FH Formelsammlung 9 Physik.pdf - TechBoard
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Inhaltsverzeichnis<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
1 Grundlagen ...................................................................................................... 10<br />
1.1 Differentiation von Vektoren .......................................................................................................... 10<br />
1.2 Integration von Vektoren ............................................................................................................... 10<br />
1.3 quadrieren von Vektoren ............................................................................................................... 10<br />
2 Optik ................................................................................................................. 11<br />
2.1 Reflexion ....................................................................................................................................... 11<br />
2.2 Dispersion ..................................................................................................................................... 11<br />
2.3 Brechungsindex ............................................................................................................................ 11<br />
2.4 Brechung ....................................................................................................................................... 12<br />
2.4.1 Brechungsgesetz .............................................................................................................. 12<br />
2.4.2 Totalreflexion .................................................................................................................... 13<br />
2.4.3 Brewsterwinkel ................................................................................................................. 14<br />
2.4.4 Brechung an einer planparallelen Platte ........................................................................... 14<br />
2.5 Lichtwellenleiter, LWL ................................................................................................................... 15<br />
2.5.1 Aufbau .............................................................................................................................. 15<br />
2.5.2 Stufenindexfaser ............................................................................................................... 15<br />
2.5.3 Gradientenfaser ................................................................................................................ 16<br />
2.5.4 Monomodefaser ................................................................................................................ 16<br />
2.5.5 Streuverlust ...................................................................................................................... 16<br />
2.6 Prisma ........................................................................................................................................... 17<br />
2.7 Spiegel .......................................................................................................................................... 18<br />
2.7.1 Hohlspiegel, Konkavspiegel .............................................................................................. 18<br />
2.7.2 Wölbspiegel, Konvexspiegel ............................................................................................. 19<br />
2.7.3 Parabolspiegel .................................................................................................................. 19<br />
2.8 menschliches Auge ....................................................................................................................... 20<br />
2.9 Linsen ........................................................................................................................................... 20<br />
2.9.1 Linsenarten ....................................................................................................................... 20<br />
2.9.2 Brennweite ........................................................................................................................ 20<br />
2.9.3 Brechkraft ......................................................................................................................... 21<br />
2.9.4 Sammellinse, Konvexlinse ................................................................................................ 21<br />
2.9.4.1 Strahlengang ............................................................................................................... 21<br />
2.9.4.2 Abbildungen ................................................................................................................. 22<br />
2.9.4.3 Abbildungsgleichung .................................................................................................... 23<br />
2.9.5 Zerstreuungslinse, Konkavlinse ........................................................................................ 23<br />
2.9.5.1 Strahlengang ............................................................................................................... 23<br />
2.9.5.2 Abbildungen ................................................................................................................. 24<br />
2.9.6 Linsenfehler, Abbildungsfehler ......................................................................................... 24<br />
2.10 Linsensysteme ...................................................................................................................... 24<br />
2.10.1 Linsen in engem Kontakt .................................................................................................. 24<br />
2.10.2 beliebige Linsensysteme .................................................................................................. 25<br />
2.11 Fotometrie ............................................................................................................................. 26<br />
2.11.1 Grundgrössen ................................................................................................................... 26<br />
2.11.2 Umrechnungen ................................................................................................................. 26<br />
2.11.3 Raumwinkel ...................................................................................................................... 26<br />
2.11.4 Empfänger, Detektor ........................................................................................................ 28<br />
2.11.4.1 Lichtstärke ............................................................................................................... 28<br />
2.11.4.2 Raumwinkel ............................................................................................................ 28<br />
2.11.4.3 Beleuchtungsstärke ................................................................................................. 29<br />
2.11.4.4 Belichtung ............................................................................................................... 29<br />
2.11.5 Sender, Quelle .................................................................................................................. 30<br />
2.11.5.1 spezifische Lichtausstrahlung ................................................................................. 30<br />
2.11.5.2 Leuchtdichte ............................................................................................................ 30<br />
2.11.6 fotometrisches Grundgesetz ............................................................................................. 30<br />
2.11.7 Reflexionsgrad .................................................................................................................. 30<br />
3 Kinematik ......................................................................................................... 31<br />
3.1 Grundbegriffe ................................................................................................................................ 31<br />
3.1.1 Umrechnungen ................................................................................................................. 31<br />
3.1.2 Relationen ........................................................................................................................ 31<br />
3.2 geradlinige Bewegungen ............................................................................................................... 32<br />
3.2.1 Ableitung und Integral ....................................................................................................... 32<br />
3.2.2 Durchschnittswerte ........................................................................................................... 33<br />
3.2.3 gleichförmige Bewegung .................................................................................................. 34<br />
3.2.4 gleichmässig beschleunigte Bewegung ............................................................................ 35<br />
3.2.5 freier Fall ........................................................................................................................... 36<br />
3.2.6 senkrechter Wurf nach unten ............................................................................................ 37<br />
3.2.7 senkrechter Wurf nach oben ............................................................................................. 37<br />
3.3 Bewegungen im Raum .................................................................................................................. 38<br />
3.3.1 waagrechter Wurf ............................................................................................................. 38<br />
3.3.2 schiefer Wurf vom Boden ausgehend ............................................................................... 39<br />
3.3.3 schiefer Wurf aus erhöhter Position .................................................................................. 41<br />
3.4 Kreisbewegungen ......................................................................................................................... 43<br />
3.4.1 Ableitung und Integral ....................................................................................................... 43<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 1
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.2 Durchschnittswerte ........................................................................................................... 44<br />
3.4.3 Zusammenhänge .............................................................................................................. 45<br />
3.4.4 Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft .................................................................................. 46<br />
3.4.5 gleichförmige Kreisbewegung ........................................................................................... 47<br />
3.4.6 gleichmässig beschleunigte Kreisbewegung .................................................................... 48<br />
3.4.7 Karussell ........................................................................................................................... 50<br />
4 Dynamik ........................................................................................................... 51<br />
4.1 Federn ........................................................................................................................................... 51<br />
4.1.1 Reihenschaltung ............................................................................................................... 51<br />
4.1.2 Parallelschaltung .............................................................................................................. 51<br />
4.1.3 Federkraft ......................................................................................................................... 52<br />
4.2 Rollen ............................................................................................................................................ 52<br />
4.2.1 lose Rolle .......................................................................................................................... 52<br />
4.2.2 Flaschenzug ..................................................................................................................... 52<br />
4.3 newtonsche Axiome ...................................................................................................................... 54<br />
4.4 Reibung ......................................................................................................................................... 55<br />
4.5 Arbeit ............................................................................................................................................. 56<br />
4.5.1 Allgemein .......................................................................................................................... 56<br />
4.5.2 Hubarbeit .......................................................................................................................... 56<br />
4.5.3 Reibungsarbeit ................................................................................................................. 57<br />
4.5.4 Beschleunigungsarbeit ..................................................................................................... 57<br />
4.5.5 Spannarbeit und Zugarbeit ............................................................................................... 58<br />
4.5.6 Rotationsarbeit ................................................................................................................. 59<br />
4.5.7 Arbeit auf der schiefen Ebene .......................................................................................... 60<br />
4.6 Energie .......................................................................................................................................... 61<br />
4.6.1 kinetische Energie ............................................................................................................ 61<br />
4.6.2 potentielle Energie ............................................................................................................ 62<br />
4.6.3 potentielle Federenergie, Spannungsenergie ................................................................... 62<br />
4.6.4 Rotationsenergie .............................................................................................................. 63<br />
4.6.5 Energie eines rollenden Objekts ....................................................................................... 63<br />
4.6.6 Energieerhaltung .............................................................................................................. 64<br />
4.7 Leistung ........................................................................................................................................ 64<br />
4.7.1 mechanische Leistung ...................................................................................................... 65<br />
4.7.2 Rotationsleistung .............................................................................................................. 65<br />
4.8 Impulse ......................................................................................................................................... 66<br />
4.8.1 Impuls ............................................................................................................................... 66<br />
4.8.2 Impulserhaltung ................................................................................................................ 66<br />
4.8.3 Drehimpuls ....................................................................................................................... 67<br />
4.8.4 Drehimpulserhaltung ........................................................................................................ 68<br />
4.8.5 Beziehung zwischen Impuls, Drehimpuls und Energie ..................................................... 68<br />
4.9 Stösse ........................................................................................................................................... 69<br />
4.9.1 elastischer Stoss .............................................................................................................. 69<br />
4.9.2 unelastischer Stoss .......................................................................................................... 70<br />
4.9.3 teilelastischer Stoss .......................................................................................................... 71<br />
4.9.4 Stosszahl .......................................................................................................................... 71<br />
4.9.5 Kraftstoss .......................................................................................................................... 72<br />
4.10 Trägheitsmoment .................................................................................................................. 73<br />
4.10.1 Berechnung ...................................................................................................................... 73<br />
4.10.2 spezielle Trägheitsmomente ............................................................................................. 73<br />
4.11 Drehmoment .......................................................................................................................... 75<br />
4.12 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt .......................................................................................... 76<br />
4.12.1 Massen der Körper bekannt ............................................................................................. 76<br />
4.12.2 Körper durch Funktion beschrieben .................................................................................. 77<br />
4.12.2.1 2-dimensional .......................................................................................................... 77<br />
4.12.2.2 3-dimensional .......................................................................................................... 77<br />
4.12.3 externe und interne Kräfte ................................................................................................ 78<br />
4.13 Raketengleichung .................................................................................................................. 78<br />
4.14 Bewegungen im Raum .......................................................................................................... 79<br />
4.14.1 stehender Körper auf horizontaler Ebene ......................................................................... 79<br />
4.14.2 gleitender Körper auf horizontaler Ebene ......................................................................... 79<br />
4.14.3 Körper auf schiefer Ebene ................................................................................................ 80<br />
4.14.4 Körper auf bewegendem Körper ....................................................................................... 81<br />
4.14.5 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper I .............................................................. 82<br />
4.14.6 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper II ............................................................. 82<br />
4.14.7 über Flaschenzüge zusammenhängende Körper ............................................................. 83<br />
4.14.8 Pendel .............................................................................................................................. 84<br />
4.14.9 rollendes rundes Objekt auf schiefer Ebene ..................................................................... 85<br />
4.14.10 gleitfreies Rollen von rundem Objekt (z. B. Billardkugel) ............................................. 87<br />
4.14.11 gleitendes rundes Objekt auf horizontaler Ebene (z. B. Bowlingkugel) ........................ 88<br />
4.14.12 gleitende Kugel in Looping ........................................................................................... 89<br />
4.14.13 rollende Kugel in Looping ............................................................................................ 90<br />
4.14.14 Garnrolle ...................................................................................................................... 91<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 2
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.15 Punktmasse auf Kugel ................................................................................................. 93<br />
4.14.16 beschleunigte Drehung eines Rades ........................................................................... 94<br />
4.14.17 Jojo aus einer Scheibe ................................................................................................. 95<br />
4.14.18 Jojo aus masselosem Stab und zwei Scheiben ........................................................... 96<br />
5 Schwingungen ................................................................................................ 98<br />
5.1 ungedämpfte Schwingung ............................................................................................................. 98<br />
5.1.1 Federschwinger, Federpendel .......................................................................................... 98<br />
5.1.1.1 Schwingungsgleichung ................................................................................................ 98<br />
5.1.1.2 Energie ........................................................................................................................ 99<br />
5.1.2 Drehschwinger, Drehpendel, Torsionspendel ................................................................. 100<br />
5.1.2.1 Schwingungsgleichung .............................................................................................. 100<br />
5.1.2.2 Energie ...................................................................................................................... 101<br />
5.1.2.3 Drehschwinger eines Feder-Masse-Systems ............................................................ 102<br />
5.1.3 Stabsschwinger eines Stab-Masse-Systems .................................................................. 102<br />
5.1.4 Biegeschwinger eines Balken-Masse-Systems .............................................................. 103<br />
5.1.5 Systeme mit mehreren Federn ....................................................................................... 103<br />
5.1.5.1 Parallelschaltung ....................................................................................................... 103<br />
5.1.5.2 Reihenschaltung ........................................................................................................ 104<br />
5.1.5.3 kombinierte Parallel- und Reihenschaltung ................................................................ 105<br />
5.1.6 mathematisches Pendel, Fadenpendel .......................................................................... 106<br />
5.1.7 physikalisches Pendel, Körperpendel ............................................................................. 107<br />
5.2 gedämpfte Schwingung ............................................................................................................... 108<br />
5.2.1 Federschwinger, Federpendel ........................................................................................ 108<br />
5.2.2 Drehschwinger eines Dämpfer-Feder-Masse-Systems .................................................. 109<br />
5.2.3 logarithmisches Dekrement δ ∙ T .................................................................................... 110<br />
5.2.4 aperiodische Bewegung ................................................................................................. 111<br />
5.3 erzwungene Schwingung ............................................................................................................ 113<br />
5.3.1 allgemein ........................................................................................................................ 113<br />
5.3.2 Unwucht .......................................................................................................................... 114<br />
5.3.3 Zwangsführung ............................................................................................................... 114<br />
5.4 gekoppelte Schwingung .............................................................................................................. 115<br />
5.4.1 gekoppelte Massen ........................................................................................................ 115<br />
5.4.2 gekoppelte Pendel .......................................................................................................... 117<br />
5.5 Interferenz ................................................................................................................................... 119<br />
5.5.1 Interferenzarten .............................................................................................................. 119<br />
5.5.2 gleiche Frequenz und Amplitude aber unterschiedliche Phasenverschiebung ............... 119<br />
5.5.3 gleiche Frequenz aber unterschiedliche Amplitude und Phasenverschiebung ............... 120<br />
5.6 Schwebung ................................................................................................................................. 121<br />
6 elektromagnetische Wellen .......................................................................... 122<br />
