1. Gleichstrom - derivat

1. Gleichstrom 

1.1. Einleitung 

Überblick: 

Die Inhalte der Vorlesung „Grundgebiete der Elektrotechnik“ mit ihrer wechselseitigen 

Verzahnung sowie die Einsatzfelder der Elektrotechnik stimmen „zufällig“ mit 

den angebotenen Studiengängen und -richtungen des Fachbereiches Elektrotechnik 

und Informatik 1 überein: 

• Studiengang Elektrotechnik mit den Richtungen 

– Nachrichten- und Kommunikationstechnik, 

– Automatisierungstechnik und 

– Technische Informatik 

• und Studiengang Angewandte Informatik 

Wir sind bestrebt, unseren Elektrotechnikern genügend Informatikanteile und unseren 

Informatikern genügend Elektrotechnikanteile mitzugeben, so dass beide für ihr 

Studium und den sich ständig wandelden Arbeitsmarkt bestmöglich gerüstet sind. 

Inhalt: 

Weg: 

Ursache: 

Theorie: 

Praxis: 

Wirkung des elektrischen Stromes 

Stromkreis, aber auch elektrische und magnetische Felder und Wellen 

Elektrische und magnetische Quellen aber auch induzierte Spannungen 

Wie kann man die Wirkung des elektrischen Stromes sichtbar machen? Es ist kein Problem, 

die Wirkung des elektrischen Stromes zu erfahren, aber Vorsicht: Lebensgefahr! 

Oftmals ist es hilfreich, die Wirkung des elektrischen Stromes mit begreifbaren physikalischen 

Größen zu vergleichen. So gibt es z.B. nur eine Energie, die sich in unterschiedlichen 

Erscheinungsformen beschreiben läßt: 

• Energie der Bewegung: W = 1 2 mv2 

• Energie des magnetischen Feldes: W = 1 2 LI2 

• Energie des elektrischen Feldes: W = 1 2 CU2 

1.2. Physikalische Größen 

Frage: 

Antwort: 

Welche Farbe hat der Strom? (oder die Spannung) 

Rot, wenn es eine Gleichspannung ist, und gelb (braun), grün oder violett, wenn es 

Wechselspannungen sind. 

Bemerkung: Hier gibt es noch ein „historisches“ Problem: Ursprünglich wurden die 

Farben gelb, grün und violett zur Unterscheidung der 3 Phasen verwendet — so wie 

1 University of Applied Sciences, Stegerwaldstr. 39, 48565 Steinfurt, Germany 

GdE1-2 Richert@eLKaTe.FH-Münster.de 12. September 2005

1. Gleichstrom 1.2 Physikalische Größen 

sie auch im begleitenden Praktikum im Labor verwendet werden. Heute werden jedoch 

bei der Elektroinstallation alle Phasen in schwarz oder braun ausgeführt, wobei 

eine Kennzeichnung teilweise über Texte erfolgt. Die Rückleitung ist immer blau. Als 

Schutzleiter (Erdung) wird eine grün-gelbe Leitung verwendet. 

Farben haben also eine inhaltliche Bedeutung — sie werden und sollen nicht „nach 

künstlerischen Gesichtspunkten“ oder noch schlimmer „ganz ohne Sinn“ verwendet 

werden. Nicht im Skript, nicht im Praktikum und schon gar nicht in der Praxis! Im 

Skript lässt sich die Farbe gelb im SW-Druck nur schwer erkennen, so dass dafür die 

Farbe braun verwendet wird. 

U q 

Spannungsquelle 

+ 

Gleichspannung 

I q 

Stromquelle 

− 

Masse 

R 

Widerstand 

L 1 

Wechselspannung 

L 

Spule 

L 2 


C 

Kondensator 

L 3 


Abbildung 1.2.1.: Bauelemente und Farben der Elektrotechnik 

Bauelemente: 

Strom: 

Neben der Spannungsquelle und dem Widerstand in der Gleichstromtechnik sind vor 

allem Spule und Kondensator in der Wechselstromtechnik von Bedeutung. 

Besonders an die Farben der Spannungen sollte sich jeder zukünftige „Elektrotechniker“ 

gewöhnen, da es für erfahrene Ingenieure schon ein „kleiner Schock“ ist, wenn in 

einer 3-Phasen-Wechselstromschaltung ein gelber und ein grüner Stecker aufeinander 

stecken. Warum, könnte z.B. eine Frage im Praktikum sein! 

Hier beenden wir den Exkurs in die Geschichte der Elektrotechnik. Wer mehr darüber 

lesen möchte kann sich z.B. mit (Antébi, 1983) ein schönes Bilderbuch dazu schenken 

lassen. 

Was bedeutet: 

. . . wir schließen die Schaltung an eine Stromquelle 

I =0, 5A = 500mA (1.2.1) 

an... 

Bedeutung: 

Buchstabe: 

Physikalische Größen und damit auch Größen der Elektrotechnik werden durch Formelzeichen, 

Zahlenwerte und Einheiten dargestellt 

• Der Großbuchstabe I kennzeichnet einen Gleichstrom, dessen Amplitude konstant 

bleibt, unabhängig von der Zeit und der Belastung der Quelle. Das kann in 

der Theorie sogar zu nicht lösbaren Problemen führen, wenn z.B. an eine ideale 

Stromquelle ein Widerstand mit R =0Ωangeschlossen wird. Warum? 

• Mit dem Kleinbuchstaben i wird ein zeitabhängiger Wechselstrom i = i(t) bezeichnet, 

wobei auf das Zeitargument ja aufgrund der Definition verzichtet werden 

kann . 

12. September 2005 Richert@eLKaTe.FH-Münster.de GdE1-3

1.2 Physikalische Größen 1. Gleichstrom 

• Mit einem unterstrichenen Großbuchstaben I wird der komplexe Zeiger eines sinusförmigen 

Wechselstroms I = I̸ ϕ mit Betrag und Phase dargestellt. Genauer 

müsste es I = I · e jϕ heißen. Doch dazu mehr in der Wechselstromtechnik . . . 

Größe: 

Einheiten: 

• Physikalische Größen sind das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit 

und ggf. einer dezimalen Vorsilbe. 

→ Physikalische Größen können nicht als reine Zahlenwerte dargestellt werden. 

Dezimale Vorsilben treten nur als einzelne Faktoren vor einer Einheit auf. 

Das international vorgeschriebenes Einheitensystem SI (Système Internationale) enthält 

7 Basiseinheiten. Diese Einheiten der Tab. 1.1 sind als Anhang A der DIN 1301, 

Teil 1 spezifiziert (siehe auch (Frohne u. a., 2002)). 

Größe Zeichen Einheit Zeichen 

Länge l Meter m 

Masse m Kilogramm kg 

Zeit t Sekunde s 

Stromstärke i Ampère A 

Temperatur T Kelvin K 

Stoffmenge n Mol mol 

Lichtstärke I V Candela cd 

Tabelle 1.1.: Internationales Einheitensystem SI 

Die genauen Definitionen der Basisgrößen finden sich in zahlreichen physikalischen 

Fachbüchern, so auch im Handbuch der Elektrotechnik (Böge, 2004, Seite 165). 

Spannung: 

Was ist mit der elektrischen Spannung, die mit dem Formelzeichen U dargestellt wird 

und deren Einheit? 

[U] =? (1.2.2) 

→ Alle anderen Größen lassen sich als Produkte oder Quotienten aus den Basiseinheiten 

ableiten. Sie werden daher auch als abgeleitet SI-Einheiten bezeichnet. 

Mit der der elektrischen Leistung P = UI kann die Einheit Volt der Spannung als 

[U] =V = [P ] 

[I] = W A = kgm2 

As 3 (1.2.3) 

dargestellt werden. Für die Einheit Joule der mechanischen Arbeit W = Fs = Pt, 

der Kraft längs eines Weges oder der Leistung über einen Zeitraum, findet man 

[W ]=J =[F ] · [s] =N · m = kgm2 

s 2 (1.2.4) 

mit der Einheit Newton der Kraft F = ma 

[F ]=N =[m] · [a] =kg · m 

s 2 (1.2.5) 

Man kann schon hier sehen, dass der selbe Buchstabe unterschiedliche Bedeutungen 

haben kann, je nachdem in welchem Kontext er auftritt. So kann W zum einen das 

Formelzeichen der Arbeit und zum anderen die Einheit Watt der elektrischen Leistung 

darstellen. 


1. Gleichstrom 1.2 Physikalische Größen 

Größe Zeichen Einheit Zeichen Definition 

Frequenz f Hertz Hz 1Hz =1/s 

Kraft F Newton N 1N =1kg · m/s 2 

Arbeit W Joule J 1J =1Nm 

Leistung P Watt W 1W =1J/s 

Spannung U Volt V 1V =1W/A 

Ladung Q Coulomb C 1C =1As 

Widerstand R Ohm Ω 1Ω = 1V/A 

Leitwert G Siemens S 1S =1/Ω 

Kapazität C Farad F 1F =1C/V 

Induktion B Tesla T 1T =1Vs/m 2 

Induktivität L Henry H 1H =1Vs/A 

Tabelle 1.2.: Abgeleitete Einheiten der Elektrotechnik 

Elektrotechnik: 

Vorsilben: 

In der Elektrotechnik werden aus Vereinfachungsgründen weitere abgeleitete Einheiten 

verwendet, wie sie in Tab. 1.2 angegeben sind. Ihre Maßeinheiten sind zu Ehren 

bedeutender Naturwissenschaftler oder Techniker genannt worden . 

