Tabl_Det_SS_09 - Institut für Mathematik

ii0

Fachbereich Informatik und Mathematik 

ISMI - Institut für Stochastik 

& Mathematische Informatik 

Vektorräume und Tableaus 

WS 2009 

H. Dinges 

5. Dezember 2011

INHALTSVERZEICHNIS 

i 

Inhaltsverzeichnis 

5.1 Teilvektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

5.2 Das Austauschverfahren und Spaltentableaus. . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

5.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

5.4 Ausblicke auf lineare Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

5.4 Dreiecksreduktion; LU-Faktorisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

5.5 Linearformen, Bilinearformen und Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

5.6 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 

5.7 Alternierende Multilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

5.8 Determinanten und Unterdeterminanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

5.9 Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 

@ Prof. Dr. H. Dinges, Tableaus (SS 2009), 5. Dezember 2011

Abschnitt V 1 

Einleitung zum Einschub 

Wir haben oben im Kapitel I. Rechengrößen‘ Vektoren als geometrische Objekte kennengelernt 

und in übersichtlichen Beispielen ins Spiel gebracht. — Das ist es, was man in 

der Regel einem Nichtmathematiker in der Grundvorlesung nahezubringen versucht. Den 

effizienten Umgang mit Systemen von Vektoren und linearen Gleichungssystemen lernt er 

(oder sie) dann in der Veranstaltung zur Numerischen Mathematik. 

Den Mathematikstudenten wird heute meistens schon sehr früh eine algebraische Theorie 

der Vektorräume und ihrer linearen Abbildungen vorgelegt, nachdem man davor nur 

ganz kurz und förmlich die ‘Gundbegriffe’ Menge, Gruppe, Körper und Ring definiert hat. 

Dieser Aufbau der Grundvorlesung, der sich dann auf kürzestem Weg auf die linearen 

Gleichungssysteme und die Determinantenlehre des 19. Jahrhunderts stürzt, scheint mir 

nicht glücklich. Die Idee der Basis eines endlichdimensionalen (reellen oder komplexen) 

Vektorraums ist so plausibel, dass sie auch ohne Beweis mit Verstand und Erfolg verwendet 

werden kann. Und es scheint mir kein guter Beitrag zur Entwicklung von geometrischer 

Kompetenz, wenn man die Idee der Abbildung für den Anfänger an die lineare Theorie 

bindet —dem Anfänger sollte m. E. die Gelegenheit geboten werden, sich anhand von 

anschaulicheren Objekten die prinzipiellen und vielseitig verwendbaren Denkweisen der 

analytischen Geometrie zu erarbeiten. Ich denke z. B. an die Permutationen oder an 

konkrete Abbildungen der komplexen Ebene (oder des ‘Anschauungsraums’). 

Eine genauere Untersuchung der algebraischen Struktur eines Vektorraums würde ich 

gerne an das Ende des ersten Semesters rücken. Der hier vorgestellte Einschub für ‘echte’ 

Mathematiker trägt der heute üblichen Forderung Rechnung, die Vektorräume, gleich 

wenn sie zum ersten Mal ins Bild kommen, als Gelegenheit zu nutzen, eine systematisch 

aufgebaute algebraisch-algorithmische Theorie vorzustellen. Er bleibt nicht ganz beim 

Üblichen. Wir geben uns z. B. mehr als üblich Mühe mit der Notation der Tupel und 

mit der Differenzierung der verschiedenen Aspekte der Matrizenrechnung. Die linearen 

Gleichungssysteme behandeln wir mit der in der Lehrbuchliteratur noch nicht so weit 

verbreiteten Methode der Tableaus. Das in den üblichen Lehrtexten besonders geschätzte 

Gauss’sche Eliminationsverfahren (mit den sog. elementaren Matrixumformungen) wird 

zwar kurz abgehandelt, nimmt aber bei uns keinen zentralen Platz ein. Die Austauschmethode 

für Tableaus ist ihm u. E. deutlich überlegen, sowohl im Hinblick auf die Übersichtlichkeit 

der Resultate (und dem Aspekt der Vektorraumdualität) als auch wegen ihrer 

Anwendbarkeit bei den linearen Ungleichungen. 

Diejenigen, die bereit sind, die im 5. Unterabschnitt auf das Studium der linearen Gleichungssysteme 

folgenden abstrakt-algebraischen Betrachtungsweisen bis zum Ende des 

Semesters aufzuschieben, sollten zurückwechseln zu den ( dem Anfänger leichter zugänglichen) 

Betrachtungen unseres Manuskripts, am besten vielleicht sofort ins Kapitel II. 

‘Abbildungen’. Die Resultate des Einschubs werden erst viel später gebraucht, und die 

auch die späten Abschnitte des Kapitels I. ‘Rechengrößen’ können später erarbeitet werden 

werden. Bevor wir uns nun der algebraischen Theorie der Vektorräume zuwenden, 

schicken wir einen Überblick über einige nützliche Ausdrucksweisen voraus. 


2 Abschnitt V Vektorräume und Tableaus 

Die Sprache der Familien, Zeilen, Spalten und Matrizen 

Eine Familie mit der Indexmenge I liegt vor, wenn jeden i aus I ein Objekt o i zugeordnet 

ist. Man notiert {o i : i ∈ I} oder (o i ) i∈I . Man spricht auch von einer Schar mit dem 

Scharparameter i aus I, oder im Englischen ‘family’ oder ‘collection of objects, parametrized 

by i ∈ I’. Das Objekt o i heisst der Eintrag in der Position i, oder im Englischen 

‘entry in position i’. 

Eine Familie zu einer endlichen Indexmenge nennt man auch ein I-Tupel. Ein n-Tupel 

ist eine Familie mit einer Indexmenge der Mächtigkeit n. Häufig ist I = {1, 2, . . ., n} und 

man notiert dann auch {o i : i = 1, 2, . . ., n} oder einfach (o 1 , o 2 , . . .,o n ). 

Wenn die Indexmenge I abzählbar ist, dann spricht man auch von einer Folge von 

Objekten, indiziert mit den Elementen der abzählbaren Menge I. Häufig ist I = N = 

{1, 2, . . .} oder I = Z + = N 0 = {0, 1, 2, . . .} und man notiert {o i : i = 1, 2, . . .} bzw. {o i : 

i = 0, 1, 2, . . .}. Auch die Notationen (o 1 , o 2 , . . .) bzw. (o 0 , o 1 , o 2 , . . .) sind gebräuchlich. 

Bemerke: Wenn {v i : i ∈ I} eine endliche Familie von Vektoren (in irgendeinem 

Vektorraum V ) ist, dann ist ∑ i∈I v i ein wohlbestimmter Vektor. Es kommt nicht darauf 

an, dass man die Indizes irgendwie anordnet, die Reihenfolge der Summanden spielt keine 

Rolle. Wenn die Indexmenge partioniert ist, I = I 1 + I 2 (disjunkte Vereinigung), dann 

gilt offenbar ∑ i∈I v i = ∑ i∈I 1 

v i + ∑ i∈I 2 

v i . 

Eine I × J-Matrix A mit Einträgen aus der Menge O liegt vor, wenn jedem Paar 

ij ∈ I × J eine Element o ij aus O zugeordnet ist. Man notiert auch A = (o ij ) ij∈I×J . 

Die i ∈ I heissen die Zeilenindizes der Matrix, die j ∈ J heissen die Spaltenindizes. Das 

Objekt o ij heisst der Eintrag in der Position ij oder auch der Eintrag in der i-ten Zeile 

und j-ten Spalte. 

Eine m × n-Matrix ist eine I × J-Matrix, wo |I| = m, |J| = n. Im Falle I = 

{1, 2, . . ., m} und J = {1, 2, . . ., n} kann man von der ersten, zweiten,... Zeile bzw. 

Spalte sprechen. Wenn man eine n × m-Matrix auf Papier notiert, dann muss man sich 

für eine Aufzählung der Indexmengen entscheiden; man liest man von links nach rechts 

und von oben nach unten. 

⎛ 

⎞ 

o 11 o 12 . . . o 1n 

A = (o ij ) i=1,...,m; j=1,...,n = ⎜o 21 o 22 . . . o 2n 

⎟ 

⎝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎠ 

o m1 o m2 . . . o mn 

Warnung: Die Menge aller I-Tupel mit Einträgen aus der Objektmenge O hat zunächst 

einmal keinerlei algebraische Struktur. Wir müssen im konkreten Fall festlegen, welche 

Rechenoperationen wir ins Spiel bringen wollen. 

Zeilen und Spalten 

Wenn wir die I-Tupel mit Einträgen aus einem Körper K (in der naheliegenden Weise) zu 

einem K-Vektorraum machen, dann wollen wir einen Unterschied machen zwischen dem 


Abschnitt V 3 

Raum der I- Spalten K I Sp und dem Raum der I- Zeilen KI Z . Man muss beachten: I- 

Zeilen mit Einträgen aus K kann man linear kombinieren, ebenso I-Spalten. Eine I-Spalte 

kann man aber nicht zu einer I-Zeile dazuaddieren. 

In der ‘Vektorrechnung’, die wir unten entwickeln, arbeitet man nicht nur mit Tupeln 

von Skalaren, sondern häufig auch mit Tupeln von Vektoren. Beispielsweise ist ein ‘aufspannendes 

System’ oder speziell eine ‘Basis’ in der Regel als eine Familie von Vektoren 

{u i : i ∈ I} gegeben, und nicht einfach als eine Menge von Vektoren. 

Auch hier mag es manchmal hilfreich sein, darauf hinzuweisen, ob man sich das Tupel 

als eine Zeile oder als eine Spalte aufgelistet denken will. 

Eine I × J-Matrix versteht man manchmal gerne als ein Tupel von I-Spalten, nebeneinandergeschrieben 

mit dem Scharparameter j ∈ J. Manchmal denkt man dabei lieber 

an ein Tupel von J-Zeilen, untereinandergeschrieben mit dem Scharparameter i ∈ I. 

Die Unterteilung von Familien und Matrizen 

Eine Familie von Objekten zerteilt man, indem man die Indexmenge zerteilt. (Der Fachmannsagt 

‘partitioniert’) Die Partition I = I 1 + I 2 (disjunkte Vereinigung) macht aus 

einer Familie mit dem Scharparameter i ∈ I zwei Familien, nämlich {o i : i ∈ I 1 } und 

{o i : i ∈ I 2 }. Andererseits: Wenn zwei Familien mit disjunkte Pametermengen I 1 und I 2 

gegeben sind, dann kann man diese zu einer Familie mit der Parametermenge I = I 1 + I 2 

zusammenfügen. 

Wichtig ist das Zerteilen von Matrizen, welches durch eine Partitionierung der Spaltenmenge 

(oder der Zeilenmenge) entsteht. Wenn wir bei einer Matrix A deutlich machen 

wollen, dass es sich um eine I ×J-Matrix handelt, dann notieren wir A = A I J . Wir denken 

besonders an Matrizen mit Einträgen aus einem Körper. Für A = A I J und B = BJ K ist 

das Produkt eine wohldefinierte I × K-Matrix A · B = CK I . 

Wenn die Indexmengen zerlegt sind, dann schreiben wir manchmal 

A I 1+I 2 

J 1 +J 2 

= 

⎛ 

⎝ 

A I 1 

J 1 

A I 1 

J 2 

A I 2 

J 1 

A I 2 

J 2 

⎞ 

⎠ = 

⎛ 

⎝ 

A I 1 

J1 

A I 2 

J1 

⎞ 

A I 1 

J2 

⎠ . 

A I 2 

J2 

Unterteilte Matrizen werden wir nur dann multiplizieren, wenn die Partition der Spaltenmenge 

der ersten Matrix J = J 1 + J 2 dieselbe ist, wie die Partition der Zeilenmenge des 

zweiten Faktors. In diesem Fall haben wir 

( ) ( ) 

A11 A 12 B11 B 

· 12 

A 21 A 22 B 21 B 22 

= 

= 

( ) 

C11 C 12 

= 

C 21 C 22 

( ) 

A11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22 

. 

A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22 



5.4 Teilvektorräume 

Es sei K irgendein Körper. 

Definition 5.8 (K-Vektorraum). Ein K-Vektorraum ist ein Tupel 

(V,o, +, ·) . 

Hierbei ist V eine Menge mit einem ausgezeichneten Element o und einer Verknüpfung 

+, welche (V,o, +) zu einer kommutativen Gruppe macht, wo o das neutrale Element ist. 

Die skalare Multiplikation · ist eine Abbildung 

K × V → V , (a,v) ↦→ a · v 

mit den Eigenschaften 

a · (v 1 + v 2 ) = a · v 1 + a · v 2 , 

(a + b) · v = a · v + a · v , 

a · (b · v) = (a · b) · v , 

1 · v = v . 

Notation: Es sollte dem Anfänger eine Hilfe sein, wenn wir in unserem Text die 

Vektoren zunächst einmal mit Fettbuchstaben bezeichnen. Um die (für handschriftliche 

Notizen eher unbequeme) Unterscheidung der Alphabete überflüssig zu machen, werden 

wir aber darauf achten, die Vektoren vorwiegend mit Buchstaben wie u, v, w zu bezeichnen, 

während wir für die Skalare vorwiegend Buchstaben wie a, b, c verwenden. Es müssen 

dann in der Handschrift nur noch Wege gefunden werden, den Skalar 0 nicht mit dem Nullvektor 

o zu verwechseln. Für Teilvektorräume benützen wir Buchstaben wie U, V, W. Wir 

betrachten hier Mengen und (meist endliche) Familien von Vektoren in einem festen K- 

Vektorraum V . In diesem Unterabschnitt (und auch später manchmal) werden wir die 

Vektoren aus V von rechts mit Skalaren multipizieren. In der Sache macht das keinen 

Unterschied; w · a ist derselbe Vektor wie a · w. 

Definition 5.9 (Teilvektorraum). Eine nichtleere Teilmenge W eines K-Vektorraums 

( 

V,o, +, K 

) 

heisst ein Teilvektorraum (oder auch ein Unterraum), wenn sie gegen Addition 

und skalare Multiplikation stabil ist, wenn sie also mit den eingeschränkten Operationen 

selbst ein K-Vektorraum ist. 

w 1 ,w 2 ∈ W ⇒ w 1 + w 2 ∈ W; w ∈ W, a ∈ K ⇒ a · w ∈ W. 

Bemerke: Der Gesamtraum V und der Raum {o}, der nur aus dem Nullvektor besteht, 

sind Teilvektorräume. Wir wollen nicht dem Brauch folgen, letzteren den Nullraum zu 

nennen. Das Wort ‘Nullraum’ werden wir an anderen Stellen benötigen. . 

Satz 5.4.1. Zu jeder Menge M von Vektoren in V existiert ein kleinster M umfassender 

Teilvektorraum. 


5.4 : Teilvektorräume 5 

Erster Beweis: Der Durchschnitt von (beliebig vielen) Teilvektorräumen des umfassenden 

Raums V ist offenbar ein Teilvektorraum. Der Durchschnitt aller die Menge M 

umfassenden Teilvektorräume ist der kleinste M umfassende Teilvektorraum. Ein weiteren 

Beweis, welcher etwas über die Elemente sagt, werden wir umgehend führen. 

Definition 5.10 (Lineare Hülle, Erzeugendensystem). Den kleinsten M umfassenden 

Teilvektorraum nennt man die lineare Hülle oder den von M aufgespannten Vektorraum. 

Man bezeichnet ihn mit span M. 

Im gleichen Sinn: Wenn {w α : α ∈ I} eine Familie von Vektoren ist, dann nennt 

man den kleinsten Teilvektorraum W, der alle w α enthält, den von den w α aufgespannten 

Vektorraum. Man nennt ihn auch die lineare Hülle der Familie; und man notiert 

W = span{w α : α ∈ I}. Man sagt in diesem Fall, die Familie {w α : α ∈ I} sei ein 

Erzeugendensystem des Teilvektorraums W. 

Satz 5.4.2. Die lineare Hülle der Familie {w α : α ∈ I} ist die Gesamtheit aller Vektoren 

von der Gestalt w = ∑ α a α · w α , wobei nur endlich viele der Koeffizienten ≠ 0 sind. 

Der Beweis liegt auf der Hand. 

Wichtig ist die folgende Situation: Seien W 1 und W 2 Teilvektorräume von V . Der von der 

Vereinigung W 1 ∪ W 2 aufgespannte Vektorraum W wird häufig mit W 1 + W 2 bezeichnet; 

er besteht aus allen Vektoren von der Gestalt w = w 1 + w 2 mit w i ∈ W i . 

Warnung: Hier bezeichnet W 1 + W 2 nicht, wie bei uns sonst üblich, die disjunkte 

Vereinigung zweier Mengen. Im Falle, wo W 1 und W 2 nur den Nullvektor gemeinsam 

haben, nennt man W 1 + W 2 die ‘innere direkte Summe’ der beiden Teilvektorräume; und 

man bringt die Eigenschaft W 1 ∩ W 2 = {o} durch die die Notation W = W 1 ⊕ W 2 zum 

Ausdruck. 

Hinweis: Wenn V 1 und V 2 irgendwelche K-Vektorräume sind, die zunächst einmal nichts 

miteinander zu tun haben, dann kann man die Menge der Paare (v 1 , v 2 ) als einen Vektoraum 

verstehen, den man als die ‘äussere direkte Summe’ bezeichnet und wie eine ìnnere 

direkte Summe innerhalb eines gegebenen Vektorraums mit V = V 1 ⊕ V 2 bezeichnet. 

Dim 

Definition 5.11 (Endlich erzeugter Unterraum, Dimension). 

Ein Vektorraum V heisst abzählbar (bzw. endlich) erzeugt, wenn eine abzählbare (bzw. endliche) 

aufspannende Familie existiert. Einen endlich erzeugten Vektorraum nennt man 

auch einen endlichdimensionalen Vektorraum. Die minimale Länge einer aufspannenden 

Familie heisst die Dimension des Vektorraums. 

Programm: Im Folgenden werden wir sehen, dass jeder Teilvektorraum eines abzählbar 

erzeugten Vektorraums ebenfalls abzählbar erzeugt ist. Im endlichdimensionalen Fall wird 

sich zeigen, dass jeder echte Teilvektorraum eine echt kleinere Dimension hat. 

Definition 5.12 (Lineare Unabhängigkeit). Man nennt eine Familie {w α : α ∈ I} linear 

unabhängig, wenn man den Nullvektor nur auf die triviale Weise als Linearkombination 



der w α gewinnen kann. 

{w α : α ∈ I} linear unabhängig ⇐⇒ 

(∑ 

α 

) 

a α · w α = o ⇒ ∀α : a α = 0 . 

Wenn die Familie nicht linear unabhängig ist, dann ist sie linear abhängig, und das 

bedeutet, dass man den Nullvektor auf nichttriviale Weise linear kombinieren kann. Es 

existieren Indizes α 1 , . . .,α m und Koeffizienten a 1 , . . .,a m ≠ 0, sodass ∑ m 

l=1 a l · w αl = o. 

In diesem Falle kann man jeden der Vektoren w αk als Linearkombination der übrigen 

gewinnen. 

Satz 5.4.3 (Die Existenz linear unabhängiger Erzeugendensysteme). 

Der Vektorraum V sei die lineare Hülle der (endlichen oder abzählbaren) Familie {w k : 

k ∈ K}. Es existiert dann eine linear unabhängige Teilfamilie, welche V aufspannt. 

Beweis: 

Wir beweisen mehr: Es sei in V auch noch ein linear unabhängiges m-Tupel (u 1 , . . .,u m ) 

gegeben, und die Indexmenge K sei angeordnet, K = N. Wir zeigen, dass eine Teilfolge 

K ′ = (i 1 , i 2 , . . .) existiert, sodass (u 1 , . . .,u m ,w i1 ,w i2 , . . .) ein linear unabhängiges Erzeugendensystem 

von V ist. 

Es ist nichts zu zeigen, wenn bereits (u 1 , . . .,u m ) den Vektorraum V aufspannt. 

Wenn das nicht so ist, dann sei w i1 der erste Vektor, welcher nicht im Vektorraum 

V m = span(u 1 , . . .,u m ) liegt. Das (m + 1)-Tupel (u 1 , . . .,u m ,w i1 ) ist linearunabhängig; 

denn die Annahme einer nichttrivialen Relation b 1 ·u 1 +· · ·+b m ·u m +b m+1 ·w i1 = o führt 

sowohl im Fall b m+1 = 0 als auch im Fall b m+1 ≠ 0 zu einem Widerspruch mit den Annahmen. 

In derselben Weise fahren wir fort. Entweder gelangen wir in endlich vielen Schritten 

zu einem linear unabhängigen aufspannenden System, oder finden eine unendliche linear 

unabhängige Folge, mit deren Einträgen man jedes w n linear kombinieren kann. 

Das Resultat kann man auch folgendermaßen ausdrücken 

asiserg Satz 5.4.4 (Basisergänzungssatz). Im Vektorraum V sei {u i : i ∈ I} ein linear unabhängiges 

System und {w k : k ∈ K} ein aufspannendes System. Man kann dann das 

System der u i durch Vektoren aus dem Vorrat des Systems der w k zu einem linear unabhängigen, 

V aufspannenden System ergänzen. 

Definition 5.13 (Basis). Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraums 

heisst eine Basis dieses Vektorraums. 

Eine Basis von V ist auch dadurch gekennzeichnet, dass man jeden Vektor aus V auf 

genau eine Weise als Linearkombination der Basisvektoren gewinnen kann. Wir zeigen, 

dass jede Basis dieselbe Länge hat; diese Länge ist die minimale Länge eines aufspannenden 

Systems; und das ist nach unserer Definition 5.4 die Dimension des Vektorraums. 



Hinweis 

Wir haben eben gesehen, dass jeder abzählbar erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt.— 

Die Frage, ob jeder Vektorraum eine Basis besitzt, wollen wir hier nicht verfolgen. Eine 

positive(!) Antwort auf diese Frage erfordert eine kompetente Nutzung des sog. Auswahlaxioms. 

sisaustausch Piv Satz 5.4.5 (Basisaustausch). Jede Basis eines endlich erzeugten Vektorraums hat dieselbe 

Länge. 

Beweis: Es seien (u 1 , . . .,u m ) und (v 1 , . . .,v n ) Basen von V . Wir nehme m ≤ n an und 

zeigen m = n. 

Der Vektor v 1 besitzt (genau) eine Darstellung durch die u i . Wir können annehmen, dass 

der Koeffizient von u 1 ungleich 0 ist, da wir frei sind, die u i umzunummerieren. Wir 

können dann u 1 und die v j mit j ≥ 2 aus den Vektoren in M 1 = (v 1 ,u 2 , . . .,u m ) linear 

kombinieren. 

pivot (1) 

(2) 

u 1 · a 1j + 

∑ 

1 

u i · a i1 = v 1 ; v 1 · − 

a 

i 

11 

m∑ 

1 

u i · a ij = v j = v 1 · a 1j + 

a 11 

i=2 

m∑ 1 

u i · a i1 = u 1 . 

a 11 

m∑ 

( ) 

1 

u i · a ij − a i1 a 1j . 

a 11 

i=2 

i=2 

M 1 ist eine Basis; denn alle u i liegen in span M 1 und eine nichttriviale Relation würde 

auch eine nichttriviale Relation in M 0 = (u 1 ,u 2 , . . .,u m ) ergeben. 

v 2 besitzt eine Darstellung in der Basis M 1 , v 1 · b 12 + u 2 · b 22 + · · · + u m · b m2 = v 2 . Nicht 

alle Koeffizienten der u i können verschwinden. Wir können b 22 ≠ 0 annehmen und nach 

u 2 auflösen. Wir erhalten eine Basis M 2 = (v 1 ,v 2 ,u 3 , . . .,u m ). Mit der Darstellung von 

v 3 in dieser Basis fahren wir fort. Wenn wir die Anordnung der verbliebenen u i für den 

nächsten Schritt passend machen, dann können wir weiter austauschen; u 3 gegen v 3 , und 

so weiter, bis alle u i aus der Basis entfernt sind. Wir haben schliesslich eine Basis, die aus 

Vektoren v j besteht. Kein echtes Teilsystem von (v 1 , . . .,v n ) spannt den Raum auf, also 

gilt m = n. 

Wir werden die Rechenschritte des Austauschverfahrens im nächsten Abschnitt noch im 

Einzelnen verfolgen. 

Warnung: Man hört manchmal Sätze wie den folgenden: ” 

Gegeben seien n linear 

unabhängige Vektoren ...“. Gemeint ist natürlich: ” 

Gegeben sei ein linear unabhängiges 

n-Tupel von Vektoren ...“. Nicht die Vektoren sind linear unabhängig, sondern das Tupel. 

Man sagt auch manchmal (inkorrekterweise): ” 

Der Vektor v ist linear abhängig von 

den Vektoren ...“. Gemeint ist, dass er linear abhängig ist vom Tupel der Vektoren... ; 

d. h. dass er in der linearen Hülle der betreffenden Menge von Vektoren liegt. 



MaBaWe Satz 5.4.6 (Die Matrix eines Basiswechsels). Es sei {u i : i ∈ I} eine Basis des Vektorraums 

U. Eine Familie {w k : k ∈ K} ist genau dann ebenfalls eine Basis, wenn sie mittels 

einer invertierbaren Matrix A I K aus den u i hervorgeht; 

(3) w k = ∑ i 

u i · a i k für k ∈ K; (u 1 , . . .,u m ) · A = (w 1 , . . .,w m ). 

Beweis: 

Wenn die Matrix A invertierbar ist, dann stellt die Inverse A −1 die u i durch die w k dar. 

Wir haben ein aufspannendes System der Länge |K| = |I| = m, also eine Basis. 

Wenn nun {w k : k ∈ K} eine Basis ist und A die (eindeutig bestimmte) Matrix, die 

die w k aus den u i linear kombiniert, dann müssen wir die Invertierbarkeit von A zeigen. 

Wir machen das recht ausführlich, weil es uns Gelegenheit gibt, Nützliches über Matrizen 

und den Raum der I-Spalten (mit seiner ‘Standardbasis’ {e i : i ∈ I}) zu sagen. 

Man sagt von einer Matrix A I K , dass sie eine Rechtsinverse besitzt, wenn ihre Spaltenmengen 

den Raum K I Sp aller i-Spalten aufspannt. In diesem Fall kann man nämlich 

insbesondere die Einheitsspalten e i aus den Spalten von A linear kombinieren. Wenn man 

solche Koeffizienten-Tupel zu den Spalten einer Matrix R = RI 

K zusammenfasst, ergibt 

sich A I K · RK I = EI I. Umgekehrt zeigt AI K · RK I = EI I dass man alle I-Spalten aus den 

Spalten von A linear kombinieren kann. 

Die Matrix A ist jedenfalls dann invertierbar, wenn sie eine Rechtsinverse besitzt 

und linear unabhängige Spalten hat, wenn also die Menge der Spalten von A eine Basis 

von K I Sp ist. In diesem Fall kann man nämlich die Spalten von A nur auf die triviale 

Weise aus den Spalten von A linear kombinieren, R ist eindeutig bestimmt, und aus 

A · (RA) = (AR) · A = A folgt RA = EK K . Die Matrix R ist also auch Linksinverse; A ist 

invertierbar. 

Es sei nun {w k : k ∈ K} eine Basis und R die Matrix, die die u i durch die w k darstellt. 

(u i = ∑ k w k · ri k). R ist eine Rechtsinverse, weil man die u i nur auf die triviale Weise aus 

den u i linear kombinieren kann, und 

(u 1 , . . .,u m ) · AR = (u 1 , . . .,u m ). 

Wegen |K| = |I| ist R tatsächlich die Inverse, R = A −1 . 

Satz 5.4.7 (Dimensionsformel). Sind V und W Teilvektorräume eines endlichdimensionalen 

Vektorraums, dann sind auch U = V ∪ W und V + W Teilvektorräume und es 

gilt 

(4) 

dim ( V + W ) + dim ( V ∩ W ) = dim V + dim W. 

Beweis: 

Es sei dim V = s, dim W = t, dim U = r; und es sei (u 1 ,u 2 , . . .,u r ) eine Basis von U. Wir 

können diese Basis einerseits zu einer Basis von V fortsetzen, (u 1 , . . .,u r , v 1 , . . .,v s−r ) 



und andererseits zu einer Basis von W, (u 1 , . . .,u r , w 1 , . . .,w t−r ). Wenn wir die hier 

auftretenden r + (s − r) + (t − r) Vektoren zusammennehmen, erhalten wir ein V + W 

aufspannendes System. Wir müssen zeigen, dass dieses (s+t−r)-Tupel linear unabhängig 

ist. Wenn man den Nullvektor linear kombiniert ∑ i u i · a i + ∑ j v j · b j + ∑ k w k · c k = o, 

dann liegt der Vektor ∑ i u i · a i + ∑ j v j · b j = − ∑ k w k · c k sowohl in V als in W. 

Da aber die Vektoren in V ∩ W auf nur eine Weise aus den Elementen der Familie 

(u 1 , . . .,u r , v 1 , . . .,v s−r ) linear kombiniert werden können, haben wir b j = 0 für alle j. 

Ebenso ergibt sich c k = 0 für alle k; und schliesslich folgt aus ∑ i u i ·a i = o, dass auch alle 

Koeffizienten a i verschwinden. Wenn V ′ = span{v 1 , . . .,v s−r }; W ′ = span{w 1 , . . .,w t−r }, 

dann haben wir V + W = U ⊕ V ′ ⊕ W ′ . 

Vektorraum-Homomorphismen 

Definition 5.14. Es sei U ein m-dimensionaler und W ein n-dimensionaler K- 

Vektorraum. Eine Abbildung ϕ : W → U heisst eine lineare Abbildung oder auch ein 

K-Vektorraum-Homomorphismus, wenn für alle Vektoren w und alle Skalare a gilt 

(5) ϕ(w 1 + w 2 ) = ϕ(w 1 ) + ϕ(w 2 ); (‘Additivität’); ϕ(a · w) = a · ϕ(w). 

Der Definitionsbereich W heisst auch der Urbildraum, U heisst der Zielraum von ϕ. Zum 

Homomorphismus definiert man den Kern und das Bild 

ker ϕ = {w : ϕ(w) = 0} 

⊆ W 

im ϕ = {u : u = ϕ(w) für ein w ∈ W } ⊆ U. 

Die Dimension des Bilds heisst der Rang der Abbildung ϕ. 

Wir erwähnen auch noch einige weitere Bezeichnungen 

Sprechweise 5.4.1. Ein Vektorraum-Homomorphismus ϕ heisst 

Monomorphismus, wenn er injektiv ist, d. h. wenn der Kern aus dem Nullvektor besteht, 

Epimorphismus, wenn er surjektiv ist, wenn also der Bildraum der gesamte Zielraum ist, 

Isomorphimus, wenn er bijektiv ist. 

Ein Vektorraum-Homomorphismus von W in sich heisst Endomorphismus, und er 

heisst Automorphismus, wenn er bijektiv ist. 

Rg Satz 5.4.8 (Satz vom Rang). Wenn ein Homomorphismus eines n-dimensionalen Vektorraums 

den Rang r hat, dann hat sein Kern die Dimension n − r. 

Beweis: 

Es sei (w 1 ,w 2 , . . .,w k ) eine Basis des Kerns, und (w k+1 , , . . .,w n ) eine Fortsetzung zu 

einer Basis von W. Die Bildvektoren (ϕ(w k+1 ), . . .,ϕ(w n )) spannen offenbar den Bildraum 

auf. Wir zeigen, dass sie linear unabhängig sind. Ist nämlich ∑ n 

j=k+1 a j · ϕ(w j ) 

( ∑n 

) 

= ϕ 

j=k+1 a j · w j 

der Nullvektor, so liegt ∑ n 

j=k+1 a j · w j im Kern. Die lineare Hülle 



der Familie (w k+1 , , . . .,w n ) hat aber mit ker ϕ nur den Nullvektor gemeinsam. Wegen 

der linearen Unabhängigkeit verschwinden alle Koeffizienten a j . 

Der Spezialfall r = n liefert den 

Bij Satz 5.4.9 (Satz von der Bijektivität). Es sei ϕ ein Homomorphismus eines n-dimensionalen 

Vektorraums in einen n-dimensionalen Vektorraum. ϕ ist dann genau dann ein 

Epimorphismus, wenn ϕ ein Monomorphismus ist. Anders gesagt: Bei einer linearen Abbildung 

eines n-dimensionalen Vektorraum in einen n-dimensionalen Vektorraum ist die 

Surjektivität ebenso wie die Injektivität notwendig und hinreichend für die Bijektivität. 

Konstruktionsaufgaben: 

Der Matrizenkalkül ist ein mächtiges Hilfsmittel, wenn Konstruktionen in Vektorräumen 

gefordert sind. Wir benützen die folgenden Sprech- und Notationsweisen: 

Sprechweise 5.4.2. Der von den Spalten einer I × J-Matrix A aufgespannte Teilraum 

des Raums K I Sp heisst der Spaltenraum der Matrix. Wir bezeichnen ihn mit span Sp A. 

Seine Dimension heisst der Spaltenrang der Matrix A. 

Der von den Zeilen einer I ×J-Matrix A aufgespannte Teilraum des Raums K J Z heisst 

der Zeilenraum der Matrix. Wir bezeichnen ihn mit span Z A. Seine Dimension heisst der 

Zeilenrang der Matrix A. 

Wir haben abstrakt bewiesen, dass es in einem (endlichdimensionalen) Vektorraum 

zu jeder Familie von Vektoren {v j : j ∈ J} eine Teilfamilie gibt, welche eine Basis 

des aufgespannten Teilvektorraums ist. Im nächsten Abschnitt wollen wir eine solche 

Teilfamilie konkret finden in einer Situation wie der folgenden: Im m-dimensionalen Raum 

U 

∑ 

mit der Basis {u i : i ∈ I} sind n Vektoren v j durch ihre Basisdarstellung gegeben: 

i∈I u i · a ij = v j für j ∈ J. Die Vektoren v j erscheinen damit als die Spalten in einer 

I × J-Matrix A. Es stellen sich jetzt die Aufgaben: 

1. Finde ein linear unabhängiges Tupel von maximaler Länge, sagen wir {v j : j ∈ J | }. 

2. Finde die Darstellung der übrigen v j in der gefundenen Basis. 

v m = ∑ j∈J | v j · k j m für m ∈ J ‖ = J \ J | . 

3. Entscheide von einer vorgegebenen Spalte ṽ , ob sie als Linearkombinationen der 

Spalten von A dargestellt werden kann. ṽ = ∑ i u i · b i = ∑ j v j · x j . ? 

4. Gegeben sei eine Basis {v j : j ∈ J} eines Unterraums V und eine Basis {w k : 

k ∈ K} eines Unterraums W. Bestimme die Dimension d und finde eine Basis des 

Durchschnitts. 



Bemerke: Die letztere Konstruktionsaufgabe kann man auch etwas anders formulieren: 

Die Elemente des Durchschnitts sind diejenigen Vektoren, die sich sowohl aus den v j als 

auch aus den w k linear kombinieren lassen. Gesucht ist ein linear unabhängiges d-Tupel 

von Vektoren der Gestalt s l = ∑ j v j · b jl = ∑ k w k · c kl für l ∈ L; (|L| = d). 

Zum Programm 

Die Technik der Berechnung, die wir im nächsten Abschnitt entwickeln, heisst die Austauschmethode 

oder auch die Methode der Pivot-Transformationen. Diese Technik wird 

sich nicht nur für die hier genannten Aufgabenstellungen als nützlich erweisen; sie wird 

z. B. auch im folgenden Abschnitt beim Lösen linearer Gleichungssysteme Anwendung 

finden. 

Der algebraisch orientierte Leser, der sich hier nicht mit algorithmischen Überlegungen 

befassen will, kann sofort in den Abschnitt über Vektorraumdualität springen. Die Erfahrung 

lehrt allerdings, dass viele Anfänger den Begriff der Dualität als relativ schwierig 

empfinden. Den meisten Anfängern sollte daher lieber empfohlen werden, vorher Erfahrungen 

mit einfacheren Themen zu sammeln, einerseits mit den Begriff der Abbildung 

(unser Kapitel II) und andererseits mit euklidischen Vektorräumen (unser Kapitel IV). 

Eine höchst wichtige Anwendung findet die Methode der Pivot-Transformationen in 

der Theorie der linearen Optimierung. Die Aufgabenstellung werden wir unten kurz skizzieren; 

und wir werden einige mathematische Sätze formulieren, ohne sie zu beweisen. Ein 

angemessenes Verständnis für die lineare Optimierung setzt nämlich die Begriffswelt der 

Dualität voraus, die wir erst noch entwickeln müssen. Mit unseren Hinweisen wollen wir 

den mehr praktisch orientierten Leser dazu motivieren, sich (zum passenden Zeitpunkt) 

mit diesem (recht abstrakten aber höchst wirksamen) Konzept ernsthaft zu befassen. 

