Folie 1

Die Gestalt der Erde
Früheste Vorstellung: Ebene („Erdscheibe“)
Spätestens seit Pythagoras (6. Jhdt. v. Chr.) bzw. Aristoteles (4. Jhdt.
v. Chr.) setzte sich die Ansicht durch, die Erde sei kugelförmig. Die
erste bekannte Berechnung des Erdumfangs führte Eratosthenes
Ende des 3. Jhdt. v. Chr. durch, er kam dabei auf knapp 40000 km.
Ptolemäus (2. Jhdt. n. Chr.) gilt als erster Hersteller eines Globus und
führt Längen- und Breitengrade zur Positionsangabe ein.
Schon ab dem 17. Jahrhundert sind Überlegungen bekannt, die
Erdgestalt müsse aufgrund der Rotation an den Polen abgeflacht sein
(J. Richer 1672, I. Newton 1687, C. Huygens 1690). Dies führte zu
einem besseren Modell für die Erdgestalt, dem Ellipsoid.
[Der Äquatorradius ist um rund 21 km größer als der Polradius!]
Einführung Geoinformatik
Wilfried Linder

(Rotations-)Ellipsoide als Näherungen an die Erdgestalt
Als einer der Ersten berechnete F.W. Bessel 1841 das später nach ihm
benannte Ellipsoid, das bis heute in vielen Ländern Grundlage der
Landesvermessung und amtlicher topographischer Karten ist.
Ebenfalls weltweite Bedeutung erlangten die Ellipsoide von J.F. Hayford
(1924), F.N. Krassowski (1940) und einige andere.
große
Halbachse [m]
kleine
Halbachse [m]
Bessel 1841 6.377.397,155 6.356.078,965
Hayford 1924 6.378.388,000 ∆≈ 6.356.911,946
Krassowski 1940 6.378.245,000 21km 6.356.863,019
Welches ist nun das „beste“? Oder: Weshalb gibt es verschiedene
Ellipsoide?
Einführung Geoinformatik
Wilfried Linder

Leider gibt es nicht „das“ optimale Ellipsoid, denn die Sache ist doch
komplizierter. Genauer: Die Idealgestalt der Erde ist ziemlich komplex,
so dass man dafür den Begriff Geoid eingeführt hat (liebevoll-spöttisch
auch „Erdkartoffel“ genannt).
Ursprung ist ein 1828 von C.F. Gauß entwickeltes physikalisches
Modell der Erdfigur (Äquipotentialfläche). Außerhalb der Landmassen
kann der mittlere Meeresspiegel als Teil der Geoid-Oberfläche
gesehen werden.
Einführung Geoinformatik
Wilfried Linder

An jedem Ort der Erde steht das Lot senkrecht auf der Geoid-
Oberfläche (ist also eine Flächennormale):
[Diese und die vorige Abbildung: http://de.wikipedia.org/wiki/Geoid]
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Wilfried Linder

Die komplexe Form des Geoids kann nur begrenzt durch ein
„optimales“ Ellipsoid angenähert werden!
So ist das Ellipsoid von Bessel optimiert für Europa und weite Teile
Asiens, dagegen das von Hayford optimiert für Nordamerika.
Geoid
lokal
optimiertes
Ellipsoid
global
optimiertes
Ellipsoid
Einführung Geoinformatik
lokal
optimiertes
Ellipsoid
Wilfried Linder

Spätestens an dieser Stelle kann die Frage aufkommen, wozu man
eigentlich ein geometrisches Erdmodell à la Ellipsoid benötigt. Nun,
einen wesentlichen Bedarf dafür gibt es in der Geodäsie und der
Kartographie, und zwar in Verbindung mit der Notwendigkeit,
einerseits ein geeignetes Koordinatensystem für die Landesvermessung
und für Kataster zu schaffen und andererseits die
Landoberfläche möglichst verzerrungsarm zweidimensional
darzustellen (u.a. in topographischen Karten).
Bevor wir näher auf diese Themen eingehen, sehen wir uns zunächst
ein grundlegendes Mittel zur Positionsbestimmung an, nämlich das
(gedachte) Gradnetz der Erde, welches Sie u.a. auf einem Globus
betrachten können.
Einführung Geoinformatik
Wilfried Linder