6.1 Grundlagen ................................................................................................................................. 122<br />
6.1.1 Wellenarten .................................................................................................................... 122<br />
6.1.2 Absorption ...................................................................................................................... 123<br />
6.1.3 Phasensprung ................................................................................................................ 124<br />
6.1.4 Totalreflexion .................................................................................................................. 125<br />
6.1.5 Energiedichte und Intensität ........................................................................................... 126<br />
6.2 Wellenparameter ......................................................................................................................... 128<br />
6.2.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit εr und μr .............................. 128<br />
6.2.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit n ......................................... 130<br />
6.2.3 Gruppengeschwindigkeit ................................................................................................ 131<br />
6.2.4 Phasenkoeffizient, Phasenbelag .................................................................................... 131<br />
6.2.5 Wellenvektor ................................................................................................................... 132<br />
6.3 Amplitude und Intensität .............................................................................................................. 133<br />
6.3.1 Addition von Amplituden und Intensitäten....................................................................... 133<br />
6.3.2 Dämpfung der Amplitude und Intensität ......................................................................... 134<br />
6.3.2.1 Kreiswelle, Dimensional ............................................................................................. 134<br />
6.3.2.2 Kugelwelle, 3 Dimensional ......................................................................................... 134<br />
6.4 Interferenz ................................................................................................................................... 135<br />
6.4.1 Interferenz ebener kontinuierlicher Wellen ..................................................................... 135<br />
6.4.2 Interferenz ebener nicht kontinuierlicher Wellen ............................................................. 136<br />
6.5 stehende Welle ........................................................................................................................... 137<br />
6.5.1 stehende Welle mit losen Enden .................................................................................... 137<br />
6.5.2 stehende Welle mit festen Enden ................................................................................... 138<br />
6.5.3 stehende Welle mit einem festen und einem losen Ende ............................................... 139<br />
6.6 Wellenfunktionen, Wellengleichungen ........................................................................................ 140<br />
6.6.1 laufende Welle ................................................................................................................ 140<br />
6.6.1.1 nach rechts laufend (in positive z-Richtung) .............................................................. 140<br />
6.6.1.2 nach links laufend (in negative z-Richtung) ............................................................... 141<br />
6.6.2 stehende Welle ............................................................................................................... 142<br />
6.6.2.1 lose Enden ................................................................................................................. 142<br />
6.6.2.2 feste Enden ................................................................................................................ 143<br />
6.6.2.3 Berechnung der Grundschwingungen........................................................................ 144<br />
6.6.3 gedämpfte Welle ............................................................................................................. 147<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 3
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.4 Umrechnungen ............................................................................................................... 148<br />
6.7 Übergang an Grenzflächen ......................................................................................................... 149<br />
6.7.1 Faktoren, Amplituden und Intensitäten ........................................................................... 149<br />
6.7.2 Lichtleiter ........................................................................................................................ 150<br />
6.8 Reflexion an dünnen Schichten ................................................................................................... 151<br />
6.8.1 Reflexion an beschichtetem Material .............................................................................. 151<br />
6.8.2 Reflexion an Schicht in Luft ............................................................................................ 152<br />
6.8.3 Reflexionsfreiheit, Antireflexschicht ................................................................................ 153<br />
6.9 Transmission an dünnen Schichten ............................................................................................ 154<br />
6.9.1 Transmission an beschichtetem Material ........................................................................ 154<br />
6.9.2 Transmission an Schicht in Luft ...................................................................................... 155<br />
6.10 Beugung .............................................................................................................................. 156<br />
6.10.1 Beugungsmuster an Objekten ........................................................................................ 156<br />
6.10.2 Beugungsmuster und Interferenzmuster......................................................................... 156<br />
6.10.3 Beugung am Einzelspalt ................................................................................................. 157<br />
6.10.4 Beugung am Doppelspalt ............................................................................................... 159<br />
6.10.5 Beugung am Beugungsgitter / Mehrfachspalt ................................................................. 160<br />
6.10.6 Beugung an der Kreisblende .......................................................................................... 161<br />
6.11 Divergenz von Laserstrahlen ............................................................................................... 161<br />
6.12 Dopplereffekt ....................................................................................................................... 162<br />
6.12.1 Dopplereffekt beim Schall ............................................................................................... 162<br />
6.12.2 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und einem Winkel von 0° oder 180° ...... 163<br />
6.12.3 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und beliebigem Winkel .......................... 164<br />
6.12.4 Radar, Geschwindigkeitsmessung ................................................................................. 165<br />
6.13 Polarisation .......................................................................................................................... 166<br />
6.13.1 Polarisationsarten ........................................................................................................... 166<br />
6.13.2 Schwingungsformen ....................................................................................................... 167<br />
6.13.3 Polarisationsgrad ............................................................................................................ 168<br />
6.13.4 Polarisatoren .................................................................................................................. 169<br />
6.13.4.1 Folienpolarisator .................................................................................................... 169<br />
6.13.4.2 Brewsterpolarisator ............................................................................................... 169<br />
6.13.4.3 Berechnung ........................................................................................................... 170<br />
6.13.5 Doppelbrechung ............................................................................................................. 172<br />
6.13.6 Polarisationswandler, Verzögerungsplatten .................................................................... 173<br />
6.13.6.1 λ/4 Plättchen, Zirkularpolarisator ........................................................................... 173<br />
6.13.6.2 λ/2 Plättchen, Polarisationsdreher ......................................................................... 174<br />
6.13.7 Flüssigkristallanzeige, LCD ............................................................................................ 175<br />
7 Akustik ........................................................................................................... 176<br />
7.1 Dezibel, Phon und Sone ............................................................................................................. 176<br />
7.2 Schallpegel.................................................................................................................................. 176<br />
7.2.1 Schalldruckpegel ............................................................................................................ 176<br />
7.2.2 Schallleistungspegel ....................................................................................................... 176<br />
7.2.3 Schallintensitätspegel ..................................................................................................... 176<br />
8 Wärmelehre ................................................................................................... 177<br />
8.1 Temperatureinheiten ................................................................................................................... 177<br />
8.2 thermische Ausdehnung ............................................................................................................. 178<br />
8.2.1 Wärmeausdehnung ........................................................................................................ 178<br />
8.2.2 Bimetallstreifen ............................................................................................................... 179<br />
8.2.2.1 Krümmung mit einem festen Ende ............................................................................. 180<br />
8.2.2.2 Krümmungsradius bei losen Enden ........................................................................... 180<br />
8.2.3 temperaturunabhängiger Massstab ................................................................................ 181<br />
8.2.4 eingespanntes Metall mit einem Querschnitt .................................................................. 181<br />
8.2.5 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten ................................................................. 182<br />
8.2.6 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten und Feder ............................................... 183<br />
8.3 Wärmekapazität .......................................................................................................................... 184<br />
8.3.1 spezifische Wärmekapazität ........................................................................................... 184<br />
8.3.2 Kalorimeter ..................................................................................................................... 185<br />
8.3.3 richmannsche Mischungsregel ....................................................................................... 186<br />
8.4 stationärer Wärmetransport ......................................................................................................... 187<br />
8.4.1 Zusammenhänge zwischen thermischen und elektrischen Kreisen ............................... 187<br />
8.4.2 Mechanismen des Wärmetransportes ............................................................................ 187<br />
8.4.2.1 Wärmeleitung ............................................................................................................. 188<br />
8.4.2.2 Wärmeströmung, Konvektion ..................................................................................... 189<br />
8.4.2.3 Wärmestrahlung ........................................................................................................ 190<br />
8.4.2.4 Wärmeübergang und Wärmedurchgang .................................................................... 195<br />
8.4.3 Wärmewiderstand ........................................................................................................... 195<br />
8.4.3.1 Definition .................................................................................................................... 195<br />
8.4.3.2 Reihenschaltung von Wärmewiderständen ................................................................ 196<br />
8.4.3.3 Parallelschaltung von Wärmewiderständen ............................................................... 197<br />
8.4.4 Wärmestrom durch Oberflächen und Wärmestromdichte ............................................... 198<br />
8.4.5 Wärmestrom durch Materie ............................................................................................ 199<br />
8.4.6 spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl, λ ........................................................... 200<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 4
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.7 Wärmedurchgangskoeffizient, Wärmedämmwert, k-Wert, U-Wert ................................. 200<br />
8.4.8 Situationen bei Wärmeleitung ......................................................................................... 201<br />
8.4.8.1 Formelzeichen ........................................................................................................... 201<br />
8.4.8.2 einschichtige Wand ohne Grenzschichten ................................................................. 201<br />
8.4.8.3 einschichtige Wand mit Grenzschichten .................................................................... 202<br />
8.4.8.4 mehrschichtige Wand ohne Grenzschichten .............................................................. 203<br />
8.4.8.5 mehrschichtige Wand mit Grenzschichten ................................................................. 203<br />
8.4.8.6 einschichtiger Hohlzylinder ohne Grenzschichten ..................................................... 204<br />
8.4.8.7 einschichtiger Hohlzylinder mit Grenzschichten ......................................................... 204<br />
8.4.8.8 mehrschichtiger Hohlzylinder ..................................................................................... 205<br />
8.4.8.9 Hohlkugel ................................................................................................................... 205<br />
8.4.9 Situationen bei Wärmeströmung, Konvektion und Wärmestrahlung ............................... 206<br />
8.4.9.1 Wärme abstrahlender Körper im Raum ..................................................................... 206<br />
8.5 instationärer Wärmetransport ...................................................................................................... 207<br />
8.5.1 Erwärmung eines Körpers über einen Wärmestrom ....................................................... 207<br />
8.5.2 Erwärmung eines Körpers über mehrere Wärmeströme ................................................ 209<br />
8.5.3 Abkühlung eines Körpers über einen Wärmestrom ........................................................ 212<br />
8.5.4 Abkühlung eines Körpers über mehrere Wärmeströme .................................................. 214<br />
0 .................................. 217<br />
8.5.5 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit <br />
8.5.6 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 8.5.7 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 Körper U<br />
PR ................... 219<br />
Körper th U<br />
PR ................... 221<br />
Körper th U<br />
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Stichwortverzeichnis<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Akustik ......................................................... 176<br />
Akustik ..................................................... 176<br />
Dezibel ..................................................... 176<br />
Grössen ................................................... 176<br />
Pegel ........................................................ 176<br />
Phon ........................................................ 176<br />
Schalldruckpegel ..................................... 176<br />
Schallintensitätspegel .............................. 176<br />
Schallleistungspegel ................................ 176<br />
Schallpegel .............................................. 176<br />
Sone ........................................................ 176<br />
Differentiation von Vektoren .......................... 10<br />
Dynamik ........................................................ 51<br />
Aktionsprinzip ............................................ 54<br />
Arbeit ......................................................... 56<br />
Arbeit auf der schiefen Ebene .................... 60<br />
beschleunigte Drehung eines Rades ......... 94<br />
Beschleunigungsarbeit ............................... 57<br />
Bewegungen im Raum ............................... 79<br />
Differentialflaschenzug ............................... 52<br />
Drehimpuls ................................................. 67<br />
Drehimpulserhaltung .................................. 68<br />
Drehmoment .............................................. 75<br />
elastischer Stoss ........................................ 69<br />
Energie ...................................................... 61<br />
Energie eines rollenden Objekts ................ 63<br />
Energieerhaltung ....................................... 64<br />
externe Kräfte ............................................ 78<br />
Faktorenflaschenzug.................................. 52<br />
Federenergie ............................................. 62<br />
Federkraft .................................................. 52<br />
Federn ....................................................... 51<br />
Flaschenzug .............................................. 52<br />
Flaschenzüge ............................................ 83<br />
Garnrolle .................................................... 91<br />
gleitende Kugel .......................................... 89<br />
gleitender Körper ....................................... 79<br />
gleitfreies Rollen ........................................ 87<br />
gleitfreies rundes Objekt ............................ 88<br />
Gleitreibung ............................................... 55<br />
Haftreibung ................................................ 55<br />
horizontale Ebene ................................ 79, 88<br />
Hubarbeit ................................................... 56<br />
Impuls ........................................................ 66<br />
Impulserhaltung ......................................... 66<br />
interne Kräfte ............................................. 78<br />
Jojo aus einer Scheibe ............................... 95<br />
Jojo aus masselosem Stab und zwei<br />
Scheiben ................................................ 96<br />
kinetische Energie ..................................... 61<br />
Körper auf bewegendem Körper ................ 81<br />
Körper auf schiefer Ebene ......................... 80<br />
Kraftstoss ................................................... 72<br />
Leistung ..................................................... 64<br />
Looping ................................................ 89, 90<br />
lose Rolle ................................................... 52<br />
Massenmittelpunkt ..................................... 76<br />
mechanische Leistung ............................... 65<br />
newtonsche Axiome ................................... 54<br />
Parallelschaltung von Federn .................... 51<br />
Pendel ........................................................ 84<br />
potentielle Energie ..................................... 62<br />
potentielle Federenergie ............................ 62<br />
Potenzflaschenzug..................................... 52<br />
Punktmasse auf Kugel ............................... 93<br />
Raketengleichung ...................................... 78<br />
Reaktionsprinzip ........................................ 54<br />
Reibung ..................................................... 55<br />
Reibungsarbeit ........................................... 57<br />
Reihenschaltung von Federn ..................... 51<br />
Rolle ........................................................... 91<br />
Rollen ......................................................... 52<br />
rollende Kugel .............................................90<br />
rollendes Objekt ..........................................63<br />
rollendes rundes Objekt ..............................85<br />
Rollreibung..................................................55<br />
Rotationsarbeit ............................................59<br />
Rotationsenergie .........................................63<br />
Rotationsleistung ........................................65<br />
Satz von Steiner .........................................73<br />
schiefe Ebene ................................. 60, 80, 85<br />
Schwerpunkt ...............................................76<br />
Spannarbeit ................................................58<br />
Spannungsenergie ......................................62<br />
stehender Körper ........................................79<br />
Steiner ........................................................73<br />
Stoss gegen Wand .....................................69<br />
Stösse .........................................................69<br />
Stosszahl ....................................................71<br />
Superpositionsprinzip .................................54<br />
teilelastischer Stoss ....................................71<br />
Trägheitsmoment ........................................73<br />
Trägheitsmomente ......................................73<br />
Trägheitsprinzip ..........................................54<br />
Umlenkrolle .................................................82<br />
unelastischer Stoss .....................................70<br />
Verformungsarbeit ................................ 70, 71<br />
Zugarbeit ....................................................58<br />
zusammenhängende Körper................. 82, 83<br />
elektromagnetische Wellen .......................... 122<br />
k .............................................................. 132<br />
Absorber ................................................... 123<br />
Absorption......................................... 123, 147<br />
Absorptionsgesetz .................................... 123<br />
Addition von Amplituden ........................... 133<br />
Addition von Intensitäten .......................... 133<br />
Amplitude .................................................. 133<br />
Amplitudendämpfung ................................ 134<br />
Amplitudenreflexionsfaktor ....................... 149<br />
Amplitudentransmissionsfaktor ................. 149<br />
Anfangsbedingungen 142, 143, 144, 145, 146<br />
Antireflexschicht ........................................ 153<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit ............ 128, 130<br />
ausserordentliche Welle ........................... 172<br />
Bäuche ..................................................... 138<br />
beschichtetes Material ...................... 151, 154<br />
Beugung ................................................... 156<br />
Beugung am Beugungsgitter .................... 160<br />
Beugung am Doppelspalt ................. 156, 159<br />
Beugung am Einzelspalt ................... 156, 157<br />
Beugung am Mehrfachspalt ...................... 160<br />
Beugung an der Kreisblende ............ 156, 161<br />
Beugung an einem Draht .......................... 156<br />
Beugung an einer Schirmkante ................. 156<br />
Beugungsgitter .......................................... 160<br />
Beugungsmuster ....................................... 156<br />
Beugungsmuster an Objekten .................. 156<br />
Blauverschiebung ..................................... 163<br />
Brechungsindex ........................................ 130<br />
Brewsterpolarisator ................................... 169<br />
Dämpfung ................................................. 134<br />
Dämpfungsbelag ....................................... 148<br />
Dämpfungskoeffizient ............................... 148<br />
destruktive Interferenz ...................... 135, 136<br />
Dezibel ...................................................... 148<br />
Divergenz.................................................. 161<br />
Divergenz von Laserstrahlen .................... 161<br />
