Grundlagen der Elektrotechnik I - LfI

Institut für Grundlagen der Elektrotechnik und Messtechnik
Prof. Dr.-Ing. H. Haase • Prof. Dr.-Ing. H. Garbe • Prof. Dr.-Ing. M. Koch
Prüfungsleistung ”
Grundlagen der Elektrotechnik I“
im Fach ”
Grundlagen der Elektrotechnik“
Zugelassene Hilfsmittel
ˆ Ein Taschenrechner laut Aushangliste
ˆ Stifte, Zirkel, Lineal bzw. Geodreieck und leeres Papier
ˆ Eine gestellte Formelsammlung des Instituts
ˆ 1 handgeschriebenes Formelblatt (DIN-A4)
120 Punkte, 120 Minuten Hannover, 03.03.2009
Name:
Matrikelnummer:
Hinweise:
ˆ Es gelten die aktuellen Prüfungsregeln des Instituts.
ˆ Die gedruckten Aufgabenblätter werden nicht eingesammelt!
ˆ Beschriften Sie alle Blätter, die Lösungsteile enthalten mit Namen, Matrikel- und Aufgabennummer!
Tragen Sie hier die Ergebnisnummer von Ihrem Platzzettel ein, falls
Ihr Ergebnis unter dieser Nummer im Internet veröffentlicht werden soll:
Nur von den Korrekteuren auszufüllen
Aufgabennummern Punktesumme Korrektor Klausurleiter
1-1 bis 1-5
1-6 bis 1-10
2-1 bis 2-6
2-7 bis 2-11
∑

Aufgabenteil ”
Elektrostatik“
11 Aufgaben zu 60 Punkten
Aufgabe 2-1 – Bilanzhülle (3 Punkte)
Gegeben ist eine kugelförmige Raumladungswolke mit dem Radius r und der homogenen Raumladungsdichte
ϱ. Um die Raumladungswolke wird gemäß Abb. 13 ein Würfel mit der Kantenlänge
a als Bilanzhülle gelegt.
r
a
a
a
Abbildung 13: Raumladungswolke mit Bilanzhülle
Wie groß ist der Fluss Ψ D durch eine Seitenfläche des Würfels?
Hinweis: Der Mittelpunkt der Kugel befindet sich im Mittelpunkt des Würfels. Es gilt a > 2r.
Aufgabe 2-2 – Raumladungswolke (5 Punkte)
Die kugelförmige Raumladung mit dem Radius R 1 und der homogenen Raumladungsdichte 3ϱ ist
konzentrisch von einer zweiten kugelförmigen Raumladung mit dem Radius R 2 und der homgenen
Raumladungsdichte ϱ umgeben (vgl. Abbildung 14). Im Raum gilt ε = ε 0 .
b
ϱ
R 1
3ϱ
r
x
P
R 2
Abbildung 14: Konzentrische Raumladungen
Berechnen Sie das elektrische Feld ⃗ E im Punkt P in Kugelkoordinaten in Abhängigkeit der
gegebenen Größen!
6

Aufgabe 2-3 – Segmentierte Bilanzhülle (4 Punkte)
Im Mittelpunkt der in Abbildung 15 geöffnet dargestellten Bilanzhülle befindet sich eine Punktladung
der Größe Q. Die kugelförmige Bilanzhülle weist eine segmentartige Öffnung auf, die bezogen
auf eine Durchmesserachse den Öffnungswinkel α ausbildet.
Bilanzfläche
α
Q
2 R
Abbildung 15: Punktladung im Zentrum der segmentierten Kugelbilanzhülle
a) Bestimmen Sie den elektrischen Fluss Ψ (α) durch die Bilanzhülle in Abhängigkeit der gegebenen
Größen als Funktion des Öffnungswinkels α!
b) Bestimmen Sie den elektrischen Fluss Ψ (α = 0) durch die vollständig geschlossene Bilanzhülle!
Aufgabe 2-4 – Kraft auf Punktladung (10 Punkte)
In der x-y-Ebene befindet sich eine kreisförmige Flächenladung vom Radius R mit der
Flächenladungsdichte σ, deren Mittelpunkt im Ursprung liegt. Im Punkt P=(0,0,h) befindet sich
eine Punktladung Q. Im gesamten Raum gilt ε = ε 0 .
h
z
P
Q
σ
y
R
R
x
Abbildung 16: Ladungskonfiguration einer Kreisflächen- und Punktladung
Berechnen Sie die Kraft F ⃗ , die auf die Ladung Q im Punkt P einwirkt!
Hinweis: ∫ x
dx = −
(x 2 +a 2 ) 3 √ 1
2
x 2 +a 2 7

