Skript zur Kombinatorik - Institut für Mathematik - Universität Potsdam

Universität Potsdam V+Ü Stochastik Jahnke / Louis / Kollosche
Institut für Mathematik Skript Kombinatorik WiSe 2008/09
Kombinatorik
Die Stochastik bedient sich einiger Hilfsmittel der
Kombinatorik, die sich mit der Bestimmung der Anzahl
möglicher Anordnungen von Elementen
beschäftigt.
Die Urnenmodelle
Das Herzstück der in der Stochastik verwendeten
Kombinatorik bilden die so genannten Urnenmodellen.
In Anwendungssituationen werden die auftretenden
Probleme dann mit einem der Urnenmodelle assoziiert.
Als Urnen werden in der Kombinatorik Behältnisse
bezeichnet, in denen Objekte, beispielsweise
nummerierte Kugeln, zur Ziehung bereitliegen. Die
Anzahl der Kugeln in einer Urne heiße n, die Anzahl
der zu ziehenden Kugeln heiße k.
Die Kombinatorik untersucht nun, wie viele verschiedene
Möglichkeiten es gibt, k dieser n Kugeln zu ziehen.
Dabei hängt die Anzahl der Möglichkeiten ganz
entscheidend davon ab, ob eine Kugel nach dem Ziehen
in die Urne zurückgelegt wird und nochmal gezogen
werden kann, und ob die Reihenfolge, in der die Kugeln
gezogen werden, eine Rolle spielt. Es ergeben sich
also vier Fälle, die einzeln zu untersuchen sind.
Definition: Eine Stichprobe heiße
– geordnet, wenn die Reihenfolge der
Anordnung der Kugeln eine Rolle
spielt,
– ungeordnet, wenn die Reihenfolge der
Anordnung der Kugeln keine Rolle spielt,
– mit Mehrfachziehung, wenn Kugeln
mehrfach gezogen werden können und
– ohne Mehrfachziehung, wenn Kugeln
höchstens einmal gezogen werden können.
Die Produktregel der Kombinatorik
Wichtig für die Betrachtung der Urnenmodelle ist die
Produktregel der Kombinatorik. Sie beantwortet die
Frage, wie viele mögliche Ausgänge ein Experiment
hat, bei dem in mehreren Schritten verschiedenartige
Ziehungen vorgenommen werden.
Beispielsweise soll in einem Hotel ein Obstteller zum
Frühstück gereicht werden. Auf diesem liegen eine
gelbe oder grüne Birne, weiße oder rote Weintrauben
und ein roter, gelber oder grüner Apfel. Wie viele
verschiedene Obstteller könnte es dann geben?
Beispiele
Ziehung einer geordneten Stichprobe ohne
Mehrfachziehung
Bei einem 100-Meter-Lauf starten acht Läuferinnen.
Wie viele mögliche Zieleinläufe
gibt es?
In diesem Fall entsprechen die Läuferinnen
den Kugeln der Urne. Da jeder Läufer die
Zielmarke nur einmal überquert, gibt es
keine Mehrfachziehung. Da die Reihenfolge
des Zieleinlaufs den Platz bestimmt,
ist die Reihenfolge des Ziehens wichtig, es
handelt sich um eine geordnete Stichprobe.
Ziehung einer geordneten Stichprobe mit
Mehrfachziehung
In einer Schulklasse werden vier Theaterkarten
verlost. Die Karten unterscheiden
sich bezüglich der Platzzuweisung erheblich.
Wie viele mögliche Verteilungen gibt
es, wenn ein Schüler auch mehrere Karten
zugelost bekommen kann?
Hier entsprechen die Schüler den Kugeln.
Da ein Schüler auch mehrere Karten zugelost
bekommen kann, handelt es sich um
eine Stichprobe mit Mehrfachziehung. Da
unterschiedliche Karten verlost werden,
spielt die Reihenfolge der Ziehung eine
Rolle, die Stichprobe ist also geordnet.
Ziehung einer ungeordneten Stichprobe
ohne Mehrfachziehung
Beim Skat bekommt jeder Spieler zehn der
32 Karten. Wie viele unterschiedliche
Blätter kann er erhalten?
Die Karten entsprechen den Kugeln. Da
jede Karte höchstens einmal im Blatt sein
kann, ist die Stichprobe ohne Mehrfachziehung.
Da der Spieler die Karten beliebig
anordnen darf, spielt die Reihenfolge der
Ziehung keine Rolle. Die Stichprobe ist daher
ungeordnet.
Ziehung einer ungeordneten Stichprobe
mit Mehrfachziehung
In einem Restaurant können die Gäste von
7 Gerichten auswählen. Der Ober notiert
die jeweilige Anzahl der Gerichte und
reicht die Bestellung in die Küche. Mit wie
vielen verschiedenen Bestellungen muss
der Koch rechnen?
Die Gerichte entsprechen den Kugeln, die je
Gast einmal gezogen werden. Gerichte
dürfen mehrfach bestellt werden, die Reihenfolge
der Bestellungen spielt keine
Rolle.

