Differentialrechnung im Rn

KAPITEL 3
Differentialrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher
1. Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher
1.1. Beschreibung von Funktionen mehrerer Veränderlicher.
Definition 3.1. Unter einer reellen Funktion von n reellen Veranderlichen
versteht man eine auf einer Teilmenge D ⊆ R n erklarte Funktion f : D → R
mit Werten in R.
Sie ordnet jedem Vektor ⃗x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) T ∈ D des Denitionsbereiches in
eindeutiger Weise eine reelle Zahl y = f(⃗x) = f(x 1 , x 2 , . . . , x n ). Fur Funktionen in 2
oder 3 Veranderlichen schreibt man ublicherweise f(x, y) bzw. f(x, y, z).
Die Zuordnung ⃗x → f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) kann gegeben sein
(1) durch eine explizite Rechenvorschrift:
f(x, y) = 3xy + 2x + 5y − 7,
z
x
y
z= sin x2 y 2
x 2 y 2
(2) durch eine implizite Vorschrift: z = f(x, y) mit
x 2 + y 2 + z 2 = 1,
(3) durch Dierential- oder Intergralgleichungen.
Als besonders vorteilhaft zur Diskussion einer Funktion f : R n ⊇ D → R erweisen
sich bestimmte "
Hilfsfunktionen\ zu betrachten, dies sind:
42

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 43
(1) die Niveaumengen oder Niveauhyperachen von f zum konstanten Niveau
c ∈ R :
z
N c := {⃗x ∈ D : f(⃗x) = c}.
{(x,y,c): c=f(x,y)}
(x,y,f(x,y))
ɛ
{(x,y,z): z=f(x,y)}
y
(x,y) ɛ
D
N c
={(x,y): f(x,y)=c}
x
(2) die "
partiellen\ Funktionen von f :
x i ↦→ f(a 1 , a 2 , . . . , a i−1 , x i , a i+1 , . . . , a n )
mit ⃗a = (a 1 , . . . , a n ) ∈ D konstant,
(3) der Graph der Funktion
Γ f := {(⃗x, f(⃗x); ⃗x ∈ D} ⊆ R n+1 .
Er besteht aus allen Punkten (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) mit x n+1 = f(x 1 , . . . , x n )
und kann somit als Niveauhyperache der Funktion
F (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) = x n+1 − f(x 1 , . . . , x n )
zum Niveau 0 angesehen werden.
Wir nennen F (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) = 0 die implizite und x n+1 = f(x 1 , . . . , x n )
die explizite Darstellung des Graphen Γ f .
Beispiel 3.1. Die Gerade 2x + 3y = 5 ist die Niveaukurve der Funktion
f(x, y) = 2x + 3y zum Niveau c = 5. Die explizite Darstellung lautet y = − 2 3 x + 5 3 .
Beispiel 3.2. Jeder Graph y = h(x) einer (stetigen) Funktion einer Variablen
x kann als Niveaukurve F (x, y) = y − f(x) = 0 einer Funktion zweier Veranderlicher
angesehen werden.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 44
Beispiel 3.3. Fur n = 2 wird der Graph Γ f als Flache im R 3 veranschaulicht.
D ist die Teilmenge der (x, y)-Ebene und uber (x, y) ∈ D liegt der Flachenpunkt
(x, y, z) mit z = f(x, y).
Die Graphen der "
partiellen\ Funktionen z = f(a 1 , y) und z = f(x, a 2 ) entstehen
durch Schnitt des Graphen Γ f mit den zur z-Achse parallelen Ebenen x = a 1 und
y = a 2 .
Uber der Niveaulinie f(x, y) = c in D liegen alle Punkte von Γ f mit derselben
Hohe\ z = c. Sie ist die senkrechte Projektion der Schnittkurve der Flache z =
"
f(x, y) mit der Ebene z = c in der (x, y)-Ebene (Hohenlinien einer Landkarte).
1.2. Grenzwerte und Stetigkeit. Begrie der anschaulichen Geometrie werden
fur beliebige n ∈ N ubernommen. So wird der Abstand zweier Punkte ⃗x, ⃗y ∈ R n
deniert durch
∑
|⃗x − ⃗y| = √ n (x i − y i ) 2 .
Zu jedem festen ⃗a ∈ R n und r > 0 heit die Punktmenge
r-Umgebung von ⃗a.
i=1
U r (⃗a) := {⃗x ∈ R n : |⃗x − ⃗a| < r}
Beispiel 3.4. Fur n = 1 ist U r (a) das oene Intervall a − r < x < a + r.
Fur n = 2 besteht U r (⃗a) aus allen Punkten der Kreisscheibe mit dem Mittelpunkt
⃗a und dem Radius r ohne Randpunkte.
Fur n = 3 ist U r (⃗a) eine Kugel mit dem Radius r um ⃗a ohne die Punkte der
Kugeloberache.
Definition 3.2. Sei D eine Teilmenge des R n .
(1) Ein Punkt ⃗a ∈ D heit innerer Punkt von D, wenn es eine r-
Umgebung von ⃗a gibt, die ganz in D enthalten ist.
(2) D heit offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt ist.
(3) Ein Punkt ⃗ b ∈ R n heit Randpunkt von D, wenn jede r-Umgebung
von ⃗ b sowohl mindestens einen Punkt aus D als auch mindestens
einen nicht zu D gehorenden Punkt enthalt. Die Menge aller Randpunkte
von D heit Rand von D und wird mit ∂D bezeichnet.
(4) Eine Menge heit abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte
enthalt.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 45
Definition 3.3. Sei f : R n ⊇ D → R und ⃗a ∈ D ∩ ∂D.
(1) f hat den Grenzwert c ∈ R, d.h.
lim f(⃗x) = c (bzw. f(⃗x) → c fur ⃗x → ⃗a),
⃗x→⃗a
wenn es zu jeder (beliebig kleinen) Schranke ε > 0 eine r-Umgebung
U r (⃗a) gibt, so dass |f(⃗x) − c| ≤ ε fur alle ⃗x ∈ D ∩ U r (⃗a), ⃗x ≠ ⃗a, gilt.
(2) f heit in ⃗a ∈ D stetig, wenn lim ⃗x→⃗a f(⃗x) = f(⃗a) gilt.
(3) f heit auf D stetig, wenn f in allen ⃗a ∈ D stetig ist.
Die Summe, das Produkt, der Quotient (Nenner ungleich Null) stetiger Funktionen
sind stetig.
z
z
Hier ist f(x,y) in
(x 0
,y 0
)
stetig.
Hier ist f(x,y) in
(x 0
,y 0
) nicht stetig.
U ε
(f(x 0
,y 0
))={z: |f(x 0
,y 0
)-z|

