Skript - Begabtenförderung Mathematik eV

Hans Walser
Das DIN-Format
Zusammenfassung
Forum für Begabtenförderung
21. bis 23. März 2013, Universität Würzburg
Das DIN-Format ist mehr als ein Stück Papier und die Quadratwurzel aus Zwei.
Wir treffen auf Spiralen, Grenzpunkte, Fragen der Abzählbarkeit, das Delische Problem,
die gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung, fraktalen Blumenkohl, Jakobs Himmelsleiter,
das Silberne Rechteck, Faltprobleme und Legespiele nach Fröbel.
Inhalt
1 Ausschöpfen des A0-Rechteckes ................................................................................ 2
1.1 Die klassische Art ................................................................................................ 2
1.2 Spiralförmige Anordnung .................................................................................... 2
1.3 Andere Grenzpunkte ............................................................................................ 3
1.4 Mächtigkeiten ...................................................................................................... 5
2 Andere Figuren ........................................................................................................... 5
2.1 Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck ........................................................ 6
2.2 DIN-Quader ......................................................................................................... 6
2.2.1 DIN-Hyperquader ......................................................................................... 8
2.2.2 Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung ........................................................... 8
2.3 Fraktale ................................................................................................................ 8
2.4 Die Jakobsleiter .................................................................................................... 9
3 Das Silberne Rechteck .............................................................................................. 10
3.1 Ansetzen oder Abschneiden ............................................................................... 10
3.2 Eigenschaften des Silbernes Rechteck ............................................................... 11
3.3 Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck .............................................. 13
4 Das regelmäßige Achteck ......................................................................................... 13

Hans Walser: Das DIN-Format 2 / 15
1 Ausschöpfen des A0-Rechteckes
1.1 Die klassische Art
Wir können mit einem Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ein A0-Rechteck ausschöpfen
(Abb. 1). Die Rechtecke sind im Wechsel im Quer- und Hochformat.
A6 A7
A4
A2
A5
A3
A1
Abb. 1: Ausschöpfung des A0-Rechteckes
Wenn wir die Mitten aufeinanderfolgender Rechtecke verbinden, ergibt sich eine Zickzack-Linie,
welche in den Grenzpunkt rechts oben mündet.
1.2 Spiralförmige Anordnung
Wir können das Set von Rechtecken A1, A2, A3, ... aber auch spiralförmig anordnen
(Abb. 2).
Abb. 2: Spiralförmige Anordnung
Der Grenzpunkt ergibt sich durch Einzeichnen geeigneter Halbdiagonalen.
Der Grenzpunkt hat „Drittelkoordinaten“ (Abb. 3).

Hans Walser: Das DIN-Format 3 / 15
2
y
2
3
2
1
3
2
1
3
2
3
1
x
Abb. 3: Drittel bei den Koordinaten
Das kann wie folgt eingesehen werden: Wenn auf der Höhe des Grenzpunktes von links
her einfahren, treffen wir nur Hochformat-Rechtecke, und zwar der Reihe nach A4, A8,
A12, A16, ... . Diese haben im angegebenen Koordinatensystem die Breiten 1 4 , 1
1
256
Reihe:
16 , 64 1 ,
, ... . Für die x-Koordinate des Grenzpunktes ergibt sich daher die geometrische
1
4 + 16 1 + 64 1 + 256 1 + = 1 4
1− 1 4
Ein violettes Rechteck der Abbildung 3 hat das Seitenverhältnis des DIN-Formates. Es
bedeckt einen Neuntel des A0-Rechteks. Welchen DIN-Code hat es?
Dazu vergleichen wir mit den Flächenanteilen im DIN-System.
= 1 3
Format A0 A1 A2 A3 A4 A5 An
Flächenanteil 1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
32
1 2
Wir sehen, dass unser violettes Rechteck zwischen A3 und A4 liegt, gefühlsmäßig näher
an A3. Rechnerisch erhalten wir:
1
( 2 ) n = 1 9
n = log 12
1
9
( ) ≈ 3.169925
1.3 Andere Grenzpunkte
Jeder Punkt im Innern oder auf dem Rand des A0-Rechteckes kann Grenzpunkt werden.
Dazu verwenden wir folgenden Algorithmus: Wir füllen das A0-Rechteck mit einem
Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... so auf, dass der anvisierte Grenzpunkt nie ins
( ) n

