Auszählverfahren nach Wahlen - Institut für Mathematik - Universität ...

Universität Potsdam
Institut für Mathematik
Seminar: Mathematik und Politik
Wintersemester 2010/2011
Dozent: Prof. Dr. Jahnke
Auszählverfahren nach Wahlen
Abgabetermin: 28. Februar 2011
Desiree Englbrecht (Matrikel-Nr. 749118),
Safyah Hassan (Matrikel-Nr. 745053)

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis ..................................................................................................................... 2
1. Einleitung.............................................................................................................................. 3
2. Grundlagen........................................................................................................................... 3
2.1. Anforderungen an die Verfahren..................................................................................................................4
3. Auszählverfahren............................................................................................................... 4
3.1. Einteilung der Verfahren .................................................................................................................................4
3.2. Quotenverfahren nach Hare‐Niemeyer .....................................................................................................5
3.3. Divisorverfahren nach D’Hondt ....................................................................................................................6
3.4. Divisorverfahren nach Sainte‐Laguë/Schepers .....................................................................................7
4. Vergleich der Verfahren .................................................................................................. 8
5. Fazit ........................................................................................................................................ 9
Literaturverzeichnis ...............................................................................................................10
Anhang.........................................................................................................................................11
Handout: Auszählverfahren nach Wahlen
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1. Einleitung
Beispiel
Man stelle sich vor, es gebe genau zwei Parteien A und B, die von insgesamt 100
Menschen gewählt werden, um die Regierung zu bestimmen. Diese setzt sich aus 10 Sitzen
zusammen.
Im ersten Jahr erhält die Partei A 60 Stimmen und die Partei B 40 Stimmen. Damit ist die
Sitzverteilung eindeutig: 6 Sitze für Partei A und 4 Sitze für Partei B.
Vier Jahre später wird erneut gewählt. Die Stimmung im Volk hat sich mittlerweile etwas
geändert und so wählen bereits 65 Menschen Partei A. Bei der Sitzverteilung steht man
nun vor einem Problem: 6,5 Sitze für Partei A und 3,5 Sitze für Partei B. Beide Parteien
haben denselben Dezimalwert. Welche also hat den zehnten Sitz mehr „verdient“?
Dieses Beispiel soll zeigen, wie problematisch die Stimmverteilung bei Verhältniswahlen
sein kann. Der Idealanspruch, jeder Partei so viele Sitze zuzuteilen, dass der Anteil der
Sitze im Parlament dem Anteil der Stimmen dieser Partei entspricht, ist in der Realität
schwer zu erfüllen. Grund dafür ist, dass die Zahl der zu vergebenen Sitze geringer ist als
die Zahl der abgegebenen Stimmen, wodurch eine proportionale Übertragung (Dreisatz)
meist zu nicht-ganzzahligen Anteilen führt. Diese können jedoch nicht auf Individuen
übertragen werden.
Daher wurden in der Vergangenheit diverse Verfahren entwickelt, um die Ganzzahligkeit
der Anteile zu erreichen. Doch auch diese Verfahren haben nicht nur Stärken, sondern
auch Schwächen. Gibt es überhaupt ein geeignetes, wirklich gerechtes Verfahren?
2. Grundlagen
Zunächst werden einige Grundbegriffe erklärt, um die Zusammenhänge besser verstehen
zu können. Beim relativen Mehrheitswahlrecht gewinnt, wer die meisten Stimmen erhalten
hat, während beim absoluten Mehrheitswahlrecht mehr als die Hälfte der Stimmen
benötigt werden, um zu gewinnen.
Bei den Bundestagswahlen in Deutschland wird mit der Erststimme ein Kandidat gewählt.
Der Kandidat, der in einem der derzeit 299 Wahlkreise die meisten Erststimmen erhalten
hat, zieht in den Bundestag ein. Mit der Zweitstimme wird eine Partei gewählt. Der Anteil
der Stimmen sollte der Verteilung der Sitze auf die Parteien im Bundestag entsprechen.