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 46
Folglich ist f uberall stetig.
Beispiel 3.6. Wo ist die Funktion
{
xy
fur(x, y) ≠ (0, 0),
x
f(x, y) =
2 +y 2
0 fur(x, y) = (0, 0)
stetig?
z
x
y
Fur (x, y) ≠ (0, 0) ist f als Quotient von stetigen Funktionen stetig. Es verbleibt
f im Punkt (0, 0) zu untersuchen: Ubergang zu Polarkoordinaten: x = r cos ϕ, y =
r sin ϕ, r ∈ R, ϕ ∈ [0, 2π).
f(x, y) = ˜f(r, ϕ) =
D.h., dass der Grenzwert
r 2 cos ϕ sin ϕ
r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = cos ϕ sin ϕ = 1 2 sin(2ϕ)
lim f(x, y) = lim sin(2ϕ) = sin(2ϕ)
(x,y)→(0,0)
r→0
∀ϕ ∈ [0, 2π).
nicht existiert. Oensichtlich hangt der Grenzwert nicht vom Radius, sondern
vom Winkel ϕ ab. Geometrisch sind Gebilde, wo der Radius r variiert und
der Winkel ϕ konstant ist, Geraden durch den Ursprung, deren Anstieg durch
ϕ bestimmt wird. Wir betrachten deshalb den Grenzwert entlang der Geraden
y = x = t und y = 2x = 2t, mit dem Parameter t ∈ R. Dann gilt fur y = x = t :
t 2
lim
t→0 t 2 + t = 1 2 2 .
Dagegen erhalt man fur y = 2x = 2t :
2t 2
lim
t→0 t 2 + 4t = 2 2 5 .
Der Grenzwert ist aber, wenn er existiert eindeutig bestimmt. Deshalb existiert
der Grenzwert lim (x,y)→(0,0)
xy
x 2 +y 2
lim
x→0
nicht. Dagegen existieren die Grenzwerte
f(x, 0) = 0 = lim f(0, y).
y→0
Bemerkung 3.1. Die Stetigkeit von z = f(x, y) in (x 0 , y 0 ) ergibt sich jedoch
nicht aus der Stetigkeit der "
partiellen\ Funktionen x ↦→ f(x, y 0 ) und
y ↦→ f(x 0 , y). Sondern man musste nachweisen, das fur alle moglichen Kurven
(x(t), y(t)) → (x 0 , y 0 ) die Funktion f(x, y) immer den gleichen Grenzwert hat.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 47
Diese Vorgehensweise ist deshalb nur gunstig, um die Unstetigkeit zu zeigen,
d.h. es gibt zwei Kurven wo verschiedene Grenzwerte angenommen werden.
Beispiel 3.7. Wo ist die Funktion
{
xy 2
fur(x, y) ≠ (0, 0),
f(x, y) =
x 2 +y 4
0 fur(x, y) = (0, 0)
stetig?
z = xyy/(xx+yyyy)
z
x
y
Fur (x, y) ≠ 0 ist die Funktion als Quotient stetiger Funktionen wieder stetig. Es
verbleibt die Funktion in (0, 0) zu untersuchen. Es gilt f(x, 0) = 0, x ∈ R und
f(0, y) = 0, y ∈ R. Trotzdem ist f(x, y) in (0, 0) nicht stetig, da bei Annaherung
langs der Geraden ( t
, t 4 2)
gilt
lim
t→0
t t 2
4 4
t 2 + t4
4 16
t 3
= lim
t→0 4t 2 + t = lim 4 t→0
aber bei der Annaherung langs (t 2 , t) gilt
t 2 t 2
lim
t→0 t 4 + t = lim 1
4 t→0 2 = 1 2 .
1.3. Partielle Ableitungen und Gradient.
t
4 + t 2 = 0
Definition 3.4. Sei D ⊆ R n oen, f : D → R und ⃗a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∈ D.
Existiert die Ableitung der "
partiellen\ Funktion
x i ↦→ f(a 1 , . . . , a i−1 , x i , a i+1 , . . . , a n )
an der Stelle x i = a i , so nennt man diese die partielle Ableitung von f nach
x i im Punkt ⃗a; sie wird mit
bezeichnet.
∂f(⃗x)
∂x i
∣
∣∣∣⃗x=⃗a
oder
∂f
∂x i
(⃗a)
oderf xi (⃗a)
Die Berechnung erfolgt wie fur eine Funktion einer Veranderlichen. Es gilt
∂f(⃗x)
∂x i
:= lim
t→0
1
t [f(x 1, . . . , x i + t, . . . , x n ) − f(x 1 , . . . , x i , . . . , x n )] = lim
t→0
1
t [f(⃗x + t⃗e i) − f(⃗x)].

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 48
Bezeichnungen fur hohere partielle Ableitungen:
f xx = ∂2 f
∂x 2 ,
f xy = (f x ) y = ∂ ∂y
( ) ∂f
, . . .
∂x
Definition 3.5. f heit (stetig) partiell dierenzierbar, wenn alle partiellen
Ableitungen f xi existieren (und stetig sind).
Beispiel 3.8. f(x, y) = x 2 y 3 + y ln x, (x > 0). Dann sind die 1. partiellen
Ableitungen:
f x (x, y) = 2xy 3 + y 1 x ,
f y(x, y) = x 2 3y 2 + ln x
und die 2. partiellen Ableitungen:
f xx (x, y) = xy 3 − y x 2 , f yy(x, y) = 6x 2 y, f xy (x, y) = 6xy 2 + 1 x = f yx(x, y).
Definition 3.6. f heit k-mal (stetig) partiell dierenzierbar, wenn alle k-
ten partiellen Ableitungen f xi existieren (und stetig sind).
Satz 3.1. Satz von Schwarz. Fur jede zweimal stetig partiell dierenzierbare
Funktion f : D → R, D ⊆ R n oen, gilt
( )
∂ ∂f
= ∂ ( ) ∂f
, 1 ≤ i, j ≤ n.
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i
Definition 3.7. Ist f : D → R partiell dierenzierbar, so heit der Vektor
der ersten partiellen Ableitungen im Punkt ⃗x Gradient von f an der Stelle
⃗x :
⎛ ∂f ⎞
∂x 1
(⃗x)
∂f
∂x
grad f(⃗x) := ⎜
2
(⃗x)
⎟
⎝ . ⎠ ∈ Rn .
∂f
∂x n
(⃗x)