Hans Walser: Das DIN-Format 4 / 15
Innere eines Set-Rechteckes gelangt. Die Abbildung 4 zeigt die ersten fünf Schritte und
die Grenzfigur.
Abb. 4: Beliebiger Grenzpunkt
Natürlich wird der Algorithmus ambivalent, wenn der anvisierte Grenzpunkt auf den
Rand eines Set-Rechteckes zu liegen kommt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die x-

Hans Walser: Das DIN-Format 5 / 15
Koordinate und/oder die y-Koordinate modulo 2 eine abbrechende Dualbruchentwicklung
haben.
In diesem Fall entscheiden wir uns für „unten“ beziehungsweise „links“. Dieser Entscheid
ist von derselben Qualität wie der Entscheid, ein Halbes im Dezimalsystem
durch 0.5 und nicht durch 0.4999... darzustellen.
Die Abbildung 5 zeigt die Situation mit dem Grenzpunkt in der Mitte des A0-
Rechtecks.
Abb. 5: Grenzpunkt in der Mitte
Die Figur ist asymmetrisch, muss es sein, da bei einer Symmetrie im A0-Rechteck jedes
Teil doppelt oder vierfach erscheinen müsste.
1.4 Mächtigkeiten
Ein Set von DIN-Rechtecken A1, A2, A3, ... ist abzählbar (es ist ja bereits nummeriert).
Es hat die Mächtigkeit ℵ 0 . Da jeder Punkt eines Din A0-Rechteckes Grenzpunkt sein
kann, haben wir für diese Punkte nach unserem Algorithmus die Mächtigkeit 2 ℵ 0 , da es
für jedes Set-Rechteck zwei Positionsmöglichkeiten gibt.
2 Andere Figuren
Gibt es andere Figuren, die in zwei kongruente, zur Ausgangsfigur ähnliche Teilfiguren
zerlegbar sind?
Die Frage ist allgemein gehalten, es ist nicht von Halbieren die Rede, sondern nur von
Zerlegen.

Hans Walser: Das DIN-Format 6 / 15
2.1 Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck
Das naheliegende Beispiel ist das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck (Abb. 6).
Abb. 6: Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck
Es gibt im rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ebenfalls eine spiralförmige Anordnung
(Abb. 7). Der Grenzpunkt führt zu Fünfteln.
2
5
2.2 DIN-Quader
Abb. 7: Spiralförmige Anordnung
Wird ein Quader mit dem Kantenverhältnis 2 :
3
4 :
3
2 halbiert, ergeben sich zwei
Quader mit dem Kantenverhältnis
3
4 :
3
2 :1. Diese sind ähnlich zum ursprünglichen
Quader. Die Abbildung 8 zeigt einen DIN-Quader mit dem Kantenverhältnis
3
4 :
3
2 :1
im Vergleich zum Einheitswürfel.
0
1
5
1
1
3
2 1.26 3
4 1.59
Abb. 8: DIN-Quader und Einheitswürfel
Die Abbildung 9 zeigt einige Flechtmodelle von DIN-Quadern.

Hans Walser: Das DIN-Format 7 / 15
Abb. 9: DIN-Quader, Flechtmodelle
Die Abbildung 10 zeigt eine Anordnung eines DIN-Quader-Sets analog zur klassischen
Anordnung eines Sets von DIN-Rechtecken.
z
z
x
y
x
y
Abb. 10: Anordnung
Während bei Rechtecken nur zwischen Querformat und Hochformat unterschieden werden
kann, brauchen wir hier drei Anaordnungsformate. Dazu dient das beigefügte Koordinatensystem.
Der erste Quader hat seine längsten Kanten in der x-Richtung, der

