablenanzahl der Rechenaufwand
gesenkt werden kann. Siehe dazu allgemein die Bücher Hartung und Elpelt (1986)
und Harman (1976) und den Artikel Clarkson and Jennrich (1988).
8.5 Korrelationsanalyse
Wenn in einer Analyse nicht die quantitative Beschreibung von Abhängigkeiten
im Vordergrund steht, sondern nur die Frage nach Existenz und allenfalls Stärke
derartiger (linearer) Zusammenhänge gestellt wird, ist die Korrelationsanalyse das
geeignete Werkzeug. Grundlage der Analyse ist dabei die (symmetrische) Korrelationsmatrix
⎛
⎞
1 ρ 12 · · · ρ 1p
ρ 21 1 · · · ρ 2p
R =
⎜
⎟
⎝ . . . . ⎠
ρ p1 ρ p2 · · · 1
bzw. ihre Schätzung durch die empirische Korrelationsmatrix
⎛
ˆR =
⎜
⎝
1 r 12 · · · r 1p
r 21 1 · · · r 2p
. . . .
r p1 r p2 · · · 1
⎞
⎟ , ⎠
wobei r ij für den üblichen Pearsonschen Korrelationskoeffizienten zwischen zwei
(univariaten) Merkmalen x i und x j steht.
Unter dem multiplen Korrelationskoeffizienten eines Merkmals y zu den Merkmalen
x 1 , ...,x p versteht man den betragsgrößten Korrelationskoeffizienten zwischen
y und einer beliebigen Linearkombination
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a p x p

8.5. Korrelationsanalyse 113
der Zufallsgrößen x 1 , ...,x p und ergibt sich zu
√
ρ y,(x1 ,...,x p) = ρ ⊤ y,xR −1 ρ y,x (8.11)
mit ρ y,x = (ρ y,x1 , ...,ρ y,xp ) ⊤ . Die Schätzung erfolgt über die entsprechenden paarweisen
empirischen Korrelationskoeffizienten. Die Größe
B y,(x1 ,...,x p) = r 2 y,(x 1 ,...,x p) (8.12)
heißt multiples Bestimmtheitsmaß und beschreibt, wie gut das Merkmal y durch die
Größen x 1 , ...,x p beschrieben werden kann (0: y ist zu allen x 1 , ...,x p unkorreliert;
1: y ist durch x 1 , ...,x p 100% beschreibbar).
Zum Testen der Hypothese
H 0 : ρ y,(x1 ,...,x p) = 0
mit Signifikanzniveau α verwendet man unter Zugrundelegung von n Beobachtungen
die Prüfgröße
F = r2 y,(x 1 ,...,x p)
(n − 1 − p)
p[1 − ry,(x 2 1 ,...,x ] (8.13)
p)
und verwirft die Hypothese, wenn
F > F p,n−1−p;1−α
ausfällt.
Die Verallgemeinerung des Begriffes der multiplen Korrelation auf den Zusammenhang
zwischen zwei Gruppen x 1 , ...,x p und y 1 , ...,y q von Merkmalen führt
zur kanonischen Korrelation. Sie ist als betragsgrößter einfacher Korrelationskoeffizient
zwischen beliebigen Linearkombinationen
und
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a p x p
b 1 y 1 + b 2 y 2 + · · · + b q y q
erklärt und lässt sich durch √ λ g angeben, wobei λ g den größten Eigenwert der
Matrix
Ψ = Σ −1
x ΣxyΣ −1
y Σ −1
xy
mit
Σx = (Cov(x i , x j )) i,j=1,...,p
Σy = (Cov(y i , y j )) i,j=1,...,q
Σxy = (Cov(x i , y j )) i=1,...,p;j=1,...,p
angibt. Der Gewichtsvektor a = (a 1 , ...,a p ) ⊤ zur kanonischen Korrelation ergibt
sich dann als Eigenvektor von Ψ zum Eigenwert λ g , der Gewichtsvektor
b = (b 1 , ...,b q ) ⊤ berechnet sich zu
b = Σ −1
y Σ ⊤ xyâ .

