Aufgabenblatt 15, Mathematik 2, WS 2008 1

FHTW Berlin Mathematik 2 WS 2008/09
Wiederholungsaufgaben zur Klausurvorbereitung
Besprechung am 21. und 28. Januar
Thema 1: Reihen
1.1 Folgen und Reihen
Lernziele: Arithmetische und geometrische Folgen oder Reihen erkennen und berechnen,
Gesetzmäßigkeiten von Folgen und Reihen erkennen (allgemeines Bildungsgesetz
finden)
1) Ein westdeutscher Arbeiter hat im Jahr 1974 durchschnittlich 24000 DM pro Jahr brutto
verdient. Nehmen Sie an, die Gewerkschaften hätten eine Lohnsteigerung von 12% jährlich
durchgesetzt.
a) Wie hoch wäre das Bruttoeinkommen im Jahr 2000 gewesen?
b) In welchem Jahr hätte ein Arbeiter 1 Million DM verdient (vorausgesetzt, das Gehalt wäre
weiterhin in DM ausgezahlt worden)?
2) An einem Regelwiderstand lassen sich 10 verschiedene Widerstände abgreifen. Wie viel
Ohm hat der kleinste Widerstand, wenn der größte 10 kΩ beträgt und jeder Widerstand um
25% gegenüber dem nächstgrößeren abfällt?
3)
Einem Quadrat wird gemäß Skizze wieder ein
Quadrat einbeschrieben, diesem das nächste usw.
Geben Sie die Summe der Flächeninhalte der
Quadrate
für n→ ∞ an.
4) Herr Ackermann muss seiner Ex-Gattin 15 Jahresraten zu je 4000000 € zahlen, beginnend
am 1. Januar 2009. Über welchen Betrag aus diesen Zahlungen verfügt seine Ex-Gattin ein
Jahr nach der letzten Ratenzahlung, wenn sie alle Beträge verzinslich mit 8% p. a. anlegt?

1.2 Konvergenzkriterien
Lernziele: Notwendige und hinreichende Bedingungen für die Konvergenz von Reihen
kennen und anwenden (u. a. Quotientenkriterium, Leibniz-Kriterium für alternierende
Reihen)
5) Weisen Sie mit dem Quotientenkriterium nach, ob die folgenden Reihen divergieren oder
konvergieren:
a)
19 / 1 + 39 / 6 + 59 / 120 + . . . . . .
b) ∑ ∞ n!(
n −1)!
n= 1 (2n
+ 1)!
c) ∑ ∞ ( n!)²
=1 (2n)!
n
1.3 Potenzreihen
Lernziele: Konvergenzbereich einer Potenzreihe berechnen (mit Randpunkten)
6) Berechnen Sie den Konvergenzbereich der folgenden Potenzreihen:
a)
∑ ∞
n=
1
n
2 n
3
x
b) p(x) = ∑ ∞
n =
2n
( x − 4)
n
0 2
n
1.4 Taylorreihen
Lernziele: Entwicklung einer Funktion in eine MacLaurinsche Reihe oder eine Taylorreihe,
näherungsweise die Lösung von Integralen mit einer Taylorreihe berechnen, Abschätzen
von Funktionen mittels linearer und quadratischer Näherungen.
7) Entwickeln Sie
1
a) f(x) = in eine MacLaurinsche Reihe. Wo konvergiert die Reihe?
1+
2x
b) f(x) = cos 3x in eine Taylorreihe um x 0 = p/3.
c) f(x) = 1/x, in ein Taylorreihe um x 0 = 1
Notieren Sie in allen Fällen die allgemeine Summenformel.

