Konvexe Mengen und Funktionen - Heinrich-Heine-Universität ...

Konvexe Mengen und
Funktionen
von Corinna Alber
Seminararbeit
Leiter: Prof. Jarre
im Rahmen des Seminars Optimierung III
am Lehrstuhl für Mathematische Optimierung
an der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf

INHALTSVERZEICHNIS 1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
2 Konvexe Mengen 3
3 Projektion 6
4 Trennung 8
5 Konvexe Funktion 11
6 Fazit 14
Literaturverzeichnis 14

1 EINLEITUNG 2
1 Einleitung
Die mathematische Optimierung ist eine junge Disziplin der angewandten Mathematik.
Industrie, Wirtschaft und Verwaltung benötigen sie, um spezifische
auf sie zugeschnittene Probleme zu lösen, welche sich oft als konvexe Probleme
darstellen lassen. Diese lassen sich dann als Minimierung einer konvexen
Zielfunktion mit konvexen Nebenbedingungen formulieren. In der Mathematik
gehören die konvexen Mengen und Funktionen zu den sehr gut untersuchten
Strukturen, weshalb diese Probleme relativ leicht gelöst werden können. Daher
lohnt es sich hier besonders, die Struktur konvexer Mengen und konvexer Funktionen
herauszuarbeiten und in die Problemlösung einfließen zu lassen. Diese
Informationen über ”Konvexität”können mittels verschiedener Methoden aus
der Analysis, Geometrie und anderen Teilwissenschaften der Mathematik, die
hier jedoch ausgeblendet werden sollen gewonnen werden.
Die starken Voraussetzungen, die an konvexe Probleme gestellt werden, erwirken
die mannigfachen Möglichkeiten, diese zu analysieren und darauf aufbauend
zu relativ schnellen und einfachen Algorithmen zu gelangen, welche Zeit und
Kosten sparen. Der Spezialfall der linearen Optimierung ist in der Problemstellung
enthalten und kann aufgrund seiner besonders starken Anforderungen sehr
bequem bearbeitet werden.

2 KONVEXE MENGEN 3
2 Konvexe Mengen
Definition 2.1 Eine Konvexkombination ist ein Vektor x der Form
x = ∑ n
∑ i=1 α ix i mit endlich vielen Vektoren x 1 , . . .,x n ∈ IR n und α i ≥ 0
n
i=1 α i = 1.
Beispiel 2.1 Konvexe Mengen sind z.B. die leere Menge, die offene und abgeschlossene
Einheitskugel im IR n und Polyeder im IR n .
Abbildung 1: Beispiele für konvexe Mengen
Satz 2.1 Eine Menge C ⊂ IR n ist genau dann konvex, wenn sie alle Konvexkombinationen
von Punkten aus C enthält.
Beweis
⇐ Enthält eine Menge C alle Konvexkombinationen ihrer Punkte, so auch diejenigen
Punkte z ∈ C, die mit n = 2, λ ∈ [0,1] und x, y ∈ C durch z = λx+(1−λ)y
dargestellt werden können.
⇒ Offenbar enthält eine konvexe Menge alle Konvexkombinationen z aus n=2
Vektoren x, y ∈ C für alle λ ∈ [0, 1] z = λx + (1 − λ)y.
Gelte also die Aussage für n=k.
Sei
∑k+1
x = α i x i =
i=1
k∑
α i x i + α k+1 x k+1 = (1 − α k+1 )
i=1
k∑
i=1
α i x i
1 − α k+1
+ α k+1 x k+1
so ist dies eine Konvexkombination der beiden Punkten ∑ k α i x i
i=1 1−α k+1
, x k+1 ∈ C
mit λ = α k+1 ∈ [0, 1] .
□
Definition 2.2 Eine nichtleere Teilmenge K ⊂ IR n heißt Kegel, wenn mit
x ∈ K auch {αx | α > 0} ⊂ K ist.
Lemma 2.1 Ein Kegel ist genau dann konvex, wenn K + K ⊂ K.
Beweis
⇐ Angenommen, K ist nicht konvex, dann gibt es a, b ∈ K, λ ∈ (0, 1), sodass
z = λx + (1 − λ)y /∈ K. Jedoch λx, (1 − λ)y ∈ K, da K ein Kegel ist. Daher
auch z = λx + (1 − λ)y ∈ K + K ⊂ K.
⇒ Seien x, y ∈ K. Dann gilt auch 1 2
(x + y) ∈ K. z = x + y ∈ K + K, damit
auch z = 1 2 (x + y) + 1 1
2
(x + y) = 2 ·
2 (x + y) ∈ K. Insgesamt: K + K ⊂ K. □