Doppelbrechung ....................................... 172<br />
Doppellochblende ..................................... 159<br />
Doppelspalt ....................................... 156, 159<br />
doppelter Phasensprung ........................... 151<br />
Dopplereffekt ............................................ 162<br />
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<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Dopplereffekt bei elektromagnetischen<br />
Wellen .......................................... 163, 164<br />
Dopplereffekt beim Schall ........................ 162<br />
Draht ........................................................ 156<br />
Dünnschichtpolarisator .................... 169, 170<br />
Durchgangskoeffizient ............................. 149<br />
Durchtritt an Grenzflächen ....................... 149<br />
ebene kontinuierliche Wellen ................... 135<br />
ebene nicht kontinuierliche Wellen .......... 136<br />
einfacher Phasensprung .................. 152, 154<br />
einfallende Welle ..................................... 149<br />
Einfallsebene ........................................... 166<br />
Einzellochblende ...................................... 157<br />
Einzelspalt ....................................... 156, 157<br />
elliptische Polarisation ............................. 166<br />
Energiedichte ........................................... 126<br />
feste Enden ....................... 138, 143, 145, 147<br />
festes Ende ............................... 125, 139, 146<br />
Flüssigkristallanzeige ............................... 175<br />
Folienpolarisator .............................. 169, 170<br />
gedämpfte Welle ...................................... 147<br />
geschlossene Enden138, 139, 143, 145, 146,<br />
147<br />
Geschwindigkeitsmessung ...................... 165<br />
Gitter ........................................................ 160<br />
Grenzflächen ........................................... 149<br />
Grundschwingungen ................................ 144<br />
Gruppengeschwindigkeit .......................... 131<br />
Intensität .......................................... 126, 133<br />
Intensitätsdämpfung ................................. 134<br />
Intensitätsreflexionsfaktor ........................ 149<br />
Intensitätstransmissionsfaktor .................. 149<br />
Interferenz ................................................ 135<br />
Interferenzmuster ..................................... 156<br />
Kalkspat ................................................... 172<br />
Kante ....................................................... 156<br />
Knoten ..................................................... 138<br />
konstruktive Interferenz .................... 135, 136<br />
kontinuierliche Wellen .............................. 135<br />
Kreisblende ...................................... 156, 161<br />
Kreiswelle ................................................ 134<br />
Kreiswellenzahl ........................................ 132<br />
Kugelwelle ............................................... 134<br />
Lambda/2 Plättchen ................................. 174<br />
Lambda/4 Plättchen ................................. 173<br />
Längswelle ............................................... 122<br />
Laserstrahl ............................................... 161<br />
laufende Welle ......................................... 140<br />
LCD .......................................................... 175<br />
Lichtgeschwindigkeit ................................ 128<br />
Lichtleiter ................................................. 150<br />
lineare Polarisation .......................... 166, 167<br />
links laufend ..................................... 141, 147<br />
linkszirkular .............................................. 167<br />
Lochblende ............................... 157, 159, 160<br />
longitudinaler Dopplereffekt ............. 163, 164<br />
Longitudinalwelle ..................................... 122<br />
lose Enden ........................ 137, 142, 144, 147<br />
loses Ende ....................................... 139, 146<br />
Mach ........................................................ 162<br />
Machscher Kegel ..................................... 162<br />
Mehrfachlochblende................................. 160<br />
Mehrfachspalt .......................................... 160<br />
Neper ....................................................... 148<br />
nicht kontinuierliche Wellen ..................... 136<br />
offene Enden .... 137, 139, 142, 144, 146, 147<br />
offenes Ende ............................................ 125<br />
optischer Dopplereffekt .................... 163, 164<br />
ordentliche Welle ..................................... 172<br />
Orgelpfeife ............................................... 137<br />
parallele Polarisation ................................ 166<br />
Phasenbelag .................................... 131, 148<br />
Phasengeschwindigkeit ................... 128, 130<br />
Phasenkoeffizient ............................. 131, 148<br />
Phasensprung ................... 124, 151, 152, 154<br />
Phasenverschiebung ................................ 167<br />
Plättchen ................................................... 173<br />
Polarisation ............................................... 166<br />
Polarisationsarten ..................................... 166<br />
Polarisationsdreher ................................... 174<br />
Polarisationsfolie ............................... 169, 170<br />
Polarisationsgrad ...................................... 168<br />
Polarisationsrichtung ........................ 166, 167<br />
Polarisationswandler ................................. 173<br />
Polarisatoren ............................................. 169<br />
Querwelle.................................................. 122<br />
Radar ........................................................ 165<br />
Randbedingungen .... 142, 143, 144, 145, 146<br />
rechts laufend ................................... 140, 147<br />
rechtszirkular ............................................ 167<br />
reell ........................................................... 125<br />
reflektierte Welle ....................................... 149<br />
Reflexion an beschichtetem Material ........ 151<br />
Reflexion an dünnen Schichten ................ 151<br />
Reflexion an Schicht in Luft ...................... 152<br />
Reflexionsfreiheit ...................................... 153<br />
Reflexionsgrad (leistungsbezogen) ........... 149<br />
Rotverschiebung ....................................... 163<br />
Schallgeschwindigkeit ............................... 162<br />
Schicht in Luft ................................... 152, 155<br />
Schirmkante .............................................. 156<br />
Schwingungsformen ................................. 167<br />
senkrechte Polarisation ............................ 166<br />
Spaltbreiten............................................... 157<br />
Startbedingungen ..... 142, 143, 144, 145, 146<br />
stehende Welle ................................. 137, 142<br />
Totalreflexion ............................................ 125<br />
Transmission an beschichtetem Material .. 154<br />
Transmission an dünnen Schichten .......... 154<br />
Transmission an Schicht in Luft ................ 155<br />
Transmissionsgrad (leistungsbezogen) .... 149<br />
transmittierte Welle ................................... 149<br />
transversaler Dopplereffekt ....................... 164<br />
Transversalwelle ....................................... 122<br />
Übergang an Grenzflächen ....................... 149<br />
Überschallgeschwindigkeit........................ 162<br />
Umpolarisator ........................................... 174<br />
Umrechnungen ......................................... 148<br />
Verzögerungsplatten ................................. 173<br />
virtuell ....................................................... 125<br />
Wellenbäuche ........................................... 138<br />
Wellenfunktionen ...................................... 140<br />
Wellengleichungen ................................... 140<br />
Wellenknoten ............................................ 138<br />
Wellenparameter ...................................... 128<br />
Wellenvektor ............................................. 132<br />
Wellenzahl ................................................ 132<br />
zirkulare Polarisation ........................ 166, 167<br />
Zirkularpolarisator ..................................... 173<br />
β ∙ z – ω ∙ t ........................................ 140, 147<br />
β ∙ z + ω ∙ t ........................................ 141, 147<br />
λ/2 Plättchen ............................................. 174<br />
λ/4 Plättchen ............................................. 173<br />
ω ∙ t – β ∙ z ........................................ 140, 147<br />
ω ∙ t + β ∙ z ........................................ 141, 147<br />
Fotometrie ......................................................26<br />
Beleuchtungsstärke ....................................29<br />
Belichtung ...................................................29<br />
Detektor ......................................................28<br />
Empfänger ..................................................28<br />
fotometrisches Grundgesetz .......................30<br />
Grundgrössen .............................................26<br />
Halbkugel ....................................................26<br />
Kugelausschnitt ..........................................26<br />
Leuchtdichte ...............................................30<br />
Lichtstärke ..................................................28<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 7
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Öffnungswinkel .......................................... 26<br />
Pyramide .................................................... 26<br />
Quelle ........................................................ 30<br />
Raumwinkel ......................................... 26, 28<br />
Reflexionsgrad ........................................... 30<br />
Sender ....................................................... 30<br />
spezifische Lichtausstrahlung .................... 30<br />
Umrechnungen .......................................... 26<br />
Vollkugel .................................................... 26<br />
Integration von Vektoren ............................... 10<br />
Kinematik ....................................................... 31<br />
Bewegungen im Raum ............................... 38<br />
Durchschnittswerte .............................. 33, 44<br />
freier Fall .................................................... 36<br />
geradlinige Bewegungen ........................... 32<br />
Geschwindigkeitsdiagramm ....................... 31<br />
gleichförmige Bewegung ............................ 34<br />
gleichförmige Kreisbewegung .................... 47<br />
gleichmässig beschleunigte Bewegung ..... 35<br />
gleichmässig beschleunigte Kreisbewegung<br />
............................................................... 48<br />
Karussell .................................................... 50<br />
Kreisbewegungen ...................................... 43<br />
schiefer Wurf aus erhöhter Position ........... 41<br />
schiefer Wurf vom Boden ausgehend ........ 39<br />
senkrechter Wurf nach oben ...................... 37<br />
senkrechter Wurf nach unten ..................... 37<br />
waagrechter Wurf ...................................... 38<br />
Weg-Zeit-Diagramm ................................... 31<br />
Winkelgeschwindigkeitsdiagramm ............. 31<br />
Winkel-Zeit-Diagramm ............................... 31<br />
Zentrifugalkraft ........................................... 46<br />
Zentripetalkraft ........................................... 46<br />
Optik .............................................................. 11<br />
Abbildungsfehler ........................................ 24<br />
Auge .......................................................... 20<br />
Brechkraft .................................................. 21<br />
Brechung ............................................. 12, 16<br />
Brechung an einer planparallelen Platte .... 14<br />
Brechungsgesetz ....................................... 12<br />
Brechungsindex ......................................... 11<br />
Brechzahl ................................................... 11<br />
Brennweite ................................................. 20<br />
Brewsterwinkel ........................................... 14<br />
Dämpfung .................................................. 16<br />
Dispersion .................................................. 11<br />
Gradientenfaser ......................................... 16<br />
Hohlspiegel ................................................ 18<br />
Hyperopie .................................................. 20<br />
Konkavlinse ............................................... 23<br />
Konkavspiegel ........................................... 18<br />
Konvexlinse ............................................... 21<br />
Konvexspiegel ........................................... 19<br />
Kurzsichtigkeit ............................................ 20<br />
Lichtwellenleiter ................................... 13, 15<br />
Linsen ........................................................ 20<br />
Linsen in engem Kontakt ........................... 24<br />
Linsenarten ................................................ 20<br />
Linsenfehler ............................................... 24<br />
Linsensysteme ........................................... 24<br />
LWL ........................................................... 15<br />
menschliches Auge .................................... 20<br />
Monomodefaser ......................................... 16<br />
Myopie ....................................................... 20<br />
Parabolspiegel ........................................... 19<br />
planparallele Platte .................................... 14<br />
Polarisationswinkel .................................... 14<br />
Prisma .................................................. 13, 17<br />
Reflexion .................................................... 11<br />
Sammellinse .............................................. 21<br />
Snellius ...................................................... 12<br />
Spiegel ....................................................... 18<br />
Streuverlust ................................................ 16<br />
Stufenindexfaser .........................................15<br />
Totalreflexion ........................................ 13, 15<br />
Weitsichtigkeit .............................................20<br />
Wellenführung .............................................16<br />
Wölbspiegel ................................................19<br />
Zerstreuungslinse .......................................23<br />
quadrieren von Vektoren ................................10<br />
Schwingungen ................................................98<br />
aperiodische Bewegung ........................... 111<br />
aperiodischer Grenzfall ............................. 111<br />
aperiodischer Kriechfall ............................ 111<br />
asymmetrische Schwingung ..................... 115<br />
Balken-Masse-System .............................. 103<br />
Biegeschwinger ........................................ 103<br />
Biegestab .................................................. 103<br />
Dämpfer-Feder-Masse-System ................. 109<br />
destruktive Interferenz .............................. 119<br />
Drehpendel ....................................... 100, 109<br />
Drehschwinger .................................. 100, 109<br />
erzwungene Schwingung .......................... 113<br />
Fadenpendel ............................................. 106<br />
Feder-Masse-System ............................... 102<br />
Federpendel ........................................ 98, 108<br />
Federschwinger .................................. 98, 108<br />
gedämpfte Schwingung ............................ 108<br />
gegensinnige Schwingung ........................ 115<br />
gekoppelte Massen ........................... 115, 138<br />
gekoppelte Pendel .................................... 117<br />
gekoppelte Schwingung ............................ 115<br />
gemeinsame Amplitude ............................ 119<br />
gemeinsame Phase .................................. 119<br />
gleichsinnige Schwingung ........................ 115<br />
Grenzfall ................................................... 111<br />
Interferenz................................................. 119<br />
kombinierte Parallel- und Reihenschaltung<br />
.............................................................. 105<br />
konstruktive Interferenz ............................ 119<br />
Körperpendel ............................................ 107<br />
Kriechfall ................................................... 111<br />
kritische Dämpfung ................................... 111<br />
logarithmisches Dekrement ...................... 110<br />
mathematisches Pendel ........................... 106<br />
mehrere Federn ........................................ 103<br />
Parallelschaltung ...................................... 103<br />
Pendel .............................................. 106, 107<br />
physikalisches Pendel .............................. 107<br />
Reihenschaltung ....................................... 104<br />
Resonanz.................................................. 113<br />
Resonanzkatastrophe ............................... 113<br />
resultierende Amplitude ............................ 119<br />
resultierende Phase .................................. 119<br />
resultierende Schwingung ........................ 121<br />
Schwebung ....................................... 115, 121<br />
Stab-Masse-System ................................. 102<br />
Stabsschwinger ........................................ 102<br />
symmetrische Schwingung ....................... 115<br />
Systeme mit mehreren Federn ................. 103<br />
Torsionspendel ................................. 100, 109<br />
überkritisch ............................................... 113<br />
ungedämpfte Schwingung ..........................98<br />
ungleichsinnige Schwingung..................... 115<br />
unterkritisch .............................................. 113<br />
Unwucht .................................................... 114<br />
Unwuchtbelastung .................................... 114<br />
Zwangsführung ......................................... 114<br />
δ ∙ T .......................................................... 110<br />
Wärmelehre .................................................. 177<br />
Abkühlung eines Körpers .......... 209, 212, 214<br />
absoluter Wärmewiderstand ..................... 195<br />
Absorption......................................... 191, 192<br />
Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers<br />
.............................................. 217, 219, 221<br />
Ausdehnung .............................................. 178<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 8
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - <strong>Physik</strong> Editiert: 21.02.2011<br />
Ausstrahlung ............................................ 194<br />
Austauschkoeffizient ................................ 193<br />
Bimetall .................................................... 179<br />
Bimetallstreifen ........................................ 179<br />
Bimetallthermometer ................................ 179<br />
Celsius ..................................................... 177<br />
Druck ........................................ 181, 182, 183<br />
Durchgangswiderstand ............................ 195<br />
Durchlässigkeit ........................................ 191<br />
Ebene ....................................... 201, 202, 203<br />
eingespanntes Metall ................ 181, 182, 183<br />
einschichtige Ebene ......................... 201, 202<br />
einschichtige Wand .......................... 201, 202<br />
einschichtiger Hohlzylinder ...................... 204<br />
einschichtiges Rohr.................................. 204<br />
elektrische Kreise .................................... 187<br />
Emission .................................................. 192<br />
Erwärmung eines Körpers ....................... 207<br />
erzwungene Konvektion ........................... 187<br />
Fahrenheit ................................................ 177<br />
Feder ....................................................... 183<br />
Flächenausdehnung ................................ 178<br />
freie Konvektion ....................................... 187<br />
Grad Celsius ............................................ 177<br />
Grad Fahrenheit ....................................... 177<br />
Grenzschichten ......................... 202, 203, 204<br />
Hohlkugel ................................................. 205<br />
Hohlraumstrahlung................................... 194<br />
Hohlzylinder ..................................... 204, 205<br />
hookesches Gesetz .................. 181, 182, 183<br />
instationärer Wärmetransport .................. 207<br />
Kalorimeter .............................................. 185<br />
Kelvin ....................................................... 177<br />
kirchhoffsches Strahlungsgesetz ............. 192<br />
Konvektion ................................ 187, 189, 206<br />
Konvektionskoeffizient ............................. 189<br />
Krümmung eines Bimetallsteifens ............ 180<br />
Kugel ........................................................ 205<br />
k-Wert ...................................................... 200<br />
Längenausdehnung ................................. 178<br />
magnetische Kreise ................................. 187<br />
Massentransport ...................................... 199<br />
Mechanismen des Wärmetransportes ..... 187<br />
mehrere Wärmeströme .................... 209, 214<br />
mehrschichtige Ebene ............................. 203<br />
mehrschichtige Wand .............................. 203<br />
mehrschichtiger Hohlzylinder ................... 205<br />
mehrschichtiges Rohr .............................. 205<br />
Mischungsregel ........................................ 186<br />
Mischungstemperatur .............................. 186<br />
Oberflächenausdehnung .......................... 178<br />
Parallelschaltung ...................... 217, 219, 221<br />
Parallelschaltung von Wärmewiderständen<br />
............................................................. 197<br />
plancksche Strahlungsspektren ............... 194<br />
Raumausdehnung ................................... 178<br />
Raumausdehnung in einem Gefäss ......... 178<br />
Reflexion .................................................. 191<br />
Reihenschaltung .............................. 207, 212<br />
Reihenschaltung von Wärmewiderständen<br />
............................................................. 196<br />
richmannsche Mischungsregel ................ 186<br />
Rohr ................................................. 204, 205<br />
schwarze Flächen .................................... 192<br />
schwarze Strahler .................................... 194<br />
Schwarzkörperstrahlung ........................... 194<br />
Situationen bei Wärmeleitung ................... 201<br />
Situationen bei Wärmestrahlung ............... 206<br />
Situationen bei Wärmeströmung, Konvektion<br />
.............................................................. 206<br />
Spannung ................................. 181, 182, 183<br />
spektrale spezifische Ausstrahlung ........... 194<br />
spektrale Zusammensetzung .................... 194<br />
spezifische Ausstrahlung .......................... 194<br />
spezifische Wärmekapazität ..................... 184<br />
spezifische Wärmeleitfähigkeit .......... 188, 200<br />
spezifischer Wärmewiderstand ................. 195<br />
stationärer Wärmetransport ...................... 187<br />
Strahlungsaustauschkoeffizient ................ 193<br />
Strahlungsgesetz ...................................... 192<br />
Strahlungskoeffizient ........................ 190, 193<br />
Strahlungsleistung .................................... 194<br />
Strahlungsspektren ................................... 194<br />
Stromverbraucher ..................... 217, 219, 221<br />
Temperatureinheiten ................................. 177<br />
temperaturunabhängiger Massstab .......... 181<br />
thermische Ausdehnung ........................... 178<br />
thermische Energie ................................... 184<br />
Transmission ............................................ 191<br />
transportierte Masse pro Zeit .................... 199<br />
transportiertes Volumen pro Zeit ............... 199<br />
U-Wert ...................................................... 200<br />
Verschiebungsgesetz ............................... 194<br />
Volumenausdehnung ................................ 178<br />
Volumenausdehnung in einem Gefäss ..... 178<br />
Volumentransport ..................................... 199<br />
Wand ........................................ 201, 202, 203<br />
Wärme abstrahlender Körper .................... 206<br />
Wärmeausdehnung .................................. 178<br />
Wärmedämmwert ..................................... 200<br />
Wärmedurchgang ............................. 187, 195<br />
Wärmedurchgangskoeffizient ................... 200<br />
Wärmedurchgangswiderstand .................. 195<br />
Wärmeenergie .......................................... 184<br />
Wärmekapazität ........................................ 184<br />
