Einführung in die Logik - Institut für Theoretische Informatik

Dies ist nicht die einzige mögliche Herleitung. Als Kontrast präsentieren wir eine Herleitung
nur in linearer Form, ohne Baum. In diesem Fall lautet die Strategie: die Prämissen sollen
soweit wie möglich in ihre Einzelteile zerlegt werden, mit Hilfe geeigneter Kastenprämissen
(bis Zeile 5). Gleichzeitig bietet sich (⇒ i) mit Eingaben G ⇒ F und F als letzte Regel
an, diese müssen am Anfang bzw. Ende eines äußeren Kastens auftrete; das bestimmt auch
die Reihenfolge der Kastenprämissen 2 und 3. Der Nutzen von (F ⇒ G) ⇒ F in Zeile 6
ist allerdings nur schwer vorauszusehen.
1 (F ⇒ G) ⇒ G Praemisse
2 G ⇒ F Kastenpraemisse
3 F ⇒ G Kastenpraemisse
4 G (⇒ e), 1, 3
5 F (⇒ e), 2, 4
6 (F ⇒ G) ⇒ F (⇒ i), 3 − 5
7 ¬F Kastenpraemisse
8 F Kastenpraemisse
9 ⊥ (¬ e), 7, 8
10 G (⊥ e), 9
11 F ⇒ G (⇒ i), 8 − 10
12 F (⇒ e), 6, 11
13 ⊥ (¬ e), 7, 12
14 ¬¬F (¬ i), 8 − 13
15 F (¬¬ e), 14
16 (G ⇒ F ) ⇒ F (⇒ i), 2 − 15
(e) Gilt nicht, da α mit α(F ) = 1 , α(G) = 0 = α(H) die Menge Γ = {F ∨ (G ∧ H)}
erfüllt, wegen ̂α(F ∨ (G ∧ H)) = 1 ∨ 0 = 1 , aber die Formel F ∧ (G ∨ H) nicht, wegen
̂α(F ∧ (G ∨ H)) = 1 ∧ 0 = 0 .
Aufgabe 2 [12 PUNKTE]
Donald Duck will seine Neffen Tick, Trick und Track zum Bierholen in den Supermarkt schicken.
Das stößt allerdings auf wenig Begeisterung:
Tick: Ich habe keine Zeit, ich muss Hausaufgaben machen. Trick: Ich will nicht allein gehen.
Track: Ich gehe nur, wenn auch Tick mitkommt.
(a) [6 punkte] Formulieren Sie die Aussagen von Tick, Trick und Track als aussagenlogische
Formeln.
(b) [6 punkte] Zeigen Sie mittels natürlicher Deduktion, dass Donald heute nüchtern bleibt.
Lösungsvorschlag:
(a) Atomare Aussagen: A : Tick geht mit, B : Trick geht mit, C Track geht mit.
Aussagen der Neffen: Tick ¬A ; Trick: B ⇒ (A ∨ C) ; Track: C ⇒ A
(b) Herzuleiten ist die Konjunktion ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C mit diesen Prämissen. Hinsichtlich der
Baumdarstellung genügt es offenbar, die Terme ¬A , ¬B und ¬C einzeln herzuleiten,