Die Ableitung einer Funktion

Die Ableitung einer Funktion
I. Definition der Ableitung
Definition. Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R .
1) f heißt differenzierbar an x 0 ∈ I , wenn der Grenzwert
f(x) − f(x 0 )
lim
= f ′ (x 0 )
x→x 0 x − x 0
existiert. Ist dabei x 0 linker bzw. rechter Randpunkt von I , dann heißt
f an x 0 rechtsseitig bzw. linkseitig differenzierbar .
2) Die so punktweise definierte Funktion f ′ : I → R mit D(f ′ ) = {x 0 ∈
I : ∃ f ′ (x 0 )} heißt Ableitung von f .
Ist f ′ stetig auf X 0 ⊆ D(f ′ ) , so heißt f stetig differenzierbar auf
X 0 und man schreibt f ∈ C 1 (X 0 ) .
Bemerkungen.
i) Offenbar gilt : f ist an x 0 differenzierbar ⇔ der ”Differenzenquotient”
f(x)−f(x 0)
x−x 0
ist an der Stelle x 0 stetig ergänzbar.
ii) Die höheren Ableitungen lassen sich rekursiv definieren :
f ′′ = (f ′ ) ′ , ..., f (n) = (f (n−1) ) ′
iii) Der Grenzwert des Differenzenquotienten wird auch als Differentialquotient
bezeichnet und man schreibt
df
dx (x 0) = f ′ (x 0 ) .
Beispiele.
1) Die konstante Funktion f : R → R mit f(x) = a ∀ x ∈ R ist für
jedes x 0 ∈ R differenzierbar und es gilt f ′ (x) = 0 ∀ x ∈ R .
2) Die Funktion f : R → R mit f(x) = x n ∀ x ∈ R (n ∈ N) ist auf
ganz R differenzierbar.
Es gilt (siehe früher) : f ′ (x) = nx n−1 ∀ x ∈ R .
1

3) Die Funktion f : R → R mit f(x) = |x| ∀ x ∈ R ist auf ganz R
stetig und an x 0 = 0 nicht differenzierbar.
f(x)−f(0)
lim
x→0 + x−0
x−0
= lim
x→0
+ x−0
An jeder Stelle x 0 ≠ 0 ist f
f(x)−f(0)
= 1 und lim
x→0 − x−0
allerdings differenzierbar.
= lim
x→0 − −x−0
x−0 = −1 .
Satz. f : I → R differenzierbar an x 0 ⇒ f stetig in x 0 .
Beweis. Sei (x n ) eine Folge aus I mit x n ≠ x 0 und x n → x 0 .
Dann gilt f(x n ) − f(x 0 ) = f(x n)−f(x 0 )
x n −x 0
(x n − x 0 ) → f ′ (x 0 )(x n − x 0 ) → 0 . □
Bemerkung. Es gibt allerdings stetige Funktionen, die an keinem Punkt
ihres Definitionsbereiches differenzierbar sind.
Definition. Eine Funktion f : I → R heißt an x 0 linear approximierbar,
wenn es eine Zahl c ∈ R gibt und eine in U(x 0 ) ∩ I definierte
Funktion f 0 (x) , sodass in U(x 0 ) ∩ I gilt:
i) f(x) = f(x 0 ) + c(x − x 0 ) + |x − x 0 |f 0 (x)
ii)
lim f 0 (x) = 0 .
x→x0
Satz. f : I → R ist an x 0 differenzierbar ⇔ f ist an x 0 linear
approximierbar.
Beweis.
”⇒” : Setze c = f ′ (x 0 ) und f 0 (x) =
, sowie f 0 (x 0 ) = 0 .
Dann ist f 0 (x) in x 0 stetig.
[
f(x)−f(x0 )
x−x 0
]
x−x
− c 0
|x−x 0 |
wenn x ≠ x 0
”⇐” :
f(x)−f(x
lim
0 )
x→x0 x−x 0
= lim
x→x0
(c + |x−x 0|
x−x 0
f 0 (x)) = c .
□
Definition. f : I → R heißt an x 0 ∈ I Lipschitz-stetig, wenn
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∃ U(x 0 ) ∃ M > 0 mit |f(x) − f(x 0 )| ≤ M|x − x 0 | ∀ x ∈ U(x 0 ) ∩ I .
Man sagt auch, f genüge an der Stelle x 0 einer Lipschitz-Bedingung
und M heißt dann Lipschitz-Konstante .
Satz. Sei f : I → R an x 0 differenzierbar. Dann ist f an x 0
Lipschitz-stetig.