Wärmeleitfähigkeit ............................ 188, 200<br />
Wärmeleitung ............................ 187, 188, 201<br />
Wärmeleitwiderstand ................................ 188<br />
Wärmeleitzahl ................................... 188, 200<br />
Wärmestrahlung ....................... 187, 190, 206<br />
Wärmestrahlungswiderstand .................... 190<br />
Wärmestrom durch Materie ...................... 199<br />
Wärmestrom durch Oberflächen ............... 198<br />
Wärmestromdichte .................................... 198<br />
Wärmeströmung ....................... 187, 189, 206<br />
Wärmeströmungswiderstand .................... 189<br />
Wärmetransport ................................ 187, 207<br />
Wärmeübergang ............................... 187, 195<br />
Wärmeübergangskoeffizient ..................... 189<br />
Wärmeübertragungsarten ......................... 187<br />
Wärmeübertragungskoeffizient ......... 190, 193<br />
Wärmewiderstand ..................................... 195<br />
Wasserkühlung ......................................... 199<br />
Wasserwert ............................................... 185<br />
wiensches Verschiebungsgesetz .............. 194<br />
Zug ........................................... 181, 182, 183<br />
αK .............................................................. 189<br />
αS ...................................................... 190, 193<br />
λ 188, 200<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 9
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Grundlagen Editiert: 21.02.2011<br />
1 Grundlagen<br />
1.1 Differentiation von Vektoren<br />
r i : Komponenten des Vektoren<br />
e : Einheitsvektoren<br />
i<br />
rx <br />
r r<br />
<br />
y <br />
r z <br />
dr dr dr dr<br />
<br />
dt dt dt dt<br />
x y<br />
z<br />
ex ey ez<br />
1.2 Integration von Vektoren<br />
vit : Komponenten des Vektoren<br />
e : Einheitsvektoren<br />
i<br />
<br />
<br />
<br />
vxt <br />
<br />
v t vyt v t <br />
z <br />
<br />
<br />
v t dt e v t dt e v t dt e v t dt<br />
x x y y z z<br />
1.3 quadrieren von Vektoren<br />
vit : Komponenten des Vektoren<br />
vx <br />
v v<br />
<br />
y <br />
v z <br />
2 2 2 2 2<br />
x y <br />
z<br />
v v v v v<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 10
in einem Material<br />
im Vakuum<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2 Optik<br />
2.1 Reflexion<br />
2.2 Dispersion<br />
2.3 Brechungsindex<br />
n : Brechungsindex Brechungsindex<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit im Medium<br />
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums<br />
r<br />
: magnetische Feldkonstante des Materials<br />
r<br />
c<br />
n <br />
v<br />
p<br />
n r r<br />
n 1<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 11<br />
m s -1<br />
Materialkonstanten
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.4 Brechung<br />
2.4.1 Brechungsgesetz<br />
n ε und μ<br />
1 : Winkel zwischen einfallendem oder reflektiertem Stahl und Lot °<br />
n : Brechungsindex<br />
1<br />
v 1 : Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit m s -1<br />
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums<br />
1<br />
: magnetische Feldkonstante des Materials<br />
1<br />
a : Winkel zwischen gebrochenen Strahl und Lot °<br />
2<br />
n : Brechungsindex<br />
2<br />
v 2 : Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit m s -1<br />
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums<br />
2<br />
: magnetische Feldkonstante des Materials<br />
2<br />
<br />
<br />
sin 1 n2v1 22 <br />
sin a n v <br />
<br />
a<br />
2 1 2 1 1<br />
<br />
sin a n <br />
2 2<br />
1 arcsin<br />
<br />
n1<br />
<br />
<br />
sin n <br />
1 1<br />
2 arcsin<br />
<br />
n2<br />
<br />
Medium 1<br />
Medium 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 12
Ebene<br />
Lichtwellenleiter<br />
Lichtquelle unter<br />
Wasser<br />
Prisma<br />
beliebige Materialien<br />
Glas (n1 = 1.5) und<br />
Luft (n2 = 1)<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.4.2 Totalreflexion<br />
Grenz : Winkel der Totalreflexion, gemessen zur brechenden Fläche °<br />
: Winkel der Totalreflexion, gemessen zum Lot °<br />
<br />
1<br />
GrenzGlas<br />
n : Brechungsindex vom optisch dichteren Medium<br />
n : Brechungsindex vom optisch dünneren Medium<br />
2<br />
n 2<br />
Grenz 90 arcsin<br />
n2 n1<br />
n1<br />
<br />
GrenzGlas<br />
1 <br />
<br />
arcsin 41.81<br />
1.5 <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 13
Bedeutung<br />
Berechnung<br />
Glas<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.4.3 Brewsterwinkel<br />
B : Winkel zwischen einfallendem oder reflektiertem Stahl und Lot °<br />
n : Brechungsindex von Medium 1<br />
1<br />
n : Brechungsindex von Medium 2<br />
2<br />
Er gibt den Winkel an, bei dem von einfallendem, unpolarisiertem Licht nur die senkrecht zur<br />
Einfallsebene (d. h. parallel zur Grenzfläche) polarisierten Anteile reflektiert werden. Das reflektierte Licht<br />
ist dann linear polarisiert.<br />
<br />
n 2<br />
B arctan<br />
<br />
n1<br />
BGlas<br />
<br />
1.55 arctan 57.17<br />
1 <br />
2.4.4 Brechung an einer planparallelen Platte<br />
s : parallele Verschiebung des Stahles m<br />
d : Dicke der Platte m<br />
: Winkel zwischen einfallendem Strahl und Lot °<br />
n : Brechungsindex der Platte<br />
cos<br />
<br />
sdsin <br />
1 2 2<br />
n sin <br />
<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 14
nummerische<br />
Apertur<br />
optischer Weg<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.5 Lichtwellenleiter, LWL<br />
2.5.1 Aufbau<br />
2.5.2 Stufenindexfaser<br />
NA : nummerische Apertur<br />
: maximaler Einstrahlwinkel °<br />
0<br />
s : optischer Weg des direkten, schnellsten Strahls m<br />
min<br />
s max : optischer Weg des total reflektierten, langsamsten Strahls m<br />
l : Länge des Lichtwellenleiters m<br />
n : Brechungsindex vom Aussenmedium<br />
0<br />
n : Brechungsindex Kern<br />
1<br />
n : Brechungsindex Mantel<br />
2<br />
2 2<br />
0 sin<br />
0 1 2<br />
NA n n n<br />
2 2<br />
n1 n <br />
2<br />
0<br />
arcsin<br />
<br />
n <br />
smin l<br />
n<br />
1 smaxl n2<br />
0 <br />
Andere<br />
Abmessungen<br />
Materialkonstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 15
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.5.3 Gradientenfaser<br />
2.5.4 Monomodefaser<br />
2.5.5 Streuverlust<br />
Mit zunehmender Wellenlänge nimmt der Streuverlust ab. Verunreinigung, z.B. OH-lonen, die bei der<br />
Faserherstellung in die Faser gelangen, absorbieren das Licht bei verschiedenen Wellenlängen. Bedingt<br />
durch die OH-Absorptionsspitzen gibt es Dämpfungsspitzen (bei ca. 950, 1.200 und 1.400 nm) und<br />
günstige Wellenlängenbereiche, die auch Fenster oder Arbeitswellenlängenbereiche genannt werden.<br />
Folgende Fenster (Wellenlängenbereiche) werden heute zur optischen leistungs- gebundenen<br />
Signalübertragung mittels LWL-Systemen genutzt:<br />
1. Fenster 850 nm<br />
2. Fenster 1.300 nm<br />
3. Fenster 1.550 nm<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 16
allgemeine Situation<br />
symmetrischer<br />
Strahlengang<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.6 Prisma<br />
; <br />
1 1 2 2 1 2<br />
<br />
1 2<br />
1 <br />
<br />
2 2<br />
n <br />
arcsin sin sin cos sin <br />
sin<br />
n <br />
sin<br />
1 1 1<br />
1<br />
: minimaler Ablenkungswinkel °<br />
2 arcsin nsin <br />
2 <br />
; <br />
2 2 2<br />
<br />
sin <br />
2 2<br />
n <br />
<br />
sin <br />
2 <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 17
Berechnung<br />
Strahlengang<br />
Situationen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.7 Spiegel<br />
2.7.1 Hohlspiegel, Konkavspiegel<br />
M : Krümmungsmittelpunkt, Radius<br />
F : Brennpunkt<br />
G : Gegenstandspunkt<br />
B : Bildpunkt<br />
f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt m<br />
g : Abstand optischer Mittelpunkt zu Gegenstandspunkt (horizontal) m<br />
b : Abstand optischer Mittelpunkt zu Bildpunkt (horizontal) m<br />
y : Abstand optische Achse zu Bildpunkt (vertikal) m<br />
B<br />
y G : Abstand optische Achse zu Gegenstandspunkt (vertikal) m<br />
: Abbildungsverhältnis von Gegenstand zu Bild<br />
β > 0: Bild aufrecht; β < 0: Bild invertiert<br />
virtuelle Abstände sind negativ<br />
M<br />
f <br />
2<br />
1 1 1<br />
<br />
f g b<br />
b y<br />
<br />
g y<br />
B<br />
G<br />
Situation Bildeigenschaften<br />
g > M reell verkleinert invertiert<br />
g = M reell 1:1 invertiert<br />
M > g > f reell vergrössert invertiert<br />
g = f reell ∞ invertiert<br />
g < f virtuell vergrössert aufrecht<br />
Punkte<br />
Abstände<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 18
Berechnung<br />
Strahlengang<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.7.2 Wölbspiegel, Konvexspiegel<br />
es gelten die gleichen Formeln wie beim Konkavspiegel, jedoch ist der Abstand optischer Mittelpunkt<br />
zu Brennpunkt f negativ.<br />
2.7.3 Parabolspiegel<br />
a<br />
<br />
f x ax 1 <br />
F x y F 0 4a<br />
<br />
2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 19
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.8 menschliches Auge<br />
(Myopie: Kurzsichtigkeit ; Hyperopie: Weitsichtigkeit)<br />
2.9 Linsen<br />
2.9.1 Linsenarten<br />
2.9.2 Brennweite<br />
f : Brennweite der Linse m<br />
n : Brechungsindex des Linsenmaterials<br />
r, r : Krümmungsradien der Linse m<br />
1 2<br />
1 11 n 1 <br />
f r r<br />
1 2 <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 20
mehrere Strahlen<br />
einzelne Strahlen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.9.3 Brechkraft<br />
f : Brennweite der Linse m<br />
D : Brechkraft der Linse dpt<br />
[D] = m -1<br />
1<br />
D <br />
f<br />
2.9.4 Sammellinse, Konvexlinse<br />
2.9.4.1 Strahlengang<br />
Achsenparalleler Strahl wird Brennstrahl:<br />
Mittelpunktstrahl geht ungebrochen hindurch:<br />
Brennstrahl wird achsenparalleler Strahl:<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 21
Strahlengang<br />
Situationen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.9.4.2 Abbildungen<br />
Situation Bildeigenschaften<br />
g > 2f reell verkleinert invertiert<br />
g = 2f reell 1:1 invertiert<br />
f < g < 2f reell vergrössert invertiert<br />
g = f kein Bild (geht ins unendliche)<br />
g < f virtuell vergrössert aufrecht<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 22
mehrere Strahlen<br />
einzelne Strahlen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.9.4.3 Abbildungsgleichung<br />
f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt m<br />
g : Abstand optischer Mittelpunkt zu Gegenstandspunkt (horizontal) m<br />
b : Abstand optischer Mittelpunkt zu Bildpunkt (horizontal) m<br />
y : Abstand optische Achse zu Bildpunkt (vertikal) m<br />
B<br />
y G : Abstand optische Achse zu Gegenstandspunkt (vertikal) m<br />
: Abbildungsverhältnis<br />
β > 0: Bild aufrecht; β < 0: Bild invertiert<br />
virtuelle Abstände sind negativ<br />
1 1 1<br />
<br />
f g b<br />
b y<br />
<br />
g y<br />
B<br />
G<br />
2.9.5 Zerstreuungslinse, Konkavlinse<br />
2.9.5.1 Strahlengang<br />
Achsenparalleler Strahl wird Brennstrahl:<br />
Mittelpunktstrahl geht ungebrochen hindurch:<br />
Brennstrahl wird achsenparalleler Strahl:<br />
Abstände<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 23
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.9.5.2 Abbildungen<br />
Das Bild ist stets verkleinert, aufrecht und virtuell. Die Brennweite (virtuell) ist bei der<br />
Zerstreuungslinse immer negativ.<br />
2.9.6 Linsenfehler, Abbildungsfehler<br />
Sphärische Abberation: nicht alle Lichtstrahlen vereinigen sich hinter der Linse in einem Punkt.<br />
2.10 Linsensysteme<br />
2.10.1 Linsen in engem Kontakt<br />
f Ges : Gesamtbrennweite m<br />
f : Brennweite der ersten Linse m<br />
1<br />
f : Brennweiter der zweiten Linse m<br />
2<br />
1 1 1<br />
<br />
f f f<br />
Ges<br />
1 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 24
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.10.2 beliebige Linsensysteme<br />
G B<br />
f1 f1’ f2 f2’<br />
G : Gegenstandspunkt<br />
Z : Zwischenbildpunkt<br />
B : Bildpunkt<br />
F : Brennpunkt der ersten Linse<br />
1<br />
F : Brennpunkt der zweiten Linse<br />
2<br />
f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt (erste Linse) m<br />
1<br />
f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt (zweite Linse) m<br />
2<br />
g : Abstand optischer Mittelpunkt von erster Linse zu Gegenstandspunkt m<br />
1<br />
g : Abstand optischer Mittelpunkt von zweiter Linse zu Zwischenbildpunkt m<br />
1<br />
2<br />
b : Abstand optischer Mittelpunkt zu Zwischenbildpunkt (erste Linse) m<br />
b 2 : Abstand optischer Mittelpunkt zu Bildpunkt (zweite Linse) m<br />
: Abbildungsverhältnis von Gegenstand zu Bild<br />
1 : Abbildungsverhältnis von Gegenstand zu Zwischenbild<br />
: Abbildungsverhältnis von Zwischenbild zu Bild<br />
2<br />
β > 0: Bild aufrecht; β < 0: Bild invertiert<br />
virtuelle Abstände sind negativ<br />
1 1 1<br />
<br />
b f g<br />
1 1 1<br />
g db 2 1<br />
1 1 1<br />
<br />
b f g<br />
2 2 2<br />
g1<br />
b 1 b 2<br />
12 <br />
g g<br />
1 2 <br />
d<br />
F1 F1’ F2 F2’<br />
b1<br />
Z<br />
Punkte<br />
Abstände<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 25<br />
g2<br />
b2
Lichtstrom<br />
Beleuchtungsstärke<br />
einzelne Fläche<br />
mehrere Flächen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.11 Fotometrie<br />
2.11.1 Grundgrössen<br />
Bezeichnung Symbol Einheit Bedeutung<br />
Lichtstrom <br />
Lumen<br />
lm = cd sr<br />
pro Sekunde abgestrahlte Leistung im<br />
Wellenbereich des sichtbaren Lichts<br />
Lichtstärke I<br />
Candela<br />
cd = lm sr -1<br />
Lichtstrom, der in einem bestimmten<br />
Raumwinkel ausgestrahlt wird<br />
Beleuchtungsstärke E<br />
Lux<br />
lx = lm m -2<br />
Lichtstrom, der auf einer bestimmten<br />
Fläche auf einem Empfänger auftrifft<br />
Leuchtdichte L<br />
cd m -2<br />
= lm sr m -2<br />
Lichtstrom, der von einer bestimmten<br />
Fläche ausgestrahlt wird<br />
ANSI-Lumen<br />
Lumen<br />
lm = cd sr<br />
Lichtgrösse eines Beamers in Richtung<br />
Leinwand, der über ein genormtes<br />
Verfahren gemessen wird<br />
2.11.2 Umrechnungen<br />
1 lm 1.464 mW bei einer Wellenlänge von 555 nm<br />
2<br />
1 lx 1.464 mW m <br />
bei einer Wellenlänge von 555 nm<br />
2.11.3 Raumwinkel<br />
: Raumwinkel sr<br />
A : Kugeloberfläche m 2<br />
r : Kugelradius m<br />
: Öffnungswinkel des Kugelausschnitts °<br />
: horizontaler Öffnungswinkel rad<br />
x<br />
: vertikaler Öffnungswinkel rad<br />
y<br />
w x : Länge m<br />
w : Breite m<br />
y<br />
h : Höhe m<br />
Kugel<br />
Pyramide<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 26
eliebig<br />
Vollkugel<br />
Halbkugel<br />
Kugelausschnitt<br />
Pyramide<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
A<br />
2<br />
r<br />
4 <br />
2 <br />
<br />
2 1cos <br />
2 <br />
xy 4 arcsin sin sin<br />
Rechner auf Rad<br />
wx w <br />
y<br />
4 arctan Rechner auf Rad<br />
2 2 2<br />
2h4hwx w <br />
y <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 27
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.11.4 Empfänger, Detektor<br />
2.11.4.1 Lichtstärke<br />
I v : vertikale Lichtstärke cd<br />
v : vertikaler Lichtstrom lm<br />
: Raumwinkel sr<br />
v Iv <br />
<br />
<br />
2.11.4.2 Raumwinkel<br />
: Raumwinkel sr<br />
A d : Empfängeroberfläche (bestrahlte Fläche) m 2<br />
d : Winkel zwischen Blickrichtung des Empfängers und Senders<br />
r : Abstand zwischen Empfänger und Sender m<br />
<br />
A cos <br />
r<br />
d d<br />
2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 28
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.11.4.3 Beleuchtungsstärke<br />
E v : vertikale Beleuchtungsstärke lx<br />
: vertikaler Lichtstrom lm<br />
v<br />
A d : Empfängeroberfläche (bestrahlte Fläche) m 2<br />
I v : vertikale Lichtstärke cd<br />
: Raumwinkel sr<br />
r : Abstand zwischen Empfänger und Sender m<br />
E<br />
E<br />
E<br />
v<br />
v<br />
v<br />
<br />
<br />
A<br />
v<br />
d<br />
Iv<br />
<br />
<br />
A<br />
I<br />
<br />
r<br />
v<br />
2<br />
d<br />
E : mittlere Beleuchtungsstärke lx<br />
: Winkel zwischen Blickrichtung des Empfängers und Senders<br />
d<br />
<br />
I cos E <br />
r<br />
v d<br />
2<br />
2.11.4.4 Belichtung<br />
H : Belichtung lx s<br />
E : Beleuchtungsstärke lx<br />
t : Zeit s<br />
H E t<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 29
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Optik Editiert: 21.02.2011<br />
2.11.5 Sender, Quelle<br />
2.11.5.1 spezifische Lichtausstrahlung<br />
M : spezifische Lichtausstrahlung lx<br />
: Lichtstrom lm<br />
A s : Senderoberfläche (strahlende Fläche) m 2<br />
<br />
M <br />
A<br />
s<br />
2.11.5.2 Leuchtdichte<br />
L : Leuchtdichte cd m -2<br />
I : vertikale Lichtstärke cd<br />
v<br />
A s : Senderoberfläche (strahlende Fläche) m 2<br />
: Winkel zwischen Blickrichtung des Senders und Empfängers<br />
s<br />
Iv<br />
L <br />
A cos <br />
s s<br />
2.11.6 fotometrisches Grundgesetz<br />
: Lichtstrom lm<br />
L : Leuchtdichte cd m -2<br />
A s : Senderoberfläche (strahlende Fläche) m 2<br />
A d : Empfängeroberfläche (bestrahlte Fläche) m 2<br />
: Winkel zwischen Blickrichtung des Senders und Empfängers<br />
s<br />
d : Winkel zwischen Blickrichtung des Empfängers und Senders<br />
: Raumwinkel sr<br />
r : Abstand zwischen Empfänger und Sender m<br />
s cos s d cos<br />
d <br />
L A A <br />
<br />
2<br />
r<br />
2.11.7 Reflexionsgrad<br />
E : mittlere Beleuchtungsstärke lx<br />
: mittlerer Reflexionsgrad des Umfelds<br />
M : spezifische Lichtausstrahlung lx<br />
L : Leuchtdichte cd m -2<br />
E M L<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 30
Weg-Zeit-Diagramm<br />
und Winkel-Zeit-<br />
Diagramm<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3 Kinematik<br />
3.1 Grundbegriffe<br />
3.1.1 Umrechnungen<br />
1km<br />
m 1000 3600km km<br />
1 1 1 3.6<br />
s 1h 1000h h<br />
3600<br />
km 1000m 10m m<br />
1 0.278<br />
h 3600s 36s s<br />
3.1.2 Relationen<br />
Für die Momentan(winkel)geschwindigkeit gilt:<br />
gleich Null bei lokalem Maximum oder lokalem Minimum (schwarz)<br />
positives Maximum bei Wendepunkt von Links- zu Rechtskurve (grün)<br />
negatives Maximum bei Wendepunkt von Rechts- zu Linkskurve (rot)<br />
Für die Momentan(winkel)beschleunigung gilt:<br />
gleich Null bei Wendepunkt<br />
positiv bei Linkskurve<br />
negativ bei Rechtskurve<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 31
(Winkel)geschwindig<br />
keits-Zeit-Diagramm<br />
Funktionsmässig<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
Für die Momentan(winkel)beschleunigung gilt:<br />
gleich Null bei lokalem Maximum oder lokalem Minimum (schwarz)<br />
positives Maximum bei Wendepunkt von Links- zu Rechtskurve (grün)<br />
negatives Maximum bei Wendepunkt von Rechts- zu Linkskurve (rot)<br />
3.2 geradlinige Bewegungen<br />
3.2.1 Ableitung und Integral<br />
st , r t : Wegfunktion m<br />
r i : Komponenten der Wegfunktion m<br />
r , r : Startpunkt m<br />
0 0<br />
r : Komponenten des Startpunkts m<br />
0i<br />
vt , v t : Geschwindigkeitsfunktion m s -1<br />
v i : Komponenten der Geschwindigkeitsfunktion m s -1<br />
v , v : Anfangsgeschwindigkeit m s -1<br />
0 0<br />
v 0i : Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit m s -1<br />
at , at : Beschleunigungsfunktion m s -2<br />
a i : Komponenten der Beschleunigungsfunktion m s -2<br />
2<br />
ds dv d s<br />
<br />
v t t a t t a t t 2<br />
dt dt dt<br />
t1 t1 t1 t1<br />
Strecke<br />
<br />
<br />
s t v t dt v t a t dt s t a t dt<br />
t0 t0 t0 t0<br />
t1 t1 t1 t1<br />
<br />
<br />
0 0 0 0<br />
t0 t0 t0 t0<br />
Geschwindigkeit<br />
Beschleunigung<br />
s t r v t dt v t v a t dt s t r v a t dtdt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 32
vektoriell<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
x y<br />
T<br />
z <br />
x y<br />
T<br />
z <br />
x y z <br />
r t r r r<br />
v t v v v<br />
a t a a a<br />
T<br />
dr dr dr<br />
x y dr z<br />
v t t t t t <br />
dt dt dt dt <br />
dv dv dv<br />
x y dv z<br />
a t t t t t <br />
dt dt dt dt <br />
2 2<br />
T<br />
2 <br />
2<br />
dr dr dr<br />
x y drz<br />
a t 2 t 2 t 2 t 2 t <br />
dt <br />
<br />
dt dt dt <br />
<br />
t r 1 0x<br />
t1 <br />
r t r0 v t dt <br />
<br />
r0y vx t dt t0 t0 r <br />
0z<br />
<br />
t1 v y t dt t0 T<br />
t1<br />
<br />
v<br />
z t dt<br />
<br />
<br />
t0<br />
<br />
t v 1 0x<br />
t1 <br />
v t v0 a t dt <br />
<br />
v0y ax t dt t0 t0 v <br />
0z<br />
<br />
t1 ay t dt t0 t1<br />
<br />
az t dt<br />
<br />
<br />
t0<br />
<br />
<br />
<br />
t1 t1<br />
r t r v a t dtdt<br />
0 0<br />
t t<br />
0<br />
0<br />
r0<br />
x t1 t1 t1 t1 t1 t1<br />
<br />
r t r v a t dtdt v a t dtdt v a t dtdt <br />
0 y 0x x 0 y y 0z<br />
z<br />
<br />
t0 t0 t0 t0 t0 t0<br />
r <br />
0z<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
T<br />
<br />
<br />
3.2.2 Durchschnittswerte<br />
r : Wegänderung m<br />
ri<br />
:<br />
v<br />
vi<br />
v<br />
Komponenten der Wegänderung m<br />
: Geschwindigkeitsänderung m s -1<br />
: Komponenten der Geschwindigkeitsänderung m s -1<br />
: durchschnittliche Geschwindigkeit m s -1<br />
vi: Komponenten der durchschnittlichen Geschwindigkeit m s -1<br />
a : durchschnittliche Beschleunigung m s -2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 33<br />
T<br />
Strecke<br />
ai: Komponenten der durchschnittlichen Beschleunigung m s -2<br />
t : Zeitänderung t Zeit<br />
r<br />
T rr x y r<br />
z<br />
v vx vy vz <br />
t t t t<br />
<br />
v<br />
T vv x y v<br />
z<br />
a a x ay az <br />
t t t t<br />
<br />
T<br />
T<br />
T<br />
Geschwindigkeit<br />
Beschleunigung
allgemein<br />
Formeln<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.2.3 gleichförmige Bewegung<br />
<br />
s, s t : zurückgelegte Strecke m<br />
s 0 : Startpunkt m<br />
<br />
v, v t : Geschwindigkeit m s -1<br />
at : Beschleunigung m s -2<br />
t : Zeit s<br />
: Anstieg der s-t-Kurve<br />
<br />
<br />
<br />
s t s v t<br />
0<br />
v t const.<br />
a t<br />
0<br />
s<br />
v <br />
t<br />
v tan<br />
s vt s<br />
t <br />
v<br />
<br />
Strecke<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 34
allgemein<br />
ohne Anfangsgeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.2.4 gleichmässig beschleunigte Bewegung<br />
<br />
s, s t : zurückgelegte Strecke m<br />
s 0 : Startpunkt m<br />
<br />
v, v t : Geschwindigkeit nach der Zeit t m s -1<br />
v 0 : Anfangsgeschwindigkeit m s -1<br />
v : mittlere Geschwindigkeit m s -1<br />
<br />
a, a t : Beschleunigung m s -2<br />
t : Zeit s<br />
1<br />
s t s0 v0t a t<br />
2<br />
v t v a t<br />
<br />
<br />
0<br />
a t const.<br />
v at 2a s<br />
v<br />
s<br />
a<br />
t<br />
tan <br />
s<br />
t<br />
vt 2<br />
v<br />
t<br />
v<br />
a<br />
v<br />
t<br />
at 2<br />
2 s<br />
2<br />
t<br />
2<br />
2 s<br />
a<br />
2<br />
2 s<br />
t<br />
2<br />
v<br />
2 a<br />
2<br />
v<br />
2 s<br />
2 s<br />
v<br />
Strecke<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 35
mit Anfangsgeschwindigkeit<br />
allgemein<br />
ohne Anfangsgeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
v<br />
v<br />
0<br />
2<br />
v0 a t v 2<br />
a s<br />
v0 v<br />
2<br />
at v0<br />
<br />
2<br />
2<br />
v 2<br />
a s<br />
v v a t<br />
s v v<br />
t<br />
a<br />
0 <br />
t<br />
<br />
2<br />
at v0t 2<br />
2 s<br />
v v<br />
vv0 a<br />
0<br />
vv t<br />
3.2.5 freier Fall<br />
<br />
0<br />
0<br />
v v<br />
2<br />
s<br />
2 2<br />
0<br />
2<br />
s<br />
t<br />
2<br />
2 v 2 v 8<br />
a s<br />
0 0<br />
2a h, h t : Höhe m<br />
h 0 : Starthöhe m<br />
v : Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t m s -1<br />
v 0 : Anfangsgeschwindigkeit m s -1<br />
v : mittlere Fallgeschwindigkeit m s -1<br />
<br />
at : Beschleunigung m s -2<br />
Höhen<br />
Geschwindigkeiten<br />
g : Fallbeschleunigung<br />
9.81 m s<br />
Beschleunigungen<br />
-2<br />
t : Zeit die für den Fall benötigt wird s Zeit<br />
1<br />
ht h0 v0t g t<br />
2<br />
v t v g t<br />
<br />
<br />
0<br />
a t g<br />
v g t 2g h<br />
v<br />
h<br />
t<br />
g<br />
s<br />
t<br />
vt 2<br />
v<br />
g<br />
v<br />
t<br />
gt 2<br />
2 h<br />
v<br />
2<br />
2 h<br />
2<br />
t<br />
2<br />
2 h<br />
t<br />
2<br />
v<br />
2 g<br />
2 h<br />
g<br />
2<br />
v<br />
2 h<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 36
mit Anfangsgeschwindigkeit<br />
Fallgeschwindigkeit<br />
Fallhöhe<br />
Geschwindigkeit<br />
Höhe<br />
maximale Höhe<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
v<br />
2<br />
v0 g t v 2<br />
g h<br />
v<br />
v0 v<br />
2<br />
gt v0<br />
<br />
2<br />
v 0 v g t<br />
2<br />
v 2<br />
g h<br />
h v v<br />
t<br />
g<br />
0<br />
0<br />
<br />
2 h<br />
v v<br />
vv t<br />
0<br />
t<br />
2<br />
0<br />
gt v0t 2<br />
vv g<br />
0<br />
v v<br />
2<br />
h<br />
2 2<br />
0<br />
3.2.6 senkrechter Wurf nach unten<br />
2<br />
h<br />
t<br />
2<br />
2 v 2 v 8<br />
g h<br />
0 0<br />
2g v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1<br />
v : Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t m s -1<br />
g : Fallbeschleunigung<br />
9.81 m s -2<br />
h : Fallhöhe die während der Zeit t durchflogen wird m<br />
t : Zeit die für den Fall benötigt wird s<br />
v v g t<br />
0<br />
v v 2<br />
g h<br />
2<br />
0<br />
t<br />
h v0 v<br />
<br />
2<br />
1<br />
h v0 t g t<br />
2<br />
2<br />
3.2.7 senkrechter Wurf nach oben<br />
ht : Höhe m<br />
h max : maximale Steighöhe m<br />
h : Abwurfhöhe m<br />
0<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere<br />
Höhen<br />
v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1<br />
g : Fallbeschleunigung 9.81 m s -2 Andere<br />
t max : Zeit zum erreichen der maximalen Steighöhe s<br />