Das Gradnetz der Erde
... ist ein gedachtes System aus Längen- und Breitenkreisen.
Der Äquator bestimmt die Bezugsebene für die Breitengrade:
Äquator = 0°, Nordpol = 90°, Südpol = -90°
Der Nullwert für die Längengrade (Meridiane)
ist willkürlich. Es gab früher verschiedene
Nullmeridiane, heute hat man sich
international auf Greenwich – eine
alte Sternwarte in London – geeinigt.
Längen- und Breitenangaben
werden auch „geographische
Koordinaten“ genannt.
Düsseldorf: ca. 6°48‘ Ost, 51°14‘ Nord
[Abb. aus: Klett Geographie Infothek]
Einführung Geoinformatik
Wilfried Linder

Von der Geländeoberfläche zur topographischen Karte geht es
in zwei Schritten:
(a)
Lotrechte Projektion
des Geländes
auf das Ellipsoid
Ellipsoid
Erdoberfläche
(b)
Abbildung des Ellipsoids
auf die Kartenebene
(„Abwicklung“)
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Wilfried Linder

Die Abbildung eines Ellipsoids auf eine Ebene ist alles andere als
trivial und kann insbesondere nicht ohne Verzerrungen vonstatten
gehen. Es sind daher in den vergangenen Jahrhunderten viele
Abbildungsvorschriften entworfen worden mit dem Ziel, die
Verzerrungen zumindest für den abzubildenden Bereich so klein wie
möglich zu halten.
Ein wenig zur Terminologie: Mitunter spricht man bei diesen
Abbildungen von Kartenprojektionen. Da aber viele der entwickelten
Ansätze keiner physikalischen Projektion entsprechen, verwendet man
häufig den neutralen Begriff Kartennetzentwürfe.
Im folgenden sehen wir uns einige Kartennetzentwürfe an, diskutieren
die Verzerrungen und kommen dann zu zwei sehr wichtigen
Koordinatensystemen, Gauß-Krüger und UTM.
Einführung Geoinformatik
Wilfried Linder

Zunächst ist festzulegen, welche Art der
Projektionsebene verwendet werden soll:
‣ Ebene
‣ Kegel
‣ Zylinder
Weitere Parameter:
‣ Position der gewählten Ebene
‣ Berühr- oder Schnittebene
‣ Projektionszentrum bzw.
‣ Parallelprojektion (orthographisch)
[Abb. aus: Haack Weltatlas Online]
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Wilfried Linder

Die vorige Folie verdeutlicht das Prinzip eines Kartennetzentwurfs:
‣ Auswahl eines geeigneten Ellipsoids
‣ Auswahl der Projektionsebene
‣ Auswahl der Projektionsart (zentral oder parallel)
Damit haben wir ein mathematisches Modell einer Abbildung R 3 R 2 .
N
Projektionsebene
Äquator
Beispiel: „polständige
gnomonische Azimutalprojektion“
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Wilfried Linder

Als nette Übungs- und Verständnisaufgabe stellen wir uns die Frage
„Wie sieht das Bild der Längen- und Breitengrade aus?“
Nebenbei: Damit können wir auch die Verzerrungen verdeutlichen.
N
Ä
r*tan(90°-φ)
r = Radius
φ = geogr. Breite
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Wilfried Linder

... und ein „echtes“ Beispiel dafür:
In der Praxis wird die
Azimutalprojektion
fast ausschließlich für
die Polregionen
verwendet.
[Abb. aus:
Diercke – die Welt online
entdecken]
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Wilfried Linder

Zylinderprojektion nach
Gerhard Mercator (1569),
Professor an der Uni Duisburg
N
Bis heute für bestimmte
Einsatzgebiete (z.B. Seefahrt,
Luftfahrt) von großer Bedeutung.
Warum?
Ä
„Wie sieht das Bild der Längenund
Breitengrade aus?“
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Wilfried Linder