Für die Auswahl der Birnen gibt es zwei Möglichkeiten
(G für gelb und N für Grün). Für die
Auswahl der Trauben gibt es ebenfalls zwei
Möglichkeiten (W und R). Für die Auswahl des
Apfels gibt es drei Möglichkeiten (R, G oder N).
Für die Kombination von Birnen und Trauben
gibt es dann schon vier Möglichkeiten:
GW GR
RW RR
Nimmt man den Apfel noch dazu, ergeben sich
zwölf Kombinationen:
GWR GWG GWN
GRR GRG GRN
RWR RWG RWN
RRR RRG RRN
Auffällig ist nun, dass sich gerade 12=2⋅2⋅3
Kombinationen ergeben, wo es doch für
Birnen, Trauben und Äpfel auch je 2 bzw. 3
Auswahlmöglichkeiten gab.
Diese Erkenntnis führt zu folgendem Satz:
Satz (Produktregel der Kombinatorik):
Bei einem Experiment mit k voneinander
unabhängigen Stufen, bei dem jede Stufe n i
Aushänge haben kann, beträgt die Anzahl
der möglichen Ergebnisse der Experiments
n 1
⋅n 2
⋅...⋅n k
.
Beweis: Sei k=2. Dann lassen sich die n 1
Ausgänge der ersten Stufe mit den n 2
Ausgängen der zweiten Stufe in einer
tabellarisch darstellbaren Art verbinden:
1-1 2-1 3-1 ⋯ n 1 -1
1-2 2-2 3-2 ⋯ n 1 -2
1-3 2-3 3-3 ⋯ n 1 -3
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1-n 2 2-n 2 3-n 2 ⋯ n 1 -n 2
Es ergeben sich n 1
⋅n 2 mögliche
Kombinationen. Wenden man dieses
Verfahren mehrfach an, erhält man den Satz.
Geordnete Stichprobe mit Mehrfachziehung
Bei einer geordneten Stichprobe mit Mehrfachziehung
werden aus einer Urne mit
n Kugeln k Stück gezogen, wobei einzelne
Kugeln mehrfach gezogen werden können.
Legt man jede gezogene Kugel noch vor der
Ziehung der nächsten Kugel zurück in die
Urne, dann ist so eine Mehrfachziehung
möglich. Letztlich ist auch die Reihenfolge
der gezogenen Kugeln von Bedeutung. Es ist
also ein Unterschied, ob die Kugeln 1, 3 und 4
oder die Kugeln 3, 4 und 1 (in dieser Reihenfolge)
gezogen wurden.
Nun hat man bei der ersten der k Ziehungen
n verschiedene Kugeln zur Auswahl. Da die
Kugel der ersten Ziehung jedoch vor der Ziehung
der nächsten Kugel zurückgelegt
wird, hat man auch bei der zweiten und jeder
folgenden Ziehung n Möglichkeiten. Mit
der Produktregel der Kombinatorik folgt daher,
dass es bei einer geordneten Stichprobe
mit Mehrfachziehung n⋅n⋯n=n k mögliche
Ziehungen gibt.
Geordnete Stichprobe ohne Mehrfachziehung
Die geordnete Stichprobe kommt ohne
Mehrfachziehung aus. Eine bereits gezogene
Kugel kann also nicht erneut gezogen
werden. Für die Anzahl der Möglichkeiten
in jeder der k Ziehungen bedeutet das, dass
diese abnehmen muss, da ja von Ziehung zu
Ziehung eine Kugel weniger da ist. So gibt
es in der ersten Ziehung n Möglichkeiten, in
der zweiten Ziehung n−1 Möglichkeiten, in
der dritten Ziehung n−2 Möglichkeiten usw.
In der letzten, also k-ten Ziehung muss es
schließlich n−k−1 Ziehungen geben, wie
sich leicht überlegen lässt. Mit der
Produktregel der Kombinatorik ergeben sich
daher n⋅ n−1⋯n−k1 mögliche
Ziehungen. Verwendet man nun noch die
Falkultäts-Schreibweise m!=m⋅ m−1⋯2⋅1,
so lässt sich für die Anzahl der möglichen
geordneten Stichproben ohne
n!
Mehrfachziehung auch
n−k ! schreiben.

Ungeordnete Stichprobe ohne Mehrfachziehung
Zieht man bei einer „vereinfachten“ Lotterie
aus zehn von 0 bis 9 nummerierten Kugeln
drei Stück und bildet aus der Ziehung eine
dreistellige Zahl, wobei keine Zahl doppelt
gezogen werden soll und der Zeitpunkt der
Ziehung die Stelle in der Zahl bestimmen
soll, so hat man eine geordnete Stichprobe
ohne Mehrfachziehung mit
10!
10−3 ! = 10!
7! =10⋅9⋅8=720
möglichen Ausgängen. Zieht man die Zahlen
1, 4, und 7, so wären folgende Ausgänge
denkbar:
1 4 7 1 7 4
4 1 7 4 7 1
7 1 4 7 4 1
Oben wurde gezeigt, dass es
n!
n−n! =n! Möglichkeiten
gibt, alle n Elemente einer n-elementigen
Menge anzuordnen. Für die Zahlen
1, 4 und 7 gibt es also 3!=6 mögliche Anordnungen,
wie die obige Auflistung schon
gezeigt hat.