2 KONVEXE MENGEN 4
Lemma 2.2 Sei (C j ) j∈J eine Familie konvexer Mengen mit einer beliebigen
Indexmenge J, dann ist auch C:= ⋂ j∈J C j konvex.
Beweis
Für alle j ∈ J seien x, y ∈ C j und λ ∈ [0, 1]. Dann ist z = λx + (1 − λ)y ∈ C j
∀j ∈ J. Somit gilt ebenso z = λx + (1 − λ)y ∈ C.
□
Abbildung 2: Vereinigungen und Komplemente konvexer Mengen
Beispiel 2.2 Die Differenz zweier konvexer Mengen ist nicht mehr konvex.
Ebenso ist die Vereinigung konvexer Mengen nicht mehr konvex.
Lemma 2.3 C i ⊂ IR n i
C i ≠ ∅ i = 1, . . .,k. Dann ist die Produktmenge
C := C 1 × . . . × C k ⊂ IR n 1
× . . . × IR n k
genau dann konvex, wenn die Mengen
C i i = 1, . . .,k konvex sind.
Beweis
⇐ Zu x = (x 1 , . . .,x k ), y = (y 1 , . . .,y k ) ∈ C und λ ∈ [0, 1] ist z = λx+(1 −λ)y
= (z 1 , . . .,z k ) ∈ C, da x i , y i ∈ C i ∀i = 1, . . .,k und somit ebenfalls
z i = λx i + (1 − λ)y i ∈ C i ∀i = 1, . . .,k.
□
Lemma 2.4 Sei C ⊂ IR n konvex, dann sind auch das Innere int C und der
Abschluss cl C konvex
X
z
(1- )
y
1-
Abbildung 3: das Innere einer konvexen Menge ist konvex
Beweis
Seien x, y ∈ int C. Wir müssen zeigen, dass auch jede Konvexkombination dieser
beiden Punkte im Inneren von C liegt. Sei also für λ ∈ (0, 1) z = λx + (1 − λ)y
bestimmt. Da x ∈ int C, gibt es ein δ > 0 mit B(x, δ) ⊂ C. Der Strahlensatz

2 KONVEXE MENGEN 5
( )
und die Konvexität besagen nun, dass auch B z, δ ‖z−y‖
‖x−y‖
⊂ C also z ∈ C.
Seien nun x, y ∈ cl C. Sei z = λx + (1 − λ)y eine Konvexkombination beider
Punkte mit einem λ ∈ (0, 1). Da x, y ∈ cl C existieren Folgen { x (k)} , { y (k)} in C
mit x (k) → x, y (k) → x. Damit folgt z (k) := λx (k) + (1 − λ)y (k) ∈ C ∀k ∈ IN aus
der Konvexität und ist daher z ein Häufungspunkt der Menge C, also z ∈ cl C.
□
Lemma 1.2 besagt, dass beliebige Schnitte konvexer Mengen wiederum konvex
sind. Dies rechtfertigt folgende Definition:
Definition 2.3 Die konvexe Hülle co A einer Menge A ⊂ IR n ist die kleinste
konvexe Menge, die A umfasst.
coA =
⋂
C
Ckonvex
C⊃A
Beispiel 2.3 Im Falle einer konvexen Menge A ⊂ IR n gilt offenbar co(A)=A.
Damit gilt für eine beliebige Menge B ⊂ IR n co(co(B))=co(B).
Für beliebige Mengen C,D ⊂ IR n mit C ⊂ D gilt weiter co C ⊂ co D.
Lemma 2.5 Für A ⊂ IR n ist
coA = {x ∈ IR n |x ist Konvexkombination von Punkten in A} .
Beweis
Sei B = {x ∈ IR n |x ist Konvexkombination von Punkten in A}, dann ist B konvex
und offensichtlich B ⊃ A. Für alle konvexen Mengen C mit C ⊃ B folgt
damit C = co C ⊃ co B ⊃ co A.
Sei nun eine konvexe Menge C ⊃ A. Da B alle Konvexkombinationen von
Punkten aus A enthält, gilt auch C ⊃ B. Folglich gilt mit der speziellen Wahl
C=co A auch coA ⊃ B.
□