Für die praktische Schreibweise von „zu kleinen“ oder „zu großen“ Einheiten werden 

in der Elektrotechnik die bekannten Buchstaben aus Tab. 1.3 als dezimale Vielfache 

der Einheit verwendet. 

Kleiner 1 Größer 1 

Atto 10 −18 a Exa 10 18 E 

Femto 10 −15 f Peta 10 15 P 

Pico 10 −12 p Tera 10 12 T 

Nano 10 −9 n Giga 10 9 G 

Mikro 10 −6 μ Mega 10 6 M 

Milli 10 −3 m Kilo 10 3 k 

Zenti 10 −2 c Hekto 10 2 h 

Dezi 10 −1 d Deka 10 1 D 

Tabelle 1.3.: Dezimale Vielfache und Teile 

→ Großbuchstaben vergrößern die Einheit immer und in der Regel verkleinern Kleinbuchstaben 

die Einheit, aber leider nur mit den bekannten Ausnahmen . . . 

Schreibweise: 

Für die einfache Lesbarkeit elektrotechnischer Formeln werden folgende Vereinbarungen 

getroffen: 

• Vektoren (mit Betrag und Richtung) werden mit einem Pfeil über dem Symbol 

gekennzeichnet: E ⃗ 

• Zeitabhängige Größen werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet, wobei die explizite 

Zeitabhängigkeit häufig weggeleassen wird: u = u(t) 

• Zeitunabhängige Größen (der Gleichstromtechnik) werden mit großen Buchstaben 

bezeichnet: U = const 

• Komplexe Größen (der Wechselstromtechnik mit Betrag und Phase) werden unterstrichen: 

u bzw. U 


1.2 Physikalische Größen 1. Gleichstrom 

• Normierte Größen sind Zahlenwerte, die durch Division einer physikalischen 

Größe mit einer konstanten Größe gleicher Einheit entstehen: α = U 2 (R)/U 1 

• Verhältnisgrößen sind der Quotient zweier Größen gleicher Einheit: η = 

P ab /P zu 

Eine einfache Verständnisfrage: Welche Einheiten können normierte Größen und Verhältnisgrößen 

annehmen? Wer die Antwort wirklich nicht findet frage bitte in der Vorlesung 

nach! 


2. Gleichstromelemente 

2.1. Grundbegriffe 

Strom: 

Ladungsträger: 

Leiter: 

Die geordnete Bewegung von Ladungen, besser Ladungsträgern, wird als elektrischer 

Strom bezeichnet. 

Positive oder negative elektrische Ladungen sind an freie oder bewegliche elektrische 

Ladungsträger gebunden. 

→ Ladungen stehen synonym für Ladungsträger 

In einem metallische Leiter können sich negativ geladene Elektronen im Elektronengas 

frei bewegen (analog zu Molekülen in Gasen). Sie haben eine Masse 

und eine Ladung, die Elementarladung 

m e =9, 1 · 10 −31 kg (2.1.1) 

e = −1, 6 · 10 −19 As (2.1.2) 

→ Elektronenleitung entsteht als Folge einer elektrischen Strömung, z.B. als Folge 

einer Spannungsquelle in einem geschlossenen Stromkreis. 

Alternativ: 

Neben der Elektronenleitung gibt es noch andere Möglichkeiten des Ladungstransports: 

• Löcherleitung durch das Auffüllen von Elektronenfehlplätzen (positives Loch, 

Defektelektron) bei Halbleitern. 

→ Bewegungsrichtung entgegengesetzt zur Strömung der Elektronen. 

• Ionenleitung durch Drift von ein- oder zweiwertig positiven oder negativen Molekülen 

in Gasen oder Flüssigkeiten. 

Stromrichtung: 

Frage: 

Sie wurde historisch festgelegt von der positiven Klemme (+) der Quelle zur negativen 

(−). 

→ Im Gegensatz dazu verläuft die Richtung der Elektronenströmung: Sie ist entgegengesetzt 

der „Stromrichtung“. Aus heutiger Sicht ist die Stromrichtung also falsch 

geraten worden. 

Wofür ist die richtige Stromrichtung überhaupt wichtig? 

→ Die Antwort sollte sich in den nächsten Vorlesungsstunden finden lassen . . . 

2.1.1. Elektrischer Strom 

Ladung: 

Fließt ein zeitlich konstanter Strom I durch einen Leiter, so transportiert er in der Zeit 

t die Ladung Q = It. 

12. September 2005 GdE1-7

2.1 Grundbegriffe 2. Gleichstromelemente 

A 

− − 

− 

− − − 

− + 

l 

Abbildung 2.1.1.: Leiterstück als Zylinder mit der Querschnittsfläche A und der Länge l 

Strom: 

Wird umgekehrt die Ladung Q in der Zeit t durch den einen Leiter transportiert, so 

kann daraus ein während der Zeit t konstanter Strom 

I = Q t 

(2.1.3) 

Leiter: 

Ladung: 

Strom: 

bestimmt werden. Ist der Strom eine Funktion der Zeit, so ergeben sich integrale Zusammenhänge 

Q = 

∫ t 2 

t 1 

i(t)dt (2.1.4) 

Je ein Metallatom des Gitters gibt etwa 1 Elektron in das Elektronengas eines Leiters 

→ In jedem cm 3 des Gitters sind rund 10 23 Elektronen in ungeordneter Bewegung. 

Bei N Elektronen ergibt sich eine Strömung der Ladungsmenge 

Q = −Ne (2.1.5) 

bei der das letzte Elektron mit der Geschwindigkeit v die Zeit t braucht, um ein Leiterstück 

der Länge l zu durchlaufen. 

Für dieses Leiterstück aus Abb. 2.1.1 ist der Betrag der Stromstärke entsprechend 

Gln. 2.1.3 

|I| = Q t = Ne = nV e 


t t 

mit der Konzentration der Ladungsträger. 

n = N V 


Geschwindigkeit: 

Setzt man das Volumen V = A · l ein wird daraus 

I = nAle 

t 

und mit der Geschwindigkeit v = l/t weiter 

Die Division durch den Querschnitt A liefert die Stromdichte 


I = neAv (2.1.9) 

aus der sich die Geschwindigkeit der Elektronen zu 

S = I = nev (2.1.10) 

A 

v = S ne 


ergibt. 


2. Gleichstromelemente 2.1 Grundbegriffe 

Verständnis: 

Stromdichte: 

Muss diese Geschwindigkeit gleich der Lichtgeschwindigkeit sein, da das Licht ja 

sofort nach dem Einschalten am Schalter an ist? 

Die Antwort liefert auf jeden Fall das passende Beispiel in der Vorlesung . . . 

Bei gleichmäßiger Verteilung der Stromdichte S über den Querschnitt A einer Leitung 

ergibt sich der Strom in der Leitung nach Gln. 2.1.10 zu 

2.1.2. Elektrische Spannung 

I = SA (2.1.12) 

Falls die Stromdichte eine Funktion des Ortes ist (z.B. aufgrund von Stromverdrängung 

bei höheren Frequenzen) berechnet sich der Strom allgemeiner aus den entsprechenden 

Vektoren zu 

∫ 

I = ⃗SdA ⃗ (2.1.13) 

A 

Der Strom I ist das Integral über dem Skalarprodukt aus der Stromdichte S ⃗ und der 

Fläche A, ⃗ durch den der Strom fließt. 

→ Die Mathematik „spielt“ in der Elektrotechnik eine Hauptrolle! 

Kraft: 

Zur Bewegung der Elektronen in einem Leiter muss eine Kraft ⃗ F auf die Ladung 

Q ausgeübt werden. Setzt man diese beiden in Bezug zueinander, so ergibt sich die 

Definition der elektrischen Feldstärke zu 

⃗E = ⃗ F 

Q 


→ Diese Gleichung wird auch Formel von Coulomb 1 

genannt. 

Bedeutung: 

Bezug: 

Die elektrische Feldstärke ist eine der wichtigsten Größen der Elektrotechnik: Sie hat 

die Richtung der Kraft ⃗ F bei positiven Ladungen Q 

Die elektrische Feldstärke ⃗ E in einem Punkt x ist die Ursache der Stromdichte ⃗ S als 

Wirkung mit der linearen Beziehung 

⃗S = κ ⃗ E (2.1.15) 

Darin ist κ, die spezifische Leitfähigkeit, ein Maß für die Beweglichkeit der Elektronen. 

Integral: 

Das Linienintegral der Feldstärke ⃗ E zwischen zwei Punkten ist die elektrische Spannung 

2 

∫ 2 

U 12 = − 

1 

⃗Ed ⃗ l = ϕ 1 − ϕ 2 (2.1.16) 

1 Zu Ehren von Charles Augustine de Coulomb, 1736 – 1806, Entdeckte das Coulomb’sche Gesetz von der Anziehung zweier Ladungen 

∫ 2 

2 Das Minuszeichen steht hier aus mathematischen Gründen, da ⃗Ed ⃗ l = f(2) − f(1) ist und mit f(x) =−ϕ(x) kann das Minuszeichen 

eingeführt 

1 

werden. 