Als erstes ziehen die Direktkandidaten, die mit der Erststimme gewählt wurden, in den
Bundestag ein. Die überbleibenden Plätze werden an Kandidaten vergeben, die auf den
Landeslisten der Parteien stehen. Das Wahlsystem in Deutschland entspricht also nicht
dem Grabenwahlsystem. Beim Grabenwahlsystem wird eine Hälfte der Sitze nach dem
Mehrheitswahlsystem vergeben und die andere Hälfte nach dem Verhältniswahlsystem.
3

Hier hängt aber der Anteil der Sitze von der Zweitstimme ab, also wird nach dem
Verhältniswahlrecht gewählt.
Gewinnt eine Partei mehr Wahlkreise als ihr verhältnismäßig Sitz nach dem Ergebnis der
Zweitstimme zustehen, wird ein Überhangmandat vergeben. Um dann das Verhältnis
wieder herzustellen und andere Parteien nicht zu benachteiligen, werden zusätzlich
Ausgleichsmandate vergeben. Hierfür wird die Zahl der Abgeordnetensitze insgesamt
erhöht. Eigentlich hat der Deutsche Bundestag 598 Sitze. Derzeit gibt es jedoch 24
Überhang- und Ausgleichsmandate, sodass die gesamte Anzahl der Sitze 622 beträgt.
2.1. Anforderungen an die Verfahren
Es gibt verschiedene Anforderungen die man an ein Auszählverfahren stellen kann. Im
Folgenden werden einige Anforderungen kurz dargestellt und in Kapitel 4 vergleichend
ausgewertet.
Verhältnistreue (Proportionalität): Einzelne Anteile der Parteien im Gremium sollen sich
im Zueinander und zur Größe des Gremiums so verhalten, wie sich ihre Anteile in der
Ausgangsmenge verhalten.
Summenforderung: Die Summe der einzelnen Anteile muss der vorgegebenen Größe des
abgeleiteten Gremiums entsprechen.
Mehrheitstreue: Die Mehrheitsverhältnisse in der Ausgangsmenge sollen sich auch in den
abgeleiteten Gremien wiederfinden.
Integritätsforderung: Die ermittelten Anteile in der Zusammensetzung des abgeleiteten
Gremiums müssen ganzzahlig sein.
Eindeutigkeitsforderung: Die Anteile sollen sich aus dem Verfahren eindeutig ergeben,
d.h. dass es für eine vorgegebene Größe des Gremiums nicht mehrere gleichgültige
Verteilungen geben kann.
Eindeutigkeitsforderung für Reihenfolge: Es soll eine durchgehend eindeutige Reihenfolge
für die Verteilung geben.
Quotenbedingung: Die Parteien erhalten mindestens ihren ganzzaligen verhältnismäßigen
Sitzanspruch und höchstens einen Sitz mehr.
3. Auszählverfahren
3.1. Einteilung der Verfahren
Im Nachfolgenden werden die drei in Deutschland am meisten verwendeten
Auszählverfahren vorgestellt. Dabei ist einer Untergliederung in Quoten –und
4

Divisorverfahren möglich, die sich in ihrer Art und Weise, wie gerundet wird,
unterscheiden. So ist der Divisor beim Divisorverfahren variabel und der Quotient wird
nach einer bestimmten Rundungsregel gerundet. Bei Quotenverfahren ist der Divisor
hingegen fest und falls ein Rest auftritt, wird dieser unabhängig voneinander verteilt.
3.2. Quotenverfahren nach Hare-Niemeyer
Das Hare-Niemeyer-Verfahren wurde vor der ersten US-amerikanischen Volkszählung
1790 durch den Politiker Alexander Hamilton propagiert (daher auch: Hamilton-
Verfahren), um die Sitze im US-Repräsentantenhaus proportional zur Bevölkerung auf die
einzelnen Bundesstaaten zu verteilen. Das Verfahren konnte sich jedoch nicht gleich gegen
das von D’Hondt durchsetzen, sondern kam erst 50 Jahre später in den USA zum Einsatz.