8.5. Korrelationsanalyse 114
Zur Schätzung von a, b und λ g geht man wieder von den einfachen paarweisen
empirischen Korrelationskoeffizienten aus und überträgt die theoretischen Beziehungen
auf die entsprechenden empirischen Größen.
Das multivariate lineare Modell
In Verallgemeinerung des univariaten Falles betrachtet man hier Beobachtungsgrößen
(genauer: abhängige Größen), bei denen die Erklärung durch ein lineares
Modell nicht unabhängig komponentenweise erfolgt, sondern bei denen unter Ausnützung
der Zusammenhänge (Korrelationen) von Komponenten ein simultanes
lineares Modell zur Beschreibung herangezogen wird. Die Ideen, die beispielsweise
aus der univariaten Varianzanalyse oder Regressionsanalyse bekannt sind, werden
aber auch im multivariaten Fall zugrundegelegt.
In allgemeiner Form ist das multivariate lineare Modell für einen Satz von
multivariaten Beobachtungen y 1 , ...,y n , die zu einer (n ×p)–Beobachtungsmatrix
Y zusammengefasst sind, gegeben durch
wobei
X =
⎜
⎝
die (n × m)–Designmatrix darstellt,
Y = XΨ + E , (8.14)
⎛
Ψ = (ψ (1) , ...,ψ (p) ) =
⎜
⎝
⎞
x 11 x 12 · · · x 1m
x 21 x 22 · · · x 2m
⎟
. . . . ⎠
x n1 x n2 · · · x nm
⎛
⎞
ψ 11 ψ 12 · · · ψ 1p
ψ 21 ψ 22 · · · ψ 2p
⎟
. . . . ⎠
ψ m1 ψ m2 · · · ψ mp
die Modellparameter zur Parametermatrix Ψ zusammenfasst und E = (e 1 , ...,e n ) ⊤
als (n × p)–Fehlermatrix mit
e i ∼ N(0,Σ)
i = 1, ...,n
und
E(e ⊤ i e j ) = O
für i ≠ j
aufgefasst wird. Dabei lassen sich als Restriktion von Parametern lineare Nebenbedingungen
der Form
ZΨ = O (8.15)
für eine passend gewählte Restriktionsmatrix Z vorschreiben.

8.5. Korrelationsanalyse 115
Die Schätzung von Ψ und Σ erfolgt meist über verallgemeinerte Kleinste–
Quadrat–Ansätze. Daneben ist das Testen linearer Hypothesen der Form
H 0 : KΨ = O (8.16)
mit einer geeigneten Testmatrix K von Interesse, wobei auch im multivariaten Fall
dazu eine verallgemeinerte Quadratsumme, welche die durch das Modell erklärte
Variabilität erklärt, in Bezug auf die nicht erklärbare Restvariabilität beurteilt
wird. Einzelheiten und Methoden findet man bei Hartung und Elpelt (1986).

Kapitel 9
Simulation, Erzeugung von
Zufallszahlen
9.1 Erzeugung von Zufallszahlen diskreter Verteilungen
In diesem Abschnitt wird angenommen, dass Zufallszahlen x i mit der Verteilung
p i = P(X = x i ) i=1,...,s erzeugt werden sollen. Ausgangspunkt für jedes Verfahren
sind stetig in (0,1) gleichverteilte Zufallszahlen u. Es wird vorausgesetzt, dass
solch ein Zufallszahlengenerator vorhanden ist. Algorithmen werden in einer C-
ähnlichen Notation niedergeschrieben, die möglichst selbsterklärend ist. Häufig gebraucht
wird dabei die Funktion floor, wobei floor(x) die größte ganze Zahl bezeichnet,
die kleiner oder gleich x ist. Indizes von Vektorelementen beginnen wie
in C bei 0.
9.1.1 Intervalltestverfahren
Bei diesem Verfahren setzt man das Intervall (0,1) aus den einzelnen p i zusammen,
erzeugt eine stetig in (0,1) gleichverteilte Zufallszahl u und schaut, in welchem p i der
rechte Endpunkt des Intervalls (0,u] zu liegen kommt. Das diesem p i zugeordnete
x i ist die erzeugte Zahl. Mit den Vorbesetzungen q i = ∑ i
j=1 p j für i = 1, ...,s − 1
und q s = 1 lautet der Algorithmus:
i=1;
while (u > q i ) i++;
return(x i )
Der Nachteil dieses Verfahrens liegt darin, dass bei großem s im Mittel viele Vergleiche
notwendig sein können. Dies gilt besonders dann, wenn die p i ungefähr gleich
groß sind. Eine Beschleunigung des Verfahrens kann durch eine fallende Anordnung
der p i erzielt werden.
116