Aufgabe 2-5 – Permittivitätsgrenzschicht (3 Punkte)
In einem Raumgebiet bildet der Übergang zweier Materialien unterschiedlicher Permittivität eine
ebene Grenzschicht. Im Material 1 mit der Permittivität 2ε 0 sind die dort bezüglich der
Grenzschicht wirksamen tangentialen und normalen Komponenten der elektrische Flussdichte
D t1 = 2D n1 . Material 2 hat die Permittivität 3ε 0 .
Berechnen Sie den Betrag ∣E ⃗ ∣ ∣∣
2 der im Material 2 an der Grenzschicht wirksamen elektrische
Feldstärke in Abhängigkeit von D n1 !
Aufgabe 2-6 – Spannung entlang eines Weges (5 Punkte)
Abbildung 17 zeigt ein von der z-Koordinate unabhängiges ebenes elektrostatisches Feld, das wie
folgt beschrieben ist:
⃗E = x V
3 m ⃗e 2 x + 1 V m ⃗e y
Im gesamten Raum gilt ε = ε 0 .
y
m
6
5
4
3
E ⃗
d⃗s 1
S 2 S 1
d⃗s 2
Maßstab:
1 V m
2
1
z
m
1 2 3 4 5 6
Abbildung 17: Hilfsgraph der Wege im E-Feld
a) Berechnen Sie die Spannung U 1 längs des eingetragenen Weges S 1 unter der Beachtung der
eingezeichneten Wegrichtung!
b) Berechnen Sie die Spannung U 2 längs des eingetragenen Weges S 2 unter der Beachtung der
eingezeichneten Wegrichtung!
x
m
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Aufgabe 2-7 – Plattenkondensator (5 Punkte)
Gegeben ist ein luftgefüllter Plattenkondensator mit der Elektrodenfläche A und dem Plattenabstand
a 1 . Eine Kunststoffplatte mit der relativen Permittivität ε r und der Dicke d wird parallel
zu den Elektroden in den Kondensator eingeschoben (siehe Abbildung 18). Die ursprüngliche Kapazität
wird durch Vergrößerung des Plattenabstandes auf den Wert a 2 wieder hergestellt. Es gilt
a 1 = 4 3 d und a 2 = 2 d.
0000 1111
0000 1111
ε r ε 0
d
a 1 a 2
A
ε 0
00000 11111
A
Abbildung 18: Plattenkondensator
Berechnen Sie die relative Permittivität ε r des Kunststoffes!
Hinweis: Streu- und Randeffekte sind zu vernachlässigen!
Aufgabe 2-8 – Ortsabhängige Permittivität (5 Punkte)
Gegeben ist der in Abb.19 gezeigte Plattenkondensator. Das darin befindliche Dielektrikum ( ) weist
eine von der y-Koordinate abhängige Permittivität auf, für die gilt: ε(y) = ε 0 1 +
3y
h
y
b
h
ε(y)
0
d
U q > 0
Abbildung 19: Plattenkondensator
Bestimmen Sie den Betrag der Ladung des Kondensators in Abhängigkeit der gegebenen Größen!
Hinweis: Streu- und Randeffekte sind zu vernachlässigen!
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Aufgabe 2-9 – Zylinderkondensator (5 Punkte)
Ein Zylinderkondensator der Länge l ist gemäß Abbildung 20 jeweils zur Hälfte mit unterschiedlichen
Dielektrika ausgefüllt. U 12 , r i , r a , l und ε 0 sind bekannt.
ε 1 = ε 0
σ 1,innen
U 12
r i
ε 2 = 3 ε 0
r a
Abbildung 20: Schnitt durch den Zylinderkondensator
a) Geben Sie das Verhältnis der Beträge der elektrischen Feldstärken im oberen und unteren
Dielektrikum, sowie der elektrischen Flussdichten in diesen Bereichen in der Form E 1
E 2
bzw.
an!
D 1
D 2
b) Bestimmen Sie die Flächenladungsdichte σ 1,innen auf der oberen Hälfte der inneren Elektrode
in Abhängigkeit der gegebenen Kondensatorparameter und U 12 !
Hinweis: Streu- und Randeffekte sind zu vernachlässigen!
Aufgabe 2-10 – Kapazitives Netzwerk (5 Punkte)
Gegeben ist die Schaltung nach Abbildung 21 mit drei zuerst spannungslosen Kondensatoren C 1 ,
C 2 und C 3 . Durch Verbinden der Klemmen A und B wird zunächst der Kondensator C 1 vollständig
aufgeladen. Dann wird diese Verbindung getrennt und die Klemmen B und C werden verbunden.
R
A
C
R
U q
B
C 1
C 2
U 3
C 3
Abbildung 21: Kapazitives Netzwerk
Berechnen Sie die Spannung U 3 in Abhängigkeit der gegebenen Größen nach Abklingen der der
Ausgleichsvorgänge!
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Aufgabe 2-11 – Linienladungen (10 Punkte)
Abbildung 22 zeigt zwei unendlich lange Linienladungen mit den Linienladungsdichten λ 1 und
λ 2 = 2λ 1 , die parallel zur y-Achse in der x-y-Ebene liegen. Ferner befindet sich eine Punktladung
Q auf der z-Achse. Im gesamten Raum gilt ε = ε 0 .
z
a
λ 1
P 2
y
λ 2
P 1
−a
a
x
Q
− a 2
Abbildung 22: Linienladungen
a) Bestimmen Sie den elektrischen Feldstärkevektor ⃗ E auf der z-Achse!
b) Bestimmen Sie die Potenzialdifferenz ∆ϕ = ϕ 1 − ϕ 2 zwischen den Punkten P 1 und P 2 !
Hinweis: ∫
x
dx = 1 a 2 +x 2 2 ln(x2 + a 2 ).
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