Bemerkung zur Lehre: Einen merkwürdigen Umstand sollten wir nicht verschweigen. 

Unsere Studierenden erwarten (aus welchen Gründen auch immer), dass sie in der Grundvorlesung 

‘Lineare Algebra’ lernen, lineare Gleichungssysteme zu ‘lösen’, und dass zu diesem 

Zweck das sog. Gauss’schen Eliminationsverfahren ausführlich behandelt wird. Dem 

Pivot-Austausch begegnen sie mit Skepsis; anscheinend vermuten sie, dass irgendeine inhaltliche 

oder didaktische Weisheit der Grund dafür ist, dass die gängigen Lehrbücher der 

Linearen Algebra das Austauschverfahren nicht behandeln und durchgängig auf die sog. 

elementaren Zeilentransformationen setzen. Ich kann den zweifelnden Studierenden nur 

sagen, dass ich keine guten Gründe kenne, beim Gewohnten zu bleiben. Das Austauschverfahren 

ist nicht schwierig, und es hat sowohl mathematischen Reiz als auch praktische 

Bedeutung. Da es auch noch reichhaltigen Übungsstoff zum Umgang mit Matrizen bietet, 

sollte es m. E. in der mathematischen Grundvorlesung einen prominenten Platz einnehmen. 



5.5 Das Austauschverfahren und Spaltentableaus. 

Eine lineare Beziehung im K-Vektorraum W ist eine Gleichung der Form 

∑ 

w 1 · a 1 + w 2 · a 2 + . . . + w m · a m = 0. oder w k · a k = 0. 

Man spricht von einer nichttrivialen linearen Beziehung, wenn nicht alle Koeffizienten 0 

sind. Eine nichttriviale Beziehung kann man bekanntlich ‘auflösen’ nach jedem w k mit 

a k ≠ 0. Wenn wir nun ein System linearer Beziehungen aufschreiben wollen, dann brauchen 

wir Matrizen. Wir interessieren uns ganz besonders für Familien linearer Beziehungen, 

die allesamt ‘aufgelöst’ sind. Darunter verstehen wir ein Gleichungssystem der Form 

∑ 

(6) u i · a ij = v j für alle j ∈ J; oder (u 1 , . . .,u m ) · A = (v 1 , . . .,v n ). 

i∈I 

mit einer I × J-Matrix A, |I| = m, |J| = n. 

Eine überzeugende Darstellung liefert auch die Notation als ein sog. Spaltentableau. 

u 1 a 11 a 12 . . . . . . a 1n 

u 2 a 21 a 22 . . . . . . a 2n 

k∈K 

(7) 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

. 

u m a m1 a m2 . . . . . . a mn 

= v 1 = v 2 · · · · · · = v n 

Freie Anordnung der Reihen Wenn man Beipiele von Matrizen oder Tableaus zu 

Papier bringt, dann muss man sich für eine Anordnung der Zeilen und Spalten entscheiden. 

Die Anordnung hat in den folgenden Konstruktionen keine intrinsische Bedeutung; wir 

können sie jederzeit ändern, die identifizierenden Zeilen- bzw. Spaltenindizes am Rand 

müssen aber natürlich mitgenommen werden. 

Basen am linken Rand 

Wir denken jetzt an einen m-dimensionalen Vektorraum U mit der Basis {u i : i ∈ I}. 

Durch die I × J-Matrix A ist ein J-Tupel von Vektoren v j gegeben. Wenn der Eintrag 

α = a 11 nicht verschwindet, dann liefert der Austausch von v 1 gegen u 1 eine weitere Basis 

(v 1 ,u 2 , . . .,u m ) · B = (u 1 ,v 2 , . . .,v n ). Die Einträge der Matrix B haben wir bereits 

oben im Satz 5.1.5 auf Seite 7 berechnet. In der Pivot-Position erscheint der Eintrag 

b 11 = 1 = 1 

α a 11 

. Die weiteren Einträge in der ersten Spalte sind b i1 = −a i1 · 1 ; die weiteren 

α 

Einträge in der ersten Zeile sind b 1j = 1 · a α 1j. Im übrigen Bereich der Matrix haben wir 


5.5 : Das Austauschverfahren und Spaltentableaus. 13 

b ij = a ij − a i1 · 1 · a α 1j. Man kann die verkürzte Matrix ˜B auch folgendermaßen schreiben, 

wenn man mit s die verkürzte erste Spalte und mit z die verkürzte erste Zeile bezeichnet: 

˜B = Ã − s · a−1 11 · z. 

Man kann sich das Rechenverfahren folgendermaßen organisiert denken: Der Eintrag α 

in der Pivotposition ist durch sein Reziprokes zu ersetzen. Die restliche neue Pivot-Spalte 

ergibt sich aus der alten durch Multiplikation mit − 1 . Die übrigen neuen Pivot-Spalten 

α 

(unter Ausschluss der Pivot-Zeile!) erhält man, indem man zu den alten ein Vielfaches der 

neuen Pivot-Spalte (das ist s · (− 1 ) dazuaddiert; welches Vielfaches das ist, erkennt man 

α 

am Eintrag in der alten Pivot-Zeile. Schliesslich ist auch noch die alte Pivot-Zeile (durch 

Multiplikation mit 1 ) zu aktualisieren. Beachte: Wenn man die transponierte Matrix AT 

α 

in der angegeben Weise transformiert, bekommt man nicht ganz die transponierte Matrix; 

es gibt da eine Unsymmetrie bzgl. des Vorzeichens, die wir später aufklären werden, wenn 

wir auch von sog. Zeilentableaus sprechen. 

Sprechweise 5.5.1 (Pivot-Transformation). Der Übergang von der Matrix A zur Matrix 

B heißt die (kleine) Pivot-Transformation zur Pivot-Position (1,1). (Pivot ist das englische 

Wort für Dreh- und Angelpunkt. ‘Pivotieren um (i ∗ , j ∗ )’ kann man als ‘Schwenken um 

(i ∗ , j ∗ )’ übersetzen.) Eine Pivot-Transformation P ij gibt es zu jeder Pivot-Position (i, j), 

in welcher ein Eintrag ≠ 0 steht. Bei einer solchen Transformation tauscht ein Symbol 

aus dem unteren Rand seinen Platz mit einem Symbol am linken Rand. Ein Zeilenindex 

mutiert zu einem Spaltenindex und umgekehrt. 

Man bemerke: Wenn man zweimal um ‘dieselbe’ Position ‘schwenkt’, kommt man zur 

Ausgangssituation zurück. Für die Einträge neben dem Pivot ist das offensichtlich. Für die 

übrigen Einträge ergibt sich b ij −b i1 b −1 

11 b 1j = ( ) 

a ij − a i1 a −1 

11 a 1j − ai1 a −1 

11 b −1 

11 a −1 

11 a 1j = a ij . 

Verwandte Matrizen 

Wir wollen nun Pivot-Tansformationen hintereinanderschalten. Die Matrizen B, die wir so 

aus der gegebenen I ×J-Matrix A gewinnen können, nennen wir verwandte Matrizen. Die 

verwandten Matrizen haben ein Format (J | +I ‖ )×(I | +J ‖ ), wo I | +I ‖ = I und J | +J ‖ = J 

Partitionen der Indexmengen sind. Wir haben eben gesehen, dass die Verwandtschaft in 

der Tat eine Äquivalenzrelation ist: Wenn B mit A verwandt ist, dann ist auch A mit B 

verwandt. 

Festlegungen und Notationen 

1. Bei den Matrizen, die wir hier betrachten, spielen die Indexmengen I und J eine 

wichtige Rolle. Das soll heissen: die Zeilen und die Spalten haben Namen und die 

Indexmengen sind disjunkt. Die m+n Vektoren, die in den Anwendungen durch die 

verschiedenen Tableaus in Beziehung gesetzt werden, haben Namen. 

2. Wenn wir bei einer Matrix A das Format sichtbar machen wollen, dann fügen wir 

manchmal die Indexmenge der Spalten als oberen und die Indexmenge der Zeilen 

als unteren Index hinzu, also z. B. A = A I J und A 12 = A I| 

J ‖ . 



3. Wenn diese Notation zu aufwendig erscheint, notieren wir auch 

J | J ‖ I | J ‖ 

(8) 

I | A 11 . A 12 J | B 11 . B 12 

............... ............... 

I ‖ A 21 . A 22 I ‖ B 21 . B 22 

4. Die Verwandtschaft hat zunächst mit linearen Beziehungen in Vektorräumen nichts 

zu tun. Verwandtschaft bedeutet, dass eine Folge von Pivot-Transformationen existiert, 

welche die eine Matrix in die andere überführt. Wir werden allerdings sehen, 

dass die Interpretationen durch Familien linearer Beziehungen in einem Vektorraum 

bei den Beweisen eine Hilfe sein können . 

Wir konzentrieren uns zunächst allein auf die Matrizen. Die vielerlei Interpretationsmöglichkeiten 

stellen wir zurück. Wir formulieren die wichtigsten Aussagen zum Begriff der 

Verwandtschaft, die wir dann nach und nach beweisen werden. 

Warnung: Wenn man in gängigen Lehrbüchern der Linearen Algebra von ‘äquivalenten’ 

oder von ‘ähnlichen’ Matrizen spricht, dann ist dort nicht die hier definierte Verwandtschaft 

gemeint. Dort spielen üblicherweise die sog. elementaren Zeilentransformationen 

eine zentrale Rolle. Wenn doch Pivot-Transformationen auftauchen, dann geschieht das 

in den Kapiteln über Systeme linearer Ungleichungen; das Stichwort dort lautet ‘Simplexverfahren’. 

verwMat Satz 5.5.1 (Berechnung verwandter Matrizen). Gegeben ist eine Matrix A = A I J vom 

Format I × J. Es gilt dann 

1. Für ein Paar von Partitionen I = I | + I ‖ , J = J | + J ‖ gibt es höchstens eine 

verwandte Matrix vom Format (J | + I ‖ ) × (I | + J ‖ ). 

2. Wenn B die verwandte Matrix zum Austausch I | ❀ J | ist, dann ist die Teilmatrix 

B 11 vom Format J | × I | die Inverse von A 11 = A I| , also B 

J | 11 = A −1 

11 . Weiter gilt 

B 21 = −A 21 · A −1 

11 , B 12 = A −1 

11 · A 12, B 22 = A 22 − A 21 · A −1 

11 · A 12. 

Wenn man die Matrix A als eine Familie von I-Spalten {s j : j ∈ J | } auffasst, also 

als eine Familie von Vektoren im Vektorraum K I Sp aller I-Spalten, dann kann man die 

Frage nach der Existenz einer verwandten Matrix von einem vorgegebenen Format so 

beantworten: 

Satz 5.5.2 (Erreichbare Formate). 



1. Genau dann, wenn die Familie {s j : j ∈ J | } linear unabhängig ist, existiert für 

ein geeignetes I | eine verwandte Matrix vom Format (J | + I ‖ ) × (J | + I ‖ ). Die 

Zeilenmenge {t i : i ∈ I | } ist dann linear unabhängig. 

2. Wenn A 11 eine invertierbare Teilmatrix ist, dann existiert eine Folge von Pivot- 

Transformationen mit dem Resultat 

( ) 

B11 = A −1 

11 B 

(9) 

12 = A −1 

11 A 12 

B 21 = −A 21 · A −1 

11 B 22 = A 22 − A 21 · A −1 

11 · A 12 

3. Ist A eine m × n-Matrix vom Rang r und A 11 eine invertierbare Teilmatrix vom 

Rang s, dann hat die Matrix B 22 = A 22 − A 21 A −1 

11 A 12 den Rang r − s. 

Beweis der Sätze 

Wir interpretieren die verwandten Matrizen A und B (von der Größe m×n) als die Koeffizientenschemata 

für lineare Beziehungen zwischen den Vektoren u 1 , . . .,u m ,v 1 , . . .,v n im 

m-dimensionalen Vektorraum U mit der Basis {u i : i ∈ I}. Die Pivot-Transformationen 

bringen neue m-Tupel von Vektoren an den linken Rand, die alternative Basen darstellen. 

Die dort neu erscheinenden Vektoren seien v 1 , . . .,v l , die für sie an den unteren Rand 

gewanderten Vektoren seien u 1 , . . .,u l . Wir gehen zur Matrizenschreibweise über, wo wir 

den Buchstaben E für die Einheitsmatrix benützen, sowohl für die Einheitsmatrix vom 

Format I ‖ × I ‖ , als auch für die vom Format I | × I | . Das Format der auftretenden Nullmatrizen 

erschliesst sich aus der Stellung dieser Nullmatrizen. 

(10) 

(11) 

( ) 

A11 A 

(u | , u ‖ ) · 12 

A 21 A 22 

( ) 

B11 B 

(v | , u ‖ ) · 12 

B 21 B 22 

( ) 

A11 0 

= (v | , v ‖ ); (u | , u ‖ ) · 

A 21 E 

( ) 

B11 

= (u | , v ‖ ); (v | , u ‖ ) · 

B 21 

= (v | , u ‖ ); 

= u | 

Da es nur eine einzige Art gibt, die Einträge des Tupels u | = {u i : i ∈ I | } als Linearkombinationen 

der u i darzustellen, nämlich die triviale, haben wir 

( ) ( ) ( 

A11 0 B11 E 

· = . 

E B 21 0) 

A 21 

Das ergibt A 11 · B 11 = E und A 21 · B 11 + B 21 = 0. 

Die restliche Gleichungen ergeben sich, wenn wir die Basisdarstellungen der Einträge des 

Tupels v ‖ = {v j : j ∈ J ‖ } betrachten. 

u | A 12 + u ‖ A 22 = v ‖ = v | B 12 + u ‖ B 22 = (u | A 11 + u ‖ A 21 ) · B 12 + u ‖ B 22 

A 12 = A 11 · B 12 A 22 = A 21 · B 12 + B 22 = −B 21 B11 −1 B 12 + B 22 . 



Den Übergang von A zu B gemäß den obigen Gleichungen nennen wir eine (große) Pivot- 

Transformation zur (invertierbaren) Pivot-Matrix A 11 (von der Größe s × s). 

Die Interpretation der verwandten Matrizen in den Spaltentableaus führt die Erreichbarkeit 

auf den Satz vom Basisaustausch 5.1.5 zurück; wenn A 11 eine ( invertierbare ) Teilmatrix 

A11 

der Ausgangsmatrix ist, dann sind die I-Spalten der Matrix linear unabhängig; 

A 21 

und man kann sie im Tausch in die gegebene Basis einbringen. 

Wir wollen uns noch etwas mit der Matrix B 22 = A 22 − A 21 A −1 

11 A 21 befassen: Es sei 

A 11 eine invertierbare Teilmatrix vom Rang s; der Spaltenraum V der Matrix A sei r- 

dimensional. Wir zeigen, dass die Matrix B 22 r −s linear unabhängige Spalten hat. O. B. 

d. Allgemeinheit können wir annehmen, dass die Spalten von A linear unabhängig sind. 

Wir betrachten das (r−s)-Tupel w ‖ = (v ‖ )−(v | )·B 12 = (u ‖ )·B 22 . Offenbar ist (v | , w ‖ ) 

ebenso wie (v | , v ‖ ) eine Basis von V . Andererseits folgt aus 

( ) 

A11 0 

(v | , w ‖ ) = (u | , u ‖ ) · , 

A 21 B 22 

dass die Spalten der Matrix B 22 linear unabhängig sind. Damit sind die Sätze über verwandte 

Matrizen bewiesen. 

In den Beweisen zum Begriff der Verwandtschaft haben wir vom reinen Matrizenkalkül 

entfernt; wir haben etwas gelernt über Systeme von Vektoren in einem m-dimensionalen 

Vektorraum V , der nicht notwendigerweise der Raum der m-Spalten mit den Einheitsspalten 

als ausgezeichneter Basis ist. Diese Einsichten formulieren wir als Satz: 

Satz 5.5.3 (Partieller Basisaustausch). Es sei {u i : i ∈ I} eine Basis des m-dimensionalen 

Raums U und es sei {v j : j 

∑ 

∈ J} irgendeine Familie von Vektoren in U, gegeben durch 

die Basisdarstellungen 

i∈I u i · a ij = v j für j ∈ J. 

Es seien J | und I | so, dass B = {v j : j ∈ J | } ∪ {u i : i ∈ I ‖ = I \ I | } eine Basis von U 

ist. Es existiert dann eine mit A verwandte Matrix B vom Format (J | + I ‖ ) × (I | + J ‖ ). 

Sie liefert die Darstellungen der übrigen u i und v j durch die Basis B. 

∑ 

v k · b k i + ∑ u l · b l i = u i für i ∈ I | ; 

k∈J | l∈I 

∑ 

‖ v k · b k j + ∑ u l · b l j = v j für j ∈ J ‖ . 

k∈J | l∈I ‖ 

Wenn wir die auszutauschenden Basisvektoren an den Anfang des m-Tupels stellen, dann 

sieht das so aus 

( ) 

( ) ( ) A11 A 

u1 , . . .,u m · A = u1 , . . .,u s ,u s+1 , . . .,u m · 12 

= ( ) 

v 

A 21 A 1 , . . .,v s ,v s+1 , . . .,v n ; 

22 

( ) 

( ) B11 B 

v1 , . . .,v s ,u s+1 , . . .,u m · 12 

= ( ) 

u 

B 21 B 1 , . . .,u s ,v s+1 , . . .,v n . 

22 

(12) 



Sprechweise 5.5.2 ( Maximaler Austausch). Eine große Pivot-Transformation zu einer 

Teilmatrix vom vollen Rang r nennen wir einen maximalen Austausch. 

In den folgenden Zahlenbeispielen versuchen wir in einer Folge von Pivot-Transformationen 

möglichst viele Zeilen gegen Spalten auszutauschen. Die ausgewählten Pivots sind 

mit einem ∗ gekennzeichnet. Wir haben Zeilen und Spalten von vorneherein so angeordnet, 

dass die Pivot-Wahl entlang der Diagonalen vernünftig ist. Beim praktischen 

Rechnen muss man erst nach und nach lernen, was eine vernünftige Anordnung sein 

könnte. ( Wir werden ) das unten weiter diskutieren. Die Interpretation des Endprodukts 

B11 B 

B = 12 

verschieben auf später. Hier geht es zunächst einmal nur ums Rechnen. 

B 21 0 

1ZB Beispiel 5.5.1. (Erstes Zahlenbeispiel) 

u 1 1 ∗ 2 4 1 v 1 1 2 4 1 

u 2 1 1 1 0 u 2 −1 −1 ∗ −3 −1 

u 3 −1 0 2 1 u 3 1 2 6 2 

= v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = u 1 = v 2 = v 3 = v 4 

v 1 −1 2 −2 −1 v 1 A −1 

11 . B 12 

v 2 1 −1 3 1 v 2 . . . . . . .... . . . 

u 3 −1 2 0 0 u 3 −1 2 0 0 

= u 1 = u 2 = v 3 = v 4 = u 1 = u 2 = v 3 = v 4 

Die Nullmatrix in der rechten unteren Ecke (genauer gesagt: die Zeile (0, 0)) bedeutet 

für die ursprüngliche Matrix A 22 − A 21 A −1 

11 A 12 = 0. Und in der Tat haben wir 

A 21 A −1 

11 A 12 = ( −1 0 )( ) ( ) 

−1 2 4 1 

= ( 2 1 ) = A 

1 −1 1 0 

22 . 

2ZB 

Beispiel 5.5.2. (Zweites Zahlenbeispiel) Die Matrix im folgenden Beispiel hat den Rang 3. 

Wir können die 3 × 3-Matrix in der linken oberen Ecke invertieren. Die Rechenergebnisse 

des ersten Beispiels können wir teilweise verwenden, weil sich die beiden Matrizen nur in 

der rechten unteren Ecke unterscheiden. 

u 1 1 ∗ 2 4 1 v 1 1 2 4 1 

u 2 1 1 1 0 u 2 −1 −1 ∗ −3 −1 

u 3 −1 0 1 2 u 3 1 2 5 3 

= v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = u 1 = v 2 = v 3 = v 4 

v 1 −1 2 −2 −1 v 1 1 −2 −2 −3 

v 2 1 −1 3 1 v 2 −2 5 3 4 

u 3 −1 2 −1 ∗ 1 v 3 1 −2 −1 −1 

= u 1 = u 2 = v 3 = v 4 = u 1 = u 2 = u 3 = v 4 



Aus den Endprodukten solcher Serien Umformungen können wir nun interessante Eigenschaften 

der gegebenen Matris A ablesen. 

MaxAu Satz 5.5.4 (Maximaler Austausch). Wenn die Spalten der Matrix A = A I J einen r-dimensionalen 

Teilraum des Raums K I aufspannen, dann existiert eine invertierbare Teilmatrix 

von der Größe r × r. Wenn A 11 = A I| eine solche Matrix ist, dann gibt es einen 

J | 

Austausch I | ❀ J | und die dazugehörige verwandte Matrix B hat die Gestalt 

( ) ( 

B11 B 

B = 12 A −1 

11 A −1 

11 

= 

A ) ( ) 

12 M K 

(13) 

B 21 B 22 −A 21 · A −1 = 

11 0 −L 0 

In diesem Falle besitzt die ursprüngliche Matrix die Faktorisierung 

( ) 

A11 

A = · A −1 

11 

A · (A ( ) 

) E 

I | ( ) 

(14) 

11 , A 12 = · A 11 · E 

21 L 

J | , K 

L = L I| 

I 

= A ‖ 21 · A −1 

11 , K = KJ| J 

= A −1 

‖ 11 A 12. 

( ) 

E 

I | 

( ) 

(Bemerke: Hier besteht aus r I-Spalten, und E 

L 

J | , K aus r J-Zeilen.) 

Beweis 

In jeder maximal ausgetauschten Matrix B ist die Teilmatrix B 22 die Nullmatrix. Wäre 

das nämlich nicht so, dann könnte man eine weitere Pivot-Transformation in die Wege 

leiten, welche ein weiteres j zu einem i macht, und man hätte dazu eine invertierbare 

Teilmatrix vom Rang r + 1. Die Rücktransformation liefert wegen B −1 

11 = A 11 

A 21 = −B 21 A 11 , A 12 = A 11 B 12 , A 22 = B 22 − B 21 A 11 B 12 

und wegen B 22 = 0 die höchst bedeutsame Faktorisierung unserer Matrix 

( ) ( 

A11 A 

A = 12 E 

(15) 

= · A 

A 21 A 22 L) 

11 · (E 

, K ) 

mit 

K = A −1 

11 · A 12, L = A 21 · A −1 

11 . 

Bemerke: In der entsprechenden Faktorisierung für die transponierte Matrix tauschen K 

und L die Plätze. Genauer gesagt: 

( ) E 

A T = 

K T · A T 11 · (E , L T) 

Die Teilmatrix Matrix A 11 ist genau dann invertierbar, wenn ihre Transponierte invertierbar 

ist: (A T 11 ) )−1 = (A −1 

11 )T . In der Situation des Satzes spannen die Zeilen der Teilmatrix 

( 

A11 , A 12 = A11 · (E, 

K ) ( 

den 

) 

r-dimensionalen 

( 

Zeilenraum der Matrix A auf, so wie 

A11 E 

die Spalten der Teilmatrix = · A 

A 21 L) 

11 den Spaltenraum aufspannen. 

Die Faktorisierung der Matrix A präzisiert den äusserst wichtigen 



ZRg=SRg Satz 5.5.5 (Zeilenrang = Spaltenrang). Für jede Matrix ist der Spaltenrang gleich dem 

Zeilenrang. Wenn der Rang mindestens r ist, dann gibt es eine invertierbare Teilmatrix 

vom Rang r. 

Wir sollten an dieser Stelle vielleicht (für den Kenner) erwähnen, dass es das Ziel 

des sog. Gauss’schen Eliminitationsverfahrens ist, eine bequeme Basis für den Zeilenraum 

einer m×n-Matrix zu konstruieren. Bei der Suche nach einem r-Tupel linear unabhängiger 

Zeilen findet man gleichzeitig auch ein r-Tupel linear unabhängiger Spalten. Man gewinnt 

also auch eine Partition der Spaltenmenge J = J | + J ‖ , sodass die Spalten {s j ; j ∈ J | } 

eine Basis des Spaltenraums sind. Bei der Konstruktion dieser Partition orientieren sind 

die meisten Version des Gauss-Verfahrens an einer vorgegebenen Anordnung der Reihen. 

Bei unserer Konstruktion spielt die (ursprüngliche) Anordnung der Reihen keine Rolle. 

Bemerkung zur Pivot-Wahl 

Die erste Behauptung im ersten Satz besagt: Wenn wir mit zwei Serien von Pivot- 

Transformationen zu einem Austausch der Indexmengen in I | gegen die Indexmengen 

J | gelangt sind, dann sind wir bei derselben Koeffizientenmatrix angelangt. Dies ist theoretisch 

so, nicht aber in der Praxis des Rechnens. Da man in der Regel nicht ganz genau 

rechnen kann, kann sich der eine Weg als wesentlich empfindlicher gegenüber Rechenungenauigkeiten 

erweisen als der andere; die Pivot-Wahl ist ein delikates Problem der Numerik. 

3ZB Beispiel 5.5.3. Die folgende durch ein kleines ε gestörte Matrix A ε soll invertiert werden. 

Die inverse Matrix A −1 

ε 

⎛ ⎞ 

1 1 0 

A ε = ⎝ 1 1 + ε 2 ⎠ 

0 

1 

2 

1 

2 

sollte nahe bei A −1 

0 liegen. Durch schlechte Pivot-Wahl würden 

aber problematische Zwischenresultate auftreten; die linke obere 2 ×2-Matrix ist nämlich 

nahe an einer singulären Matrix. Wir wählen (1, 1), (3, 3), (2, 2) als unsere Pivots. 

j 1 j 2 j 3 j 4 i 1 j 2 j 3 j 4 

i 1 1 ∗ +1 0 2 j 1 +1 +1 0 2 

i 2 +1 1 + ε +2 0 i 2 −1 ε +2 −2 

i 3 0 + 1 2 

+ 1 2 

−1 i 3 0 + 1 2 

1 

2 

∗ 

−1 

i 1 j 2 i 3 j 4 i 1 i 2 i 3 j 4 

1 1 

j 1 +1 +1 0 +2 und für j 1 −2 +2 

2 2 

i 2 −1 (ε − 2) ∗ 1 

−4 0 ε = 0 j 2 − 1 +2 0 

2 2 

j 3 0 +1 +2 −2 weiter j 3 − 1 1 

0 −2 

2 2 



Die Berechnung spezieller Lösungen eines inhomogenen Systems 

Wir können aus dem maximal ausgetauschten Tableau eine Reihe interessanter Informationen 

ablesen. Zunächst einmal finden wir die Dimension des von den v j aufgespannten 

Vektorraums; wir identifizieren sogar eine Basis des von den v j aufgespannten Vektorraums, 

und wir finden die Darstellung der übrigen v j , j ∈ J ‖ in dieser Basis. 

Andererseits ergeben sich ohne weitere komplizierte Rechnungen spezielle Lösungen 

des inhomogenen linearen Gleichungssystems A ·⃗x = b, indem man folgendermaßen argumentiert: 

Gegeben sei eine m × n-Matrix A und eine zusätzliche m-Spalte b. Es gilt, die Spalte 

b als Linearkombination der Spalten von A darzustellen. Das passt zu unserem Ansatz, 

wenn man die Spalten als Linearkombinationen der Einheitsspalten deutet. Offenbar kann 

man b genau dann als Linearkombinationen der Spalten von A darstellen, wenn die ‘erweiterte’ 

Matrix (A .b) denselben Spaltenrang hat wie A. In diesem Fall (und nur in diesem!) 

kann für einen maximalen Austausch von (A .b) die letzte Spalte bei der Pivotwahl ausgeschlossen 

bleiben. Und wenn man diese ‘zusätzliche’ Spalte ausschliesst, dann liefern 

die Einträge in der letzten Spalte des maximal ausgetauschten Tableau die gewünschte 

Darstellung von b als Linearkombination der ausgetauschten Spalten. 

Im ersten Zahlenbeispiel sind die dritte und die vierte Spalte der gegebenen Matrix 

Linearkombinationen der beiden ersten Spalten: 

v 3 = (−2) · v 1 + 3 · v 2 , v 4 = (−1) · v 1 + 1 · v 2 , 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

4 1 2 1 1 2 

⎝1⎠ = (−2) · ⎝ 1 ⎠ + 3 · ⎝1⎠ , ⎝0⎠ = (−1) · ⎝ 1 ⎠ + 1 · ⎝1⎠ . 

2 

−1 0 1 

−1 0 

Im zweiten Zahlenbeispiel sagt uns die letzte Spalte des maximal ausgetauschten Spaltentableaus 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

1 2 4 x 1 1 

x 1 −3 

⎝ 1 1 1⎠ 

⎝x 2 ⎠ = ⎝0⎠ 

⇐⇒ ⎝x 2 ⎠ = ⎝ 4 ⎠ . 

−1 0 1 x 3 2 

x 3 −1 

Die letzte Spalte der usprünglichen Matrix lässt sich also (offenbar auf genau eine Weise) 

als Linearkombination der drei ersten Spalten darstellen. 

geoInt 

Geometrische Deutung 

In den Zahlenbeispielen sind wir von Vektoren v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 in einem 3-dimensionalen 

Raum U ausgegangen. In allen Fällen erzeugt das Paar v 1 ,v 2 einen zweidimensionalen 

Vektorraum V und das Paar v 3 ,v 4 einen zweidimensionalen Vektorraum W. Im dritten 

Beispiel ist sofort zu sehen, wie der Durchschnitt aussieht. Im ersten Zahlenbeispiel hat 

die Matrix A den Rang 2 mit der Konsequenz V = W. Im zweiten Zahlenbeispiel ist 

geometrische Sachlage interessanter: Zwei ‘Ebenen’ durch den Nullpunkt, die nicht gleich 



4ZB 

sind, schneiden sich bekanntlich in einer ‘Geraden’. Der dazugehörige eindimensionale 

Teilvektorraum wird von einem Vektor w aufgespannt, der sich sowohl aus v 1 ,v 2 als auch 

aus v 3 ,v 4 linear kombinieren lässt. Einen solchen Vektor liefert uns die letzte Spalte des 

ausgetauschten Tableaus. Dort sehen wir nämlich −3v 1 + 4v 2 − v 3 = v 4 ; und das liefert 

einen Vektor der gewünschten Art −3v 1 + 4v 2 = ˜w = v 3 + v 4 . Die Probe ist leicht 

zu bewerkstelligen. Zur Berechnung braucht man aber wohl doch ein Verfahren von der 

Komplexität des maximalen Austauschs. 

Das Verfahren zur Konstruktion einer Basis des Durchschnitts zweier Teilvektorräume 

funktioniert allgemein: Wir bilden ein Spaltentableau, indem wir Basen der 

fraglichen Vektorräume V und W nebeneinanderschreiben. Nehmen wir an, die Längen 

der Basen seien s und t. Die Dimension r von V + W ergibt sich aus dem Rang dieser 

Matrix, und dieser Rang ist die maximale Anzahl austauschbarer Basisvektoren. Wenn 

wir einen maximalen Austausch durchführen, dann bleiben s +t −r lineare Beziehungen, 

in welchen kein u i vorkommt. Diese liefern eine Basis des Durchschnitts V ∩ W. 

Die oben konstruierte Faktorisierung der gegebenen Matrix, und die ‘Blöcke’ K und L 

werden unten diskutiert. Hier noch zwei Zahlenbeispiele zur großen Pivot-Transformation. 

Beispiel 5.5.4. (Viertes Zahlenbeispiel). Die folgende Matrix 4 × 4-Matrix A ist zu invertieren. 

Es fällt auf, dass sich in der rechten unteren Ecke ein ‘Einheitsmatrix’ vom 

Format (i 2 , i 3 , i 4 ) × (j 2 , j 3 , j 4 ) findet. Es bietet sich daher als erster Austauschschritt 

eine ‘große Schwenkung’ um diese Matrix an. Dies führt zur Matrix B vom Format 

(i 1 , j 2 , j 3 , j 4 ) × (j 1 , i 2 , i 3 , i 4 ). 

⎛ 

⎞ 

⎛ 

⎞ 

2. 1 1 1 

−1. −1 −1 −1 

( ) 

· · · · · · · · · · · · 

( ) 

· · · · · · · · · · · · 

A11 A 

A = 12 

= 

1. 1 0 0 

B11 B 

12 

= 

+1. 1 0 0 

A 21 A 22 ⎜ 

⎟ B 

⎝ 1. 0 1 0 

21 B 22 ⎜ 

⎟ 

⎠ 

⎝+1. 0 1 0 ⎠ 

1. 0 0 1 

+1. 0 0 1 

( ) 

denn wir haben B 22 = A −1 

22 , B 12 = −A 12·A −1 

22 = (−1, −1, −1), B 21 = A −1 111 

22 ·A 12 = , 

( ) 111 

B 11 = A 11 − A 12 B 21 = 2 − (1, 1, 1) = (−1). 

Die ‘Schwenkung’ um die linke obere Ecke (i 1 , j 1 ) liefert die Inverse 

⎛ 

⎞ 

−1. 1 1 1 

( ) 

· · · · · · · · · · · · 

A −1 C11 C 

= C = 12 

= 

1. 0 −1 −1 

. 

C 21 C 22 ⎜ 

⎝ 1. −1 0 −1 

⎟ 

⎠ 

1. −1 −1 0 

( ) 

denn C 11 = B11 −1 = (−1)−1 , C 21 = −B 21 B11 −1 = 111 

; C 12 = (1, 1, 1), und 

( ) 111 

C 22 = B 22 − B 21 C 12 = E 3 − (1, 1, 1). 



5ZB 

Beispiel 5.5.5. (Fünftes Zahlenbeispiel): Ein maximaler Austausch ist gesucht für die 

folgende 4 ×5-Matrix A. Es wird sich herausstellen, dass man die ersten drei Zeilen gegen 

die ersten drei Spalten austauschen kann. Um die Notation nicht zu belasten, unterdrücken 

wir die Randbeschriftung (die aber natürlich sehr wichtig ist). Zunächst sehen wir, dass 

die linke obere 2 × 2 invertierbar ist; und wir können die Inverse B 11 = A −1 

11 auch sofort 

angeben. 

⎛ 

⎞ ⎛ 

⎞ 

4 3 . 2 −1 4 

4 −3 . −1 −1 4 

5 4 . 3 −1 4 

−5 4 . 2 1 −4 

A = 

· · · · · · · · · · · · · · · 

B = 

· · · · · · · · · · · · · · · 

⎜ 

⎝−2 −2 . −1 2 −3 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ −2 2 . 1 ∗ 2 −3 

⎟ 

⎠ 

11 6 . 4 1 11 

−14 9 

. 3 6 −9 

denn 

B 11 = A −1 

11 = ( ) 

+4 −3 

−5 +4 

B 12 = +A −1 

11 A 12 = ( +4 −3 

−5 +4 

B 21 = −A 21 A −1 

11 = ( − 

B 22 = A 22 − A 21 B 12 = 

−2 −2 

11 +6 

)( 2 −1 4 

3 −1 4 

)( +4 −3 

−5 +4 

A 22 − ( −2 −2 

11 +6 

) ( 

= 

−1 −1 +4 

) 

+2 +1 −4 

) ( 

= 

−2 +2 

) 

−14 +9 , 

)( −1 −1 +4 

+2 +1 −4 

) 

= · · · = 

( +1 +2 −3 

+3 +6 −9 

) 

. 

Das Schwenken um die durch * angezeigte Position (3, 3) liefert ein maximal ausgetauschtes 

Tableau 

i 1 i 2 i 3 j 4 j 5 

j 1 +2 −1 +1 

j 2 −1 0 −2 

. +1 +1 

. −3 +2 

j 3 −2 +2 +1 . +2 −3 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 

−8 +3 −3 . 0 0 

i 4 

Fazit: Die gegebene Matrix A hat den Rang 3. Die 3 ×3-Matrix in der linken oberen Ecke 

ist invertierbar, und wir haben die Inverse explizit bestimmt; sie ist die 3 × 3-Matrix in 

der linken oberen Ecke des ausgetauschten Tableaus. 