9.1. Erzeugung von Zufallszahlen diskreter Verteilungen 117
9.1.2 Ziehung aus einem Speicher
Sind die p i auf maximal d Dezimalstellen gegeben, kann man einen Vektor h der
Länge 10 d erzeugen, der aus p 1 10 d Elementen x 1 , p 2 10 d Elementen x 2 , usw. besteht.
Die Zufallszahl wird durch
return(h[floor(10 d u)])
erzeugt. Dieses Verfahren hat für jede Zufallszahl den gleichen Erzeugungsaufwand,
ist wegen des hohen Speicherplatzbedarfs jedoch nur bei kleinem d sinnvoll einzusetzen.
9.1.3 Marsaglia Tabellen
Dieses Verfahren kombiniert die Vorteile des Intervalltestverfahrens und der Ziehung
aus einem Speicher. Wieder wird vorausgesetzt, dass die p i auf höchstens
d Dezimalstellen gegeben sind. Die p i haben dann die Form p i = ∑ d
j=1 p ij 10 j für
i = 1, ...,s. Man erzeugt Hilfsvektoren h i der Länge n i = ∑ s
j=1 p ji die aus p 1i
Elementen x 1 , p 2i Elementen x 2 ,...,p si Elementen x s bestehen und trifft die Vorbesetzungen
q i = ∑ i
j=1 n j 10 −j für i = 1, ...,s − 1 und q s = 1. Mit zwei stetig in
(0,1) gleichverteilten unabhängigen Zufallszahlen u 1 und u 2 erzeugt der Algorithmus
i=1;
while (u 1 > q i ) i++;
return(h i [floor(u 2 n i )])
Zufallszahlen der vorgegebenen Verteilung. Da die q i sehr rasch gegen 1 steigen,
hat man im Mittel sehr wenig Vergleiche bei den Intervalltests und dazu verhältnismäßig
kleine Hilfsvektoren für die Ziehung aus den Speichern.
9.1.4 Verfahren von A.J. Walker
Es handelt sich hier ebenfalls um ein zweistufiges Verfahren, das Walker (1977) vorgestellt
hat. Im ersten Schritt wird ein Index i nach einer diskreten Gleichverteilung
auf 1,...,s berechnet, im zweiten Schritt erfolgt eine ”
Korrektur“ auf den ”
richtigen“
Index, um die vorgegebene Verteilung zu erhalten. Dazu werden Hilfsindizes
h i und Wahrscheinlichkeiten q i benötigt, die für eine vorgegebene Verteilung fest
sind und vor Aufruf des Algorithmus vorbesetzt werden müssen. Die Zufallszahlen
werden dann einfach durch
i=floor(su 1 )+1;
if (u 2 < q i ) return(x i ) else return(x hi );
erzeugt. Die Berechnung der h i und q i ist etwas komplizierter, muss jedoch nur
einmal durchgeführt werden. Die Abbruchschranke ε muss die Stellenanzahl d, auf
die die p i gegeben sind, berücksichtigen.

