KURS STATIK / FESTIGKEITSLEHRE 11) EBENE ... - Goepf Bettschen

BAULEITER HOCHBAU
K U R S
S T A T I K / F E S T I G K E I T S L E H R E
11) EBENE FACHWERKE
und DREIGELENKBOGEN
1) Ebene Fachwerke
a) Allgemeines
b) Fachwerkformen
c) Berechnungsverfahren
d) Beispiele Stabkräfte im Fachwerk
2) Dreigelenkbogen
a) Allgemeines
b) Statisches System
c) Beispiele und Typen
g.bettschen

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 2
1) Fachwerke
a) Allgemeines
Ein Fachwerk ist ein System von Zug- und Druckstäben, die in den Knotenpunkten
miteinander gelenkig verbunden sind. Es gibt also bei reinen Fachwerken theoretisch keine
Biegemomente und es könnte bei ruhender Belastung jeder einzelne Stab voll ausgenützt
werden. Beim ebenen Fachwerk liegen die Stabachsen in einer Ebene, das ebene
Fachwerk ist jedoch oft Teil eines räumlichen Fachwerkes.
Wenn die Bauhöhe nicht beschränkt ist, erlauben Fachwerkträger eine wirtschaftliche
Überbrückung grosser Spannweiten. Der Arbeitsaufwand für die Herstellung ist aber hoch ,
deshalb können vollwandige Träger auch bei höheren Gewichten oft wirtschaftlicher sein.
F
F
F
Für die Berechnung werden die Stäbe in den Knotenpunkten als gelenkig miteinander
verbunden gedacht; die Zusatzspannungen, die durch Knotenbleche oder Verschweissung
der Stäbe miteinander entstehen und 10 bis 20% ausmachen können, vernachlässigt man.
Um die Einspannungen zu berücksichtigen, müsste das System als Rahmen gerechnet
werden, das bringt aber nur wenig, weil diese Zusatzspannungen die Sicherheit des
Tragwerkes nicht wesentlich beeinflussen.
Damit an einem Fachwerk wirklich nur Zug- und Druckstäbe vorkommen, müssen
noch weitere Voraussetzungen erfüllt sein:
• Die äusseren Lasten sollen nur in den Knotenpunkten angreifen
Moment im Obergurt
• Die Stabachsen sollen gerade sein
N N N N
e
Moment M = e ⋅ N
• Die Stabachsen müssen sich in den Knotenpunkten in einem Punkt schneiden.
Durch die Exzentrizität
e entsteht ein Moment
e
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 3
Statische Bestimmtheit
Ein Fachwerk ist dann statisch bestimmt, wenn alle Auflagerreaktionen und Stabkräfte mit
den Gleichgewichtsbedingungen gefunden werden können.
∑ M = 0 ist sowieso immer erfüllt.
Es bleiben also pro Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen,
nämlich ∑ H = 0 und ∑ V = 0.
Bei K Knoten stehen also 2 ⋅ K Bedingungen zur Verfügung. Mit diesen 2 ⋅ K
Bedingungen müssen also S Stabkräfte und A Auflagerkräfte ermittelt werden können.
Damit also ein Fachwerk statisch bestimmt ist, muss die Bedingung
2 ⋅ K = S + A
erfüllt sein.
( S + A > 2 ⋅ K → Fachwerk statisch unbestimmt,
S + A < 2 ⋅ K → Fachwerk statisch verschieblich )
Das einfachste Fachwerk ist das Stabdreieck :
A
F
1 2
Knoten K = 3
Stäbe S = 3
B H
Auflagerkräfte A = 3
3
B
A V B V
→ 2 ⋅ K = S + A →statisch bestimmt
Zeichnerisch können die beiden Gleichgewichtsbedingungen dadurch ersetzt werden, dass
sich das Krafteck aller an einem Knoten angreifenden Kräfte schliessen muss. Das ergibt
pro Knoten zwei unbekannte Stabkräfte.
F
I
Knoten I :
Knoten B:
3
1 2
1 2
2
B H
B V
B
A
3
B F
A
3
V
B H
B V
A V 1 Knoten A :
Die Auflagerkräfte könnten natürlich auch direkt bestimmt werden, und dann von innen
beginnend die Stabkräfte berechnet werden.
Dieses Stabdreieck bildet die Grundfigur für den Aufbau von Fachwerken. Man hängt
einfach immer wieder an jede Seite neue Dreiecke an. Dadurch entsteht ein neuer Knoten
und seine beiden Gleichgewichtsbedingungen ergeben die neuen Stabkräfte.
