Adaptive Finite-Elemente-Methoden zur L osung der ...
Adaptive Finite-Elemente-Methoden zur L osung der ...
Adaptive Finite-Elemente-Methoden zur L osung der ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
8 KAPITEL2.NUMERIKDERWELLENGLEICHUNG<br />
70<br />
Crank-Nicolson<br />
60<br />
Euler implizit<br />
theta1=theta2=0.7<br />
theta1=0.5, theta2=1<br />
50<br />
Fractional step<br />
wahre Energie<br />
40<br />
30<br />
Abbildung2.1:Vergleich<strong>der</strong>EnergiebeiverschiedenenZeitschrittverfahrenbeiregularverfeinertemGitterundglatterL<strong>osung</strong>(Beispiel1).<br />
20<br />
10<br />
0<br />
DaesindiesemerstenBeispielabernurdarumgeht,einige<strong>der</strong>Verfahrenauszusortieren,istdie<br />
0 0.5 1 1.5 2<br />
Wahl<strong>zur</strong>echtfertigen.DerVergleich<strong>der</strong>verbleibendenVerfahrenmiteinan<strong>der</strong>erfolgtaneinem<br />
praxisrelevanterenBeispiel. Wellen.DieZeitschrittweitebetrugk=0:02(furdasFS--Verfahrenwurde<strong>der</strong>Vergleichbarkeit halberk=0:06gewahlt),dasGebietwurdein192quadratischeZellenmith=1=8aufgeteilt. DieGrobheitdesGittersreichtsichernichtaus,umfeinereEinzelheiten<strong>der</strong>L<strong>osung</strong>aufzulosen, genugtaberumeinige<strong>der</strong>Verfahrenschonauszusortieren. DieL<strong>osung</strong>istbeliebigglattundzeigtkeineortlichveran<strong>der</strong>lichenEigenschaftenwielaufende<br />
Abnahme<strong>der</strong>EnergiebeimimplizitenEuler-VerfahrenaufgrunddessenDampfungseigenschaf-<br />
tenunddaauchdiean<strong>der</strong>enausdem-Verfahrenhergeleiteten<strong>Methoden</strong>auerdemCrank- Nicolson-VerfahrendieseEigenschaftbesitzen.DieWellenlinieentsprichteinemVerfahren,bei fahrenuberknappdreiPerioden<strong>der</strong>Eigenschwingungaufgetragen.Manerkenntdiezuerwartende InAbbildung2.1ist<strong>der</strong>Verlauf<strong>der</strong>Energiein<strong>der</strong>numerischenL<strong>osung</strong>furverschiedeneVer-<br />
demdiebeidenGleichungen(2.4)mitunterschiedlichgewahltenParametern1und2diskretisiertwurden;diesesVerfahrendampftkinetischeundelastischeEnergieunterschiedlichstark,<br />
wodurchdieSchlangenliniezustandekommt.BeimCrank-Nicolson-VerfahrenbleibtdieEnergieaufmindestenssechsStellenkonstant,wenndasGitterkonstantbleibt.DieKonstanz<strong>der</strong><br />
EnergieistunabhangigvomVerhaltnisvonOrts-zuZeitgitterweite,dasheitesexistiertkei-<br />
Phanomeneorientiertwerden.DieKurvedesFS--Verfahrensliegtpraktischauf<strong>der</strong>desCrank- von610?5<strong>der</strong>Energie.DaeinetypischeSimulationetwa200Zeitschrittebenotigt,istdieser Nicolson-Verfahrens,allerdingsverliertdasVerfahrenhierinjedemZeitschrittetwaeinenAnteil Fehlerbeitragimallgemeinentolerierbar. Beispiel2.IneinemzweitenBeispielwurdedasProblemmitfolgendenAnfangs-undRandwertengestellt:<br />
u(x;0)=8
Change language