Hans Walser: Das DIN-Format 8 / 15
zweite Quader hat seine längsten Kante in der y-Richtung und der dritte Quader in der z-
Richtung. Der vierte Quader hat seine längsten Kanten wiederum in der x-Richtung.
2.2.1 DIN-Hyperquader
Im vierdimensionalen Raum ergeben sich durch
2 :
4
8 :
4
4 :
4
4
oder in anderer Schreibweise
4
8 :
4
4 :
4
2 :1
2 4 4 :2 3 4 :2 2 4 :2 1 4
2 3 4 :2 2 4 :2 1 4 :2 0 4
die Kanten zweier aufeinanderfolgender 4d-DIN-Hyperquader. George Pólya (1887-
1985) hätte in dieser Situation allerdings von einer Verallgemeinerung durch Verwässerung
gesprochen.
2.2.2 Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung
Wir verwässern weiter zum 12d-DIN-Hyperquader.
2 12
12 :2 11
12 :2 10
12 :2 9
12 :2 8
12 :2 7
12 :2 6
12 :2 5
12 :2 4
12 :2 3
12 :2 2
12 :2 1
12
Das haben wir zwar noch nie gesehen, aber schon gehört. Es sind die Frequenzverhältnisse
der Gleichtemperierte 12-Ton-Stimmung.
2.3 Fraktale
Eine Erinnerung an die achtziger Jahre: Beim Generator Der Abbildung 11
Abb. 11: Generator
wird jeweils eine Strecke durch zwei kleinere Strecken ersetzt. Der Reduktionsfaktor ist
in unserem Beispiel 5 . Es entsteht das Blumenkohlfraktal der Abbildung 12. Über
8
Fraktale vgl. [Mandelbrot 1983] und [Mandelbrot 1991].
Abb. 12: Blumenkohlfraktal

Hans Walser: Das DIN-Format 9 / 15
Dieses lässt sich gemäß Abbildung 13 in zwei dazu ähnliche Blumenkohlfraktale zerlegen.
Abb. 13: Zerlegung in zwei ähnliche Blumenkohle
Für die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension) erhalten wir in unserem Beispiel:
D = ln( 2)
( ) = 1
( ) ≈ 1.474769
ln 8 5
log 2
8
5
Im Zähler steht der Logarithmus der Zahl 2, weil wir in 2 Teilfiguren zerlegen. Im Nenner
steht der Logarithmus des Kehrwertes des Reduktionsfaktors.
Jedes Fraktal mit einem zweiteiligen Generator führt ist eine Figur, die sich in zwei dazu
ähnliche Teilfiguren zerlegen lässt.
2.4 Die Jakobsleiter
Und ihm träumte; und siehe, eine Leiter stand auf der Erde,
die rührte mit der Spitze an den Himmel, und siehe,
die Engel Gottes stiegen daran auf und nieder.
Gen 28, 11
Die Abbildung 14a zeigt die ersten Sprossen der Jakobsleiter.

Hans Walser: Das DIN-Format 10 / 15
Abb. 14: Jakobsleiter
Auf der einen Seite der Leiter steigen die Engel hinauf, auf der anderen Seite hinunter.
Damit sie sich nicht gegenseitig auf den Füßen herumtreten, haben sie festgelegt, dass
die aufsteigenden Engel nur die Sprossen mit ungeraden Nummern verwenden, die absteigenden
nur die Sprossen mit geraden Nummern (Abb. 14b). Damit zerfällt die Jakobsleiter
in zwei Teil-Jakobsleitern, die zur ursprünglichen Jakobsleiter ähnlich sind
(Abb. 14c und 14d). Wir haben also das Prinzip des DIN-Formates.
Der Reduktionsfaktor ist 2. Das Wort Reduktionsfaktor ist syntaktisch richtig, semantisch
falsch, da Sprossenhöhne nicht reduziert, sondern verdoppelt wird. Unter dem Aspekt
eines Fraktals ergibt sich die Mandelbrot-Dimension D (fraktale Dimension):
D = ln( 2)
3 Das Silberne Rechteck
a) b) c) d)
( ) = 1
( ) = −1
ln 1 2
log 2
1
2
3.1 Ansetzen oder Abschneiden
Wir können zu einem DIN-Rechteck an der Schmalseite ein Quadrat ansetzen oder von
einem DIN-Rechteck ein Quadrat abschneiden (Abb. 15).