2.1 Grundbegriffe 2. Gleichstromelemente 

+30V 

+20V 

+10V 

2 

E−Feld 

ϕ 1 

U 12 

+38V 

Weg 

ϕ 2 

+8V 

ϕ 0 

0V 

1 

+8V 

+38V 

Abbildung 2.1.2.: Spannung im elektrischen Potentialfeld 

Potential: 

Draht: 

Eine Spannung kann als Potentialdifferenz zwischen den beiden Punkten aufgefasst 

werden. Dabei ist das Potential eines Punktes ϕ die Spannung zwischen diesem Punkt 

und einem beliebigen (gleichen) Bezugspunkt (oft als Masse bezeichnet) definiert. 

Verläuft der Weg in Gln. 2.1.16 speziell entlang eines Drahtes der Länge l mit konstantem 

Querschnitt, so erhalten wir den Betrag der Spannung zu 

U 12 = El (2.1.17) 

Ersetzen wir mit Gln. 2.1.14 die eleketrische Feldstärke durch die Kraft, die auf Ladungen 

ausgeübt wird, so wird daraus 

U 12 = Fl 

Q 


Arbeit: 

Das Produkt W = Fl, also die Kraft entlang des Weges, ist die mechanische Arbeit, 

die nötig ist, um die Ladung Q vom Potential 1 zum Potential 2 zu bewegen. Wir 

erhalten damit allgemein die Spannung zu 

U = W Q 


Leistung: 

Die Ursache eines elektrischen Stromes ist die Arbeit, die auch als Leistung mal Zeit 

(W = P · t) ausgedrückt werden kann, an der Ladung, die auch als Strom mal Zeit 

(Q = I · t) ausgedrückt werden kann. Daraus wird für die Spannung 

U = W Q = Pt 

It = P I 


→ Die Spannung U zwischen 2 Punkten eines stromführenden Leiters ist der Quotient 

aus der in diesem Leiterteil umgesetzten Leistung und dem durch den Leiter fließenden 

Strom. 

Einheit: Die Einheit der Spannung ist das Volt 3 

[U] = [P ] 

[I] = W A = V (2.1.21) 

Richtung: 

Die Richtung der Spannung entspricht der Bewegung einer positiven Probeladung. 

→ In Schaltbildern geht der Zählpfeil vom Plus- zum Minuspol der Quelle. Der Strom 

in einem geschlossenen Stromkreis fließt damit außerhalb der Spannungsquelle vom 

Plus- zum Minuspol. 

3 Zu Ehren von Alessandro Volta, 1745 – 1827, Entwickelte die Theorie vom elektrischen Strom 


2. Gleichstromelemente 2.2 Stromkreis 

Normen: 

Die Werte von Spannungsquellen werden in Spannungsreihen genormt 

• Kleinverbraucher: 2 V, 4 V, 6 V, 12 V, 24 V, 60 V; 

• Niederspannung: 110 V, 220 V, 380 V; 

• Hochspannung: 6 kV, 10 kV, 20 kV, 30 kV, 110 kV, 220 kV, 380 kV. 

Warum: 

Kleinverbraucher benötigen keine Schutzmaßnahmen? 

Die Antwort findet sich auf jeden Fall im Kapitel Schutzmaßnahmen . . . 

2.2. Stromkreis 

Bild: 

Ein einfacher geschlossener Stromkreis, wie in Abb. 2.2.1 dargestellt, enthält eine 

Quelle (Spannung U q oder Strom I q ), im allgemeinen widerstandslose Verbindungsleitungen 

und einen Verbraucher (z.B. Widerstand R). 

U 

q 

I 

R 

I 

q 

I 

R 

Abbildung 2.2.1.: Einfache Stromkreise mit Spannungs- und Stromquellen 

Aufgabe: 

Die Aufgabe in der Gleichspannunugstechnik beruht nun im wesentlichen darauf, bei 

diesen einfachen Kreisen aus den bekannten Quellengrößen und dem Bauelementewert 

den im Kreis fließenden unbekannten Strom I zu berechnen! 

→ Es entsteht ein elektrotechnisches Gleichungssystem, das mit mathematischen Methoden 

gelöst werden kann! 

2.2.1. Ohm’sches Gesetz 

Aufgabe: 

Die Berechnung von Strömen in einem Stromkreis kann nur erfolgen, wenn es einen 

Zusammenhang von Strom und Spannung an den Bauelementen gibt. 

Messen: 

Das Verhältnis der Spannung zwischen den Enden eines Leiters und dem Strom im 

Leiter wird als Widerstand definiert. Man findet experimentell (also durch Messen 

von Spannung und Strom an einem Leiter) den linearen Zusammenhang 

U = RI (2.2.1) 

→ Dieser elementare Zusammenhang ist so wichtig, dass er als Ohm’sches Gesetz 

bezeichnet wird. 

→ Es ist das zentrale Gesetz in der Elektrotechnik und Elektrotechnik betreiben heißt, 

das Ohm’sche Gesetz konsequent anwenden! 

Widerstand: 

Aus der Spannung am Widerstand und dem Strom durch den Widerstand kann demnach 

der Widerstandswert bestimmt werden 

R = U I 

(2.2.2) 


2.2 Stromkreis 2. Gleichstromelemente 

mit der Einheit Ohm 4 

[R] = [U] 

[I] = V =Ω (2.2.3) 

A 

→ Je größer der Widerstandswert ist, desto weniger Strom kann bei gleicher Spannung 

durch den Widerstand fließen! 

Leitwert: 

Der Reziprokwert des Widerstandes 

G = 1 R = I U 

(2.2.4) 

ist ein Maß dafür, wie einfach der Strom durch einen Widerstand fließen kann. Seine 

Einheit ist Siemens 5 

[G] = [I] 

[U] = A V = 1 Ω = S (2.2.5) 

(In den USA: MHO, rückwärts lesen!) 

2.2.2. Elektrischer Widerstand 

Messen: 

Experimentell kann man an einem metallischen Draht (also einem Drahtwiderstand) 

folgendes messen: 

• Längerer Draht: Spannung muss den Strom über eine längere Strecke treiben → 

Widerstand nimmt zu 

• Dickerer Draht: Elektronen finden mehr Platz → Widerstand nimmt ab 

• Verschiedene Materialien: Strom verändert sich bei gleicher Spannung in Abhängigkeit 

des Materials → unterschiedlicher Widerstand bei gleicher Geometrie 

Meistens sind die niederohmigen Widerstände wegen der größeren Strombelastung 

baulich größer als die hochohmigen. 

Formel: 

Temperatur: 

Aus der Messung findet man den Zusammenhang für einen Draht der Länge l mit dem 

Querschnitt A 

R = ρl 

A = l 

(2.2.6) 

κA 

mit der elektrischen Leitfähigkeit κ und dem spezifischen Widerstand ρ =1/κ . 

Die zusätzliche Temperaturabhängigkeit des Widerstandes wird durch einen Temperaturbeiwert 

modelliert (siehe Tab. 2.1 mit den charakteristische Kenngrößen einiger 

Metalle) (Frohne u. a., 2002) 

→ κ bzw. ρ werden für T 20 =20 ◦ C spezifiziert und mit dem linearen Temperaturbeiwert 

α 20 und dem quadratischen β 20 versehen. Der Widerstand bei der Temperatur T , 

also einer Differenz ΔT = T − T 20 , berechnet sich dann zu 

Fläche: 

R = R 20 (1 + α 20 ΔT + β 20 (ΔT ) 2 ) (2.2.7) 

Der Flächenwiderstand R s ist eine besonders für Halbleiterschaltungen wichtige Widerstandsangabe, 

mit der der Widerstand eines Quadrates (l = b) konstanter Schichtdicke 

d bezeichnet wird. Der Widerstand senkrecht zur Fläche l · b wird damit zu 

R s = ρl 

db = ρ (2.2.8) 

d 

4 Zu Ehren von Georg Simon Ohm, 1789 – 1854, stellte 1926 das Ohmsche Gesetz auf 

5 Zu Ehren von Werner von Siemens, 1816 – 1892, Gründer der Siemens und Halske A.G. 


2. Gleichstromelemente 2.2 Stromkreis 

Werkstoff κ 20 in α 20 in β 20 in 

Einheit Sm/mm 2 10 −3 K −1 10 −6 K −2 

Aluminium 33 . . . 36 4.2 . . . 5.0 1,3 

Gold 45 4,0 0,5 

Kupfer 55 . . . 57 3,9 . . . 4,3 0,6 

Silber 60 . . . 62 3,8 0,7 

Wolfram 18,2 4,1 1 

Tabelle 2.1.: Kenngrößen von verschiedenen Metallen 

→ Die Einheit des Schichwiderstandes ist Ohm, trotzdem wird sie häufig als 

Ohm/Fläche (Ω/✷) angegeben. 

Norm: Die realisierten Zahlenwerte von Widerständen sind in den IEC-Reihen 6 (E6, E12, 

E24, E48, E96) genormt. Beim E-Wert 

En m =10 m/n (2.2.9) 

gibt n =6, 12,... die Anzahl der Widerstände m =0, 1,...,(n − 1) an, die im 

Zahlenbereich 1 ...10 untergebracht werden können. 

