Einführung in die Logik - Institut für Theoretische Informatik
Einführung in die Logik - Institut für Theoretische Informatik Einführung in die Logik - Institut für Theoretische Informatik
oder linearisiert: 1 ¬(F ⇒ G) ⇒ H Praemisse 2 F ∧ ¬H Praemisse 3 F (∧ e), 2 4 ¬H (∧ e), 2 5 ¬(F ⇒ G) Kastenpraemisse 6 H (⇒ e), 5, 1 7 ⊥ (⊥ i), 6, 4 8 ¬¬(F ⇒ G) (¬ i), 7 9 F ⇒ G (¬¬ e), 8 10 G (⇒ e), 3, 9 Die linearisierte Version folgt direkt aus dem Baum, der von unten nach oben aufgebaut wurde. Da F ⇒ F zumindest Teil einer Prämisse ist, und F leicht aus der anderen Prämisse gewonnen werden kann, bietet sich (⇒ e) mit Eingaben F und F ⇒ G als letzte Operation an. Die Schwierigkeit besteht dann darin, F ⇒ G aus den Prämissen herzuleiten. Eine Kasten-Prämisse ¬(F ⇒ G) kann mittels (¬ i) immerhin zu ¬¬(F ⇒ G) führen, was unter (¬¬ e) zum gewünschten Ergebnis führt. Diese Kasten-Prämisse zusammen mit der Prämisse ¬(F ⇒ G) ⇒ H liefert aber H , während aus der zweiten Prämisse F ∧¬H sofort ¬H herleitbar ist, zusammen also ⊥ , was für die Anwendbarkeit von (¬ i) auf ¬(F ⇒ G) benötigt wird. (d) Die Sequenz ist korrekt (siehe z.B. Wahrheitstabelle). Idee für die Herleitung: Wegen (F ⇒ G) ⇒ G ≡ G ∨ ¬(F ⇒ G) wollen wir versuchen, (∨ e) anzuwenden. Dazu sind weiterhin Herleitungen G ⊢ (G ⇒ F ) ⇒ F sowie ¬(F ⇒ G) ⊢ (G ⇒ F ) ⇒ F erforderlich. Hilfsergebnis: H ⇒ G ⊢ G ∨ ¬H [H] H ⇒ G (⇒ e) G G ∨ ¬H (∨ i) [¬(G ∨ ¬H)] (⊥ i) ⊥ (¬ i) ¬H G ∨ ¬H (∨ i) [¬(G ∨ ¬H)] ⊥ (¬ i) ¬¬(G ∨ ¬H) (¬¬ e) G ∨ ¬H (⊥ i) Man beachte, dass es zwei rot markierte Kastenprämissen gibt. Die linearisierte Version ist 1 H ⇒ G Praemisse 2 ¬(G ∨ ¬H) Kastenpraemisse 3 H Kastenpraemisse 4 G (⇒ e), 3, 1 5 G ∨ ¬H (∨ i), 4 6 ⊥ (⊥ i), 2, 5 7 ¬H (¬ i), 3 − 6 8 G ∨ ¬H (∨ i), 7 9 ⊥ (⊥ i), 2, 8 10 ¬¬(G ∨ ¬H) (¬ i), 2 − 9 11 G ∨ ¬H (¬¬ e), 10
Diese Herleitung kann mit (F ⇒ G) für H instanziiert werden. Der erste Kasten für (∨ e) ist einfach: G [G ⇒ F ] F (G ⇒ F ) ⇒ F (⇒ e) (⇒ i) oder linear 1 G Praemisse 2 G ⇒ F Kastenpraemisse 3 F (⇒ e), 1, 2 4 (G ⇒ F ) ⇒ F (⇒ i), 2 − 3 Der zweite Kasten für (∨ e) verwendet einen fiesen Trick: oder linear [F ] [¬F ] [G ⇒ F ] (⊥ i) ⊥ (⊥ e) . G (⇒ i) ¬(F ⇒ G) ) F ⇒ G (⊥ i) ⊥ (¬ i) ¬¬F (¬¬ e) F (⇒ i) (G ⇒ F ) ⇒ F 1 ¬(F ⇒ G) Praemisse 2 G ⇒ F Kastenpraemisse 3 ¬F Kastenpraemisse 4 F Kastenpraemisse 5 ⊥ (⊥ i), 3, 4 6 G (⊥ e), 5 7 F ⇒ G (⇒ i), 4 − 6 8 ⊥ (⊥ i), 1, 7 9 ¬¬F (¬ i), 3 − 8 10 F (¬¬ e), 9 11 (G ⇒ F ) ⇒ F (⇒ i), 2 − 10 Der Trick besteht darin, dass die Kastenprämisse (3) für die