cos x
8) Das Integral
∫ dx ist elementar nicht lösbar. Bestimmen Sie die Stammfunktion
x
über die Potenzreihenentwicklung von cos x.
9) Das Integral
1
2
−x
∫ e dx lässt sich nicht auf die übliche Weise berechnen. Schreiben Sie
0
x
e − 2
als Potenzreihe (in der e x -Reihe x durch −x 2 ersetzen) und ermitteln Sie die Stammfunktion
durch gliedweise Integration. Brechen Sie die Berechnung des bestimmten Integrals nach
dem 6. Reihenglied ab.
10) Durch die Gleichung
I(t) =
U
R
R
− t
L
( 1− e ), t ≥ 0,
wird die zeitliche Abhängigkeit der Stromstärke in einem RL-Stromkreis beschrieben.
Linearisieren Sie diese Funktion für t 0 = 0.
Thema 2: Komplexe Zahlen
Lernziele: Komplexe Grundrechenarten beherrschen, Potenzen, Wurzeln und den Logarithmus
komplexer Zahlen berechnen, sämtliche Nullstellen eines Polynoms bestimmen
(Fundamentalsatz der Algebra), Überlagerung von mechanischen oder elektromagnetischen
Schwingungen berechnen.
11) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil von z =
3
j
π
2
3 + 4j j
+ + e + −4
2 ∗
(1−
2j) (2 − j)
.
12) Berechnen Sie
a) sämtliche (komplexe) Lösungen von x 4 +9 = 0
b) Ln ((-1 - j) 4 )
c) z = (8 + j8 3 ) 10
4
d) z = − 1
e) z mit z 3 = 8j .
13) Berechnen Sie die Wechselspannung u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) mit Hilfe von komplexen Zeigern
:
π
6
u 1 (t) = 2V sin( ω t + ) , u 2 (t) =
5
6 Vcos( ω t + π ) .
6

Thema 3: Integralrechnung
3.1 Integrationstechniken
Lernziele: Grundintegrale erkennen, Integrationstechniken wie partielle Integration,
Integration durch Substitution (inklusive die Formeln A – D) und Partialbruchzerlegung
beherrschen, uneigentliche Integrale berechnen.
Hinweis: Zur Lösung dieser Integrale dürfen nur Grundintegrale benutzt werden. Weitere in
Formelsammlungen angegebene Lösungen von Integralen dürfen allenfalls zur Kontrolle herangezogen
werden. Diese Regel gilt auch für die Klausur.
14) Lösen Sie die folgenden Integrale mit einer adäquaten Methode. Beachten Sie dabei besonders
die Grundintegrale und die in der Vorlesung besprochenen Formeln A, B und C.
4
a) ⌡
⌠
1
1 - z²
z
e) ⌡
⎮ ⌠ arctan(x)
1 + x²
(ln x)²
dz b) ⌡⌠sin²x cos³x dx c) ∫ dx
x
f) ⌡
⎮ ⌠ 1
x² + 4
2x²
dx g) ∫ dx
x³
+1
d)∫sin(
5x − 2)
dx
1
h) ∫ dx
cos²(2x)
15) Lösen Sie durch Substitution:
a) ⎮ ⌠ π
2x
x
⌡ (1 + x² )² dx b) e
∫ x ³ cos( x²)
dx
c) ∫ dx
x
e
0
1+
16) Lösen Sie mittels partieller Integration:
∞
−
a) ∫ x sin( 2x)
dx
b) ∫ xe x dx
c) ∫ x ln xdx
0
17) Lösen Sie mittels Partialbruchzerlegung:
a) ⌡
⎮ ⌠ 2x³ - 12x² + 20x - 2
x ² -6x +9
dx b) ⌡
⎮ ⌠ 7x² + 6
x 4 - 5x³
18) Lösen Sie folgende Integrale mit gebrochen rationalen Funktionen:
1
1
a) ∫ dx
b) dx
x²
+ 9
∫
x²
− 9
6x + 7 2x
+ 6
c) ∫ 2 dx
d) dx
(x + 2)
∫
x²
+ 9

2x
+ 1
e) ∫ dx
x²
− 6x
+ 25
3x
− 2
f) ∫ dx
x²
+ 25
3.2 Anwendungen der Integralrechnung
Lernziele: Eingeschlossene Flächen und ihre Schwerpunkte berechnen, Volumina von
Drehkörpern bestimmen (bei Drehung um die x- oder y-Achse), lineare oder quadratische
Mittelwerte berechnen, Anwendung der Integralrechnung auf Arbeit und Bewegungen
kennen.
19) Berechnen Sie den von den Parabeln y = x² - 4x und y = - 1 / 5 x² + 2x eingeschlossenen
Flächeninhalt.
20) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehung der Kurve
y = 2 1 + 3x² , 0 ≤ x ≤ 1, um die y-Achse entsteht.
21) Berechnen Sie den linearen Mittelwert der Funktion y =
1
1 + x²
im Intervall –1 ≤ x ≤ 1.
22) Die Gleichung v(t) = v 0 (1 – e -t/τ ) mit v 0 > 0,τ > 0, t ≥ 0 beschreibt die Geschwindigkeit
eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit. Bestimmen Sie die durchschnittliche (mittlere)
Geschwindigkeit im Zeitintervall 0 ≤ t ≤ τ.
30t²
23) Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz einer Bewegung laute: v(t) = , t ≥ 0. Bestimmen
Sie das Weg-Zeit-Gesetz s = s(t) für die Anfangswegmarke s(0) =
100 + t³
0.
24) Welche Arbeit muss aufgebracht werden, um eine dem Hookeschen Gesetz genügende
elastische Stahlfeder mit der Federkonstanten k = 845000 N/m um 17,3 cm zusammenzudrücken?
25) Wie lang ist der Bogen des Graphen von y = 4,2 lnx³ im Intervall von x = 1 bis x = e?