vt v0 g t<br />
1<br />
ht v t g t h<br />
2<br />
v<br />
h h<br />
2 g<br />
t<br />
2<br />
0 0<br />
max <br />
2<br />
0 0<br />
max<br />
v0<br />
<br />
g<br />
Geschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 37
vektorielle Form<br />
Distanzen<br />
Wurfbahngleichung<br />
Bahngeschwindigkeit<br />
Flugzeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.3 Bewegungen im Raum<br />
3.3.1 waagrechter Wurf<br />
rt : Position m<br />
rxt : horizontale Position m<br />
ryt : vertikale Position m<br />
<br />
<br />
x, x t : Wurfweite m<br />
y, y t : Wurftiefe m<br />
h 0 : Abwurfhöhe m<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
<br />
<br />
v , v t : horizontale Geschwindigkeit m s -1<br />
x x<br />
v , v t : vertikale Geschwindigkeit m s -1<br />
y y<br />
vit : Komponenten der Geschwindigkeit m s -1<br />
v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1<br />
v B : Bahngeschwindigkeit m s -1<br />
t : Flugzeit s<br />
: Richtung (Winkel) der Bahngeschwindigkeit °<br />
g : Fallbeschleunigung 9.81 m s -2<br />
Positionsvektor Geschwindigkeitsvektor<br />
2<br />
t<br />
r t r0 v0tg 2<br />
2<br />
rxt 0 vx 0 t<br />
t<br />
ryt <br />
h<br />
<br />
0 0 g<br />
2<br />
v t v0 g t<br />
vxt vx<br />
vyt 0<br />
0<br />
g<br />
<br />
x t vt <br />
y t<br />
0<br />
gt <br />
2<br />
gx y f x<br />
<br />
2<br />
v<br />
2<br />
v v v<br />
2 2<br />
B x y<br />
v v g t<br />
B<br />
2<br />
2<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2 2<br />
v v 2<br />
g y<br />
B<br />
t <br />
2<br />
0<br />
2 y<br />
g<br />
<br />
t<br />
<br />
Distanzen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 38
Richtung<br />
vektorielle Form<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
gt arctan <br />
v<br />
0 <br />
2 gy <br />
arctan <br />
<br />
<br />
v <br />
0 <br />
3.3.2 schiefer Wurf vom Boden ausgehend<br />
rt : Position m<br />
rxt : horizontale Position m<br />
ryt : vertikale Position m<br />
<br />
x, x t : Wurfweite m<br />
y, yt ,<br />
h : Wurfhöhe m<br />
x max : maximale Wurfweite, Aufprallpunkt m<br />
y : maximale Wurfhöhe m<br />
max<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
<br />
<br />
v , v t : horizontale Geschwindigkeit m s -1<br />
x x<br />
v , v t : vertikale Geschwindigkeit m s -1<br />
y y<br />
v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1<br />
v B : Bahngeschwindigkeit m s -1<br />
t : Flugzeit s<br />
t : Flugzeit bis zum Aufprall s<br />
x max<br />
t : Flugzeit bis zur maximalen Wurfhöhe s<br />
y max<br />
: Abwurfwinkel °<br />
: Abwurfwinkel für maximale Reichweite °<br />
Distanzen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Zeiten<br />
Winkel<br />
max<br />
: Aufprallwinkel °<br />
g : Fallbeschleunigung 9.81 m s -2 Andere<br />
Positionsvektor Geschwindigkeitsvektor<br />
2<br />
t<br />
r t r0 v0tg 2<br />
2<br />
rxt 0v0cos00 t<br />
t<br />
ryt <br />
0 v0 sin<br />
<br />
0<br />
g<br />
2<br />
v t v0 g t<br />
vxt v0<br />
0<br />
y <br />
0 sin 0<br />
<br />
<br />
cos 0 <br />
t<br />
v t <br />
v<br />
<br />
g <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 39
Distanzen<br />
Wurfbahngleichung<br />
Bahngeschwindigkeit<br />
Flugzeiten<br />
Aufprallwinkel<br />
maximale Reichweite<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
cos<br />
<br />
x t v t<br />
max<br />
0<br />
gt yt v0 t sin <br />
2<br />
2<br />
v0<br />
sin 2 <br />
xmax<br />
<br />
g<br />
y<br />
<br />
v0 sin<br />
<br />
2 g<br />
2<br />
gx y f x x tan<br />
<br />
2vcos v v v<br />
2 2<br />
B x y<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
v v 2 v g t sin g t<br />
B<br />
v v cos<br />
x<br />
<br />
2 2 2<br />
0 0<br />
v v sin g t<br />
t<br />
y<br />
x max<br />
t<br />
y max<br />
2 v0sin <br />
g<br />
v0<br />
sin<br />
<br />
g<br />
<br />
vy arctan<br />
<br />
vx <br />
<br />
cos<br />
<br />
v0 sin 0 g t<br />
x max<br />
arctan<br />
<br />
v<br />
<br />
45 max<br />
0 0 <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 40
vektorielle Form<br />
Distanzen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.3.3 schiefer Wurf aus erhöhter Position<br />
rt : Position m<br />
rxt : horizontale Position m<br />
ryt : vertikale Position m<br />
<br />
<br />
x, x t : Wurfweite m<br />
y, y t : Wurfhöhe m<br />
x max : maximale Wurfweite, Aufprallpunkt m<br />
y : maximale Wurfhöhe m<br />
max<br />
hh , 0 : Abwurfhöhe m<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
<br />
<br />
v , v t : horizontale Geschwindigkeit m s -1<br />
x x<br />
v , v t : vertikale Geschwindigkeit m s -1<br />
y y<br />
v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1<br />
v B : Bahngeschwindigkeit m s -1<br />
v A : Aufprallgeschwindigkeit m s -1<br />
t : Flugzeit s<br />
t : Flugzeit bis zum Aufprall s<br />
x max<br />
t : Flugzeit bis zur maximalen Wurfhöhe s<br />
y max<br />
: Abwurfwinkel °<br />
: Abwurfwinkel für maximale Reichweite °<br />
Distanzen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Zeiten<br />
Winkel<br />
max<br />
: Aufprallwinkel °<br />
g : Fallbeschleunigung 9.81 m s -2 Andere<br />
Positionsvektor Geschwindigkeitsvektor<br />
2<br />
t<br />
r t r0 v0tg 2<br />
2<br />
rxt 0 v0cos0 0 t<br />
t<br />
ryt <br />
h0v0sin <br />
0 g 2<br />
v t v0 g t<br />
vxt v0<br />
0<br />
y <br />
0 sin 0<br />
cos<br />
<br />
x t v t<br />
max<br />
0<br />
gt yt h0 v0tsin <br />
2<br />
x<br />
max 0<br />
<br />
2 2<br />
<br />
v cos v sin v sin 2<br />
g h<br />
<br />
g<br />
y h <br />
v0 sin<br />
<br />
2<br />
0 0 0 0<br />
2 g<br />
2<br />
<br />
<br />
cos 0 <br />
t<br />
v t <br />
v<br />
<br />
g <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 41
Wurfbahngleichung<br />
Geschwindigkeiten<br />
Flugzeit<br />
Aufprallwinkel<br />
maximale Reichweite<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
2<br />
gx y f x x tan<br />
h<br />
2vcos v v v<br />
2 2<br />
B x y<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
<br />
v v 2 v g t sin g t<br />
B<br />
v v cos<br />
x<br />
<br />
2 2 2<br />
0 0<br />
v v sin g t<br />
y<br />
v v 2<br />
g h<br />
t<br />
A<br />
x max<br />
t<br />
y max<br />
2<br />
0 0<br />
2 2<br />
v sin v sin 2<br />
g h<br />
<br />
g<br />
0 0 0<br />
v0<br />
sin<br />
<br />
g<br />
<br />
vy arctan<br />
<br />
vx <br />
cos<br />
<br />
v0 sin g t<br />
x max<br />
arctan<br />
<br />
v<br />
<br />
<br />
max<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
arcsin<br />
<br />
2gh0<br />
<br />
2 2<br />
v <br />
0 <br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 42
funktionsmässig<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.4 Kreisbewegungen<br />
3.4.1 Ableitung und Integral<br />
t, t : Winkelfunktion rad<br />
i : Komponenten der Winkelfunktion rad<br />
, : Startwinkel rad<br />
0 0<br />
: Komponenten des Startwinkels rad<br />
0i<br />
t, t : Winkelgeschwindigkeitsfunktion rad s -1<br />
i :<br />
0, 0<br />
Komponenten der<br />
Winkelgeschwindigkeitsfunktion<br />
rad s -1<br />
: Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
i :<br />
t, t Komponenten der<br />
Anfangswinkelgeschwindigkeit<br />
rad s -1<br />
: Winkelbeschleunigungsfunktion rad s -2<br />
i :<br />
Komponenten der<br />
Winkelbeschleunigungsfunktion<br />
rad s -2<br />
Winkel<br />
d d d<br />
<br />
dt dt dt<br />
2<br />
<br />
t t t t t t <br />
t1 t1 t1 t1<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
Winkelbeschleunigung<br />
<br />
<br />
t t dt t t dt t t dt<br />
t0 t0 t0 t0<br />
t1 t1 t1 t1<br />
<br />
<br />
t t dt t t dt t t dtdt<br />
0 0 0 0<br />
t0 t0 t0 t0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 43<br />
2
vektoriell<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
t x y<br />
T<br />
z <br />
t x y z <br />
t x y z <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
T<br />
d<br />
ddd <br />
dt dt dt dt <br />
x y<br />
z<br />
t t t t t <br />
d<br />
ddd <br />
dt dt dt dt <br />
x y<br />
z<br />
t t t t t <br />
2 2<br />
T<br />
2 <br />
2<br />
d d d d <br />
2 2 2 2<br />
dt <br />
<br />
dt dt dt <br />
<br />
x y<br />
z<br />
t t t t t <br />
t 1 0x<br />
t1 <br />
t 0 t dt <br />
<br />
0y x t dt t0 t0 <br />
0z<br />
<br />
t1 y t dt t0 T<br />
t1<br />
<br />
<br />
z t dt<br />
<br />
<br />
t0<br />
<br />
t 1 0x<br />
t1 <br />
t 0 t dt <br />
<br />
0y x t dt t0 t0 <br />
0z<br />
<br />
t1 y t dt t0 T<br />
t1<br />
<br />
<br />
z t dt<br />
<br />
<br />
t0<br />
<br />
<br />
t <br />
t1 t1<br />
t t dtdt<br />
0 0<br />
t t<br />
0<br />
0<br />
0<br />
x t1 t1 t1 t1 t1 t1<br />
<br />
t dtdt t dtdt t dtdt <br />
0 y 0x x 0 y y 0z<br />
z<br />
<br />
t0 t0 t0 t0 t0 t0<br />
<br />
0z<br />
<br />
<br />
<br />
T<br />
T<br />
<br />
<br />
3.4.2 Durchschnittswerte<br />
: Winkeländerung rad<br />
i<br />
: Komponenten der Winkeländerung rad<br />
: Winkelgeschwindigkeitsänderung rad s -1<br />
i<br />
: Komponenten der Winkelgeschwindigkeitsänderung rad s -1<br />
: durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
i :<br />
Komponenten der durchschnittlichen<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
rad s -1<br />
: durchschnittliche Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
i :<br />
Komponenten der durchschnittlichen<br />
Winkelbeschleunigung<br />
rad s -2<br />
Winkel<br />
t : Zeitänderung t Zeit<br />
<br />
T x y <br />
z<br />
x y z <br />
t t t t<br />
<br />
<br />
T x y <br />
z<br />
x y z <br />
t t t t<br />
<br />
Winkelgeschwindigkeit<br />
Winkelbeschleunigung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 44<br />
T<br />
T<br />
T
Beschleunigungen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.3 Zusammenhänge<br />
at<br />
<br />
t : Winkel rad Winkel<br />
vt , v t : Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1<br />
t <br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
atan t :<br />
Zp <br />
Tangentialbeschleunigung,<br />
Bahnbeschleunigung<br />
Geschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 45<br />
m s -2<br />
a t : Zentripetalbeschleunigung m s -2<br />
at : Beschleunigung m s -2<br />
t <br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
r : Radius m<br />
<br />
r t : Richtungsvektor m<br />
tan<br />
Zp<br />
<br />
a t r t<br />
2 <br />
a t r t <br />
<br />
2<br />
v t<br />
2 2<br />
<br />
a t a t a t<br />
tan<br />
Zp<br />
rcos t <br />
r sin t <br />
<br />
<br />
<br />
sin<br />
t <br />
cos<br />
t <br />
<br />
sin<br />
t <br />
cos<br />
t <br />
r t<br />
t <br />
rt <br />
<br />
v t r t <br />
<br />
<br />
a t tan<br />
atan t <br />
aZp t <br />
r<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
a t r t t r t<br />
a t Zp<br />
Beschleunigungen<br />
Andere
Zusammenhänge<br />
eindimensional<br />
dreidimensional<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.4 Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft<br />
Die Zentripetalkraft zeigt bei einer Kreisbewegung zum Kreismittelpunkt. Die Zentrifugalkraft zeigt bei<br />
einer Kreisbewegung stets vom Kreismittelpunkt fort.<br />
FZp, F Zp : Zentripetalkraft N<br />
FZf, F Zf : Zentrifugalkraft N<br />
vv: , Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s<br />
: , Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
aZp, a Zp : Zentripetalbeschleunigung m s -2<br />
aZf, a Zf : Zentrifugalbeschleunigung m s -2<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
m : Masse des Teilchens kg<br />
rr: , Radius m<br />
vr ar 2<br />
v<br />
2<br />
r<br />
2<br />
<br />
F F<br />
Zp Zf<br />
a a<br />
Zp Zf<br />
2<br />
mv FZp FZf m a<br />
r<br />
2<br />
FZp FZf m r m r 2<br />
v<br />
aZp aZf <br />
r<br />
2<br />
aZp aZf r<br />
Zp<br />
Zp<br />
Zp<br />
<br />
<br />
F m r a r <br />
a r r<br />
Zf<br />
Zf<br />
Zf<br />
2<br />
F<br />
Zp<br />
2<br />
<br />
<br />
F m r a r <br />
a r r<br />
m<br />
v<br />
F Zf<br />
Kräfte<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 46
allgemein<br />
Formeln<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.5 gleichförmige Kreisbewegung<br />
, t : Drehwinkel rad<br />
0 : Startdrehwinkel rad<br />
v 0 : Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
, , t <br />
a zp :<br />
Zentripetalbeschleunigung,<br />
Radialbeschleunigung<br />
Drehwinkel<br />
Geschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 47<br />
m s -2<br />
a tan : Tangentialbeschleunigung m s -2<br />
t : Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
<br />
r :<br />
s :<br />
Radius<br />
Kreisbogen<br />
m<br />
m<br />
t : Zeit s<br />
T : Umlaufdauer s<br />
n : Drehzahl U s -1<br />
f : Drehfrequenz Hz<br />
N : Anzahl Umdrehungen<br />
<br />
<br />
t <br />
t t<br />
0<br />
t const.<br />
<br />
0<br />
t<br />
<br />
v 0<br />
<br />
t<br />
2r T<br />
<br />
s r <br />
t<br />
T<br />
<br />
<br />
1<br />
f<br />
a 2<br />
zp<br />
a tan 0<br />
r <br />
s<br />
r<br />
v0<br />
r<br />
s<br />
rt 2 f r r<br />
v0 t r t<br />
s<br />
v<br />
0<br />
1<br />
n<br />
s<br />
r<br />
2 N <br />
2 n 2 f<br />
Beschleunigungen<br />
Abmessungen<br />
Zeiten<br />
Andere<br />
2 <br />
T
allgemein<br />
ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.6 gleichmässig beschleunigte Kreisbewegung<br />
, t : Drehwinkel rad<br />
: Drehwinkeländerung rad Drehwinkel<br />
0 : Startdrehwinkel rad<br />
vv: , 0 Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1<br />
, t : Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit t rad s -1<br />
: mittlere Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
: Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
0, 0<br />
a zp :<br />
Zentripetalbeschleunigung,<br />
Radialbeschleunigung<br />
Geschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 48<br />
m s -2<br />
a tan : Tangentialbeschleunigung m s -2<br />
, , t : Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
t : Zeit s<br />
t : Zeitänderung s<br />
r : Radius m<br />
N : Anzahl Umdrehungen<br />
1<br />
t 0 0t t<br />
2<br />
t t<br />
<br />
<br />
0<br />
t const.<br />
<br />
<br />
<br />
t<br />
t<br />
2<br />
2 <br />
2<br />
t<br />
t<br />
2<br />
t 2 <br />
t<br />
a zp<br />
at 2<br />
2 <br />
<br />
2<br />
v<br />
r<br />
a r<br />
tan<br />
v r<br />
<br />
t<br />
<br />
<br />
2<br />
r t<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
<br />
2 <br />
2<br />
<br />
2 <br />
2 <br />
t<br />
2 <br />
<br />
2<br />
r <br />
2<br />
<br />
4N 2 N<br />
Beschleunigungen<br />
Zeit<br />
Andere
mit Anfangswinkelgeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
<br />
t<br />
<br />
0<br />
<br />
t<br />
2<br />
2 2<br />
0<br />
2 <br />
t<br />
0 t<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
0 t 2<br />
<br />
2 t 2<br />
<br />
0<br />
t<br />
0 2<br />
0 <br />
a 2<br />
zp<br />
a r<br />
tan<br />
r t<br />
0<br />
0<br />
t<br />
0<br />
<br />
2<br />
2 <br />
<br />
0<br />
2<br />
<br />
t<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 49
Kräfte<br />
Winkel<br />
Radius<br />
Geschwindigkeit<br />
Drehfrequenz<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Kinematik Editiert: 21.02.2011<br />
3.4.7 Karussell<br />
m<br />
FZp, F Zp : Zentripetalkraft des Sessels N<br />
FG, F G : Gewichtskraft des Sessels N<br />
FS, F S : Zugkraft im Seil N<br />
r : Radius des Karussells m<br />
R : Radius der Umlaufbahn m<br />
l : Seillänge m<br />
v : Geschwindigkeit eines Sessels m s -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit eines Sessels rad s -1<br />
: Winkel zwischen Vertikalen und Seil °<br />
f : Drehfrequenz Hz<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
mv R<br />
F mg 2<br />
2<br />
FZp m R<br />
G<br />
l r <br />
F F F<br />
2 2<br />
S Zp G<br />
2 2<br />
FZp v R<br />
<br />
arctan arctan arctan <br />
FG g R g <br />
<br />
R r l sin <br />
v R g tan<br />
v 2<br />
f R<br />
1<br />
f <br />
2<br />
<br />
R<br />
<br />
g tan<br />
R<br />
F Zp<br />
F S<br />
<br />
m<br />
F G<br />
Kräfte<br />
Abmessungen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 50
allgemein<br />
Kräfte bei 2 Federn<br />
allgemein<br />
Kräfte bei 2 Federn<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4 Dynamik<br />
4.1 Federn<br />
4.1.1 Reihenschaltung<br />
S ges : gesamte Federkonstante N m -1<br />
N : Anzahl von Federn<br />
S i : einzelne Federkonstante N m -1<br />
N 1 1 1 1 1<br />
... <br />
S S S S S<br />
ges i1<br />
i 1 2<br />
N<br />
F : Zugkraft N<br />
u : Auslenkung m<br />
u uu a b<br />
F FF a b<br />
1<br />
F Sges u u<br />
1 1<br />
<br />
S S<br />
a b<br />
4.1.2 Parallelschaltung<br />
S ges : gesamte Federkonstante N m -1<br />
N : Anzahl von Federn<br />
S i : einzelne Federkonstante N m -1<br />
N<br />
<br />
S S S S ... S<br />
i1<br />
i 1 2<br />
N<br />
F : Zugkraft N<br />
u : Auslenkung m<br />
u uu a b<br />
F FF a b<br />
<br />
F S u S S u<br />
ges a b<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 51
Faktorenflaschenzug<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.1.3 Federkraft<br />
F : Federkraft N<br />
k : Federkonstante N m -1<br />
x : Dehnung der Feder m<br />
x : Auslenkungsposition m<br />
x : Ruheposition m<br />
0<br />
<br />
F k x k x x<br />
4.2 Rollen<br />
4.2.1 lose Rolle<br />
4.2.2 Flaschenzug<br />
F Z : Zugkraft N<br />
F : Gewichtskraft der Last N<br />
L<br />
n :<br />
m :<br />
g :<br />
Anzahl Rollen<br />
Masse der Last<br />
Gravitationskonstante<br />
kg<br />
9.81 m s -2<br />
F<br />
F mg n n<br />
L<br />
Z <br />
E : Energie J<br />
s : Zugstrecke m<br />
h : Höhe um die die Last angehoben wird m<br />
FL<br />
E FZ s n h FLhmg h<br />
n<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 52
Potenzflaschenzug<br />
Differentialflaschenzug<br />
Wirkungsgrad<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
n : Anzahl der losen Rollen<br />
F<br />
F <br />
2<br />
L<br />
Z n<br />
R : Radius der grossen Rolle m<br />
r : Radius der kleinen Rolle m<br />
F<br />
Z<br />
FL Rr <br />
2 R<br />
W nutz : genutzte Arbeit J<br />
W : zugeführte Arbeit J<br />
zu<br />
Wnutz FLh <br />
W F s<br />
zu Z<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 53
Trägheitsprinzip<br />
Aktionsprinzip<br />
Reaktionsprinzip<br />
(actio = reactio)<br />
Superpositionsprinzip<br />
der Kräfte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.3 newtonsche Axiome<br />
Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine<br />
äusseren Einflüsse auf ihn wirken. Die Geschwindigkeit eines solchen sich „frei“ bewegenden Körpers ist<br />
nach Betrag und Richtung konstant.<br />
Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eine Beschleunigung, die der Kraft proportional ist und<br />
deren Richtung besitzt.<br />
F : resultierende Kraft, die auf den Körper beschleunigend wirkt N<br />
m : Masse des beschleunigten Körpers kg<br />
a : erzielte Beschleunigung m s -2<br />
v : erzielte Geschwindigkeit m s -1<br />
s : zurückgelegte Strecke m<br />
M :<br />
Drehmoment N m<br />
L : Drehimpuls kg m2 s -1<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
Translation:<br />
2<br />
dv d s<br />
F m a F m F m<br />
dt dt<br />
Rotation:<br />
dL<br />
M J <br />
dt<br />
2<br />
Translation<br />
Rotation<br />
Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus (actio), so übt auch B auf A eine Kraft aus,<br />
Gegenkraft (reactio) genannt, die entgegengesetzt gleich der ersten Kraft ist.<br />
FA B : Kraft die Körper A auf Körper B ausübt N<br />
FB A : Kraft die Körper B auf Körper A ausübt N<br />
F F<br />
ABBA Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte , so addieren sich diese vektoriell zu<br />
einer resultierenden Kraft auf.<br />
F : resultierende Kraft N<br />
F : einzelne Kraft N<br />
i<br />
F F1F2 ... Fn<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 54
Haftreibung<br />
Gleitreibung<br />
Rollreibung<br />
allgemein<br />
vektoriell<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.4 Reibung<br />
FN, F N : Normalkraft (senkrecht zur Ebene) N<br />
F : Haftreibungskraft N<br />
H<br />
FG, F G : Gleitreibungskraft N<br />
FR, F R : Rollreibungskraft N<br />
FX, F X : Reibungskraft N<br />
: Haftreibungskoeffizient<br />
H<br />
: Gleitreibungskoeffizient<br />
G<br />
: Rollreibungskoeffizient<br />
R<br />
: Reibungskoeffizient<br />
Kräfte<br />
Koeffizienten<br />
X<br />
v : Geschwindigkeitsvektor m s -1 Andere<br />
Tritt auf zwischen zwei Körpern die sich in Ruhe befinden. Überschreiten die äusseren Kräfte die<br />
maximale Haftreibungskraft so beginnt der Körper zu gleiten oder gegebenenfalls zu rollen.<br />
F F<br />
H H N<br />
Tritt auf wenn ein Körper auf einem anderen gleitet.<br />
F F<br />
G G N<br />
Tritt auf wenn ein Körper auf einem anderen rollt.<br />
F F<br />
R R N<br />
F F<br />
X X N<br />
F F<br />
X X N<br />
v <br />
FGGFN <br />
v <br />
<br />
v <br />
FRRFN <br />
v <br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 55
funktionsmässig<br />
vektoriell<br />
Integral<br />
Formel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.5 Arbeit<br />
4.5.1 Allgemein<br />
W : verrichtete Arbeit J<br />
F s, F : Kraftfunktion, Kraftvektor N<br />
: Winkel zwischen Kraftvektor und Wegvektor °<br />
ss: , zurückgelegter Weg, Wegvektor m<br />
s 0 : Anfangspunkt des Weges m<br />
s : Endpunkt des Weges m<br />
1<br />
s1<br />
s0<br />
<br />
W F s ds<br />
<br />
<br />
<br />
W F ds F s F s cos<br />
<br />
Andere<br />
Strecke<br />
Steht die Kraft senkrecht auf dem Weg, wird keine physikalische Arbeit verrichtet:<br />
F s W 0<br />
4.5.2 Hubarbeit<br />
W H : verrichtete Hubarbeit J<br />
FG, F G : Gewichtskraft des Körpers N<br />
m : Masse des Körpers kg<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
hh: , Höhe um die der Körper hochgehoben wurde m<br />
<br />
F<br />
W F dh F h<br />
H G G<br />
WH m g h FG h<br />
s<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 56
Integral<br />
Formel<br />
Integrale<br />
Formeln<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.5.3 Reibungsarbeit<br />
W R : Reibungsarbeit J<br />
ss: , zurückgelegter Weg m<br />
: Reibungskoeffizient<br />
Andere<br />
FR, F R : Reibungskraft N<br />
Kräfte<br />
F : Normalkraft N<br />
N<br />
<br />
W F ds F s<br />
R R R<br />
W F s F s<br />
R N R<br />
4.5.4 Beschleunigungsarbeit<br />
W B : Beschleunigungsarbeit J<br />
FB, F B : Beschleunigungskraft N<br />
m : Masse des beschleunigten Körpers kg<br />
a : auf den Körper ausgeübte Beschleunigung m s -2<br />
ss: , zurückgelegte Strecke m<br />
vv: , Geschwindigkeit des Körpers m s -1<br />
v 0 : Startgeschwindigkeit des Körpers m s -1<br />
v 1 : Enggeschwindigkeit des Körpers m s -1<br />
<br />
W F ds F s<br />
B B B<br />
1<br />
WB m v dv m v<br />
2<br />
2<br />
W m a s F s<br />
B B<br />
1 2<br />
WB m v<br />
2<br />
1<br />
WB m <br />
2<br />
v v<br />
2 2 1 0<br />
Andere<br />
Geschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 57
Situationen<br />
Berechnung mit<br />
Federkraft oder<br />
Federkonstante<br />
Federkonstante<br />
berechnen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.5.5 Spannarbeit und Zugarbeit<br />
W : verrichtete Arbeit J<br />
k : Federkonstante N m -1<br />
F : Kraft, die die Länge der Feder verändert N<br />
F : Kraftänderung N<br />
x : Ruheposition m<br />
1<br />
x : Auslenkung (negativ beim Spannen, positiv beim Ziehen) m<br />
2<br />
x 3 : beliebige Position m<br />
x : Längenänderung m<br />
Feder spannen<br />
(negative x-Kraft, negativer Weg)<br />
Feder auseinanderziehen<br />
(positive x-Kraft, positiver Weg)<br />
<br />
F k x x k x<br />
x1<br />
2 1<br />
k<br />
W k x dx k x dx x<br />
2<br />
F k x x k x<br />
2 1<br />
2<br />
<br />
2 <br />
x2 x2<br />
0<br />
x2 x2<br />
Bewegung von Ruhelage ausgehend beliebige Bewegung<br />
F<br />
W x<br />
2<br />
k 2<br />
W x<br />
2<br />
F<br />
k <br />
x<br />
F<br />
x 2<br />
x 1<br />
2 x<br />
Andere<br />
Kräfte<br />
Längen<br />
k<br />
W k x dx k x dx x<br />
2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 58<br />
x1<br />
k<br />
W x x<br />
2<br />
2 2 2 3<br />
0<br />
F<br />
2<br />
2
Integrale<br />
Formeln<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.5.6 Rotationsarbeit<br />
W Rot : Arbeit bei der Rotation J<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
M : Drehmomentfunktion N m<br />
M : Drehmoment N m<br />
: Winkel um den sich der Körper dreht rad<br />
0 : Startwinkel rad<br />
: Endwinkel rad<br />
1<br />
: Winkelgeschwindigkeit des Körpers rad s -1<br />
0 : Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
1 : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
Rot<br />
Rot<br />
Rot<br />
Rot<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
1<br />
0<br />
<br />
W M d<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
W J <br />
d<br />
<br />
<br />
<br />
W M d<br />
<br />
W J <br />
d<br />
W M <br />
Rot<br />
W J Rot<br />
1 2<br />
WRot J <br />
2<br />
1<br />
WRot J <br />
2<br />
2 2 1 0<br />
<br />
Andere<br />
Drehmoment<br />
Winkel<br />
Winkelgeschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 59
Einzelarbeiten<br />
Gesamtarbeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.5.7 Arbeit auf der schiefen Ebene<br />
F H<br />
W R : Reibungsarbeit J<br />
W : Hubarbeit J<br />
H<br />
W tot : Gesamtarbeit J<br />
F : Zugkraft N<br />
F : Reibungskraft N<br />
R<br />
F H : Hangabtriebkraft N<br />
l : Weg m<br />
h : Höhe m<br />
d : Länge m<br />
m : Masse kg<br />
: Gleitreibungskoeffizient<br />
G<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
<br />
<br />
W F l m g cos l<br />
R R G<br />
W F l m g sin l<br />
H H<br />
W m g d<br />
R G<br />
W m g h<br />
H<br />
m<br />
l h<br />
F R<br />
<br />
d<br />
F<br />
Arbeit<br />
Kräfte<br />
schiefe Ebene<br />
Andere<br />
cos sin<br />
<br />
<br />
W W W m g l <br />
tot R H G<br />
W W W m g d h<br />
tot R H G<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 60
Integral<br />
kartesische<br />
Koordinaten<br />