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 49
Beispiel 3.9. f(x, y, z) = e x+2y + 2x sin z + z 2 xy,
grad f(x, y, z) =
⎛
⎜
⎝
f x (x, y, z)
f y (x, y, z)
f z (x, y, z)
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
e x+2y + 2 sin z + z 2 y
2e x+2y + xz 2
2x cos z + 2zxy
Beispiel 3.10. Man bestimme ggf. die ersten partiellen Ableitungen von f,
den Gradienten von f sowie grad f(1, 1) von
⎞
⎟
⎠
f(x, y) =
{
x 2 −y 2
,
x 2 +y 2 fur (x, y) ≠ (0, 0),
1 fur (x, y) = (0, 0).
Fur die ersten partiellen Ableitungen erhalt man
f x (x, y) = 2x(x2 +y 2 )−2x(x 2 −y 2 )
(x 2 +y 2 ) 2 = 4xy2
(x 2 +y 2 ) 2 fur (x, y) ≠ (0, 0),
f y (x, y) = −2y(x2 +y 2 )−2y(x 2 −y 2 )
(x 2 +y 2 ) 2 = −4x2 y
(x 2 +y 2 ) 2 fur (x, y) ≠ (0, 0).
Fur die partiellen Ableitungen in (0, 0) erhalt man
[ ]
1
1 t
2
f x (0, 0) = lim [f(0 + t, 0) − f(0, 0)] = lim
t→0 t t→0 t t − 1 = 0.
2
Die partielle Ableitung f y existiert dagegen in (0, 0) nicht, da die partielle Funktion
f(0, y) in (0, 0) unstetig ist, da
f(0, y) =
{
−1, y ≠ 0,
1, y = 0,
bzw. aus der Denition der partiellen Ableitung ergibt sich:
[ ]
1
1 −t
2
−2
f y (0, 0) = lim [f(0, 0 + t) − f(0, 0)] = lim − 1 = lim
t→0 t t→0 t t 2 t→0 t
und dieser Grenzwert existiert nicht. Damit gilt fur den Gradienten:
⎧
⎪⎨
grad f(x, y) =
⎪⎩
Insbesondere ist grad f(1, 1) =
(
4xy
(x 2 +y 2 ) 2
(
y
−x
)
, fur (x, y) ≠ (0, 0),
existiert nicht fur (x, y) = (0, 0).
1
−1
)
.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 50
Definition 3.8. Es sei f : R n ⊆ D → R, eine in ⃗x ∈ D zweimal dierenzierbare
Funktion mit den 2. partiellen Ableitungen
( )
∂ ∂f
= ∂2 f
, i, j = 1, 2, . . . , n.
∂x i ∂x j ∂x i ∂x j
Dann heit die Matrix der 2. partiellen Ableitungen
⎛
∂ 2 f
∂
∂x 1 ∂x 1
(⃗x)
2 f
∂x 1 ∂x 2
(⃗x) . . .
H f (⃗x) :=
⎜
⎝
∂ 2 f
∂x 2 ∂x 1
(⃗x)
.
∂ 2 f
∂x n ∂x 1
(⃗x)
Hesse-Matrix von f an der Stelle ⃗x.
∂ 2 f
∂x 2 ∂x 2
(⃗x) . . .
.
...
∂ 2 f
∂x n ∂x 2
(⃗x) . . .
∂ 2 f
⎞
∂x 1 ∂x n
(⃗x)
∂ 2 f
∂x 2 ∂x n
(⃗x)
⎟
. ⎠
∂ 2 f
∂x n ∂x n
(⃗x)
1.4. Totales Differential.
Definition 3.9. Sei D ⊆ R n oen. Eine Funktion f : D → R heit in ⃗x 0
total differenzierbar (oder linear approximierbar), wenn es einen Vektor
⃗a ∈ R n gibt mit
f(⃗x) = f(⃗x 0 ) + ⃗a · (⃗x − ⃗x 0 ) + r(⃗x, ⃗x 0 )
(fur ⃗x nahe ⃗x 0 ) mit lim ⃗x→⃗x0
r(⃗x, ⃗x 0 )
|⃗x−⃗x 0 |
= 0 gibt.
Satz 3.2. Ist f in ⃗x 0 ∈ D total dierenzierbar, d.h.
dann gilt:
f(⃗x) = f(⃗x 0 ) + ⃗a · (⃗x − ⃗x 0 ) + r(⃗x, ⃗x 0 ),
(1) f ist stetig in ⃗x 0 ;
(2) 1 lim
t→0 t [f(⃗x 0 + t⃗v) − f(⃗x 0 )] = ⃗a · ⃗v, fur alle ⃗v ∈ R n , ⃗v ≠ ⃗0;
(3) f ist partiell dierenzierbar und ⃗a eindeutig bestimmt als ⃗a =
grad f(⃗x 0 ).
Beweis: zu 1.: Aus der Denition der totalen Dierenzierbarkeit folgt
lim (f(⃗x) − f(⃗x 0 )) = lim (⃗a · (⃗x − ⃗x 0 ) + r(⃗x, ⃗x 0 )) = 0.
⃗x→⃗x 0 ⃗x→⃗x0
zu 2.: Sei ⃗x = ⃗x 0 + t⃗v dann ergibt sich aus der totalen Dierenzierbarkeit
lim
t→0
1
t [f(⃗x 0 + t⃗v) − f(⃗x 0 )] = lim
t→0
1
t [⃗a · (t⃗v) + r(⃗x 0 + t⃗v, ⃗x 0 )] = ⃗a · ⃗v,

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 51
da
r(⃗x 0 + t⃗v, ⃗x 0 )
lim
t→0 |t⃗v|
= 0.
zu 3. Fur ⃗v = ⃗e i erhalt man aus 2.
∂f
∂x i
(⃗x 0 ) = ⃗a · ⃗e i = a i
(die i-te Koordinate von ⃗a.)
□
Insbesondere folgt also aus der totalen Dierenzierbarkeit die Existenz der ersten
partiellen Ableitungen und aller Richtungsableitungen im Punkt ⃗x 0 . Die Umkehrung
gilt nur fur stetig dierenzierbare Funktionen, d.h.
Satz 3.3. Jede einmal stetig (partiell) dierenzierbare Funktion f : D →
R, D ⊆ R n oen, ist in allen Punkten von D total dierenzierbar.
Beweis: Fur n = 2 : Sei (x 0 , y 0 ) ∈ D. Fur alle (x, y) aus einer hinreichend kleinen
r-Umgebung U r (x 0 , y 0 ) ⊆ D gilt nach dem Mittelwertsatz fur Funktionen einer
Veranderlichen:
f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f(x, y) − f(x 0 , y) + f(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 )
= f x (ξ, y)(x − x 0 ) + f y (x 0 , η)(y − y 0 )
mit ξ zwischen x und x 0 sowie η zwischen y und y 0 . Damit ist
( )
x − x
f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + grad f(x 0 , y 0 ) ·
0
+ R(x, y)
y − y 0
mit der Funktion
R(x, y) = [f x (ξ, y) − f x (x 0 , y 0 )] (x − x 0 ) + [f y (x 0 , η) − f y (x 0 , y 0 )] (y − y 0 ).
Fur diese Funktion gilt
|R(x, y)|
|(x, y) − (x 0 , y 0 )| ≤ |f x(ξ, y) − f x (x 0 , y 0 )| |x − x 0 |
+ |f y(x 0 , η) − f y (x 0 , y 0 )| |y − y 0 |
|(x, y) − (x 0 , y 0 )|
|(x, y) − (x 0 , y 0 )|
|x − x 0 |
= |f x (ξ, y) − f x (x 0 , y 0 )| √
|x − x0 | 2 + |y − y 0 | + |f |y − y 0 |
y(x 0 , η) − f y (x 0 , y 0 )| √ 2 |x − x0 | 2 + |y − y 0 | 2
≤ |f x (ξ, y) − f x (x 0 , y 0 )| + |f y (x 0 , η) − f y (x 0 , y 0 )| → 0 fur (x, y) → (x 0 , y 0 ),
da die ersten partiellen Ableitungen stetig sind.
□