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 4
b) Fachwerkformen
Vom leichten Filigranträger bis zum schweren Brückenträger lassen sich Fachwerke für
alle Stützweiten und für alle Belastungen konstruieren, so sind auch viele verschiedene
Fachwerksformen mit vielgestaltigen Netzeinteilungen möglich.
Höhe
Obergurt
Ausfachung
Untergurt
Spannweite
Die Höhe der Fachwerkträger wird wirtschaftlich zu h = 1/7 bis zu h = 1/10 der
Spannweite angenommen. Bei Dreieckfachwerken muss die Netzhöhe h jedoch
wesentlich höher ausgeführt werden. Dreiecksbinder kommen daher nur für steile
Dachneigungen und kleinere Spannweiten in Frage.
Bei Dachbindern ist die Feldereinteilung vom Pfettenabstand und dieser von der
Dacheindeckung abhängig.
Die statische Höhe von Masten und Konsolträgern wählt man mit h = 1/3 bis
h = 1/5 der Auskragung.
Statische Systeme
Einfache Balken, Durchlaufbalken mit oder ohne Zwischengelenke, Bogenträger, Rahmen
mit Fachwerkriegel Fachwerkpfosten.
Form der Gurtungen
Parallelträger, Parabelträger, Halbparabelträger, beliebig veränderliche Höhe,
Dreieckbinder, Fischbauchträger, Trapezbinder
Anordnung der Füllglieder
Strebenfachwerk mit oder ohne Pfosten, Pfosten- oder Ständerfachwerk,
K-Fachwerk, unterteilte Fachwerke, mehrfache Fachwerke.
Konstruktive Ausbildung
Ein- oder zweiwandige Fachwerke
Verwendungsart
Dachbinder,
Hallenbinder
für Zwischendecken,
Kranbahnträger,
Krangerüste,
Hochspannungsund
Antennenmaste,
Seilbahnstützen,
Brückenträger,
Bau- und Schalungsgerüste.
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 5
Uebersicht über die Fachwerke
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 6
c) Berechnungsverfahren
Die Ermittlung der Stabkräfte kann zeichnerisch oder rechnerisch erfolgen.
Alle Verfahren setzen die Kenntnis der Auflagerkräfte des gegebenen Fachwerks
voraus. deshalb wird das Fachwerk zuerst als ‘’Scheibe’’ betrachtet und so die
Auflager bestimmt. F
Bei nur lotrechten
F
F Lasten ist :
A = Σ F i ⋅ b i / l
ai
bi
B = Σ F i ⋅ a i / l
l
Wenn gleichzeitig Horizontalkräfte wirken, wird oft das zeichnerische Verfahren
vorgezogen.
a) Zeichnerische Bestimmung der Stabkräfte nach Cremona
Sollen die Stabkräfte an einem Fachwerk mittels eines Cremonaplans bestimmt
werden so sind folgende Punkte zu beachten :
• Die äusseren Kräfte, also auch die Auflagerkräfte, sind in einem über das ganze
Fachwerk gleichbleibenden Sinn der Reihe nach aufzutragen. Der Kräfteplan für
das Bestimmen der Auflagerkräfte kann also nicht benutzt werden.
• Die Stabkräfte an einem Knoten sind im gleichen wie vorher gewählten Umlauf
aneinanderzureihen. Begonnen wird an einem Knoten, der zwei unbekannte
Stabkräfte hat.
• Vorzeichen : da im Cremonaplan jede Kraft zwei Richtungen aufweist, kann sie
im Kräfteplan nicht übersichtlich durch Pfeile gekennzeichnet werden. Es empfiehlt
sich daher, die Pfeile sofort im Netzplan an den Knotenpunkten anzubringen.
Wenn die Pfeile auf die Knoten drücken handelt es sich um Druckkräfte,
und wenn sie am Knoten ziehen handelt es sich um Zugkräfte.
Kontrolle :
Kräfte, die im Netzplan ein Dreieck bilden, müssen sich im Cremonaplan in einem
Punkt schneiden. Bei K Knotenpunkten hat man 2 ⋅ K - 3 unbekannte Stabkräfte.