Thema 4: Differenzialgleichungen
4.1 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Lernziele: verschiedene Typen von Differenzialgleichungen erkennen und die adäquate
Lösungsmethode wissen (lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten,
lineare Differenzialgleichungen, nichtlineare Differenzialgleichungen), Techniken zur
Lösung von Differenzialgleichungen beherrschen (Trennung der Variablen, Substitution,
Variation der Konstanten, Wahl einer partikulären Lösung), Anfangswertprobleme
lösen.
26) Lösen Sie folgende Differenzialgleichungen:
a) y´=ycos(x) b) x²y´ = x² + xy + y²
c) y´ + 2y = cos(x) d) xy´ = x² - y
e) y´ + ytan(x) = cos(x) f) y² - x² + xyy´ = 0
27) Lösen Sie die Anfangswertaufgaben
a) y´(x² - 4) = 2xy, y(0) = 1
b) y´ + y tan(x) = 5 sin(2x), y(3π) = 2
c) y´ = (1 + x + y)², y(0) = 0
28) Die Aufladung eines Kondensators mit der Kapazität C über einen Ohmschen Widerstand
R wird durch die lineare Differenzialgleichung
duC RC + uC
= u
dt
beschrieben. Dabei ist u = u(t) die von außen angelegte Spannung und u C = u C (t) die Spannung
am Kondensator.
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung bei einer konstanten äußeren
Spannung u(t) = const. = u 0 .
b) Wie lautet die Lösung für den Anfangswert u C (0) = 0? Rechnen Sie mit R = 1000 Ω,
C = 10 µF und u 0 = 400 V.
29) Ein Stromkreis enthält den Ohmschen Widerstand R = 6 Ω und die Induktivität L = 2 H.
Durch die angelegte Wechselspannung u(t) =20 V sin(1 s -1 t) wird ein zeitabhängiger Strom
i = i(t) erzeugt, der der folgenden Differenzialgleichung genügt:
di
L + Ri = u(t) , i(0) = 0.
dt
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke i durch Aufsuchen einer partikulären
Lösung. Wählen Sie dabei den Ansatz für die partikuläre Lösung so, dass Sie den Scheitelwert
und den Phasenwinkel des Stroms ablesen können.

30) Ein Körper besitze zur Zeit t = 0 die Temperatur T 0 und werde in der Folgezeit durch vorbeiströmende
Luft der konstanten Temperatur T L gekühlt (T L < T 0 ). Der Abkühlungsprozess
wird dabei nach Newton durch die DGL
dT
= −a( T − T ) L
, a > 0,
dt
beschrieben (a: Konstante). Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Körpertemperatur T für
den Anfangswert T(0) = T 0 durch Trennung der Variablen. Gegen welchen Endwert strebt die
Körpertemperatur?
4.2 Lineare Differenzialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Lernziele: Lösungsmethoden für die homogene Gleichung kennen (3 Fälle), Wahl des
richtigen Ansatzes für die partikuläre Lösung
31) Lösen Sie
a) y´´ + 4y = 10 sin(2x) + 2x² - x + e -x
b) y´´ + 2y´+ 3y =e -2x , y(0) =0, y´(0)=1
c) y´´ + 2y´ + y = x² e x + x –cos x
d) y´´ + y´ - 2y = x e x
32) Ein schwingungsfähiges mechanisches System bestehe aus einer Masse m = 0,5 kg und
einer
Feder mit der Federkonstanten c = 128 N/m.
a) Wie groß muss der Dämpfungsfaktor b sein, damit gerade der aperiodische Grenzfall eintritt?
Für welche Werte von b schwingt das System aperiodisch?
b) Lösen Sie die Schwingungsgleichung für den unter a) behandelten aperiodischen Grenzfall,
wenn zu Beginn der Bewegung gilt: x(0) = 0,2 m, v(0) = 0. Skizzieren Sie den Schwingungsverlauf.
Thema 5: Funktionen mehrerer Veränderlicher
5.1 Grundlagen
Lernziele: Definitions- und Wertebereich von Funktionen bestimmen, Höhen- und
Schnittkurvendiagramme zeichnen, Tangentialebene berechnen.