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 52
Ist f : D → R in einer Umgebung von ⃗x 0 total dierenzierbar, dann ist
g(⃗x) := f(⃗x 0 ) + grad f(⃗x 0 ) · (⃗x − ⃗x 0 )
die beste lineare Approximation von f(⃗x 0 ) nahe bei ⃗x 0 .
Anschauliche Deutung fur n = 2 : Die "
uber\ D ⊆ R 2 liegende Flache (der Graph)
z = f(x, y) wird in der Nahe des Flachenpunktes (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )) durch die Ebene
z − z 0 = z − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 )
⇐⇒ z − f x (x 0 , y 0 )x − f y (x 0 , y 0 )y = (f(x 0 , y 0 ) − f x (x 0 , y 0 )x 0 − f y (x 0 , y 0 )y 0 )
Diese Ebene heit Tangentialebene der Flache z = f(x, y) im Punkt (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )).
Sie enthalt samtliche Flachentangenten.
Satz 3.4. Jede einmal stetig dierenzierbare Funktion f : D → R, (D ⊆
R n oen) ist auf D (d.h. in allen Punkten von D) total dierenzierbar.
z
n
Tangentialebene
f(x 0
,y 0
)
.
y
. (x0 ,y 0 )
n =(
-f x
(x 0
,y 0
)
-f y
(x 0
,y 0
))
1
x
z−f x 0
, y 0
=f x
x 0
, y 0
x−x 0
f y
x 0
, y 0
y−y 0
⇔−f x
x 0
,y 0
x−f y
x 0
, y 0
yz=f x 0
, y 0
−f x
x 0
,y 0
x 0
−f y
x 0
, y 0
y 0
Beispiel 3.11. In der Umgebung von (1, 1) lautet die lineare Approximation
der einmal stetig dierenzierbaren Funktion f(x, y) = x 4 + 2x 3 y 2 + y :
( )
x − 1
f(x, y) = f(1, 1) + grad f(1, 1) ·
+ r((x, y); (1, 1))
y − 1
Dementsprechend ist
= 4 + 10(x − 1) + 5(y − 1) + r((x, y); (1, 1)).
z = 4 + 10(x − 1) + 5(y − 1)

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 53
die Gleichung der Tangentialebene der Flache z = x 4 +2x 3 y 2 +y im Flachenpunkt
(1, 1, 4).
Anwendung 3.1. Fehlerrechnung und Näherungsrechnung. Es werden statt
der wahren Werte ⃗x = (x 1 , . . . , x n ) die Naherungswerte ⃗x 0 = (x 10 , . . . , x n0 ) gemessen.
Wie wirkt sich das auf y = f(⃗x) aus? Fur kleine |∆⃗x| = |⃗x − ⃗x 0 | ist der
Fehler r(⃗x, ⃗x 0 ) vernachlassigbar klein, so ergibt sich "
in erster Naherung\ fur
y = f(⃗x) :
∆y = f(⃗x 0 + ∆⃗x) − f(⃗x 0 ) ≈ grad f(⃗x 0 ) · ∆⃗x =
n∑
j=1
∂f
∂x j
(⃗x 0 )∆x j .
Kennt man nun die Megenauigkeit von ∆x j , so erhalt man als ungefahre Fehlerschranke
fur ∆y :
n∑
|∆y| = |∆f(⃗x)| = |f(⃗x) − f(⃗x 0 )| ≈
∂f
∣ (⃗x 0 )
∂x j
∣ |∆x j|
fur ⃗x nahe bei ⃗x 0 .
Fur die Naherungrechnung bedeutet das, dass
j=1
f(⃗x 0 ) + grad f(⃗x 0 ) · (⃗x − ⃗x 0 )
eine gute Naherung fur f(⃗x) darstellt, wenn ⃗x 0 nur nahe genug bei ⃗x liegt.
Beispiel 3.12. f(x, y) = x y = e y ln x wird in (1, 3) angenahert durch
f(x, y) ≈ 1 + 3(x − 1) + 0(y − 1).
Man erhalt f(1, 02; 3, 01) ≈ 1 + 3(1, 02 − 1) = 1, 06. Der genaue Wert ist 1, 02 3,01 =
1, 061418168 . . . .
Bemerkung 3.2. Ausgehend von der Naherung
∆y ≈
n∑
j=1
∂f
∂x j
(⃗x 0 )∆x j
schreibt man fur das totale Dierential einer Funktion f : D → R n , D ⊆ R n
(oen) im Punkt ⃗x 0 auch:
df(⃗x 0 ) =
n∑
j=1
∂f
∂x j
(⃗x 0 )dx j .
Dabei sind die dx i die Dierentiale der Koordinaten x 1 , x 2 , . . . , x n .
Beispiel 3.13. Anwendungsbeispiel: Fehlerrechnung zum Schubmodul
Dieses Beispiel ist entnommen von:
http://193.175.144.216/praktikumsversuche/elastizitaet.pdf

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 54
Bestimmung des Schubmoduls: Ein Draht aus Metall, dessen Torsionsmodul bestimmt
werden soll, ist an seinem oberen Ende fest eingespannt. Sein freies unteres
Ende ist in einem rotationssymmetrischen Korper K 1 mit dem Tragheitsmoment
J 1 eingeklemmt.
Dreht man nun diesen Korper aus seiner Ruhelage, so wirkt auf ihn ein Ruckstellmoment
M aufgrund der Verdrillung des Drahtes. Dieses Ruckstellmoment
ist bei kleiner Auslenkung proportional dem Auslenkwinkel ϕ :
M = D ∗ ϕ,
dabei ist das Richtmoment D ∗ durch das Material und die Abmessung des Drahtes
gegeben:
D ∗ = π r4 G
2L ,
wobei r der Radius, L die Lange des Drahtes und G der Schubmodul des Materials
sind.
Lasst man nun den Korper aus dieser Lage los, so fuhrt er um seine Ruhelage
Drehschwingungen durch mit der Schwingzeit:
T 1 = 2π
√
J1
D ∗ (5)
Daraus lasst sich der Schubmodul bestimmen, wenn das unbekannte Tragheitsmoment
J 1 eliminiert werden kann. Dazu wird mit einem Zusatzkorper K 2 der
Masse m 2 mit berechenbarem Tragheitsmoment die Schwingungsdauer T 2 bestimmt.
J 2 = m 2
2 (R2 1 + r2) 2 siehe Abb. 1.
Bei der Verwendung anderer Zusatzkorper gilt der Steinersche Satz:
so dass
J 2 = m 2
2
[
(r
2
1 + r 2 2) + 2a 2] siehe Abb. 2,
√
2L
T 2 = 2π
G π r (J 4 1 + J 2 ) (6)
ist. Aus den Gleichungen (5) und der Formel fur D ∗ sowie (6) erhalt man:
und damit ist
T2 2 = 4π 2 2L
G π r (J 4 1 + J 2 ),
T1 2 = 4π 2 J 1
D = 2L
∗ 4π2 g π r J 4 1
T2 2 − T1 2 = 4π 2 2L
g π r J 4 2 = 8π L m 2
[
(r
2
G r 4 2 1 + r2) 2 + 2a 2]
und die Formel fur den Schubmodul G lautet
G = 8π L m 2
2 [(r2 1 + r 2 2) + 2a 2 ]
(T 2 2 − T 2 1 ) r 4 .