9.1. Erzeugung von Zufallszahlen diskreter Verteilungen 118
for (i = 1;i ≤ s; i + +) {
h i = i;
q i = 0;
d i = p i − 1 s ; /* Differenz zwischen vorgegebener Verteilung und diskreter Gleichverteilung
*/
};
while ( ∑ s
j=1 abs(d j ) > ε) {
imin=Index des kleinsten d i ;
imax=Index des größten d i ;
h imin = imax;
q imin = 1 + d imin s; /* d imin ist kleiner als 0 */
d imax = d imax + d imin ;
d imin = 0;
};
Die bisher angeführten Verfahren zur Erzeugung von Zufallszahlen setzen einen
endlichen Wertebereich der Zufallsvariablen voraus. Für die häufig benötigten Verteilungen
mit unendlichem Wertebereich wie z.B. die Poissonverteilung oder die
geometrische Verteilung, gibt es eine Reihe von speziell für diese Verteilungen entwickelten
Verfahren. Stellvertretend wird jeweils nur 1 Verfahren angeführt, wobei
mehr auf Kürze des Algorithmus als auf optimales Rechenzeitverhalten des Generators
Wert gelegt wird.
9.1.5 Geometrische Verteilung
Ist u stetig in (0,1) gleichverteilt, so erzeugt
return(floor(lnu/ ln(1 − p))+1);
Zufallszahlen der Verteilung P(X = i) = p(1 − p) i−1 i = 1, 2, ....
9.1.6 Poissionverteilung
Man erzeugt so lange Zufallszahlen y i mit Y i verteilt Ex 1/ξ (d.h. exponential verteilt),
bis y 1 +y 2 + · · ·+y i ≤ 1 und y 1 +y 2 + · · ·+y i +y i+1 > 1 gilt. Dann ist i nach
P ξ verteilt. Um den mehrmaligen Aufruf der Logarithmusfunktion zur Berechnung
exponential verteilter Zufallszahlen zu vermeiden, bekommt obiger Algorithmus
folgende Gestalt (u i unabhängig stetig in (0,1) gleichverteilt):
i = 0;
while ( ∏ u i ≥ e −ξ ) i++;
return(i);

9.2. Erzeugung von Zufallszahlen stetiger Verteilungen 119
9.2 Erzeugung von Zufallszahlen stetiger Verteilungen
Wie bei den diskreten Zufallszahlengeneratoren gibt es auch bei den stetigen Verteilungen
Verfahren, die allgemein eingesetzt werden können. Viele Algorithmen
für spezielle Verteilungen verwenden Elemente dieser allgemeinen Verfahren.
9.2.1 Inversionsverfahren
Ist die Verteilungsfunktion F(x) der Verteilung, von der die Zufallszahlen erzeugt
werden sollen, in geschlossener Form darstellbar, liefert der Algorithmus
return(F −1 (u))
auf sehr einfache Weise die gewünschte Zufallszahl. Da jedoch viele Verteilungen
nicht in geschlossener Weise darstellbar sind und es oft schnellere Verfahren gibt,
findet das Inversionsverfahren eher wenig Anwendung.
9.2.2 Verwerfungsverfahren
Sollen Zufallszahlen, die nach der Dichtefunktion f(x) verteilt sind, erzeugt werden
und gibt es eine weitere Dichtefunktion h(x), sodass g(x) = αh(x) ≥ f(x), so liefert
der Algorithmus
while (u i > f(y i)
g(y i ) ) i++;
return(y i );
das gewünschte Ergebnis. u i sind in diesem Fall wieder stetig in (0,1) gleichverteilte
Zufallszahlen und y i nach h(x) verteilte Zufallszahlen. Für eine Zufallszahl, die nach
f(x) verteilt ist, werden im Mittel α Paare (u i , y i ) benötigt. Dieses Verfahren ist
dann vorteilhaft einzusetzen, wenn der Aufwand zur Erzeugung von y i gering ist im
Verhältnis zur direkten Erzeugung von Zufallszahlen, die nach f(x) verteilt sind.
9.2.3 Transformationsverfahren
Ist X stetig verteilt mit der Dichtefunktion f(x), Y = g(X) und g(x) umkehrbar,
stetig differenzierbar, g ′ (x) ≠ 0, so ist Y stetig verteilt mit der Dichtefunktion
h(y) = f(g −1 (y))| dg−1 (y)
|. Sollen Zufallszahlen, die nach der Dichtefunktion h(y)
dy
verteilt sind, erzeugt werden, kann dieses Verfahren herangezogen werden.
9.2.4 Vergleichsverfahren
Für Verteilungen mit endlichem Wertebereich, die eine Dichtefunktion der Gestalt
f(x) = αe −h(x) a ≤ x ≤ b und 0 ≤ h(x) ≤ 1 mit α = ( ∫ b
a e−h(x) dx) −1 haben, kann
man folgendes Verfahren verwenden:

9.2. Erzeugung von Zufallszahlen stetiger Verteilungen 120
start: x = a + (b − a)u j++ ;
v = h(x);
i=1;
while (u j ≤ v) { v=u j++ ; i++};
if (i ungerade) return(x) else goto start;
Im Mittel werden (b−a)+∫ b
a eh(x) dx
∫ b stetig in (0,1) gleichverteilte Zufallszahlen u j zur
a e−h(x) dx
Erzeugung einer Zufallszahl x benötigt.
9.2.5 Kompositionsverfahren
Sollen Zufallszahlen x nach der Verteilung F(x) = ∑ s
i=1 p i F i (x) erzeugt werden mit
∑ si=1
p i = 1, p i > 0 und F i (x) Verteilungsfunktion für i = 1, ...,s, so liefert der
Algorithmus
erzeuge i verteilt nach P(Y = i) = p i ;
erzeuge x verteilt nach F i ;
return(x);
die gewünschten Zufallszahlen. Dieses Verfahren ist dann sinnvoll einzusetzen, wenn
sich die Zufallszahlen der Verteilungen F i , für die die p i groß sind, leicht erzeugen
lassen.
9.2.6 Normalverteilung
Es gibt eine große Zahl von Algorithmen zur Erzeugung von N(0,1) verteilten Zufallszahlen.
Der folgende Algorithmus erzeugt ausgehend von 2 unabhängigen stetig
in (0,1) gleichverteilten Zufallszahlen u 1 und u 2 zwei unabhängig N(0,1)-verteilte
Zufallszahlen. Der Algorithmus ist sehr kurz, hat jedoch relativ hohe Rechenzeiten
wegen der Verwendung transzendenter Funktionen.
x 1 = √ −2 lnu 1 cos(2πu 2 )
x 2 = √ −2 lnu 1 sin(2πu 2 )
return(x 1 , x 2 )
9.2.7 Andere häufig verwendete Verteilungen
Exponential verteilte Zufallszahlen (mit dem Mittelwert 1) können nach dem Inversionsverfahren
aus stetig (0,1) gleichverteilten Zufallszahlen u i durch x i = lnu i
erzeugt werden.
Da das Quadrat einer N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen χ 2 1-verteilt ist, lässt sich
eine χ 2 s-verteilte Zufallszahl x einfach durch x = ∑ s
i=1 x 2 i erzeugen, mit x i N(0,1)-
verteilt. Die Rechenzeit lässt sich verringern, wenn man beachtet, dass eine χ 2 2

9.3. Simulation - Bootstrap Verfahren 121
Verteilung eine Exponentialverteilung mit dem Mittelwert 2 ist. Dadurch benötigt
man für χ 2 -verteilte Zufallszahlen neben exponential verteilten Zufallszahlen
höchstens eine N(0,1)-verteilte Zufallszahl (bei ungeradem Freiheitsgrad!).
Da der Quotient von χ 2 -verteilten Zufallsvariablen F-verteilt ist, lassen sich
Zufallszahlen dieser Verteilung ebenfalls sehr leicht erzeugen. Sind x 1 und x 2 Zufallszahlen
einer χ 2 n bzw. einer χ 2 m Verteilung und unabhängig, so ist x = m n
F n,m verteilt.
Auf ähnliche Weise kann man t-verteilte Zufallszahlen erzeugen. Ist x 1 eine nach
N(0,1) und x 2 eine nach χ 2 n verteilte Zufallszahl und sind beide unabhängig, so ist
√ x2
n
x = x 1
nach t n verteilt.
9.3 Simulation - Bootstrap Verfahren
x 1
x 2
nach
Der Einsatz von Zufallszahlen ist vielfältig und reicht von der Ziehung zufälliger
Stichproben, über Monte-Carlo Integration und stochastischer Simulation bis zu
ihrer Verwendung in ganz speziellen Analyseverfahren. Ein Beispiel dafür ist das
Bootstrap Verfahren. Im Rest dieses Abschnittes wird die parameterfreie Schätzung
der Varianz des Stichprobenmittels einer Zufallsvariablen durch die Bootstrap Methode
vorgestellt.
Ausgangspunkt für die Schätzung ist eine Stichprobe x 1 , x 2 , ...,x n vom Umfang
n der betrachteten Zufallsvariablen. Mit Hilfe dieser Stichprobe wird die Verteilung
der Zufallsvariablen parameterfrei durch die empirische Verteilungsfunktion (Masse
1 n an den Sprungstellen x i) geschätzt und m (m entsprechend groß) Stichproben
vom Umfang n von dieser empirischen Verteilung simuliert. Für jede der erzeugten
Stichproben wird das Mittel berechnet. Der übliche Schätzwert für die Streuung
dieser Mittelwerte ist der Bootstrap Schätzer ˆσ n für die Streuung des Stichprobenmittels.
Der eben vorgestellte Algorithmus hat somit folgende Form:
for (i = 1;i

9.3. Simulation - Bootstrap Verfahren 122
Einführende Literatur zum Thema Erzeugung von Zufallszahlen findet man in
den Büchern von Fishman (1978) und Knuth (1981), neuere Details mit guten
Literaturzitaten in Stadlober (1989), eine Behandlung der Bootstrap Methode in
Efron (1982).