Hans Walser: Das DIN-Format 11 / 15
1 1
2 +1 2 1
Abb. 15: Quadrat ansetzen oder Quadrat abschneiden
Die Abbildung 16 zeigt das Summen- und das Differenzrechteck.
1 1
Abb. 16: Summenrechteck und Differenzrechteck
( ) beziehungswei-
Wir erhalten ein Summenrechteck mit dem Seitenverhältnis 1: 2 +1
se ein Differenzrechteck mit dem Seitenverhältnis ( 2 −1) :1.
Wegen 1: 2 +1
2 +1 2 1
( ) = ( 2 −1) :1 haben diese beiden Rechtecke dasselbe Seitenverhältnis.
Ein solches Rechteck wird mit dem leicht esoterischen Namen Silbernes Rechteck
bezeichnet, da es einige Eigenschaften ähnlich denen des Goldenen Rechtecks mit dem
Seitenverhältnis des Goldenen Schnittes hat. Über den Goldenen Schnitt siehe [Walser
2009].
3.2 Eigenschaften des Silbernen Rechtecks
Wir können zum Beispiel vom Silbernen Rechteck zwei Quadrate abschneiden, und
dann bleibt ein Silbernes Restrechteck übrig (Abb. 17).
Abb. 17: Zwei Quadrate abschneiden
Der Prozess kann iteriert werden (Abb. 18), theoretisch ad infinitum.

Hans Walser: Das DIN-Format 12 / 15
Abb. 18: Iteration des Abschneidens
Wir können die Quadrate mit Viertelkreisen füllen gemäß Abbildung 19. So entstehen
zwei Spiralen.
Abb. 19: Spiralen
Wir können vier rechtwinklige-gleichschenklige Dreiecke so auslegen, dass ein Silbernes
Umrissrechteck und ein Silbernes Lochrechteck entstehen (Abb. 20).
Abb. 20: Silberne Rechtecke als Umriss und als Loch
Auch dies kann iteriert werden (Abb. 21).
Abb. 21: Iteration

Hans Walser: Das DIN-Format 13 / 15
3.3 Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck
Die Abbildung 22 zeigt einen Beweis ohne Worte für den Diagonalenschnittwinkel 45°
im Silbernen Rechteck. Den Beweis verdanke ich Renato Pandi.
90° 90° 90°
45° 45°
?
45°
Abb. 22: Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck
Der 45°-Winkel ist auch der Zentriwinkel im regelmäßigen Achteck.
4 Das regelmäßige Achteck
Das Silberne Rechteck erscheint im regelmäßigen Achteck (Abb. 23).
45°
45°
Abb. 23: Silbernes Rechteck im regelmäßigen Achteck
Flächenmäßig macht das Silberne Rechteck genau die Hälfte des Achtecks aus. Dies
kann mit einem Zerlegungsbeweis eingesehen werden (Abb. 24).
Abb. 24: Zerlegungsbeweis

Hans Walser: Das DIN-Format 14 / 15
Der Zerlegungsbeweis kann noch subtiler gemacht werden, so dass ein Stern erscheint
(Abb. 25). Das erinnert an die Legespiele nach Fröbel.
Abb. 25: Zerlegungsbeweis mit Stern
Mit denselben Bauteilen können auch zwei flächenmäßig halb so große Achtecke ausgelegt
werden (Abb. 26).
Abb. 26: Zwei Achtecke
Wenn wir beim Stern zusätzlich zwei rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke ansetzen,
passt die Figur in ein DIN-Rechteck (Abb. 27).
Abb. 27: Einpassen ins DIN-Rechteck

Hans Walser: Das DIN-Format 15 / 15
Auf Grund dieser Figur kann aus einem DIN-Rechteck ein regelmäßiges Achteck durch
Falten hergestellt werden.
Literatur
[Mandelbrot 1983]
[Mandelbrot 1991]
[Walser 2009]
Mandelbrot, Benoît B.: The Fractal Geometry of Nature. New
York: Freeman 1983. ISBN 0-7167-1186-9
Mandelbrot, B. B.: Die fraktale Geometrie der Natur. Basel:
Birkhäuser 1991.
Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte
Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wußing über populärwissenschaftliche
Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz,
Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1