Weiter können wir schliessen: die vierte und die fünfte Spalte der ursprünglichen Matrix 

A lassen sich aus den drei ersten Spalten linear kombinieren; und die hinteren Spalten des 

ausgetauschten Tableaus zeigen die (eindeutig bestimmten) Koeffizienten. 

Wenn wir den Begriff des Zeilentableaus behandelt haben, dann werden wir auch ablesen, 

dass die vierte Zeile y 4 der ursprünglichen Matrix eine Linearkombination der ersten drei 

Zeilen ist. 

(−8) · y 1 + 3 · y 2 + (−3) · y 3 = −y 4 . 

Eine weitere Interpretation unseres Rechenergebnisses werden wir kennenlernen, wenn 

wir später die Matrix als einen zweistufigen Tensor interpretieren.— Doch kommen wir 

zunächst zu den Zeilentableaus. 



Das Zeilentableau zu einer Matrix A I J 

Es hat sich im obigen Beweis als nützlich erwiesen, mit den verwandten Matrizen Spaltentableaus 

zu assoziieren, die Zusammenhänge in einem m-dimensionalen Vektorraum 

beschreiben. Wir wollen jetzt auch noch ein sog. Zeilentableaus assoziieren. Hierzu denken 

wir an eine Familie von Vektoren {f j : j ∈ J} ∪ {g i : i ∈ I} in einem n-dimensionalen 

Vektorraum F, an eine Familie also, in welcher die folgenden linearen Beziehungen bestehen. 

⎛ ⎞ 

f 1 ⎛ ⎞ 

∑ 

a ij · f j = −g i f 2 

−g 1 

für alle i ∈ I; oder A · ⎜ ⎟ 

⎝ . ⎠ = ⎜ ⎟ 

(16) 

⎝ . ⎠ 

j∈J 

f n −g m 

Das dazugehörige Zeilentableau lautet 

(17) 

2 

f 1 f 2 . . . . . . f n 

a 11 a 12 . . . . . . a 1n = −g 1 

a 21 a 22 . . . . . . a 2n = −g 2 

. 

. 

. 

. 

. = . 

. = . 

a m1 a m2 . . . . . . a mn = −g m 

Wenn a 11 ≠ 0, dann können wir die erste Gleichung nach −f 1 auflösen und in den weiteren 

Zeilen f 1 durch g 1 ersetzen. Das liefert 

n∑ 

a 11 f 1 + a 1j f j = −g 1 1 

n∑ 

; g 1 1 

(18) 

+ a 1j f j ; = −f 1 

a 

2 

11 a 

2 11 

n∑ 

a i1 f 1 + a ij f j = −g i 1 

n∑ 

= −a i1 g 1 1 

(19) 

+ (a ij − a i1 a 1j )f j . 

a 11 a 11 

Der Vergleich mit der Umrechnung auf Seite 7 zeigt, dass die Koeffizientenmatrix des aktualisierten 

Tableaus die Pivot-Transformierte von A ist. (Hier bewährt sich die getroffene 

Vorzeichenkonvention!) 

Mit einer maximalen Serie von Pivot-Transformationen gelangen wir zu einer äquivalenten 

Darstellung der gegebenen linearen Beziehungen von der Form 

(20) 

( M K 

−L 0 

) 

· 

( g 

| 

f ‖ ) 

= 

2 

( −f 

| 

−g ‖ ) 

Die Faktorisierung, die zum gewählten maximalen Austausch gehört, zeigt 

( ) 

E 

I | ( ) ( ) ( ) f 

| −g 

| 

(21) 

· A 11 · E 

L 

J | , K · 

f ‖ = 

−g ‖ . 



Eine naheliegende Realisierung des Zeilentableaus finden wir im Raum F = K J Z der 

J-Zeilen. Die Vektoren −g i werden als Linearkombinationen der ‘Einheitszeilen’ e j geschrieben. 

Der vollständige Austausch löst die Frage nach einer Basis für den Zeilenraum 

der Matrix A, und er berechnet, wie sich die übrigen Zeilen aus dem ausgewählten linear 

unabhängigen r-Tupel linear kombinieren lassen. Beim vierten Zahlenbeispiel haben 

wir bereits darauf hingewiesen. Auch das erste Zahlenbeispiel erlaubt eine Interpretation 

dieser Art: Dort ist die dritte Zeile ist eine Linearkombination der beiden ersten: 

(−1) · (1, 2, 4, 1) + 2 · (1, 1, 1, 0) = (−1) · (−1, 0, 2, 0). 

Ausblick: Bis hierher mag es so aussehen, als wenn sich die Idee der Zeilentableaus 

in einer einfachen Analogie zur Idee der Spaltentableaus erschöpft. So ist das aber nicht. 

Wir werden Szenarien kennenlernen, wo die simultane Betrachtung der zueinander dualen 

Tableaus zu einer Matrix A angezeigt ist. 


5.6 : Lineare Gleichungssysteme 25 

5.6 Lineare Gleichungssysteme 

Zur Geschichte des Lösens von Gleichungen 

Das Lösen von Gleichungen ist ein sehr altes Thema der Mathematik. Die Vorstellungen, 

was darunter zu verstehen ist, haben sich aber im Laufe der Jahrhunderte stark verändert. 

In der heutigen Schulmathematik denkt man z. B. an das Lösen quadratischer Gleichungen 

(und die Schüler sind glücklich darüber, dass es da eine ‘Lösungsformel’ gibt). Man denkt 

möglicherweise auch an allgemeinere Situationen, etwa an Situationen der folgenden Art: 

Gegeben ist eine Funktion einer ‘Variablen’ x, sagen wir G(x), und ein Wert b. Man 

bestimme ˜x so, dass G(˜x) = b. In der ‘Gleichung’ G(x) = b heisst x die ‘Unbekannte’. 

Es erhebt sich natürlich sofort die Frage, ob es eine ‘Lösung’ ˜x gibt, und ob die Lösung 

gegebenenfalls eindeutig bestimmt ist. —Eigentlich kann man erst dann, wenn darüber 

Klarheit besteht, darangehen, ‘die Lösung zu berechnen’. Zunächst einmal kann man die 

Gleichung nur umformen in der Hoffnung, sie zu vereinfachen. Wenn nur die Existenz 

einer Lösung, nicht aber die Eindeutigkeit geklärt ist, wird man nach der ‘Lösungsmenge’ 

fragen; das ist die Menge aller ‘Werte der Variablen’ x, für welche die Gleichung G(x) = b 

erfüllt ist, oder anders gesagt, in welchen die Funktion G(·) der Wert b annimmt. 

Die Vielzahl der sprachlichen Wendungen ist für den Unerfahrenen nicht leicht zu 

durchschauen. Er könnte z. B. mit einigem Recht fragen, warum das x manchmal als 

Variable und manchmal als Unbekannte bezeichnet wird. Man mag bedauern, dass es 

auf Fragen dieser Art keine schnellen Antworten gibt. Es gibt aber nicht nur historische 

Gründe für die Vielfalt der Ausdrucksweisen; man kann und sollte nicht versuchen, 

sie durch eine dekretierte Sprachregelung ausser Kraft zu setzen; denn die traditionellen 

Ausdrücke prägen bis heute die Vorstellungswelt der Mathematiker. 

Das Rechnen mit der ‘Unbekannten’ x wurde im 16. Jahrhundert erfunden. Es gilt 

als ein wichtiger Beitrag von Vieta (1540 – 1603), dass er darauf bestanden hat, schon in 

den Bezeichnungen eine Unterscheidung zu treffen zwischen den Bekannten (man könnte 

sagen den gegebenen Parametern des Problems) und den Unbekannten, die man zu bestimmen 

sucht. Auf Descartes (1596 –1662) geht die Gepflogenheit zurück, Buchstaben 

am Anfang des Alphabets für Parameter zu benützen und Buchstaben am Ende des Alphabets 

für die Unbekannten. Eine zentrale Idee von Descartes’ ‘Analytischer Geometrie’ 

ist die Korrespondenz zwischen einer Gleichung f(x, y) = 0 und der Menge der Punkte, 

deren ‘Koordinaten’ die Gleichung erfüllen. 

Wenn die Alten von einer Unbekannten in einer Gleichung sprachen, dann dachten 

sie an bestimmte Zahl, welche man zwar im Augenblick noch nicht explizit kennt, mit 

dem man aber schon einmal rechnen kann. Durch das ‘Auflösen’ der Gleichung wird der 

‘explizite’ Wert der Unbekannten ermittelt. 

Wenn man von einer Variablen spricht, dann denkt man traditionsgemäß an etwas, 

das sich verändert oder verändert wird, um schliesslich Werte (in einem festgelegten Bereich) 

anzunehmen. Die Variablen spielen eine zentrale Rolle im Denken von Newton 

(1643 – 1727). Die algebraische Ausdrucksweise ist da aber mit geometrischen Vorstellungen 

durchsetzt; Newton spricht von Variablen für Fluenten und Fluxionen, die durch 



Gleichungen in Beziehung zueinander gesetzt werden. 

Neben den Variablen und Unbekannten gibt es in der heutigen Mathematik auch noch 

die Unbestimmten, bei denen man zunächst einmal nicht daran denkt, dass sie irgendwelche 

Werte annehmen. Sie fungieren einfach als Rechengrößen (einer festgelegten Art). 

Der Begriff der Funktion hat eine verschlungene Geschichte. Bis in die Mitte des 17. 

Jahrhunderts beschränkten sich praktisch alle Autoren, die mit Funktionen zu tun haben, 

auf Fragen, die mit algebraischen Kurven zusammenhängen. Mit der Erfindung der Differential 

– und Integralrechnung wurde das zwar anders, es kamen viele neue Funktionen 

ins Bild; aber erst im 19. Jahrhundert hat der Begriff der Funktion scharfe Formen angenommen. 

Und noch etwas später hat dann auch die Idee der Lösungsmenge (in einem 

gegebenen Lösungsbereich) eine scharfe Form angenommen. 

Was schliesslich den Begriff der Gleichung betrifft, so erklären ihn die Mathematiker bis 

heute lieber durch Beispiele als durch eine allgemeine Begriffsbestimmung. Die Analytiker 

denken etwa so wie die Alten an das Lösen von Gleichungen. Algebraiker operieren mit 

Gleichungen, sie denken aber in der Regel nicht ans ‘Lösen’ – was das heisst, kann von 

Fall zu Fall sehr verschieden sein. Wir denken im Folgenden zunächst einmal eher wie die 

Analytiker; es wird sich aber zeigen, dass auch die algebraische Betrachtungsweise mit 

Unbestimmten an der Stelle von ’festen Werten’ große Vorzüge hat. Im konkreten Fall 

werden wir mit den Unbestimmten nach den Regeln der Vektorraumtheorie rechnen. 

Das ‘Lösen von Gleichungssystemen’ ist nichts anderes als das Lösen von Gleichungen. 

Man hat da Tupel von Gleichungen für Tupel von Variablen. In einem konkreten Fall aus 

der Grundvorlesung ‘Analysis’ könnte das etwa folgendermaßen aussehen: Gegeben ist ein 

m-Tupel von glatten Funktionen von n Variablen über einem Bereich B ⊆ R n und ein 

m-Tupel von Zahlen b. Zu lösen ist das Gleichungssystem 

g 1 (x 1 , x 2 , . . ....,x n ) = b 1 , 

g 2 (x 1 , x 2 , . . ....,x n ) = b 2 , 

. 

g m (x 1 , x 2 , . . ....,x n ) = b m . 

Man schreibt das auch kurz als G(⃗x) = ⃗ b, wobei man sich ⃗x als eine J-Spalte (|J| = n) 

und ⃗ b als eine I-Spalte (|I| = m) vorstellt. 

. 

Eine Analogie zum ‘Lösen’ von Extremwertproblemen: Aus analytischer Sicht 

gibt es Ähnlichkeiten zwischen dem ‘Lösen’ von Gleichungen und dem ‘Lösen’ von Extremwertproblemen. 

Gegeben ist ein Bereich B ⊂ R n und eine auf B definierte reellwertige 

Funktion h(·). Die Aufgabe lautet: Man finde den ‘Maximalwert’ M = sup{h(Q) : Q ∈ B} 

sowie die ‘Menge der Maximalstellen’ {Q : Q ∈ B, h(Q) = M}. 

Es gibt natürlich auch hier Probleme mit der Lösbarkeit. Es kann z. B. passieren, dass h(·) 

auf B nach oben unbeschränkt ist; d. h. M = +∞. Und es kann (auch bei endlichem M) 

passieren, dass die Zielfunktion den Wert M nicht annimmt: {Q : Q ∈ B, h(Q) = M} = ∅. 



Die Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme 

Bei den linearen Gleichungssystemen, die wir hier jetzt (aufbauend auf dem Schulwissen) 

ausführlich diskutieren wollen, sind die g i (·) K-wertige affine Funktionen auf einem 

endlichdimensionen K-Vektorraum V , der nicht notwendigerweise der R n ist. In geometrischer 

Betrachtung sind die Lösungsmengen als Teilvektorräume oder affine Teilräume 

zu interpretieren, (wenn sie nicht gerade einmal leer sind). 

Die algebraische Sicht auf die linearen Gleichunssysteme lässt mehr Spielraum: Neben 

den ‘bekannten’ Größen kommen auch ‘Unbestimmte’ und ‘Unbekannte’ ins Bild neben 

den sog. ‘bekannten’ Größen, die man auch Parameter nennen kann. Diese sind Zahlen 

(d. h. Skalare in K) a, b, c, . . . mit Indizes, die meistens in Spalten, Zeilen oder Matrizen 

versammelt sind. 

Die Unbestimmten und Unbekannten müssen nicht für Zahlen stehen, sie werden gelegentlich 

auch als Vektoren oder Linearformen zu interpretieren sein. Entscheidend ist, 

dass sie mit Hilfe der ‘bekannten’ Zahlen zueinander in Beziehung gesetzt werden. Das 

Lösen eines Gleichungssystems besteht im Folgenden darin, dass man die Gleichungen so 

umformt, dass gewisse lineare Zusammenhänge bequem abzulesen sind. 

Notation: Die auftretenden Symbole werden häufig Indizes tragen. Man beachte dabei: 

Selbst wenn die Indizes gelegentlich Elemente einer Zahlenmenge wie J = {1, 2, . . ., n} 

sind, so haben die hochgestellten Indizes doch nichts mit Potenzen zu tun. Die Disziplin 

des Hoch- und Tiefstellens der Indizes folgt einem hier noch geheimen Plan, den die 

Studierenden nicht weiter beachten (oder gar imitieren) sollten. Der Anfänger sollte die 

Indizes dort setzen, wo sie ihm typographisch am besten passen, im Zweifelsfalle als untere 

Indizes! Bei uns wird in der Regel, (die wir aber aus typographischen Gründen nicht 

sklavisch einhalten) ein hochgestellter Index andeuten, dass wir uns die Objekte als Spalte 

arrangiert denken, ein tiefgestellter Index soll dagegen (in der Regel) andeuten, dass die 

Objekte nebeneinander stehen. So wollen wir die Familie der Spalten einer I × J-Matrix 

mit {s j : j ∈ J} bezeichnen, die Familie der Zeilen aber mit {t i : i ∈ I}. Die Einträge 

einer I × J-Matrix müssten nach dieser Regel eigentlich mit a i j bezeichnet werden. Wir 

werden die Regel in unkritischen Situationen immer wieder verletzen, falls dadurch die 

wichtigen Aspekte der Formeln leichter lesbar werden. 

Sprechweise 5.6.1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssystem 

der Form 

(22) 

∑ 

a 

i 

j · x j = b i für i ∈ I oder kurz Ax = b . 

Dabei ist die I × J-Matrix A und die I-Spalte b gegeben. Wenn man die rechte Seite b 

gleich 0 setzt, erhält man das dazugehörige homogene Gleichungssystem Ax = 0. 

Die Matrix-Schreibweise lässt unmittelbar einen Zusammenhang hervorteten, den wir 

als Satz formulieren: 



Satz 5.6.1 (Lösungsmengen). Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems 

ist ein Vektorraum. Wenn die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems 

nicht leer sein, dann ergibt sich die allgemeine Lösung dadurch, dass man 

zu einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems die allgemeine Lösung des homogenen 

Systems dazuaddiert. Die Lösungsmenge ist ein affiner Raum. 

Beweis: A˜x = b =⇒ A · (˜x + x) = b für alle x mit Ax = 0. 

Man formuliert diese Aussage gerne auch als einen Satz über lineare Abbildungen im 

Sinne der Betrachtungsweisen, die wir zum Satz vom Rang 5.1.8 auf Seite 9 entwickelt 

haben. 

DarstM 

Sprechweise 5.6.2. (Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung) 

Es sei ϕ : W → U eine lineare Abbildung. {w j : j ∈ J} sei eine Basis des Urbildraums 

W, und {u i : i ∈ I} sei eine Basis des Zielraums U. Die eindeutige (!) Darstellung der 

Bildvektoren v j in der Basis {u i : i ∈ I} liefert eine I × J-Matrix A: 

v j = ϕ(w j ) = ∑ i∈I 

u i · a i j, für i ∈ I 

(23) 

( 

ϕ(w1 ), . . .,ϕ(w n ) ) = ( u 1 , . . .,u m 

) 

· A. 

Diese Matrix A I J heisst die darstellende Matrix für ϕ bzgl. der gegebenen Basen. 

Wenn man ohne alle weiteren Konstrukte allein von einer A = A I J ausgehen will, 

dann ist es naheliegend und üblich, allein mit den Mitteln der Matrizenrechnung eine 

lineare Abbildung zu A konstruieren, und zwar eine lineare Abbildung des Spaltenraum 

W = K J Sp in den Spaltenraum V = KI Sp : den J-Einheitsspalten werden die Spalten v j der 

Matrix zugeordnet. Und damit ist die lineare Abbildung festgelegt: der J-Spalte x mit den 

Einträgen x j ist die I-Spalte ϕ(x) mit den Einträgen (A · x) i = ∑ j ai j · x j zugeordnet: 

ϕ : x ↦→ Ax. 

Der Bildraum dieser Abbildung ist offenbar der Spaltenraum der Matrix A. Aufgaben, 

die einen solchen Spaltenraum betreffen, haben wir im vorigen Abschnitt ausführlich behandelt. 

Wir haben gesehen, wie man durch das Austauschverfahren Basen für diesen 

r-dimensionalen Vektorraum findet, und wir haben gesehen, wie man bei einer vorgegebenen 

I-Spalte entscheidet, ob sie zum Spaltenraum der Matrix gehört und wie sie sich 

gegebenenfalls als Linearkombination der ausgewählten Basis darstellt. 

Im Folgenden werden wir uns ebenso ausführlich mit dem Kern der durch A gegebenen 

linearen Abbildung befassen. Der Kern ist offenbar die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems 

{x : Ax = 0}. Wir wollen bequeme Basen für diesen n − r-dimensionalen 

Vektorraum finden. 

Wir betrachten auch lineare Gleichungssysteme mit unbestimmter rechter Seite. 

Ein solches hat (bei uns hier in der Regel) die Form Ax = −y, wo y die I-Spalte mit 

den unbestimmten Einträgen y i ist. Wir betrachten nochmals das Zahlenschema aus dem 



Ersten Zahlenbeispiel 5.2.1 von Seite 17, jetzt aber im Sinne der Gleichungssysteme: 

In Matrizenschreibweise 

1 · x 1 + 2 · x 2 + 4 · x 3 + 1 · x 4 = −y 1 

1 · x 1 + 1 · x 2 + 1 · x 3 + 0 · x 4 = −y 2 

−1 · x 1 + 0 · x 2 + 2 · x 3 + 1 · x 4 = −y 3 . 

⎛ 

⎝ 

1 2 4 1 

1 1 1 0 

−1 0 2 1 

Standardmäßig stellen sich drei Probleme 

⎛ 

⎞ 

⎠ ⎜ 

⎝ 

⎞ 

x 1 

x 2 

x 3 

x 4 

I. Für welche Werte von y existiert eine Lösung? 

⎛ 

⎟ 

⎠ = ⎝ 

⎞ 

−y 1 

−y 2 ⎠ 

−y 3 

II. Man finde eine spezielle Lösung zu jedem guten Wert von y. 

III. Finde eine übersichtliche Darstellung der Menge aller Lösungen. 

In der Sprache der linearen Abbildungen ϕ : W → U entsprechen dem die Probleme 

I. Charakterisiere das Bild imϕ. 

II. Finde ein spezielles Urbild zu jedem guten v. 

III. Finde eine übersichtliche Beschreibung von kerϕ. 

1ZBZ 

Für das Erste Zahlenbeispiel 5.2.1 von Seite 17 sind die Fragen schnell zu beantworten, 

wenn wir uns auf die oben durchgeführten Rechnungen stützen. Die Folge der 

Pivot-Transformationen, die zu einem maximalen Austausch führen. brauchen wir hier 

nicht noch einmal vorzuführen. Die Randbeschriftung ist das einzige, was sich ändert. 

x 1 x 2 z 1 z 2 y 1 y 2 z 1 z 2 

1 2 4 1 = −y 1 −1 2 −2 −1 = −x 1 

1 1 1 0 = −y 2 1 −1 3 1 = −x 2 

−1 0 2 1 = −y 3 −1 2 0 0 = −y 3 

Aus dem gemäß der Methode des maximalen Austauschs umgeformten Tableau kann 

man alles ablesen, was uns interessiert: 

I) Eine Lösung existiert genau dann, wenn die dritte Gleichung erfüllt ist 

−y 1 + 2y 2 = −y 3 . 



II) Zu jedem guten y gibt es eine spezielle Lösung von der Form (x 1 , x 2 , 0, 0) T , nämlich 

( 

−1 +2 

1 −1 

) ( ) 

y1 

= 

y 2 

( 

−x 

1 

−x 2 ) 

. 

III) Die Lösungsmenge der homogenen Gleichung ist zweidimensional. Wir können z frei 

wählen. Die Spalten der folgenden Matrix bilden eine Basis des Lösungsraums. 

⎛ ⎞ 

−2 −1 

⎜+3 +1 

⎟ 

⎝−1 0⎠ 

0 −1 

Nach demselben Schema behandeln wir das Zweite Zahlenbeispiel von Seite 17. Hier 

geht es jetzt um das folgende lineare Gleichungssystem. 

⎛ ⎞ 

⎛ ⎞ x 

1 2 4 1 

1 ⎛ ⎞ 

⎝ 1 1 1 0⎠⎜ 

x 2 

−y 1 

⎟ 

⎝ x 

−1 0 1 2 

3 ⎠ = ⎝ −y 2 ⎠ . 

x 4 −y 3 

Wir schreiben das als Zeilentableau, wobei wir die ersten drei ‘Unbekannten’ als ein Tripel 

x notieren und das x 4 durch z ersetzen. Den maximalen Pivot-Austausch haben wir oben 

auf Seite 17 vorgeführt. Wir erhielten 

x z y z 

1 2 4 . 1 1 −2 −2 . −3 

1 1 1 . 0 = −y −2 5 3 

−1 0 1 . 2 1 −2 −1 . −1 

. 4 = −x . 

Hier kann man wieder alles ablesen, was in den Fragen I, II, III gefragt wurde, z.B.: Das 

Lösungsgebilde des homogenen Systems ist eindimensional.; z kann man beliebig wählen, 

z. B. z = −1. Die Spalte mit den Einträgen −3, 4, −1, −1 ist eine Basis. 

Wir kommen nochmals auf die Interpretation des Spaltentableaus auf Seite 20 zurück. 

Wir hatten uns da die Aufgabe gestellt, eine Basis des Durchschnitts von V = span{s 1 ,s 2 } 

und W = span{s 3 ,s 4 } zu finden. Wenn eine Linearkombination der Spalten unserer Matrix 

die Nullspalte ergibt, s 1 · c 1 + s 2 · c 2 + s 3 · c 3 + s 4 · c 4 = o, dann bedeutet das, dass das 

Quadrupel c eine Lösung des homogenen Gleichungssystems ist. Das Quadrupel von oben 

liefert einen Basisvektor ˜w für den Durchschnitt s 1 · (−3) +s 2 · 4 = ˜w = +s 3 · 1+s 4 · 1. 

Fazit: Es ist manchmal nur Geschmacksache, ob man ein Problem in der Sprache der 

Spaltentableaus studiert, oder lieber in der Sprache der Zeilentableaus. 



Abgekürzte Rechnung für konkrete rechte Seiten 

Wenn wir statt der unbestimmten nur eine konkrete rechte Seite zu bearbeiten haben, 

dann müssen wir auf dem Weg zu einem aussagekräftigen Tableau nicht alle Aktualisierungen 

durchführen. Die Inverse der Matrix wird nicht benötigt, wenn man nur das 

folgende spezielle Gleichungssystem lösen will 

⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 

⎞ 

−1 +2 +1 x 1 

⎝+3 −8 −2⎠ 

⎝x 2 ⎠ = 

+1 0 +4 x 3 

−2 

⎝+4⎠ . 

−2 

Wir wissen bereits, wie man das Problem in der Sprache der Spaltentableaus beschreibt. 

Hier wollen wir ein Zeilentableau heranziehen. Man beachte die Konstante −1 am oberen 

Rand; sie signalisiert, dass die vierte Spalte für die Pivotwahl tabu ist. 

x 1 x 2 x 3 −1 0 x 2 x 3 −1 

−1 2 1 −2 = 0 2 ∗ 5 −4 = 0 

3 −8 −2 4 = 0 −8 −14 10 = 0 

1 ∗ 0 4 −2 = 0 1 0 4 −2 = −x 1 

0 0 x 3 −1 0 0 0 −1 

1/2 5/2 −4/2 = −x 2 1/2 = −x 2 

−6 ∗ 6 = 0 −1/6 −1 = −x 3 

4 −2 = −x 1 2 = −x 1 

⎛ ⎞ 

2 

Die eindeutig bestimmte Lösung ist also ⃗x = ⎝1/2⎠. 

−1 

Nach diesen Beispielen formulieren wir den allgemeinen Satz 

Satz 5.6.2 (Gleichungssysteme mit unbestimmter rechter Seite). Es sei A eine m × n- 

Matrix vom Rang r, und A 11 eine invertierbare r × r-Teilmatrix. Wir setzen 

1. Das Gleichungssystem 

K = A −1 

11 · A 12 , L = A 21 · A −1 

11 . 

A · x = 

ist genau dann lösbar, wenn L · y | = y ‖ . 

( ) ( ) ( ) 

A11 A 12 x 

| y 

| 

· = − 

A 21 A 22 x ‖ y ‖ 

2. Für beliebig vorgegebenes y | , x ‖ ergibt sich genau eine Lösung ( ) 

x | 

x . Es gilt 

‖ 

( ) ( ) x 

| y 

| 

A · = − ⇐⇒ −x | = A −1 

x ‖ Ly | 11 · y | + K · x ‖ . 



Beweis 

Den Beweis liest man ab aus dem mit Hilfe von A 11 maximal ausgetauschten Tableau. 

x | x || y | x || 

A 11 . A 12 = −y | A −1 

11 . K = −x | 

............. ............. 

A 21 . A 22 = −y || −L . 0 = −y || 

Durch die hier gegebene Interpretation der großen Pivot-Transformation (mit A 11 ) wird 

plausibel, warum man K gelegentlich den Kernblock nennt und L den Bildblock. 

Die ‘Lösung des linearen Gleichungssystems mit unbestimmter rechter Seite’ kann 

man auch aus Faktorisierung ablesen, die wir im Satz 5.2.4 hergeleitet haben. Bei diesem 

Zugang in der Sprache des Matrizenkalküls kommt auch sehr schön der Gesichtspunkt der 

Dualität zum Vorschein. 

Satz 5.6.3. Es sei A eine I ×J-Matrix vom Rang. Die Teilmatrix A 11 vom Format I | ×J | 

sei invertierbar, I | = J | = r. Wir setzen I ‖ = I \ I | . Es gilt dann 

(24) 

A = 

( ) 

A11 

· A −1 

11 

A · (A ) 

11 , A 12 

21 

= 

( ) 

E 

I | 

· A 11 · 

L 

( ) 

E J | , K 

mit L = L I| 

I ‖ = A 21 · A −1 

11 , K = KJ| J ‖ = A −1 

11 A 12. 

Der Kern und das Bild der Abbildung x ↦−→ A · x können mit K und L folgendermaßen 

beschrieben werden: 

(25) 

(26) 

A · 

( x 

| 

x ‖ ) 

= 0 ⇐⇒ (E J | , K) · 

y ∈ span Sp A ⇐⇒ y = 

( ) 

( ) 

x 

| 

K 

= 0, ⇐⇒ x ∈ span 

x ‖ Sp . 

−E J ‖ 

( ) ( ) 

( ) 

y 

| E 

I | 

y 

| 

y ‖ ∈ span Sp ⇐⇒ (L, −E I‖ ) 

L 

y ‖ = 0. 

Beweis 

Die ersten r Spalten der Matrix A sind linear unabhängig; sie sind sogar eine Basis des 

Spaltenraums von A. Die ersten r Zeilen sind eine Basis des Zeilenraums. Die Gleichungen 

( ) ( ) 

A12 A11 

= · K; (A 

A 22 A 21 , A 22 ) = L · (A 11 , A 12 ) 

21 

zeigen, wie sich die restlichen Spalten bzw. Zeilen als Linearkombinationen der ersten r 

Spalten bzw. Zeilen darstellen. 



( K 

Offenbar gilt A ·x = 0 ⇐⇒ (E J | , K) ·x = 0. Die Gleichung (E, K) · = 0 zeigt, 

( ) 

−E) 

K 

dass die n − r Spalten der Matrix das Gleichungssystem lösen. Da sie linear 

−E J ‖ 

unabhängig sind, bilden sie eine Basis des (n − r)-dimensionalen Lösungsraums. 

( ) ( ) E 

I | 

A11 

Die r Spalten von = · A −1 

11 sind eine Basis des Bildraums. Die Matrix 

L A 12 

(L, −E I‖ ) hat den Rang m − r. Der Lösungsraum des Gleichungssystems (L, −E) · y = 0 

( ) E 

I | 

ist also r-dimensional, und zwar wegen (L, −E I‖ ) · = 0 gerade unser Bildraum. 

L 

Äquivalente Einsichten: Unser Satz erscheint als ein Satz über eine I×J-Matrix A. In 

vielen Lehrbüchern der elementaren Linearen Algebra identifiziert man eine I ×J-Matrix 

A mit der dazugehörigen linearen Abbildung ϕ des Raums der J-Spalten in den Raum 

der I-Spalten. Es wird dort die Aufgabe gestellt, Kern und Bild einer solchen Abbildung 

konkret und übersichtlich zu beschreiben. 

Der Kern der Abbildung ist hier zunächst als die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems 

gegeben. Man will diesen Kern nun auch als die lineare Hülle einer (linear 

unabhängigen) Familie von J-Spalten darstellen. In einem Zwischenschritt bestimmt man 

eine Basis des Raums der Zeilen der gegebenen Matrix (und evtl. auch eine Darstellung 

der ‘überflüssigen’ Zeilen in dieser Basis). 

Das Bild ist ein Teilraum des Raums der I-Spalten; es ist zunächst als die lineare Hülle 

der Spalten von A gegeben; nämlich als der ‘Spaltenraum’ von A. Es ist die Aufgabe gestellt, 

die Eigenschaft einer I-Spalte, im Spaltenraum zu liegen, durch das Erfülltsein eines 

(linear unabhängigen) Systems von homogenen Gleichungen zu beschreiben. Ein nützlicher 

Zwischenschritt besteht darin, aus der Familie der Spalten eine Basis auszuwählen 

(Die Darstellung der ‘überflüssigen’ Spalten durch die ausgewählten Basisvektoren könnte 

obendrein von Interesse sein). 

Wir haben gesehen, dass die Methode des maximalen Austauschs alle diese Probleme 

simultan erledigt. Für das erste Problem ist die Matrix K = A −1 

11 · A 12 zuständig, für das 

zweite Problem die Matrix L = A 21 · A −1 

11 . 

( K 

ker ϕ = span , imϕ = {y : (L, −E) · y = 0}. 

−E) 

Ausserdem liefert der maximale Austausch — das wollen wir nicht vergessen— die Inverse 

einer Teilmatrix vom Rang r. 

Die beiden Einsichten, die wir eben als Sätze über Matrizen (oder lineare Abbildungen 

von Spaltenräumen) formuliert haben, kann man auch in die Sprache der Linearformen 

übersetzen. Eine Linearform auf einem K-Vektorraum ist bekanntlich eine K-wertige 



Funktion l(·) mit der Eigenschaft 

l(a · v + b · w) = a · l(v) + b · l(w). 

Konkrete Beispiele liefert der Matrizenkalkül, wenn man die J-Zeilen als Linearformen 

auf dem Vektorraum der J-Spalten versteht, und die I-Spalten als Linearformen auf dem 

Vektorraum der I-Zeilen. Wenn wir beide Einsichten als Aussagen über Teilvektorräume 

eines n-dimensionalen Vektorraums formulieren, dann ergibt sich aus dem Bewiesenen der 

Satz 5.6.4. Einen r- dimensionalen Teilvektorraum W eines n-dimensionalen Vektorraums 

kann man einerseits als die lineare Hülle eines Systems von Vektoren beschreiben; 

es reichen r Vektoren, und die Methode des maximalen Austauschs (für das Spaltentableau) 

leistet eine Auswahl. 

Man kann W andererseits als das Nullstellengebilde einer Familie von linearen Gleichungen 

beschreiben. Es reichen n − r Gleichungen, und die Methode des maximalen 

Austauschs (für das Zeilentableau) leistet eine Auswahl. 

Auch der Übergang von der einen Darstellung zur anderen wird durch einen maximalen 

Austausch erledigt. 

(Die Darstellung der Teilvektorräume einerseits als eine lineare Hüllen und andererseits 

als Lösungsmengen eines homogenen Gleichungssystems wird uns im Rahmen der 

Vektorraumdualität noch weiter beschäftigen.) 


5.7 : Ausblicke auf lineare Ungleichungen 35 

5.7 Ausblicke auf lineare Ungleichungen 

Der Pivot-Austausch bewährt sich nicht nur dann, wenn es im Endeffekt um einen maximalen 

Austausch geht. Wir diskutieren (in der gebotenen Kürze ohne Beweise) einen 

Aufgabenbereich, wo eine Matrix A durch eine Serie von Pivot-Transformationen in eine 

verwandte Matrix transformiert werden soll, deren Tableau wir ein final oder vorzeichengerecht 

ausgetauschtes Tableau nennen wollen. Wenn zu A eine vorzeichengerechte 

verwandte Matrix existiert, dann wird sie häufig eindeutig bestimmt sein; es kann aber 

viel Rechenarbeit kosten, sie zu finden. Wir können hier lediglich die einfachsten Grundideen 

andeuten. Wir folgen dem Brauch, erste lineare Optimierungsprobleme durch kleine 

Geschichten leichter memorierbar zu machen. 

Eine Maximierungsaufgabe 

Eine Abteilung in einem Produktionsbetrieb hat festgestellt, dass mit im Moment brachliegenden 

Resourcen täglich gewisse Mengen von Produkten herstellen könnten, die sich 

zu bekannten Preisen verkaufen lassen. Es handelt sich um Muttern, Stifte und Bolzen. 

Die Kiste Muttern bringt den Betrag 3 (in einer gewissen Währung), die Kiste Stifte 

den Betrag 2, und die Kiste Bolzen den Betrag 2, 5. Wenn also täglich n Kisten Muttern, 

t Kisten Stifte und b Kisten Bolzen produziert werden, dann bringt das den Ertrag 

3 · n + 2 · t + 2, 5 · b. Die benötigten Resourcen sind Arbeitszeit, und Betriebszeiten auf 

zwei Maschinen. Diese werden bei der Produktion der verschiedenen Produkten in unterschiedlichem 

Masse beansprucht; und sie sind beschränkt.(Die Zahlenwerte finden sich 

unten in der Tabelle). Es ist nun nach einem optimalen Produktionsplan gefragt. Welche 

Mengen sollten hergestellt werden, welche Resourcen sollten voll ausgeschöpft werden, 

und bei welchen sollte man einen ‘Schlupf’, d.h. ein gewisses Maß der Nichtausnützung 

zulassen? 

Aufgabe M1; 

Maximiere mit nichtnegativen n, t, b die affine Funktion 

M = 3 · n + 2 · t + 2, 5 · b 

unter den Nebenbedingungen 

4 · n + 2 · t + 2 · b ≤ 12 

1 · n + 0 · t + 1 · b ≤ 2 

0 · n + 1 · t + 3 · b ≤ 4. 