eine Geschwindigkeit<br />
zwei<br />
Geschwindigkeiten<br />
Impuls<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.6 Energie<br />
4.6.1 kinetische Energie<br />
E kin : kinetische Energie J<br />
E : benötige Energie für Geschwindigkeitsänderung J<br />
kin<br />
v : Geschwindigkeit des Körpers m s -1<br />
v 0 : Anfangsgeschwindigkeit m s -1<br />
v 1 : Endgeschwindigkeit m s -1<br />
x : x-Koordinate<br />
y : y-Koordinate<br />
z :<br />
m :<br />
p :<br />
z-Koordinate<br />
Masse des Körpers<br />
Impuls<br />
kg<br />
N s<br />
dv <br />
1<br />
Ekin F ds mvdtmvdv m v<br />
dt <br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
<br />
1 2 2 2 1 dx dy dz <br />
Ekin m x ' y' z ' m <br />
2 2 dt dt dt <br />
<br />
1<br />
Ekin m v<br />
2<br />
1<br />
Ekin m v v<br />
2<br />
E<br />
kin<br />
2<br />
1 p<br />
<br />
2 m<br />
2<br />
2 2 1 0<br />
Energien<br />
Geschwindigkeiten<br />
Koordinaten<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 61
Integral<br />
geschlossener Weg,<br />
konservative Kraft<br />
Körper mit<br />
konstanter Masse<br />
Integral<br />
Formel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.6.2 potentielle Energie<br />
E pot : potentielle Energie J<br />
Epot<br />
: Änderung der potentiellen Energie J<br />
E pot0<br />
: potentielle Energie auf Anfangshöhe J<br />
E pot1<br />
: potentielle Energie auf Endhöhe J<br />
h : Höhe m<br />
h : Anfangshöhe m<br />
0<br />
h 1 : Endhöhe m<br />
m : Masse des Körpers kg<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
F G : Gewichtskraft des Körpers N<br />
pot pot1 pot 0<br />
h1<br />
E E E F dh<br />
<br />
F ds0 Epot m g h FG h<br />
<br />
h0<br />
4.6.3 potentielle Federenergie, Spannungsenergie<br />
E pot : potentielle Energie der gespannten Feder J<br />
k : Federkonstante N m -1<br />
x : Auslenkung der Feder m<br />
pot<br />
x<br />
<br />
0<br />
<br />
E F ds k x dx<br />
1<br />
Epot k x<br />
2<br />
2<br />
Energien<br />
Höhen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 62
Integral<br />
Formeln<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.6.4 Rotationsenergie<br />
E : Rotationsenergie J<br />
Rot<br />
ERot<br />
:<br />
Energiedifferenz nach<br />
Winkelgeschwindigkeitsänderung J<br />
Energien<br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
0 : Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
1 : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
L : Drehimpuls kg m 2 s -1 J : Trägheitsmoment kg m<br />
Andere<br />
2<br />
Rot<br />
<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
E J <br />
d<br />
<br />
1<br />
ERot L<br />
2<br />
2<br />
1 L<br />
ERot<br />
<br />
2 J<br />
1 2<br />
ERot J <br />
2<br />
1<br />
ERot J <br />
2<br />
2 2 1 0<br />
<br />
4.6.5 Energie eines rollenden Objekts<br />
E tot : Gesamtenergie J<br />
E : Translationsenergie J<br />
Trans<br />
E : Rotationsenergie J<br />
Winkelgeschwindigkeiten<br />
Energien<br />
Rot<br />
J S : Trägheitsmoment um Schwerpunktachse kg m 2 J M : Trägheitsmoment um Drehachse kg m<br />
Trägheitsmomente<br />
2<br />
v : Geschwindigkeit m s -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s<br />
Geschwindigkeiten<br />
-1<br />
m : Masse kg<br />
R : Radius m<br />
1 2 1 2<br />
Etot ETrans ERot m v JS <br />
2 2<br />
1 2 1 v <br />
Etot m v J S <br />
2 2 R 1 2 1<br />
2 v <br />
Etot IM J S m R <br />
<br />
2 2<br />
R 2<br />
2<br />
v<br />
<br />
R<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 63<br />
Rolle
Energieerhaltung<br />
beim Pendel<br />
Umrechnungen<br />
mathematische<br />
Definition<br />
mittlere Leistung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.6.6 Energieerhaltung<br />
E kin : kinetische Energie J<br />
E : potentielle Energie J<br />
pot<br />
Q : Startpunkt<br />
P : Endpunkt<br />
Energien<br />
Punkte<br />
.<br />
E Q E Q E P E P const<br />
kin pot kin pot<br />
E pot<br />
Epot Ekin<br />
4.7 Leistung<br />
1PS 0.7352941kW<br />
1kW=1.3605442PS<br />
<br />
P, P t : Leistung W<br />
P : mittlere Leistung W<br />
Wt : Arbeit J<br />
Et : Energie J<br />
T : Gesamtzeit s<br />
t : Startzeit s<br />
0<br />
t : Endzeit s<br />
1<br />
F : Kraft N<br />
s t : Strecke m<br />
<br />
E kin<br />
E<br />
pot<br />
v : Geschwindigkeit m s -1<br />
Leistungen<br />
Arbeit und Energie<br />
Zeit<br />
Andere<br />
dE dW ds<br />
Pt t t F t F v<br />
dt dt dt<br />
t1 t1<br />
1 1<br />
P Pt dt Pt dt<br />
T <br />
t t <br />
t0 1 0 t0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 64
Normalform<br />
vektorielle Form<br />
Normalform<br />
vektorielle Form<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.7.1 mechanische Leistung<br />
P : Leistung W<br />
FF , : Kraft N<br />
vv: , Geschwindigkeit m s -1<br />
W : verrichtete Arbeit J<br />
E : aufgewendete Energie J<br />
t : benötigte Zeit s<br />
P Fv E W<br />
P <br />
t t<br />
P F v<br />
4.7.2 Rotationsleistung<br />
P Rot : Rotationsleistung W<br />
MM , : Drehmoment N m<br />
: , Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
n : Drehzahl s -1<br />
P M <br />
Rot<br />
P M 2<br />
n<br />
Rot<br />
PRotM <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 65
Definition<br />
Beziehung mit dem<br />
Schwerpunkt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.8 Impulse<br />
4.8.1 Impuls<br />
F : Kraft N<br />
p : Impuls N s<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
t : Zeit s<br />
m : Masse kg<br />
m : einzelne Masse kg<br />
i<br />
m : Gesamtmasse kg<br />
ges<br />
N : Anzahl Massen<br />
v : Geschwindigkeit m s -1<br />
v S : Geschwindigkeit des Schwerpunkts m s -1<br />
v i : Geschwindigkeit einer einzelnen Masse m s -1<br />
<br />
dp d m v<br />
F m a <br />
dt dt<br />
p mv N<br />
p m v m v ... m v<br />
1<br />
v m v<br />
1 1 2 2<br />
N N<br />
S<br />
mgesmgesmgesn1 n n<br />
4.8.2 Impulserhaltung<br />
p : Impuls N s<br />
p vor : Gesamtimpuls vor dem Ereignis N s<br />
p : Gesamtimpuls nach dem Ereignis N s<br />
nach<br />
v i : einzelne Geschwindigkeit vor dem Ereignis m s -1<br />
u i : einzelne Geschwindigkeit nach dem Ereignis m s -1<br />
<br />
F : Kraft N<br />
m : einzelne Masse kg<br />
i<br />
Andere<br />
Massen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Impulse<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere<br />
Wirkt in einem mechanischen System keine resultierende Kraft so ist der Gesamtimpuls konstant:<br />
dp<br />
F 0 dt<br />
p const.<br />
Der Impuls vor dem Ereignis ist gleich gross wie der Impuls nach dem Ereignis:<br />
p p<br />
vor nach<br />
m v m v ... m v m u m u ... m u<br />
1 1 2 2 n n 1 1 2 2<br />
n n<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 66
eindimensional<br />
dreidimensional<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.8.3 Drehimpuls<br />
LL: , Drehimpuls kg m 2 s -1<br />
pp: , Impuls des Massenpunkts N s<br />
rr: , Radius m<br />
vv: , Geschwindigkeit m s -1<br />
: , Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
m : Masse kg<br />
L p r<br />
L m r<br />
2<br />
<br />
L m r v<br />
L J <br />
L r p<br />
L m r<br />
2<br />
<br />
L m r v<br />
L J <br />
<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 67
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.8.4 Drehimpulserhaltung<br />
L : Drehimpuls kg m 2 s -1<br />
L vor : Gesamtdrehimpuls vor dem Ereignis kg m 2 s -1<br />
L nach : Gesamtdrehimpuls nach dem Ereignis kg m 2 s -1<br />
i : einzelne Winkelgeschwindigkeit vor dem Ereignis rad s -1<br />
: einzelne Winkelgeschwindigkeit nach dem Ereignis rad s -1<br />
' i<br />
M : Drehmoment N m<br />
m : einzelne Masse kg<br />
i<br />
Drehimpulse<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere<br />
Wirkt in einem mechanischen System kein resultierendes Drehmoment so ist der Gesamtdrehimpuls<br />
konstant:<br />
dL<br />
M 0 dt<br />
L const.<br />
Der Drehimpuls vor dem Ereignis ist gleich gross wie der Drehimpuls nach dem Ereignis:<br />
L L<br />
vor nach<br />
m m ... m m ' m ' ... m <br />
'<br />
1 1 2 2 n n 1 1 2 2<br />
n n<br />
4.8.5 Beziehung zwischen Impuls, Drehimpuls und Energie<br />
E kin : kinetische Energie J<br />
E Rot Rotationsenergie J<br />
p : Impuls N s<br />
v : Geschwindigkeit m s -1<br />
m : Masse kg<br />
L : Drehimpuls kg m 2 s -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
2<br />
1 1 p<br />
Ekin vdppdp m <br />
2 m<br />
2<br />
1 1 L<br />
ERot dLLdL J <br />
2 J<br />
Energie<br />
Impuls<br />
Drehimpuls<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 68
Grundgleichungen<br />
Geschwindigkeiten<br />
nach dem Stoss<br />
Stoss gegen Wand<br />
Energie- und<br />
Impulsbilanz<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.9 Stösse<br />
4.9.1 elastischer Stoss<br />
v 1 : Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v 2 : Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v '1<br />
: Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoss m s -1<br />
v '2<br />
: Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoss m s -1<br />
m : Masse des ersten Körpers kg<br />
1<br />
m : Masse des zweiten Körpers kg<br />
2<br />
Geschwindigkeiten<br />
Massen<br />
E tot :<br />
u :<br />
gesamte kinetische Energie<br />
innere Energie vor und nach dem Stoss<br />
J<br />
J<br />
Energien<br />
p : gesamter Impuls N s Andere<br />
tot<br />
m v m v m v ' m v<br />
'<br />
1 1 2 2 1 1 2 2<br />
v v' v v'<br />
1 1 2 2<br />
Situation<br />
beliebige Massen<br />
gleiche Massen<br />
Geschwindigkeit des ersten<br />
Körpers nach dem Stoss<br />
v'<br />
<br />
1<br />
<br />
m m v 2<br />
m v<br />
1 2 1 2 2<br />
m m<br />
1 2<br />
1 2 <br />
v'1 v2<br />
v'2 v1<br />
m m m<br />
doppelte Massen<br />
Geschwindigkeit des zweiten<br />
Körpers nach dem Stoss<br />
<br />
2 1 2 1 1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 69<br />
v'<br />
2<br />
<br />
m m v 2<br />
m v<br />
m m<br />
1 2 2<br />
v'1 v2 v1<br />
v'2 v1 v2<br />
m m m m<br />
dreifache Masse<br />
4 1<br />
3 3<br />
v' 3<br />
2<br />
v<br />
1<br />
2<br />
v<br />
2 1<br />
3 3<br />
1 1<br />
v' v v<br />
2 2<br />
1 2 3<br />
1 2 1<br />
2 1 2<br />
m m m m<br />
m m <br />
v' lim v v<br />
<br />
1 2<br />
1 1 1<br />
m2<br />
m1m2 2<br />
m 1<br />
v'2 lim v1<br />
0<br />
m2<br />
<br />
m2 m1<br />
Zeitpunkt gesamte kinetische Energie gesamter Impuls<br />
vor dem Stoss Etot 1<br />
2<br />
m1 2<br />
v1 1<br />
2<br />
m2 2<br />
v2 u tot<br />
nach dem Stoss<br />
p m v m v<br />
1 1 2 2<br />
1 1<br />
E m v m v u<br />
2 2<br />
p m v ' m v'<br />
2 2<br />
tot 1 '12'2 tot 1 1 2 2<br />
2 1
Geschwindigkeit<br />
Energien<br />
Verformungsarbeit<br />
Energie- und<br />
Impulsbilanz<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.9.2 unelastischer Stoss<br />
v : gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoss m s -1<br />
v 1 : Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v 2 : Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
m : Masse des ersten Körpers kg<br />
1<br />
m : Masse des zweiten Körpers kg<br />
2<br />
E : gesamte kinetische Energie J<br />
tot<br />
E : Bewegungsenergien beider Körper vor dem Stoss J<br />
vor<br />
Geschwindigkeiten<br />
Massen<br />
E nach :<br />
E kin1<br />
:<br />
u :<br />
Bewegungsenergien beider Körper nach dem Stoss<br />
kinetische Energie des ersten Körpers vor dem Stoss<br />
innere Energie vor dem Stoss<br />
J<br />
J<br />
J<br />
Energie und Arbeit<br />
u ' : innere Energie nach dem Stoss J<br />
W : Verformungsarbeit J<br />
p : gesamter Impuls N s Andere<br />
tot<br />
m v m v<br />
v <br />
m m<br />
E<br />
E<br />
vor<br />
nach<br />
1 1 2 2<br />
1 2<br />
m vmv <br />
2 2<br />
2<br />
m1m2v <br />
2<br />
2 2<br />
1 1 2 2<br />
Situation Verformungsarbeit<br />
beliebige Werte<br />
gleiche Massen<br />
m mm v<br />
2<br />
1 2<br />
0<br />
m m<br />
1 2<br />
W Evor Enach v 1v22 2m1m2<br />
1<br />
W E<br />
2<br />
kin1<br />
Zeitpunkt gesamte kinetische Energie gesamter Impuls<br />
vor dem Stoss<br />
E<br />
1<br />
2<br />
m v<br />
1<br />
2<br />
m v u<br />
Etot 1<br />
2<br />
m1 m2 v u '<br />
p m v m v<br />
2 2<br />
tot 1 1 2 2 tot 1 1 2 2<br />
nach dem Stoss 2<br />
p m m v<br />
<br />
1 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 70<br />
tot
Geschwindigkeiten<br />
nach dem Stoss<br />
Verformungsarbeit<br />
elastischer Stoss<br />
unelastischer Stoss<br />
teilelastischer Stoss<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.9.3 teilelastischer Stoss<br />
v 1 : Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v 2 : Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v '1<br />
: Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoss m s -1<br />
v '2<br />
: Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoss m s -1<br />
m : Masse des ersten Körpers kg<br />
1<br />
m : Masse des zweiten Körpers kg<br />
2<br />
E : Bewegungsenergien beider Körper vor dem Stoss J<br />
vor<br />
E : Bewegungsenergien beider Körper nach dem Stoss J<br />
nach<br />
Geschwindigkeiten<br />
Massen<br />
W : Verformungsarbeit J<br />
k : Stosszahl, Stossparameter Andere<br />
v'<br />
2<br />
<br />
m v m v k m v v<br />
v'1<br />
<br />
m m<br />
1 1 2 2 2 1 2<br />
1 2<br />
<br />
m v m v k m v v<br />
<br />
m m<br />
1 1 2 2 1 1 2<br />
1 2<br />
m m<br />
W Evor Enach 1kvv1k 2<br />
<br />
4.9.4 Stosszahl<br />
m m <br />
2<br />
1 2<br />
<br />
2 1 2<br />
2<br />
1 2<br />
k : Stosszahl, Stossparameter Andere<br />
h 1 :<br />
h :<br />
Fallhöhe<br />
Steighöhe<br />
m<br />
m<br />
Höhen<br />
2<br />
v 1 : Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v 2 : Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoss m s -1<br />
v '1<br />
: Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoss m s -1<br />
v '2<br />
: Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoss m s -1<br />
k 1<br />
k 0<br />
0k1 v'2v'1 k <br />
v v<br />
k <br />
2 1<br />
h<br />
h<br />
2<br />
1<br />
Energie und Arbeit<br />
Geschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 71
funktionsmässig<br />
vektoriell<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.9.5 Kraftstoss<br />
p, p : Kraftstoss N s Andere<br />
Ft : Kraftfunktion N<br />
F : zeitlicher Mittelwert der Kraft N Kräfte<br />
F : Kraftvektor N<br />
t : Länge des Zeitintervalls s<br />
t : Startzeit s<br />
0<br />
t : Endzeit s<br />
1<br />
t1<br />
<br />
t0<br />
<br />
p F t dt<br />
t1 t1<br />
1 1<br />
F F t dt F t dt<br />
t t t<br />
p F t<br />
t1<br />
<br />
p F dt<br />
t0<br />
t0 1 0 t0<br />
Zeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 72
Formelzeichen<br />
starrer Körper<br />
Satz von Steiner<br />
Massenpunkt<br />
Hantel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.10 Trägheitsmoment<br />
4.10.1 Berechnung<br />
J M : Trägheitsmoment um die Drehachse kg m 2<br />
J S : Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse kg m 2<br />
m : Gesamtmasse des Körpers kg<br />
m : Masse eines einzelnen Körpers kg<br />
i<br />
r i : Radius einer einzelnen Kreisbahn m<br />
l : Abstand zu parallelen Drehachse m<br />
IJ , ,<br />
n<br />
S i1<br />
i <br />
2<br />
i<br />
J m r<br />
m<br />
2<br />
J S r dm<br />
0<br />
J J m l<br />
M S<br />
2<br />
4.10.2 spezielle Trägheitsmomente<br />
Trägheitsmomente<br />
Massen<br />
Abmessungen<br />
J : Trägheitsmoment die Schwerpunktsachse kg m 2<br />
J x : Trägheitsmoment bei Rotation um die x-Schwerpunktachse kg m 2<br />
J y : Trägheitsmoment bei Rotation um die y-Schwerpunktachse kg m 2<br />
J z : Trägheitsmoment bei Rotation um die z-Schwerpunktachse kg m 2<br />
r : Radius des Körpers m<br />
r : Innenradius des Körpers m<br />
i<br />
r a : Aussenradius des Körpers m<br />
h : Höhe des Körpers m<br />
abc: , , Seitenlängen des Körpers m<br />
J 2<br />
m r<br />
2<br />
2<br />
J m r<br />
J 4<br />
m r<br />
2<br />
Trägheitsmomente<br />
Abmessungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 73
Kreisring, dünn<br />
Kreisscheibe, dünn<br />
Kugeln<br />
Vollzylinder<br />
Hohlzylinder<br />
Stab, lang, dünn<br />
Quader<br />
Kegel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
J r<br />
x<br />
2<br />
m<br />
Jy r<br />
2<br />
m<br />
Jx r<br />
2<br />
m<br />
Jy r<br />
4<br />
2<br />
2<br />
2<br />
Vollkugel Hohlkugel<br />
2<br />
J m r<br />
5<br />
m 2<br />
Jx r<br />
2<br />
m<br />
J y <br />
12<br />
r h<br />
Hohlzylinder<br />
Hohlkugel, dünnwandig<br />
r r<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 74<br />
2<br />
2 2 3 <br />
m<br />
J r r<br />
2<br />
2 2 <br />
x i a<br />
2<br />
m 2 2 h <br />
y i a <br />
J rr 4 3 <br />
m<br />
J l<br />
12<br />
m<br />
J x b<br />
12<br />
c<br />
m<br />
J y <br />
12<br />
a b<br />
m<br />
J z <br />
12<br />
a c<br />
2<br />
2 2 <br />
2 2 <br />
2 2 <br />
3<br />
J x m r<br />
10<br />
2<br />
2 r r<br />
J m 5 r r<br />
2 2 h <br />
3<br />
J y m r 20 4 <br />
5 5<br />
a i<br />
3 3<br />
a i<br />
i a<br />
2<br />
J m r<br />
3<br />
Hohlzylinder, dünnwandig<br />
r r<br />
i a<br />
J mr x<br />
2<br />
2 2 <br />
m h<br />
Jy2r <br />
4 3 <br />
2
Ableitung<br />
eindimensional<br />
dreidimensional<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.11 Drehmoment<br />
MM , : Drehmoment N m<br />
LL: , Drehimpuls kg m 2 s -1<br />
FF , : Kraft N<br />
rr: , Kraftarm m<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
: , Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
m : Masse kg<br />
t : Zeit s<br />
dL<br />
M <br />
dt<br />
M rF M J <br />
M m r<br />
2<br />
<br />
<br />
M m r a<br />
M rF M J <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 75
Schwerpunkt<br />
Geschwindigkeit<br />
Beschleunigung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.12 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt<br />
4.12.1 Massen der Körper bekannt<br />
r S : Ortsvektor zum Schwerpunkt m<br />
r : Ortsvektor einer einzelnen Masse m<br />
Position<br />
i<br />
v S : Geschwindigkeit des Schwerpunkts m s -1<br />
v i : Geschwindigkeit einer einzelnen Masse m s<br />
Geschwindigkeit<br />
-1<br />
a S : Beschleunigung des Schwerpunkts m s -2 a i : Beschleunigung einer einzelnen Masse m s<br />
Beschleunigung<br />
-2<br />
m : einzelne Masse kg<br />
i<br />
m : Gesamtmasse kg<br />
ges<br />
N : Anzahl Massen<br />
N<br />
m r m r ... m r 1<br />
r m r<br />
<br />
1 1 2 2<br />
N N<br />
S<br />
mgesmgesn1 n n<br />
N<br />
m v m v ... m v<br />
1<br />
v m v<br />
<br />
1 1 2 2<br />
N N<br />
S<br />
mgesmgesn1 n n<br />
N<br />
m a m a ... m a 1<br />
a m a<br />
<br />
1 1 2 2<br />
N N<br />
S<br />
mgesmgesn1 n n<br />
Massen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 76
homogene<br />
Massenverteilung<br />
inhomogene<br />
Massenverteilung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.12.2 Körper durch Funktion beschrieben<br />
4.12.2.1 2-dimensional<br />
x S : x-Koordinate des Schwerpunkts<br />
y : y-Koordinate des Schwerpunkts<br />
S<br />
Koordinaten<br />
r S : Ortsvektor zum Schwerpunkt<br />
A : Oberfläche des Körpers Andere<br />
1 1<br />
xS x dA yS y dA<br />
A <br />
A <br />
1<br />
rS r dA<br />
A <br />
A<br />
A A<br />
4.12.2.2 3-dimensional<br />
x S : x-Koordinate des Schwerpunkts<br />
y : y-Koordinate des Schwerpunkts<br />
S<br />
z : z-Koordinate des Schwerpunkts<br />
S<br />
r S : Ortsvektor zum Schwerpunkt<br />
V : Volumen des Körpers<br />
M : Masse des Körpers<br />
: Dichte<br />
Koordinaten<br />
Andere<br />
1 1 1<br />
xS x dV yS y dV zS z dV<br />
V <br />
V V <br />
1<br />
rS r dV<br />
V <br />
V<br />
V V V<br />
1 1 1<br />
xS x dm yS y dm zS z dm<br />
M <br />
M M <br />
1<br />
rS r dm<br />
M <br />
V<br />
V V V<br />
dm<br />
dm <br />
dV<br />
dV<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 77
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.12.3 externe und interne Kräfte<br />
e<br />
F i : externe Kräfte der einzelnen Körper<br />
F : interne Kräfte der einzelnen Körper<br />
i<br />
n, j<br />
Kräfte<br />
F ext : externe Gesamtkraft<br />
a S :<br />
M :<br />
Beschleunigung des Schwerpunkts<br />
Gesamtmasse<br />
Andere<br />
N 1 N<br />
e i <br />
aS Fn Fn<br />
, j <br />
M n1 j1, n1<br />
<br />
Die internen Kräfte heben sich immer auf:<br />
N 1 e Fext<br />
aS Fn<br />
<br />
M M<br />
n1<br />
4.13 Raketengleichung<br />
vt : Raketengeschwindigkeit zur Zeit t m s -1<br />
v g : Ausströmgeschwindigkeit des Antriebstrahls m s -1<br />
v 0 : Anfangsgeschwindigkeit der Rakete m s -1<br />
m 0 : Startmasse der Rakete kg<br />
mt : Masse der Rakete zur Zeit t kg<br />
0 <br />
m vt vg ln v<br />
mt <br />
<br />
0<br />
Geschwindigkeiten<br />
Massen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 78
Bremsbeschleunigung<br />
Bremszeit<br />
Bremsweg<br />
Bremsleistung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14 Bewegungen im Raum<br />
4.14.1 stehender Körper auf horizontaler Ebene<br />
F G : Gewichtskraft des Körpers N<br />
F : Normalkraft (senkrecht zur Ebene) N<br />
N<br />
F R : Reibungskraft (immer entgegengesetzt zu F) N<br />
m : Masse der Körpers kg<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
: Reibungskoeffizient<br />
F mg G<br />
F mg N<br />
F F <br />
R N<br />
4.14.2 gleitender Körper auf horizontaler Ebene<br />
F R : Reibungskraft N<br />
: Reibungskoeffizient<br />
R<br />
v 0 : Anfangsgeschwindigkeit m s -1<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
a : Bremsbeschleunigung m s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
P max : maximale Bremsleistung W<br />
Pt : Bremsleistung W<br />
m : Masse des Körpers kg<br />
t : Bremszeit s<br />
s : Bremsweg m<br />
F mg R<br />
m m<br />
R R<br />
a g<br />
v0<br />
t <br />
g <br />
R<br />
2<br />
v0<br />
s <br />
2gR P F v m g v<br />
max R 0 R 0<br />
<br />
P t F v t m g v a t<br />
R R<br />
0<br />
Reibung<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
Leistungen<br />
Andere<br />
Kräfte<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 79
Steigung und<br />
Anstieg<br />
Kräfte<br />
Ruhezustand<br />
Aufwärtsbewegung<br />
Abwärtsbewegung<br />
Beschleunigung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.3 Körper auf schiefer Ebene<br />
F G : Gewichtskraft des Körpers N<br />
F : Normalkraft (senkrecht zur Ebene) N<br />
GN<br />
F Hangabtriebkraft N<br />
GH<br />
F R : Reibungskraft (immer entgegengesetzt zu F) N<br />
F : resultierende Kraft N<br />
h : Höhe die durch die Ebene überwunden wird m<br />
b : Strecke die durch die Ebene überwunden wird m<br />
l : Länge der Ebene m<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m : Masse der Körpers kg<br />
: Neigungswinkel der schiefen Ebene °<br />
: Reibungskoeffizient<br />
h<br />
<br />
b<br />
h<br />
<br />
l<br />
Steigung: tan<br />
<br />
Ansteig: sin<br />
<br />
F mg G<br />
b<br />
FGN FG cos<br />
FG <br />
l<br />
h<br />
FGH FG sin FG <br />
l<br />
F F <br />
R GN<br />
FR FGH<br />
sin cos<br />
<br />
F F F F<br />
G GH R<br />
sin cos<br />
<br />
F F F F<br />
G GH R<br />
sin cos<br />
<br />
ag <br />
F<br />
a <br />
m<br />
Kräfte<br />
Abmessungen<br />
Beschleunigungen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 80
F = Fmax (m2 rutscht<br />
gerade nicht)<br />
F < Fmax (m2 rutscht<br />
nicht)<br />
F > Fmax (m2 rutscht)<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.4 Körper auf bewegendem Körper<br />
a 1 : Beschleunigung des unteren Körpers m s -2<br />
a 2 : Beschleunigung des oberem Körpers m s -2<br />
a max : Beschleunigung damit m2 gerade nicht rutscht m s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m 1 : Masse des unteren Körpers kg<br />
m : Masse des oberen Körpers kg<br />
2<br />
m : Gesamtmasse kg<br />
ges<br />
F : Zugkraft N<br />
F max : Zugkraft damit m2 gerade nicht rutscht N<br />
F : Haftreibungskraft N<br />
H<br />
F : Gleitreibungskraft N<br />
G<br />
: Haftreibungskoeffizient<br />
H<br />
: Gleitreibungskoeffizient<br />
G<br />
a aa max 1 2<br />
F<br />
H amaxHg m2<br />
<br />
F m a m m a<br />
max ges max 1 2 max<br />
F F<br />
a1 a2 <br />
mges m1m2 F m g<br />
G G<br />
F ma G<br />
2<br />
G<br />
m 2<br />
m 1<br />
2 2<br />
a g F FG<br />
a1<br />
<br />
m<br />
1<br />
2<br />
F<br />
Beschleunigungen<br />
Massen<br />
Kräfte<br />
Reibungskoeffizienten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 81
Beschleunigung<br />
Seilkraft<br />
Beschleunigung<br />
Seilkraft<br />
Rollenlagerkraft<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.5 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper I<br />
F G : Gewichtskraft des Gewichtes N<br />
F : Beschleunigungskraft des Wagens N<br />
W<br />
F : Seilkraft N<br />
S<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m G : Masse des Gewichtes kg<br />
m : Masse des Wagens kg<br />
W<br />
m : Gesamtmasse kg<br />
ges<br />
F m g<br />
G G<br />
a <br />
mges mW mG<br />
F F m a<br />
S W W<br />
S G<br />
<br />
F m g a<br />
Kräfte<br />
Beschleunigungen<br />
Massen<br />
4.14.6 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper II<br />
F G1<br />
: Gewichtskraft des ersten Gewichtes N<br />
F G2<br />
: Gewichtskraft des zweiten Gewichtes N<br />
F : Seilkraft N<br />
S<br />
F : Rollenlagerkraft N<br />
R<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m 1 : Masse des ersten Gewichtes kg<br />
m : Masse des zweiten Gewichtes kg<br />
2<br />
m : Gesamtmasse kg<br />
ges<br />
F FFF a <br />
m m m<br />
S<br />
S<br />
G1 G2 G1 G2<br />
1<br />
2<br />
ges<br />
<br />
<br />
F m g a<br />
F m g a<br />
F 2 F<br />
R S<br />
1 2<br />
Kräfte<br />
Beschleunigungen<br />
Massen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 82
allgemeines<br />
Vorgehen<br />
Kräfte<br />
Zusammenhänge<br />
Gleichungen und<br />
Beschleunigungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.7 über Flaschenzüge zusammenhängende Körper<br />
Kräftegleichungen aufstellen<br />
Zusammenhänge der Beschleunigungen notieren<br />
Gleichungen erstellen und anschliessend umformen<br />