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 55
Werte und Fehler (und wie ermittelt)
Groe Wert W Fehler ∆W Bestimmung des Fehlers
L 2, 15m ∆L = 3 · 10 −3 m Schatzung
m 2 0, 487kg ∆m 2 = 100 · 10 −6 kg Genauigkeit der Waage
r 1 2 · 10 −3 m ∆r 1 = 0, 1 · 10 −3 m Schatzung
r 2 20 · 10 −3 m ∆r 2 = 0, 1 · 10 −3 m Schatzung
a 40 · 10 −3 m ∆a = 0, 1 · 10 −3 m Schatzung
T 1 2, 21s ∆T 1 = 20 · 10 −3 s Schatzung aus 10 gemessenen Perioden
T 2 2, 534s ∆T 1 = 20 · 10 −3 s Schatzung aus 10 gemessenen Perioden
r 0, 763 · 10 −3 m ∆r = 10, 4 · 10 −6 m Standardabweichung aus mehreren Messungen
Der maximale Grotfehler ergibt sich nun aus
∣ ∣ ∣ ∣ |∆G| ≤
∂G
∣∣∣ ∣ ∂L ∣ · |∆L| + ∂G ∣∣∣ · |∆m 2 | +
∂G ∣∣∣ ∂m 2
∣ · |∆r 1 | +
∂G ∣∣∣
∂r 1
∣ · |∆r 2 |
∂r 2 ∣ ∣ ∣ +
∂G
∣∣∣ ∣ ∂a ∣ · |∆a| + ∂G ∣∣∣ · |∆T 1 | +
∂G ∣∣∣ ∂T 1
∣ · |∆T 2 | +
∂G
∂T 2
∣ ∂r ∣ · |∆r| .

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 56
Wir benotigen somit die folgenden partiellen Ableitungen:
∂G
∂L
=
8π ·
m2
2 · (r2 1 + r 2 2 + 2a 2 )
(T 2 2 − T 2 1 ) · r 4 = G L ;
∂G
= 8π · L · 1 · 2 (r2 1 + r2 2 + 2a 2 )
= G ;
∂m 2 (T2 2 − T1 2 ) · r 4 m 2
∂G
∂r 1
=
∂G
∂r 2
=
∂G
∂a
∂G
∂T 1
=
8π · L ·
m2
2 · 2r 1
(T 2 2 − T 2 1 ) · r 4 ;
8π · L ·
m2
2 · 2r 2
(T 2 2 − T 2 1 ) · r 4 ;
=
8π · L ·
m2
2 · 2 · 2a
(T 2 2 − T 2 1 ) · r 4 ;
8π · L ·
m2
2 · (r2 1 + r 2 2 + 2a 2 ) · 2T 1 · r 4
((T 2 2 − T 2 1 ) · r 4 ) 2 ;
m2
∂G 8π · L ·
= − · 2 (r2 1 + r2 2 + 2a 2 ) · (−2T 2 ) · r 4
;
∂T 2 ((T2 2 − T1 2 ) · r 4 ) 2
∂G
∂r
m2
(−4) · 8π · L ·
2
= · (r2 1 + r2 2 + 2a 2 )
= (−4) · G .
(T2 2 − T1 2 ) · r 5 r
Setzt man nun die Zahlenwerte ein, so erhalt man die Abschatzungen fur den
Betrag der partiellen Ableitungen. Multipliziert man diese nun mit den Werten
fur die entsprechenden Fehler so erhalt man:
∂G
∣ ∂L ∣ · |∆L| = 0, 127 · N ∣ ∣ ∣∣∣ 109 m ; ∂G ∣∣∣
· |∆m 2 2 | = 18, 7 · 10 6 N ∂m 2 m ;
∣ 2 ∂G ∣∣∣
∣ · |∆r 1 | = 10, 10 · 10 6 N ∣ ∣ ∣∣∣
∂r 1 m ; ∂G ∣∣∣
· |∆r 2 2 | = 0, 101 · 10 9 N ∂r 2 m ;
2 ∂G
∣ ∂a ∣ · |∆a| = 0, 404 · N ∣ ∣ ∣∣∣ 109 m ; ∂G ∣∣∣
· |∆T 2 1 | = 5, 2 · 10 9 N ∂T 1 m ;
∣ 2 ∂G ∣∣∣
∣ · |∆T 2 | = 6 · 10 9 N ∣ ∣∣∣
∂T 2 m ; ∂G
2 ∂r ∣ · |∆r| = 4, 96 · N 109 m ; 2
Damit ist der maximale Grotfehler
und wir erhalten
sowie als relativen Grotfehler
|∆G| ≤ 1, 68 · 10 10 N m 2
G = 9, 1 · 10 10 N m 2 ± 1, 7 · 1010 N m 2
∆G
G
= 18, 5%.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 57
Der Literaturwert fur Stahl ist 8, 04 · 10 10 N m 2 . Zum Vergleich, der Literaturwert
fur Kupfer ist 4, 55 · 10 10 N m 2 .
Beispiel 3.14. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit einem Kugelfallgerat.
Dieses Beispiel ist entnommen
http://www.fh-gelsenkirchen.de/fb02/homepages/schmiler/Vordrucke/Fehlerrechnung.pdf
Zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g wird eine Kugel der Masse m aus der
Hohe h fallengelassen. Bestimmt werden die Hohe mit einem Maband sowie
die Fallzeit mit einer Stoppuhr. Aus diesen beiden Groen kann man dann mit
Hilfe der Beziehung
die gesuchte Fallbeschleunigung zu
bestimmt werden.
h = 1 2 gt2
g = 2h
t 2
Der absolute Grotfehler ergibt sich dann aus
∣ ∣ ∣ (
|∆g| ≤
∂g ∣∣∣
∣∂h · ∆h +
∂g ∣∣∣
∣ ∂t · ∆t =
2 ∣∣∣
∣t · ∆h +
2 ∣ − 4h )
· ∆t
t 3 ∣ .
Dabei wird eine Zahl mit zugehoriger Einheit eingesetzt.
Um besser ersehen zu konnen, welche der beiden Messgroen den starkeren
Einuss auf das Ergebnis ausubt, berechnet man den relativen Grotfehler:
∣ ∣ ∆g ∣∣∣∣ 2
∣∣∣∣
g ≤ t 2
· ∆h
∣ + − 4h
∣ ∣ t 3
∣∣∣
· ∆t
2h
∣ = ∆h
∣∣∣ h ∣ + 2 ∆t
t ∣ .
2h
t 2
t 2
Folglich wird sich ein Fehler in der Zeitmessung (Faktor 2) immer starker auswirken
als ein Fehler bei der Bestimmung der Fallhohe (Faktor 1). Auerdem
ergeben sich einheitslose Groen. Um die Abweichungen konkret berechnen zu
konnen, benotigt man noch Zahlenwerte fur ∆h bzw. ∆t. Diese Abweichungen
bzw. Messungenauigkeiten ergeben sich je nach gewahltem Messverfahren wie
folgt:
• Hat man eine Messreihe (z.B. 10 oder mehr verschiedene Messungen)
fur die entsprechende Groe x, so berechnet man die Standardabweichung
s des Mittelwerts x = 1 n ∑
n i=1 x i:
√ ∑n
i=1
s =
(x i − x)
.
n − 1
• Hat man die entsprechende Groe nur einmal gemessen, so ist die Messungenauigkeit
einzusetzen. Dabei liegt es im Ermessen der versuchsdruchfuhrenden
Person, wie hoch diese Ungenauigkeit anzusetzen ist.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 58
Bei sehr genauen Messungen kann z.B. die Halfte des kleinsten Skalenteils
angesetzt werden, wahrend bei anderen Messungen u.U. eine
groere Ungenauigkeit angenommen werden muss.
• Wird die Messungen mit Hilfe eines Gerats durchgefuhrt, so gibt in der
Regel die Hersteller die Messungenauigkeit an.
1.5. Richtungsableitung. Die partiellen Ableitungen ∂f
∂x j
(⃗x) geben die "
momentane\
Anderung der Funktionswerte in Richtung der Koordinatenachsen an.
Zu jedem Vektor ⃗v ∈ R n , ⃗v ≠ ⃗0, nenne wir den Grenzwert
1
∂ ⃗v f(⃗x) := lim [f(⃗x + t⃗v) − f(⃗x)]
t→0 t
(sofern er existiert) die Ableitung von f an der Stelle ⃗x langs ⃗v.
Definition 3.10. Ist ⃗v eine Einheitsvektor (|⃗v| = 1), dann heit ∂ ⃗v f(⃗x) =
(⃗x) Richtungsableitung von f an der Stelle ⃗x in Richtung ⃗v.
∂f
∂⃗v
Betrachtet man die Einschrankung von f langs der Geraden ⃗x + t⃗v, also
dann gilt nach Denition
und deshalb
h(t) := f(⃗x + t⃗v),
ḣ(0) := d ∣
∣∣∣t=0
dt f(⃗x + t⃗v) 1
= lim
t→0 t [f(⃗x + t⃗v) − f(⃗x)] = ∂ ⃗vf(⃗x),
∂ ⃗v f(⃗x) > 0 ⇒ f(⃗x) nimmt in Richtung ⃗v zu.
∂ ⃗v f(⃗x) < 0 ⇒ f(⃗x) nimmt in Richtung ⃗v ab.
Anschauliche Deutung für n = 2. Die Schnittkurve des Graphen z = f(x, y) mit
der zur z-Achse parallelen Ebene durch die Gerade
( ) ( )
( )
x 0 v 1
v
+ t mit 1
⃗v = , |⃗v| = 1,
y 0 v 2 v 2
besitzt die Parameterdarstellung
⎛
⃗x(t) =
⎜
⎝
x 0 + tv 1
y 0 + tv 2
f(x 0 + tv 1 , y 0 + tv 2 )
⎞
⎟
⎠
mit dem Tangentialvektor
˙⃗x(t) =
⎛
⎜
⎝
v 1
v 2
∂ ⃗v f(x 0 , y 0 )
⎞
⎟
⎠
im Kurvenpunkt (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )). Die Tangente hat den Anstieg ∂ ⃗v f(x 0 , y 0 ).