Aufgabe M2; Wir haben eine 3 ×3-Matrix A, eine 3-Spalte b und eine 3-Zeile c und 

wir suchen nach dem Maximum von 

⎛ ⎞ 

n 

⎛ ⎞ 

n 

⎛ ⎞ 

n 

M = c · ⎝t⎠ 

unter der Bedingung ⎝t⎠ ≥ o, A · ⎝t⎠ ≤ b. 

b 

b 

b 



Wenn wir die sog. Schlupfvariablen einführen: 

4 · n + 2 · t + 2 · b − 12 = −S 1 , 

1 · n + 0 · t + 1 · b − 2 = −S 2 , 

0 · n + 1 · t + 3 · b − 4 = −S 3 . 

dann werden aus den Ungleichungen die Bedingungen S i ≥ 0 für i ∈ I = {i 1 , i 2 , i 3 }, und 

wir können die Maximierungsaufgabe folgendermaßen als ein Zeilentableau formulieren: 

Aufgabe M3: 

n t b −1 

4 2 2 . 12 = −S 1 

1 0 1 . 2 = −S 2 

0 1 3 . 4 = −S 3 

................ 

3 2 2, 5 . 0 = M 

M maximal mit (n, t, b, S 1 , S 2 , S 3 ) ≥ 0 ! 

Lösung: Wir werden sehen, dass (n, t, b, S 1 , S 2 , S 3 ) = (1, 4, 0, 0, 1, 0) der ertragreichste 

Produktionsplan ist. Es lohnt sich also nicht, Bolzen zu produzieren; und es schadet 

nicht, wenn die erste Maschine nicht voll ausgelastet ist. 

Daneben formulieren wir auch eine lineare Minimierungsaufgabe, wieder in der Form 

einer kleinen Geschichte: 

Eine Minimierungsaufgabe 

Es werden (zu bekannten Preisen) drei Nahrungsmittel angeboten, die jedes eine gewisse 

Menge von drei wichtigen Grundstoffen enthält. Ein Diätspezialist soll zu einem möglichst 

geringen Preis einen Diätplan aus den drei Nahrungsmitteln so zusammenstellen, dass die 

Gesamtmenge jedes Grundstoffs ein vorgegebenes Niveau übertrifft. Die Minimierungsaufgabe 

wollen wir wieder auf dreierlei Weisen in mathematischer Sprache formulieren: 

Aufgabe m1; 

Minimiere mit nichtnegativen u 1 , u 2 , u 3 die affine Funktion 

unter den Nebenbedingungen 

m = 12 · u 1 + 2 · u 2 + 4 · u 3 

4 · u 1 + 1 · u 2 + 0 · u 3 ≥ 3 

2 · u 1 + 0 · u 2 + 1 · u 3 ≥ 2 

2 · u 1 + 1 · u 2 + 3 · u 3 ≥ 2, 5. 



Aufgabe m2; Wir haben eine 3×3-Matrix A, eine 3-Spalte b und eine 3-Zeile c; und 

wir suchen nach dem Minimum von m = (u 1 , u 2 , u 3 ) · b unter der Nebenbedingung 

(u 1 , u 2 , u 3 ) ≥ o, (u 1 , u 2 , u 3 ) · A ≥ c. 

Wenn wir die sog. Überschussvariablen einführen: 

4 · u 1 + 1 · u 2 + 0 · u 3 − 3 = T 1 , 

2 · u 1 + 0 · u 2 + 1 · u 3 − 2 = T 2 , 

2 · u 1 + 1 · u 2 + 3 · u 3 − 2, 5 = T 3 . 

dann werden aus den Ungleichungen die Bedingungen T i ≥ 0 für i ∈ I = {i 1 , i 2 , i 3 }, und 

wir können die Minimierungsaufgabe folgendermaßen als ein Spaltentableau formulieren: 

Aufgabe m3: 

u 1 4 2 2 . 12 

u 2 1 0 1 . 2 

u 3 0 1 3 . 4 

........................ 

−1 3 2 2, 5 . 0 

= T 1 = T 2 = T 3 = m 

m minimal mit (u 1 , u 2 , u 3 , T 1 , T 2 , T 3 ) ≥ 0 ! 

Lösung: Wir werden sehen, dass (u 1 , u 2 , u 3 , T 1 , T 2 , T 3 ) = ( 3 , 0, 1 , 0, 0, 1 ) die kostengünstigste 

Zusammenstellung ist. Es ist also nicht nötig, das zweite Nahrungsmittel in den 

4 2 2 

Diätplan aufzunehmen, und es verursacht keine unnötigen Kosten, wenn der dritte Grundstoff 

überreichlich verabreicht wird. Die minimalen Kosten belaufen sich auf 

m = 3 4 · 12 + 1 2 · 4 = 9 + 2 = 11. 

Vergleich der Lösungen der beiden zueinander dualen Optimierungsaufgaben: 

Bei der Auskunft über optimalen Zielwerte fällt auf ˜m = ˜M = 11. Und diese Gleichheit 

ist kein Zufall, wie wir sehen werden, wenn wir die beiden zueinander dualen Tableaus 

simultan umformen. 

x 1 x 2 x 3 −1 x 1 y 3 x 3 −1 

u 1 4 2 2 . 12 = −y 1 u 1 4 ∗ −2 −4 

u 2 1 0 1 . +2 = −y 2 u 2 1 0 1 

.+ 4 = −y 1 

.+ 2 = −y 2 

u 3 0 1 ∗ 3 . +4 = −y 3 v 2 0 1 +3 .+ 4 = −x 2 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

−1 3 2 2, 5 . 0 = M −1 3 −2 −3, 5 . − 8 = M 

= v 1 = v 2 = v 3 = m = v 1 = u 3 = v 3 = m 



v 1 

1 

4 

y 1 y 3 x 3 −1 0 0 0 −1 

. +1 = −x 1 0 

u 2 . +1 = −y 2 0 

. ⊕ = −x 1 

. ⊕ = −y 2 

v 2 . +4 = −x 2 0 

. ⊕ = −x 2 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

−1 − 3 − 1 − 1 . −11 = M −1 ⊖ ⊖ ⊖. −11 = M 

4 2 2 

= u 1 = u 3 = v 3 = m = u 1 = u 3 = v 3 = m 

Die positiven Vorzeichen in der rechten Randspalte zeigen, dass (y 1 , y 3 , x 3 ) = ( 0, 0, 0) 

einen zulässigen Produktionsplan liefert. Die negativen Vorzeichen in der unteren Randspalte 

zeigen, dass (v 1 , u 2 , v 2 ) = ( 0, 0, 0) einen zulässigen Einkaufsplan liefert. 

Die negativen Vorzeichen in der unteren Randspalte zeigen auch: Wenn wir uns mit 

(y 1 , y 3 , x 3 ) irgendwie in den zulässigen positiven Oktanten hineinbegäben, dann lieferte 

die letzte Zeile einen verminderten Gewinn. 

Entsprechend zeigen die positiven Vorzeichen in der rechten Randspalte, dass die Kosten 

des Einkaufsplans steigen, wenn wir uns irgendwie in den zulässigen positiven Oktanten 

hineinbegeben. 

Fazit: Aus den Vorzeichen in den Randspalten eines ’final ausgetauschten’ Tableau 

sind die Lösungen beider Optimierungsprobleme abzulesen. 

Es stellen sich insbesondere zwei Fragen: 

1. Durch welche Argumente ( ) oder Rechnungen kann man entscheiden, ob zu einer erweiterten 

Matrix eine verwandte Matrix mit den gewünschten Vorzeichen 

A b 

c d 

am Rand existiert; 

2. Wenn es eine verwandte Matrix mit den gewünschten Vorzeichen am Rand gibt, wie 

findet man sie. 

Antworten geben die folgenden Sätze, die wir leider hier nicht beweisen können: 

( ) A b 

Satz 5.7.1 (Duale Lösbarkeit). Das Maximierungssproblem zur erweiterten Matrix 

c d 

besitzt genau dann eine Lösung, wenn das Minimierungsproblem eine Lösung besitzt. 

Notwendig und hinreichend für die Lösbarkeit ist die Erfüllbarkeit der beiden Ungleichungssysteme 

x ≥ o, A · x ≤ b und u ≥ o, u · A ≥ c. 

Satz 5.7.2. Wenn für eine erweiterte Matrix A die Optimierungsprobleme lösbar sind, 

dann existiert eine Folge von Pivot-Transformationen, welche zu einem final ausgetauschten 

Tableau führt. 

Hinweis: Leider gibt es keine letzlich überzeugenden Regeln der Pivot-Wahl. Es ist 

sogar so, dass alle Regeln bei unfreundlich gewählten Matrizen sehr lange Serien von 

Pivot-Transformationen erzeugen. Für die Praxis ist dies nicht so schlimm; man benützt 



Regeln der Pivot-Wahl, die sich in weiten Anwendungsbereichen bewährt haben — und 

löst damit in der Tat in großem Umfang praktisch wichtige lineare Optimierungsaufgaben. 

Wir werden die Sätze beweisen, wenn wir den Begriff der Dualität beherrschen. Hier 

können wir aber schon einmal anhand eines bemerkenswerten algebraischen Zusammenhang 

plausibel machen, dass der optimale Wert für das Minimierungsproblem übereinstimmt 

mit dem optimalen Wert für das Maximierungsproblem. 

Satz 5.7.3 (Einschachtelung der Optimalwerte). 

Gegeben seien ˜x, ũ mit ˜x ≥ o, A · ˜x ≤ b, ũ ≥ o, ũ · A ≥ c. 

Für die Zahlen ˜M = c · ˜x und ˜m = ũ · b gilt dann ˜M ≤ ˜m. 

Beweis 

Wenn das (m+n+1)-Tupel (x, y, M) das Zeilentableau erfüllt und das (m+n+1)-Tupel 

(u, v, m) das Spaltentableau, dann lesen wir ab 

A · x − b = −y 

c · x − d = M 

und 

u · A − c = v 

u · b − d = m 

(Hier sind x und y skalare Spalten; u und v sind skalare Zeilen; d, m und M sind Skalare). 

Wenn wir einsetzen finden wir v · x = (u · A − c) · x und u · (−y) = u · (A · x − b). 

Die Differenz ergibt v · x + u · y = u · b − c · x = m − M. 

Im Falle (˜x, ỹ) ≥ 0 und (ũ, ṽ) ≥ 0 ist die linke Seite nichtnegativ und die Behauptung folgt. 

Zur Geometrie: Es verlangt nach einem geometrischen Verständnis für konvexe Mengen 

und insbesodere für die Durchschnitte von Halbräumen, wenn man plausibel machen 

will, dass in einer optimalen Lösung eine gehörige Anzahl der Zahlenwerte Null sind; das 

Optimum wird stets in einem‘Extremalpunkt’ des Zulässigkeitsbereichs angenommen. Wir 

stellen diesen geometrischen Aspekt zurück. 

Die Formulierung M2 des Maximierungsproblems erlaubt eine einsichtige geometrische 

Interpretation, welche schon einmal ein ersten Hinweis auf den Zusammenhang mit dem 

Minimierungsproblem gibt. 

Nehmen wir an, dass die Menge P M = {x : x ≥ 0, A · x ≤ 0} nichtleer ist. Wenn 

dieser Durchschnitt abgeschlossener Halbräume beschränkt ist, dann nimmt jede stetige 

Funktion (und inbesondere jede affine Funktion f(x) = c · x − d) auf P M ihr Maximum 

an. Da nun aber P M auch unbeschränkt sei kann, steht nicht fest, ob die uns speziell 

vorgegebene Funktion auf P M nach oben beschränkt ist. Wir wissen immerhin von einigen 

affinen Funktionen a i (·), dass sie auf P M beschränkt sind: jede Zeile der Matrix liefert eine 

affine Funktion a i · x − b i , die auf P M nicht positiv ist. Jede positive Linearkombination 

dieser a i (·) ist ebenfalls nicht positiv auf P M . 



Wir haben also eine hinreichende Bedingung dafür, dass die vorgegebene affine Funktion 

c · x − d nach oben beschränkt ist. 

∑ 

∃(u 1 , . . .,u m ) ≥ (0, . . ., 0) mit u i·a i ≥ c =⇒ sup{ ( c·x−d ) : x ∈ P M } < ∞. 

i 

Die Prämisse bedeutet, dass das Ungleichungssystem für das duale Minimierungsproblem 

erfüllbar ist: P m = {u : u ≥ 0, u · A ≥ c} ≠ ∅. Wenn man mit der Idee der dualen Kegel 

vertraut ist, dann kann man schnell sehen, dass die Bedingung auch notwendig ist. In der 

Theorie der konvexen Dualität beweist man nämlich den ( für den Anfänger auch ohne 

Beweis verständlichen) Satz: 

Satz 5.7.4. Wenn eine Linearform l auf einem endlichen Durchschnitt von Halbräumen 

{v : l i (v) ≤ 0 für alle i ∈ I} nichtpositiv ist, dann ist sie eine positive Linearkombination 

der l i ; es existieren also u i ≥ 0, sodass l = ∑ i u i · l i . 

Zur Interpretation In der Sprache unseres Beispiels kann man den Einschachtelungssatz 

folgendermaßen ausdrücken. Wenn eines der Optimierungsprobleme (und damit auch 

das duale) eine Lösung besitzt, wenn also beide Ungleichungssysteme erfüllbar sind, dann 

liefert jede zulässige ‘Einkaufsplan’ u eine obere Schranke für den Gewinn im Maximierungsproblems; 

und jeder zulässige ‘Produktionsplan’ x liefert eine untere Schranke für die 

Kosten im Minimierungsproblem. Diese Beobachtung suggeriert die (durchaus berechtigte) 

Hoffnung, dass man sich durch schrittweises Verbessern zulässiger Produktions- oder 

Einkaufspläne an Maximal- und Minimalwert herantasten kann. Man beachte, dass wir im 

Beispiel die Pivot-Wahlen so getroffen haben, dass die Nullen am oberen Rand zulässige 

Produktionspläne lieferten, während sich der Ertrag steigerte. 

Wenn die Schranken zusammenfallen, dann haben wir eine Lösung beider Optimierungsaufgaben. 

In diesem Fall verschwinden alle Produkte u i · y i und alle Produkte v j · x j . Das 

erlaubt den Schluss: Wenn ein optimaler Produktionsplan in der i-ten Position eine echt 

positiven ‘Schlupf’ hat, dann wird für einen optimalen Einkaufsplan das i-te Nahrungsmittel 

nicht benötigt. Wenn ein optimaler Einkaufsplan beim j-ten Grundstoff einen echt 

positiven Überschuss liefert, dann kommt das j-te Produkt in einem optimalen Produktionsplan 

nicht vor. 

In unserem Beispiel haben wir nicht versucht, zu der durch eine kleine Geschichte motivierte 

primalen Maximierungsaufgabe eine Geschichte zu erfinden, welche eine ‘inhaltliche’ 

Beziehung zwischen dem primale und dem dualen Programm suggeriert; wir haben nur 

den formalen Aspekt herausgestellt. Es sollte aber erwähnt werden, dass sich in manchen 

Anwendungen tatsächlich ein inhaltlicher Zusammenhang zwischen den beiden Optimierungsaufgaben 

aufdrängt, und dass ein solcher inhaltlicher Zusammenhang gelegentlich 

gute Dienste bei heuristischen Überlegungen leistet. 



Sensitivitätsanalyse: ‘Schattenpreise’ ( ) Wir nehmen an, dass die Optimierungsprobleme 

zur erweiterten Matrix optimal gelöst sind durch ˜x ≥ 0 bzw. ũ ≥ 0, und 

A b 

c d 

wir nehmen an, wir hätten ein vorzeichengerecht ausgetauschtes Tableau. 

x | x ‖ −1 y | x ‖ −1 

u | A 11 A 12 . b | = −y | v | B 11 B 12 . + f | = −x | 

u ‖ A 21 A 22 . b ‖ = −y ‖ u ‖ B 21 B 22 . + f ‖ = −y ‖ 

−1 c | c ‖ . d = M −1 −e | −e ‖ . ˜d = M 

= v | = v ‖ = m = u | = v ‖ = m 

Wenn wir die Restriktionen b lockern, oder anders gesagt, wenn wir einen kleinen Betrag 

(zu einem angemessenen Preis) dazukaufen, dann können wir erwarten, dass der optimale 

Ertrag steigt. Interessant sind allerdings nur diejenigen Resourcen i ∈ I | , die bei unserer 

optimalen Lösung ausgeschöpft werden, die also dem Pivot-Austausch unterzogen werden. 

Der Anstieg des Ertrags ist (in der Nähe unserer optimalen Lösung) eine lineare Funktion 

von y | , nämlich e | · y | . Man nennt daher die Zahl e i den Schattenpreis der i-ten Resource. 

Nach den Rechenregeln für den großen Pivot- Austausch ergibt sich e | = c | · A −1 

11 . 

Betrachten wir unser Zahlenbeispiel: Die optimalen Produktionsmengen und der dazugehörige 

Schlupf sind (x | , x ‖ , y | , y ‖ ) = (f | , 0, 0, f ‖ ). In diesem optimalen Produktionsplan 

wird die Arbeitszeit und die Betriebszeit der zweiten Maschine voll ausgeschöpft. Der 

angemessene Preis für einen kleinen Zusatz in diesen Resourcen ist der dadurch erzielte 

Ertragszuwachs 

∆ (Ertrag) = e | · ∆ (relevante Resourcen) 

Im obigen Zahlenbeispiel ∆(Ertrag) = 3/4 · ∆(Arbeitszeit) + 1/2 · ∆(2. Betriebszeit). 

Gehen wir nun zum dualen Minimierungsproblem. Das vorzeichengerecht ausgetauschte 

Tableau liefert den optimalen Einkaufsplan und die dazugehörigen Überschüsse (ũ | , ṽ ‖ ) = 

(e | , e ‖ ). Wenn wir in der Minimierungsaufgabe die Forderungen in den Positionen j ∈ J | 

ein wenig erhöhen, dann werden die Kosten des optimalen Einkaufsplans steigen. Es 

kommt allerdings nur die Forderungen j ∈ J | an, die Forderungen in den Positionen 

j ∈ J ‖ spielen keine Rolle; denn die werden beim optimalen Einkaufsplan ohnehin übertroffen. 

Die zusätzlichen Kosten interpretiert man als die Preise, die man auf einem geeigneten 

Markt für den Hinzukauf der fehlenden (kleinen) Mengen der Nährstoffe aufwenden 

müsste. Die angemessenen ‘Schattenpreise’ wären mit f | = A −1 

11 · b| anzusetzen; denn 

∆ (Kosten) = ∆ (relevante Forderungen) · f | . 

Im obigen Zahlenbeispiel ∆(Kosten)= ∆(T 1 ) · 1 + ∆(T 2 ) · 4. 



Wir haben somit eine doppelte Interpretation der Einträge in den Randspalten der 

vorzeichengerecht ausgetauschten Tableaus. Das J | -Tupel f | gibt für das Maximierungsproblem 

die Mengen im Produktionsplan an; für das Minimierungsproblem zeigt es die 

Schattenpreise der kritischen Erfordernisse. 

Die I | -Zeile e | gibt für das Minimierungsproblem die Mengen im Einkaufsplan an; für 

das Maximierungsproblem zeigt es die Schattenpreise der restringierten Resourcen. 

Ein Zweipersonen-Nullsummenspiel Die Spieler A und B spielen (in vielen Runden) 

gegeneinander. Der Spieler A gewinnt, was der Spieler B verliert. Spieler A kann aus 

drei ‘reinen’ Strategien j ∈ J wählen, der Spieler B hat zwei reine Strategien zur Auswahl. 

Der Verlust a ij , den Spieler 

( 

A erleidet, 

) 

wenn die Strategien i und j aufeinanderprallen 

1 3 0 

sei durch die Matrix A = gegeben. Wenn A mit der ‘gemischten’ Strategie 

4 0 6 

(x 1 , x 2 , x 3 ) gegen die reinen Strategien von B antritt, erleidet er einen erwarteten Verlust, 

den A durch eine möglichst kleine Zahl v begrenzt sehen will. Wir verstehen v als eine 

Variable und formulieren das Anliegen von A als ein lineares Maximierungsproblem. 

Aufgabe MA; Auf dem Raum P M = {(x 1 , x 2 , x 3 , v) : x j ∈ R + , v ∈ R} ist die 

Linearform −v zu maximieren unter den Nebenbedingungen 

1 · x 1 + 3 · x 2 + 0 · x 3 ≤ v 

4 · x 1 + 0 · x 2 + 6 · x 3 ≤ v 

x 1 + x 2 + x 3 = 1. 

Das entsprechende Anliegen des Spielers B formulieren wir als ein Minimierungsproblem. 

Aufgabe mB; Auf dem Raum P m = {(u 1 , u 2 , g) : u i ∈ R + , g ∈ R} ist die Linearform 

−g zu minimieren unter den Nebenbedingungen 

u 1 · 1 + u 2 · 4 

u 1 · 3 + u 2 · 0 

u 1 · 0 + u 2 · 6 

≤ g 

≤ g 

≤ g 

u 1 + u 2 = 1 

Die beiden Probleme passen in dasselbe Tableau, und wir werden sehen, was wir aus 

einem passend ausgetauschten Tableau ablesen können. 


5.8 : Dreiecksreduktion; LU-Faktorisierung. 43 

5.8 Dreiecksreduktion; LU-Faktorisierung. 

Das sog. Gauss’sche Eliminationsverfahren kann zunächst einmal als ein Verfahren zur 

‘Lösung’ linearer Gleichungssysteme verstanden werden. Es bietet aber auch (ebenso wie 

das Verfahren des maximalen Austauschs) Ansätze für weitergehende Überlegungen. Es 

ist üblich, bei der Beschäftigung mit dem Gauss-Verfahren den Begriff der Dreiecksmatrix 

ins Spiel zu bringen. Wir wollen (einem gefühlten Erwartungsdruck nachgebend) die 

Grundidee skizzieren. Es soll aber festgestellt werden, dass die Thematik der Dreiecksmatrizen 

für die von uns bevorzugte geometrische Sicht keine Rolle spielt. Der eilige Leser 

wird den Abschnitt überspringen. Für den algebraisch orientierten Leser bietet sich ein 

Sprung in die Thematik der Vektorraumdualität (Abschnitt 5.5) an. Eine andere vernünftige 

Fortsetzung bietet die Thematik der Konvexität, die wir im Kapitel III (’Metrik, 

Norm, Konvexität’) entwickeln. 

Es gibt mehrere Varianten des Eliminationsverfahrens; wir betrachten diejenige, die auf 

die sog. LU-Faktorisierung führt. (LU steht für ” 

lower-upper“, weil es dabei um untere und 

obere Dreiecksmatrizen geht.) Der Ausgangspunkt ist ein I-Tupel von homogenen linearen 

Gleichungen g i (·) = 0 für ein J-Tupel von skalaren ‘Unbekannten’ x j , welches man sich zu 

einer J-Spalte zusammengefasst denkt, also zu einem ‘unbekannten’ Element x aus K J Sp . 

Die g i (·) sind durch J-Zeilen gegeben; sie werden zu einer I×J-Matrix A zusammengefasst. 

Man sucht die Lösungsmenge {x : Ax = 0}. (Wir werden es im Folgenden unterlassen, 

irgend welche Spalten oder Zeilen mit Fettbuchstaben herauszuheben.) 

Bei der Eliminationsmethode geht man vom gegebenen System {g i (·) : i ∈ I} durch 

sog. elementare Zeilentransformationen zu Systemen {h k (·) : k ∈ K} über, welche in dem 

Sinn ‘äquivalent’ sind, dass sie denselben Lösungsraum haben. Man hofft, die Lösungsmenge 

des transformierten Systems besser zu überschauen. Das Gauss’schen Verfahren 

fordert (im Gegensatz zum Verfahren des maximalen Austauschs) eine Anordnung der 

Zeilen und Spalten. Wenn man in manchen didaktischen Aufbereitungen des Verfahrens 

den Begriff der Zeilen-Stufenform findet, dann heisst das, dass man die Anordnung der 

Reihen ernst nimmt. Inhaltlich gibt es keinen zwingenden Grund, bei einer (möglicherweise 

anfänglich vorgegebenen) Anordung der Reihen zu bleiben. Bei der Variante, die wir 

hier präsentieren, fühlen wir uns frei, im Laufe der Rechnung Vertauschungen von Zeilen 

oder Spalten vorzunehmen. 

Die Anordnung der Zeilen erfährt im Eliminationsverfahren keine Aufmerksamkeit. 

Über ein Umordnen der Spalten im Laufe der Rechnung muss Buch geführt werden. Der 

Ablauf der Rechnung wird durch eine Folge von Pivot-Wahlen bestimmt: (i 1 , j 1 ), (i 2 , j 2 ), . . .. 

Zwingende Regeln für die Pivot-Wahl werden in der Regel nicht genannt; insofern ist die 

Gauss’sche Eliminationsmethode kein Algorithmus im strengen Sinn (ebenso wenig wie 

das oben behandelte Verfahren des maximalen Austauschs) . Es ist am übersichtlichsten 

für die Präsentation, wenn I und J von vorneherein so angeordnet sind, dass die Pivot- 

Wahl (1, 1), (2, 2), . . ., (r, r) möglich (und sogar empfehlenswert) ist. Nehmen wir also an, 

dass uns die Zeilen mit den Indizes i ∈ I | und die Spalten mit den Indizes j ∈ J | in dieser 

besonders günstigen Reihenfolge geliefert wurden. 



Das Verfahren der Dreiecksreduktion 

Die erste Zeile der m × n-Matrix A bleibt unangetastet. (Man geht davon aus, dass der 

Eintrag in der Position (1, 1) eine Zahl α 1 ≠ 0 ist.) Von den weiteren Zeilen wird ein 

Vielfaches der ersten Zeile subtrahiert, sodass alle die entstehenden Zeilen an erster Stelle 

den Eintrag = 0 haben. Die zweite Zeile bleibt von nun an unangetastet. Das von uns 

geforderte Glück der günstigen Anordnung besteht darin, dass die neue zweite Zeile in der 

Diagonalposition (2, 2) einen Eintrag α 2 ≠ 0 hat. Von den späteren Zeilen wird nun ein 

Vielfaches dieser neuen zweiten Zeile subtrahiert, sodass die entstehenden Zeilen auch in 

der zweiten Position den Eintrag 0 haben. Die dritte Zeile bleibt von nun an unangetastet 

usw. Das geht so weiter, bis nur noch Nullzeilen vorhanden sind. Bei einer Matrix vom 

Rang r passiert das nach r Schritten, wie wir sehen werden. 

Die Zeilenoperationen entsprechen der Multiplikation mit einer sehr speziellen Matrix 

L, die wir unten näher studieren werden. Wenn das Verfahren zu Ende kommt, dann 

haben eine unterteilte Matrix der Gestalt 

( ) 

Ã M 

(27) 

L · A = , 

0 0 

wo Ã eine nichtsinguläre obere Dreiecksmatrix ist. Wir nennen sie die Dreicksreduzierte 

vom Format I | × J | . Ihre Inverse Ã−1 , ( die übrigens durch das sog. Rückwärtseinsetzen 

leicht zu berechnen ist,) hat das Format J | ×I | . Die Matrix K = Ã−1 ·M nennen wir die 

Kernmatrix vom Format J | × J ‖ . 

Die Inversion der ‘Dreiecksreduzierten’ führt zu einer weiteren Faktorisierung von A und 

schliesslich zu einer äusserst bequemen Basis der Lösungsmenge unseres homogenen linearren 

Gleichungssystems: 

( ) 

E 

(28) L · A = Ã · J | 

K 

I | . 

0 0 

( 

K 

Es gilt A · ⃗x = 0 genau dann, wenn ⃗x im Spaltenraum der J × J ‖ -Matrix liegt. 

−E) 

Erstes Zahlenbeispiel 

A = 

A (1) = 

A (2) = 

⎛ 

⎝ 

⎛ 

1 ∗ 2 4 

⎞ 

1 

1 1 1 0 ⎠ 

−1 0 2 1 

1 2 4 1 

0 −1 ∗ −3 −1 

⎞ 

⎝ 

⎠ 

⎛ 

0 2 6 2 

⎞ 

1 2 4 1 

⎝ 0 −1 −3 −1 

0 0 0 0 

⎠ = 

( 

Ã M 

0 0 

) 



Für eine 4-Spalte ⃗x ( gilt A ) · ⃗x = 0 ⇔ A (1) · ⃗x = 0 ⇔ A (2) · ⃗x = 0 . 

x 

| 

Schreiben wir ⃗x = (mit x 

z 

| und z von der Länge 2), so bedeutet das 

Ãx | + Mz = 0 oder 

− x | = Ã−1 · Mz = K · z 

Die 2-Spalte z kann beliebig gewählt werden; zu jeder Wahl gibt es dann genau ein x | 

welches z zu einer Lösung komplettiert. Da Ã eine obere Dreiecksmatrix ist, kann man 

die Einträge x r ,( x r−1 , .). .,x n rekursiv ( zu) 

den Einträgen ( von ) ( Mz ) bestimmen. ( ) 

−1 

−4 1 2 x 

1 −4 

Beispiel a) z = , Mz = ; 

0 +3 0 −1 x 2 + = 0. 

+3 

also x 2 = +3 und ( +4 = ) x 1 + 2x 2 ( = x 1 + ) 6, x 1 ( = −2. ) ( ) ( ) 

0 

−1 1 2 x 

1 −1 

Beispiel b) z = , Mz = ; 

−1 +1 0 −1 x 2 + = 0. 

+1 

also x 2 = +1 und +1 = x 1 + 2x 2 = x 1 + 2; x 1 = −1. 

Damit haben wir eine Basis der Lösungsmenge, nämlich die Spalten der Matrix 

⎛ ⎞ 

( ) 

−2 −1 

K 

= ⎜+3 +1 

⎟ 

−E ⎝−1 0 ⎠ 

0 −1 

Anstelle des Rückwärtseinsetzens für einzelne Werte von z kann man auch mit einem 

Eliminationsverfahren von unten her die Matrix Ã in eine Diagonalmatrix umformen. 

Manche Bücher nennen dieses Vorgehen das Gauss-Jordan-Verfahren. 

Exkurs: Dreiecksmatrizen 

Unsere Umformungen waren Zeilenoperationen. Eine Zeilenoperation bedeutet bekanntlich 

eine Matrizenmultiplikation von links. 

Da wir eine günstige Anordnung der Zeilen und Spalten voraussetzten, war es angezeigt, 

die elementaren Zeilenoperationen mit sog. unteren Dreiecksmatrizen durchzuführen; 

wir addierten Vielfache ‘früherer’ Zeilen zu ‘späteren’ Zeilen. So führt also unsere Version 

des Eliminationsverfahrens auf die Idee der Dreicksmatrizen. Dabei handelt es sich 

im konkreten Fall um spezielle Dreiecksmatrizen, nämlich solche, die in der Diagonalen 

Einsen haben. Solche Matrizen nennt man normierte untere Dreiecksmatrizen. (Sie haben 

hier alle das Format I × I). Wir machen Gebrauch von einer offensichtlichen Tatsache, 

die wir als Lemma formulieren 

Satz 5.8.1. (Normierte untere Dreiecksmatrizen) 

Für die I × I-Matrizen mit einer festgelegten Anordnung der Indexmenge Igilt 

- Das Produkt (normierter) unterer Dreiecksmatrizen ist eine (normierte) untere Dreieckmatrix. 

- Normierte untere Dreiecksmatrizen sind invertierbar, und die Inversen sind normierte 

untere Dreiecksmatrizen. 



Matrizen mit angeordneten Reihen, quadratische Matrizen: Wir müssen hier 

den Begriff der Dreiecksmatrix etwas genauer ins Auge fassen, einen Begriff, den wir bisher 

nicht konzipieren konnten, weil er eine Anordnung der Zeilen und Spalten der Matrix 

voraussetzt. Wir wollen nicht der Praxis vieler Lehrbücher folgen, die beim Begriff der 

Matrix stillschweigend eine Anordnung der Spalten und Zeilen mitdenken. (Die intuitive 

Vorstellung von einer Matrix als einem rechteckigen Zahlenschema ist für diese Lehrbücher 

offenbar dadurch mitbestimmt, dass man beim Bilden des Rechtecks und beim Operieren 

auf dem Papier die Anordnung nicht offen lassen kann.) Im Gegensatz zu dieser Praxis 

ist uns daran gelegen, eine Anordnung der Reihen nicht ohne Not ins Spiel zu bringen. 

Eine nichtreflektierte fixierte Anordnung der Reihen kann sich nämlich als sehr hinderlich 

erweisen. Beim Austauschverfahren wäre es in der Tat abwegig, die Reihen durch ihre 

Positionen identifizieren zu wollen; die Reihen brauchen Namen, üblicherweise in der Form 

von Indizes aus I + J (disjunkte Vereinigung). 

Bei dieser Gelegenheit muss festgehalten werden: Eine quadratische Matrix ist eine Matrix 

mit einer ausgezeichneten Bijektion zwischen Zeilenindex- und Spaltenindexmenge. 

Eine solche kann, muss aber nicht durch Aufzählungen der beiden Indexmengen gegeben 

sein. Eine I × J-Matrix mit |I| = |J| = n qualifiziert (für uns) nur dann als eine quadratische 

Matrix, wenn eine Bijektion I ←→ J festgelegt ist. Das impliziert z.B., dass die 

Matrix einer Basistransformation zunächst einmal keine quadratische Matrix ist. 

Es gibt natürlich auch Szenarien, in welchen fixierte Anordnungen der Reihen am 

Platze sind, und zwar nicht nur im Hinblick auf eine sparsame Notation. Wenn man 

eine Anordnung der Spalten und Reihen fixiert, dann kann man den Begriff einer (verallgemeinerten) 

Dreicksmatrix bilden. Dieser bietet dann die Grundlage für die folgende 

naheliegende Verallgemeinerung des obigen Lemma: 

Sprechweise 5.8.1. (Verallgemeinerte Dreiecksmatrizen) 

( 

) 

Für eine Indexmenge I sei I = ∅ ⊂ I 1 ⊂ I 1 +I 2 ⊂ . . . ⊂ I 1 +I 2 +· · ·+I m = I eine strikt 

aufsteigende Folge von Teilmengen; wir nennen I eine Ausschöpfung der Indexmenge I. 

Von einer I × I-Matrix A sagen wir, dass sie bzgl. I eine obere Dreiecksmatrix ist, wenn 

die Teilmatrizen A kl vom Format I k × I l Nullmatrizen sind für k > l. Die Teilmatrizen 

A kk vom Format I k × I k nennen wir die Matrizen entlang der Diagonalen. 

Satz 5.8.2. Wenn die I × I-Matrizen A und B bzgl. der Ausschöpfung I obere Dreiecksmatrizen 

sind, dann ist auch das Produkt C = A · B eine obere Dreiecksmatrix bzgl. der 

Ausschöpfung I. 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

A 11 A 12 A 13 B 11 B 12 B 13 C 11 C 12 C 13 

⎝ 0 A 22 A 23 

⎠ · ⎝ 0 B 22 B 23 

⎠ = ⎝ 0 C 22 C 23 

⎠ 

0 0 A 33 0 0 B 33 0 0 C 33 

und es gilt A kk · B kk = C kk für k = 1, . . .,m. 

Eine obere Dreiecksmatrix A ist genau dann invertierbar, wenn die Matrizen entlang 

der Diagonalen invertierbar sind. 



Der Beweis liegt auf der Hand. Wir bemerken, dass es für invertierbare Dreiecksmatrizen 

eine Art Rückwärtseinsetzen gibt. Wenn 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

A 11 A 12 A 13 F 11 F 12 F 13 E 11 0 0 

⎝ 0 A 22 A 23 

⎠ · ⎝ 0 F 22 F 23 

⎠ = ⎝ 0 E 22 0 ⎠ 

0 0 A 33 0 0 F 33 0 0 E 33 

dann bedeutet das A 33 · F 33 = E und A 22 · F 23 + A 23 · F 33 = 0, also F 23 = −F 22 · A 23 · F 33 . 

So geht das weiter: Die harte Arbeit besteht darin, die Matrizen entlang der Diagonalen 

zu invertieren; die Berechnung der Matrizen oberhalb der Diagonalen benötigt nur das 

Addieren und Multiplizieren von Matzrizen. 