Beweis. f ist an x 0 linear approximierbar, also
f(x) = f(x 0 ) + c(x − x 0 ) + |x − x 0 |f 0 (x) . Daraus folgt
|f(x) − f(x 0 )| ≤ (|c| + |f 0 (x)|)|x − x 0 | = M|x − x 0 | .
□
II. Ableitungsregeln
Satz. f, g : I → R seien an x 0 ∈ I differenzierbar. Dann gilt
1) f ± g sind an x 0 differenzierbar und
(f ± g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 ) ± g ′ (x 0 )
2) f · g ist an x 0 differenzierbar und
(f · g) ′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g ′ (x 0 ) ... Produktregel
3) Falls g(x 0 ) ≠ 0 , ist f g
an x 0 differenzierbar und
( f g )′ (x 0 ) = f ′ (x 0 )g(x 0 )−f(x 0 )g ′ (x 0 )
g 2 (x 0 )
... Quotientenregel
Beweis.
Gelte x n → x 0
(für die Produktregel)
mit x n ≠ x 0 . Dann ist
f(x n )g(x n )−f(x 0 )g(x 0 )
x n −x 0
=
[f(x n )g(x n )−f(x n )g(x 0 )]+[f(x n )g(x 0 )−f(x 0 )g(x 0 )]
x n −x 0
= f(x n ) g(x n)−g(x 0 )
x n −x 0
+ f(x n)−f(x 0 )
x n −x 0
g(x 0 )
→ f(x 0 )g ′ (x 0 ) + f ′ (x 0 )g(x 0 ) .
□
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Folgerungen.
∑
i) Ein Polynom P (x) = n a k x k
k=0
es gilt P ′ ∑
(x) = n ka k x k−1 .
k=1
ist an jedem x ∈ R differenzierbar und
Da die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, ist somit ein
Polynom beliebig oft differenzierbar.
ii) Eine rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar.
Nun betrachten wir zusammengesetzte Funktionen.
Satz. (Kettenregel)
Sei h = g ◦ f auf I definiert. Ist f an x 0 differenzierbar und g an
y 0 = f(x 0 ) differenzierbar, dann ist h = g ◦ f an x 0 differenzierbar und
es gilt
h ′ (x 0 ) = (g ◦ f) ′ (x 0 ) = g ′ (y 0 )f ′ (x 0 )
dh
dx (x 0) = d(g◦f)
dx
(x 0) = dg
dy (y 0) df
dx (x 0)
Beweis. Sei x n → x 0 mit x n ≠ x 0 .
bzw.
Fall 1 : ∃ δ > 0 mit f(x) ≠ f(x 0 ) für alle x ∈ U δ (x 0 ) ∩ I , x ≠ x 0 .
Dann ist h(x n)−h(x 0 )
x n −x 0
= g(f(x n))−g(f(x 0 ))
f(x n )−f(x 0 )
· f(x n)−f(x 0 )
x n −x 0
= g(y n)−g(y 0 )
y n −y 0
· f(x n)−f(x 0 )
x n −x 0
g ′ (y 0 )f ′ (x 0 ) .
Fall 2 : Es gibt eine Folge (˜x n ) aus I mit ˜x n → x 0 , ˜x n ≠ x 0 und
f(˜x n ) = f(x 0 ) . Dann gilt allerdings f ′ (x 0 ) = 0 .
(x n ) zerfällt dann möglicherweise in zwei Teilfolgen (x ′ n) und (x ′′ n) mit
f(x ′ n) = f(x 0 ) und f(x ′′ n) ≠ f(x 0 ) .
h(x ′ n)−h(x 0 )
x ′ n−x 0
= g(f(x′ n))−g(f(x 0 ))
x ′ n−x 0
= 0 → 0
h(x ′′ n)−h(x 0 )
x ′′ n−x 0
= g(f(x′′ n))−g(f(x 0 ))
f(x ′′ n)−f(x 0 )
· f(x′′ n)−f(x 0 )
x ′′ n−x 0
→ g ′ (f(x 0 ))f ′ (x 0 ) = g ′ (f(x 0 ))·0 = 0
→
4

Also ist h ′ (x 0 ) = 0 .
□
Satz. (Ableitung der Umkehrfunktion)
Sei f : I → R stetig auf I , dort streng monoton und an x 0 ∈ I
differenzierbar.