Neben den Zahlenwerten und Toleranzen ist auch der Farbcode normiert, mit dem die 

Widerstandswerte auf den Widerstand gemalt werden. Dieser Farbcode enthält nach 

den 2 oder 3 Ringen für die Ziffern einen Ring als Multiplikator und einen für die 

Toleranz. Die Farbwerte können z.B. in (Böhmer, 2004, Seite 9) nachgesehen werden. 

2.2.3. Widerstände als Mess-Sensoren 

Heißleiter: 

Einige Halbleitermaterialien (z.B. Magnesium und Titanoxid) besitzen einen negativen 

Temperaturkoeffizienten (NTC-Widerstand, NTC = Negative Temperature Coefficient) 

bezogen auf den Widerstand R 25 bei T =25 ◦ C 

B 

R = R 25 · e ( B T − 298K ) (2.2.10) 

mit der Materialkonstanten B zwischen 3 000 K und 6 000 K. 

→ Ihr Widerstand sinkt bei steigender Temperatur 

Kaltleiter: 

Messfühler: 

Physik: 

Analog zu Heißleiter haben Kaltleiter (z.B. Bariumtitanat) einen positivem Temperaturkoeffizienten 

(PTC-Widerstand, PTC = Positive Temperature Coefficient). 

→ Ihr Widerstand steigt bei steigender Temperatur 

Wegen der exponentiellen Abhängigkeit (größere Widerstandsänderung) werden diese 

Widerstände als Messfühler für die Temperatur verwendet. 

→ Problem: Nichtlinearitäten 

→ Lösung: Einsatz von Digitalen Signalprozessoren (DSP) 

Zur Messung weitere physikalischer Größen eignen sich Widerstände mit entsprechenden 

Abhängigkeiten 

6 International Electrotechnical Commision 

• Licht → Fotowiderstand 


2.2 Stromkreis 2. Gleichstromelemente 

2.2.4. Realer Stromkreis 

• Magnetisches Feld → Hall-Widerstand 

• Mechanische Zugspannung → Dehnungsmessstreifen. 

→ Die Änderung einer physikalischen Größe hat so die Änderung einer elektrischen 

Größe zur Folge! 

→ Die elektrische Größe kann ggf. nach einer Analog-Digital-Umsetzung (ADU) mit 

DSPs oder μPs (Mikroprozessoren) weiterverarbeitet werden. 

In Abb. 2.2.2 kann die Hin- und Rückleitung zwischen dem Verbraucher und dem Generator zu einem 

Leitungs-Widerstand zusammen gefasst werden. Damit sind „Striche“ als Leitungen im Weiteren als widerstandslos 

anzusehen! 

Leitungen: 

Zwischen den Elementen eines realen Stromkreises müssen reale Leitungen mit einem 

entsprechenden Drahtwiderstand verwendet werden. 

→ Welchen Einfluss haben reale Leitungen? 

Verbraucher: Wir schließen einen Verbraucher R V an eine Spannungsquelle U G entsprechend 

Abb. 2.2.2 über eine Hin- und Rückleitung an 

I 

R /2 L 

I 

R L 

+ + 

U G 

− R L/2 

R V 

− 

U G 

U L 

U V 

R V 

Abbildung 2.2.2.: Realer Stromkreis mit realer Hin- und Rückleitung 

Strom: 

Spannungen: 

In allen Teilen des Stromkreises ist der Strom gleich groß. 

→ Wir verschieben den Leitungswiderstand R L /2 von unten nach oben und fassen 

den gesamten Leitungswiderstand zu R L zusammen. 

Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes erhalten wir den Spannungsabfall am Verbraucher 

U V = IR V (2.2.11) 

und auf der Leitung 

U L = IR L (2.2.12) 

Ergebnis 1: 

Ergebnis 2: 

Aus Sicht der Quelle ist die Summe der beiden Teilspannungen gleich der Klemmenspannung 

U G = U L + U V (2.2.13) 

so dass die Quelle nur die Summe der Verbraucher sieht. 

Aus Sicht des Verbrauchers ist die Differenz der beiden Teilspannungen gleich der 

Verbraucherspannung 

U V = U G − U L (2.2.14) 

so dass der Verbraucher anstelle der idealen Quelle nun eine reale Quelle mit Innenwiderstand 

sieht. 


2. Gleichstromelemente 2.3 Kirchhoff’sche Gesetze 

2.3. Kirchhoff’sche Gesetze 

Schaltung: 

Frage: 

Entsprechend den Ausführungen zum realen Stromkreis sind Verbindungen zwischen 

Schaltungselementen in Zukunft als verbindungslos anzusehen. 

Wie groß ist der Strom I q in der realen Schaltung, den die Autobatterie zur Versorgung 

eines Scheinwerfers, einer Zündspule und eines Autoradios in Abb. 2.3.1 liefern muss 

? 

I q 

A 

B 

I 1 I 2 I 3 

U G 

S 

Z 

R 

C 

D 

Abbildung 2.3.1.: Parallel-Schaltung realer Verbraucher 

→ Die Antwort liefern die Kirchhoff’schen Regeln 7 

2.3.1. Kirchhoff’sche Knotenregel 

Parallel: 

Die reale Schaltung mit einer Quelle und drei Verbrauchern lässt sich als Parallelschaltung 

der drei Widerstände R 1 , R 2 und R 3 darstellen (siehe Abb. 2.3.2) . 

1 

I q I 1 I I 2 

3 Iq 

Uq 

U 1 

R 1 

U 2 

2 

U 3 

R 2 R 3 

Uq 

R G 

Abbildung 2.3.2.: Parallelschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand 

Knoten: 

Knotenregel: 

Zu einem Knoten einer Schaltung gehören alle (widerstandslosen) Verbindungsleitungen, 

die auf dem selben Spannungspotential liegen. Zwischen zwei unterschiedlichen 

Knoten würde eine Spannung U ≠0anliegen. 

→ Zwischen den Punkten (A) und (B) fällt keine Spannung ab, ebenso zwischen den 

Punkten (C) und (D). Es existieren also nur die beiden Knoten (1) und (2) in der 

Schaltung. 

Für jeden der beiden Knotenpunkte (1) und (2) ist der hineinfließende Strom gleich 

dem herausfließenden Strom. Es gilt daher sowohl für Knoten (1) als auch (2) 

I q = I 1 + I 2 + I 3 (2.3.1) 

7 aufgestellt von Robert Kirchhoff, 1824 – 1887 


2.3 Kirchhoff’sche Gesetze 2. Gleichstromelemente 

Allgemeiner formuliert besagt das 1. Kirchhoff’sches Gesetz 

n∑ 

I k =0 (2.3.2) 

k=1 

→ Dabei werden in einen Knoten hineinfließenden Ströme positiv und die herausfließenden 

Ströme negativ gezählt. Die Bezugsgröße ist die Spannung zwischen den 

Knotenpunkten. 

Frage: 

Wie groß müsste der Ersatzwiderstand R G in Abb. 2.3.2 sein, den man anstelle der 

drei Widerstände R 1 ,R 2 und R 3 an die Knoten schalten könnte, wobei der Generator 

den selben Strom abgibt wie vorher? 

2.3.2. Parallelschaltung von Widerständen 

Ansatz: 

Für die Parallelschaltung der drei Widerstände aus Abb. 2.3.2 ergibt sich mit dem 

Ohm’schen Gesetz der Spannungsabfall zu 

U 1 = I 1 R 1 → I 1 = U 1 

R 1 

U 2 = I 2 R 2 → I 2 = U 2 

R 2 

U 3 = I 3 R 3 → I 3 = U 3 

R 3 

U q = I q R G → I q = U q 

(2.3.3) 

R G 

Einsetzen in die Knotenregel Gln. 2.3.2 

I q = I 1 + I 2 + I 3 (2.3.4) 

Spannung: 

Ergebnis: 

ergibt 

U q 

R G 

= U 1 

R 1 

+ U 2 

R 2 

+ U 3 

R 3 

(2.3.5) 

Es ist leicht zu sehen, dass in einer Parallelschaltung an allen Bauelementen die selbe 

Spannung 

U q = U 1 = U 2 = U 3 (2.3.6) 

anliegt. Damit kann die Spannung eliminiert werden und wir erhalten 

1 

R G 

= 1 R 1 

+ 1 R 2 

+ 1 R 3 

(2.3.7) 

Verwendet man anstelle der Widerstände die Leitwerte G i =1/R i , ergibt sich damit 

aus dem 1. Kirchhoff’sches Gesetz allgemeiner formuliert 

n∑ 

G G = G k (2.3.8) 

k=1 

→ In einer Parallelschaltung ist der Gesamtleitwert gleich der Summe der Einzelleitwerte. 


2. Gleichstromelemente 2.3 Kirchhoff’sche Gesetze 

Praxis: 

Beim Stromteiler (siehe Abb. 2.3.3) mit 2 parallel geschalteten Widerstände R 1 und 

R 2 ergibt sich 

I 1 

= I 1 R 1 = U = I 2 R 2 = I 2 

(2.3.9) 

G 1 G 2 

Nach Umstellen wird das Stromverhältnis zu 

I 1 

I 2 

= R 2 

R 1 

= G 1 

G 2 

(2.3.10) 

I 

I I 

1 

2 

U 

R 1 R 2 

In einer Parallelschaltung ist das Verhältnis 

der Ströme proportional zu dem der Leitwerte. 