LU-Faktorisierungen 

Kehren wir zum Eliminationsverfahren zurück: Für die oben beschriebene Dreiecksreduktion 

von A entlang der Diagonalen brauchen wir dieselbe Eigenschaft der Anordnung der 

Reihen, die wir auch brauchen, wenn wir beim Austauschverfahren den Pivot-Austausch 

entlang der Diagonalen durchführen wollen. Es ist nämlich zu fordern, dass die Teilmatrizen 

in der linken oberen Ecke bis zur Größe r invertierbar sind. Eine solche Anordnung 

gibt es offensichtlich; man wird sie aber in der Regel erst schrittweise finden können, 

wenn man das Verfahren in Gang gesetzt hat. Die Leistung des Elimitationsverfahrens 

formulieren wir als Satz 

Satz 5.8.3 (Dreiecksreduktion). Sei A eine m×n-Matrix vom Rang r, deren Teilmatrizen 

am oberen linken Ende bis zur Größe r × r invertierbar sind. 

Es existiert dann eine normierte untere Dreiecksmatrix L vom Format n × n, sodass 

( ) 

Ã M 

L · A = , 

0 0 

wo Ã eine nichtsinguläre obere Dreiecksmatrix von der Größe r × r ist. 

Die untere Dreiecksmatrix ˜L der Größe r×r in der linken oberen Ecke von L ist eindeutig 

bestimmt. 

Beweis : 

Die Existenz ergibt sich aus dem angegebenen Eliminationsverfahren. 

Die Eindeutigkeitsaussage beweisen wir zunächst für r = m. Seien also L und K untere 

Dreiecksmatrizen mit den gewünschten Eigenschaften. Wir zeigen L = K. In der Tat 

(29) L · A = (Ã . M) , K · A = ( ˜B . N) =⇒ L −1 · Ã = A = K−1 · ˜B 

und deswegen K·L −1 = ˜B·Ã−1 . Die obere Dreicksmatrix ˜B·Ã−1 ist gleich einer normierten 

unteren Dreicksmatrix ist. Es kann sich nur um die Einheitsmatrix E handeln. Wir haben 

also Ã = ˜B und K = L. 



Im allgemeinen Fall haben wir 

( ) ( ) ( ˜L 0 A11 A | 12 Ã M 

= 

L 21 L 22 A 21 A 22 0 0 

) 

also ˜L · A 11 = Ã, und daraus ist ˜L eindeutig zu bestimmen. 

Die Kurzfassung dieses Resultats heißt der 

Satz 5.8.4 (Satz von der eindeutigen LU-Faktorisierung). Die Zeilen und die Spalten 

einer nichtsingulären Matrix kann man so anordnen, dass die so angeordnete Matrix A 

in eindeutiger Weise faktorisiert werden kann. 

A = L −1 · D · U , 

wo D eine Diagonalmatrix, L eine normierte untere und U eine normierte obere Dreiecksmatrix 

ist. 

Bemerke: Die Anordnung der Reihen, die eine LU-Faktorisierung ermöglichen, ist 

i. Allg. nicht eindeutig bestimmt. 

Die Lösung inhomogener linearer Gleichungssysteme 

Das inhomogene Gleichungssystem Ax = b verwandeln wir in die Gleichung Ax − b = 0, 

also in eine homogene Gleichung mit der erweiterten Matrix (A . b). Da L nichtsingulär 

ist, haben wir 

( ) 

( ) 

x 

| 

x 

| 

(30) A − b = 0 ⇐⇒ LA − Lb = 0 

x || x || 

Die Lösungsmenge ist dieselbe wie die zum folgenden Tableau 

x | x || −1 

Ã . M . ˜b = 0 

................ 

0 

. 0 

. c = 0 

wobei 

) (˜b 

= Lb . 

c 

Daraus ist abzulesen: 

I) Das System Ax = b ist genau dann lösbar, wenn c = 0, wenn also Lb von der Stelle 

r + 1 an Einträge = 0 hat. Dies ist genau dann der Fall, wenn die erweiterte Matrix 

(A . b) denselben Rang hat wie A. 



II) Für ein gutes b bekommen wir eine spezielle Lösung aus der impliziten Gleichung 

Ãx | = ˜b , die man durch Rückwärtseinsetzen lösen kann. 

III) Zu einer beliebig vorgegebenen r-Spalte x | bestimmt sich die Lösung ( x | 

x || ) 

aus der 

Gleichung ˜x | + Mx || − ˜b = 0, die man wieder mit Rückwärtseinsetzen lösen kann. 

Unbestimmte rechte Seite Statt Ax = −y schreiben wir 

x 

A 

y 

E = 0 

. 

Äquivalent ist L(Ax + y) = 0, also 

x | x || y 

Ã . M . = 0 

......... 

0 

. 0 

. L 

. = 0 

Die Lösbarkeitsbedingung lautet Ly = ( ỹ 

0) 

. 

Zu einem guten y ergibt sich für jedes x || eine Lösung ( ) 

x | 

x aus der durch Rückwärtssubstitution 

leicht lösbaren || Gleichung 

Ãx | + Mx || + ỹ = 0 . 

Bemerke : Man kann weiter mit Ã−1 multiplizieren und erhält für ein gutes y (der 

Länge r) und eine beliebig vorgegebene Spalte x ‖ (der Länge n − r) die Lösung x | 

x | + (Ã−1 M)x || + (A | | )−1 · y = 0 

die uns in der Sprache der Tableaus wohlvertraut ist. 

Zweites Zahlenbeispiel in Dreiecksreduktion 

A −1 

11 · y + K · x‖ = −x | , 

Wir suchen alle Lösungen des folgenden Systems mit unbestimmter rechter Seite 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 

( ) 

x 

| 1 2 4 1 ( ) 

A · = ⎝ 1 1 1 0 ⎠ x 

| −y 1 

= ⎝ −y 

z 

2 ⎠ 

z 

−1 0 1 2 

−y 3 

Wir haben elementare Zeilenumformungen vorgenommen, und zwar 

⎛ 

1 · 

⎞ ⎛ 

· 1 · 

⎞ 

· 

⎛ 

1 · 

⎞ 

· 

L = ⎝ 0 1 · 

0 2 1 

⎠ ⎝ −1 1 · 

1 0 1 

⎠ = ⎝ −1 1 · 

−1 2 1 

⎠ 



Damit sind zur oberen Dreiecksmatrix Ã gelangt, und zur Spalte M: 

⎛ 

⎞ 

1 2 4 . 1 

(Ã . M) = L · A = ⎜ 

⎝ 0 −1 −3 . −1 

⎟ 

⎠ 

0 0 −1 . 1 

( ) 

x 

| 

Das zum ursprüngliche System äquivalente Gleichungssystem (Ã . M) · = −L · y 

z 

⎛ ⎞ 

1 

Ã · x | + ⎝ −1 ⎠ · z + L · y = 0 

1 

kann jetzt durch ” 

Rückwärtssubstitution“ nach x | aufgelöst werden. 

Alternativ kann man die Gleichung aber auch mit Ã−1 multiplizieren; d.h. man kann 

durch weitere Zeilenoperationen (jetzt zu einer oberen Dreiecksmatrix) den Anfang der 

langen Matrix (Ã . M . L) (im Sinne des sog. Gauss-Jordan-Verfahrens) auf Diagonalgestalt 

bringen. In unserem Fall ergibt sich 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ 

⎞ 

−3 1 −2 −2 y 1 

x | + ⎝ 4 ⎠ · z + ⎝ −2 5 3 ⎠⎝ 

y 2 ⎠ = 0 . 

−1 1 −2 −1 y 3 

Die Matrix am Ende ist Ã−1 · L = (A −1 

11 . Das ist eine Matrix, die wir früher durch 

vollständigen Austausch berechnet haben. Damit sind wir bei der Lösung in der Form 

eines Zeilentableau: 

y z 

1 −2 −2 . −3 = −x 1 

−2 5 3 . 4 = −x 2 

1 −2 −1 . −1 = −x 3 

Bemerkungen zum praktischen Lösen von Gleichungssystemen Das exakte ‘Lösen‘ 

eines etwas größeren (inhomogenen) linearen Gleichungssystems erfordert einen beachtlichen 

Rechenaufwand, Der vollständige Austausch erfordert im Beispiel 3 · 12 = 36 Aktualisierungen. 

Beim abgekürzten Verfahren sind es 18 Aktualisierungen – und es ist da 

nicht viel nutzloses Rechnen im Spiel. Beim Eliminationsverfahren braucht man ungefähr 

ebenso viele Operationen. Ein großer Vorteil der Tableaus scheint uns die Übersichtlichkeit 

zu sein; in jeder Etappe der Rechnung sind alle Informationen in knapper Form auf 

dem Tisch. (Man denke z.B. an die Zeilen- oder Spaltenumordnungen). Ich kenne keinen 

Grund dafür, dass die elementaren Lehrbücher (angeblich aus didaktischen Gründen) die 

Eliminationsmethode bevorzugen. Es gibt wenige Ausnahmen. Erfreulich ist es, dass diese, 



auch wenn sie sehr elementar sind, die Gelegenheit benützen, auch das sog. Simplexverfahren 

zu behandeln. Ein Beispiel, welches auch reichliches Übungs- und Rechenmaterial 

bietet, soll erwähnt werden: 

Gewirtz, A.;, Sitomer, H.; Tucker, A.W.: Constructive Linear Algebra, Prentice-Hall 

Inc., N. Jersey, 1974 

Empfehlungen für die praktische Behandlung linearer Gleichungssysteme und die Matrizeninversion 

ergeben sich aus den Erfahrungen der Numeriker. Bei speziellen Typen von 

Matrizen empfehlen die Praktiker mit guten Gründen dem Problemtyp angepasste spezielle 

Methoden. In vielen Anwendungsfällen (aus den Natur- und Ingenieur-Wissenschaften) 

ist kein finites Verfahren geeignet; man nähert sich der Lösung einer Gleichung Ax = b 

mit geeigneten Iterationsverfahren. Beispielsweise würde ein Praktiker bei Problemen wie 

dem folgenden wohl kaum mit Verfahren wie dem Eliminationsverfahren oder dem Austauschverfahren 

arbeiten. 

Aufgabe 

Sei q(·) eine quadratische Funktion auf einem hochdimensionalen R n . 

q(x) = a 0 + a · x + 1 2 xT · A · x 

mit einer positiv definiten Matrix A und einer vorgegebenen Zeile a. 

Gesucht ist die (eindeutig bestimmte!) Minimalstelle ˜x, d.h. dasjenige ˜x für welches gilt 

q(x) = const + 1 2 (x − ˜x)T · A · (x − ˜x) . 

Das Problem kann als ein lineares Gleichungssystem verstanden werden. Wegen 

1 

2 (x − ˜x)T · A · (x − ˜x) = 1 2 xT · A · x − (˜x T · A)x + 1 2˜xT · A · ˜x 

kommt es nämlich darauf an, ˜x so zu bestimmen, dass −˜x T · A = a, also A˜x = −a T . Die 

Tatsache, dass A positiv definit ist, erlaubt viel effektivere Herangehensweisen als die oben 

betrachteten Eliminationsmethoden. 



5.9 Linearformen, Bilinearformen und Dualität 

In diesem Abschnitt nähern wir uns in drei Schritten dem Begriff des dualen Paars von 

Vektorräumen. Zuerst betrachten wir den Raum der Linearformen auf einem endlichdimensionalen 

K−Vektorraum, dann im gleichen Stil den Vektorraum der Bilinearformen. 

Im dritten Schritt studieren den Begriff des Dualitätspaars; hier geht es um ein Paar von 

(hier endlichdimensionalen) Vektorräumen mit einer ausgezeichneten nichtausgearteten 

Bilinearform. 

Die Konstruktionen sind technisch recht einfach. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass der 

Anfänger eine ganze Reihe begrifflicher Hürden zu überwinden hat, bis er sich die Idee 

der Vektorraumdualität zueigen gemacht hat. 

Definition 5.15 ( Linearformen und Bilinearformen). 

Eine K-wertige Funktion l(·) auf einem K-Vektorraum heisst eine Linearform, wenn gilt 

(31) l(v + w) = l(v) + l(w); (‘Additivität’); l(a · v) = a · l(v). 

Es seien F und V K-Vektorräume. Eine K-wertige Funktion b(·, ·) auf dem cartesischen 

Produkt F × V heisst eine Bilinearform, wenn gilt 

b(f + g, v) = b(f, v) + b(g, v); b(f, v + w) = b(f, v) + b(f, w) (‘Biadditivität’); 

(32) 

b(a · f, v ) = a · b(f, v) = b(f, v · a). 

Die Menge aller Linearformen auf einem unendlichdimensionalen Vektorraum ist unüberschaubar. 

Auf endlichdimensionalen Vektorräumen dagegen ist die Sachlage sehr einfach. 

Satz 5.9.1. Wenn V ein n-dimensionaler Vektorraum ist, dann ist die Menge der Linearformen 

(mit der punktweisen Addition und skalaren Multiplikation) ein n-dimensionaler 

Vektorraum. 

Wenn F m-dimensional ist, und V n-dimensional, dann ist die Menge aller Bilinearformen 

auf F × V ein (m · n)-dimensionaler Vektorraum. 

Der Beweis wird sich ergeben. Wir holen weiter aus: 

Wenn {v j : j ∈ J} eine Basis von V ist, dann besitzt jeder Vektor eine Darstellung 

v = ∑ j v j · x j mit eindeutig bestimmten Koeffizienten x j = x j (v). Für jedes j ist die 

Zuordnung v ↦→ x j (v) eine Linearform. Die Familie {x j : j ∈ J} ist in der Tat eine Basis 

des Raums aller Linearformen auf V . Um das zu zeigen, müssen wir nachweisen, dass 

jede Linearform l(·) auf genau eine Weise aus den x j linear kombiniert werden kann. Zwei 

Linearformen sind gleich auf ganz V , wenn sie in allen v k übereinstimmen. Und es gilt 

{ 

x j (v k ) = δ j k = 1 wenn j = k 

0 wenn j ≠ k 

Wenn a j = l(v j ), dann stimmen l(·) und ∑ j a j ·x j in allen v k und damit überall überein. 


5.9 : Linearformen, Bilinearformen und Dualität 53 

Sprechweise 5.9.1 (Dualraum). Der Vektorraum aller Linearformen auf einem Vektorraum 

V heisst der (algebraische) Dualraum zu V . Er wird mit V ∗ bezeichnet. Ist V 

endlichdimensional und {v j : j ∈ J} eine Basis, so heisst die eben konstruierte Familie 

{x j : j ∈ J} die duale Basis. Man nennt sie auch die Familie der Koordinatenfunktionen 

zur gegebenen Basis. 

Sprechweise 5.9.2 (Auswertung). Für ein v ∈ V heisst die Zuordnung l(·) ↦→ l(v) 

die Auswertung an der Stelle v. Diese Auswertung ist für jedes v ∈ V eine Linearform 

auf dem Dualraum; durch die Auswertung in v ist der Vektor v eindeutig bestimmt; und 

die Auswertung in einer Linearkombination ist die (punktweise) Linearkombination dieser 

Auswertungen. 

Wenn man die Begriffsbildung der Auswertung verstanden hat, dann bedarf der folgende 

Satz keines Beweises. 

Satz 5.9.2 (Bidualraum). Wenn V endlichdimensional ist, dann entsprechen die Linearformen 

auf dem Dualraum in natürlicher Weise den Vektoren. Man sagt kurz: Der Dualraum 

des Dualraums (man nennt ihn auch den Bidualraum) ist der Vektorraum selbst; 

V ∗∗ = V . 

Hinweis: In unendlichdimensionalen Räumen kann es sehr wohl Linearformen auf dem 

Dualraum geben, die nicht die Auswertungen in einem Vektor sind. Wir bleiben in diesem 

Abschnitt (ohne weitere Erwähnung) bei den endlichdimensionalen Vektorräumen. 

cogred Satz 5.9.3 (Co- und kontragrediente Transformation). 

Es seien {u i : i ∈ I} und {v j : j ∈ J} Basen eines Vektorraums U. Wenn die Matrix 

A = A I J den Basiswechsel von I nach J beschreibt, ∑ i u i · a i j = v j, dann leistet dieselbe 

Matrix A I J den Koordinatenwechsel von J nach I. 

Die inverse Matrix B = BI J = A−1 beschreibt den Basiswechsel von J nach I und den 

Koordinatenwechsel von I nach J. 

Beweis 

Wir drücken einen beliebigen Vektor v in beiden Basen aus. Da die Koeffizienten eindeutig 

bestimmt sind, gilt 

∑ 

u i · y i = v = ∑ v j · x j = ∑ u i · a i jx j = ∑ ( ) ∑ 

u i · a i jx k =⇒ ∑ a i jx j = y i . 

i 

j 

ij 

i j 

j 

u k = ∑ v j · b j k = ∑ u i · a i j bj k = ∑ ( ) ∑ (33) 

u i · a i j bj k 

=⇒ ∑ a i j bj k = δi k . 

j 

ij 

i j 

j 

Wir greifen in abstrakteren Worten zwei Probleme auf, welches wir oben bereits rechnerisch 

gelöst haben. Wir wissen, dass man Teilvektorräume einerseits durch Basen beschreiben 

kann und andererseits als Nullstellengebilde von Linearformen. Für einen r- 

dimensionalen Teilraum eines m-dimensionalen Raums U benötigt man ein r-Tupel linear 



unabhängiger Vektoren oder ein m − r-Tupel linear unabhängiger Linearformen. Den 

Übergang von der einen Darstellung zur anderen kann man folgendermaßen bewerkstelligen. 

I. Das Ũ aufspannende linear unabhängige r-Tupel v 1, . . .,v r wird zu einer Basis des 

Gesamtraums U fortgesetzt. Die dazu duale Basis sei l 1 , . . .,l r , l r+1 , . . .,l m . Ein Vektor 

v gehört zu Ũ genau dann, wenn er von lr+1 , . . .,l m annulliert wird. 

II. Der n − r-dimensionale Teilraum Ṽ des n-dimensionalen Vektorraums V sei als 

das Nullstellengebilde der Linearformen y 1 , . . .,y r gegeben. Dieses r-Tupel wird zu einer 

Basis des Dualraums V ∗ fortgesetzt. w 1 , . . .,w r , w r+1 , . . ., w n sei die dazu duale Basis 

von V . w r+1 , . . .,w n ist eine Basis von Ṽ . 

Die Konstruktionen werden zu Rechenaufgaben (im Matrizen- oder Tableau-Kalkül), 

wenn man darauf besteht, dass die Vektoren und die Linearformen konkret dargestellt 

werden, die Vektoren in einer vorgegebenen Basis und die Linearformen in der dazu dualen 

Basis. Als eine Übung zur Vertiefung führen wir noch vor, wie man die Rechnungen auf 

den Satz von den co- und kontra-gredienten Basiswechsel zurückführen kann. 

Satz 5.9.4 (Vorgegebene Nullität). Es sei B 0 = {u i : i ∈ I} eine Basis eines m- 

dimensionalen Vektorraums U und B 0 = {y i : i ∈ I} die dazu duale Basis von U ∗ . 

Gegeben sei eine linear unabhängige Familie {v j : j ∈ J | } und I ‖ so, dass, B 1 = {v j : 

j ∈ J | } ∪ {u i : i ∈ I ‖ } eine Basis von U ist. Die Basisdarstellung bzgl. B 0 liefert eine 

invertierbare Matrix A 11 und eine weitere Matrix A 21 vermöge 

( ) 

( ) A11 0 

v| ,u ‖ = (u| ,u ‖ ) · . 

A 21 E 

Mit L = A 21 · A −1 

11 

gilt dann 

v ∈ span{v j : j ∈ J | } ⇐⇒ −L · y | (v) = −y ‖ (v). 

Beweis 

( ) 

( ) 

A11 0 

A 

−1 

11 0 

Die Matrix des Basiswechsels ist 

mit der Inversen 

. 

A 21 E m−r −L E 

( ) ( ) ( ) 

m−r 

z 

| A 

−1 

Die duale Basis ist 

z ‖ 11 0 y 

| 

= 

−L E m−r y ‖ . Ein Vektor v in der Basisdarstellung 

v = ∑ J 

v | j · z j + ∑ I 

u ‖ i · z i gehört genau dann zur linearen Hülle der v j , wenn die Koeffizienten 

z j verschwinden. Und das bedeutet z ‖ (v) = 

) (−L ( ) 

y | 

. E m−r y ‖ (v) = 0. 

Analog kann man das Problem formulieren, das Nullstellengebilde eines m-Tupels 

linear unabhängiger Linearformen durch eine Basis darzustellen: 

Satz 5.9.5 (Basis für ein Nullstellengebilde). Es sei B 0 = {x j : j ∈ J} eine Basis eines 

n-dimensionalen Vektorraums V ∗ und B 0 = {w j : j ∈ J} die dazu duale Basis von V . 



Gegeben sei eine linear unabhängige Familie {y i : i ∈ I} von Linearformen und eine 

Teilmenge J ‖ von J so, dass B 1 = {y i : i ∈ I} ∪ {x j : j ∈ J ‖ } eine Basis von V ∗ ist. 

Die duale Basis sei B 1 = (v | , v ‖ ) 

Zum Basiswechsel in V ∗ von B 0 B 1 

( 

x 

| 

x ‖ 

) 

 

( ) −y 

= 

x ‖ 

( ) ( ) 

A11 A 12 x 

| 

· 

0 E n−r x ‖ 

gehört der Basiswechsel der dualen Basen B 0 B 1 mit Hilfe der inversen Matrix 

( ) A 

−1 

11 −K 

(w | , w ‖ ) (v | , v ‖ ) = (w | , w ‖ ) · 

0 E n−r 

mit K = A −1 

11 · A 12. Ein Vektor v = ∑ i∈I ci ·v i + ∑ j∈J 

d j ·v ‖ j wird genau dann von allen 

Linearformen y i annulliert, wenn er in der Hülle der v j , j ∈ J ‖ liegt. 

Bemerke: Die v j sind die Einträge in der J ‖ -Zeile v ‖ = (w | , w ‖ ) · (−K ) 

E 

Wenn die w j die Einheitsspalten sind, dann sind die v j die Spalten der Matrix ( ) 

−K 

E . – 

Und das ist die uns längst bekannte Antwort. 

Bilinearformen und Tensoren 

Wir studieren jetzt im gleichen Sinn die Bilinearformen auf F × V . 

{f l : l ∈ L} sei eine Basis von F; {l l : l ∈ L} sei die duale Basis. 

{v j : j ∈ J} sei eine Basis von V ; {x j : j ∈ J} sei die duale Basis. 

Die Dimension des Vektorraums aller Bilinearformen auf F × V ergibt sich aus dem 

folgenden Lemma; wir konstruieren da nämlich Basen dieses Vektorraums. 

Satz 5.9.6. Eine Bilinearform b(·, ·) auf F ×V ist durch die Werte b l j = b(fl , v j ) eindeutig 

bestimmt. Zu jeder L × J-Matrix (b l j ) gibt es genau eine Bilinearform mit b(fl , v j ) = b l j . 

Beweis 

Wenn b(·, ·) eine Linearform ist, dann gilt 

(34) g = ∑ l 

y l · f l , 

v = ∑ j 

v j · x j =⇒ b (g,v) = ∑ lj 

y l b l j xj . 

Damit ist die erste Aussage (‘Eindeutigkeit’) bewiesen. Zur Illustration der Existenz bringen 

wir nochmals die Matrizenschreibweise zur Geltung: Notieren wir die Koeffizienten y l 

als eine Zeile der Länge |L| und die Koeffizienten x j als Spalte der Länge |J|. Für jede 

L × J-Matrix B gewinnen wir eine Bilinearform 

⎛ ⎞ 

x 1 

⎜ ⎟ 

(35) b(·, ·) : F × V ∋ (g,v) ↦−→ (y 1 , . . .,y |L| ) · B · ⎝ . ⎠ . 

x |J| 



Die Bilinearform ˜b(·, ·) zur Matrix ˜B, die in der Position (m, k) den Eintrag 1 und sonst 

lauter Nullen hat, bezeichnet man ( im sog. Tensorkalkül ) als das Tensorprodukt der 

Linearformen l m und x k ; und man notiert ˜b(·, ·) = l m ⊗x k . Für die Bilinearform im Satz 

haben wir also 

(36) b(·, ·) = ∑ b l j · l l ⊗ x j . 

Damit ist gezeigt: 

Satz 5.9.7. Wenn {l l : l ∈ L} eine Basis von F ∗ ist und {x j : j ∈ J} eine Basis von 

V ∗ , dann ist die Menge aller l l ⊗x j eine Basis des Raums aller Bilinearformen auf F ×V. 

Der Vektorraum aller Bilinearformen auf F × V heisst auch das Tensorprodukt der 

Vektorräume F ∗ und V ∗ . Er wird mit F ∗ ⊗ V ∗ bezeichnet. 

Definition 5.16 (Rang einer Bilinearform). Sind l und x Linearformen auf F bzw. V , 

so nennt man die Bilinearform 

(37) l ⊗ x : F × V ∋ (g,v) ↦−→ l(g) · x(v). 

ihr Tensorprodukt. Die speziellen Bilinearformen der Form l ⊗ x nennt man die zweistufigen 

Tensoren vom Rang 1 oder auch die faktorisierbaren zweistufigen Tensoren. Einen 

(zweistufigen) Tensor, den man als Summe von r faktorisierbaren Tensoren gewinnen 

kann, nennt man einen (zweistufigen) Tensor vom Rang ≤ r. 

Wir bemerken. Wenn F m-dimensional und V n-dimensional ist, dann haben alle 

Tensoren einen Rang ≤ min{m, n}; denn mit m j = ∑ l bl j l l und z l = ∑ j bl j x j gilt 

∑ 

m j ⊗ x j = ∑ 

j 

lj 

b l j · l l ⊗ x j = ∑ l 

l l ⊗ z l . 

Wir wollen noch eine offensichtliche Tatsache als Satz festhalten. 

Satz 5.9.8. Im Vektorraum F ∗ ⊗ V ∗ gelten die Regeln 

(38) 

(l | + l ‖ ) ⊗ x = l | ⊗ x + l ‖ ⊗ x l ⊗ (x | + x ‖ ) = l ⊗ x | + l ⊗ x ‖ ; 

l ⊗ (a · x) = a · (l ⊗ x) = l · (a ⊗ x). 

Beispiel 5.9.1. Ein Beispiel, welchem unsere Notation entgegenkommt ist das folgende: 

V = K J Sp, V ∗ = K J Z; F = K L Z, F ∗ = K L Sp. 

In diesem Beispiel kann man die Matrizennotation benützen. Im Matrizenkalkül sagt 

man: wenn man eine L-Spalte mit einer J-Zeile multipliziert, erhält man eine L×J-Matrix. 

(Es würde allerdings der Klarheit dienen, wenn man in dieser Situation lieber das Zeichen 

⊗ benützte) Die Linearkombinationen solcher Matrizen kann man als L × J-Matrizen 



verstehen; insofern ist im Beispiel der Raum F ∗ ⊗V ∗ der Raum aller L ×J-Matrizen. Der 

Wert der Bilinearform lässt sich nun als Matrizenprodukt schreiben nach dem Schema: 

L-Zeile × (L × J)-Matrix × J-Spalte = Skalar “. 

” 

Nachdem wir gesehen haben, dass man die Elemente des Vektorraums F mit den Linearformen 

auf F ∗ identifizieren kann, und die Vektoren ∈ V mit den Linearformen auf 

V ∗ , ist klar, was f ⊗ v bedeutet: Es handelt sich um eine Bilinearform auf dem cartesischen 

Produkt F ∗ × V ∗ , und zwar um eine faktorisierbare Bilinearform, d.h. um einen 

zweistufigen Tensor vom Rang 1. Und es gilt 

Satz 5.9.9 (Spezielle duale Basen). Wenn {f l : l ∈ L} eine Basis von F ist und 

{v j : j ∈ J} eine Basis von V , dann ist die Familie {f l ⊗ v j : l ∈ L, j ∈ J } eine Basis 

des Raums F ⊗ V = F ∗∗ × V ∗∗ aller Bilinearformen auf F ∗ × V ∗ . Die duale Basis ist 

{l l ⊗ x j : l ∈ L, j ∈ J }. 

Der folgende Satz bedarf keines Beweises 

duTens Satz 5.9.10 (Dualität der Tensorprodukte). Jede Bilinearform b(·, ·) auf F ×V lässt sich 

auf genau eine Weise zu einer Linearform B auf dem Vektorraum F ⊗ V , also zu einem 

Element von F ∗ × V ∗ fortsetzen. Andererseits bestimmt jede Linearform auf F ⊗ V eine 

Bilinearform auf F × V . B(f ⊗ v) = b(f, v). 

Man bedenke: Über individuelle Vektoren (und individuelle Linearformen) kann der 

Mathematiker eigentlich überhaupt nichts sagen. Alle mathematisch relevanten Aussagen 

beziehen sich auf Systeme, in welchen mehrere Vektoren (oder Linearformen) vorkommen. 

Man denke z. B. an die lineare Unabhängigkeit. Bei den Tensoren der Stufe ≥ 2 ist 

das anders. Ein einzelner Tensor der Stufe ≥ 2, (insbesondere eine Bilinearform) kann 

Eigenschaften haben, die andere Tensoren (insbesodere eine andere Bilinearform nicht 

hat); ein Tensor hat beispielsweise einen Rang. Wir werden später mehr zum Begriff des 

Rangs eines Tensors sagen. Hier wollen wir nur einmal kurz für Tensoren zweiter Stufe, 

also für Bilinearformen bemerken: 

Sprechweise 5.9.3. Zu einer Bilinearform b(·, ·) auf F × V gehören zwei Nullräume 

(auch Nullitäten genannt) und zwei ‘Wertebereiche’ oder Bildräume (‘ranges’ im Englischen), 

nämlich 

N (b) 

F 

(39) = {f : b(f, v) = 0 für alle v ∈ V } ⊆ F 

(40) N (b) 

V 

= {v : b(f, v) = 0 für alle f ∈ F } ⊆ V 

(41) 

(42) 

R (b) 

F ∗ = {b( ·,v) : v ∈ V } 

∗ 

⊆ F 

R (b) 

V ∗ = {b(f, · ) : f ∈ F } ⊆ V ∗ 

Definition 5.17 (Dualitätssystem). Eine Bilinearform heisst nichtausgeartet, wenn beide 

Nullräume nur aus dem Nullvektor bestehen. Wenn für ein Paar von Vektorräumen F, V 

eine nichtausgeartete Bilinearform ausgezeichnet ist, dann sagt man, dass die Bilinearform 

eine dualen Paarung (oder ein Dualitätssystem) definiert. 



Hinweis: Der Begriff des Dualitätssystems hat sich vor allem beim Umgang mit unendlichdimensionalen 

Vektorräumen bewährt. Man will (oder muss) es da nämlich vermeiden, 

den Begriff des ‘algebraischen’ Dualraums ins Spiel zu bringen. Für einen unendlichdimensionalen 

Vektorraum ist nämlich der Raum V ∗ aller Linearformen i. Allg. unüberschaubar 

groß und dessen Dualraum umso mehr. 

Da wir hier nur endlichdimensionale Vektorräume studieren wollen, können wir den 

Begriff des Dualitätssystems plastischer beschreiben. 

Satz 5.9.11. Eine nichtausgeartete Bilinearform (oder ‘Skalarprodukt’) auf F ×V ist ein 

Isomorphismus F ←→ V ∗ oder (äquivalent) ein Isomorphismus V ←→ F ∗ 

f ←→ 〈f, ·〉 

v ←→ 〈·,v〉. 

Der folgende Satz sagt das genauer 

Satz. Zu einem endlichdimensionalen dualen Paar ( F, V, 〈 · , · 〉 ) gewinnt man Isomorphismen 

ϕ : F → V ∗ und ψ : V → F ∗ , wenn man definiert 

(43) 

(44) 

ϕ : F ∋ f ↦−→ 〈 f , · 〉 ∈ V ∗ , 

ψ : 

V ∋ v ↦−→ 〈 · , v 〉 ∈ F ∗ 

Ist umgekehrt ι(·) ein Isomorphismus von F auf V ∗ , dann ist 

〈 · , · 〉 : F × V ∋ (f,v) ↦−→ 〈 f , v 〉 = ι(f) v 

eine nichtausgeartete Bilinearform auf F × V . 

Beweis 

Man kann ϕ und ψ für jede Bilinearform b(·, ·) definieren; man gewinnt in jedem Falle 

Homomorphismen. Es sei dim F = m, dim V = n, s der Rang von ϕ, und t der Rang 

von ψ. (Den Rang einer linearen Abbildung haben wir schon früher definiert.) Wir haben 

dim ker ϕ = dim N (b) 

F 

= m − s; dim imϕ = dim R(b) 

V ∗ = s ≤ n, 

dim ker ψ = dim N (b) 

V 

= n − t; dim imψ = dim R (b) 

F ∗ = t ≤ m, 

Wenn b(·, ·) nichtausgeartet ist, dann gilt m − s = 0 = n − t, also s = t = m = n. Nach 

dem Satz auf Seite 10 sind ϕ und ψ Isomorphismen. Wenn umgekehrt ein Isomorphismus 

ι : F → V ∗ gegeben ist, dann gilt jedenfalls dimF = dim V ∗ = dim V. Ausserdem existiert 

zu jedem v ≠ o ein f mit ι(f) v ≠ 0; also ist b(·,v) nicht die Nullform. Die Abbildung ψ 

ist injektiv und b(·, ·) ist nicht ausgeartet. 

In einem endlichdimensionalen Dualitätssystem ( F, V, 〈 · , · 〉 ) ist also jede Linearform 

auf V von der Form 〈f , ·〉 mit einem wohlbestimmten f; und jede Linearform auf V ist 

von der Form 〈 ·, v〉 mit einem wohlbestimmten v. 



‘Skalares Produkt’ 

Eine nichtausgeartete Bilinearform 〈 · , · 〉 nennt man manchmal auch ein skalares Produkt.. 

Die Sprechweise sind da aber leider nicht einheitlich 

• Manche elementaren Texte reden nur dann von einem skalaren Produkt, und zwar 

von einem ‘skalaren Produkt auf V ’, wenn auf V × V eine symmetrische nichtausgeartete 

Bilinearform ausgezeichnet ist; 〈w, v〉 = 〈v, w〉. — Bei uns haben die 

beiden Vektorräume zuerst einmal nichts miteinander zu tun. 

• Manche pflegen einen noch weiter eingeschränkten Sprachgebrauch. Sie sprechen 

vom Skalarprodukt oder vom ‘inneren Produkt’ zweier Vektoren nur dann, wenn es 

um Vektoren in einem euklidischen Raum geht, wenn sich also die Bilinearform aus 

einer euklidischen Norm abgeleitet; 

〈w, v〉 = 1 2( 

‖w + v‖ 2 − ‖w‖ 2 ‖ − ‖v‖ 2) = 1 4( 

‖w + v‖ 2 − ‖w − v‖ 2) . 

• Warnung: Das analog gebildetet sog. innere Produkt in einem unitären (oder einem 

Hilbert’schen) Raum passt nicht ins Schema, weil dort das ‘innere Produkt’ nicht 

bilinear ist, sondern ‘sesquilinear’. — Dieses besonders wichtige ‘innere Produkt’ 

wird bei uns an anderer Stelle ausführlich diskutiert; wir werden dabei der zurecht 

beliebten Notation von P. Dirac folgen: 〈 · | · 〉 mit einem senkrechten Strich anstelle 

von 〈 · , · 〉 mit einem Komma. 

Beispiel 5.9.2. 1. Sei V irgendeine endlichdimensionaler K-Vektorraum. Die Auswertung 

einer Linearform in einem Vektor macht das Paar (V ∗ , V ) zu einem Dualitätssystem. 

Man spricht von der natürlichen Dualität zwischen V ∗ und V . Ebenso 

haben wir im endlichdimensionalen Fall die natürliche Dualität zwischen V ∗∗ und 

V ∗ . Ein Vorzug der Sprechweisen um die Dualitätssysteme liegt darin, dass hier 

beide Räume von vorneherein als gleichberechtigt behandelt werden. 

2. Der Matrixkalkül liefert ein ‘natürliches’ Skalarprodukt für den Raum F = K J Z der 

J-Zeilen, und den Raum V = K J Sp der J-Spalten nach dem Schema Zeile mal 

” 

Spalte ergibt Skalar“ 〈f , v 〉 = f · v. 

3. Man kann eine beliebige nichtsinguläre J × J-Matrix S dazu benützen, auf dem 

Raumpaar K J Z × KJ Sp eine ‘Dualität’ auszuzeichnen: b(ζ,⃗x) = ∑ jk sj k ·ζ j ·x k für jede 

Zeile ζ und jede Spalte ⃗x. Jede nichtausgeartete Bilinearformen auf dem Raumpaar 

K J Z ×KJ Sp wird in dieser Weise durch eine nichtsinguläre J ×J-Matrix S beschrieben. 