Auch in Deutschland löste es das Verfahren nach D’Hondt ab und wurde für die
Berechnung der Sitzverteilung im Deutschen Bundestag von der Wahl 1987 bis zur Wahl
2005 verwendet. Mit einem Beschluss vom 24. Januar 2008 soll es erneut bei den
Bundestagswahlen angewendet werden. Zudem nutzt man das Verfahren seit 1987 für die
Landtagswahlen u.a. in Berlin, Brandenburg und Mecklenburg-Vorpommern.
Die Sitzverteilung erfolgt in zwei Berechnungsschritten. Im ersten Schritt, der sog.
Grundverteilung, wird die Parteistimmenzahl durch die Wahlzahl, die man durch Division
der abgegeben Gesamtstimmen durch die Zahl der Mandate bzw. Sitze erhält, dividiert.
Der abgerundete Teil der erhaltenen Quote wird als Sitzzahl direkt zugeteilt. Damit
entspricht die Grundverteilung der streng proportionalen Berechnung im
Dreisatzverfahren:
Parteistimmenzahl
Gesamtstimmenzahl = Quote
Gesamtsitzzahl
Im zweiten Schritt kommt es zur Restverteilung, d.h. die Restsitze werden in der
Reihenfolge
€
der größten Nachkommastellen der Quoten den Parteien zugeteilt. Falls zwei
Parteien den gleichen Nachkommaanteil besitzen wird entweder gelost oder in Reihenfolge
der Stärke der Parteien zugeordnet (siehe Mehrheitsklausel § 6 Abs. 3 BWahlG (2007) 1 ).
Beispiel
Bei einer Wahl werden insgesamt 500 gültige Stimmen auf die Parteien A, B und C
abgegeben. Es sind 11 Sitze zu verteilen.
Partei A Partei B Partei C
Parteistimmenzahl 191 168 141
1 „Erhält bei der Verteilung der Sitze nach Absatz 2 eine Landesliste, auf die mehr als die Hälfte der
Gesamtzahl der Zweitstimmen aller zu berücksichtigenden Landeslisten entfallen ist, nicht mehr als die
Hälfte der zu vergebenden Sitze, wird ihr von den nach Zahlenbruchteilen zu vergebenden Sitzen
abweichend von Absatz 2 Sätze 4 und 5 zunächst ein weiterer Sitz zugeteilt. Danach zu vergebende Sitze
werden nach Absatz 2 Sätze 4 und 5 zugeteilt.“
5

Quote 4,202 3,696 3,102
erhaltene Sitze nach Grundverteilung 4 3 3
Bei der Grundverteilung wurden nur 10 von 11 Sitzen vergeben, d.h. es kommt zur Restverteilung.
Restverteilung 0 1 0
erhaltene Sitze insgesamt 4 4 3
3.3. Divisorverfahren nach D’Hondt
Das sog. Divisorverfahren mit Abrundung wurde in der zweiten Hälfte des 19.
Jahrhunderts durch den belgischen Rechtswissenschaftler Viktor d’Hondt entwickelt und
ist daher auch als Verfahren nach d’Hondt bekannt. Es wurde bei der Besetzung der
Ausschüsse im Deutschen Bundestag bis 1970 genutzt und fand auch bei Landtagswahlen
in Niedersachen, Sachsen und Schleswig-Holstein Verwendung.
Das Verfahren kann durch fünf mathematisch äquivalente Algorithmen beschrieben
werden, die je dasselbe Sitzzuteilungsergebnis generieren: das Höchstzahlverfahren, das
Quasi-Quotenverfahren, das Rangmaßzahlverfahren (Kehrwert der Höchstzahlen), das
Paarweiser-Vergleich-Verfahren und das Zweischrittverfahren. Im Nachfolgenden wird die
Berechnung als Höchstzahlverfahren sowie als Quasi-Quotenverfahren vorgestellt.
Die Idee des Höchstzahlverfahrens ist es, dass hinter den Sitzen einer Partei möglichst
viele Wählerstimmen stehen sollen. Daher werden die erhaltenen Stimmen einer Partei
nacheinander durch 1, 2, 3, ... n dividiert. Die Sitzen werden dann in der Reihenfolge der
größten sich ergebenen Höchstzahlen verteilt bis alle Sitze vergeben sind. Falls zwei
Höchstzahlen gleich groß sind, entscheidet das Los.