3 PROJEKTION 6
3 Projektion
An dieser Stelle geben wir drei Sätze aus Kapitel 1.2 des Buches [1] noch ein
Mal an, verzichten aber auf den Beweis.
Satz 3.1 Sei C ⊂ IR n eine nichtleere und konvexe Menge und f : C → IR
strikt konvex. Falls eine Lösung des Problems
existiert, so ist sie eindeutig bestimmt.
ohne Beweis
min f(x)
x∈C
Satz 3.2 Sei C ⊂ IR n eine abgeschlossene Menge und f : C → IR stetig. Wenn
entweder C beschränkt ist oder lim ‖x‖→∞ f(x) = +∞ gilt, dann hat
eine Lösung.
ohne Beweis
min f(x)
x∈C
Sei C ⊂ IR n eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Menge. Für ein festes
z ∈ IR n definieren wir das Projektionsproblem(P) durch:
min
x∈C ‖x − z‖2 2
Satz 3.3 Sei C ⊂ IR n konvex und f : IR n → IR konvex. Wenn f in ˆx ∈ C
richtungsdifferenzierbar ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) ˆx ist Lösung von (P)
(ii) f ′ (x, x − ˆx) ≥ 0 ∀x ∈ C
ohne Beweis
Sei f : IR n → IR n , f(x) := ‖x − z‖ 2 2 . Es gilt f(x) = ‖x − z‖2 = 〈x − z, x − z〉
= 〈x, x〉 − 2 〈x, z〉 + 〈z, z〉 = ‖x‖ 2 − 2 〈x, z〉 + ‖z‖ 2 ≥ ‖x‖ 2 − 2 ‖x‖ ‖z‖ + ‖z‖ 2
= (‖x‖ − ‖z‖) 2 =: g(‖x‖.
Es gilt lim ‖x‖→∞ g (x) = +∞ und g (‖x‖) ≤ f (x). Daher folgt lim ‖x‖→∞ f(x) =
+∞.
Weiter ist f zweimal differenzierbar mit ∇f(x) = 2(x − z) und Hf(x) = 2I.
Hf(x) ist positiv definit und daher f(x) streng und damit auch strikt konvex.
Nach 2.1 und 2.2 hat (P) eine Lösung, die eindeutig ist.
Die eindeutige Lösung des Problems (P) kann man wie folgt charakterisieren:
Satz 3.4 Sei C ⊂ IR n eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Menge.
Dann löst ˆx ∈ C das Problem (P) genau dann, wenn
〈z − ˆx, x − ˆx〉 ≤ 0 ∀x ∈ C

3 PROJEKTION 7
Beweis
Nach Satz 3.3 ist ˆx ∈ C genau dann Lösung des Problems(P), wenn
〈∇f(ˆx), x − ˆx〉 ≥ 0 ∀x ∈ C. Wegen ∇f(ˆx) = 2(ˆx − z) folgt die Aussage:
〈∇f(ˆx), x − ˆx〉 = 〈2(ˆx − z), x − ˆx〉 = −2 〈z − ˆx, x − ˆx〉
Wir fassen zusammen: das Problem(P)
□
min
x∈C ‖x − z‖2 2
mit z ∈ IR n und C ⊂ IR n eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Menge
hat genau eine Lösung und diese wird bestimmt durch
〈z − ˆx, x − ˆx〉 ≤ 0 ∀x ∈ C.
Die drei Bedingungen C ⊂ IR n eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe
Menge können bei Benutzung dieser drei Sätze nicht abgeschwächt werden. Die
Konvexität wurde bei den Sätzen 3.1 und 3.3, die Abgeschlossenheit bei Satz
3.2 und die Existenz von zulässigen Punkten wurde in 3.1 und 3.3 benutzt.