4. In der Geometrie spielen die symmetrischen nichtausgearteten Bilinearformen auf 

V × V eine besondere Rolle. Man denke z. B. an die Bilinearform, die einem Paar 

von reellen 4-Spalten (x, y) den Wert 〈x, y〉 = x 0 · y 0 − x 1 · y 1 − x 2 · y 2 − x 3 · y 3 

zuordnet. 



5. Zuletzt sei auch noch das bereits aus der Schule bekannte Beispiel genannt: Der 

Raum der reellen 3-Spalten wird zu einem euklidischen Raum, indem man die symmetrische 

Bilinearform ∑ 3 

k=1 yk x k auszeichnet. 

Wir formulieren unsere Erkenntnisse über endlichdimensionale Dualitätssysteme nochmal 

in einem 

Satz 5.9.12 (Durchschnitt und Verbindung in einem Dualitätssystem). Es sei ( F, V, 〈·, ·〉 ) 

ein n-dimensionales Dualitätssystem. Für jeden r-dimensionalen Teilraum W ⊆ V ist 

W † = {f : 〈f, w〉 = 0 für alle w ∈ W } 

ein n − r-dimensionaler Teilraum von F, und es gilt für Teilvektorräume W 1 , W 2 

(45) 

(46) 

(47) 

(W 1 + W 2 ) † = W † 1 ∩ W † 2; 

(W 1 ∩ W 2 ) † = W † 1 + W † 2 

W †† = {v : 〈f, v〉 = 0 für alle f ∈ W † } = W 

Hinweise: Wenn man es mit einer symmetrischen nichtausgearteten Bilinearform auf 

V ×V zu tun haben, dann nennt man W † das orthogonale Komplement und man notiert 

auch W ⊥ . 

Auch im unendlichdimensionalen Hilbertraum gibt es den Begriff des orthogonalen 

Komplements einer Menge von Vektoren. Hier ist aber W ⊥⊥ = W nicht für alle Teilvektorräume 

W richtig. Das orthogonale Komplement des orthogonalen Komplements 

ist ein abgeschlossener Teilraum, und zwar der kleinste abgeschlossene W umfassende 

Teilvektorraum. Man nennt W ⊥⊥ auch die abgeschlossene lineare Hülle von W. 

Satz 5.9.13 (Adjungierte Abbildungen). Es seien ( F 1 , V 1 , 〈· , · 〉 1 

) 

und 

( 

F2 , V 2 , 〈· , · 〉 2 

) 

Dualitätssysteme: Zu jedem Homomorphismus χ : V 1 → V 2 gibt es dann genau einen 

Homomorphimus ˜χ : F 2 → F 1 , sodass gilt 

(48) 〈 f 2 , χ(v 1 ) 〉 2 ; = 〈 ˜χ(f 2 ) , v 1 〉 1 für alle v 1 ∈ V 1 , f 2 ∈ F 2 . 

Der Beweis liegt auf der Hand: 〈 f 2 , χ(·) 〉 2 ist eine Linearform auf V 1 , also von der 

Form 〈g 1 , · 〉 1 mit einem wohlbestimmten g 1 ∈ F 1 ; und die Zuordnung f 2 ↦→ g 1 ist linear. 

Man nennt ˜χ den zu χ (bzgl. der gegebenen Dualitäten) adjungierten Homomorphismus. 

Es gilt offensichtlich (˜χ) ∼ = χ. Wenn F i = V i ∗ , dann ist ˜χ nichts anderes als die 

duale Abbildung, und die bezeichnet man häufig mit χ ∗ . 

Hinweise: Auch hier sind die Sprechweisen uneinheitlich. Manche Lehrbücher sprechen 

von adjungierten Abbildungen nur dann, wenn in beiden Räumen 〈 · , · 〉 i symmetrische 

Bilinearformen (oder im komplexen Fall hermitische Formen) ausgezeichnet sind. 



Hinweis: Dualität im Sinne der projektiven Geometrie 

Wir diskutieren für einen n-dimensionalen K-Vektorraum V die natürliche Dualität mit 

dem Raum V ∗ der linearen Funktionen auf V . Das Nullstellengebilde einer Linearform 

(≠ o) nennt man eine Hyperebene durch den Nullpunkt. Ein r-dimensionaler Teilraum W 

kann beschrieben werden als der Durchschnitt von n − r solchen Hyperebenen. Ein linear 

unabhängiges n − r-Tupel von Hyperebenen hat einen r-dimensionalen Durchschnitt. 

Denken wir an den dreidimensionalen Anschauungsraum: Jede Gerade durch den Nullpunkt 

(aufgespannt von einem Vektor v) kann als den Durchschnitt zweier Ebenen beschrieben 

werden. Jede von einem linear unabhängigen Paar von Vektoren aufgespannte 

Ebene wird durch eine einzige lineare Gleichung beschrieben. 

Für eine anschauliche Hilfskonstruktion wählen wir eine Ebene H, die nicht durch 

den Nullpunkt geht. Wenn wir von der einen Ebene H absehen, die zu H parallel ist, 

dann schneidet jede Ebene durch den Nullpunkt diese ausgezeichnete Ebene H in einer 

Geraden, und die Geraden, die nicht parallel zu H sind, schneiden diese in genau einem 

Punkt. 

Die Punkte und Geraden in H bilden eine sog. affine Ebene. Über die Geometrie in 

einer affinen Ebene wird an anderer Stelle ausführlich zu sprechen sein. Hier geben wir 

zu bedenken. Wenn es um den Schnittpunkt zweier Geraden geht, dann muß man in 

der affinen Geometrie die Paare paralleler Geraden als Sonderfall behandeln. Wenn man 

nun aber zur Menge der ‘Geraden’ noch (unter dem Namen unendlichferne Gerade) ein 

zusätzliches Objekt hinzufügt, dessen ‘Punkte’ mit den H nicht schneidenden Geraden 

zu identifizieren sind, dann erhält man eine sog. projektive Ebene. In einer projektiven 

Ebene gilt ohne Ausnahme: Zwei Gerade (die nicht gleich sind) schneiden sich in genau 

einem Punkt; zwei Punkte (die nicht zusammenfallen, und durchaus auch unendlichferne 

Punkte sein dürfen) bestimmen immer eine Gerade. 

Wer sich daran gewöhnt hat, braucht die Hilfsvorstellung mit der unendlichfernen 

Geraden und ihren Punkten nicht mehr; er wird die Geraden durch den Nullpunkt des n- 

dimensionalen Vektorraums V als Punkte im Sinne der projektiven Geometrie anerkennen 

und die r-dimensionalen Teilvektorräume als die (r − 1)- dimensionalen Teilräume des 

(n−1)-dimensionalen‘projektiven Raums’. Durchschnitte und ‘Verbindungen’ der Objekte 

im projektiven Raum haben eine perfekte Entsprechung in der Welt der Teilvektorräume. 



5.10 Tensoren 

Sprechweise 5.10.1. Es seien U 1 , U 2 , . . .,U k Vektorräume, U1 ∗, U 2 ∗, . . .,U k ∗ ihre Dualräume, 

und 〈 · , · 〉 1 , 〈 · , · 〉 2 , . . .,〈·, · 〉 k die dazugehörigen Dualitäten. Für u ∈ U l und f ∈ Ul ∗ bezeichnet 

also 〈f , u 〉 l den Wert der Linearform f im ‘Punkt’ u, oder anders gesagt, den 

‘Wert der Linearform’ u im ‘Punkt’ f. - Die Bezeichnung f (u) für diesen Skalar erscheint 

uns unnötig umständlich; ausserdem bringt sie die Gleichberechtigung der Vektoren und 

Linearformen (V ∗∗ = V ) nicht in der gewünschten Deutlichkeit zum Ausdruck. 〈 · , u 〉 l 

ist in unserem Sinne dasselbe Objekt wie u; 〈f, · 〉 l ist dasselbe Objekt wie f. 

So, wie wir den Vektor u 1 oder 〈 · , u 1 〉 1 als Linearform auf U1 ∗ verstehen können, so 

können wir 〈 · , u 1 〉 1 · 〈 · , u 2 〉 2 · · · 〈 · , u k 〉 k als eine Multilinearform auf U1 ∗ ×U 2 ∗ × · · ·×U k 

∗ 

verstehen. Man spricht von einem faktorisierbaren k-stufigen Tensor und notiert u 1 ⊗u 2 ⊗ 

· · · ⊗ u k . Die Menge der Linearkombinationen solcher faktorisierbarer Tensoren, nennnt 

man die Tensoren in U 1 ⊗ U 2 ⊗ · · · ⊗ U k . 

Satz 5.10.1. Jede Multilinearform auf U1 ∗ ×U2 ∗ ×· · ·×Uk ∗ lässt sich als Linearkombination 

von faktorisierbaren Tensoren schreiben. Wenn {u i : i ∈ I 1 } eine Basis von U 1 ist, {u i : 

i ∈ I 2 } eine Basis von U 2 usw. , dann ist das System aller Tensoren von der Gestalt 

u i1 ⊗ u i2 ⊗ · · · ⊗ u ik 

mit i 1 ∈ I 1 , i 2 ∈ I 2 , . . .,i k ∈ I k 

eine Basis des Tensorprodukts U 1 ⊗U 2 ⊗· · ·⊗U k . Jeder Tensor besitzt also eine Darstellung 

(49) T = ∑ 

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten. 

I 1 ×···×I k 

a i 1i 2 ...ik 

· u i1 ⊗ u i2 ⊗ · · · ⊗ u ik 

Im Falle der Bilinearformen, d. h. im Spezialfall k = 2 haben wir den Beweis ausführlich 

dargestellt. Für k-stufige Tensoren geht das alles genauso. Für jemanden, der sich in 

jedem der ‘Faktoren’ des Tensorprodukts auf eine Basis festgelegt hat, ist eine Tensor ein 

System von k-fach indizierten Einträgen ( a i 1i 2 ...i k 

)I 1 ×···I k 

. 

(Mit der Hochstellung der Indizes deutet man an, dass man die Tensoren als ‘k-fach kontragredient‘ 

(oder ‘k-fach kontravariant’) ansehen will, Wir werden unten auch noch sog. 

cogrediente und gemischte Tensoren kennenlernen; da gibt es dann noch weitere Konventionen, 

was das Hoch- und Tiefstellen der Indizes betrifft. Wir werden dort diskutieren, 

was was es mit den Wörtern co- und kontragredient oder -variant auf sich hat.) 

Sprechweise 5.10.2 (Rang eines Tensors). Man sagt von einem Tensor, er habe den Rang 

≤ r, wenn er sich als Linearkombinaton von r faktorisierbaren Tensoren präsentieren lässt. 

Die Operation ⊗ ist in jeder Position additiv und damit linear. (Skalare Faktoren kann 

man in jeden am Produkt beteiligten Vektoren ‘hineinziehen’). Sie ist multilinear. 

(u 1 + v 1 ) ⊗ u 2 ⊗ · · · ⊗ u k = u 1 ⊗ u 2 ⊗ · · · ⊗ u k + v 1 ⊗ u 2 ⊗ · · · ⊗ u k 

u 1 ⊗ (u 2 + v 2 ) ⊗ · · · ⊗ u k = u 1 ⊗ u 2 ⊗ · · · ⊗ u k + u 1 ⊗ v 2 ⊗ · · · ⊗ u k 

. . . . . . 


5.10 : Tensoren 63 

Man beachte: Wenn uns zwei Summen gegeben sind 

∑ 

∑ 

u α 1 ⊗ u α 2 ⊗ · · · ⊗ u α k und u β 1 ⊗ u β 2 ⊗ · · · ⊗ u β k , 

α 

dann gibt es viele Möglichkeiten, eine evtl. vorliegende Gleichheit festzustellen. Man kann 

beide Summen in eine (willkürlich gegebene) Basis umrechnen. Dies läuft darauf hinaus, 

dass man für eine genügend große Familie von k-Tupeln {̟γ = fγ 1 × · · · × fk γ : γ ∈ Γ} 

die Summen 〈 ̟γ , ∑ α . . . 〉 und 〈 ̟γ , ∑ β 

. . . 〉 auswertet. Manchmal kann man aber 

auch mit einigen geschickten multilinearen Rechenschritten von der einen Summe zur 

anderen gelangen. Diese Bemerkung macht man manchmal zur Grundlage einer Definition 

des Tensorprodukts, welche die Wirkung auf Linearformen nicht ins Spiel bringt. Man 

definiert: 

formSuT Definition 5.18. Das Tensorprodukt ergibt sich aus dem System aller formalen Summen 

von faktorisierbaren Tensoren , wenn man Summen ∑ α uα 1 ⊗uα 2 ⊗ · · · ⊗uα k , die sich durch 

multilineare Operationen in einander umrechnen lassen, als gleich betrachtet. 

Wenn man in einen Tensor aus U 1 ⊗ U 2 ⊗ · · · ⊗ U k an einer Stelle, sagen wir an der 

k-ten, eine feste Linearform f k ∈ Uk ∗ einsetzt, dann erhält man einen k −1-stufigen Tensor 

aus U 1 ⊗ U 2 ⊗ · · · ⊗ U k−1 . Und diese Zuordnung ist linear. Wenn man an zwei Stellen, 

sagen wir an den beiden letzten, ein Paar von Linearformen einsetzen, dann erhält man 

einen k − 2-stufigen Tensor, und diese Zuordnung ist bilinear. 

Gemischte Tensoren 

ϕ (k) : U ∗ k −→ U 1 ⊗ U 2 ⊗ · · · ⊗ U k−1 , 

ϕ (k−1,k) : U ∗ k−1 × U ∗ k −→ U 1 ⊗ U 2 ⊗ · · · ⊗ U k−2 . 

Die Vektoren aus U und die Linearformen auf U (d. h. also die Elemente von U ∗ ) bezeichnet 

man auch als Tensoren erster Stufe. Die Vektoren v ∈ U heissen kontragrediente 

Tensoren erster Stufe, die Covektoren f ∈ U ∗ heissen cogrediente Tensoren erster Stufe. 

Bei den Tensoren zweiter Stufe hat man vier Typen: Neben U 1 ⊗ U 2 werden nämlich 

noch drei weitere Tensorprodukte ins Auge gefasst, nämlich U 1 ⊗U ∗ 2, U ∗ 1 ⊗U 2 und U ∗ 1 ⊗U ∗ 2. 

Die Elemente des ursprünglichen Tensorprodukts nennt man die zweifach kontragrediente 

Tensoren, die Elemente der weiteren werden kontra-cogredient, co-kontragredient und 

kontra-cogredient genannt. Die zweifach cogredienten Tensoren sind (in natürlicher Weise) 

mit den Linearformen auf dem Raum U 1 ⊗ U 2 zu identifizieren. Im gleichen Sinn sind die 

Räume U 1 ⊗ U ∗ 2, U ∗ 1 ⊗ U 2 zueinander dual. 

Für allgemeines k haben wir neben U 1 ⊗ U 2 ⊗ · · · ⊗ U k die weiteren 2 k − 1 Tensorprodukte 

zu betrachten, die wir erhalten, indem wir an irgendwelchen Positionen den 

Vektorraum U κ durch den Vektorraum U ∗ κ ersetzen. Die Elemente dieser Tensorprodukte 

nennt man gemischt kontra-cogrediente Tensoren (kontragredient in den Positionen ..., 

und cogredient in den Positionen...). Nehmen wir an, wir hätten in jedem U κ eine Basis 

β 



{u i : i ∈ I κ } gewählt und {l i : i ∈ I κ } sei die duale Basis. Wir erhalten dann für jedes 

gemischte Tensorprodukt eine spezielle Basis bestehend aus Produkten von Vektoren 

und Covektoren, wo zu jedem κ ein u i bzw. ein l i zu wählen ist. Im Falle des dreistufigen 

Tensorprodukts U 1 ⊗ U ∗ 2 ⊗ U 3 beispielsweise hat ein solches Basiselement die Gestalt 

u i1 ⊗ l i 2 

⊗ u i3 . Die Tensoren besitzen eine eindeutige Darstellung 

(50) T = ∑ 

i 1 i 2 i 3 

a i 1 

i2 

i3 

· u i1 ⊗ l i 2 

⊗ u i3 . 

Dieses Beispiel dürfte die Konventionen des Hoch-und Tiefstellens des Indizes hinlänglich 

illustrieren. Die Konvention wird manchmal durch die Regeln erläutert, die beim Übergang 

zu neuen Basen zu beachten sind. Solche Regeln sind nur dann nötig, wenn man 

die Ausdrücke u i1 ⊗ l i 2 

⊗ u i3 unterdrückt; wenn man also das System der Koeffizienten 

betrachtet (was zweifellos manchmal die Übersichtlichkeit verbessern kann). Aus unserer 

Sicht ist alles geklärt durch den Satz 5.5.3. 

Es sei (v 1 , . . .,v m ) = (u 1 , . . .,u m )·G ein Basiswechsel (z. B. in der k-ten Position). 

Für die Transformation der dualen Basis benötigt man dann die inverse Matrix H = G −1 . 

(51) u i = ∑ j∈J k 

v j · g j i für i ∈ I k ; y i = ∑ j∈J k 

h i j · l j für i ∈ I k . 

Daraus ergibt sich die Transformation der Koeffizientenschemata. Für die kontragredienten 

Positionen sind die Matrizen H zuständig, für die cogredienten Positionen die Matrizen 

G, die ‘mit der Basistransformation gehen’. 

Bei der Identifikation des Typs eines gemischten Tensors fragt man gerne, welche 

Objekte er ‘verarbeiten’ kann. Ein Vektor in der k-ten Position kann einen Covektor in der 

k-ten Position verarbeiten; ein Covektor verarbeitet einen Vektor. Ein co-kontragredienter 

Tensor (in den Positionen (k, l) ) verarbeitet einen kontra-cogredienten Tensor in diesen 

Positionen. Das Ergebnis der ‘Verarbeitung’ eines eingesetzten Objekts ist ein Tensor 

geringerer Stufe. So können die Tensoren k-ter Stufe auf vielfältige Weise als multilineare 

Abbildungen eines Tensorprodukts der Stufe m in ein Tensorprodukt der Stufe k − m 

verstanden werden. Das Umgekehrte ebenso richtig: eine multilineare Abbildung eines 

gemischte Tensorprodukts der m-ten Stufe in ein gemischtes Tensorprodukt der (m-k)- 

ten Stufe kann als ein gemischter Tensor der Stufe k verstanden werden. 

Beispiel. Es sei V der vierdimensionale Vektorraum der 2 ×2-Matrizen. Ein interessanter 

gemischter Tensor der Stufe 3 ist die Matrizen-Multiplikation. Normalerweise wird man 

sie als eine bilineare Abbildung V × V ↦−→ V verstehen. Angemessener erscheint aber die 

Interpretation als Tensor, wenn man Fragen stellt, wie z. B. die nach dem Rang dieses 

Tensors. Es hat sich herausgestellt, dass der Rang nicht so groß ist, wie man das auf den 

ersten Blick erwartet. Um die vier Eiträge in der Produktmatrix C = A ·B zu berechnen, 

braucht man nicht alle 8 Produkte a 11 · b 11 , a 12 · b 21 , a 11 · b 12 , a 21 · b 22 , a 21 · b 11 , . . .. Es 



gilt nämlich 

Zum Matrizenkalkül 

c 11 = E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ; c 22 = E 1 + E 5 + E 6 − E 7 , 

c 21 = E 3 + E 6 ; c 12 = E 5 − E 4 ; wobei 

E 3 = a 22 (b 11 + b 21 ); E 4 = (a 11 − a 12 ) · b 22 ; 

E 5 = a 11 (b 12 + b 22 ); E 6 = (a 21 − a 22 ) · b 11 

E 1 = (a 11 − a 22 ) · (b 11 − b 22 ); E 2 = (a 12 − a 22 ) · (b 21 + b 22 ); 

E 7 = (a 11 + a 21 ) · (b 11 + b 12 ). 

Der Matrixkalkül hat nichts mit geometrischer Anschauung zu tun. Die Geometrie liefert 

daher keinen Grund für das Hoch- und Tiefstellen der Indizes. Es scheint dennoch 

in manchen Situationen der Übersichtlichkeit zu dienen, wenn man die Spalten als kontragrediente 

und die Zeilen als cogrediente Vektoren versteht. In unserer Darstellung des 

Matrixkalküls stehen demgemäß (in der Regel) bei den Spalten die Indizes oben, während 

die Einträge in einer Zeile untere Indizes tragen. 

Matrizen dienen vielen Zwecken. Wenn man z. B. eine symmetrische(!) Matrix zur 

Darstellung einer quadratischen Funktion auf einem Vektorraum benützt, dann sollten 

u. E. beide Indizes unten stehen q(⃗x) = ∑ ij a ij · x i x j . Die dahinterstehende Vorstellung 

ist die, dass zur quadratischen Funktion (und zu der dazugehörigen symmetrischen Bilinearform 

b(⃗x, ⃗y) = ∑ ij a ij ·x i y j ) ein zweifach cogredienter Tensor gehört, der einem Paar 

von Vektoren eine Zahl zuordnet. 

Andererseits: Die Hoch- und Tiefstellung der Indizes einer I × J-Matrix A = A I J 

suggeriert, dass die Matrix als ein kontra-cogredienten Tensor T verstanden werden soll; 

sie wird konkret als Darstellungsform für eine lineare Abbildung des Raums J-Spalten in 

den Raum der I-Spalten verstanden, oder aber als eine Darstellungsform für eine lineare 

Abbildung des Raums der I-Zeilen in den Raum der J-Zeilen. 

T : K J Sp ∋ ⃗x → A · ⃗x ∈ K I Sp 

T : K I Z ∋ ξ → ξ · A ∈ K J Z 

Betrachten wir die Matrizennotation noch etwas genauer. Den faktorisierbaren Tensoren 

in U 1 ⊗U2 ∗ = KI Sp ⊗KJ Z entsprechen die Matrizen vom Rang 1; das sind die Matrizen der 

Gestalt ( I-Spalte⊗J-Zeile). Wenn man in einen faktorisierbaren Tensor w 1 ⊗f 2 ∈ U 1 ⊗U2 

∗ 

an der zweiten Stelle einen Vektor w 2 einsetzt, dann erhält man einen Vektor in U 1 , und 

zwar stets ein Vielfaches von w 1 . w 1 ⊗ f 2 ( ) 

· ,w 2 = w1 · 〈f 2 , w 2 〉 2 . 

Wenn man in irgendeinen Tensor T ∈ U 1 ⊗ U2 ∗ an der zweiten Stelle Vektoren w 2 

einsetzt, dann erhält man in linearer Weise Vektoren ∈ U 1 . In diesem Sinne entsprechen 

die kontra-cogredienten Tensoren T aus U 1 ⊗ U2 ∗ den linearen Abbildungen ϕ : U 2 → U 1 . 

Wenn man in den Tensor T aus U 1 ⊗ U2 ∗ an der ersten Stelle eine Linearform einen 

Covektor f 1 ∈ U1 ∗ einsetzt, dann ergibt sich die duale Abbildung ϕ∗ : U1 ∗ → U 2 ∗. Beide 



Beobachtungen kommen in der folgenden Formel zum Ausdruck 

(52) T ( · , · ) = ∑ w1 α ⊗ f2 α ( · , · ) = ∑ 〈〉〈 

· , w 

α 

1 f 

2 

α , · 〉 = 〈 · , ϕ(·) 〉 = 〈 ϕ ∗ (·) , ·〉. 

α 

α 

Der Wertebereich von ϕ liegt in span{w1 α }. Der Wertebereich von ϕ∗ liegt in span{fα 2 }. 

Wenn T ein Tensor vom Rang r ist, und T = ∑ r 

α=1 wα 1 ⊗f2 α , dann ist {wα 1 } eine Basis des 

Wertebereichs R (T ) 

U 1 

und {fα 2 ) 

} ist eine Basis des Wertebereichs R(T 

U 

. Das wollen wir noch 

2 ∗ 

einmal in etwas anderen Worten sagen. Wir wollen zeigen, dass der maximale Austausch 

für eine Matrix des Rangs r explizit eine Darstellung des zugehörigen Tensors als Summe 

von r faktorisierbaren Tensoren liefert. 

Die Wertebereiche eines Tensors zweiter Stufe 

Die Idee des Rangs eines zweistufigen Tensors wollen wir nun noch einmal in der Sprache 

der Matrizen formulieren. Wir wollen damit die Tatsache Zeilenrang = Spaltenrang“(für 

” 

eine beliebige m × n-Matrix) und die Idee des maximalen Austauschs im Lichte der Tensorrechnung 

noch einmal vertiefen. 

Es {u i : i ∈ I} sei eine Basis des m-dimensionalen Vektorraums U = U 1 ; und es 

sei {x j : j ∈ J} eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums F = U2 ∗ . Es wird sich 

als bequem erweisen, die Koeffizienten zu den Vektoren v = ∑ i u i · a i als I-Spalten zu 

notieren. Die Koeffizienten zu einem g = ∑ j b j · x j werden wir als J-Zeilen notieren. Ein 

faktorisierbarer Tensor in U ⊗ F wird demgemäß durch eine I × J-Matrix von der Form 

Spalte ⊗ Zeile repräsentiert. Ein beliebiger Tensor T ∈ U ×F ist durch eine I ×J-Matrix 

A = A I J repräsentiert. T = ∑ ij ai j ·u i ⊗x j . Und die Doppelsumme suggeriert das folgende 

Diagramm 

x 1 x 2 . . . . . . x n 

u 1 a 11 a 12 . . . . . . a 1n 

(53) 

u 2 a 21 a 22 . . . . . . a 2n 

. . . 

. 

. . . 

. 

u m a m1 a m2 . . . . . . a mn 

Wir erinnern noch einmal an die Pivot-Transformationen einer Matrix, die zu den sog. verwandten 

Matrizen führen. Wenn wir die Matrix A (ohne jeden Versuch einer Interpretation) 

einem maximalen Austausch unterziehen, dann gelangen wir gemäß dem Satz 5.2.4 

zu einer ‘verwandten’ Matrix der Gestalt 

( M K 

−L 0 

) ( 

= 

A −1 

11 A −1 

11 A 12 

−A 21 · A −1 

11 0 

) 



Dies ergibt für die ursprüngliche Matrix die Faktorisierung 

( ) ( ) 

A11 A 

A = 12 Er 

= · A 

A 21 A 22 L 11 · (E 

r K ) ( ) 

A11 

= · M · (A ) 

A 11 A 12 

21 

Wir numerieren die r Spalten des ersten Faktors mit s = 1, . . ., r und die Zeilen des 

letzten Faktors mit t = 1, . . ., r und erhalten damit a i j = ∑ r 

s,t=1 ai s · m s t · a t j und somit 

) ) 

r∑ 

(54) T = m s t · u i · a i s ⊗ a t j · x j 

s,t=1 

( ∑ 

i 

Dies liefert Darstellungen des Tensors als Summe von r faktorisierbarenTensoren. Wir 

können das Ergebnis noch in ein wenig anderes Licht rücken, indem wir die die dualen 

Basen ins Spiel bringen 

( ∑ 

j 

{w j : j ∈ J} auf U 2 = F ∗ dual zu {x j : j ∈ J} 

{l i : i ∈ I} auf U ∗ 1 dual zu {u i : i ∈ I} 

Der Tensor T repräsentiert die lineare Abbildung ϕ : U 2 −→ U 1 und die dazu duale 

Abbildung ϕ ∗ : U ∗ 1 −→ U ∗ 2 mit 

ϕ(w j ) = ∑ ij ai j · u i ⊗ x j( · ,w j 

) 

= 

∑i u i · a i j, 

ϕ ∗ (l i ) = ∑ ij ai j · u i ⊗ x j( l i , · ) = ∑ j ai j · x j . 

Wie wir eben gesehen haben, brauchen wir für die Darstellung unseres Tensors nur die 

die Bilder {v j = ϕ(w j ) : j ∈ J | } und die Bilder {−y i = ϕ ∗ (l i ) : i ∈ I | }. Es gilt 

(55) T = ∑ 

m j i · ϕ(w j ) ⊗ ϕ ∗ (l i ) = ∑ 

m j i · v j ⊗ (−y i ), 

I | ×J | I | ×J | 

Durch partielle Summation über s bzw. t erhalten wir Darstellungen Von T als Summen 

als Summen von r faktorisierten Tensoren. 

T = ∑ s 

v s ⊗ ˜z s = ∑ t 

˜w t ⊗ −y t mit ˜z s = ∑ t 

m s t(−y t ), 

˜w t = ∑ s 

m s t · v s . 

Noch schöner ist aber wohl die Repräsentation des Tensors durch das folgende Tableau 

vom Format J | × I | , welches der linken oberen Ecke einer maximal ausgetauschten 

verwandten Matrix entspricht. 

−y 1 −y 2 . . . . . . −y r 

v 1 m 11 m 12 . . . . . . m 1r 

(56) 

v 2 m 21 m 22 . . . . . . m 2r 

. . . 

. 

. . . 

. 

v r m r1 m r2 . . . . . . m rr 



Vektoren und Tensoren im Anschauungsraum 

Die Idee der Vektoren und Tensoren war bis vor Kurzem an den Anschauungsraum geknüpft. 

Heute denkt man man allgemeinere Situationen. Ausserdem ist zu bedenken, dass 

es nicht nur einen Anschauungsraum gibt. Zu nennen sind neben dreidimensionalen euklidischen 

Anschauungsraum und dem vierdimensionalen Anschauungsraum der speziellen 

Relativitätstheorie (den man auch den Minkowski-Raum nennt) jedenfalls auch der affine 

Anschauungsraum (zu einem beliebigen K-Vektorraum), obwohl man natürlich zugestehen 

muss, dass Anschaulichkeit nicht überall und nicht für jeden dasselbe bedeutet. 

Der Anschauung zugänglich sind zweifellos auch die ‘gekrümmten’ Räume, ohne die 

Theorien wie die allgemeine Relativitätstheorie nicht auskommen. Die gekrümmten Räume 

der Differentialgeometrie haben in unabweisbarer Deutlichkeit gezeigt, dass man (in der 

Geometrie!) unterscheiden muss zwischen den ‘echten’ Vektoren, die (irgendwie) mit Verschiebungen 

zu tun haben und den sog. Covektoren, die meistens dazu dienen, den Anstieg 

einer Funktion zu beschreiben. Was die an einen Punkt angehefteten Vektoren betrifft, so 

sprach man in der Mechanik lange Zeit von den virtuellen Verrückungen (von einem Punkt 

aus), heute spricht der Geometer von den Tangentialvektoren (in einem Fusspunkt), wenn 

er an die ‘echten’ Vektoren denkt. Die Covektoren (in einem Fusspunkt) sind andererseits 

eng an die ‘Gradienten’ glatter Funktionen geknüpft. Covektorfelder werden entlang von 

Kurven ‘integriert’, und wenn es sich beim Covektorfeld um ein echtes Gradientenfeld (zu 

einem Potential) handelt, dann kommt bei allen Kurven von P nach Q dasselbe Integral 

heraus, nämlich die Potentialdifferenz. Ein Beispiel ist das Kraftfeld der Newton’schen 

Mechanik, welches sich aus dem Gravitationspotential einer Massenverteilung herleitet. 

Auf eine Probemasse wirkt in jedem Punkt eine Kraft; um die Probemasse gegen die 

Kraft von P nach Q zu bewegen, muss die ‘Arbeit’ geleistet werden, die sich aus der 

Potentialdifferenz zwischen P und Q ergibt. 

So weit sollte man schon einmal vorausdenken, wenn man sich mit Vektoren und 

Covektoren im affinen Anschauungsraum befasst; hier gibt es nämlich per se wenig Futter 

für einedifferenzierte Anschauung. Der affine Raum ist homogen, die Vektoren kann man in 

jedem Fusspunkt ansetzen, sie entsprechen globalen Verschiebungen, ‘Pfeilklassen’ nennt 

man sie deswegen in der Schule. Die Covektoren im affinen Raum sind die Linearformen 

f, meistens repräsentiert durch affine Funktionen. Wenn man von P nach Q = P +v geht, 

dann erfährt die affine Funktion einen Zuwachs 〈f,v〉; das ist der Wert der Linearform f 

im Vektor v. 

Das Wort Tensor kommt aus der Elastizitätstheorie. (Es ist abgeleitet aus dem lateinischen 

Wort ‘tendere’ = spannen, oder ‘tensus’ = gespannt.) Wenn auf ein elastisches 

Medium Kräfte wirken, dann entstehen einerseits Spannungen und andererseits Verformungen. 

Die Verformung ist als ein (ortsabhängiger) zweifach kontragredienter symmetrischer 

Tensor zu deuten; entsprechend den elastischen Eigenschaften des Materials steht sie 

in Korrespondenz zur Spannung im betreffenden Punkt, einem zweifach cogredienten symmetrischen 

Tensor. Verantwortlich für diese Korrespondenz ist ein Tensor vierter Stufe, 

der (im glatten Fall in linearer Weise) der Spannung die Verformung zuordnet. Die beiden 



aus den zueinander dualen Vektorräumen stammenden Tensoren ergeben zusammen die 

‘infinitesimal’ geleistete Verformungsarbeit. 

Etwas einfacher ist die Lage in der sog. Elektrostatik für ein dielektrisches Material. 

Die elektrische Spannung ruft eine Polarisierung hervor, gemäß dem Dielektrizitätstensor 

ε. Die Spannung E ist vom Typ eines Covektors (aus der Potentialdifferenz abgeleitet), 

die dielektrische Verschiebung D ist vom Typ eines Vektors, einer Verformung. Das innere 

Produkt liefert die Energiedichte. Nur im ‘isotropen’ Fall kann man (in irgendeinem Sinne) 

sagen, dass die Verformung in dieselbe Richtung weist wie die Spannung. Es ist nicht 

der metrische Tensor, der verantwortlich ist für den Zusammenhang sondern der Dielektrizitätstensor; 

nur in einem isotropen Medium ist es mit einer Dielektrizitätskonstanten 

getan. Mehr über physikalische Aspekte des Tensorbegriffs (sowohl in der nichtrelativistischen 

als auch in der relativistischen Welt) findet man in den berühmten Feynman- 

Lectures, Band II, Kapitel 31, ‘Tensoren’. 

In der euklidischen Geometrie wie auch im Minkowski-Raum hat man ein symmetrisches 

inneres Produkt zwischen Vektoren, und das bedeutet im Sinne der Tensorrechnung 

einen Isomorphismus zwischen dem Raum der Vektoren und dem Raum der Covektoren 

(Linearformen). Solange man nicht differenzieren will, muss noch nicht interessieren, dass 

in der (auf die allgemeine Relativitätstheorie gerichtete) Differentialgeometrie dieser sog. 

metrische Tensor ortsabhängig ist; wichtig ist zunächst einmal, dass der metrische Tensor 

in jedem Punkt einen Isomorphismus liefert zwischen dem Tangentialraum und dem 

Cotangentialraum. 

In der ‘Anschauung’ ist dieser metrische Tensor manchen Leuten so präsent, dass 

sie gar nicht mehr darüber reden; der von ihm gestiftete Isomorphismus zwischen den 

Vektoren und den Covektoren führt sie zu einer unausgesprochenen Identifizierung dieser 

Objekte. ( Schon im Schulunterricht hat man ja gelernt, dass man den Anstieg einer 

affinen Funktion durch einen Vektor beschreiben sollte, der senkrecht (?!) auf den Niveaulinien 

steht.) Dem Unvorsichtigen fällt es danach schwer, zu sehen, dass der Wert 

einer Linearform in einem Punkt (logisch gesehen) etwas anderes ist als das euklidische 

innere Produkt zweier Vektoren. Damit fällt der mathematischen Anfängervorlesung die 

Aufgabe zu, für die Tensorrechnung einer kurzschlüssigen ‘Anschauung’ entgegenarbeiten 

und den Unterschied zwischen Vektoren und Covektoren herauszuarbeiten. Wir hoffen, 

mit unseren sorgfältigen Überlegungen zur Dualität dazu einen Beitrag zu leisten. 

Die Situation, an welcher sich die Anschaulichkeit des traditionellen Tensorkalkül orientiert, 

kann man in moderner Terminologie etwa folgendermaßen beschreiben: Gegeben 

ist ein reeller Vektorraum V mit einer Dualität 〈 ·, ·〉 auf V ×V , den man den metrischen 

Tensor nennen könnte. (Die Dualtät ist symmetrisch, im euklidischen Fall positiv definit, 

in der speziellen Relativitätstheorie vierdimensional mit der bekannten Signatur). Es 

wurde eine Basis {u i : i ∈ I} gewählt. Die Zahlen g ik = 〈u i ,u k 〉 nennt man die cogredienten 

Koeffizienten des metrischen Tensors. Für einen Vektor v = ∑ i ai u i nennt man den 

Summanden a i u i (oder manchmal auch den blossen Skalar a i ) die i-te kontragrediente 

Komponente (der Index wird hochgestellt!). 