Interessiert man sich nun jedoch für eine ungeordnete
Stichprobe, beispielsweise, weil
die gezogenen Ziffern sowieso so geordnet
werden, dass die kleinstmögliche Zahl, hier
also 147, entsteht, so reduziert sich die Anzahl
der Möglichkeiten. Da es für jede mögliche
Ziehung von k Kugeln k! mögliche Anordnungen
gibt, ist jeder Ergebnis der ungeordneten
Stichprobe ohne Mehrfachziehung
k!-fach in der geordneten Stichprobe ohne
Mehrfachziehung enthalten. So ergeben sich
für die ungeordnete Stichprobe ohne Mehrfachziehung
Ausgänge.
n!
n−k ! :k!= n!
k! n−k!
mögliche
Ungeordnete Stichprobe mit Mehrfachziehung
Die ungeordnete Stichprobe mit Mehrfachziehung
ist der vielleicht komplizierteste
Fall. Im Folgenden sollen zwei Möglichkeiten
vorgestellt werden, um hier zu einer
allgemeinen Lösung zu gelangen.
Zugang über die Restaurant-Bestellung
Ausgangspunkt sei folgende Überlegung: In
einem Restaurant werden n Gerichte
angeboten. Der Ober nimmt nun die
Bestellungen an einem Tisch auf, an dem k
Gäste sitzen. Die Gäste bestellen jeweils ein
Gericht. Auf einem Zettel, auf dem
untereinander bereits die Namen der n
Gerichte stehen, zeichnet der Ober pro
Bestellung je einen Strich hinter das
jeweilige Gericht. Natürlich können Gerichte
mehrmals bestellt werden und die
Reihenfolge der Bestellung spielt keine
Rolle, da sich sicherlich später jeder
erinnern wird, was er bzw. sie bestellt hat.
Bei vier Gerichten und vier Gästen könnte
ein Bestellzettel wie folgt aussehen:
Hasenkeule mit Kroketten
Wiener Schnitzel mit Pommes frites
Seelachs nach Müllerin Art
Mediterraner Salatteller
II
I
I
Die Frage ist nun, wie viele verschiedene
Bestellzettel der Ober an die Küche weiterreichen
könnte. Eine Antwort auf diese Frage
erhält man, indem man den Bestellzettel
weiter vereinfacht. Dabei schreibt man „I“
pro Bestellung eines Gerichts und „–“, wenn
man in die nächste Zeile, also zum nächsten
Gericht geht. Der Code für obige Bestellung
wäre also:
II––I–I
Offenbar wird jeder Bestellcode dann k
senkrechte und n−1 waagerechte Striche,
also insgesamt nk−1 Zeichen enthalten.
Fraglich ist bloß, wie viele Möglichkeiten es
gibt, diese anzuordnen. Letztlich müssen
aber lediglich k senkrechte Striche auf
nk−1 Stellen verteilt werden, in die
Lücken kommen dann waagerechte Striche.
Dabei spielt die Reihenfolge der einzelnen

Alternativer Zugang
senkrechten Striche keine entscheidende
Rolle, da die Striche ja alle identisch sind. Es
handelt sich also um eine ungeordnete Stichprobe
ohne Wiederholung, für die es
Möglichkeiten gibt.
nk−1 !
k! n−1!
Alternativ stelle man sich folgenden Sachverhalt
vor: In einer Lotterie werden aus einer
Urne mit n Kugeln k gezogen. Gezogene
Kugeln werden notiert und sofort zurückgelegt,
abschließend werden die Kugel der Größe
ihrer Bezifferung nach geordnet. Es handelt
sich also um eine ungeordnete Stichprobe
mit Mehrfachziehung und ein möglicher
Ausgang bei 5 aus 7 Kugeln wäre:
1 2 2 2 7
Addiert man nun zur ersten Zahl 0 hinzu,
zur zweiten Zahl 1, zur dritten Zahl 2 usw., so
erhält man folgendes:
1 2 2 2 7
+0 +1 +2 +3 +4
1 3 4 5 11
Offenbar kann es nun keine mehrfach auftretenden
Zahlen mehr geben. Es handelt
sich nun um eine Stichprobe ohne Mehrfachziehung
aus nk−1 Zahlen. Die Stichprobe
ist immernoch ungeordnet, da die Zahlen eh
ihrer Größe nach geordnet werden. Für diese
ungeordnete Stichprobe ohne Mehrfachziehung
ergeben sich daher
Ausgänge.
nk−1 !
k! n−1! mögliche
Setzt man nun noch n k := n!
k!n−k ! (gesprochen „n über k“), so erhält man folgende Tabelle:
Stichprobe ohne Mehrfachziehung mit Mehrfachziehung
geordnet
n!
n−k !
ungeordnet
n k nk−1
k
n k
bzw. nk−1
n−1