4 TRENNUNG 8
4 Trennung
Definition 4.1 Für s ≠ 0 ∈ IR n und r ∈ IR. Sei H s,r = {x ∈ IR n | 〈s, x〉 = r}.
Seien C 1 , C 2 ⊂ IR n .
H s,r bzw. s trennt C 1 und C 2 , falls
〈s, y〉 ≤ r ≤ 〈s, x〉 ∀y ∈ C 1 , x ∈ C 2
H s,r bzw. s trennt C 1 und C 2 strikt, falls
sup y∈C1 〈s, y〉 ≨ inf x∈C2 〈s, x〉
trennende Hyperebene:
keine trennende Hyperebene:
Abbildung 4: Beispiele für trennende Hyperebenen
Satz 4.1 Sei C ⊂ IR n eine nichtleere, abgeschlossene und konvexe Menge, x /∈
C, dann gibt es eine Hyperebene, die C und {x} strikt trennt. Es gibt also einen
Vektor 0 ≠ s ∈ IR n mit
sup 〈s, y〉 ≨ 〈s, x〉
y∈C
Beweis
Nach Satz 3.3 erfüllt die Lösung ˆx des Problems (P)
〈x − ˆx, y − ˆx〉 ≤ 0 ∀y ∈ C
Mit s := x − ˆx ≠ 0 also y − ˆx = y − x + s folgt
Daraus folgt
〈s, y − x + s〉 = 〈s, y〉 − 〈s, x〉 + ‖s‖ ≤ 0 ∀y ∈ C
〈s, x〉 − ‖s‖ 2 ≥ 〈s, y〉 ∀y ∈ C
Daraus folgt wegen s ≠ 0 die Behauptung.
Der Ausdruck sup y∈C 〈s, y〉 ≨ 〈s, x〉 ist äquivalent zur strikten Trennung, da
mit folgender Wahl von r gilt:

4 TRENNUNG 9
und
r := 1 2
(
〈s, x〉 = 1 2 〈s, x〉 + 1 2 〈s, x〉 ≩ 1 2
〈s, x〉 + sup 〈s, y〉
y∈C
(
)
〈s, x〉 + sup 〈s, y〉
y∈C
)
= r
sup
y∈C
〈s, y〉 = 1 2 sup
y∈C
〈s, y〉 + 1 2 sup
y∈C
〈s, y〉 ≨ 1 2 sup 〈s, y〉 + 1 〈s, x〉 = r.
y∈C 2
Insgesamt also
sup 〈s, y〉 ≨ 〈s, x〉
y∈C
□
Definition 4.2 Sei C ⊂ IR n , so ist der Rand bd C von C die Menge
bd C = cl C \ int C.
Abbildung 5: Rand der konvexen Menge
Definition 4.3 Sei C ⊂ IR n und x ∈ bd C ein Randpunkt. Dann heißt die
Hyperebene H r,s Stützhyperebene von C in x, falls
〈s, x〉 = r ≥ 〈s, y〉 ∀y ∈ C
gilt. Weiter heißt die Stützhyperebene trivial, falls C ⊂ H r,s bzw
gilt.
〈s, x〉 = r = 〈s, y〉 ∀y ∈ C

4 TRENNUNG 10
aber nicht:
Abbildung 6: Beispiele für Stützhyperebenen
Lemma 4.1 Sei C ⊂ IR n , C ≠ IR n eine nichtleere und konvexe Menge mit
int C ≠ ∅ und x ∈ bd C, dann gibt es eine nicht triviale Stützhyperebene in x.
Beweis
Wäre cl C = IR n , so wäre C ⊃ int C = int (cl C) = int IR n = IR n . Also ist
cl C ≠ IR n . Folglich gibt es zu x ∈ bd C eine Folge { x (k)} → x mit x (k) /∈ cl C.
Für jedes k ∈ IN gibt es also nach (3.1) ein s (k) mit
〈
s (k) , x (k)〉 ≩
〈
s (k) , y
〉
∀y ∈ cl C ⊃ C
〈 〉 〈 〉
s
∥
(k)
∥s (k)∥ ∥ , s (k)
x(k) ≩ ∥
∥s (k)∥ ∥ , y ∀y ∈ cl C.
Mit t (k) = s(k)
‖s (k) ‖ also ∥ ∥ t
(k) ∥ ∥ = 1 folgt
〈
t (k) , x (k)〉 〈 〉
≩ t (k) , y ∀y ∈ cl C.
Die Menge {x ∈ IR n | ‖x‖ = 1} ist beschränkt und abgeschlossen, daher hat die
Folge t (k) eine Teilfolge k j und ein t ∈ IR mit t (k j) → t ‖t‖ = 1.
Mit r := 〈t, x〉 folgt 〈t, x〉 = r ≥ 〈t, y〉 ∀y ∈ C. Wegen ‖t‖ = 1 ist weiterhin
t ≠ 0 und int C ≠ ∅; die Stützhyperebene H t,r folglich nicht trivial.
□
Die Bedingung int C ≠ ∅ ist offenbar notwendig für die Existenz der nichttrivialen
Stützhyperebenen, wenn man folgendes Beispiel betrachtet: C sei ein
Geradenstück und x keiner der beiden Randpunkte.
Abbildung 7: Beispiel triviale Stützhyperebene
Nicht-triviale Stützhyperebenen durch einen relativ inneren Punkt müssen also
nicht existieren wenn die Menge kein Inneres hat.