Es sei nun {l i : i ∈ I} die duale Basis (sodass also l i (v) = a i ). Wenn man die 



Linearform l(·) = 〈 v , · 〉 in dieser dualen Basis darstellen will, dann braucht man dazu 

die sog. cogredienten Komponenten des Vektors, die man jetzt mit tiefgestellten Indizes 

auflistet. 

(57) 〈 ∑ i 

a i · u i , · 〉 = ∑ k 

a k · l k (·) mit 

a k = ∑ i 

g ik a i . 

In der Tat liefern diese a k für jeden Vektor w = ∑ k bk · u k 

〈v , w 〉 = 〈 ∑ a i u i , ∑ b k u k 〉 = ∑ ik 

a i b k g ik = ∑ k 

a k b k = ∑ k 

a k · l k (w). 

Der Tensorkalkül wurde in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts ganz auf Koordinatendarstellungen 

gegründet. Eine wichtige Rolle spielt das Hoch- und Tiefstellen der 

Indizes. Die maßgeblichen Impulse kamen aus den berühmten Vorlesungen über allgemeine 

Relativitätstheorie, die Hermann Weyl zum ersten Mal 1917 an der ETH Zürich 

gehalten hat. (H. Weyl: Raum Zeit Materie, in sechster Auflage 1970 im Springer-Verlag) 

Der Sachverhalt, auf den sich der Formalismus bezieht, entspricht dem Szenario, welches 

wir eben ohne Bezugnahme auf Physik entworfen haben: 

Es sei {e i : i ∈ I} eine Basis für den Raum der Vektoren. In der Darstellung eines Vektors 

v = ∑ x i e i heissen die x i (mit hochgestellten Indizes) die kontragredienten Komponenten 

des Vektors v. Das metrische innere Produkt ist gegeben durch die symmetrische Matrix 

(g ij ) ij 

= (e i ,e j ) ij 

. ( · , ·) meint das metrische innere Produkt. Die zur gegebenen Basis 

duale Basis wird mit {e i : i ∈ I} bezeichnet. Linearformen haben die Gestalt ∑ z i e i . Der 

Wert dieser Linearform im Vektor v ist 〈 ∑ z i e i , ∑ x j e j 〉 = ∑ z i x i . Andererseits hat das 

metrische innere Produkt zweier Vektoren die Form ( ∑ y k e k , v ) = ( ∑ y k e k , ∑ x i e i ) = 

∑ 

ik yk g ki x i = 〈 ∑ z i e i ,v〉 mit z i = ∑ k g kiy k . 

Der Tensorkalkül, den man in der Relativitätstheorie benützt, notiert anders. Die 

gewählten Basen bleiben im Hintergrund, sie tauchen in der Notation nicht auf. Man 

schreibt y i statt z i und nennt diese Zahlen die cogredienten Komponenten des Vektors mit 

den kontragredienten Komponenten y k . Die Notation unterdrückt nicht nur die e i und die 

e i , sondern auch das Summenzeichen, und man schreibt y i = y k g ik . Das Summenzeichen 

wird auch in allgemeineren Situationen mit mehrfach indizierten Größen unterdrückt, 

gemäß der sog. Einstein-Konvention, welche sagt: Wenn irgendwo in einem System von 

indizierten Größen ein Index sowohl oben als auch unten auftritt, dann wird über ihn 

summiert. 

Der Übergang vom Tupel (y k ) zum Tupel (y i ) mit Hilfe des metrischen Tensors heisst 

das Herunterziehens des Index. Man kann den Index natürlich auch wieder hinaufziehen; 

man braucht dazu den metrischen Tensors in kontra-kontragredienten Komponenten: 

y k = g ik y i , wo (g ij ) die zu (g ij ) inverse Matrix ist. Bei einem dreistufigen Tensor 

könnte das Herunterziehen etwa so aussehen: a ijk g jl = a i l k . Der Buchstabe a bleibt unverändert, 

weil auf beiden Seite der Gleichung derselbe Tensor gemeint ist. Übrigens: 

Wenn wir beim metrischen Tensor selbst einen Index hinaufziehen, dann erhalten wir das 



Kroneckersymbol g ij g ik = δ j k 

. Anders gesagt: die co-kontragredienten Komponenten des 

metrischen Tensors sind das Kroneckersymbol. 

Auffallend ist, dass in diesem Tensorkalkül der Unterschied zwischen den kontragredienten 

und den cogredienten Vektoren (und Tensoren) mittels des metrischen Tensors 

zum Verschwinden gebracht wird. An die Stelle dieser (nach unserer Meinung sehr wichtigen) 

Unterscheidung tritt die Unterscheidung zwischen den kontra- und cogredienten 

Komponenten desselben Vektors (bzw. Tensors ). H.Weyl schreibt auf Seite 37 des erwähnten 

Buchs: 

Es ist vielfach versucht worden, in unserm Gebiet eine solche invariante, 

mit den Tensoren selbst und nicht mit ihren Komponenten arbeitende Bezeichnungsweise 

auszubilden, wie sie in der Vektorrechnung besteht. Was aber dort 

am Platze ist, erweist sich für den viel weiter gespannten Rahmen des Tensorkalküls 

als äußerst unzweckmäßig. Es werden eine solche Fülle von Namen 

und ein solcher Apparat von Rechenregeln nötig (wenn man nicht doch immer 

wieder auf die Komponenten zurückgreifen will), dass damit ein Gewinn von 

sehr erheblichem negativem Betrag erreicht wird. Man muß gegen diese Orgien 

des Formalismus, mit dem man heute sogar die Techniker zu belästigen 

beginnt, nachdrücklich protestieren. 

Die Zeit geht weiter. Der traditionelle Tensorkalkül hat sich zweifellos in wichtigen Bereichen 

bewährt. In der reinmathematischen Tensorrechnung wird man jedoch auf einer 

klaren Unterscheidung von Vektoren und Covektoren bestehen müssen, obwohl es von 

vorneherein keine Gründe gibt, den einen oder den anderen Partner in einem Dualitätspaar 

herauzuheben. Eine ‘Identifizierung’ der Covektoren mit den Vektoren kommt nicht 

in Betracht, wenn man für die Vektorräume, deren Tensorprodunkt man bilden will, keine 

ausgezeichnete Dualität auf V × V hat. 

Kontroverse didaktische Positionen 

Da wir nun schon einmal bei didaktischen Fragen sind, möchte ich mein Plädoyer für die 

Vektorraumdualität präzisieren: Nach meiner Auffassung sollte man mit den Anfängern 

die elementaren Beispiele für Dualitätspaare zunächst sauber auseinanderhalten 

• Die Matrizenrechnung sieht vor, eine J-Zeile t mit einer J-Spalte s zu ‘multiplizieren’, 

sodass das Resultat ein Skalar ist: 〈t, s 〉 = t · s. Die Matrizenrechnung sieht 

nicht vor, zwei Spalten (oder zwei Zeilen) miteinander zu multiplizieren. 

• Die Theorie des euklidischen Raums (wie auch die Theorie des Minkowski-Raums) 

kennt das Skalarprodukt zweier Vektoren. Es handelt sich um eine symmetrische 

bilineare Operation ( · , · ) auf V × V . 

• Die Theorie des Hilbert-Raums kennt das Produkt eines ‘bra-Vektors’ mit einem 

‘ket-Vektor’. Es handelt sich um eine sesquilineare Operation. 〈 · | · 〉 auf V × V . 



Die (mehr oder weniger delikaten) Gemeinsamkeiten dieser Strukturen sollten kein Thema 

der ersten Anfängervorlesungen sein. Euklidische Geometrie, Hilbertraum-Geometrie 

und das Rechnen mit Zeilen und Spalten sollten zunächst einmal als getrennte Bereiche 

mit Blick auf spezifische Anwendungen entwickelt werden. Alle drei Strukturen gehören 

m. E. in die Anfängerausbildung. Auf dem Niveau der Anfängervorlesungen sind aber 

nicht die Gemeinsamkeiten wichtig, sondern die verschiedenartigen Ausrichtungen auf 

Anwendungen. 

Die rein-algebraische Tensorrechnung ist technisch sehr einfach, aber auch wenig ergiebig. 

Bedeutsam werden die Tensoren erst in Verbindung mit geometrischen Betrachtungen. 

Diese können z. B. dadurch ins Spiel kommen, dass auf den beteiligten Vektorräumen interessante 

Dualitäten ausgezeichnet sind. Weitere interessante Aspekte können sich durch 

Symmetrieeigenschaften der Tensoren ergeben. Besonders wichtig sind da die antisymmetrischen 

Tensoren, die wir im nächsten Abschnitt behandeln. 


5.11 : Alternierende Multilinearformen 73 

5.11 Alternierende Multilinearformen 

Dieser Abschnitt setzt Vertrautheit mit den Permutationen voraus, insbesondere mit dem 

Begriff des Signums einer Permutation. Ausserdem bauen wir auf den Begriff der Multilinearform, 

den wir im Abschnitt Tensorrechnung vorgestellt haben. 

Definition 5.19. Es sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum. Eine Multilinearform Φ 

auf dem p-fachen cartesischen Produkt V × V × · · · × V heisst eine alternierende p- 

Form, wenn sie verschwindet, sobald im p-Tupel der Argumente irgendwelche Vektoren 

mehrfach auftreten. Man spricht auch einfach von einer p-Form auf V . ∧p (V ∗ ) bezeichnet 

den Vektorraum aller alternierenden p-Formen. 

Lemma 5.11.1. Es sei Φ eine alternierende k-Form. Der Wert von Φ wechselt das Vorzeichen, 

wenn man die Argumente in irgendeinem Paar von Positionen vertauscht. 

Beweis 

Es genügt, die Aussage für zwei aneinanderliegende Positionen zu beweisen; denn jede 

Transposition zweier Objekte in einer Reihe kann durch das Hintereinanderschalten einer 

ungeraden Anzahl von Transpositionen nebeneinanderliegender Objekte erzeugt werden. 

Die Reduktion auf den Spezialfall erleichtert die Notation. Es gilt 

0 = Φ(. . .,v + w, v + w, . . .) = 

= Φ(. . . , v, v, . . .) + Φ(. . .,w, w, . . .) + Φ(. . . , v, w, . . .) + Φ(. . . , w, v, . . .) = 

= 0 + 0 + Φ(. . . , v, w, . . .) + Φ(. . . , w, v, . . .). 

( ) 

1 2 . . . p 

Wenn man die Argumente gemäß der Permutation π = 

permutiert, 

dann multipliziert sich der Wert von Φ mit dem Signum der Permutation sign(π). 

π(1) π(2) . . . π(p) 

Wir wollen im Folgenden voraussetzen, dass im Körper K gilt 1 + 1 ≠ 0. In diesem Fall 

ist eine Multilinearform genau dann eine alternierende p-Form, wenn für alle Paare v, w 

und alle Positionen gilt Φ(. . .,v, w, . . .) + Φ(. . . , w, v, . . .) = 0 

Satz 5.11.1. 

Die Menge ∧p (V ∗ ) aller alternierenden p-Formen ist ein Vektorraum der Dimension ( n 

p) 

. 

Beweis 

Wir konstruieren eine Basis, bestehend aus sogenannten faktorisierbaren p-Formen. Zu 

diesem Zweck wählen wir zunächst einmal in V eine Basis {u i : i ∈ I}, und wir bezeichnen 

die duale Basis mit {l i : i ∈ I}. Bekanntlich ist eine Multilinearform auf V ×V ×· · ·×V eindeutig 

festgelegt, wenn man ihre Werte in den Tupeln (u j1 , . . .u jp ) festlegt; und jede Festlegung 

liefert ein Multilinearform. Eine alternierende p-Form gewinnt man genau dann, 

wenn jede Permutation der Argumente das Vorzeichen um den Faktor sign(π) verändert 



(was insbesondere nach sich zieht, dass nur die Tupel mit paarweise verschiedenen Einträgen 

einen Wert ≠ 0 erhalten können.) Wir definieren nun für ein p-Tupel (i 1 , i 2 , . . .,i p ) 

(mit paarweise verschiedenen Indizes aus I) eine Multilinearform Φ = l i 1 

∧ l i 2 

∧ . . . ∧ l ip , 

indem wir festlegen 

Φ(u j1 , . . ., u jp ) = +1 oder = −1, 

wenn (j 1 , j 2 , . . .,j p ) aus (i 1 , i 2 , . . ., i p ) durch eine gerade bzw. durch eine ungerade Permutation 

hervorgeht. In den übrigen p-Tupeln (u j1 , . . .u jp ) hat Φ den Wert 0. 

Die hier konstruierten Multilinearformen nennt man Dachprodukte mit den ‘Faktoren’ 

l i 1 

, . . .,l ip . Die Reihenfolge ist wichtig; wenn man zwei Indizes im Index-Tupel 

(i 1 , i 2 , . . .,i p ) gegeneinander austauscht (‘transponiert’), dann unterscheiden sich die Dachprodukte 

um den Faktor −1. 

Aus dieser Eigenschaft (zusammen mit 1 + 1 ≠ 0) können wir schliessen, dass alle 

unsere Multilinearformen l i 1 

∧ l i 2 

∧ . . . ∧ l ip wirklich alternierende p-Formen sind. Wenn 

man nämlich eine solche Multilinearform in einem p-Tupel von Vektoren auswertet, in 

welchem ein v doppelt vorkommt, dann ändert sich der Wert der Multilinearform nicht, 

wenn man die betreffenden Indizes im Dachprodukt l i 1 

∧ l i 2 

∧ . . . ∧ l ip vertauscht; da er 

aber andererseits in sein negatives übergeht, ist er = 0. 

Dachprodukte l i 1 

∧ l i 2 

∧ . . . ∧ l ip , in welchen ein l i mehr als einmal vorkommt, sind 

identisch = 0. Denken wir uns jetzt (für den Augenblick) die Indexmenge I angeordnet, 

etwa I = {1, 2, . . ., n} mit der üblichen Ordnung. Wir zeigen, dass die Dachprodukte zu 

den Index-Tupeln mit i 1 

Formen ist. (Es gibt bekanntlich ( n 

p) 

solche p-Tupel). Es sei Φ eine alternierende p-Form; 

und für i 1 

= Φ(u i1 , u i2 , . . .,u ip ). Es gilt dann 

Φ = 

∑ 

i 1


dann haben wir 

(l 1 ∧ l 2 ∧ . . . ∧ l p) (v 1 , v 2 , . . .,v p ) = ∑ ( ) 

i1 i 

sign 2 . . . i p 

· a i 1 

1 2 . . . p 1 a i 2 

2 · · ·a ip 

p 

= ∑ ( ) 

j1 j 

sign 2 . . . j 

(58) 

p 

· a 

1 2 . . . p 

1 j 1 

a 2 j 2 · · ·a p j p 

Dabei ist über alle Permutationen der Zahlen 1, 2, . . ., n zu summieren. 

Der Ausdruck hängt offenbar nicht davon ab, wie wir das gegebene Tupel l 1 ∧l 2 ∧. . .∧l p 

zu einer Basis von V ∗ erweitert haben. Aus der Formel lesen wir noch mehr ab, z. B. die 

Linearität des Dachprodukts in der ersten Position (und dann auch in jeder Position). 

Wenn nämlich ˜l eine weitere Linearform ist und ã j = 〈 ˜l, v j 〉, dann gilt 

((l 1 + ˜l) ∧ l 2 ∧ . . . ∧ l p) (v 1 , v 2 , . . .,v p ) = ∑ sign 

( ) 

j1 j 2 . . . j p 

· (a 1 j 

1 2 . . . p 1 

+ ã j1 )a 2 j 2 · · ·a p j p 

Satz 5.11.2. Das p-fache Dachprodukt von Linearformen auf V liefert eine wohldefinierte 

alternierende p-Form. Die Dachproduktbildung ist in jeder Position linear, und jede 

Transposition der Faktoren ändert das Vorzeichen des Dachprodukts. 

Wenn wir bedenken, dass die Vektoren aus V in natürlicher Weise als die Linearformen 

auf V ∗ aufzufassen sind, dann ist auch geklärt, was es mit den alternierenden p-Formen auf 

V ∗ auf sich hat. Eine Basis für diesen Raum ist {u i1 ∧u i2 ∧. . .∧u ip : i 1 

Und diese Basis ist in der Tat die duale Basis zu {l i 1 

∧l i 2 

∧...∧l ip : i 1 

Definition 5.20. Der ( n 

p) 

-dimensionale Vektorraum aller alternierenden p-Formen auf 

dem n-dimensionalen Vektorraum V wird mit ∧ p ( V ∗) bezeichnet. Der dazu duale Raum 

heisst der Raum der (alternierenden) p-Vektoren und wird mit ∧ p ( V ) bezeichnet. Diejenigen 

Elemente, die sich als Dachprodukt w 1 ∧w 2 ∧. . . ∧w p schreiben lassen, heissen die 

faktorisierbaren p-Vektoren. 

Es ist für manche Zwecke bequemer, wenn man bei der Konstruktion des Raums 

∧ p 

( 

V 

) 

die Linearformen aus dem Spiel lässt. Man kann ebenso vorgehen, wie wir das bei 

den Tensorprodukten in der Definition 5.11 skizziert haben Wir können die p-Vektoren 

als Äquivalenzklassen von formalen Linearkombinationen verstehen, indem wir definieren: 

formSuAlt Definition. Die p-Vektoren ergeben sich als Äquivalenzklassen von Linearkombinationen 

p-facher Dachprodukte 

∑ 

a α · l 1 α ∧ l2 α ∧ . . . ∧ lp α , 

α 

wobei solche Linearkombinationen als gleich zu gelten haben, die sich mit den Regeln der 

Multilinearität und der Transpositionsregeln ineinander umrechnen lassen: 



(i) Für jedes p-Tupel von Vektoren und jedes j gilt 

w 1 ∧ . . . ∧ w j ∧ w j+1 ∧ . . . ∧ w p = (−1) · w 1 ∧ . . . ∧ w j+1 ∧ w j ∧ . . . ∧ w p 

( ” 

Transpositionen ändern das Vorzeichen“) 

(ii) a · w 1 ∧ w 2 ∧ . . . ∧ w p = ( a · w 1 

) 

∧ w2 ∧ . . . ∧ w p 

( ” 

Skalare Faktoren kann man aus jedem Faktor herausziehen“) 

(iii) (w ′ 1 + w ′′ 

1) ∧ w 2 ∧ . . . ∧ w p = w ′ 1 ∧ w 2 ∧ . . . ∧ w p + w ′′ 

1 ∧ w 2 ∧ . . . ∧ w p 

(Das Dachprodukt ist in jedem Faktor linear) 

Bemerke: Wegen der Transpositionsregel müssen wir die Linearität, die in allen Positionen 

gegeben ist, nur für die erste Position aufführen. 

Den oben bewiesenen Satz von der Basis können wir nun auch so formulieren: 

Satz. Es sei {v i : i ∈ I = {1, 2, . . ., n}} eine Basis von V . Wir bezeichnen mit ( I 

p) 

die 

Menge aller aufsteigenden Teilfolgen H der Länge p in I; und wir definieren für jedes 

solche H = ( 1 ≤ i 1 

v H = v i1 ∧ v i2 ∧ . . . ∧ v ip . 

Das System { v H : H ∈ ( I 

p)} 

ist dann eine Basis des Vektorraums 

∧ p 

( 

V 

) 

aller p-Vektoren. 

Die Konstruktion der Grassmann-Algebra 

Die Elemente von ∧ p ( V ) nennt man manchmal auch die alternierenden Multivektoren der 

Stufe p. Den Raum ∧ 1 ( V ) identifiziert man man dem Vektorraum V . Den Skalarenkörper 

K fügt man als den eindimensionalen Raum ∧ 1 ( V ) . Die direkte Summe 

n⊕ 

p∧( 

V 

) 

= K ⊕ V ⊕ 

2∧( 

V 

) 

⊕ · · · ⊕ 

n 

∧( 

V 

) 

p=0 

erhält die Struktur einer assoziativen nichtkommutativen Algebra, indem man das Dachprodukt 

als eine Produktbildung auf diesem 2 n - dimensionalen K-Vektorraum versteht: 

Für faktorisierbare p-Vektoren P ∈ ∧ p ( V ) und Q ∈ ∧ q ( V ) ist P ∧Q der p+q-Vektor, 

der durch das Zusammenfügen der beiden Dachprodukte entsteht. 

Man beachte 

(−1) p·q · Q ∧ P = P ∧ Q. 

( 

P ∧ Q 

) 

∧ R = P ∧ 

( 

Q ∧ R 

) 

. 



Wenn P und Q als Summen von Dachprodukten gegeben sind, dann wird distributiv 

ausmultipliziert. 

(∑ 

a α · w α 1 ∧ · · ) (∑ 

·wα p ∧ b β · w β 1 ∧ · · ) ∑ 

·wβ q = a α b β · w α 1 ∧ · · ·wα p ∧ wβ 1 ∧ · · ·wβ q . 

α 

β 

Beachte: Wenn man einen der Faktoren nach den Regeln der alternierenden Multilinearität 

umrechnet, dann ergibt das auch zulässige Umrechnungen für das Dachprodukt. Die 

Dachproduktbildung ist also in der Grassmann-Algebra wohldefiniert, und sie erfüllt die 

Distributivgesetze. 

Beispiel. Es sei n = 3, p = 2. Eine Basis von V sei {e 1 , e 2 , e 3 }. Die duale Basis sei 

{x, y, z}. Der Raum der 2-Vektoren ist dreidimensional. Seine Elemente haben die Form 

a·e 1 ∧e 2 +b·e 1 ∧e 3 +c·e 2 ∧e 3 . Wir haben hier insofern einen besonderen Fall vor uns, als 

wir jeden 2-Vektor als ein Dachprodukt schreiben können, im Falle a ≠ 0 beispielsweise 

a · e 1 ∧ e 2 + b · e 1 ∧ e 3 + c · e 2 ∧ e 3 = 1 a (a · e 1 − c · e 3 ) ∧ (a · e 2 + b · e 3 ). 

Das ist eine Spezialität der Konstellation p = n − 1. Die 2-Vektoren in einem 3-dimensio 

nalen (reellen) Vektorraum stellt man sich als Flächenstücke vor. Zunächst denkt man 

vielleicht an Parallelogramme, die man noch umformen kann, ohne aus der aufgespannten 

Ebene herauszugehen: a∧(b−c·a) = a∧b = −b∧a = (c·b)∧( 1 a). Die beiden Faktoren 

c 

in der Dachproduktdarstellung bilden eine Basis der betreffenden Ebene. 

Die 3-Vektoren im 3-dimensionalen (reellen) Vektorraum stellt man sich als Raumstücke 

vor. Man kann sie in ihrer Größe vergleichen. Im reellen Fall bringen sie auch noch 

eine Orientierung zum Ausdruck. Wenn nämlich e ′ 1 ∧ e′ 2 ∧ e′ 3 

ein positives Vielfaches von 

e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ist, dann sagt man, die beiden Basen (in der gegebenen Aufzählung ihrer 

Elemente) sind gleich orientiert. 

Sprechweise 5.11.1. Wir haben hier ein Element der Grassmann-Algebra zu V , welches 

homogen ist vom Grade p einen p-Vektor genannt. Manchmal nennt man ein solches 

Objekt auch einen alternierenden Tensor der Stufe p zum Vektorraum V . Ein homogenes 

Element der Grassmann-Algebra ∧ p ( V ∗) heisst eine alternierende p-Form für den 

Vektorraum V . Besonders wichtig sind die Dachprodukte von p Vektoren und die Dachprodukte 

von p Linearformen. Man nennt sie die faktorisierbaren p-Vektoren bzw. die 

faktorisierbaren Multilinearformen. 

Mit den faktorisierbaren Dachprodukten kann man eine überzeugende geometrische 

Vorstellung verbinden. Man betrachtet die Vielfachen eines p-fachen Dachprodukts als 

spezielle Geraden in der Grassmann-Algebra, welche in einer natürlichen eineindeutigen 

Beziehung zu den p-dimensionalen Teilvektorräumen von V stehen. Wenn nämlich P = 

w 1 ∧ w 2 ∧ . . . ∧w p ein nichtverschwindendes p-faches Dachprodukt ist, dann spannen die 

beteiligten w j einen p-dimensionalen Teilvektorraum auf; und ein Vektor w liegt genau 

αβ 



dann in diesem Teilraum, wenn er P annihiliert in dem Sinne 0 = P ∧ w. Jeden (n − 1)- 

Vektor P kann als ein (n − 1)-faches Dachprodukt schreiben. Man muss sich nur eine 

Basis des Annihilators besorgen. Wenn p /∈ {1, n − 1}, dann kann man nicht jeden p- 

Vektor als ein p-faches Dachprodukt schreiben. Die Algebraiker nennen die Menge der 

faktorisierbaren Dachprodukte die Grassmann-Mannigfaltigkeit zu V . 

Determinanten und Unterdeterminanaten 

Im Matrizenkalkül interessiert man sich für den 

Satz 5.11.3 (Charakterisierung der Determinante). Auf der Menge aller I × I-Matrizen 

mit Einträgen aus K gibt es genau eine K-wertige Funktion, welche als Funktion der 

Spalten (oder Zeilen) multilinear und alternierend ist, und in der Einheitsmatrix den Wert 

1 hat. Diese Funktion det(·) ist multiplikativ, d. h. es gilt det(A · B) = det(A) det(B). 

Beweis 

Wenn es eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften gibt, dann verschwindet diese 

für die singulären Matrizen; denn man kann in diesem Falle eine Zeile als Linearkombination 

der übrigen Zeilen schreiben. Bei einer nichsingulären Matrix können wir durch eine 

Folge von elementaren Spaltenumformungen eine Matrix erzeugen, die in jeder Zeile genau 

einen nichtverschwindenden Eintrag hat. (Von den gegebenen Zeilen werden immer wieder 

Vielfache der übrigen Spalten subtrahiert, bis diese Form erreicht ist; diese Umformungen 

ändern nicht den Wert der Determinante.) Die Positionen der nichtverschwindenden 

Einträge bestimmen eine Permutation der Indexmenge I. Der Wert der Determinante ist 

das Produkt der nichtverschwindenden Einträge multipliziert mit dem Vorzeichen dieser 

Permutation.– Das ist der Eindeutigkeitsbeweis. 

Die Existenz ergibt sich aus der expliziten Formel ( ‘Formel von Leibniz’) 

(59) det A = ∑ sign 

( ) 

i1 i 2 . . . i p 

1 2 . . . p 

· a i 1 

1 a i 2 

2 · · ·a ip 

p . 

Betrachten wir für eine nichtsinguläre Matrix B die Funktion A ↦−→ det(A · B). Sie ist 

multilinear und alternierend und daher ein Vielfaches der Determinantenfunktion. Dies 

beweist die Multiplikativität. 

Man bemerke, dass in unserer Formulierung des Satzes die Anordung der Indexmenge 

keine Rolle spielt. Man kann auf die Festlegung einer Reihenfolge verzichten, weil man eine 

ausgezeichnete Bijektion der Menge der Spaltenindizes auf die Menge der Zeilenindizes 

hat, die Identität nämlich. Wenn man die Determinante einer I ×J-Matrix definieren will, 

dann geht das nur, wenn man festlegt, welche Bijektionen I ↔ J als die geraden, und 

welche als die ungeraden gelten sollen. Es geht nicht darum, die Zeilen und Spalten in einer 

fixen Reihenfolge aufzuschreiben; man muss nur daran denken, dass die mit elementaren 

Umformungen umgeformten Zeilen und Spalten ihren Namen behalten. 



Die Minoren einer Matrix 

Für die nächsten Überlegungen wird es bequem sein, wenn wir uns die Indexmengen 

vollständig geordnet denken. Wir wollen Teilmatrizen A K H einer gegebenen I ×J-Matrix 

A I J betrachten, die dadurch entstehen, dass man die Zeilen streicht, die nicht zu K 

gehören und die Spalten, die nicht zu H gehören |K| = |H|. Die Determinantenfunktionen 

det A K H zu solchen Teilmatrizen sollen die mit der Reihenfolge verträglichen Bijektionen 

als gerade Bijektionen betrachten. 

det A K H 

heißt der Minor zu K × H 

Wir übernehmen die Anordnung der Zeilen und Spalten von der ursprünglichen Anordnung 

in der Matrix A. 

1 . . . H . . . n 

1 

. 

◦ ◦ ◦ 

◦ ◦ ◦ 

K 

◦ ◦ ◦ 

. 

m 

Die Entwicklung nach der ersten Spalte 

Wir denken uns die Spalten der Matrix A als Linearkombination der Einheitsspalten e i 



gegeben: v j = ∑ i e i · a i j. Es gilt 

(60) 

v 1 ∧ v 2 ∧ . . . ∧ v n = v 1 ∧ ∑ 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in 

i 2 ...i n 

= e 1 · a 1 1 ∧ ∑ 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in + 

= 

i 2 ...i n≠1 

+e 2 · a 2 1 ∧ ∑ 

i 2 ...i n≠2 

+ · · · · · · 

+e n · a n 1 ∧ ∑ 

i 2 ...i n≠n 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in + 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in 

( 

) 

a 1 1C 1 1 + a 2 1C 1 2 + · + a n 1C 1 n 

· e 1 ∧ e 2 ∧ . . . ∧ e n . 

Hierbei ist (−1) i+1 C i 1 der Minor, wo die i-te Zeile und die erste Spalte gestrichen ist. Der 

richtige, aber etwas komplizierte Name wäre C i 1 = (−1) i+1 det A I\{i} J\{1}. Die Vorzeichen 

kommen daher, dass der voranstehende Faktor e i an der i-ten Stelle eingegliedert wird. 

Hinweis: Früher brauchte man für die Zahlen C j i den Namen Cofaktor. Die Cofaktoren 

sind bis auf den gemeinsamen Faktor det A die Einträge der inversen Matrix A −1 . Wir 

formulieren das als 

Satz 5.11.4. Wenn C j i = (−1) i+j det A I\{i} J\{j}, dann gilt 

(61) 

∑ 

C j i · a i k = 

i 

{ 

det A 

falls k = j 

0 falls k ≠ j . 

Den Fall k = j = 1 haben wir eben abgehandelt. Wenn wir in der ersten Spalte nicht 

v 1 , sondern ein anderes v k eingesetzt hätten, dann hätten wir den Wert 0 erhalten. Die 

Fälle j ≠ 1 erledigen sich durch Umstellen. 

Als Konsequenz ergibt sich die sog Cramer’sche Regel. 

Satz 5.11.5. Wenn A eine nichtsinguläre Matrix ist, dann hat das Gleichungssystem 

A · x = b für jedes b genau eine Lösung, und die ergibt sich mit Hilfe der Matrix C der 

Cofaktoren. 

x = A −1 · b = 1 

det A · C · b. 

Für den Eintrag x j des Lösungsvektors in der Position j bedeutet das 

) 

x j · det A = det 

(v 1 , · · · , b, · · · , v n . 



Beweis: Bei der Lösung des Gleichungssystems geht es darum, die Spalte b = als Linearkombination 

der Spalten v j darzustellen. Wenn wir den Spaltenvektor b = (∑ ) 

x j v j 

an der Stelle j ins Dachprodukt einbringen, dann ergibt sich 

(∑ ) 

) 

v 1 ∧ · · · ∧ x j v j ∧ · · · ∧ v n = x j · 

(v 1 ∧ . . . ∧ v n 



5.12 Determinanten und Unterdeterminanten 

Für diejenigen, die noch eine Weile an den klassischen Ausdrucksweisen festhalten wollen, 

präsentieren wir hier einige Resultate der Theorie der p-Formen und p-Vektoren in der 

Sprache des Matrizenkalküls. Vertrautheit mit den Permutationen wird vorausgesetzt, 

ausserdem die Idee der Matrix eines Basiswechsels. Die Idee der Vektorraumdualität wird 

nicht vorausgesetzt, und auch nur wenig Wissen über lineare Gleichungssysteme. 

Im Matrizenkalkül interessiert man sich für den 

CharDet Satz 5.12.1 (Charakterisierung der Determinante). Auf der Menge aller I × I-Matrizen 

mit Einträgen aus K gibt es genau eine K-wertige Funktion, welche als Funktion der Spalten 

(oder Zeilen) multilinear und alternierend ist, und in der Einheitsmatrix E den Wert 

1 hat. Diese Funktion det(·) ist multiplikativ, d. h. es gilt det(A · B) = det(A) det(B). 

Beweis 

Wir beweisen mehr. Wir zeigen, dass der Vektorraum aller alternierenden n-Formen 

auf dem n-dimensionalen Raum aller I-Spalten eindimensional ist. (Diese Formen nennt 

man auch Determinantenfunktionen.) Um eine spezielle alternierende n-Form festzulegen, 

genügt es, ihren Wert in einer einzigen Permutationsmatrix festzulegen. 

Zeigen wir zuerst die Eindeutigkeit: Es sei Φ eine Funktion auf der Menge der angeordneten 

nTupel von I-Spalten mit der Eigenschaft, dass sich ihr Wert nicht ändert, 

wenn man von irgendeiner Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte subtrahiert. Man 

sieht sofort: Bei einer nichsingulären Matrix können wir durch eine Folge solcher Spaltenumformungen 

eine Matrix erzeugen, die in jeder Zeile genau einen nichtverschwindenden 

Eintrag hat. Die Positionen der nichtverschwindenden Einträge bestimmen eine Permutation 

der Indexmenge I. Man nennt Φ eine Determinantenfunktion, wenn ausserdem noch 

die Multiplikation einer Spalte mit dem Faktor c den Wert von Φ mit c multipliziert. 

Es ist nun klar: der Wert der Determinantenfunktion Φ in dem gegebenen angeordneten 

Tupel von Spalten ist das Produkt der nichtverschwindenden Einträge multipliziert mit 

dem Wert in der betreffenden Permutationsmatrix. 

(Im Hinblick auf die Überlegungen unten bemerken wir schon hier, dass wir diese Permutationsmatrix 

wir als eine Bijektion der Menge der Zeilenindizes auf die Menge der 

Spaltenindizes verstehen.) Die Werte in den gleichgerichteten Permutationen unterscheiden 

sich nicht, in entgegengesetzten Permutationen unterscheiden sie sich um den Faktor 

−1. Es gibt also höchstens eine Funktion mit den angegebenen Eigenschaften. Und daraus 

folgt ihre Multiplikativität. Betrachten wir nämlich für eine nichtsinguläre Matrix B die 

Funktion A ↦−→ Φ(A · B). Diese ist multilinear und alternierend und daher bis auf den 

Faktor ΦB = Φ(E · B) die Funktion Φ(·). Determinantenfunktion. 

Die Existenz ergibt sich aus der expliziten Formel ( ‘Formel von Leibniz’) 

(62) det A = ∑ sign 

( ) 

i1 i 2 . . . i p 

· a i 1 

1 2 . . . p 1 a i 2 

2 · · ·a ip 

p . 


5.12 : Determinanten und Unterdeterminanten 83 

Didaktischer Hinweis: Wenn man im elementaren Unterricht erklärt, eine m × n-Matrix 

sei ein rechteckiges Schema von Elementen aus einem Körper, dann denkt man (mehr 

oder weniger bewusst), dass es da eine erste, zweite,...,m-te Zeile gibt, und eine erste, 

zweite, ..., n-te Spalte. Beim Begriff der I × J-Matrix, wie wir ihn verwenden, ist von 

einer Anordnung der Indexmengen I und J nicht die Rede.Und bei Gelegenheiten wie der 

Pivot-Transformation war es sehr bequem, dass wir uns die Zeilen und Spalten in einer 

beliebigen Anordnung aufschreiben durften. Allerdings mussten wir immer darauf, wohin 

die Indizes aus I + J wanderten. Bei uns hatten die Zeilen und Spalten Namen (und 

zunächst einmal keine Positionen). Dabei gingen wir davon aus, dass die Indexmengen I 

und J disjunkt sind. Wenn wir dennoch schon manchmal von einer I×I-Matrix gesprochen 

haben, dann war das ungenau; wir gingen in diesen Fällen davon aus, dass uns (zusätzlich!) 

eine ausgezeichnete Bijektion I ↔ J gegeben ist. 