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Mass., 1977.

Index
C p -Statistik, 79
Ähnlichkeit, 104
Anisotropie, 90
geometrische –, 91
zonale –, 91
Ausreißer, 81
– im Faktorraum, 82
Average–Linkage–Methode, 104
Bartlett-Test, 65
Bestimmtheitsmaß, 76
multiples –, 110
Bias, 79
Blockplan,
randomisierter –, mit Wechselwirkungen,
60
randomisierter –, 44
BLUE–Schätzer, 35
BMDP,
Beschreibende Statistik, 11
Bootstrap, 118
Box-Plot, 16, 17
Bruchpunkt, 83
Clusteranalyse, 100, 102
Cochran-Test, 66
Complete–Linkage–Methode, 104
Computerprogramme,
verschiedene –, 3
Daten,
–matrix, 99
Daten,
ortsabhängige –, 84
Daten,
prinzipiell, 1
128
Datenanalyse,
statistische –, 2
Dendrogramm, 103
Designmatrix, 33, 111
Diskriminanzanalyse, 100
Distanz,
Cook –, 81
Distanz,
Mahalanobis –, 81
Distanzmatrix, 101
Effekte,
gemischte –, 60
Einfluss,
beschränkter –, 83
F-Test, 24
sequentieller –, 78
Faktor,
Einfluss–, 105
Faktorenanalyse, 100, 104
Fälle, 2
Fehlerterme, 75
Gauß-Markoff,
Satz von –, 35
Geostatistik, 84
geschachtelte Struktur, 88
gestutztes Mittel, 14
grafische Darstellungen, 15
griechisch-lateinisches Quadrat, 50
Grundsätzliches, 1
Gruppierungsmethode, 103
Hartley-Test, 66
Hauptkoordinatenmethode, 102
hierarchische Verfahren, 103

INDEX 129
Homoskedastizitat, 29, 64, 75
Hotelling’s T 2 , 26
Hypothese,
intrinsische –, 86
lineare –, 112
wesentliche –, 86
Hypothesen im linearen Modell, 37
interquartiler Bereich, 12
Intraklaßkorrelationskoeffizient, 54
Kenngrößen, 11
KMEANS–Algorithmus, 103
Konfidenzellipsoid, 36
Konfidenzintervall, 12, 75
Kontingenztafel, 100
Kontraste, 37
lineare, 35
Korrelation,
kanonische –, 110
Korrelationsanalyse, 100, 109
Korrelationskoeffizient,
multipler –, 76, 109
Korrelationsmatrix,
empirische –, 109
Korrelogramm, 86
Kovarianzmatrix, 75
Krige-System, 96
Krige-Varianz, 96
Kruskal–Methode, 102
Kurtosis, 11
Lancaster–Methode, 101
lateinisches Quadrat, 48
orthogonales –, 50
vollständiges, orthogonales –, 51
Levene’s Test, 24
Likelihood–Quotienten–Statistik, 38
lineares Modell,
geschachtelte Hypothesen im –, 39
Hypothesen im –, 37
multivariates –, 100, 111
M-Schätzer, 14
M-Schätzung, 82
MAD, 14
Mahalanobis-Distanz, 26
Mann-Whitney Test, 25
marginale Normalisierung, 100
Median, 12
Median,
Standardfehler, 12
Merkmale, 1
Merkmalsträger, 2
Methode der kleinsten Quadrate, 31
Methode des ‘beitragenden’ Mittels, 15
Mischverteilung, 100
Mittel, 12
Mittel,
Standardfehler, 12
Modalwert, 12
Modell,
allgemeines lineares –, 32
lineares –, 77
nichtlineares –, 77
reduziertes –, 78
Multikollinearitat, 79
Nonlinear Mapping, 101
Normalgleichungen, 75
p-Wert, 13
Parameterfunktion, 35
Parametermatrix, 111
Parametervektor, 75
Plot, 62
Proportional-Effekt, 92
Q-Q-Plot, 17
Quadratsumme, 30
Extra –, 78
Fehler –, 31
mittlere –, 31
Quartimax–Methode, 107
Quasi-Stationaritat, 87
Regression,
gewichtete –, 76