5 KONVEXE FUNKTION 11
5 Konvexe Funktion
Definition 5.1 Eine Funktion f : IR n → IR, die nicht identisch +∞ ist, heißt
konvex, wenn gilt:
f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) ∀ x, y ∈ IR n , λ ∈ (0, 1)
Die Menge der konvexen Funktionen f : IR n → IR wird mit Conv IR n bezeichnet.
Für eine Funktion f : IR n → IR heißt die Menge
Definitionsbereich von f.
domf := {x ∈ IR n | |f(x)| ≨ +∞}
Definition 5.2 Für eine Funktion f : IR n → IR mit dom f ≠ ∅ ist der Epigraph
von f die Menge
epi f := {(x, r) ∈ IR n × IR | r ≥ f(x)} .
Zu r ∈ IR definiert man die Niveaumengen von f mit
N(f, r) := {x ∈ IR n | f(x) ≤ r} .
Auch für nicht konvexe Funktionen gilt (x, r) ∈ epi f genau dann, wenn
x ∈ N(f, r).
Lemma 5.1 Die Funktion f : IR n → IR ist konvex, genau dann, wenn ihr
Epigraph konvex ist.
Beweis
⇒ Seien x = ( x 1
) (
x 2
, y =
y1
)
y 2
∈ epi(f) und λ ∈ [0, 1] mit x1 , y 1 ∈ IR n und
x 2 , y 2 ∈ IR.
( )
( )
z1
λx1 + (1 − λ)y 1
z = := λx + (1 − λ)y =
.
z 2 λx 2 + (1 − λ)y 2
Dann gilt:
z 2 = λx 2 + (1 − λ)y 2 ≥ λf(x 1 ) + (1 − λ)f(y 1 ) ≥ f(λx 1 + (1 − λ)y 1 ) = z 1 also
z ∈ epi f.
⇐ Sei also epi f konvex und ( ) (
f(x)
x , f(y)
)
y ∈ epi f und λ ∈ [0, 1] so gewählt,
dass f(λx + (1 − λ)y) ≩ λf(x) + (1 − λ)f(y), f also nicht konvex. Dann folgt:
λ ( ) (
x
f(x) + (1 − λ) y
) (
f(y) = λx+(1−λ)y
λf(x)+(1−λ)y)
/∈ epi f, daher wäre dann epi f nicht
konvex.
□
Bei einer konvexen Funktion f ∈ IR n sind die Niveaumengen stets konvex,
dagegen muss eine Funktion, deren Niveaumengen konvex sind nicht unbedingt
selbst konvex sein, wie man anhand des Beispiels f(x) = lnx leicht erkennt.
Hierbei fasst man f ∈ Conv IR n auf, indem man sie auf x ≤ 0 auf f (x) = ∞
setzt.

5 KONVEXE FUNKTION 12
2.303
4
2
0
ln( x)
2
4
4.605
6
0 2 4 6 8 10
0.01 x
10
Abbildung 8: Beispiel für eine nicht-konvexe Funktion mit konvexen Niveaumengen
Satz 5.1 (Ungleichung von Jensen)
Sei f ∈ Conv IR n eine konvexe Funktion, k ∈ IN, x i ∈ IR, i = 1, . . .,k und
x = ∑ k
i=1 α ix i eine Konvexkombination. Dann gilt
f(x) ≤
k∑
α i f(x i )
i=1
Beweis
Offenbar gilt die Aussage für k=0, 1, 2.
Gelte die Aussage also für k=n.
Dann folgt aus der Konvexität von f und der Voraussetzung:
∑k+1
f(x) = f( α i x i ) = f(
i=1
= f((1 − α k+1 )
≤ (1 − α k+1 )f(
≤ (1 − α k+1 )
k∑
i=1
k∑
i=1
k∑
i=1
k∑
α i x i + α k+1 x k+1 )
i=1
α i
1 − α k+1
x i + α k+1 x k+1 )
α i
1 − α k+1
x i ) + α k+1 f(x k+1 ))
α i
1 − α k+1
f(x i ) + α k+1 f(x k+1 ))
≤
k∑
∑k+1
α i f(x i ) + α k+1 f(x k+1 )) = α i f(x i )
i=1
i=1
□