Man wird also zuletzt Knotenpunkte haben, bei denen nur noch eine oder sogar
keine unbekannten Stabkräfte auftreten, trotzdem müssen sich in diesen Knotenpunkten
die Kräftepläne schliessen.
b) Das Momentenverfahren von August Ritter
Das Verfahren beruht darauf, dass die Gleichgewichtsbedingungen auch durch drei
Momentenbedingungen ausgedrückt werden können. Man legt einen Schnitt so
durch das Fachwerk, dass nicht mehr als drei Stäbe geschnitten werden, und
bestimmt die Resultierende links und rechts vom Schnitt. nachher wählt man die
Bezugspunkte für die Momentenberechnung so, dass nur noch eine unbestimmte
Schnittkraft übrig bleibt.
c) Bestimmung der Stabkräfte mit den Gleichgewichtsbed. ΣV = 0, ΣH = 0
Bei Balkenbindern bereitet das Rittersche Schnittverfahren für die Streben
Schwierigkeiten, da die Schnittpunkte der zugehörigen Gurtungen sehr weit vom
Schnitt entfernt, bei Parallelträgern sogar im Unendlichen liegen. Hier können die
Stabkräfte mit den Gleichgewichtsbedinguingen der Ebene bestimmt werden.
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 7
d) Berechnung mit EDV-Programmen
In der Praxis stehen dem Bauingenieur heute gute und bedienerfreundliche
Programme zur Berechnung von Fachwerken und Rahmen zur Verfügung.
Auf die verscheidenen Berechnungsverfahren wird hier nicht mehr weiter
eingegangen, es soll nur an zwei Beispielen die Grösse und Art der Stabkräfte
gezeigt werden.
d) Beispiele: Stabkräfte im Fachwerk
Stabkräfte im Strebenfachwerk
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 8
Stabkräfte beim ’Belgischen Binder’
Übungen
a) zeichne oder erkläre ein Bauwerk oder Bauteil
wo Fachwerkkonstruktionen angewendet wurden
oder wo Deiner Ansicht nach besser ein Fachwerk eingesetzt worden wäre
oder wo Du ein Fachwerk einsetzen würdest
b) Versuche anhand deinem gewählten Beispiel auf folgende Fragen einzugehen:
Was ist ein Fachwerk ?
Wo findet man Fachwerkkonstruktionen ?
Das statische System vom Fachwerk
Was muss beim Entwerfen eines Fachwerkes
speziell beachtet werden ?
Vorteile / Nachteile von Fachwerkkonstruktionen
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 9
2) Dreigelenkbogen
Tennishalle Triesen
a) Allgemeines
Bogen und Gewölbe haben in der Baugeschichte eine bedeutende Rolle gespielt.
Der Dreigelenkbogen ist ein aus zwei Teilträgern bestehendes Tragwerk. Diese Träger
sind im Scheitel miteinander gelenkig verbunden. Das Gelenk muss aber nicht in der Mitte
liegen. Auch an den beiden Auflagern ist das Tragwerk gelenkig gelagert.
Die Träger zwischen den Auflagern bzw. Gelenken können verschiedene Formen haben.
Beim Dreigelenkbogen können die Träger Viertelkreise, Kreisstücke oder Ellipsenstücke
sein.
Bestehen Träger aus abgewinkelten Geradenstücken, so nennt man das System
Dreigelenkrahmen.
Mit einem Dreigelenkbogen als statischem System können Brücken errichtet werden, aber
auch Dächer oder Hallen und ähnliches.
Diese Konstruktion ist besonders geeignet, wenn vor allem druckfeste Baustoffe zur
Verfügung stehen. Im Bogen entsteht an den Auflagern ein horizontaler Schub, der so
genannte Bogenschub. Er ermöglicht wesentlich geringere Biegemomente im Bogen als
bei einem Träger auf zwei Stützen mit gleicher Stützweite. Im Bogen ist dafür eine nicht zu
vernachlässigende Drucklängskraft wirksam.
Der Hauptvorteil des Dreigelenkbogens gegenüber dem eingespannten oder gelenklosen
Bogen und dem Zweigelenkbogen besteht darin, dass er wegen seiner statischen
Bestimmheit gegen etwaige geringe Nachgiebigkeit der Widerlager und gegen
Wärmeschwankungen unempfindlich ist, während bei den anderen Bögen hierdurch
grössere Zusatzspannungen entstehen.
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 10
b) Statisches System
Gelenk
A H
A
A V
f
B H
f/l = Pfeilverhältnis
Auflager A und B werden
beim Bogen oft auch
Kämpfer genannt.
l
B V
B
Der Dreigelenkbogen hat vier unbekannte Auflagerkräfte, dazu ein Gelenk G mit der
Bedingung M G = 0, zusammen mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen der Ebene können
also die 4 Auflagerkräfte berechnet werden, womit also der Dreigelenkbogen ein statisch
bestimmtes System wird.
c) Beispiele und Typen
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011

Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb - BAULEITER HOCHBAU -
Kurs Statik/Festigkeitslehre - Fachwerke und Dreigelenkbogen - g.bettschen - Seite 11
Fortsetzung: Beispiele und Typen
D:\Dez 2011\Statik11.DOC 12.12.2011