blaue Regel (⇒ i) sonst nirgends verwendet wird. In der Baumdarstellung schwebt sie daher frei im Raum und ist nicht mit dem restlichen Baum verbunden. Läßt man sie aber ganz weg, fehlt das Gegenstück zur blau markierten Regel (⇒ i) , was irritierend ist. Anwendung von (∨ e) auf G ∨ ¬(F ⇒ G) liefert schließlich die gewünschte Herleitung mit K = (G ⇒ F ) ⇒ F . Wir ersparen uns den Baum: 1 (F ⇒ G) ⇒ G Praemisse 2 G ∨ ¬(F ⇒ G) siehe oben 3 G Kastenpraemisse 4 (G ⇒ F ) ⇒ F siehe oben 5 ¬(F ⇒ G) Kastenpraemisse 6 (G ⇒ F ) ⇒ F siehe oben 7 (G ⇒ F ) ⇒ F (∨ e), 2, 3 − 4, 5 − 6
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Diese Herleitung kann mit (F ⇒ G) <strong>für</strong> H <strong>in</strong>stanziiert werden.<br />
Der erste Kasten <strong>für</strong> (∨ e) ist e<strong>in</strong>fach:<br />
G [G ⇒ F ]<br />
F<br />
(G ⇒ F ) ⇒ F<br />
(⇒ e)<br />
(⇒ i)<br />
oder l<strong>in</strong>ear<br />
1 G Praemisse<br />
2 G ⇒ F Kastenpraemisse<br />
3 F (⇒ e), 1, 2<br />
4 (G ⇒ F ) ⇒ F (⇒ i), 2 − 3<br />
Der zweite Kasten <strong>für</strong> (∨ e) verwendet e<strong>in</strong>en fiesen Trick:<br />
oder l<strong>in</strong>ear<br />
[F ] [¬F ]<br />
[G ⇒ F ]<br />
(⊥ i)<br />
⊥<br />
(⊥ e)<br />
.<br />
G<br />
(⇒ i)<br />
¬(F ⇒ G) ) F ⇒ G<br />
(⊥ i)<br />
⊥<br />
(¬ i)<br />
¬¬F<br />
(¬¬ e)<br />
F<br />
(⇒ i)<br />
(G ⇒ F ) ⇒ F<br />
1 ¬(F ⇒ G) Praemisse<br />
2 G ⇒ F Kastenpraemisse<br />
3 ¬F Kastenpraemisse<br />
4 F Kastenpraemisse<br />
5 ⊥ (⊥ i), 3, 4<br />
6 G (⊥ e), 5<br />
7 F ⇒ G (⇒ i), 4 − 6<br />
8 ⊥ (⊥ i), 1, 7<br />
9 ¬¬F (¬ i), 3 − 8<br />
10 F (¬¬ e), 9<br />
11 (G ⇒ F ) ⇒ F (⇒ i), 2 − 10<br />
Der Trick besteht dar<strong>in</strong>, dass <strong>die</strong> Kastenprämisse (3) <strong>für</strong> <strong>die</strong> blaue Regel (⇒ i) sonst<br />
nirgends verwendet wird. In der Baumdarstellung schwebt sie daher frei im Raum und<br />
ist nicht mit dem restlichen Baum verbunden. Läßt man sie aber ganz weg, fehlt das<br />
Gegenstück zur blau markierten Regel (⇒ i) , was irritierend ist.<br />
Anwendung von (∨ e) auf G ∨ ¬(F ⇒ G) liefert schließlich <strong>die</strong> gewünschte Herleitung<br />
mit K = (G ⇒ F ) ⇒ F . Wir ersparen uns den Baum:<br />
1 (F ⇒ G) ⇒ G Praemisse<br />
2 G ∨ ¬(F ⇒ G) siehe oben<br />
3 G Kastenpraemisse<br />
4 (G ⇒ F ) ⇒ F siehe oben<br />
5 ¬(F ⇒ G) Kastenpraemisse<br />
6 (G ⇒ F ) ⇒ F siehe oben<br />
7 (G ⇒ F ) ⇒ F (∨ e), 2, 3 − 4, 5 − 6
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