Beispiel
Bei einer Wahl werden insgesamt 160 gültige Stimmen auf die Parteien A, B und C
abgegeben. Es sind 8 Sitze zu verteilen.
Partei A Partei B Partei C
Parteistimmenzahl 80 30 50
Divisor 1 80 1. Sitz 30 4. Sitz 50 2. Sitz
Divisor 2 40 3. Sitz 15 - 25 6. Sitz
Divisor 3 26,667 5. Sitz 10 - 16,666 8. Sitz
Divisor 4 20 7. Sitz 7,5 - 12,5 -
Divisor 5 16 - 6 - 10 -
Erhaltene Sitze 4 1 3
Der Berechnung nach dem Quasi-Quotenverfahren funktioniert ähnlich wie das Hare-
Niemeyer Verfahren (siehe Kapitel 3.2). Allerdings wird die Quote bei der
Grundverteilung anderes ermittelt:
Parteistimmenzahl
Gesamtstimmenzahl+1 =
Quote ; und die Restsitze
Gesamtsitzzahl+1
€
6

werden nach der größten Höchstzahl zugeteilt. Dafür wird die Parteistimmenzahl durch die
um 1, 2, ..., n erhöhte schon zugeteilte Sitzzahl dividiert.
Beispiel
Bei einer Wahl werden insgesamt 160 gültige Stimmen auf die Parteien A, B und C
abgegeben. Es sind 8 Sitze zu verteilen.
Partei A Partei B Partei C
Parteistimmenzahl 80 30 50
Quote 4,472 1,677 2,795
erhaltene Sitze nach Grundverteilung 4 1 2
Bei der Grundverteilung wurden nur 7 von 8 Sitzen vergeben, d.h. es kommt zur Restverteilung.
Restverteilung nach Höchstzahl 80:(4+1) = 16 30:(1+1) =
15
50:(4+1) =
16,6
erhaltene Sitze insgesamt 4 1 2+1 = 3
3.4. Divisorverfahren nach Sainte-Laguë/Schepers
1980 schlägt der deutsche Physiker Hans Schepers eine Abänderung des Verfahrens nach
d’Hondt vor, um die Benachteiligung kleinerer Parteien zu vermeiden. Schon 1912
entwickelte der französische Mathematiker André Sainte-Laguë ein Verfahren mit dem
man auf dieselben Ergebnisse kommt wie nun Schepers; er benutzt aber eine andere
Rechenmethode.
Seit 1980 wird das Verfahren eingesetzt, um die Ausschüsse des Deutschen Bundestages
zu besetzen. Außerdem kam es bei der Wahl des 17. Bundestages 2009 zur Anwendung.
Vom Prinzip her funktioniert das Verfahren nach Sainte-Laguë/Schepers sehr ähnlich, wie
das von d’Hondt: Die Anzahl der Stimmen einer Partei wird durch eine Reihe von
Divisoren geteilt (0.5; 1.5; 2.5;…). Die Sitze werden dann absteigend in der Reihenfolge
der größten Hochzahlen vergeben. Hintergrund für die Wahl der Divisoren ist, dass eine
Partei nicht erst ein Mandat bekommt, wenn der volle Anspruch darauf vorliegt, sondern
schon wenn der halbe Anspruch auf einen Sitz besteht.
Beispiel
Die Sitzverteilung nach einer Wahl bei insgesamt 672 Sitzen sieht wie folgt aus:
CDU SPD Grüne FDP PDS
294 252 49 47 30
Es soll nun ein 17-köpfiger Ausschuss zusammengestellt werden:
Mandate, je Ausschusssitz
Da die Sitzansprüche nicht ganzzahlig sind, wird auf die nächste ganze Zahl
gerundet.
7

So erhalten:
die CDU
die SPD
die Grünen
Sitze,
Sitze,
Sitz,
In der Summe ergeben diese
Ergebnisse aber nur 16 Sitze. Wir
brauchen also eine Zahl x, die kleiner
ist als a=40 und für die gilt
die FDP
die PDS
Sitz,
Sitz
Für x=39 erhält man insgesamt 17
Sitze. (8+6+1+1+1=17)
Nun betrachtet man die Funktion f mit .