33) Bestimmen und skizzieren Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktionen:
a) z = xy/(y -x) b) z = xy c) z = 1/ 1-x²-y²
34) Skizzieren Sie die Höhenlinien der folgenden Funktion
a) z = x 2 + 4y 2
5.2 Partielle Ableitungen
Lernziele: Extremwerte und Tangentialebenen berechnen, das totale Differenzial interpretieren
und zur Fehlerabschätzung anwenden
35) Berechnen Sie die Tangentialebene in P = (3, -1, z) an die Funktion z = 2x² + xy².
36) Bestimmen Sie die relativen Extremwerte der folgenden Funktionen:
a) z = 2x³ - 3x² + y² b) z = x² y - 6xy + x² -6x + 8y² c) z = y◊x - y² - x + 6y
37) Das Widerstandsmoment eines Balkens mit rechteckigem Querschnitt wir nach der Formel
W = W(b, h) = 1 / 6 bh² berechnet (b ist die Breite und h die Dicke des Balkens). Welche prozentuale
Änderung erfährt das Widerstandsmoment eines Balkens der Breite b = 18 cm und
der Dicke h = 10 cm, wenn man die Balkenbreite um 5% vergrößert und gleichzeitig die Balkendicke
um 10% verkleinert? Hinweis: Benutzen Sie das totale Differenzial.
38) Für den Radius R und die Dichte ρ einer homogenen Kugel werden die Werte R = 12,2
cm und ρ = 2,50 g/cm³ ermittelt. Eine Schätzung der zugehörigen Messunsicherheiten ergab
∆R = 0,15 cm und ∆ρ = 0,11 g/cm³. Welche Masse m besitzt die Kugel? Mit welchem Maximalwert
für die Messunsicherheit von m muss man dabei rechnen?
39) Bei einem Dieselmotor wurde die Abhängigkeit zwischen der Drehzahl x (in Umdrehungen
pro Minute) und der Leistung y (in PS) untersucht. Es ergab sich das folgende Messprotokoll:
x i 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
y i 5 8 12 17 24 31 36
a) Bestimmen Sie die zugehörige Ausgleichsgerade.
b) Welche Motorleistung ist bei einer Drehzahl von 2150 Umdrehungen pro Minute zu erwarten?

40) Bestimmen Sie die Abmessungen eines Zylinders maximalen Volumens, dessen Gesamtoberfläche
A = 6p dm² beträgt.
41) Auf der Hyperbel x² - y² = 4 ist der Punkt gesucht, der vom Punkt P = (0,2) den geringsten
Abstand hat.
42) Gesucht ist das Maximalvolumen eines Quaders, dessen Raumdiagonale gleich 2◊3 ist.

Lösungen der Aufgaben:
1) 456961,73 DM
2) 750.8 Ω
3) A = 2a²
4a) 117297132 €
b) n = 33,9 Jahre, das wäre also etwa im Jahre 2007.
5) alle Reihen sind konvergent
6a) │x│< √3 / 3 , b) r = 2, Konvergenzbereich: 2 < x < 6
7a)
b)
∑ ∞
n=0
∑ ∞
n=
0
(
n n
− 1) (2x) , konvergent für │x│< ½,
( −1)
c) 1+ ∑ ∞
n=
0
n+
1
n
9 π
( x − )
(2n)!
3
( −1)
n ( x −1)
n
2n
, beständig konvergent
, konvergent für 0 < x < 2
2 4
x x
8) ln|x| − ...
2 ⋅ 2! + 4 ⋅ 4!
−
9)
∞ k 2k + 1
1
2 2
∑
( −1) x
−x
−x
∫ e dx = + C, e dx ≈ 0.7467
k = 0 k! 2k + 1
∫ (exakt 0.7468)
0
U
10) I ≈ t
L
für kleine t