So:
Längen- und Breitenkreise
werden als parallele
Geraden abgebildet,
stehen senkrecht
aufeinander.
Zu den Polen hin starke
Längenverzerrung in Nord-
Süd-Richtung, damit starke
Flächenverzerrung.
Aber: Winkeltreue!
Daher bestens geeignet für
die Navigation.
Start
Ziel
Ä
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Wilfried Linder

... und auch hierfür ein
„echtes“ Beispiel:
Charakteristisch ist
die enorme
Flächenverzerrung in
Richtung der Pole –
Merksatz
„Grönland ist größer
als Australien“.
Ä
[Abb.:
http://de.wikipedia.org/wiki/
Mercator-Projektion]
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Wilfried Linder

Da die Zylinderprojektion eigentlich ein tolle Sache ist, „nur“ die
Verzerrungen polwärts zu groß werden, suchte man Abhilfe durch
geschickte Modifikation des Ansatzes. Der Mann, der schon das Geoid
ersonnen hatte, trat wieder auf den Plan:
Carl Friedrich Gauß, Professor an der Uni Göttingen
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Wilfried Linder

Gauß drehte zunächst den Zylinder um 90 Grad. Damit wäre nicht viel
gewonnen, denn die Verzerrungen würden sich ja nur verlagern! Der
Clou des Ansatzes ist nun, die Erde in Zonen von je 3 Längengraden
aufzuteilen und den Zylinder um jeweils 3 Grad weiterzudrehen.
N
Ä
[Abb. rechts: Geoinformatik Uni Rostock]
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Wilfried Linder

Damit kann die gesamte Erde auf 360°/3° = 120 Zonen mit relativ
geringer Verzerrung abgebildet werden.
Äquator
Mittelmeridiane 3° 6° 9°
(= Berührkreise)
12° …
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Wilfried Linder

Fassen wir die wichtigsten Aspekte des Ansatzes von Gauß
zusammen:
‣ Zylinderprojektion, dabei verläuft der Zylinder nicht parallel zur
Erdachse (wie bei Mercator), sondern ist um 90° gedreht
‣ Berührzylinder, jede Berührlinie entspricht einem Längenkreis
‣ Es werden jeweils Streifen von drei Längengraden abgebildet,
damit kann die Erde auf 120 Streifen (Zonen) erfasst werden.
Vorteil: Geringe Verzerrungen (maximal an den Zonenrändern)
Nachteil: Sehr viele Zonen nötig
J.H.L. Krüger entwickelte aus den Arbeiten von Gauß das System
der Gauß-Krüger-Koordinaten (erste Veröffentlichung 1912, amtlich
eingeführt 1923), worauf wir noch zu sprechen kommen.
So genial dieser Entwurf auch ist – das Bessere ist der Feind des
Guten, und so gibt es eine interessante Weiterentwicklung:
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Wilfried Linder

Um die Nachteile (sehr viele Zonen) zu verringern, gleichzeitig aber die
Vorteile (geringe Verzerrungen) zu behalten, kann man folgendes tun:
Man verkleinere den Durchmesser des Zylinders ein wenig – die Folge
ist, dass wir jetzt einen Schnittzylinder haben. Des weiteren haben wir je
Zone nicht mehr einen Berührkreis, sondern zwei Schnittkreise.
Die Verzerrungen waren entlang des Berührkreises (Gauß) Null, jetzt
sind sie es entlang der Schnittkreise. Dazwischen sowie links vom
linken und rechts vom rechten Berührkreis steigen sie langsam an.
Dies erlaubt, die Zonen breiter zu machen. Bei 6 Grad Zonenbreite hat
man nur noch 60 Zonen weltweit bei etwa gleich geringen Verzerrungen
wie im Entwurf von Gauß! Dies war die Grundlage für ein weiteres
Koordinatensystem, die UTM-Koordinaten, doch dazu…
… mehr in der nächsten Folge!
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Wilfried Linder