Die Funktion ist stückweise konstant, monoton fallend, ganzzahlig und springt genau dann,
wenn einer der Summanden springt.
Es ist , wobei eine ganze Zahl ist, die kleiner oder gleich ist.
Die Funktion springt also, wenn
ist, wobei n eine natürliche Zahl ist.
Mit
ergeben sich für den ersten Summanden mit n=1,2,3,… die Stellen
entsprechend springt die Funktion auch bei Stellen, an denen die anderen vier
Summanden springen. Die Parteien sammeln so ihre Sitze, bis die gewünschte Anzahl
erreicht ist.
4. Vergleich der Verfahren
Niemeyer D’Hondt
Sainte-
Laguë
Verhältnistreue (Proportionalität) x x x
Summenforderung x x x
Mehrheitstreue x x (für ungerade) x
Integritätsforderung x x x
Eindeutigkeitsforderung - - -
Eindeutigkeitsforderung für Reihenfolge - x x
Quotenbedingung x - -
Wie in der Tabelle ersichtlich, erfüllt keines der vorgestellten Verfahren alle
Anforderungen. Allen gemeinsam ist, dass sie mehr oder weniger die Idee der
Proportionalität umsetzen, dass sie die Summen –und Integritätsforderung erfüllen und
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dass sie die Forderung nach Eindeutigkeit nicht erfüllen können. Außerdem erfüllen sie
nicht oder nur teilweise die Mehrheitstreue, weswegen an dieser Stellen die
Mehrheitsklausel greift.
Das Verfahren nach Hare-Niemeyer erfüllt die obere und untere Quotenbedingung und
verhält sich neutral in Bezug auf die Parteigröße. Als Quotenverfahren unterliegt es
allerdings diversen Paradoxa wie beispielsweise dem Parteizuwachs-Paradox (New-State-
Paradox). Dieses beschreibt den Effekt, dass durch das Streichen einer Partei eine andere
Partei Sitze verlieren bzw. gewinnen kann. Speziell für das Niemeyer-Verfahren ist das
Alabama-Paradox, das bei der Erhöhung der Gesamtsitzzahl bei gleicher
Stimmenverteilung auftreten kann. Dabei verliert eine Partei durch die Vergrößerung des
Gremiums einen Sitz. Mathematisch äquivalent zur fehlenden Konsistenz ist das
Wählerzuwachs-Paradox (Population-Paradox): Bei einem anderen Wahlergebnis kann
eine Partei trotz Stimmengewinn einen Sitz verlieren und gleichzeitig eine andere Partei
trotz Stimmenverlust einen Sitz gewinnen.
Der Verfahren nach D’Hondt hingegen ist frei von diesen Paradoxa. Allerdings kann eine
Partei mehr Sitze erhalten als ihr zustehen. Somit erfüllt es zwar die obere
Quotenbedingung, aber nicht die untere. Außerdem bevorzugt es große Parteien.
Weder die obere noch die untere Quotenbedingung werden vom Verfahren nach
Schepers/Sainte-Laguë erfüllt. Dafür werden kleine Parteien nicht benachteiligt.
5. Fazit
Die vorgestellten Methoden haben alle ihre Vor- und Nachteile. Man selbst muss sich
entscheiden, welches Verfahren man für das Geeignete hält. Dass sich die Politiker dabei
nicht immer einig waren, erkannt man daran, dass im Lauf der Geschichte immer wieder
neue Verfahren genutzt wurden und noch heute in den Bundesländern unterschiedliche
Verfahren verwendet werden.
Im Endeffekt muss man sich die Frage stellen, ob die Methode des mathematischen
Rundens wirklich die gerechteste ist. Kann es nicht doch noch andere, bessere
mathematische Modelle geben? Balinski und Young jedenfalls haben in ihrem
Unmöglichkeitssatz bewiesen, dass kein bisher bekanntes Sitzzuteilungsverfahren
gleichzeitig die Quotenbedingung erfüllen kann und Wählerzuwachsparadoxon frei ist, d.h.
das kein ideales Auszählverfahren, das alle Anforderungen erfüllt, existiert.