F G1<br />
: Gewichtskraft N<br />
a 1 : Beschleunigung m s -2<br />
m : Masse kg<br />
1<br />
F : Gewichtskraft N<br />
G2<br />
a 2 : Beschleunigung m s -2<br />
m : Masse kg<br />
2<br />
F : Seilkraft N<br />
S<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
System 1: System 2:<br />
F FF F F 2<br />
F<br />
G1 a1 S<br />
<br />
m g a F<br />
1 1<br />
System 1: System 2:<br />
a 2 a<br />
1 2<br />
S<br />
a a<br />
2<br />
1<br />
2 1<br />
G2 a2 S<br />
<br />
m g a 2<br />
F<br />
2 2<br />
S<br />
System 1, Umlenkrolle<br />
System 2, Flaschenzug<br />
Andere<br />
System 1: System 2:<br />
1 m2 g a 2 1 2<br />
m1 g a1<br />
<br />
g 2<br />
m1m2 a1<br />
<br />
1 2<br />
m12m2 m <br />
m1g2a2 g 2<br />
m1m2 a2<br />
<br />
4m<br />
m<br />
g a<br />
2<br />
1 2<br />
<br />
2 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 83
Energien<br />
Höhen<br />
Geschwindigkeit<br />
Winkel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.8 Pendel<br />
E pot : potentielle Energie J<br />
E kin : kinetische Energie J<br />
v : Geschwindigkeit m s -1<br />
v h : horizontale Geschwindigkeit m s -1<br />
l : Seillänge m<br />
h : Höhe m<br />
h max : maximale Höhe m<br />
: Winkel °<br />
max : maximaler Winkel °<br />
m : Masse kg<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
E E<br />
pot kin<br />
E m g h<br />
pot<br />
1<br />
E m v<br />
2<br />
2<br />
kin h<br />
hl h<br />
max<br />
1 cos<br />
<br />
2<br />
vh<br />
<br />
2<br />
g<br />
2 2<br />
h h<br />
<br />
v v 2 g h v 2 g l 1 cos <br />
2 2<br />
v v h<br />
arccos1 <br />
2 gl <br />
<br />
E pot<br />
max<br />
l<br />
E kin<br />
<br />
2 v h<br />
arccos1 <br />
2 gl v h<br />
h<br />
Energien<br />
Geschwindigkeiten<br />
Abmessungen<br />
Winkel<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 84
Energieerhaltung<br />
Energie am<br />
Startpunkt<br />
Energie am<br />
Endpunkt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.9 rollendes rundes Objekt auf schiefer Ebene<br />
E tot : Gesamtenergie J<br />
E : potentielle Energie J<br />
pot<br />
E kin : kinetische Energie J<br />
E : Rotationsenergie J<br />
Rot<br />
E : ... Energie am Startpunkt J<br />
...,i<br />
E ...,x : ... Energie an beliebigem Punkt J<br />
E ..., f : ... Energie am Endpunkt J<br />
h : Höhe des Startpunktes m<br />
y : Höhe bei beliebigem Punkt m<br />
R : Radius der Rolle m<br />
vv , f : Geschwindigkeit, Endgeschwindigkeit m s -1<br />
, f : Winkelgeschwindigkeit, Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
aa: , Beschleunigung m s -2<br />
,<br />
gg : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
fH, f H : Haftreibungskraft N<br />
f : Reibungskraft N<br />
R<br />
f N : Normalkraft N<br />
m : Masse kg<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
:<br />
2<br />
Trägheitsfaktor J m R<br />
: Neigungswinkel der schiefen Ebene °<br />
: Reibungskoeffizient<br />
M : Drehmoment N m<br />
E E E E<br />
tot pot, i kin, f Rot, f<br />
1 2 1 2<br />
Etot m g h m v f J <br />
f<br />
2 2<br />
2<br />
Etot m g h v f m 2<br />
2 R<br />
E m g h<br />
E<br />
E<br />
E<br />
pot, i<br />
kin, i<br />
Rot, i<br />
pot, f<br />
0<br />
0<br />
0<br />
1<br />
J <br />
<br />
<br />
1 2<br />
Ekin, f Epot , i ERot, f m g h J <br />
f<br />
2<br />
1 2<br />
ERot, f Epot , i Ekin, f m g h m v f<br />
2<br />
v f<br />
f <br />
R<br />
Energien<br />
Abmessungen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
Kräfte<br />
Objekt<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 85
Energie an<br />
beliebigem Punkt x<br />
Endgeschwindigkeit<br />
Beschleunigung<br />
Haftreibungskraft<br />
Drehmoment<br />
Rollen ohne Gleiten<br />
Trägheitsfaktoren<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
E E E E E<br />
tot pot, i pot, x kin, x Rot, x<br />
1 2 1 2<br />
Etot m g h m g y m v J <br />
2 2<br />
v<br />
f<br />
2gh2gh <br />
J<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
mR gsin gsin<br />
a <br />
J<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
mR <br />
f m g sin m a<br />
f<br />
H<br />
H<br />
J Ja 2<br />
R R<br />
M fR R<br />
Kein Gleiten solange:<br />
f f<br />
H R<br />
<br />
cos<br />
<br />
f m g sin m a<br />
H <br />
f m g N<br />
Objekt Trägheitsfaktor <br />
Massenpunkt 0<br />
Kreisring, dünn 1<br />
Kreisscheibe, dünn<br />
Vollkugel<br />
Hohlkugel, dünnwandig<br />
Vollzylinder<br />
Hohlzylinder, dünnwandig 1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
5<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 86
Berechnung mit<br />
Translation und<br />
Rotation<br />
Berechnung mit<br />
Impuls und<br />
Drehimpuls<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.10 gleitfreies Rollen von rundem Objekt (z. B. Billardkugel)<br />
F : Kraft N<br />
M : Drehmoment N m<br />
p : Impuls N s<br />
LL: , Drehimpuls kg m 2 s -1<br />
R : Radius den runden Objekts m<br />
x : horizontale Distanz zum Schwerpunkt m<br />
v S : Geschwindigkeit des Schwerpunkts m s -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
a S : Beschleunigung des Schwerpunkts m s -2<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
m : Masse kg<br />
Rollbedingung:<br />
a R <br />
S<br />
Gleichungen:<br />
F m a m R <br />
M F x J <br />
JJ x <br />
F m R<br />
S<br />
Rollbedingung:<br />
v R <br />
S<br />
Gleichungen:<br />
p m v m R <br />
L p x J <br />
J <br />
J<br />
x <br />
p m R<br />
Translation und Rotation<br />
Impulse<br />
Abmessungen<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 87
Drehmoment<br />
Bremsbeschleunigung <br />
Winkelbeschleunigung<br />
Rollgeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.11 gleitendes rundes Objekt auf horizontaler Ebene (z. B. Bowlingkugel)<br />
MM , : Drehmoment N m<br />
fG, f G : Gleitreibungskraft N<br />
t : Zeit bis Objekt nur noch rollt s<br />
: Gleitreibungskoeffizient<br />
G<br />
v 0 : Geschwindigkeit bei der Objekt nur gleitet m s -1<br />
v 1 : Geschwindigkeit bei der Objekt nur noch rollt m s -1<br />
0 : Winkelgeschwindigkeit bei der Objekt nur gleitet 0 rad s -1<br />
1 : Winkelgeschwindigkeit bei der Objekt nur noch rollt rad s -1<br />
a : Bremsbeschleunigung während Gleiten m s -2<br />
: Winkelbeschleunigung während Gleiten rad s -2<br />
,<br />
rr: Radius m<br />
m : Masse kg<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
: Trägheitsfaktor<br />
M r f<br />
G<br />
J m r<br />
10 v1<br />
M r fG J J J<br />
t<br />
<br />
r t<br />
v1v0 v1<br />
M r m a r m J<br />
t<br />
<br />
r t<br />
f mg G<br />
m m<br />
G G<br />
a g<br />
M r m g g <br />
<br />
J mrr v0 v0<br />
v1<br />
<br />
J<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
mr G G<br />
2<br />
2<br />
Andere<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
Objekt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 88
Kräfte<br />
Schwerelosbedingung<br />
Energien<br />
benötige Starthöhe<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.12 gleitende Kugel in Looping<br />
F Zf : Zentrifugalkraft N<br />
F G : Gewichtskraft N<br />
F : Normalkraft N<br />
N<br />
E : Gesamtenergie J<br />
tot<br />
E : kinetische Energie J<br />
kin<br />
E : ... Energie am Startpunkt J<br />
...,i<br />
E ..., f : ... Energie am höchsten Punkt des Loopings J<br />
m : Masse kg<br />
v : Geschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings m s -1<br />
h : Starthöhe m<br />
R : Radius des Loopings m<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
mv FZf<br />
<br />
R<br />
F mg G<br />
h<br />
i<br />
2<br />
F F F<br />
N G Zf<br />
F 0 F F<br />
N G Zf<br />
tot pot, i<br />
2<br />
v<br />
g <br />
R<br />
E E m g h<br />
1<br />
Etot Epot, f Ekin, f m g 2<br />
R m v<br />
2<br />
E EE pot, i pot, f kin, f<br />
1<br />
m g h m g 2<br />
R m v<br />
2<br />
2<br />
v 2gh4gR g R 2gh4g R<br />
h2.5 R<br />
2<br />
F Zf<br />
F G<br />
f<br />
R<br />
2<br />
Kräfte<br />
Energien<br />
Kugel<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 89
Kräfte<br />
Schwerelosbedingung<br />
Energien<br />
benötigte Starthöhe<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.13 rollende Kugel in Looping<br />
F Zf : Zentrifugalkraft N<br />
F G : Gewichtskraft N<br />
F : Normalkraft N<br />
N<br />
E : Gesamtenergie J<br />
tot<br />
E : potentielle Energie am Startpunkt J<br />
pot, i<br />
E pot, f : potentielle Energie am höchsten Punkt des Loopings J<br />
E kin, f : kinetische Energie höchsten Punkt des Loopings J<br />
E Rot, f : Rotationsenergie höchsten Punkt des Loopings J<br />
m : Masse kg<br />
r : Radius m<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
v : Geschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings m s -1<br />
: Winkelgeschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings rad s -1<br />
h : Starthöhe m<br />
R : Radius des Loopings m<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
2<br />
mv FZf<br />
<br />
Rr F mg G<br />
h<br />
i<br />
F F F<br />
N G Zf<br />
F 0 F F<br />
N G Zf<br />
tot pot, i<br />
2<br />
v<br />
g <br />
Rr E E m g h<br />
pot, i pot, f kin, f Rot, f<br />
2<br />
Kräfte<br />
Energien<br />
Kugel<br />
Andere<br />
1<br />
Etot Epot, f Ekin, f ERot, f m g 2Rrmv 2<br />
1 7<br />
J m g 2Rrmv 2 10<br />
E E E E<br />
7<br />
m g h m g 2R<br />
r m v<br />
10<br />
2 10 g r h 2R<br />
v <br />
7<br />
<br />
10 g r h 2<br />
R<br />
g R r<br />
<br />
7<br />
h 2.7 R 1.7 r<br />
F Zf<br />
F G<br />
f<br />
R<br />
2 2 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 90
Situationen<br />
Vorzeichenwechsel<br />
des Drehmoments<br />
Beschleunigung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.14 Garnrolle<br />
F : Zugkraft N<br />
F : Beschleunigungskraft N<br />
a<br />
F : horizontal wirkende Kraft am Auflagepunkt N<br />
H<br />
F : Haftreibungskraft N<br />
HR<br />
F : Normalkraft N<br />
N<br />
x S : Beschleunigung des Schwerpunkts m s -2<br />
: Winkelbeschleunigung des Schwerpunkts rad s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m : Masse m<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
r : Innenradius m<br />
R : Aussenradius m<br />
: Winkel zwischen Zugkraft und Horizontalen °<br />
M : Drehmoment N m<br />
: Haftreibungskoeffizient<br />
H<br />
Kräfte<br />
Beschleunigungen<br />
Garnrolle<br />
Andere<br />
heranrollen wegrollen heranrutschen<br />
r <br />
arccos<br />
<br />
R horizontal wirkende Kraft am Auflagepunkt:<br />
F F cos F F cos m x<br />
<br />
H a S<br />
Drehmoment:<br />
M J <strong>FH</strong> R F r<br />
xS<br />
xS<br />
M J <strong>FH</strong> R F r mit <br />
R<br />
R<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 91
minimaler μH für<br />
reines Rollen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
Drehmomentgleichung nach F H auflösen und mit Kraftgleichung gleichsetzen:<br />
Jx Fr F F cos m x<br />
R R<br />
S<br />
H 2<br />
S<br />
Beschleunigung:<br />
r r <br />
F cos 0,wenn arccos<br />
<br />
R R <br />
xS<br />
<br />
<br />
J<br />
<br />
m <br />
r <br />
2 0,wenn arccos R <br />
<br />
R Rollbedingung<br />
H HR H N H<br />
sin<br />
<br />
F F F m g F <br />
J xS Fr 2<br />
H <br />
R R<br />
m g F sin<br />
<br />
Einsetzen von S x und auflösen nach H :<br />
<br />
H<br />
<br />
cos<br />
<br />
sin <br />
F r R m J <br />
2 m R J m g F <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 92
Kräfte<br />
Abhebekriterium<br />
Energien<br />
Abhebewinkel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.15 Punktmasse auf Kugel<br />
h<br />
F Zf : Zentrifugalkraft (zeigt vom Zentrum weg) N<br />
F Gz : Gewichtskraft zum Zentrum N<br />
F : Normalkraft N<br />
N<br />
E : Gesamtenergie J<br />
tot<br />
E : kinetische Energie J<br />
kin<br />
E : ... Energie am Startpunkt J<br />
...,i<br />
E ..., f : ... Energie am Abhebepunkt J<br />
m : Masse kg<br />
: Winkel beim Abheben °<br />
v : Geschwindigkeit beim Abheben m s -1<br />
h : Höhe beim Abheben m<br />
R : Radius der Kugel m<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
2<br />
mv FZf<br />
<br />
R<br />
F m g cos<br />
Gz<br />
R<br />
F FF N Gz Zf<br />
<br />
F 0 F F<br />
N Gz Zf<br />
tot pot, i<br />
pot, i pot, f kin, f<br />
2<br />
v<br />
g cos R<br />
E E m g 2<br />
R<br />
2<br />
v g R g R<br />
<br />
Kräfte<br />
Energien<br />
Punktmasse<br />
Andere<br />
1<br />
Etot Epot, f Ekin, f m g h m v<br />
2<br />
1<br />
m g R R cos<br />
<br />
m v<br />
2<br />
E EE 1<br />
m g 2 R m g R R cos<br />
<br />
m v<br />
2<br />
2 2 cos<br />
g R cos 2 g R 2 g R<br />
cos<br />
2<br />
cos 48.19<br />
3<br />
i<br />
<br />
f<br />
F Gz<br />
F Zf<br />
2 2<br />
2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 93
vektorielle<br />
Gleichungen<br />
Drehmomentgleichung<br />
Kräftegleichung<br />
Beschleunigung<br />
Extremfälle<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.16 beschleunigte Drehung eines Rades<br />
MM , : Drehmoment N m<br />
rr: , Radius m<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
: , Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
FF , : Zugkraft N<br />
m : Masse des Klotzes kg<br />
aa: , Beschleunigung des Klotzes m s -2<br />
gg , : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
M r F J <br />
m g F m a<br />
a<br />
M r F J J <br />
r<br />
m g F m a<br />
J<br />
m g a m a<br />
2<br />
r<br />
g<br />
a <br />
J<br />
1<br />
mr g<br />
r<br />
J<br />
1<br />
mr 2<br />
2<br />
Situation Beschleunigung<br />
m a g<br />
m 0 a 0<br />
J<br />
J<br />
<br />
0<br />
a 0<br />
a g<br />
a<br />
<br />
r<br />
a<br />
<br />
r<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 94<br />
Rad<br />
Klotz
Energieerhaltung<br />
Fadenkraft<br />
Drehmoment<br />
Endgeschwindigkeit<br />
Beschleunigung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.17 Jojo aus einer Scheibe<br />
E tot : Gesamtenergie J<br />
E : potentielle Energie am Startpunkt J<br />
pot, i<br />
E kin, f : kinetische Energie am Endpunkt J<br />
E Rot, f : Rotationsenergie am Endpunkt J<br />
v f : Endgeschwindigkeit m s -1<br />
f : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
gg , : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m : Masse kg<br />
R : Radius m<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
: Trägheitsfaktor<br />
J m R<br />
FF , : Fadenkraft N<br />
M : Drehmoment N<br />
h : zurückgelegte Höhe m<br />
E E E E<br />
tot pot, i kin, f Rot, f<br />
1 2 1 2<br />
Etot m g h m v f J <br />
f<br />
2 2<br />
2<br />
Etot m g h v f m 2<br />
2 R<br />
<br />
F m g a<br />
a<br />
F J <br />
R<br />
2<br />
1<br />
a<br />
M R F J J <br />
R<br />
v<br />
f<br />
R<br />
M <br />
g<br />
J <br />
<br />
<br />
2gh2gh <br />
J<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
mR g g<br />
a <br />
J<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
mR F<br />
2<br />
v f<br />
f <br />
R<br />
Energien<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 95<br />
Jojo<br />
Andere
Energieerhaltung<br />
Fadenkraft<br />
Drehmoment<br />
Endgeschwindigkeit<br />
Beschleunigung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Dynamik Editiert: 21.02.2011<br />
4.14.18 Jojo aus masselosem Stab und zwei Scheiben<br />
E tot : Gesamtenergie J<br />
E : potentielle Energie am Startpunkt J<br />
pot, i<br />
E kin, f : kinetische Energie am Endpunkt J<br />
E Rot, f : Rotationsenergie am Endpunkt J<br />
v f : Endgeschwindigkeit m s -1<br />
f : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
a : Beschleunigung m s -2<br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
gg , : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
m : Masse kg<br />
r : innerer Radius m<br />
R : äusserer Radius m<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
: Trägheitsfaktor<br />
J m R<br />
FF , : Fadenkraft N<br />
M : Drehmoment N<br />
h : zurückgelegte Höhe m<br />
E E E E<br />
tot pot, i kin, f Rot, f<br />
1 2 1 2<br />
Etot m g h m v f J <br />
f<br />
2 2<br />
2<br />
Etot m g h v f m 2<br />
2 r<br />
<br />
F m g a<br />
a<br />
F J 2<br />
r<br />
1<br />
a<br />
M r F J J <br />
r<br />
v<br />
f<br />
R<br />
J <br />
<br />
<br />
2gh2gh <br />
J<br />
1 R<br />
1<br />
mr r<br />
2 2<br />
g g<br />
a <br />
J<br />
1 R<br />
1<br />
mr r<br />
r<br />
m g<br />
F<br />
2 2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
v f<br />
f <br />
r<br />
Energien<br />
Geschwindigkeiten<br />
Beschleunigungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 96<br />
Jojo<br />
Andere
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 97
Spannen und<br />
loslassen<br />
Auslenkung aus der<br />
Ruhelage<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5 Schwingungen<br />
5.1 ungedämpfte Schwingung<br />
5.1.1 Federschwinger, Federpendel<br />
5.1.1.1 Schwingungsgleichung<br />
Aufbau Ruhelage<br />
Weg, Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung<br />
Weg, Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
0<br />
T 0 : Periodendauer s<br />
A : Auslenkungsamplitude m<br />
v 0 :<br />
Anfangsgeschwindigkeit<br />
beim Durchgang durch die Ruhelage<br />
xt : Weg, Auslenkung m<br />
<br />
m s-1<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
at : Beschleunigung m s -2<br />
t : Zeit s<br />
x : maximale Auslenkung m<br />
max<br />
v max : maximale Geschwindigkeit m s -1<br />
a max : maximale Beschleunigung m s -2<br />
F : Gewichtskraft der Masse N<br />
G<br />
m : Masse kg<br />
c : Federkonstante N m -1<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
Eigenschwingung<br />
Schwingung<br />
Maximalgrössen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 98
Kreisfrequenz<br />
Periodendauer<br />
Auslenkungsamplitude <br />
Bewegungsgleichung<br />
Amplituden<br />
bei maximaler<br />
Auslenkung<br />
bei Nulldurchgang<br />
bei beliebiger<br />
Position<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
0<br />
0<br />
c<br />
m<br />
T 2<br />
<br />
A x<br />
A<br />
m<br />
c<br />
F mg c c<br />
G max <br />
mv c<br />
2<br />
0<br />
beim Anstossen aus der Ruhelage<br />
m at c xt 0<br />
cos00<br />
0sin00 <br />
2<br />
cos<br />
<br />
x t A t<br />
v t A t<br />
a t A t<br />
0 0 0<br />
Spannen und loslassen Auslenkung aus der Ruhelage<br />
cos 0 <br />
0sin0 <br />
2<br />
cos<br />
<br />
x t A t<br />
v t A t<br />
a t A t<br />
x A<br />
max<br />
v A<br />
max 0<br />
a A<br />
2<br />
max 0<br />
5.1.1.2 Energie<br />
0 0<br />
sin0 <br />
0cos0 <br />
2<br />
sin <br />
x t A t<br />
E tot : Gesamtenergie J<br />
,<br />
pot pot<br />
<br />
<br />
E E t : potentielle Energie J<br />
E , E t : kinetische Energie J<br />
v t A t<br />
a t A t<br />
0 0<br />
Energien<br />
kin kin<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1 Eigenschwingung<br />
0 : Phasenverschiebung rad<br />
A : Auslenkungsamplitude m<br />
xt : Weg, Auslenkung m<br />
<br />
vt : Geschwindigkeit m s -1<br />
m : Masse kg<br />
c : Federkonstante N m -1<br />
1<br />
Etot Epot c A<br />
2<br />
2<br />
1 1 c 1<br />
Etot Ekin m A m A c A<br />
2 2 m 2<br />
2 2<br />
0<br />
2 2<br />
Epot t<br />
1<br />
2<br />
c x t<br />
1<br />
2<br />
c A t<br />
Ekin t<br />
1<br />
2<br />
m v t<br />
1<br />
2<br />
m A t<br />
2 2 2<br />
cos <br />
0 0<br />
Schwingung<br />
Andere<br />
2 2 2 2<br />
sin <br />
0 0 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 99
Spannen und<br />
loslassen<br />
Auslenkung aus der<br />
Ruhelage<br />
Kreisfrequenz<br />
Periodendauer<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.2 Drehschwinger, Drehpendel, Torsionspendel<br />
5.1.2.1 Schwingungsgleichung<br />
Winkel, Drehung Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung<br />
Winkel, Drehung Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
0<br />
T 0 : Periodendauer s<br />
A : Drehamplitude rad<br />
0 :<br />
Anfangswinkelgeschwindigkeit<br />
beim Durchgang durch die Ruhelage<br />
rad s -1<br />
: Winkel, Drehung rad<br />
t <br />
t : Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
t <br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
t : Zeit s<br />
: maximale Drehung rad<br />
max<br />
max : maximale Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
max : maximale Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
M : Drehmoment N m<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
c r : Drehfederkonstante N m rad -1<br />
<br />
0<br />
0<br />
cr<br />
J<br />
T 2<br />
<br />
J<br />
c<br />
r<br />
Eigenschwingung<br />
Schwingung<br />
Maximalgrössen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 100
Drehamplitude<br />
Bewegungsgleichung<br />
Amplituden<br />
bei maximaler<br />
Auslenkung<br />
bei Nulldurchgang<br />
bei beliebiger<br />
Position<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
M<br />
A max c<br />
A<br />
2<br />
J 0<br />
c<br />
r<br />
r<br />
z. B. beim Anstossen aus der Ruhelage<br />
0<br />
J t c t <br />
r<br />
t A cos<br />
0t0 t A 0 sin 0 t 0<br />
<br />
t A <br />
2<br />
cos<br />
t <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
0 0 0<br />
Spannen und loslassen Auslenkung aus der Ruhelage<br />
t A cos<br />
0 t<br />
<br />
t A 0sin 0t<br />
t A <br />
2<br />
cos<br />
t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
max<br />
A<br />
A<br />
max 0<br />
A<br />
2<br />
max 0<br />
5.1.2.2 Energie<br />
tot<br />
0 0<br />
t A sin<br />
0 t<br />
<br />
t A 0cos0t t A <br />
2<br />
sin t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
E : Gesamtenergie J<br />
,<br />
pot pot<br />
<br />
<br />
E E t :<br />
potentielle Federenergie,<br />
Spannungsenergie<br />
J<br />
0 0<br />
ERot , ERot t : Rotationsenergie J<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1<br />
0 : Phasenverschiebung rad<br />
A : Drehamplitude rad<br />
t : Winkel, Drehung rad<br />
<br />
t : Winkelgeschwindigkeit rad s -1<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
c r : Drehfederkonstante N m rad -1<br />
1<br />
Etot Epot cr A<br />
2<br />
2<br />
1 1 c 1<br />
E E J A J A c A<br />
2 2 J 2<br />
2 2 2 r<br />
2<br />
tot Rot 0<br />
r<br />
Epot t<br />
1<br />
2<br />
cr t<br />
1<br />
2<br />
cr A t<br />
ERot t<br />
1<br />
2<br />
J t<br />
1<br />
2<br />
J A t<br />
2 2 2<br />
cos <br />
0 0<br />
2 2 2 2<br />
sin <br />
0 0 0<br />
Energien<br />
Eigenschwingung<br />
Schwingung<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 101
Drehfederkonstante<br />
Trägheitsmoment<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.2.3 Drehschwinger eines Feder-Masse-Systems<br />
c r : Drehfederkonstante N m rad -1 c : Federkonstante N m<br />
Federkonstanten<br />
-1<br />
J ges : Gesamtträgheitsmoment kg m 2<br />
J st : Trägheitsmoment des Stabes kg m 2<br />
J k : Trägheitsmoment der Kugel kg m 2<br />
m st :<br />
m k :<br />
Masse des Stabes<br />
Masse der Kugel<br />
kg<br />
kg<br />
Massen<br />
L : Länge des Stabes m Andere<br />
c c L<br />
2<br />
r 2<br />
für kleine Auslenkungen<br />
1<br />
J st mst L<br />
3<br />
J m 2<br />
L<br />
k k<br />
2<br />
1 J ges Jst Jk mst mk L<br />
3 2<br />
Trägheitsmomente<br />
5.1.3 Stabsschwinger eines Stab-Masse-Systems<br />
c<br />
cc , S : Federkonstante des Stabschwingers N m -1<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
A : Querschnitt m 2<br />
l : Länge m<br />
S<br />
EA <br />
l<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 102
Federn<br />
Stäbe<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.4 Biegeschwinger eines Balken-Masse-Systems<br />
c<br />
cc , B : Federkonstante des Biegeschwingers N m -1<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
J : axiales Flächenträgheitsmoment m 4<br />
l : Länge m<br />
B<br />
3EJ<br />
3<br />
l<br />
5.1.5 Systeme mit mehreren Federn<br />
5.1.5.1 Parallelschaltung<br />
c : gesamte Federkonstante N m -1 c i : einzelne Federkonstante N m<br />
Federkonstanten<br />
-1<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
J : axiales Flächenträgheitsmoment m<br />
Stäbe<br />
4<br />
ab: , Längen m<br />
A : Querschnitt m 2<br />
c c1 c2<br />
3<br />
E J E A<br />
c c c <br />
B S<br />
3<br />
a b<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 103
Federn<br />
Stäbe<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.5.2 Reihenschaltung<br />
c : gesamte Federkonstante N m -1 c i : einzelne Federkonstante N m<br />
Federkonstanten<br />
-1<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
J : axiales Flächenträgheitsmoment m<br />
Stäbe<br />
4<br />
ab: , Längen m<br />
A : Querschnitt m 2<br />
c1c2 c <br />
c c<br />
1 2<br />
cB cS 3<br />
E J A<br />
c <br />
c c 3<br />
J b A a<br />
B S<br />
3<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 104
Federkonstante<br />
Kreisfrequenz<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.5.3 kombinierte Parallel- und Reihenschaltung<br />
(Aufbaumasse m gleichmässig auf beide Achsen verteilt.)<br />
c ges : gesamte Federkonstante N m -1<br />
c F : gesamte Federkonstante des Fahrzeugaufbaus N m -1<br />
c R : gesamte Federkonstante der Reifen N m -1<br />
c , c : Federkonstanten des Fahrzeugaufbaus N m -1<br />
F1 F2<br />
c , c : Federkonstanten der Reifen N m -1<br />
R1 R2<br />
0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1 Andere<br />
c<br />
m : Aufbaumasse kg<br />
c c<br />
cF cF cR cR<br />
<br />
F R<br />
1 2 1 2<br />
ges <br />
cF cR cF c<br />
1 F c<br />
2 R c<br />
1 R2<br />
0<br />
<br />
c<br />
m<br />
2<br />
<br />
2<br />
c<br />
m<br />
ges ges<br />
Federkonstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 105
Bewegungsgleichung<br />
Kreisfrequenz<br />
Periodendauer<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.6 mathematisches Pendel, Fadenpendel<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1<br />
T : Periodendauer s<br />
0<br />
F : Zentripetalkraft N<br />
Zp<br />
F n : Normalkraft N<br />
l : Länge des Fadens m<br />
t : Winkel rad<br />
t <br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
F F<br />
Zp n<br />
sin<br />
<br />
m l t m g t<br />
<br />
l t g sin t 0<br />