5 KONVEXE FUNKTION 13
Lemma 5.2 Sind f 1 , . . .f m ∈ Conv IR n , t 1 , . . .t m ∈ R + . Gilt ⋂ m
i=1 domf i ≠ ∅,
dann ist auch die Funktion f := ∑ m
i+1 t if i konvex.
Beweis
Aufgrund der Bedingung ⋂ m
i=1 domf i ≠ ∅ gibt es ein x ∈ IR n mit
f(x) = ∑ m
i+1 t if i (x) ≨ ∞ und es gilt:
f(λx + (1 − λ)y) =
m∑
t i f i (λx + (1 − λ)y)
i+1
f ist also konvex.
m∑
≤ t i λf i (x) + t i (1 − λ)f i (y) = λf(x) + (1 − λ)f(y)
i+1
□
Lemma 5.3 Sei J eine beliebige Indexmenge, {f j } j∈J
eine Familie von Funktionen
f i ∈ Conv IR n . Gibt es ein x ∈ IR n mit sup j∈J f j (x) ≨ +∞, dann ist
die Funktion f := sup j∈J f j konvex.
Beweis
Nach (1.2) und (4.1) ist epif = ∩ j∈J epif j als Schnitt konvexer Mengen wieder
konvex und aufgrund der Existenz von x ∈ IR n mit sup j∈J f j (x) ≨ +∞
nichtleer. Aus (4.1) folgt wiederum die Konvexität von f.
□

6 FAZIT 14
6 Fazit
Im Kapitel ”
konvexe Mengen“ wurden konvexe Mengen und Kegel untersucht.
Besonderes Augenmerk wurde auf konvexitäts-erhaltende Abbildungen gelegt,
wie sie das Produkt und der beliebige Schnitt ist. Weiter sind das Innere und
der Abschluss konvexer Mengen wieder konvex.
Das Kapitel ”
Projektion“ betraute sich mit dem Problem (P)
min
x∈C ‖x − z‖2 2
mit einer abgeschlossenen und konvexen Menge C. Dieses Problem hat eine
Lösung und diese ist eindeutig. Um sie zu finden, betrachtet man ein äquivalentes
und ebenfalls konvexes Problem, welches jedoch leichter zu lösen ist, obwohl es
in semiinfiniter Formulierung vorliegt:
〈z − ˆx, x − ˆx〉 ≤ 0 ∀x ∈ C.
Im Kapitel ”
Trennung“ wurde betrachtet, in welcher Lage zwei konvexe Mengen
zueinander liegen können. Das Kriterium war jeweils, ob eine trennende oder
strikt trennende Hyperebene existiert. Einen Spezialfall hiervon erhält man,
indem eine der beiden Mengen Randpunkt der anderen ist. In diesem Falle
existieren keine strikt trennenden Hyperebenen. Die trennenden Hyperebenen
nennen sich dann Stützhyperebenen. Diese nennen sich trivial, wenn die Menge
vollständig in ihnen enthalten ist.
Das Kapitel ”
Konvexe Funktion“ behandelte Funktionen f : IR n → IR mit
dom(f) ≠ IR n . Als Charakteristika wurden der Epigraph und die eng mit ihm
verbundenen Niveaumengen eingeführt. Es wurden konvexitätserhaltende Operationen
auf konvexen Funktionen wie die nicht-negative Summenbildung und
das Supremum konvexer Funktionen betrachtet.
Diese Hilfsmittel können dabei helfen, für Probleme der konvexen Optimierung
schnelle und effiziente Löser zu finden und deren Konvergenz zu beweisen.
Literatur
[1] Alt w.; Numerische Verfahren der konvexen, nichtglatten Optimierung;
Teubner Verlag Wiesbaden, 2004