→ Durch den kleineren Widerstand fließt 

der größere Strom. 

I 

Abbildung 2.3.3.: Stromteiler 

Frage: 

Rechnung: 

Wie groß ist der Teilstrom I 2 = f(R 1 ,R 2 ,I)? 

Umstellen der Gleichung nach 

I 1 = G 1 

G 2 

I 2 = I − I 2 (2.3.11) 

und Auflösen nach I ergibt 

( ) 

G1 

I = +1 I 2 = G 1 + G 2 

I 2 (2.3.12) 

G 2 G 2 

das Ergebnis für einen Stromteiler 

2.3.3. Kirchhoff’sche Maschenregel 

Reihe: 

I 2 = 

G 2 

G 1 + G 2 

I (2.3.13) 

An den einzelnen in Reihe geschalteten Widerständen in der Abb. 2.3.4 entsteht der 

Spannungsabfall 

U i = IR i ,i=1, 3 (2.3.14) 

Strom: 

Maschenregel: 

Dabei ist leicht zu sehen, dass in einer Reihenschaltung von Widerständen durch jeden 

Widerstand der selbe Strom fließen muss. 

Nehmen wir diesen Strom als Bezugsgröße und legen willkürlich einen Richtungssinn 

in der Masche (geschlossener Stromkreis) fest, so gilt für die Summe der Spannungen 

U 1 + U 2 + U 3 − U q =0 (2.3.15) 


2.3 Kirchhoff’sche Gesetze 2. Gleichstromelemente 

U 1 

U 2 

R 1 R 2 

R 3 U 3 

Uq 

Uq 

RG 

I 

I 

Abbildung 2.3.4.: Reihenschaltung von Widerständen und Ersatzwiderstand 

Allgemeiner formuliert besagt das 2. Kirchhoff’sches Gesetz 

n∑ 

U k =0 (2.3.16) 

k=1 

→ Dabei werden alle Spannungen in der Masche positiv gezählt, wenn derer Zählpfeil 

mit dem Richtungssinn der Masche übereinstimmt, sonst negativ. 

Frage: 

Wie groß müsste der Ersatzwiderstand R G in Abb. 2.3.4 sein, den man anstelle der 

drei Widerstände R 1 ,R 2 und R 3 in die Masche schalten könnte, wobei der Generator 

den selben Strom abgibt wie vorher? 

2.3.4. Reihenschaltung von Widerständen 

Ansatz: 

Für die Reihenschaltung der drei Widerstände aus Abb. 2.3.4 ergibt sich mit dem 

Ohm’schen Gesetz der Spannungsabfall mit dem überall gleichen Strom I direkt 

Einsetzen in die Maschenregel Gln. 2.3.16 

U 1 = IR 1 

U 2 = IR 2 

U 3 = IR 3 

U q = IR G (2.3.17) 

U G = U 1 + U 2 + U 3 (2.3.18) 

ergibt 

IR G = IR 1 + IR 2 + IR 3 (2.3.19) 

Nach Eliminierung des Stromes erhalten wir 

R G = R 1 + R 2 + R 3 (2.3.20) 

Ergebnis: 

Somit ergibt sich aus dem 2. Kirchhoff’sches Gesetz damit allgemeiner formuliert 

n∑ 

R G = R k (2.3.21) 

k=1 

→ In einer Reihenschaltung ist der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände. 


2. Gleichstromelemente 2.4 Anwendungen der Kirchhoff’schen Gleichungen 

Praxis: 

Beim Spannungsteiler (siehe Abb. 2.3.5) mit 2 Widerständen R 1 und R 2 in Reihenschaltung 

ergibt sich 

U 1 

= I = U 2 

(2.3.22) 

R 1 R 2 

Damit wird das Spannungsverhältnis direkt zu 

U 1 

U 2 

= R 1 

R 2 

(2.3.23) 

I 

U 1 U 2 

R 1 R 2 

U 

I 

In einer Reihenschaltung ist das 

Verhältnis der Spannungen proportional 

zu dem der Widerstände. 

Abbildung 2.3.5.: Spannungsteiler 

Frage: 

Rechnung: 

Wie groß ist die Teilspannung U 2 = f(R 1 ,R 2 ,U)? 

Umstellen der Gleichung nach 

und Auflösen nach U ergibt 

U = 

das Ergebnis für einen Spannungsteiler 

U 1 = R 1 

R 2 

U 2 = U − U 2 (2.3.24) 

( ) 

R1 

+1 U 2 = R 1 + R 2 

U 2 (2.3.25) 

R 2 R 2 

U 2 = 

R 2 

R 1 + R 2 

U (2.3.26) 

Dualität: Vergleicht man den Gleichungsaufbau mit der Formel zum Stromteiler in Gln. 2.3.13 

so sieht man, dass formal Spannungen und Ströme sowie Widerstände und Leitwerte 

gegeneinander getauscht werden. Dies bezeichnet man als duale Schaltungsgrößen. 

2.4. Anwendungen der Kirchhoff’schen Gleichungen 

2.4.1. Schiebewiderstand ohne Belastung 

Praxis: 

Spannung: 

Ein Schiebewiderstand mit einem Schleifkontakt dient zur Realisierung eines variablen 

Widerstandswertes R a . Die Bauform kann gerade (Schiebewiderstand) oder rund 

(Potentiometer) sein. Wesentliches Merkmal sind 3 Anschlüsse, wobei über 2 (gleichfarbig 

oder außen) der komplette Widerstand und über den dritten (andersfarbig oder 

Mitte) der Abgriff zugänglich ist. 

→ Der Widerstand R setzt sich aus den Teilwiderständen R ′ und R a zusammen. 

Nach Gln. 2.3.23 ist die Ausgangsspannung U a in Abb. 2.4.1 proportional zur abgegriffenen 

Widerstandslänge. 


2.4 Anwendungen der Kirchhoff’schen Gleichungen 2. Gleichstromelemente 

U 

a=1 

a=0 

R 

U a 

R’ 

R a 

U’ 

U a 

U 

Abbildung 2.4.1.: Schiebewiderstand (Potentiometer) 

Werte: Es gilt allgemein 0 ≤ a ≤ 1 und speziell U a =0für a =0und U a = U für a =1. 

Aus der Spannungsteilerregel Gln. 2.3.26 ergibt sich direkt 

Sonderform: 

U a 

U = R a 

R a + R ′ = aR R = a (2.4.1) 

mit a, dem Maß für die Verschiebungsstrecke (oder den Drehwinkel). 

Bei einem logarithmischen Drehwiderstand nimmt der Widerstand bei gleichen Drehwinkeln 

in Dekaden zu (1 bis 10Ω , 10 bis 100Ω , 100 bis 1000Ω , usw.). 

→ Anwendung: In der Rundfunktechnik als Lautstärkeregler. Aufgrund der ebenfalls 

logarithmischen Charakteristik des Ohres erscheint dann bei gleichen Drehwinkeln die 

Lautstärke entsprechend linear zuzunehmen. 

2.4.2. Schiebewiderstand mit Belastung 

Belastung: 

Gln. 2.4.1 ist nur gültig ohne Belastung des Schleifers. Die Charakteristik ändert sich, 

wenn entsprechend Abb. 2.4.2 aus dem Abgriff ein Strom entnommen wird. 

U 

I 

I 

U’ 

R’ 

U’ 

a=1 

R(1−a) 

U 

R 

I I 

R*a 

a 

v 

U a R v U R v 

a R v U v 

a=0 

U a 

I a 

I v 

Abbildung 2.4.2.: Potentiometer mit Belastung 

Frage: 

Ströme: 

Wie groß ist die Spannung U a = f(a, R, R V ,U)? 

→ Bevor wir rechnen eine Verständnisfrage: Wird die Spannung größer oder kleiner 

bei Belastung? 

Für die Ströme können wir schreiben 

I a = U a 

R a 

= U a 

aR 



I v = U v 

= U a 

(2.4.2) 

R v R v 

Weiterhin gilt für die Stromsumme im Knoten 

I = I a + I v = U a 

aR + U a 

R V 

(2.4.3) 

Spannungen: 

Andererseits ist die Spannung in der Masche 

U = U ′ + U a (2.4.4) 

Mit der Teilspannung 

U ′ = IR(1 − a) (2.4.5) 

erhalten wir dann erstmals ein Ergebnis 

U = IR(1 − a)+U a 

( 

Ua 

= 

aR + U ) 

a 

R(1 − a)+U a (2.4.6) 

R V 

Mathematik: 

Ergebnis: 

Division durch U a ergibt den Quotienten 

U 

U a 

= 

Mit dem Kehrwert wird das Ergebnis zu 

( 1 

aR + 1 

R V 

) 

R(1 − a)+1 

= R V + aR 

a · R · R V 

R(1 − a)+ aR V 

aR V 

= (R V + aR)(1 − a)+aR V 

aR V 

(2.4.7) 

U a 

U 

= 

= 

= 

aR V 

(R V + aR)(1 − a)+aR V 

a 

1 

R V 

(R V + aR − aR V − a 2 R + aR V ) 

a 

a 

1+a R = 

R V 

− a 2 R 

R V 

1+a R R V 

(1 − a) 

(2.4.8) 

2.4.3. Vorwiderstand 

Vorwiderstand: 

→ Falls kein Verbraucher angeschlossen ist (R V = ∞), so folgt R/R V =0und wir 

erhalten damit wieder das Ergebnis von Gln. 2.4.1. 