Den Anfängern wird gesagt, dass sich die Determinantentheorie auf n × n-Matrizen 

bezieht, deren Zeilen und Spalten durch die Zahlen 1, 2, . . ., n identifiziert seien. Dem 

wollen wir nicht unbedingt zustimmen. Es ist natürlich notwendig, darauf hinzuweisen, 

dass die Vertauschung von Zeilen oder Spalten (die man bei Rechnungen schon gern 

einmal ins Spiel bringt) Aufmerksamkeit erfordert, wenn es um Determinanten geht. Man 

muss bedenken: Wenn man von der Determinante einer I × J-Matrix (als einem Skalarl) 

sprechen will, dann geht das nur, wenn man festlegt, für welche Bijektionen I ↔ J die 

Permutationsmatrizen den Wert +1 haben sollen. Wir sollten das vielleicht noch etwas 

genauer sagen: Wenn τ und σ Bijektionen I → J sind, dann nennt man sie gleichgerichtet, 

wenn σ ◦τ −1 eine gerade Permutation ist, andernfalls nennt man sie verschieden gerichtet. 

Die Menge aller Bijektionen zerfällt in zwei Klassen.Und die Frage nach der Determinante 

einer Matrix vom Format I ×J bezieht sich immer auch auf die Entscheidung für eine der 

beiden Klassen gleichgerichteter Bijektionen I ↔ J. Die Formel det(A ·B) = det A ·det B 

ist nur dann richtig, wenn die drei Entscheidungen zusammenpassen; andernfalls ist das 

Vorzeichen zu ändern. 

Was das heisst, wird augenfällig, wenn man an die Matrizen von Basiswechseln denkt. 

Gegeben seien Basen eines Vektorraums V. 

{u i : i ∈ I}, {v j : j ∈ J}, {w k : k ∈ K} mit 

v j = ∑ i 

u i · a i j; 

w k = ∑ j 

v j · b j k = ∑ i 

u i · c i k. 

Wir haben also Matrizen A I J, B J K, C I K = A I J · B J K. Wenn wir die n-fachen Dachprodukte 

in irgendeiner Reihenfolge aufschreiben, dann erhalten wir Skalare a, b, c mit 

(∑ ) (∑ ) 

v j1 ∧ · · · ∧ v jn = u i1 · a i 1 

j1 ∧ · · · ∧ u in · a in j n 

= a · u 1 ∧ · · · ∧ u n , 

i 1 i n 

w k1 ∧ · · · ∧ w kn = b · v j1 ∧ · · · ∧ v jn = b · a · u 1 ∧ · · · ∧ u n . 

Die Zahlen a, b, c sind bis auf das Vorzeichen die Determinanten von A, B, C. Es 

hängt nicht von der Reihenfolge ab, in welcher wir die v j aufgelistet werden (man wird 



sie natürlich in beiden Gleichungen gleichgerichtet aufzählen), wohl aber von den in den 

Indexmengen I und K gewählten Anordnungen, ob c = a·b richtig ist oder c = −a·b. 

Wenn es bei B um die Rücktransformation geht, wenn also die w-Basis wieder die u-Basis 

ist in der gleichen Ausrichtung, dann haben wir a · b = 1. Die Determinante der inversen 

Matrix ist in jedem Falle die Reziproke der Ausgangsmatrix. 

Fazit: Die Determinante einer I × J-Matrix ist nur bis auf einen Faktor ±1 definiert, 

wenn man keine der beiden Klassen von gleichgerichteten Bijektionen I ↔ als die ‘positive’ 

auszeichnet. Wir können aber darauf hinweisen, dass die Vorzeichenfrage bei den reellen 

Matrizen speziellen Aspekt besitzt. Man kann dort nämlich aufgrund des Vorzeichens 

der Determinanten einen Unterschied machen zwischen den gleichorientierten und den 

verschiedenorientierten Basen.— Und die Orientierung ist in der Tat ein wichtiges Thema 

in der reellen Geometrie. 

Warnung: Die Fragen der Anordnung von Zeilen und Spalten sind ziemlich langweilig 

und unschön. Die folgenden Überlegungen können nur demjenigen Lesern zur Lektüre 

empfohlen werden, der sich eingehend mit verallgemeinerten Dreiecksmatrizen befassen 

will. Wer kein starkes Interesse an Vorzeichenfragen hat, sollte sofort zu unserem ‘Produktsatz’ 

für Dreiecksmatrizen übergehen, welcher die Vorzeichenfrage ausklammert. 

Sprechweise 5.12.1 (Matrizen mit angeordneten Reihen). Für die folgenden Konstruktionen 

wird es nötig sein, dass wir uns die Indexmengen der Matrizen als vollständig 

geordnet denken. Dabei verstehen wir Anordnungen der Indexmengen I und J als injektive 

Abbildungen α : I → N und β : J → N. Wenn wir α(·) und β(·) spezifiziert 

haben dann sprechen wir von einer Matrix mit angeordneten Reihen oder kurz von einer 

angeordneten Matrix. Die i-te Zeile der angeordneten I × J-Matrix heisst die Zeile in der 

Position α(i). Die j-te Spalte heisst die Spalte in der Position β(j). Eine Umordnung der 

Reihen kommt dadurch zustande, dass wir den Wertebereich von α mit einer Permutation 

σ und den Wertebereich von β mit einer Permutation τ permutieren. Im Hinblick auf die 

Determinantenbildung nennen wir das Paar (σ ◦ α, τ ◦ β) eine vorzeichenneutrale Umordnung 

der Reihen, wenn entweder beide Permutationen σ und τ gerade sind oder beide 

ungerade ; wenn die eine Permutation gerade und die andere ungerade ist, dann entsteht 

eine vorzeichenändernde Anordnung der Reihen. 

In vielen Fällen wird der Wertebereich von α(·) die lückenlose Zahlenmenge {1, 2, . . ., m} 

sein, und auch β(J) = {1, 2, . . ., n}. (In diesem Fall sprechen wir von aufgezählten Zeilen 

und Spalte). Wir wollen aber nicht auf einer Aufzählung bestehen, weil wir α(·) und β(·) 

auch dazu benützen wollen, die Reihen von Teilmatrizen anzuordnen; wir können von 

der induzierten Anordnung der Reihen sprechen. Andererseits können wir von der r × r- 

Matrix in der linken oberen Ecke sprechen bzw. von der (n − r) × (n − r)-Matrix in der 

rechten unteren Ecke. Nachdem wir bisher mit Matrizen gearbeitet haben, in welchen eine 

Anordnung überflüssig war, war es kein Problem, von unterteilten Matrizen zu sprechen; 

es ging nur um Partitionen der Indexmengen I und J. 



iIm Hinblick auf das Vorzeichen der Determinanten müssen wir genauer sein, wenn 

es um das Unterteilen einer Matrix geht. Betrachten wir partitionierte Indexmengen I = 

I | +I ‖ und J = J | +J ‖ . Es ist klar, was es heisst, wenn wir sagen, dass wir die Teilmatrix 

A I| J in die linke obere Ecke bringen und gleichzeitig die Teilmatrix | AI‖ J ‖| in die rechte 

untere Ecke, ohne die interne Anordnung der Reihen anzutasten. Eine solche Umordnung 

der Reihen erfordert wohlbestimmte Permutationen σ und τ. Sie kann vorzeichenneutral 

sein oder vorzeichenändernd. 

Betrachten wir als Beispiel das Vorhaben, den Eintrag a∗ in der Position (i∗, j∗) in 

die linke obere zu bringen, ohne die interne Anordnung der Reihen im Rest anzutasten. 

Dabei nehmen wir jetzt aber doch an, dass bei der I ×J-Matrix die Zeilen und die Spalten 

in die Positionen 1, 2, . . ., n positioniert sind. In diesem Fall ist eine vorzeichenändernde 

Umordnung der Reihen genau dann gefordert, wenn α(i∗) + β(j∗) eine ungerade Zahl 

ist. Allgemeiner gilt: Für das Vorhaben, ein Paar (I | , J ‖ in die linke obere Ecke zu 

bringen, ist eine vorzeichenändernde Umordnung der Reihen genau dann erforderlich, 

wenn ∑ i∈I 

α(i) + ∑ | j∈J 

β(j) ungerade ist. Es ist dieser Fall, der uns unten im Satz 5.8.3 

| 

das negative Vorzeichen abverlangt. 

Verallgemeinerte Dreiecksmatrizen 

Wenn die Zeilen und Spalten einer I × J-Matrix mit |I| = |J| = n angeordnet sind, dann 

ist klar, was eine untere (bzw. obere) Dreiecksmatrix ist. Wir wollen nun auch gewisse 

unterteilte Matrizen als verallgemeinerte Dreiecksmatrizen verstehen. 

Sprechweise 5.12.2. Es seien Partitionen der Indexmengen gegeben I = I 1 +I 2 +· · ·+I l , 

J = J 1 + J 2 + · · · + J l mit |I 1 | = |J 1 | = n 1 ; |I 2 | = |J 2 | = n 2 ; . . .; |I l | = |J l | = n l Wir sagen, 

die I × J-Matrix sei eine obere Dreicksmatrix bzgl. der Ausschöpfungen I 1 ⊂ I 1 + I 2 ⊂ 

· · · ⊂ I 1 + I 2 + · · · + I l = I und J 1 ⊂ J 1 + j 2 ⊂ · · · ⊂ J 1 + J 2 + · · · + J l = J, wenn die 

Teilmatrizen ‘unter der Diagonale’ Nullmatrizen sind: A Is J t 

= 0 für s > t. 

A I J = 

⎛ 

⎞ 

A I 1 

J1 A I 1 

J2 A I 1 

J3 

⎜ 0 A I 2 

J2 A I 2 

J3 

⎟ 

⎝ 

⎠ . 

0 0 A I 3 

J3 

Satz 5.12.2 (Produkte von Dreiecksmatrizen). Das Produkt oberer Dreiecksmatrizen ist 

eine obere Dreiecksmatrix; das Produkt unterer Dreiecksmatrizen ist eine untere Dreiecksmatrix, 

Die Determinante einer oberen (oder unteren) Dreiecksmatrix ist (bis auf das 

Vorzeichen) das Produkt der Determinanten entlang der Diagonalen. 

Beweis 

Für die üblichen Dreicksmatrizen, wo die Indexmenge in Einerschritten ausgeschöpft wird, 



liegt der Beweis auf der Hand. In der Leibnizformel gibt es nämlich in diesem Fall nur 

eine Permutation, die einen Beitrag zur Determinante leistet, und zwar die Permutation 

entlang der Diagonalen. 

Im allgemeinen Fall muss man zuerst einmal präzisieren. Es ist selbstverständlich zu 

fordern. dass die unterteilten Faktoren A = A I J und B = B J K in einer mit der Unterteilung 

verträglichen Weise miteinander multipliziert werden, d. h. , dass die Ausschöpfung 

der Menge J der Spaltenindizes von A dieselbe ist wie die Ausschöpfung der Menge der 

Zeilenindizes von B. In diesem Fall entstehen unter der Diagonalen Nullmatrizen und 

entlang der Diagonalen die Matrizen C 11 = A 11 · B 11 , C 22 = A 22 · B 22 , . . .,C ll = A ll · B ll . 

Betrachten wir diejenigen I×I-Matrizen, die bezüglich der Ausschöpfung I 1 ⊂ I 1 +I 2 ⊂ 

· · · ⊂ I 1 + I 2 + · · · + I l = I (für Zeilen und Spalten) untere Dreieckmatrizen sind. Wenn 

man die Determinantenfunktion einschränkt auf die Menge derjenigen unteren Dreiecksmatrizen, 

die in allen Diagonalkästen ausser dem ersten die Einheitsmatrix haben, dann 

erhält man nach dem Satz 78 die Determinantenfunktion auf der Menge aller Matrizen 

vom Format I 1 × I 1 . Dies gilt ebenso für die übrigen quadratischen Teilmatrizen. Und so 

ergibt sich die Produktzerlegung der Determinantenfunktion auf der Menge der verallgemeinerten 

unteren Dreiecksmatrizen zur gegebenen Ausschöpfung der Indexmenge. 

Wir diskutieren eine ‘Anwendung’ auf die Thematik des Pivot-Austauschs. Bei einem 

maximalen Austausch für eine nichtsinguläre Matrix A I J gelangen wir zur inversen Matrix 

(vom Format J × I). Auf dem Weg haben wir Pivot-Positionen (i 1 , j 1 ), . . .,(i n , j n ) 

zu wählen (und dort jeweils den Einträge α 1 , . . .,α n durch die Reziprokwerte 1 

α 1 

, . . ., 1 

α n 

zu ersetzen). Die Zahlen α k sollte man sich merken. Ihr Produkt ergibt nämlich die Determinante 

der invertierten Matrix. Die Aussage werden wir allerdings nur bis auf das 

Vorzeichen beweisen; für einen Satz, der auch das Vorzeichen richtig liefert, bräuchten wir 

die diffizilen Aussagen über Matrizen mit angeordneten Reihen, die wir oben entwickelt 

haben. 

DetPiv Satz 5.12.3 (Die Determinanten zum Pivot-Austausch). Es seien wie im Satz ?? A und 

B unterteilte Matrizen 

A = 

mit A 11 · B 11 = E und 

( ) 

A11 A 12 

A 21 A 22 

B = 

( ) 

B11 B 12 

B 21 B 22 

B 21 = −A 21 · A −1 

11 , B 12 = A −1 

11 · A 12, B 22 = A 22 − A 21 · A −1 

11 · A 12. 

Es gilt dann ± det A = det A 11 · det B 22 . 

(Das Vorzeichen werden wir später diskutieren.) 

Beweis 

Das Prinzip, aber auch die Vorzeichenproblematik wird deutlich, wenn wir zuerst den Fall 



eines einfachen Pivot- Tauschs für eine 2 × 2-Matrix betrachten. 

A = 

( ) a b 

c d 

( 1 

) 

b 

B = a a 

− c d − c 1b a a 

Die behauptete Produktdarstellung von det A ist richtig, wenn wir die gegeben Aufzählung 

der Reihen als Repräsentanten einer positiven Bijektion nehmen. Wenn wir um die Pivot- 

Position (1, 2) ‘drehen’, dann ergibt das Produkt der beiden Pivoteinträge den Wert bc − 

ad. 

Den Beweis können wir aber auch so führen, dass er für eine beliebige invertierbare 

Matrix am linken oberen Ende eine n × n-Matrix passt. Es gilt 

( ) ( 

A11 A 12 E −A 

−1 

11 A ) 

12 

= 

A 22 0 E 

A 21 

( ) 

A11 0 

A 21 B 22 

Die Determinanten der neu eingeführten verallgemeinerten Dreiecksmatrizen liefern das 

Ergebnis. Nach diesem Muster berechnen wir eine Determinante, die uns später noch 

beschäftigen wird. 

Wir wollen die Konstruktion der k-Vektoren auf einige klassische Themen der Determinantenlehre 

anwenden. 

I. Die Minoren einer Matrix 

Wenn man aus einer m ×n-Matrix A einige Spalten und einige Zeilen streicht, sodass nur 

noch die Zeilen zu den Indizes ∈ K und die Spalten zu den Indizes ∈ H übrig bleiben 

( 

|H| = k = |K| 

) 

, so erhält man eine k × k-Teilmatrix, die wir mit A 

K 

H bezeichnen. 

(Mit dem oberen Index werden bei uns die Zeilen indiziert, der untere Index verweist auf 

Spalten.) 

det A K H heißt der Minor zu K × H . 

Hier übernehmen wir die Anordnung der Zeilen und Spalten von der ursprünglichen Anordnung 

in der Matrix A. 

1 ≤ m 1 < m 2 < . . .m k ≤ m mit {m 1 , . . .,m k } = K 

1 ≤ n 1 < n 2 . . . < n k ≤ n mit {n 1 , . . .,n k } = H . 



1 . . . H . . . n 

1 

. 

◦ ◦ ◦ 

◦ ◦ ◦ 

K 

◦ ◦ ◦ 

. 

m 

Satz (Spezielle Basiswechsel in Λ k V ) 

Seien {v 1 , . . .,v n } und {w 1 , . . .,w n } Basen von V 

(w 1 , . . .,w n ) = (v 1 , . . .,v n ) · A , w j = ∑ v i · a i j ; 

(v 1 , . . .,v n ) = (w 1 , . . .,w n ) · B , v i = ∑ w j · b j i . 

Für k-Teilmengen K und H ⊆ {1, 2, . . ., n} definieren wir 

v K = v m1 ∧ . . . ∧ v mk mit 1 ≤ m 1 < . . . < m k ≤ m = n 

w H = w n1 ∧ . . . ∧ v nk mit 1 ≤ n 1 < . . . < n k ≤ n. 

Sowohl die {v K : |K| = k} als auch die {w H : |H| = k} sind eine Basis von Λ k V . 

Die Einträge in der Matrix des Basiswechsels sind die Minoren. Es gilt 

w H = ∑ v K · det ( ) 

A K H 

K 

v K = ∑ w H · det ( BK) H . 

H 

Beweis 

Sei n 1 < n 2 < . . . < n k mit {n 1 , . . .,n k } = H. Dann gilt 

w H = (∑ ) (∑ ) 

v i1 · a i 1 

n1 

∧ . . . ∧ vik · a i k 

nk 

= ∑ 

n1 

. . . a i k 

nk · v i1 ∧ . . . ∧ v ik . 

i 1 ...i k 

a i 1 

Wir sammeln nach den (i 1 , . . .,i k ) mit {i 1 , . . .,i k } = K und stellen die Faktoren in aufsteigende 

Reihenfolge. signσ sei das Vorzeichen dieser Permutation. 

w n1 ∧ . . . ∧ w nk = ∑ K 

v K · ∑ signσ · a i 1 

n1 · . . . · a i k 

nk 

= ∑ v K · det ( A K H) 

q.e.d. 



II. Cofaktoren und der Laplace’sche Entwicklungssatz 

Definition 

A = ( a i j) 

sei eine n × n-Matrix. 

Man streiche die h-te Spalte und die k-te Zeile. Man gewinnt den Cofaktor C h k zu ak h (in 

der Matrix A) aus der Determinante dieser Matrix 

Die Minoren einer Matrix 

C h k := (−1) h+k · det A K H . 

Wir wollen Teilmatrizen A K H einer gegebenen I × J-Matrix A I J betrachten, die dadurch 

entstehen, dass man die Zeilen streicht, die nicht zu K gehören und die Spalten, die 

nicht zu H gehören |K| = |H|. Die Determinantenfunktionen det A K H zu solchen Teilmatrizen 

sollen die mit der Reihenfolge verträglichen Bijektionen als gerade Bijektionen 

betrachten. 

det A K H heißt der Minor zu K × H 

Wichtig ist dabei, das wir die Anordnung der Zeilen und Spalten von der ursprünglichen 

Anordnung der Zeilen und Spalten in der großen Matrix A übernehmen. 

1 ≤ m 1 < m 2 < . . .m k ≤ m mit {m 1 , . . .,m k } = K 

1 ≤ n 1 < n 2 . . . < n k ≤ n mit {n 1 , . . .,n k } = H . 

1 . . . H . . . n 

1 

. 

◦ ◦ ◦ 

◦ ◦ ◦ 

K 

◦ ◦ ◦ 

. 

m 



Die Entwicklung nach der ersten Spalte 

Wir denken uns die Spalten der Matrix A als Linearkombination der Einheitsspalten e i 

gegeben: v j = ∑ i e i · a i j. Es gilt 

(63) 

v 1 ∧ v 2 ∧ . . . ∧ v n = v 1 ∧ ∑ 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in 

i 2 ...i n 

= e 1 · a 1 1 ∧ ∑ 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in + 

= 

i 2 ...i n≠1 

+e 2 · a 2 1 ∧ ∑ 

i 2 ...i n≠2 

+ · · · · · · 

+e n · a n 1 ∧ ∑ 

i 2 ...i n≠n 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in + 

a i 2 2 · · ·a in n · e i2 ∧ · · · ∧ e in 

( 

) 

a 1 1C 1 1 + a 2 1C 1 2 + · + a n 1C 1 n 

· e 1 ∧ e 2 ∧ . . . ∧ e n . 

Hierbei ist (−1) i+1 C 1 i der Minor, wo die i-te Zeile und die erste Spalte gestrichen ist. Der 

richtige, aber etwas komplizierte Name wäre C 1 i = (−1) i+1 det A I\{i} J\{1}. Die Vorzeichen 

kommen daher, dass der voranstehende Faktor e i an der i-ten Stelle eingegliedert wird. 

Hinweis: Früher brauchte man für die Zahlen C j i den Namen Cofaktor. Die Cofaktoren 

sind bis auf den gemeinsamen Faktor det A die Einträge der inversen Matrix A −1 . Wir 

formulieren das als 

Satz 5.12.4. Wenn C j i = (−1) i+j det A I\{i} J\{j}, dann gilt 

(64) 

∑ 

C j i · a i k = 

i 

{ 

det A 

falls k = j 

0 falls k ≠ j . 

Den Fall k = j = 1 haben wir eben abgehandelt. Wenn wir in der ersten Spalte nicht 

v 1 , sondern ein anderes v k eingesetzt hätten, dann hätten wir den Wert 0 erhalten. Die 

Fälle j ≠ 1 erledigen sich durch Umstellen. 

Als Konsequenz ergibt sich die sog Cramer’sche Regel. 

Satz 5.12.5. Wenn A eine nichtsinguläre Matrix ist, dann hat das Gleichungssystem 

A · x = b für jedes b genau eine Lösung, und die ergibt sich mit Hilfe der Matrix C der 

Cofaktoren. 

x = A −1 · b = 1 

det A · C · b. 

Für den Eintrag x j des Lösungsvektors in der Position j bedeutet das 

) 

x j · det A = det 

(v 1 , · · · , b, · · · , v n . 



Beweis: Bei der Lösung des Gleichungssystems geht es darum, die Spalte b = als Linearkombination 

der Spalten v j darzustellen. Wenn wir den Spaltenvektor b = (∑ ) 

x j v j 

an der Stelle j ins Dachprodukt einbringen, dann ergibt sich 

(∑ ) 

) 

v 1 ∧ · · · ∧ x j v j ∧ · · · ∧ v n = x j · 

(v 1 ∧ . . . ∧ v n 



5.13 Material 

Alte Tableau-Versuche 

Bsp1 Beispiel 5.13.1. [Erstes Zahlenbeispiel] 

u 1 1 ∗ 2 4 1 v 1 1 2 4 1 

u 2 1 1 1 0 u 2 −1 −1 ∗ −3 −1 

u 3 −1 0 2 1 u 3 1 2 6 2 

= v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = u 1 = v 2 = v 3 = v 4 

v 1 −1 2 −2 −1 v 1 A −1 

11 . B 21 

v 2 1 −1 3 1 v 2 . . . . . . .... . . . 

u 3 −1 2 0 0 u 3 −1 2 0 0 

= u 1 = u 2 = v 3 = v 4 = u 1 = u 2 = v 3 = v 4 

Die Nullmatrix in der rechten unteren Ecke (genauer gesagt: die Zeile (0, 0)) bedeutet 

für die ursprüngliche Matrix A 22 − A 21 A −1 

11 A 12 = 0. Und in der Tat haben wir 

A 21 A −1 

11 A 12 = ( −1 0 ) ( ) ( ) 

−1 2 4 1 

= ( 2 1 ) = A 

1 −1 1 0 

22 . 

Bsp2 Beispiel 5.13.2 (Zweites Zahlenbeispiel). Die Matrix im folgenden Beispiel hat den Rang 

3. Wir können die 3×3-Matrix in der linken oberen Ecke invertieren. Die Rechenergebnisse 



u 1 1 ∗ 2 4 1 v 1 1 2 4 1 

u 2 1 1 1 0 u 2 −1 −1 ∗ −3 −1 

u 3 −1 0 1 2 u 3 1 2 5 3 

= v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = u 1 = v 2 = v 3 = v 4 

v 1 −1 2 −2 −1 v 1 1 −2 −1 1 

v 2 1 −1 3 1 v 2 −2 5 3 4 

u 3 −1 2 −1 ∗ 1 v 3 1 −2 −1 −1 

= u 1 = u 2 = v 3 = v 4 = u 1 = u 2 = u 3 = v 4 

u 1 1 ∗ 2 4 1 v 1 1 2 4 1 

u 2 1 1 1 0 u 2 −1 −1 ∗ −3 −1 

u 3 −1 0 1 2 u 3 1 2 5 3 

= v 1 = v 2 = v 3 = v 4 = u 1 = v 2 = v 3 = v 4 

v 1 −1 2 −2 −1 v 1 1 −2 −1 1 

v 2 1 −1 3 1 v 2 −2 5 3 4 

u 3 −1 2 −1 ∗ 1 v 3 1 −2 −1 −1 

= u 1 = u 2 = v 3 = v 4 = u 1 = u 2 = u 3 = v 4 


5.13 : Material 93 

J | J ‖ I | J ‖ 

(65) 

I | A 11 . A 12 J | B 11 . B 12 

............... ............... 

I ‖ A 21 . A 22 I ‖ B 21 . B 22 

(66) 

u I | A I| . A I| v 

J | J ‖ J | B J | 

. B J | 

I | J ‖ 

................... ................... 

u I ‖ 

A I‖ 

J | . A I‖ 

J ‖ u I ‖ B I‖ 

I | . B I‖ 

J ‖ 

= v J | = v J ‖ = u I | = v J ‖ 

⎛ 

⎞ 

. 

I | 

A 11 . A 12 

. 

⎜ 

⎝. . . . . . . . . . . . . . . ⎟ 

⎠ 

I ‖ A 21 . A 22 

J | 

I ‖ 

⎛ 

⎞ 

. 

B 11 . B 12 

. 

⎜ 

⎝. . . . . . . . . . . . . . . ⎟ 

⎠ 

B 21 . B 22 

J | J ‖ I | J ‖ 

Bemerke 

Für jemanden, der exakt rechnen kann, ist jede Folge (i 1 , j 1 ), . . ., (i r , j r ), für welche die 

entsprechenden k × k-Matrizen (für k = 1, . . .,r) invertierbar sind, eine mögliche Pivot- 

Wahl. Solche Folgen gibt es nach Satz 4 in V.2. 

Die Numeriker wissen, dass es ” 

schlecht konditionierte“ Matrizen gibt; das sind Matrizen, 

bei welchen eine einigermaßen zuverlässige Inversion hohen Rechenaufwand erfordert. Mit 

dieser Problematik wollen wir uns nicht befassen. In unseren Zahlenbeispielen konnten wir 

die Pivots entlang der Diagonale wählen. Wir würden die Wahl anderer Pivot-Position 

bevorzugen, wenn wir nach (k − 1) Austauschschritten in der Position (k, k) einen sehr 

kleinen Eintrag antreffen, wie im folgenden Zahlenbeispiel: 

Drittes Zahlenbeispiel 

Wir betrachten das Gleichungssystem zur gestörten Matrix 

⎛ ⎞ 

1 1 0 

A ε = ⎝ 1 1 + ε 2 ⎠ 

0 

1 

2 

Die inverse Matrix A −1 

ε sollte nahe bei A −1 

0 liegen. Durch schlechte Pivot-Wahl würden 

aber problematische Zwischenresultate auftreten; die linke obere 2 ×2-Matrix ist nämlich 

1 

2 



nahe an einer singulären Matrix. Wir wählen (1, 1), (3, 3), (2, 2) als unsere Pivots. 

x 1 x 2 x 3 y 1 x 2 x 3 

1 ∗ 1 0 = −y 1 1 1 0 = −x 1 

1 1 + ε 2 = −y 2 −1 ε 2 = −y 2 

0 

1 

2 

1 

= −y 3 1 

0 

2 2 

1 ∗ 

2 

= −y 3 

y 1 x 2 y 3 y 1 y 2 y 3 

1 1 0 = −x 1 1 1 

und für 

−2 = −x 1 

2 2 

−1 (ε − 2) ∗ −4 = −y 2 1 

ε = 0 − 1 2 = −x 2 

2 2 

0 1 2 = −x 3 weiter − 1 1 

0 = −x 3 

2 2 

Die Inverse von A ε ergibt sich ganz harmlos als eine Matrix in der Nähe von 

⎛ ⎞ 

A −1 

0 = 1 1 1 −4 

⎝ 1 −1 4 ⎠ 

2 

−1 1 0 

Spaltentableau Wir haben oben ein Gleichungssystem durch ein Zeilentableau ausgedrückt. 

Ebenso interessant ist das Spaltentableau. Diesem wollen wir hier aber eine andere 

Interpretation geben. 

Gegeben sei ein System von I-Spalten {w j : j ∈ J}. Der i-te Eintrag in w j sei a i j . Wenn 

wir mit u i die i-te Einheitsspalte bezeichnen, dann haben wir 

Dies schreiben wir als ein Spaltentableau 

w j = ∑ u i · a i j für j ∈ J . 

u 1 

. 

u m 

= w 1 . . . = w n 

A 

Wenn a 1 1 ≠ 0, dann ist {w 1, u 2 , . . .,u m } eine Basis und die weiteren w j werden mittels des 

ausgetauschten Tableaus durch die neue Basis ausgedrückt. Das haben wir bereits in V1 

gesehen. (Steinitz’sches Austauschlemma). Wir wollen möglichst viele u i gegen passende 

w j austauschen. Damit gelangen wir zum vollständig ausgetauschten Tableau. 

w | B | | 

. B | || 

............... 

u || B || 

| 

. 0 

= u | . . . = w || 



Das r-Tupel w | ist eine Basis von span{w j : j ∈ J}. Die Matrix B | || 

w j aus den Elementen dieser Basis linear kombiniert werden: 

zeigt, wie die übrigen 

w | · B | || = w || . 

Auch die übrigen Blöcke haben interessante Interpretationen. Bevor wir das ausführen, 

wollen wir einen matrizentheoretischen Satz über alle möglichen Zwischenergebnisse beweisen. 

Satz 

Durch eine Serie von Pivot-Transformationen sei ein äquivalentes Tableau entstanden. 

Aus der (I | + I || ) × (J | + J || )-Matrix A sei die (J | + I || ) × (I | + J || )-Matrix B entstanden. 

Es gilt dann für die Blöcke 

(i) B | | = (A| | )−1 

(ii) B | || = (A| | )−1 · A | || 

B || 

| 

= −A || 

| 

· (A | | )−1 

(iii) B || 

|| = A|| || − A|| | 

· (A | | )−1 · A | || 

Zweites Zahlenbeispiel mit Leerstellen 

Bsp2 Beispiel 5.13.3 (Zweites Zahlenbeispiel). Die Matrix im folgenden Beispiel hat den Rang 

3. Wir können die 3×3-Matrix in der linken oberen Ecke invertieren. Die Rechenergebnisse 



j 1 j 2 j 3 j 4 i 1 j 2 j 3 j 4 

i 1 1 ∗ +1 0 2 j 1 +1 +1 0 2 

i 2 +1 1 + ε +2 0 i 2 −1 ε +2 −2 

i 3 0 + 1 2 

+ 1 2 

−1 i 3 0 + 1 2 

1 

2 

∗ 

−1 

i 1 j 2 i 3 j 4 i 1 i 2 i 3 j 4 

1 1 

j 1 +1 +1 0 +2 und für j 1 −2 +2 

2 2 

i 2 −1 (ε − 2) ∗ 1 

−4 0 ε = 0 j 2 − 1 +2 0 

2 2 

j 3 0 +1 +2 −2 weiter j 3 − 1 1 

0 −2 

2 2 



x 1 x 2 x 3 −1 0 x 2 x 3 −1 

−1 2 1 −2 = 0 2 ∗ 5 −4 = 0 

3 −8 −2 4 = 0 −8 −14 10 = 0 

1 ∗ 0 4 −2 = 0 1 0 4 −2 = −x 1 

(67) 

0 0 x 3 −1 0 0 0 −1 

1/2 5/2 −4/2 = −x 2 1/2 = −x 2 

−6 ∗ 6 = 0 −1/6 −1 = −x 3 

4 −2 = −x 1 2 = −x 1 

( 

B11 = A −1 

11 B 12 = A −1 

11 A ) 

12 

B 21 = −A 21 · A −1 

11 B 22 = A 22 − A 21 · A −1 

11 · A 12 

x 1 x 2 x 3 −1 x 1 x 2 x 3 −1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

u 1 . = M u 1 . = M 

= v 1 = v 2 = v 3 = m = v 1 = v 2 = v 3 = m 

x 1 x 2 x 3 −1 x 1 x 2 x 3 −1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

u 1 . = M u 1 . = M 

= v 1 = v 2 = v 3 = m = v 1 = v 2 = v 3 = m 

x 1 x 2 x 3 −1 x 1 x 2 x 3 −1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

u 1 . = −y 1 u 1 . = −y 1 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

u 1 . = M u 1 . = M 

= v 1 = v 2 = v 3 = m = v 1 = v 2 = v 3 = m 

(68) 

u I | A I| 

J | . A I| 

J ‖ v J | B J | 

I | . B J | 

J ‖ 

u I ‖ 

A I‖ 

J | 

. A I‖ 

J ‖ u I ‖ B I‖ 

I | 

. B I‖ 

J ‖ 



x | x || y | x || 

ξ | A | | 

. A | || 

= −y | η | B | | 

. B | || 

= −x | 

............. ............. 

ξ || A || 

| 

. A || 

|| 

= −y || ξ || B || 

| 

. 0 = −y || 

= η | = η || = ξ | = η || 

x | x || y | x || 

A 11 . A 12 = −y | A −1 

11 . K = −x | 

............. ............. 

A 21 . A 22 = −y || −L . 0 = −y || 

n t b −1 

4 2 2 . 12 = −S 1 

1 0 1 . 2 = −S 2 

0 1 3 . 4 = −S 3 

................ 

3 2 2, 5 . 0 = M 

(69) 

( 

B11 = A −1 

11 B 12 = A −1 

11 A 12 

B 21 = −A 21 · A −1 

11 B 22 = A 22 − A 21 · A −1 

11 · A 12 

) 



Rückblick auf die Determinanten Schon in alten Zeiten, als man noch nichts wusste 

von Matrizenmultiplikation und Matrizenkalkül, hat man gelegentlich einem quadratischen 

Zahlenschema eine Zahl zugeordnet, die man heute (nach dem Vorschlag von Gauss, 

1801) die Determinante nennt. Man sagt, die Determinanten gehen auf Leibniz zurück, 

obwohl Wissenschaftshistoriker herausgefunden haben, dass der japanische Wissenschaftler 

Seki Kowa sie auch schon 1683 kannte. Die Idee geriet in Vergessenheit, bis der Genfer 

Professor Gabriel Cramer um 1750 die Determinanten zur Lösung linearer Gleichungssysteme 

benützte. U. a. Gauss und Cauchy haben mit Determinanten gearbeitet. Im Laufe 

des 19. Jahrhunderts wurde die Idee langsam zum Allgemeingut, vor allem durch eine 

berühmte Arbeit von C. G. Jacobi: ‘De formatione et proprietatibus determinantium’ 

(1841). 

Die Determinanten erscheinen heute als ein Hilfsmittel in verschiedenen Bereichen von 

Algebra und Geometrie. Die Algebraiker sind begeistert von der Tatsache, dass die Determinante 

(ähnlich wie die sog. Diskriminante und die sog. Resolvente) eine Existenzaussage 

in einer algebraischen Formel fasst. Im Rahmen der linearen und multilinearen Algebra 

haben wir uns besonders für die folgenden Aspekte interessiert: 

1. Die (klassische) Determinante ordnet jeder quadratischen K-Matrix A einen Skalar 

det(A) ∈ K zu. Die Zuordnung ist multiplikativ: det(A · B) = det(A) · det(B). 

Die Determinante verschwindet genau dann, wenn A singulär ist. 

2. Eine Determinantenfunktion ∆(·) ordnet jedem angeordneten n-tupel von Vektoren 

in einem n-dimensionalen K-Vektorraum V einen Skalar zu, sodass gilt 

i) ∆(·, . . .,·) ist linear in jeder Position 

ii) ∆(·, . . .,·) wechselt das Vorzeichen, wenn man zwei Einträge gegeneinander 

austauscht. 

Die Menge aller Determinantenfunktionen auf V n ist ein eindimensionaler Vektorraum. 

3. Den Begriff nach 1) kann man auf I × J-Matrizen erweitern, wenn eine Bijektion 

I ↔ J ausgezeichnet ist. Dies ist insbesondere dann wichtig, wenn man sich mit den 

Unterdeterminanten einer gegebenen Matrix befasst. 

4. Den Begriff nach 2) kann man zum Kalkül der alternierenden k-Formen erweitern. 

Die Koeffizienten beim Basiswechsel in der Grassmann-Algebra werden mit Hilfe 

von Determinanten beschrieben.

Tabl_Det_SS_09 - Institut für Mathematik

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?