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 59
Satz 3.5. Fur jede auf der oenen Menge D ⊆ R n total dierenzierbaren
Funktion f und fur jeden Vektor ⃗v ∈ R n , ⃗v ≠ ⃗0, gilt
n∑
∂ ⃗v f(⃗x) = grad f(⃗x) · ⃗v = f xj (⃗x)v i .
Mit |ṽ| = 1 ist das die Richtungsableitung von f an der Stelle ⃗x in Richtung
⃗v.
j=1
(siehe Satz 3.2 Absatze 2 und 3.)
z
y
f(x 0
,y 0
)
grad f (x 0
,y 0
)
.
(x 0
,y 0
)
v=(α 1
,α 2
) T
x
φ
tan φ = ∂ (α1 ,α 2 ) f(x 0 ,y 0 ) = α 1 f x (x 0 ,y 0 ) + α 2 f y (x 0 ,y 0 )
Beispiel 3.15. Der Anstieg der Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 im Punkt (1, 1) in
der Richtung des (Einheits-)Vektors ⃗v = (sin α, cos α) T betragt
( ) ( )∣ ( )
∣∣∣∣(1,
sin α 2x
sin α
∂ ⃗v f(⃗x) = grad f(1, 1) ·
=
· = 2(sin α + cos α).
cos α 2y
cos α
1)
1.6. Parameterdarstellungen. Man nennt {⃗x(t), t A ≤ t ≤ t B } eine Parameterdarstellung
einer vektorwertigen Funktion. Jeder Funktionswert wird durch
einen Wert des Parameters t bestimmt. Oder anders ausgedruckt, der Vektor ⃗x(t)
variiert in Abhangigkeit des Parameters t. Wir betrachten daher vektorwertige, auf
dem Intervall I ⊆ R erklarte Funktionen ⃗x : I → R n . Jede derartige Funktion besteht
aus n Komponentenfunktionen x i : I → R (1 ≤ i ≤ n), d.h.
⎛
⃗x(t) = ⎜
⎝
x 1 (t)
x 2 (t)
.
x n (t)
⎞
⎟
⎠ , t ∈ I.

1. REELLWERTIGE FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERANDERLICHER 60
Die Begrie des Grenzwerts, der Stetigkeit, der Dierenzierbarkeit werden auf die
Komponentenfunktionen zuruckgefuhrt:
Definition 3.11. Fur die Funktion ⃗x : I → R n gilt:
(1) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
x 1 (t)
c 1
x 2 (t)
lim ⃗x(t) = ⎜ ⎟
t→t 0 ⎝ . ⎠ = ⃗c = c 2
⎜ ⎟ ⇐⇒ lim x i (t) = c i , 1 ≤ i ≤ n.
⎝ . ⎠ t→t 0
x n (t)
c n
(2) Entsprechend heit ⃗x : I → R n in t 0 ∈ I (auf I) stetig, bzw. dierenzierbar,
wenn alle Komponentenfunktionen in t 0 ∈ I (auf I) stetig,
bzw. dierenzierbar sind.
(3) Die Ableitung ist ebenfalls komponentenweise zu berechnen:
˙⃗x(t) = d 1
⃗x(t) = lim
dt h→0
⎛
h [⃗x(t + h) − ⃗x(t)] = ⎜
⎝
ẋ 1 (t)
ẋ 2 (t)
.
ẋ n (t)
⎞
⎟
⎠ mit ẋ i(t) = d dt x i(t).
1.7. Kettenregel.
Satz 3.6. Kettenregel. Fur jede einmal stetig (partiell) dierenzierbare
Funktion f : D → R, D ⊂ R n oen, und jede Parametrisierung ⃗x : R ⊇
[a, b] → D gilt
d
dt f(⃗x(t)) = d dt f(x 1(t), x 2 (t), . . . , x n (t))
= f x1 (⃗x(t))ẋ 1 (t) + . . . + f xn (⃗x(t))ẋ n (t) = grad f(⃗x(t)) · ˙⃗x(t).
Beweis: Es sei ⃗x(t 0 ) = ⃗x 0 , dann ist
da, f total dierenzierbar ist, gilt
d
1
f(⃗x(t)) := lim
dt h→0 h [f(⃗x(t 0 + h)) − f(⃗x(t 0 ))]
1
= lim
h→0 h [grad f(⃗x 0) · (⃗x(t 0 + h) − ⃗x(t 0 )) + r(⃗x(t 0 + h), ⃗x 0 )]
wobei lim h→0
r(⃗x(t 0 +h), ⃗x 0 )
|h|
= 0 ist, d.h.
1
= grad f(⃗x 0 ) · lim
h→0 h (⃗x(t 0 + h) − ⃗x(t 0 )) = grad f(⃗x(t 0 )) · ˙⃗x(t 0 ).
□