INDEX 130
Regressionanalyse,
multivariate –, 100
Reparametrisierung, 34
Residuenvektor, 34
Restriktionsmatrix, 111
robust, 82
S–Methode, 37
schätzbare Funktion, 35
simultanes Konfidenzintervall, 37
Vertrauensbereich, 36
Schätzvarianz, 95
Schiefe, 11
Semi-Variogramm, 85
Shapiro-Wilk, 12
Single–Linkage–Methode, 104
Skalierung,
kategorielle –, 100
mehrdimensionale –, 100, 101
Stamm-und-Blatt-Darstellung, 13
Standardquadrat, 50
Stationaritat 2. Ordnung, 86
Statistik,
grafische –, 100
multivariate –, 99
Streuungsdiagramm, 16
Subplot, 62
T–Methode, 37
t-Test,
Einstichproben –, 23
Zweistichproben –,
pooled, 23
Zweistichproben –,
separate, 23
Test auf Normalität, 12
Testmatrix, 112
Transformation, 77
Transformationsklasse, 50
Unfold–Technik, 102
uniqueness, 106
Variable, 2
abhängige –, 73
regionalisierte –, 84
unabhängige –, 73
Varianzanalyse,
dreifache –, 45
einfache –, 29
Grundsätzliches, 27
im engeren Sinn, 54
Modell III, 59
Modell III,
Beispiel, 69
Modell II, 53
Modell II,
Beispiel, 69
multivariate –, 100
Varianztests, 64
zweif.–, mit W.w.,
Beispiel, 67
Varianzanalyse,
zweifache –, mit Wechselwirkungen,
41
zweifache –, ohne Wechselwirkungen,
40
einfache –, 53
zweifache –, mit Wechselwirkungen,
57
zweifache –, ohne Wechselwirkungen,
56
Varianzkomponentenanalyse, 54
Varianzkriterium, 103
Varimax–Methode, 107
Variogramm, 85
Einflussbereich, 88
exponentielles –, 93
Gauß’sches Modell, 93
logarithmisches Modell, 93
Potenzmodell, 93
Reichweite, 88
Schwellenwert, 88
sphärisches –, 93
Verhalten beim Ursprung, 89
verallgemeinerte Matrixinverse, 35
Vergleich von Gruppen, 22

INDEX 131
mehrdimensionale Vergleiche, 25
paarweise Vergleiche, 26
univariate Tests, 22
Versuchsplan,
balancierter –, 39
geschachtelter –,
Beispiel, 68
geschachtelter –, 47
griechisch-lateinisches Quadrat, 50
lateinisches Quadrat, 48
randomisierter –, mit Wechselwirkungen,
60
randomisierter –,
Beispiel, 69
randomisierter –, 44, 60
Split-Plot-Plan,
Beispiel, 70
Split-Plot-Plan, 62
unbalancierter –, 39
unbalancierter, vollständiger –, 46
unvollständiger –, 47
vollständiger –, 39
geschachtelter –, 58
Vorlesung,
Situation, 4
Normalverteilung, 117
Poissonverteilung, 115
stetige Verteilungen, 116
t-Verteilung, 118
Transformationsverfahren, 116
Verfahren von Walker, 114
Vergleichsverfahren, 116
Verwerfungsverfahren, 116
Ziehung aus einem Speicher, 114
Wahrscheinlichkeitspapier, 80
Werte,
fehlende –, 2
Wilcoxon’s Rangsummentest, 25
Zentralwert, 12
ZSCORE, 11
Zufallsfunktion, 85
Zufallszahlen,
Chiquadratverteilung, 117
diskrete Verteilungen, 113
Exponentialverteilung, 117
F-Verteilung, 118
geometrische Verteilung, 115
Intervalltestverfahren, 113
Inversionsverfahren, 116
Kompositionsverfahren, 117
Marsaglia Tabellen, 114