Ein Schiebewiderstand kann auch als Vorwiderstand für einen Verbraucher (z.B. 

Glühbirne) eingesetzt werden, um eine Spannungsanpassung vorzunehmen (siehe 

Abb. 2.4.3). 

Strom: 

Der gemeinsame Strom I der Reihenschaltung erzeugt am Verbraucher den Spannungsabfall 

U V = IR V . Der Strom berechnet sich zu 

I = U 0 U 0 

= 

(2.4.9) 

R G aR + R V 



U v U a 

R 

R v a=0 a=1 

U 0 

Abbildung 2.4.3.: Schaltung zum Vorwiderstand 

Spannung: 

Damit erhalten wir entsprechend der Spannungsteiler-Regel 

U V = IR V = 

U 0 

aR + R V 

R V = 

U 0 

R 

R V 

a +1 

(2.4.10) 

U Vmin : 

Für R a = R (bei a =1) erhalten wir die minimale Verbraucherspannung zu 

U Vmin = U 0 

R 

R V 

+1 = R V 

R V + R U 0 (2.4.11) 

→ Die Verbraucherspannung kann demnach nicht zu Null werden. Speziell für R = 

R V wird U V = U 0 /2. 

U Vmax : 

Für R a =0(bei a =0) erhalten wir die maximale Verbraucherspannung zu 

U V = U 0 (2.4.12) 

Problem: 

Die Verlustleistung geht im Vorwiderstand als Wärme „verloren“. 

2.4.4. Strommesser 

Prinzip: 

Bei üblichen Strommessern ist der Vollausschlag schon bei sehr kleinen Strömen (μA) 

erreicht. Zur Messung größerer Ströme muss der Überstrom am Messwerk über einen 

Nebenwiderstand (Shunt) vorbeigeleitet werden (siehe Abb. 2.4.4) . 

Digitale oder analoge Vielfachmessgeräte können entweder zur Strom- oder zur Spannungsmessung 

verwendet werden. Analoge Messgeräte sind immer seltener anzufinden. 

I 

I0 

I P 

U 0 

Ri 

RP 

Abbildung 2.4.4.: Erweiterung des Strommessbereiches 

Zahlen: 

Ein Messwerk habe den Innenwiderstand R i = 333Ω und einen Vollausschlag beim 

Strom I 0 =0, 3mA. Es soll ein Strom von I =6A gemessen werden. Der Überstrom 

I p = I − I 0 =5.9997A 



muss am Messwerk vorbeifließen. 

Es tritt nach dem Ohm’schen Gesetz ein Spannungsabfall 

U 0 = I 0 R i =99.9mV 

an Messwerk und Nebenwiderstand auf. Damit wird 

→ Realisierung: Ein dickeres Drahtstück. 

R p = U 0 

I − I 0 

=0, 01665Ω 

Praxis: 

Erweiterung des Strombereiches um den Faktor n = I/I 0 erfordert einen Nebenwiderstand 

R p = R i /(n − 1). Im Beispiel: n = 20 000 → R p =0.01665Ω. 

In Abb. 2.4.5 ist die Erweiterung eines Amperemeters mit mehreren Messbereichen 

zu sehen. 

Rp1 

Rp2 

Rp3 

Abbildung 2.4.5.: Realisierung eines Amperemeters mit 4 Messbereichen 

2.4.5. Spannungsmesser 

Prinzip: 

Zur Messung kleiner Spannungen muss der Vollausschlag des Spannungsmessers 

schon bei sehr kleinen Spannungen (μV ) erreicht sein. Bei größerer Spannungen fällt 

die Überspannung an einem Reihenwiderstand ab (siehe Abb. 2.4.6) . 

U v 

U 0 

R i 

I 0 

R v 

U 

Abbildung 2.4.6.: Erweiterung des Spannungsmessbereiches 

Zahlen: 

Gegeben sei dasselbe Messwerk mit Innenwiderstand R i = 333Ω und Vollausschlag 

bei U 0 = 100mV . Es soll eine Spannung von U = 220V gemessen werden. Die 

Überspannung 

U v = U − U 0 = 219, 9V 

muss vor dem Messwerk abfallen. 

Durch Messwerk und Vorwiderstand fließt der Strom 

I 0 =0, 3mA 



Nach dem Ohm’schen Gesetz ergibt sich dann 

R v = U v 

I 

= 733kΩ 

Praxis: 

Erweiterung des Spannungsbereiches um den Faktor n = U/U 0 erfordert einen Vorwiderstand 

R v = R i (n − 1). Im Beispiel: n = 2 200 → R v = 733kΩ. 

In Abb. 2.4.7 ist die Erweiterung eines Voltmeters mit mehreren Messbereichen zu 

sehen. 

R v1 

R v2 

R v3 

Abbildung 2.4.7.: Realisierung eines Voltmeters mit 4 Messbereichen 

2.4.6. Spannungs- und Strommessung 

Strommesser: 

Immer in Reihe zum Verbraucher, da der Strom in der Serienschaltung überall gleich 

groß ist. 

Spannungsmesser: 

Leistungssmessung: 

Immer Parallel zum Verbraucher, da die Spannung bei einer Parallelschaltung gleich 

groß ist. 

Bei gleichzeitiger Messung von Strom und Spannung eines Verbrauchers zur Leistungsmessung 

tritt immer ein prinzipieller Messfehler auf, da nicht beide Bedingungen 

gleichzeitig erfüllbar sind. 

I f 

R iA 

R a 

R iA 

R iV 

R iV 

U f 

R a 

Abbildung 2.4.8.: Spannungsrichtige oder stromrichtige Messung am Verbraucher 

→ Es sind zwei Schaltungen entsprechend Abb. 2.4.8 möglich, deren Auswahl nach 

den Eigenschaften des Verbrauchers getroffen werden muss. 

2.4.7. Wheatstonesche Brückenschaltung 

Brückenschaltung: 

Sie besteht entsprechend Abb. 2.4.9 aus 4 Widerständen, von denen je zwei in Reihenschaltung 

als Parallelschaltung an der Spannungsquelle sind. 

Spannung: 

In den Brückenwiderständen R 1 ...R 4 entstehen die Spannungsabfälle U 1 ...U 4 ,wodurch 

sich i.a. auch eine Spannung U 5 ≠ 0V zwischen den Punkten (A) und (B) 

einstellt. 



B 

C 

R 1 

R 2 

I 1 U 1 3 

R 3 

U I U 5 3 

I 5 

A 

R 4 

D 

I 2 U 2 

U 0 

I 4 U 4 

Abbildung 2.4.9.: Wheatstonesche Brückenschaltung 

→ Die 4 Widerstände so wählen, dass die Brückenspannung U 5 

I 5 =0A wird. 

= 0V und somit 

Strom: 

Das Ergebnis einer längeren Rechnung (Anwendung von Knoten- und Maschenregel, 

siehe Übung) liefert 

I 5 = 

U 0 (R 2 R 3 − R 1 R 4 ) 

(R 1 + R 3 )(R 2 R 4 + R 5 (R 2 + R 4 )) + R 1 R 3 (R 2 + R 4 ) 

(2.4.13) 

Damit I 5 =0ist muss der Zähler zu Null werden 

R 2 R 3 − R 1 R 4 =0 (2.4.14) 

Praxis: 

In der Praxis wird diese Bedingung über die Widerstandsverhältnisse der Parallelzweige 

definiert zu 

R 1 

R 2 

= R 3 

R 4 

(2.4.15) 

oder gleichwertig über die Widerstandsverhältnisse der Reihenzweige zu 

R 1 

R 3 

= R 2 

R 4 

(2.4.16) 

Messgerät: 

Abb. 2.4.10 zeigt die Verwendung als Messprinzip für die Messung von Widerständen. 

R 1 

B 

R x 

I 

C 

I 2 

I 1 

I 5 

R 2 

A 

U 0 

M 

I x 

I 4 

R 4 

D 

I 

Abbildung 2.4.10.: Bestimmung von Widerständen mit der Wheatstoneschen Brückenschaltung 



Prinzip: Das Brückeninstrument M hat den Nullpunkt in der Mitte. Die Widerstände R 2 und R 4 

werden als Teilwiderstände eines Schiebewiderstandes (Drehwiderstandes) realisiert. 

→ Zur Messung wird der unbekannte Widerstand R x anstelle von R 3 angeschlossen 

und der Schleifer solange gedreht, bis das Instrument keinen Ausschlag mehr anzeigt. 

Rechnung: 

Praxis: 

Schreiber: 

Aus der Abgleichbedingung in Gln. 2.4.15 ergibt sich direkt der unbekannte Widerstand 

zu 

R x = R 1R 4 l 4 

= R 1 (2.4.17) 

R 2 l 2 

• Der Wert des Widerstandes R 1 muss sehr genau bekannt sein. 

→ Mit R 1 wird der Messbereich ausgewählt. 

• Die Längen- und Widerstandsänderungen müssen sehr genau proportional zueinander 

sein. 