2. BEDEUTUNG DES GRADIENTEN 61
Anwendung 3.2. Die Kettenregel benotigt man immer dann, wenn neue
Variable eingefuhrt werden und die partiellen Ableitungen in Bezug auf diese
Veranderlichen zu berechnen sind.
Polarkoordinaten im R 2 . Durch x = r cos ϕ,
f(x, y), (x, y) ∈ D ⊆ R 2 , transformiert in
F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ).
y = r sin ϕ wird die Funktion
Fur die partiellen Ableitungen von F ergibt sich aus der Kettenregel fur einmal
stetig dierenzierbares f :
d.h. (
und damit
∼
(
(
F r = f x cos ϕ + f y sin ϕ,
F ϕ = f x (−r sin ϕ) + f y (r cos ϕ),
) (
F r
=
F ϕ
cos ϕ sin ϕ 1 0
−r sin ϕ r cos ϕ 0 1
cos ϕ
−r sin ϕ
r cos ϕ 0 r − r sin 2 ϕ − cos ϕ sin ϕ
0 r r sin ϕ cos ϕ
und damit (
) (
f x
=
f y
) (
sin ϕ
r cos ϕ
)
f x
f y
) (
)
cos ϕ sin ϕ 1 0
∼
0 r r sin ϕ cos ϕ
) (
)
1 0 cos ϕ − 1
∼
sin ϕ r
1
0 1 sin ϕ cos ϕ r
) (
cos ϕ − 1 sin ϕ r
1
sin ϕ cos ϕ r
2. Bedeutung des Gradienten
)
F r
.
F ϕ
2.1. Richtung des steilsten Anstiegs. Fur eine einmal stetig dierenzierbare
Funktion f : R n ⊇ D → R ist der Anstieg im Punkt ⃗x ∈ D in Richtung des Vektors
⃗v mit |⃗v| = 1 gegeben durch
∂ ⃗v f(⃗x) = grad f(⃗x) · ⃗v = |grad f(⃗x)| |⃗v| cos α = |grad f(⃗x)| cos α,
wobei α, den von grad f(⃗x) und ⃗v eingeschlossenen Winkel bezeichnet. Dieser Anstieg
ist am groten fur cos α = 1, d.h. α = 0. Also gilt fur grad f(⃗x) ≠ ⃗0 :
Richtung von grad f(⃗x) = Richtung des maximalen Anstiegs der Funktion f
in ⃗x = Richtung mit dem groten Zuwachs von f in Richtung ⃗x.
Da f genau dann ansteigt, wenn −f abfallt, erhalt man gleichzeitig die Richtung des
steilsten Abstiegs der Funktionswerte, namlich −grad f.

3. TAYLOR-FORMEL 62
2.2. Gradient und Niveaumengen. Sei D ⊆ R n oen und f : D → R eine
einmal stetig dierenzierbare Funktion, dann deniert f(⃗x) = c eine Hyperache in
D. Fur jede parametrisierte Kurve t → ⃗x(t) auf dieser Hyperache gilt f(⃗x)(t) =
c, t ∈ I, und mit der Kettenregel (siehe Satz 3.6) folgt
d
dt f(⃗x)(t) =
n∑
f xj (⃗x)(t)ẋ j (t) = gradf(⃗x)(t) · ˙⃗x(t) = 0.
j=1
Folgerung: gradf(⃗x)(t) steht senkrecht auf ˙⃗x(t) = Tangente an die Kurve ⃗x(t). Dies
gilt fur jede Kurve.
Damit steht grad f(⃗x 0 ) auf allen Tangentialvektoren an die Niveaumenge
N ⃗x0 := {x ∈ D : f(⃗x) = f(⃗x 0 ) = c.}
Anwendung 3.3. Gesucht sei das Minimum der einmal stetig dierenzierbaren
Funktion f(x, y) im oen Gebiet D ⊆ R n . Das Gradientenverfahren besteht
nun darin, von einem bestimmten Startwert ⃗x 0 auszugehen, d.h.
(1) Wahle ⃗x 0 ∈ D.
(2) Man berechne grad f(⃗x 0 ) und berechne ⃗x 1 := ⃗x 0 − hgrad f(⃗x 0 ) mit einer
dem Problem angepassten Schrittweite h > 0. Ist f(⃗x 1 ) > f(⃗x 0 ), so ist
man zu weit gegangen und man versucht es deshalb noch einmal mit 1 2 h.
(3) Ist f(⃗x 1 ) < f(⃗x 0 ), nimmt man ⃗x 1 als neuen Startwert und wiederhalt die
Schritte 2 und 3.
Auf diese Weise nahert man sich auf einem Streckenzug in D einer Minimalstelle
der Funktion. Diese Stelle hangt vom gewahlten Startwert ab und muss
nicht das globale Minimum sein. D.h. das Gradientenverfahren ermittelt ein
lokales Minimum.
Der Fall des lokalen Maximums geht analog.
3. Taylor-Formel
Wir verallgemeinern die Taylor-Formel fur Funktionen einer Veranderlichen (siehe
Satz 1.8) auf Funktionen mehrerer Veranderlicher. Dazu betrachten wir konvexe
Gebiete, d.h. D ist oen und mit ⃗x, ⃗y ∈ D liegt immer auch die gesamte verbindende
Gerade ⃗x + t(⃗y − ⃗x), t ∈ [0, 1] vollstandig in D. Weiterhin sei f : R n ⊇ D → R
k + 1-mal stetig dierenzierbar in n Variablen. Wir setzen:
h(t) := f(⃗x 0 + t⃗v), t ∈ [0, 1]
dann ist
und
1
ḣ(0) = lim
t→0 t (f(⃗x 0 + t⃗v) − f(⃗x 0 )) =: ∂ ⃗v f(⃗x 0 )
ḧ(0) = ∂ ⃗v (∂ ⃗v f))(⃗x 0 ) = ∂ 2 ⃗vf(⃗x 0 ), . . . , h (k) (0) = ∂ k ⃗v f(⃗x 0 ).