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Literaturverzeichnis
Deutscher Bundestag (Hrsg.)(2009): Berechnungsverfahren für die Sitzverteilung. In:
http://www.bundestag.de/bundestag/ausschuesse17/azur/index.html
(Zugriff am 11.10.10).
Fehndrich, Martin (Hrsg.)(2010): Sitzzuteilungsverfahren bei Verhältniswahlen. In:
http://www.wahlrecht.de/verfahren/ (Zugriff am 11.10.10).
Jahnke, Thomas (Hrsg.): Themenheft Wahlen. In: Mathematik lehren. Heft 88, S.14-19.
Korte, Karl-Rudolf (2009): Wahlsysteme im Vergleich. In:
http://www.bpb.de/themen/W8J9US.html (Zugriff am 11.10.10).
Pukelsheim, Friedrich (1998): Divisor oder Quote? Zur Mathematik von
Mandatszuteilungen bei Verhältniswahlen. Augsburg
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Anhang
Handout: Auszählverfahren nach Wahlen
Grundbegriffe
Verhältniswahlrecht:
Mehrheitswahlrecht:
Die Zusammensetzung des Parlaments erfolgt verhätlnismäßig
nach der Anzahl der Stimmen für die einzelnen Parteien.
-> relatives: Es gewinnt, wer die meisten Stimmen erhält.
->absolutes: Es gewinnt, wer mehr als die Hälfte der Stimmen
erhält.
Während man mit der Erststimme einen Kandidaten wählt, wählt man mit der Zweitstimme
eine Partei.
Gewinnt eine Partei mehr Wahlkreise durch die Erststimme als ihr verhältnismäßig Sitze nach
dem Ergebnis der Zweitstimme zustehen, wird ein Überhangmandat vergeben.
Ausgleichsmandate dienen dann dazu, die Überhangmandate so auszugleichen, dass andere
Parteien nicht benachteiligt werden. Dazu wird dann die Zahl der Abgeordnetensitze erhöht.
Anforderungen
- Integritätsforderung
- Summenforderung
- Mehrheitstreue
- Quotenbedingung
- Verhältnistreue/Proportionalität
- Eindeutigkeitsforderung (für die
Reihenfolge)
/0)0$1+)*+,-'+*.!
"#$%&'()*+,-'+*.!
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Wichtige Auszählverfahren
.-2'!/341.56!
.-2'!7-0.6*8
9-:#*!
.-2'!4-+*8
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I. Quotenverfahren nach Hare-Niemeyer
‐ Verwendung für die Berechnung der Sitzverteilung im Dt. Bundestag von der Wahl
1987 bis 2005
‐ Verwendung seit 1987 für diverse Landtagswahlen, z.B. Berlin, Brandenburg
1. Schritt – Grundverteilung:
Parteistimmenzahl
Gesamtstimmenzahl = Quote
Gesamtsitzzahl
Die abgerundete Quote wird als Sitz direkt zugeteilt.
2. Schritt – Restverteilung: € Restsitze werden in der Reihenfolge der größten
Nachkommastellen der Quote zugeteilt.
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Beispiel: Es sind 14 Sitze bzw. Mandate zu vergeben.
Partei A Partei B Partei C Gesamt
Erhaltene Stimmen 38 38 24 100
Quote: 5,32 5,32
Sitze nach Grundverteilung
Durch die Grundverteilung wurden nur ______ von 14 Sitzen vergeben. Daher kommt es zur Restverteilung.
Sitze nach Restverteilung
Sitze gesamt
Paradoxe
‐ Alabama-Paradox:
‐ Wählerzuwachs-Paradox
‐ Parteizuwachs-Paradox
II. Divisorverfahren nach D’Hondt
‐ Verwendung im Dt. Bundestag bis 1987 (Ersetzung durch Hare-Niemeyer)
‐ Verwendung für diverse Landtagswahlen, z.B. Sachsen, Saarland, Schleswig-Holstein
‐ Verfahren kann in 5 mathematisch äquivalente Algorithmen verwendet werden, die
dasselbe Sitzzuteilungsergebnis generieren
a) Höchstzahlverfahren: Die Parteistimmenzahl wird durch die Divisoren 1, 2, 3, ..., n
dividiert. Die Sitze werden dann in der Reihenfolge der
größten Hochzahlen vergeben bis alle vorhandenen Sitze
verteilt wurden.