6 13
11) z = − + j
5 5
12) a)
π kπ
j(
+ )
4 2
x k
= 3e
, k = 0, 1, 2, 3
b) 2ln 2 + j5π
1 1
c) z = 16 10 ( − − j 3)
2 2
j(
π +
kπ )
4 2
d) z k
= e , k = 0, 1, 2, 3, wären die vierten Einheitswurzeln. Für die geforderte Wurzel
ergäbe sich die korrekte Lösung mit k = 0.
e)
π 2 j ( + k π )
6 3
z k
= 2e
, k = 0, 1, 2
13) u t)
= u ( t)
+ u ( t)
= 5,02sin( ω t 4,47)
(
1 2
+
1 3 1 5
14) ln 4 – 7,5 b) sin x − sin x + c
3 5
1
1
d) - cos(5x − 2)
+ c e) arctan ²x + c
5
2
2
1
g) ln x ³ +1 + c
h) tan 2x + c
3
2
1
c) (ln x )³ + c
3
1 x
f) arctan( ) + c
2 2
1
15a) − + c
2(1 + x²)
x
x
b) -1 c) e − ln( 1+
e ) + c
1 1
16a) sin 2x − x cos 2x
+ c
4 2
2 4
b) 1 c) x ³ ( ln x − ) + c
3 9
4
181
17a) x ² + 2ln x − 3 − + c
b) x c
x − 3
x 6 3 181
− ln + + + ln − 5
125 25x
5x²
125
+
1 x
18) a) arctan + c
3 3
1 1
1 x − 3
b) − ln x + 3 + ln x − 3 + c = ln( ) + c
6 6
6 x + 3
5
2 x
c) 6 ln x + 2 + + c
d) ln x ² + 9 + arctan + c
x + 2
3 3

7 ⎛
e) x x
x − 3 ⎞
3 2 ⎛ x ⎞
ln ² − 6 + 25 + arctan⎜
⎟ + c f) ln x ² + 25 − arctan⎜
⎟ + c
4 ⎝ 4 ⎠
2 5 ⎝ 5 ⎠
19) 25 FE
8
20) π
9
21) 4
π
22)
v0
y =
e
23) s ( t)
= 10ln(100 + t³)
−10⋅ln100
24) 12645 Nm
25) 12,73
26a) y = Ke sinx b) y = x tan(ln│x│+ c)
−2x
1 2
1 C
c) y = Ke + sin x + cos x d) y = x²
+
5 5
3 x
1
1
x²
e) y = Kcosx + xcosx f) y² = x²
− Ke
2
1
27a) y = − ( x²
− 4)
b) y = -12 cosx -10 cos²x
4
π
c) y = tan( x + ) − x −1
4
t
RC
28a) uC = Ke + u0
−
t
RC
b) u (1
C
= u0 − e )
−
−3t
29) i(
t)
= Ke + 10 sin( t − 20,5°
)

−at
30) T ( t)
= ( T0
− TL
) e * TL
, T
E
= TL
5
1 1
31a) y = c1
sin( 2x)
+ c2
cos(2x)
− xcos(2x)
+ 2x²
− x − e
2
4 4
− x
1 −2x
b) y = e [ c1
sin( 2x)
+ c2
cos( 2x)]
+ e
3
x 1 1 3 x 1
c) y ( c x c ) −
=
1
+
2
e + ( x²
− x + ) e + x − 2 − sin x
4 2 8
2
x −2x
x 1 1
d) y = c1e
+ c2e
+ xe ( x − )
6 9
− x
32a) b = 16kg/s b) x(t) = (3,2t + 0,2)e -16t
35) z = 13x – 6y 31
36a) Sattelpunkt: (0, 0), Minimum: (1, 0)
36b) Sattelpunkte: (8, -1), (-2, -1), Minimum: (3, 9 / 16 )
36c) Maximum (4, 4)
37) prozentuale Änderung: -15%
38) m = (19,016 ± 1,538) kg
39a) y = 0,0108x – 2,5714 b) 20,65 PS
40) r = 1, h = 2
41) P = (± 5,1)
42) V = 8