Gilt f ′ (x 0 ) ≠ 0 , dann ist die Umkehrfunktion f −1 an der Stelle y 0 =
f(x 0 ) differenzierbar und es gilt
(f −1 ) ′ (y 0 ) = 1
f ′ (x 0 ) .
Beweis. Sei (y n ) eine Folge aus D(f −1 ) mit y n ≠ y 0 und y n → y 0 .
Dann existiert eine Folge (x n ) mit f(x n ) = y n und x n ≠ x 0 ∀ n .
Wegen der Stetigkeit von f −1 (siehe vorher) gilt
x n = f −1 (y n ) → f −1 (y 0 ) = x 0 .
Damit f −1 (y n )−f −1 (y 0 )
y n −y 0
= x n−x 0
f(x n )−f(x 0 ) = 1
f(xn)−f(x 0 )
xn−x 0
→ 1
f ′ (x 0 ) .
□
III. Ableitungen der elementaren Funktionen
1) Logarithmus
Sei x > 0 fest und x n → x mit x n > 0 . Setze h n = x n − x . Dann gilt
h n → 0 und
log b (x n )−log b x
x n −x
= log b(x+h n )−log b x
h n
= 1
h n
log b (1 + h n
x
) = 1 x log b(1 + h n
x
) x
hn → 1 x log be .
Also (log b x) ′ = 1 x log be (x > 0)
Im speziellen, für b = e , erhalten wir (lnx) ′ = 1 x , x > 0 .
Man beachte auch, dass (ln|x|) ′ = 1 x
∀ x ∈ R \ {0} .
2) Exponentialfunktion
Für y = e x
ist x = lny die Umkehrfunktion. Daher ist wegen vorher
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y ′ (x) = 1
x ′ (y) = 1 1
y
= y = e x . Also (e x ) ′ = e x .
Für y = b x = e xlnb
gilt wegen der Kettenregel
(b x ) ′ = (e xlnb ) ′ = lnbe xlnb = b x lnb . Also (b x ) ′ = b x lnb , x ∈ R .
3) Potenzfunktion
Wegen x a = e alnx folgt mit der Kettenregel
(x a ) ′ = (e alnx ) ′ = a x ealnx = a x xa und damit (x a ) ′ = ax a−1 , (x > 0) .
4) Hyperbolische Funktionen
Mit Hilfe der Differentiationsregeln über zusammengesetzte Funktionen erhalten
wir
(sinhx) ′ = coshx , (coshx) ′ = sinhx , (tanhx) ′ = 1
(coshx) 2
(cothx) ′ = − 1
(sinhx) 2 , x ≠ 0 .
und
Mit dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion erhalten wir
(arsinhx) ′ = 1 √
1+x
2
, (arcoshx) ′ = 1 √
x2 −1 , (artanhx)′ = 1
1−x 2 (|x| < 1) ,
(arcothx) ′ = 1
1−x 2 (|x| > 1) .
4) Trigonometrische Funktionen
Satz.
Für x ∈ R gilt
(sinx) ′ = cosx , (cosx) ′ = −sinx , (tanx) ′ = 1
(cosx) 2 (x ≠ (2k + 1) π 2 ) ,
(cotx) ′ = − 1
(sinx) 2
(x ≠ kπ)
Beweis.
(für sinx)
Subtraktion der Additionstheoreme sin(x 1 + x 2 ) = sinx 1 cosx 2 + cosx 1 sinx 2
und sin(x 1 − x 2 ) = sinx 1 cosx 2 − cosx 1 sinx 2 liefert
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sin(x 1 + x 2 ) − sin(x 1 − x 2 ) = 2cosx 1 sinx 2 .
Mit x 1 = x + h 2 und x 2 = h 2
ergibt sich
sin(x + h) − sinx = 2cos(x + h 2 )sinh 2
sin(x+h)−sinx
, also
h
= cos(x + h h 2 )sin 2
h
2
Für h → 0 erhalten wir (sinx) ′ = lim
(
lim cos(x + h h
h→0
2 )sin 2
h
2
)
= lim
h→0
cos(x + h 2 ) lim
h→0
sin(x+h)−sinx
h→0
h
=
sin h 2
h
2
= cosx .
Unter Verwendung des Satzes für die Ableitung der Umkehrabbildung erhalten
wir
(arcsinx) ′ = 1 √
1−x
2
(|x| < 1) , (arccosx) ′ = − 1 √
1−x
2
(|x| < 1)
(arctanx) ′ = 1
1+x 2 (x ∈ R) , (arccotx) ′ = − 1
1+x 2 (x ∈ R) .
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