b) Quasi-Quotenverfahren: Parteistimmenzahl
Gesamtstimmenzahl+1 =
Quote
Gesamtsitzzahl+1
Die abgerundete Quote wird als Sitz direkt zugeteilt. Restsitze
werden in der Reihenfolge der größten Höchstzahlen zugeteilt.
c) Iteratives Verfahren: € Die Parteistimmenzahl wird durch einen geeigneten Divisor
dividiert. Das Ergebnis wird abgerundet als Sitz zugeteilt.
II. Divisorverfahren nach Sainte-Laguë/Schepers
‐ Verwendung seit 1980 für Besetzung der Ausschüsse und Gremien des Dt.
Bundestages
‐ Anwendung bei der Wahl des 17. Dt. Bundestages 2009
a) Höchstzahlverfahren: Die Parteistimmenzahl wird durch die Divisoren 1/2; 1,5;
2,5; ...; n dividiert. Die Sitze werden dann in der Reihenfolge
der größten Hochzahlen vergeben. Die Partei bekommt ihr
Mandat damit schon, wenn der halbe Anspruch auf einen Sitz
besteht.
b) Iteratives Verfahren:
€
Divisor = Gesamtstimmenzahl
Gesamtsitzzahl
Die Parteistimmenzahl wird durch einen geeigneten Divisor
geteilt und standardmäßig gerundet. Dies entspricht der
Anzahl der Sitze.
Sind zu viele/wenige Sitze verteilt worden, wird das
Verfahren mit einem größeren/kleineren Divisor wiederholt.
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Vergleich der Verfahren
Bei einer Wahl werden 19 gültige Stimmen abgegeben. Partei A erhält dabei 13
Stimmen, Partei B 3 Stimmen, Partei C 2 Stimmen und Partei D 1 Stimme. Es sind 7 Sitze zu
vergeben.
Arbeitsaufträge:
1. Ermittle je die Parteisitze mithilfe der Auszählverfahren nach D’Hondt, Hare-
Niemeyer sowie Sainte-Lague!
2. Welche Unterschiede stellst du zwischen den Verfahren fest?
3. Überlege, ob die Verfahren die Anforderungen an Auszählverfahren erfüllen!
Auszählverfahren nach Hare-Niemeyer
Partei A Partei B Partei C Partei D
Erhaltene Stimmen 13 3 2 1
Quote
Erhaltene Sitze nach
Grundverteilung
Erhaltene Sitze nach
Restverteilung
Sitze gesamt
Auszählverfahren nach D’Hondt (Höchstzahlverfahren)
Partei A Partei B Partei C Partei D
Erhaltene Stimmen 13 3 2 1
Divisor 1
Divisor 2
Divisor 3
Divisor 4
Divisor 5
Divisor 6
Sitze gesamt
Auszählverfahren nach Sainte-Laguë (Höchstzahlverfahren)
Partei A Partei B Partei C Partei D
Erhaltene Stimmen 13 3 2 1
Divisor 0,5
Divisor 1,5
Divisor 2,5
Divisor 3,5
Divisor 4,5
Divisor 5,5
Sitze gesamt
Nützliche Literatur
‐ Deutscher Bundestag (Hrsg.) (2009): Berechnungsverfahren für die Sitzverteilung. In:
http://www.bundestag.de/bundestag/ausschuesse17/azur/index.html (Zugriff am 11.10.10)
‐ Fehndrich, Martin (Hrsg.) (2010): Sitzzuteilungsverfahren bei Verhältniswahlen. In:
http://www.wahlrecht.de/verfahren/ (Zugriff am 11.10.10)
‐ Jahnke, Thomas (Hrsg.): Themenheft Wahlen. mathematik lehren. Heft 88 (Juni 1998)
‐ Pukelsheim, Friedrich (1998): Divisor oder Quote? Zur Mathematik von Mandatszuteilungen bei
Verhältniswahlen. Augsburg
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