→ An der Skala des Drehwinkels wird direkt der Widerstandswert abgelesen. 

• Die Quellenspannung U 0 geht nicht ein. 

→ Beim alternativen Ausschlagverfahren zur Widerstandsmessung geht U 0 in 

die Messung ein und es muss vor jeder Messung eine Kalibrierung erfolgen. 

Abb. 2.4.11 zeigt die Verwendung als zeitabhängiger Schreiber (x(t)-Schreiber) einer 

beliebigen physikalischen Größe bei Wahl eines geeigneten Messfühlers. 

R = R(T) 

C 

U 

R 0 

1 

B 

R 2 A 

R 3 

R 4 

D 

v 

Motor 

Papierbahn 

t 

T 

Abbildung 2.4.11.: Brückenschaltung im Kompensationsschreiber 

→ Als Messfühler kann z.B. ein temperaturabhängiger Widerstand eingesetzt werden. 

Aufbau: 

Prinzip: 

Anstelle des Messinstrumentes wird die Brückenspannung U 5 einem Verstärker zugeführt, 

dessen Ausgangsspannung einen Motor antreibt, der über eine geeignete Mechanik 

den Abgriff des Schiebewiderstandes verschiebt, an dem zusätzlich ein Schreibstift 

angebracht ist. 

• Falls die Widerstandskombination R(T ), R 2 , R 3 und R 4 abgeglichen ist, erhält 

der Verstärker kein Signal und der Motor steht still. 

• Bei einer Änderung von R(T ) erhält der Verstärker solange ein Signal, bis über 

den Motor die Brücke wieder abgeglichen ist. 

• Realisierung eines Nullspannungsabgleiches kombiniert mit einer beliebigen 

Verschiebung des Messbereiches. 


2. Gleichstromelemente 2.5 Arbeit und Leistung 

2.5. Arbeit und Leistung 

Energie: 

Wir haben in Gln. 2.1.19 die Spannung definiert als 

U = W Q 

Mit der Definition der Ladung gemäß Gln. 2.1.6 zu 

Q = I · t 

erhalten wir damit die elektrische Energie zu 

W = U · Q = U · I · t (2.5.1) 

→ Für zeitlich nicht konstante Spannungen und Ströme muss die Energie allgemeiner 

über das Integral berechnet werden 

W 12 = 

∫ t 2 

t 1 

u(t) · i(t)dt (2.5.2) 

Einheit: Die Einheit der Energie ist die Wattsekunde 8 

[W ]=V · A · s = Ws (2.5.3) 

Umrechnung: 

Für die Umrechnung von elektrischer nach mechanischer Energie (gespeicherter Arbeit) 

gilt die wichtige Identität zwischen Wattsekunde (Ws) und Newtonmeter (Nm) 

1Ws =1Nm (2.5.4) 

→ Dies ist die einzige Beziehung, mit der die elektrischen Einheiten in mechanische 

und umgekehrt umgerechnet werden können. 

Leistung: 

In der Physik (und auch in Klausuren) ist die Leistung als Arbeit pro Zeit definiert 

P = W t 

(2.5.5) 

In der Elektrotechnik gilt analog unter Berücksichtigung des Ohmschen Gesetzes 

P = W t 

= U · I = I 2 R = U 2 

R 

(2.5.6) 

Merke: 

In einem Widerstand von 1Ω fließt bei einer anliegenden Spannung von 1V nach dem 

Ohm’schen Gesetz ein Strom von 1A. 

→ Dann wird dem Widerstand eine Leistung von 1W zugeführt. 

8 Zu Ehren von James Watt, 1736 – 1819, Erfinder der ersten verwendbaren Dampfmaschine 


2.6 Spannungsquelle 2. Gleichstromelemente 

Wirkungsgrad: 

Nur ein Teil der einem Verbraucher angebotenen elektrischen Energie W ges steht diesem 

als Nutzenergie W N zur Verfügung, der Rest geht als Verluste W V verloren. Der 

Wirkungsgrad η ist 

η = 

verwendbare Energie 

angebotene Energie = W N 

W ges 

= P N 

P ges 

(2.5.7) 

Verluste: 

Entsprechend kann ein Verlustwirkungsgrad η V definiert werden zu 

η V = 

nutzlos abgeführte Verlustenergie 

angebotene Energie 

= W V 

W ges 

= P V 

P ges 

(2.5.8) 

2.6. Spannungsquelle 

Praxis: 

Spannungsquellen enthalten – genauso wie Verbraucher – elektrische Bauelemente, 

z.B. Kupferdraht, Dioden, Kondensatoren oder Spulen in Transformatoren, die einen 

endlichen spezifischen Widerstand haben und das Verhalten der realen Spannungsquelle 

bestimmen. 

Uq 

I 

R i U k Ra1 R a2 

Abbildung 2.6.1.: Ersatzschaltbild einer realen Spannungsquelle 

Quelle: 

Gegeben sei eine reale Spannungsquelle entsprechend Abb. 2.6.1 mit der Quellenspannung 

U q und dem Innenwiderstand R i . Diese Werte sind von außen nicht direkt 

zugänglich. Es stehen nur Klemmenspannung U k und Strom I zur Verfügung. 

2.6.1. Ersatzschaltbild 

Frage: 

Messung: 

Wie können Quellenspannung und Innenwiderstand des Ersatzschaltbildes (ESB) bestimmt 

werden? 

→ Für 2 Unbekannten benötigen wir 2 Gleichungen! 

Um die Größen zu bestimmen, werden zwei verschiedene Widerstände R a1 und R a2 

an die Spannungsquelle angeschlossen. 

→ Dabei werden die Klemmenspannungen und die Ströme zu (U k1 ,I 1 ) und (U k2 ,I 2 ) 

gemessen. 

Innenwiderstand: Für jeden Außenwiderstand gilt in der Masche in Abb. 2.6.1 

U q = U k1 + I 1 R i (2.6.1) 

U q = U k2 + I 2 R i (2.6.2) 

Da U q = const ist (ideale Quelle) erhalten wir durch Gleichsetzen den Innenwiderstand 

zu 

R i = − U k 2 

− U k1 

I 2 − I 1 

= − ΔU k 

ΔI 

(2.6.3) 


2. Gleichstromelemente 2.6 Spannungsquelle 

→ Im allgemeinen geht also eine Erhöhung des Stromes mit einer Verringerung der 

Klemmenspannung einher. 

Quellenspannung: 

Für die Quellenspannung ergibt sich mit „etwas“ Mathematik, die vielleicht als Übung 

zur Klausur jedem empfohlen sei, aus den Gln. 2.6.1 und 2.6.2 

U q = I 2U k1 − I 1 U k2 

I 2 − I 1 

= I 2U k1 − I 1 U k2 

ΔI 

(2.6.4) 

Leerlauf: 

Für den speziellen Außenwiderstand R a1 = ∞ erhält man aus der gemessenen Leerlaufspannung 

U L = U k1 und mit I 1 =0die Quellenspannung direkt zu 

U q = U k1 = U L (2.6.5) 

Kurzschluss: 

Für den speziellen Außenwiderstand R a2 =0erhält man aus dem gemessenen Kurzschlussstrom 

I K = I 2 und mit U k2 =0den Innenwiderstand direkt zu 

R i = U k 1 

I 2 

= U L 

I K 

= U q 

I K 

(2.6.6) 

→ Auch für reale Quellen gilt das Ohm’sche Gesetz! 

2.6.2. Kennlinie 

Kennlinie: 

Die Klemmenspannung der realen Spannungsquellen wird mit der Maschenregel zu 

U k = f(I k )=U q − R i I k (2.6.7) 

U k 

A 

I 

Uk 

U k2 

B 

U q 

R a2 

I 2 

I k 

U k1 

R a1 

I 1 I 

R i = − 

Uk 

I 

Abbildung 2.6.2.: Betriebskennlinie einer realen Spannungsquelle 

→ Die rote Gerade in Abb 2.6.2 ist die Arbeitsgerade der realen Quelle. 

Punkte: 

• Der Innenwiderstand R i entspricht der Steigung der Kennlinie. 

• Die Punkte (A) und (B) sind die Arbeitspunkte im Messversuch mit beliebigen 

Widerständen R a1 und R a2 . 

• Die durch den Nullpunkt und die Punkte (A) und (B) gehenden Graden sind die 

Widerstandsgeraden. Sie werden durch das Ohmsche Gesetz für die Widerstände 

definiert. 


2.6 Spannungsquelle 2. Gleichstromelemente 

Ideal: 

Praxis: 

Das Ziel für eine „möglichst“ ideale Quelle ist eine weitgehend unabhängige Stromentnahme. 

→ Möglichst waagerechte Kennlinie mit kleinem Innenwiderstand. 

Für einen Schutz der Quellen vor zu hohen Kurzschlussströmen durch zu kleine Verbraucher 

werden Sicherungen (als Schmelzsicherung oder Sicherungsautomat) in den 

Stromkreis eingebaut. 

→ Bei Überschreiten einer maximal zulässigen Stromstärke wird der Stromkreis unterbrochen. 

