Einführung in die Logik - Institut für Theoretische Informatik

oder linearisiert:
1 ¬(F ⇒ G) ⇒ H Praemisse
2 F ∧ ¬H Praemisse
3 F (∧ e), 2
4 ¬H (∧ e), 2
5 ¬(F ⇒ G) Kastenpraemisse
6 H (⇒ e), 5, 1
7 ⊥ (⊥ i), 6, 4
8 ¬¬(F ⇒ G) (¬ i), 7
9 F ⇒ G (¬¬ e), 8
10 G (⇒ e), 3, 9
Die linearisierte Version folgt direkt aus dem Baum, der von unten nach oben aufgebaut
wurde. Da F ⇒ F zumindest Teil einer Prämisse ist, und F leicht aus der anderen
Prämisse gewonnen werden kann, bietet sich (⇒ e) mit Eingaben F und F ⇒ G als
letzte Operation an. Die Schwierigkeit besteht dann darin, F ⇒ G aus den Prämissen
herzuleiten. Eine Kasten-Prämisse ¬(F ⇒ G) kann mittels (¬ i) immerhin zu ¬¬(F ⇒
G) führen, was unter (¬¬ e) zum gewünschten Ergebnis führt. Diese Kasten-Prämisse
zusammen mit der Prämisse ¬(F ⇒ G) ⇒ H liefert aber H , während aus der zweiten
Prämisse F ∧¬H sofort ¬H herleitbar ist, zusammen also ⊥ , was für die Anwendbarkeit
von (¬ i) auf ¬(F ⇒ G) benötigt wird.
(d) Die Sequenz ist korrekt (siehe z.B. Wahrheitstabelle).
Idee für die Herleitung: Wegen (F ⇒ G) ⇒ G ≡ G ∨ ¬(F ⇒ G) wollen wir versuchen,
(∨ e) anzuwenden. Dazu sind weiterhin Herleitungen G ⊢ (G ⇒ F ) ⇒ F sowie ¬(F ⇒
G) ⊢ (G ⇒ F ) ⇒ F erforderlich.
Hilfsergebnis: H ⇒ G ⊢ G ∨ ¬H
[H] H ⇒ G
(⇒ e)
G
G ∨ ¬H (∨ i) [¬(G ∨ ¬H)]
(⊥ i)
⊥
(¬ i)
¬H
G ∨ ¬H (∨ i) [¬(G ∨ ¬H)]
⊥
(¬ i)
¬¬(G ∨ ¬H)
(¬¬ e)
G ∨ ¬H
(⊥ i)
Man beachte, dass es zwei rot markierte Kastenprämissen gibt. Die linearisierte Version ist
1 H ⇒ G Praemisse
2 ¬(G ∨ ¬H) Kastenpraemisse
3 H Kastenpraemisse
4 G (⇒ e), 3, 1
5 G ∨ ¬H (∨ i), 4
6 ⊥ (⊥ i), 2, 5
7 ¬H (¬ i), 3 − 6
8 G ∨ ¬H (∨ i), 7
9 ⊥ (⊥ i), 2, 8
10 ¬¬(G ∨ ¬H) (¬ i), 2 − 9
11 G ∨ ¬H (¬¬ e), 10