3. TAYLOR-FORMEL 63
Aus der Taylor-Formel fur h :
die
h(t) := h(0) + ḣ(0)
1!
t + ḧ(0)
2!
t 2 + . . . h(k) (0)
t k + h(k+1) (ξ)
k! (k + 1)! tk+1
Satz 3.7. Taylor-Formel für n Variable. Ist D ⊆ R n ein konvexes
Gebiet, f k +1-mal stetig dierenzierbar, ⃗x ∈ D, dann gilt mit ⃗x+t⃗v ∈ D
fur alle t ∈ [0, 1] :
f(⃗x 0 + t⃗v) = f(⃗x 0 ) + 1 1! ∂ ⃗vf(⃗x 0 )t + 1 2! ∂2 ⃗vf(⃗x 0 )t 2 + . . . + 1 k! ∂k ⃗v f(⃗x 0 )t k + R k+1 (⃗x, ⃗v)
mit dem Restglied
R k+1 (⃗x, ⃗v) =
und einer Zahl ξ zwischen 0 und t.
1
(k + 1)! ∂k+1 ⃗v
f(⃗x 0 + ξ⃗v)t k+1
Wir wollen uns einige Spezialfalle ansehen. Wie bereits gezeigt ist:
∂ ⃗v f(⃗x 0 ) = grad f(⃗x 0 ) · ⃗v =
n∑
f xj (⃗x 0 )v j .
j=1
Wir berechnen ∂ 2 ⃗v f(⃗x 0),
∂⃗vf 2 1
= ∂ ⃗v (∂ ⃗v f) = ∂ ⃗v (grad f · ⃗v) = lim
t→0
1
= lim
t→0 t [(grad f(⃗x 0 + t⃗v) − grad f(⃗x 0 )) · ⃗v] =
t [(grad f(⃗x 0 + t⃗v) · ⃗v) − (grad f(⃗x 0 ) · ⃗v)]
[
]
1
lim
t→0 t (grad f(⃗x 0 + t⃗v) − grad f(⃗x 0 )) · ⃗v
= (grad ∂ x1 f(⃗x 0 ) · ⃗v) v 1 + (grad ∂ x2 f(⃗x 0 ) · ⃗v) v 2 + . . . + (grad ∂ xn f(⃗x 0 ) · ⃗v) v n
= ∂ 2 x 1
f(⃗x 0 )v 2 1 + ∂ x2 ∂ x1 f(⃗x 0 )v 2 v 1 + . . . + ∂ xn ∂ x1 f(⃗x 0 )v n v 1 + . . . + ∂ x1 ∂ xn f(⃗x 0 )v 1 v n + . . . ∂ 2 x n
f(⃗x 0 )v 2 n
= ⃗v T H f (⃗x 0 )⃗v,
dabei bezeichnet H f (⃗x 0 ) die Hesse-Matrix von f an der Stelle ⃗x 0 . Kehren wir nun
zuruck zu Taylor-Formel, so ist mit ⃗x = ⃗x 0 + t⃗v ⇐⇒ t⃗v = ⃗x − ⃗x 0 :
∂ ⃗v f(⃗x 0 )t = grad f(⃗x 0 ) · (⃗vt) =
und
n∑
f xj (⃗x 0 )v j t = grad f(⃗x 0 ) · (⃗x − ⃗x 0 ) =
j=1
n∑
f xj (⃗x 0 )(x j − x 0j ).
j=1
∂ 2 ⃗vf(⃗x 0 )t 2 = (⃗vt) T H f (⃗x 0 )(⃗vt) = (⃗x − ⃗x 0 ) T H f (⃗x 0 )(⃗x − ⃗x 0 ).

3. TAYLOR-FORMEL 64
Taylor-Formel zum Entwicklungsgrad 2: Ist D ⊆ R n ein konvexes Gebiet, f
3-mal stetig dierenzierbar, ⃗x 0 , ⃗x ∈ D :
f(⃗x) = f(⃗x 0 ) + 1 1! grad f(⃗x 0)(⃗x − ⃗x 0 ) + 1 2! (⃗x − ⃗x 0) T H f (⃗x 0 )(⃗x − ⃗x 0 ) + r(⃗x, ⃗x 0 ),
r(⃗x, ⃗x
mit lim 0 )
⃗x→⃗x0 |⃗x−⃗x 0 | 2
der Stelle ⃗x 0 .
= 0, dabei bezeichnet H f (⃗x 0 ) die Hesse-Matrix von f an
Bemerkung 3.3. Ist f nur 2-mal stetig dierenzierbar, so gilt unter den
obigen Voraussetzungen:
f(⃗x) = f(⃗x 0 ) + 1 1! grad f(⃗x 0)(⃗x − ⃗x 0 ) + 1 2! (⃗x − ⃗x 0) T H f ( ⃗ ξ)(⃗x − ⃗x 0 )
mit ⃗ ξ = ⃗x 0 + τ(⃗x − ⃗x 0 ), fur irgendein τ ∈ [0, 1].
Ist f nur einmal stetig dierenzierbar, dann gilt
f(⃗x) = f(⃗x 0 ) + 1 1! grad f(⃗ ξ)(⃗x − ⃗x 0 )
mit ⃗ ξ = ⃗x 0 + τ(⃗x − ⃗x 0 ), fur irgendein τ ∈ [0, 1]. (Mittelwertsatz).

4. ZUSAMMENFASSUNG ABLEITUNGSBEGRIFFE FUR FUNKTIONEN MEHRERER VERANDERLICHER65
4. Zusammenfassung Ableitungsbegriffe für Funktionen mehrerer
Veränderlicher
Es sei f : D → R auf der oenen Teilmenge D des R n deniert und stetig.
Begri
partielle Ableitung
Denition
1
f xi (⃗x) = lim [f(⃗x + t⃗e
t→0 t i) − f(⃗x)]
f ist partiell dierenzierbar in ⃗x ∈ D, wenn alle partiellen Ableitungen von
f in ⃗x ∈ D existieren.
totales Dierential
(vollstandiges Dierential)
f(⃗x) = f(⃗x 0 ) + ⃗a · (⃗x − ⃗x 0 ) + r(⃗x, ⃗x 0 )
mit lim
⃗x→⃗x0
r(⃗x, ⃗x 0 )
|⃗x−⃗x 0 |
= 0.
Ist f einmal stetig dierenzierbar, so ist f total dierenzierbar mit ⃗a =
grad f(⃗x 0 )
geometrisch: z = f(⃗x 0 ) + grad f(⃗x 0 ) · (⃗x − ⃗x 0 ) ist die Tangentialebene an den
Flachenpunkt (⃗x 0 , f(⃗x 0 )). Weiterhin ist z die beste lineare Approximation
von f(⃗x) an der Stelle ⃗x 0 .
Richtungsableitung
1
∂ ⃗v f(⃗x) = lim [f(⃗x + t⃗v) − f(⃗x)] ,
t→0 t
⃗v ∈ R n , |⃗v| = 1.
Ist f einmal stetig dierenzierbar, so ist ∂ ⃗v f(⃗x) = grad f(⃗x) · ⃗v.
geometrisch: ∂ ⃗v f(⃗x) ist der Anstieg der Funktion f an der Stelle ⃗x in Richtung
⃗v (⃗v ≠ ⃗0, |⃗v| = 1.)
Bedeutungen des Gradienten:
(1) Der Gradient ist der Vektor der ersten partiellen Ableitungen.
(2) Der Gradient zeigt immer in Richtung des steilsten Anstiegs.
(3) Der Gradient steht senkrecht auf den Niveauachen (Hohenlinien, Aquipotentialachen)
f(⃗x) = c.
Anwendungen:
(1) Naherungsrechnung,
(2) Fehlerrechnung,
(3) Gradientenverfahren.