2.6.3. Reale Spannungsquelle im realen Stromkreis 

Leitung: 

Bei einem realen Stromkreis ohne Vernachlässigungen muss neben dem Innenwiderstand 

R i der Spannungsquelle noch der Leitungswiderstand R L berücksichtigt werden 

wie dies in Abb. 2.6.3 dargestellt ist . 

I 

R i 

R L 

U i 

U L 

U q 

U g 

U a 

R a 

Abbildung 2.6.3.: Vollständiges Ersatzschaltbild eines Stromkreises 

Leerlauf: 

Falls kein Strom fließt, ist die Quellenspannung U q des idealen Generators messbar 

U q = U g = U a = U L (2.6.8) 

Belastung: 

Ein Stromfluss erzeugt nach dem Ohm’schen Gesetz an den Widerständen die Spannungsabfälle 

U i = IR i und U L = IR L . Mit Hilfe der Maschengleichung erhalten wir 

dann 

U a = U q − U i − U L (2.6.9) 

= U q − IR i − IR L 

= U q − I(R i + R L ) 

= U q − IR i ′ (2.6.10) 

Praxis: 

Eine reale Leitung erhöht aus Sicht des Verbrauchers den Innenwiderstand der realen 

Quelle. 

→ Der Leitungswiderstand realer Leitungen wird in Zukunft dem Innenwiderstand 

der realen Quelle zugerechnet! 

2.6.4. Anpassung 

Leistung: 

Die Leistung im Außenwiderstand in Abb. 2.6.4 ist nach Gln. 2.5.6 das Produkt aus 

Spannung am und Strom durch den Widerstand. 

→ Die Leistung ist Null wenn entweder die Spannung am Widerstand (für R a =0, 

Kurzschluss) oder der Strom durch den Widerstand (für R a = ∞, Leerlauf) Null sind. 


2. Gleichstromelemente 2.6 Spannungsquelle 

I 

R i P i 

P a 

R a 

U q 

Abbildung 2.6.4.: Leistungsanpassung 

Frage: 

Funktion: 

Wie verläuft die Funktion P a = f(R a ), bzw. wo liegt das Maximum, das Leistungsmaximum, 

dieser Funktion? 

→ Der Verbrauchswiderstand nutzt dann den maximal möglichen Anteil der von der 

Spannungsquelle abgegebenen Energie. 

Für die Berechnung der Leistung P a = I 2 R a im Verbraucher benötigen wir den Strom 

durch die Reihenschaltung 

U q 

I = 

(2.6.11) 

R i + R a 

Daraus ergibt sich die gesuchte Funktion zu 

P a = 

( 

Uq 

R i + R a 

) 2 

R a = 

U 2 q R a 

(R i + R a ) 2 = f(R a) (2.6.12) 

Maximum: 

Wie wir in der Mathematik gelernt haben, erhalten wir durch Nullsetzen der ersten 

Ableitung einer Funktion die Maxima 

dP a 

= U q 2 (R i + R a ) 2 − 2(R i + R a )Uq 2 R a 

dR a (R i + R a ) 4 =0 (2.6.13) 

Aus dem Zähler ergibt sich die Anpassbedingung zu 

(R i + R a ) 2 = 2(R i + R a )R a 

R i + R a = 2R a 

R a = R i (2.6.14) 

Kenngrößen: 

Wir können nun folgende Kenngrößen berechnen 

• Das Leistungsmaximum ergibt sich mit Gln. 2.6.12 bei Leistungsanpassung 

R i = R a zu 

P amax = U q 

2 (2.6.15) 

4R i 

• Der Wirkungsgrad ergibt sich mit der Gesamtleistung 

zu 

P ges = 

U 2 q 

R i + R a 

(2.6.16) 

1 

η = P a = 

U q 2 R a R i + R a 

P ges (R i + R a ) 2 Uq 

2 = R a 

R i + R a 

1 

= 

(2.6.17) 

1+ Ri 

R a 


2.7 Stromquelle 2. Gleichstromelemente 

• Der Leistungsfaktor ist das Verhältnis der Ausgangsleistung zur maximalen Ausgangsleistung 

P a 

= U q 2 R a 4R i 

P amax (R i + R a ) 2 Uq 

2 = 4R iR a 

(R i + R a ) 2 = 4 Ra 

R i 

(1 + Ra 

R i 

) 2 (2.6.18) 

1 

0.9 

Leistungsanpassung 

Eta_U(x) 

P_U(x) 

Eta_I(x) 

0.8 

0.7 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

0.2 

0.1 

0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

x = R a / R i 

Abbildung 2.6.5.: Wirkungsgrad η und Leistungsfaktor P a /P amax in Abhängigkeit von x = R a /R i 

In Abb. 2.6.5 sind die Kenngrößen graphisch dargestellt, inklusive des Wirkungsgrades 

einer Stromquelle, der im folgenden Kapitel besprochen wird. 

Nachricht: 

Energie: 

In der Nachrichtentechnik sollen geringe Signalleistungen fehlerfrei und sicher durch 

einen Nachrichtenkanal übertragen werden 

→ Leistungsanpassung P a = P amax zwischen den Stufen bei R a = R i . 

In der Energietechnik sollen erzeugte große Energien möglichst ohne Verluste vom 

Generator zum Verbraucher transportiert werden 

→ Möglichst großer Wirkungsgrad η bei R a ≫ R i 

2.7. Stromquelle 

Spannung: 

An den Klemmen einer idealen Spannungsquelle liegt unabhängig von der Belastung 

stets die Quellenspannung an. Die ideale Spannungsquelle liefert dabei einen 

so großen Strom, dass das Ohm’sche Gesetz an den Klemmen erfüllt ist. 

U q 

R i 

U L 

I k 

I q 

R i 

U L 

I k 

Spannungsquelle 

Stromquelle 

Abbildung 2.7.1.: Reale Strom- und Spannungsquelle 


2. Gleichstromelemente 2.8 Nichtlinearer Zweipol 

Strom: 

Frage: 

Verbraucher: 

Aus den Klemmen einer idealen Stromquelle fließt unabhängig von der Belastung stets 

der Quellenstrom. Die ideale Stromquelle liefert dabei eine so große Spannung, dass 

das Ohm’sche Gesetz an den Klemmen erfüllt ist. 

Was unterscheidet dann eine Strom- und eine Spannungsquelle? 

Aus Sicht des Verbrauchers können reale (widerstandsbehaftet) Quellen nicht unterschieden 

werden, wenn für die Kenngrößen gilt, dass die Innenwiderstände beider 

Quellen gleich sind und zwischen dem Quellenstrom und der Quellenspannung einfach 

nur das Ohm’sche Gesetz gilt 

U q = R i I q (2.7.1) 

→ Dann können die realen Quellen ineinander überführt werden! 

Für den Verbraucher existiert dann eine Quelle mit der Leerlaufspannung 

U L = U q = R i I q (2.7.2) 

und dem Kurzschlussstrom 

I K = I q = U q 

R i 

(2.7.3) 

Quelle: 

Aus Sicht der Quelle gibt es allerdings immer einen Unterschied beim Wirkungsgrad: 

• Bei einer Spannungsquelle wird der Wirkungsgrad 

1 

η U = =1 (2.7.4) 

1+ Ri 

R a 

wenn die Quelle im Leerlauf mit R a = ∞ betrieben wird, da dann am Innenwiderstand 

keine Verlustleistung entsteht. 

• Bei einer Stromquelle wird der Wirkungsgrad 

1 

η I = =1 (2.7.5) 

1+ Ra 

R i 

wenn die Quelle im Kurzschluss mit R a =0betrieben wird, da dann am Innenwiderstand 

keine Verlustleistung entsteht. 

2.8. Nichtlinearer Zweipol 

Linear: 

Bisher haben wir passive und aktive lineare Zweipole behandelt, deren Strom- 

Spannungs-Charakteristik I = f(U) durch eine lineare Geradengleichung der Form 

y = ax + b dargestellt werden kann 

I = GU (2.8.1) 

Kennlinie: 

Nichtlinear: 

Diesen Zusammenhang kann man mit einer Geraden auch graphisch darstellen, wie in 

Abb. 2.8.1 dargestellt . 

→ Bei passiven Zweipolen entfällt der Achsenabschnitt. 

Es gibt aber auch Bauelemente, deren Kennlinie I = f(U) sich nicht mit einer Geradengleichung 

beschreiben lässt. 


2.8 Nichtlinearer Zweipol 2. Gleichstromelemente 

U q 

R i 

U 

I 

G 

I 

U 

Abbildung 2.8.1.: Linearer passiver Zweipol (Leitwert) mit I-U-Kennlinie 

U q 

R i 

U 

I 

D 

I 

U 

U D 

Abbildung 2.8.2.: Nichtlineare I-U-Kennlinie einer idealisierten Diode 

Diode: 

Praxis: 

Die Kennlinie einer idelalisierten Diode enthält einen Sperrbereich für Spannungen 

U ≤ U D und einen linearen Verlauf für Spannungen U ≥ U D , wie in Abb. 2.8.2 

dargestellt ist . 

Die I-U-Kennlinien werden von den Herstellern für den Schaltungsentwurf zur Verfügung 

gestellt. 

→ In Schaltungssimulationsprogrammen werden Dioden und Transistoren durch Näherungsformeln 

modelliert, deren Herleitung Thema einer Bauelementevorlesung ist 

.

1. Gleichstrom - derivat

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