0<br />
l t g t für kleine Auslenkungen<br />
0<br />
g<br />
l<br />
für kleine Auslenkungen<br />
l<br />
T0<br />
2<br />
für kleine Auslenkungen<br />
g<br />
Eigenschwingung<br />
Kräfte<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 106
Bewegungsgleichung<br />
Kreisfrequenz<br />
Periodendauer<br />
Bezug zum mathematischen<br />
Pendel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.1.7 physikalisches Pendel, Körperpendel<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1<br />
T 0 : Periodendauer s<br />
m : Masse des Pendels kg<br />
J : Trägheitsmoment kg m 2<br />
l : Abstand zum Schwerpunkt m<br />
l r : Länge des äquivalenten Fadenpendels m<br />
t : Winkel rad<br />
t <br />
: Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
<br />
J t m g l sin t 0<br />
0<br />
J t m g l t für kleine Auslenkungen<br />
<br />
0<br />
0<br />
m gl J<br />
für kleine Auslenkungen<br />
T 2<br />
<br />
J<br />
lr <br />
ml <br />
J<br />
m gl für kleine Auslenkungen<br />
Eigenschwingung<br />
Pendel<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 107
Dämpfung<br />
Anordnung<br />
Kreisfrequenz der<br />
Eigenschwingung<br />
Kreisfrequenz der<br />
realen Schwingung<br />
Periodendauer<br />
Dämpfung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.2 gedämpfte Schwingung<br />
5.2.1 Federschwinger, Federpendel<br />
normale Anordnung alternative Anordnung<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1 Eigenschwingung<br />
T : Periodendauer s<br />
0<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
T : Periodendauer s<br />
: Abklingkonstante s -1<br />
m : Masse kg<br />
c : Federkonstante N m -1<br />
k : Dämpfungskonstante N s m -1<br />
<br />
0<br />
c<br />
m<br />
<br />
2<br />
<br />
T0<br />
<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
<br />
T <br />
<br />
k<br />
<br />
2<br />
m<br />
reale Schwingung<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 108
Kreisfrequenz der<br />
Eigenschwingung<br />
Kreisfrequenz der<br />
realen Schwingung<br />
Periodendauer<br />
Dämpfung<br />
Konstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.2.2 Drehschwinger eines Dämpfer-Feder-Masse-Systems<br />
0 : Kreisfrequenz rad s -1<br />
T : Periodendauer s<br />
0<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
T : Periodendauer s<br />
J ges : Gesamtträgheitsmoment kg m 2<br />
J st : Trägheitsmoment des Stabes kg m 2<br />
J k : Trägheitsmoment der Kugel kg m 2<br />
m : Masse des Stabes kg<br />
st<br />
m : Masse der Kugel kg<br />
k<br />
: Abklingkonstante s -1<br />
L : Länge des Stabes m<br />
c r : Drehfederkonstante N m rad -1<br />
k r : Drehdämpfungskonstante N s m rad -1<br />
c : Federkonstante N m -1<br />
k : Dämpfungskonstante N s m -1<br />
<br />
0<br />
c<br />
J<br />
r<br />
ges<br />
<br />
2<br />
<br />
T0<br />
<br />
<br />
2 2<br />
0<br />
0<br />
2<br />
<br />
T <br />
<br />
kr<br />
<br />
2<br />
J<br />
c c L<br />
ges<br />
2<br />
r für kleine Auslenkungen<br />
k k L<br />
L<br />
2<br />
r für kleine Auslenkungen<br />
c<br />
m<br />
k<br />
Eigenschwingung<br />
reale Schwingung<br />
Trägheitsmomente<br />
Massen<br />
Andere<br />
Konstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 109
Trägheitsmoment<br />
aufeinanderfolgende<br />
Amplituden<br />
beliebige Amplituden<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
1<br />
J st mst L<br />
3<br />
J m 2<br />
L<br />
k k<br />
2<br />
1 J ges Jst Jk mst mk L<br />
3 5.2.3 logarithmisches Dekrement δ ∙ T<br />
T : Periodendauer s<br />
: Abklingkonstante s -1<br />
A : Auslenkungsamplitude i m<br />
i<br />
A : Auslenkungsamplitude i + 1 m<br />
i 1<br />
A : Auslenkungsamplitude i + n m<br />
i n<br />
A i ln T<br />
A<br />
i1<br />
<br />
A i1<br />
<br />
ln <br />
Ai<br />
<br />
T<br />
A i ln nT<br />
Ain<br />
<br />
A in ln nT<br />
Ai<br />
<br />
Ai<br />
A<br />
i1<br />
A<br />
A<br />
i1<br />
i<br />
Ai<br />
A<br />
in A<br />
A<br />
in i<br />
2<br />
e<br />
e<br />
e<br />
e<br />
T<br />
T nT nT reale Schwingung<br />
Amplituden<br />
n<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 110
Dämpfungsgrad<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.2.4 aperiodische Bewegung<br />
0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1<br />
: Abklingkonstante s -1<br />
: Dämpfungsgrad<br />
m : Masse kg<br />
k : Dämpfungskonstante N s m -1<br />
Amplitude Phase<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
k<br />
<br />
2m<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 111
Grenzfall, kritische<br />
Dämpfung<br />
Kriechfall<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
0<br />
2 2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
2 2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 112
Frequenzverhältnis<br />
Kreisfrequenz<br />
Amplitude<br />
Phasenverschiebung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.3 erzwungene Schwingung<br />
5.3.1 allgemein<br />
0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1<br />
e : Erregerkreisfrequenz rad s -1<br />
: Frequenzverhältnis<br />
xt : Weg, Auslenkung m<br />
A : Amplitude m<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
t : Zeit s<br />
F : Erregerkraft N<br />
0<br />
m :<br />
c :<br />
Masse<br />
Federkonstante<br />
kg<br />
N m -1<br />
k : Dämpfungskonstante N s m -1<br />
Amplitudengang Situationen<br />
e<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
A <br />
0<br />
c<br />
m<br />
2<br />
2 ke <br />
2 2 0e F0<br />
m<br />
k e<br />
<br />
<br />
arctan<br />
m<br />
<br />
2 2 <br />
0e <br />
<br />
m <br />
Kreisfrequenzen<br />
erzwungene Schwingung<br />
Andere<br />
η < 1: unterkritischer Bereich<br />
η = 1: Resonanzkatastrophe<br />
η > 1: überkritischer Bereich<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 113
stationäre Lösung<br />
Amplitude<br />
Amplitude<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
x t A cos e t<br />
5.3.2 Unwucht<br />
statische Unwucht Momentenunwucht dynamische Unwucht<br />
0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1<br />
e : Erregerkreisfrequenz rad s -1<br />
A : Amplitude m<br />
F 0 :<br />
m :<br />
Erregerkraft<br />
Masse<br />
N<br />
kg<br />
m : Unwuchtmasse kg<br />
u<br />
r :<br />
c :<br />
Abstand zur Unwuchtmasse<br />
Federkonstante<br />
m<br />
N m -1<br />
k : Dämpfungskonstante N s m -1<br />
A <br />
2<br />
2 ke <br />
2 2 0e 2<br />
mu re m<br />
m <br />
5.3.3 Zwangsführung<br />
F m r <br />
0 u<br />
2<br />
e<br />
0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1<br />
e : Erregerkreisfrequenz rad s -1<br />
A : Amplitude m<br />
F 0 :<br />
m :<br />
Erregerkraft<br />
Masse<br />
N<br />
kg<br />
x : Auslenkung durch die Zwangsführung m<br />
0<br />
k : Dämpfungskonstante N s m -1<br />
A <br />
x<br />
0<br />
2 2 0e <br />
2<br />
e<br />
2<br />
2 ke <br />
m <br />
F m x <br />
0 0<br />
2<br />
e<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 114
Situationen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.4 gekoppelte Schwingung<br />
5.4.1 gekoppelte Massen<br />
c1 c2 c3<br />
m1<br />
x1<br />
1 1<br />
1<br />
m1<br />
m1<br />
1 1<br />
m1<br />
m1<br />
1: Kräfte die auf die Masse m1 wirken.<br />
2: Kräfte die auf die Masse m2 wirken.<br />
1<br />
m1<br />
m1<br />
2<br />
1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 115<br />
m2<br />
m2<br />
m2<br />
m2<br />
x2<br />
2<br />
m2<br />
2 2<br />
m2<br />
2 2<br />
1<br />
m1<br />
1 1<br />
1<br />
m1<br />
m1<br />
m2<br />
2 2<br />
m2<br />
1<br />
2<br />
m2<br />
2 2<br />
m2<br />
2
Bewegungsgleichungen<br />
gleichsinnige,<br />
Schwingung<br />
(x1 = x2)<br />
gegensinnige,<br />
Schwingung<br />
(x1 = - x2)<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
m i : Masse kg<br />
c i : Federkonstante N m -1<br />
x : Auslenkung m<br />
i<br />
x i : Beschleunigung m s -2<br />
1 :<br />
2 :<br />
Kreisfrequenz der gleichsinnigen<br />
Eigenschwingung des Systems<br />
Kreisfrequenz der gegensinnigen<br />
Eigenschwingung des Systems<br />
<br />
<br />
m1 x1 c1 x1 c2 x2 x1<br />
<br />
m x c x c x x<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2 2 3 2 2 2 1<br />
c<br />
m<br />
c<br />
m<br />
3 c<br />
m<br />
c2c m<br />
2<br />
m mm 1 2<br />
c c c c<br />
1 2 3<br />
m mm 1 2<br />
c cc 1 3<br />
m mm 1 2<br />
c c c c<br />
1 2 3<br />
m mm 1 2<br />
c cc 1 3<br />
rad s -1<br />
rad s -1<br />
Aufbau<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 116
Bewegungsgleichungen<br />
gleichsinnige<br />
Schwingung<br />
(θ1 = θ2)<br />
gegensinnige<br />
Schwingung<br />
(θ1 = - θ2)<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.4.2 gekoppelte Pendel<br />
m i : Masse eines Pendels kg<br />
J : Trägheitsmoment eines Pendels kg m 2<br />
k : Federkonstante N m -1<br />
l : Angriffshöhe der Feder m<br />
L : Länge des Fadens m<br />
: Auslenkungswinkel rad<br />
i<br />
i : Winkelbeschleunigung rad s -2<br />
1 :<br />
2 :<br />
Kreisfrequenz der gleichsinnigen<br />
Eigenschwingung des Systems<br />
Kreisfrequenz der gegensinnigen<br />
Eigenschwingung des Systems<br />
rad s -1<br />
rad s -1<br />
g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2<br />
<br />
<br />
2<br />
J 1 m g L 1 k l 2 1<br />
2<br />
J 2 m g L 2 k l 2 1<br />
g<br />
L<br />
1 1 2<br />
g 2kl<br />
2<br />
2<br />
L m L<br />
m m m<br />
2<br />
m1 m2 m<br />
m1 m2 m<br />
Aufbau<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 117
Schwebungsfall<br />
maximale Länge<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
g<br />
1 l L<br />
l<br />
g m m<br />
2<br />
k <br />
l m m<br />
1 2<br />
1 2<br />
l L<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 118
einzelne Wellen<br />
resultierende Welle<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.5 Interferenz<br />
5.5.1 Interferenzarten<br />
konstruktive Interferenz destruktive Interferenz<br />
5.5.2 gleiche Frequenz und Amplitude aber unterschiedliche<br />
Phasenverschiebung<br />
yit : einzelne Welle m<br />
i : Phasenverschiebung rad<br />
yt : resultierende Welle m<br />
A : Amplitude m<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
sin <br />
sin <br />
y t A t<br />
1 1<br />
y t A t<br />
2 2<br />
Wellen<br />
Andere<br />
1 212 yt y1ty2t2Acossin t <br />
2 2 <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 119
einzelne Wellen<br />
resultierende Welle<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.5.3 gleiche Frequenz aber unterschiedliche Amplitude und<br />
Phasenverschiebung<br />
yit : Welle m<br />
A i : Amplitude m<br />
i : Phasenverschiebung rad<br />
yt : Welle m<br />
A : Amplitude m<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
: Kreisfrequenz rad s -1 Andere<br />
t : Zeit s<br />
sin <br />
sin <br />
y t A t<br />
1 1 1<br />
y t A t<br />
2 2 2<br />
<br />
A A A 2 A A cos <br />
<br />
2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
<br />
A sin A sin<br />
<br />
1 1 2 2<br />
arctan <br />
A1cos1A2cos 2<br />
<br />
<br />
y t y t y t A t<br />
1 2 sin<br />
einzelne Wellen<br />
resultierende Welle,<br />
Interferenzmuster<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 120
einzelne Wellen<br />
resultierende<br />
Schwingung<br />
Schwebung<br />
resultierende Welle<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Schwingungen Editiert: 21.02.2011<br />
5.6 Schwebung<br />
sin10 sin11 y t sin10 t y t 2 sin11 t<br />
y t t y t t<br />
1 2<br />
y1t : erste Welle m<br />
2 <br />
y t : zweite Welle m<br />
yt :<br />
resultierende Welle,<br />
Interferenzmuster<br />
1 : Kreisfrequenz der ersten Welle rad s -1<br />
2 : Kreisfrequenz der zweiten Welle rad s -1<br />
R : resultierende Kreisfrequenz rad s -1<br />
S : Kreisfrequenz der Schwebung rad s -1<br />
T : resultierende Periodendauer s<br />
R<br />
T S : Periodendauer der Schwebung s<br />
A : Amplitude m<br />
t : Zeit s<br />
sin <br />
sin <br />
y t A t<br />
1 1<br />
y t A t<br />
2 2<br />
<br />
<br />
T<br />
R<br />
R<br />
S<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1 2<br />
2<br />
R<br />
<br />
TS<br />
1 2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1 2<br />
m<br />
1 2<br />
(leicht unterschiedlich)<br />
1 2<br />
Wellen<br />
Kreisfrequenzen<br />
Periodendauer<br />
Andere<br />
1 212 yt y1ty2t2Asin t cos<br />
t<br />
<br />
2 2 <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 121
Longitudinalwelle<br />
Transversalwelle<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6 elektromagnetische Wellen<br />
6.1 Grundlagen<br />
6.1.1 Wellenarten<br />
Longitudinalwelle,<br />
Längswelle<br />
Transversalwelle,<br />
Querwelle<br />
Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung der Welle (z. B. Federwelle oder Schall):<br />
Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle (z. B. Saite oder Wasserwelle):<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 122
Absorptionsgesetz<br />
einzelner Absorber<br />
zwei Absorber<br />
Zusammenhänge<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.1.2 Absorption<br />
Iz : Intensität W m -2<br />
I 0 : einfallende Intensität W m -2<br />
I 1 : austretende Intensität W m -2<br />
: Absorptionskoeffizient m -1<br />
l : Länge des Absorbers m<br />
z : Abstand zum Einfallspunkt m<br />
0<br />
I z I e <br />
<br />
I I e <br />
<br />
1 0<br />
1 0<br />
l<br />
I I e <br />
<br />
z<br />
I 0<br />
1 I<br />
2l 2<br />
2<br />
<br />
I z I z<br />
<br />
I0 I0<br />
<br />
3<br />
3<br />
<br />
I z I z<br />
<br />
I0 I0<br />
<br />
l<br />
I 0<br />
1 I<br />
l<br />
l<br />
Intensitäten<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 123
Beschreibung<br />
Kriterien<br />
Enden<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.1.3 Phasensprung<br />
n 1<br />
n2 n1<br />
n 1<br />
c 1 : Ausbreitungsgeschwindigkeit m s -1<br />
n : Brechungsindex<br />
1<br />
1 : Kreiswellenzahl m -1<br />
c 2 : Ausbreitungsgeschwindigkeit m s -1<br />
n : Brechungsindex<br />
2<br />
2 : Kreiswellenzahl m -1<br />
Startmedium<br />
Endmedium<br />
Beim Übergang in ein (optisch) dichteres Medium (grösserer Brechungsindex) erfährt die reflektierte<br />
Welle einen Phasensprung um π (180° / Vorzeichenwechsel).<br />
c1 c2<br />
n2 n1<br />
2 1<br />
n2 <br />
n1<br />
Phasensprung bei festem Ende kein Phasensprung bei losem Ende<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 124
festes Ende<br />
loses Ende<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.1.4 Totalreflexion<br />
: Phasenverschiebung °<br />
feste Ende reell und virtuell<br />
180 loses Ende reell und virtuell<br />
0 <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 125
mittlere Grössen<br />
elektrische<br />
Energiedichte<br />
magnetische<br />
Energiedichte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.1.5 Energiedichte und Intensität<br />
el : elektrische Energiedichte J m -3<br />
el mittlere elektrische Energiedichte J m -3<br />
mag : magnetische Energiedichte J m -3<br />
mag mittlere magnetische Energiedichte J m -3<br />
em : Energiedichte der elektromagnetischen Welle J m -3<br />
em : mittlere Energiedichte der elektromagnetischen Welle J m -3<br />
I : Intensität W m -2<br />
I : mittlere Intensität W m -2<br />
S : Energiestromdichte, Poyntingvektor W m -2<br />
E : elektrische Feldstärke V m -1<br />
Energiedichte<br />
Intensität<br />
D : elektrische Flussdichte C m<br />
Amplituden<br />
-2<br />
H : magnetische Feldstärke A m -1<br />
B : magnetische Flussdichte T<br />
: elektrische Feldkonstante F m -1 : magnetische Feldkonstante H m<br />
Materialkonstanten<br />
-1<br />
v p :<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
T : Periodendauer s<br />
K : Konstante<br />
T<br />
1 1<br />
K cos t dt<br />
K<br />
T <br />
2<br />
0<br />
2<br />
E<br />
el<br />
<br />
2<br />
DE el<br />
<br />
2<br />
2<br />
D<br />
el<br />
<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
mag<br />
mag<br />
mag<br />
2 2 2<br />
H<br />
<br />
2<br />
BH <br />
2<br />
2<br />
B<br />
<br />
2 <br />
2<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 126
Energiedichte<br />
Intensität<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
E<br />
<br />
<br />
em<br />
em<br />
em<br />
em<br />
em<br />
em<br />
2<br />
DE 2<br />
D<br />
<br />
<br />
H <br />
<br />
BH 2<br />
B<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
el <br />
2<br />
em<br />
<br />
mag <br />
2<br />
em<br />
1 B 1 1<br />
<br />
2 2 2<br />
2<br />
em <br />
2<br />
E <br />
2<br />
E <br />
2 2<br />
vp B <br />
2<br />
E <br />
2<br />
E <br />
2<br />
E<br />
1<br />
em E<br />
2<br />
2<br />
em vp E B E vp B<br />
1 B 1 B 1 B B <br />
<br />
2 2 2 <br />
2 2 2 2<br />
em <br />
2<br />
E <br />
2 2<br />
v p B <br />
2<br />
H<br />
1<br />
em <br />
H<br />
2<br />
<br />
em<br />
I S<br />
p<br />
2<br />
EH E vp B<br />
v<br />
I v<br />
em p<br />
I v E<br />
p<br />
p<br />
2<br />
I v H<br />
2<br />
2 1<br />
I v p E B E B E H<br />
<br />
1<br />
2<br />
I vp E<br />
2<br />
1<br />
I vp H<br />
2<br />
1<br />
I E H<br />
2<br />
2<br />
E vp B<br />
E vp B<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 127
elektrische und<br />
magnetische<br />
Feldstärke<br />
Ausbreitung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.2 Wellenparameter<br />
6.2.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit εr und μr<br />
t = const. z = const.<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 128<br />
m s -1<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1<br />
: Wellenlänge m<br />
T : Periodendauer s<br />
f : Frequenz Hz<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
r : elektrische Feldkonstante des Dielektrikums<br />
0 : elektrische Feldkonstante des Vakuums 8.85419 ∙ 10 -12 F m -1<br />
: magnetische Feldkonstante des Materials<br />
r<br />
0 : magnetische Feldkonstante des Vakuums 4 ∙ π ∙ 10 -7 H m -1<br />
Geschwindigkeiten<br />
Welle<br />
Materialkonstanten
Bedeutung<br />
allgemein<br />
in einem Material<br />
im Vakuum<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen.<br />
vp<br />
p<br />
<br />
<br />
T<br />
v f<br />
vp<br />
v<br />
v<br />
p<br />
p<br />
p<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
v c 1<br />
<br />
0 r 0 r<br />
c<br />
<br />
r r<br />
<br />
vpc T<br />
p<br />
1<br />
<br />
v c f<br />
0 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 129
Brechungsindex<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
Wellenlänge<br />
Phasenverschiebung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.2.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit n<br />
v p :<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
: Wellenlänge m<br />
z :<br />
n :<br />
Dicke<br />
Brechungsindex<br />
m<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 130<br />
m s -1<br />
Medium<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 Vakuum<br />
0 : Wellenlänge m<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
t : zusätzliche Zeit s<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums<br />
r<br />
: magnetische Feldkonstante des Materials<br />
r<br />
n r r r<br />
bei sichtbarem Licht mit ca. 550 THz<br />
v<br />
p<br />
c<br />
<br />
n<br />
0<br />
<br />
n<br />
z<br />
2 n 1 <br />
z<br />
n1<br />
c<br />
Andere
zusätzliche Zeit<br />
Bedeutung<br />
Berechnung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
z<br />
t n1 c<br />
6.2.3 Gruppengeschwindigkeit<br />
v g : Gruppengeschwindigkeit m s -1<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
: Wellenlänge m<br />
m s -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
Geschwindigkeiten<br />
Welle<br />
Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich ein Wellenpaket als Ganzes fortbewegt.<br />
v<br />
g<br />
d<br />
<br />
d<br />
dvp<br />
vg vp<br />
<br />
d<br />
dvp<br />
vg vp<br />
<br />
d<br />
6.2.4 Phasenkoeffizient, Phasenbelag<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Wellenlänge m<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
2 <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
vp<br />
m s -1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 131
Bedeutung<br />
Berechnung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.2.5 Wellenvektor<br />
k : Wellenvektor, Wellenzahlvektor m -1<br />
k : Kreiswellenzahl m -1<br />
: Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag Np m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Wellenlänge m<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
Der Wellenvektor k gibt die Ausbreitungsrichtung einer Welle an.<br />
Die Kreiswellenzahl k gibt den Betrag des Wellenvektors an.<br />
2<br />
<br />
k k 0<br />
<br />
<br />
k k 0<br />
v<br />
p<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 132
einzelne Amplituden<br />
einzelne Intensitäten<br />
resultierende<br />
Amplitude<br />
resultierende<br />
Intensität<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.3 Amplitude und Intensität<br />
6.3.1 Addition von Amplituden und Intensitäten<br />
Ait : Amplitude V m -1<br />
A i : maximale Amplitude V m -1<br />
Iit : Intensität W m -2<br />
I i : maximale Intensität W m -2<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
i<br />
At : Amplitude V m -1<br />
A : maximale Amplitude V m -1<br />
<br />
I t : Intensität W m -2<br />
I : maximale Intensität W m -2<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
: Kreisfrequenz rad s -1 Andere<br />
t : Zeit s<br />
sin <br />
sin <br />
A t A t<br />
1 1 1<br />
A t A t<br />
2 2 2<br />
2<br />
sin <br />
2<br />
sin <br />
I t A t<br />
1 1 1<br />
I t A t<br />
2 2 2<br />
<br />
A A A 2 A A cos <br />
<br />
2 2<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
<br />
A sin A sin<br />
<br />
1 1 2 2<br />
arctan <br />
A1cos1A2cos 2<br />
<br />
<br />
A t A t A t A t<br />
1 2 sin<br />
<br />
I I I 2 I I cos <br />
<br />
1 2 1 2 1 2<br />
<br />
<br />
I sin I sin<br />
<br />
1 1 2 2<br />
arctan <br />
I1cos1I2cos 2 <br />
<br />
I t I t I t I t<br />
1 2 sin<br />
einzelne Grössen<br />
resultierende Grössen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 133
Amplitude<br />
Intensität<br />
Amplitude<br />
Intensität<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.3.2 Dämpfung der Amplitude und Intensität<br />
6.3.2.1 Kreiswelle, Dimensional<br />
A : Amplitude V m -1<br />
I : Intensität W m -2<br />
r : Entfernung m<br />
A<br />
I<br />
1<br />
r<br />
1<br />
r<br />
6.3.2.2 Kugelwelle, 3 Dimensional<br />
Kugelwelle Entfernungen und Oberflächen<br />
A : Amplitude V m -1<br />
I : Intensität W m -2<br />
r : Entfernung m<br />
1<br />
A r<br />
I<br />
1<br />
2<br />
r<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 134
konstruktive<br />
Interferenz<br />
destruktive<br />
Interferenz<br />
Gangunterschied<br />
Phasenunterschied<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.4 Interferenz<br />
6.4.1 Interferenz ebener kontinuierlicher Wellen<br />
s :<br />
<br />
Gangunterschied m<br />
: Phasenunterschied rad<br />
s 1 : Abstand zwischen erster Quelle und Überlagerungspunkt m<br />
s 2 : Abstand zwischen zweiter Quelle und Überlagerungspunkt m<br />
b : Abstand der Quellen m<br />
: Winkel zwischen horizontalen und Überlagerungspunkt °<br />
: Wellenlänge m<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
f : Frequenz Hz<br />
v p :<br />
s s1 s2<br />
s<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
s<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
2<br />
f s<br />
v<br />
p<br />
Überlagerungspunkt<br />
Aufbau<br />
Wellen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 135<br />
m s -1
konstruktive<br />
Interferenz<br />
destruktive<br />
Interferenz<br />
konstruktive<br />
Interferenz<br />
destruktive<br />
Interferenz<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
2<br />
<br />
sk k 0<br />
<br />
<br />
s2k1 k 0<br />
2<br />
6.4.2 Interferenz ebener nicht kontinuierlicher Wellen<br />
t = 0 t = 1 t = 2<br />
t = 0 t = 1 t = 2<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 136
1. Ordnung,<br />
Grundschwingung<br />
2. Ordnung<br />
3. Ordnung<br />
n-te Ordnung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.5 stehende Welle<br />
6.5.1 stehende Welle mit losen Enden<br />
i : Wellenlänge m<br />
f i : Frequenz Hz<br />
L : betrachtete Länge m<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
1 2 L f1<br />
vp<br />
<br />
2<br />
L<br />
2 L p<br />
f2 2<br />
f1<br />
<br />
2<br />
L<br />
3<br />
p<br />
3 f3 3<br />
f1<br />
v<br />
L<br />
3<br />
v<br />
2<br />
L<br />
2<br />
L nvp n<br />
fn n f1<br />
n 2<br />
L<br />
n<br />
Welle<br />
Umgebung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 137
1. Ordnung,<br />
Grundschwingung<br />
2. Ordnung<br />
3. Ordnung<br />
4. Ordnung<br />
n-te Ordnung<br />
Knoten und Bäuche<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.5.2 stehende Welle mit festen Enden<br />
i : Wellenlänge m<br />
f i : Frequenz Hz<br />
L : betrachtete Länge m<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
1 2 L f1<br />
vp<br />
<br />
2<br />
L<br />
2 L p<br />
f2 2<br />
f1<br />
2<br />
3 L<br />
3 p<br />
f3 3<br />
f1<br />
2<br />
4 L<br />
v<br />
L<br />
3<br />
v<br />
2<br />
L<br />
4<br />
v<br />
4 p<br />
f4 4<br />
f1<br />
2<br />
L<br />
2<br />
nvp n L fn n f1<br />
n<br />
2<br />
L<br />
n<br />
Welle<br />
Umgebung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 138
gekoppelte Massen<br />
0. Ordnung,<br />
Grundschwingung<br />
1. Ordnung<br />
2. Ordnung<br />
n-te Ordnung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
eine Masse zwei Massen drei Massen<br />
6.5.3 stehende Welle mit einem festen und einem losen Ende<br />
i : Wellenlänge m<br />
f i : Frequenz Hz<br />
L : betrachtete Länge m<br />
v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
0 4 L f0<br />
vp<br />
<br />
4<br />
L<br />
4<br />
L 3<br />
vp<br />
1<br />
f1<br />
<br />
3<br />
4<br />
L<br />
4<br />
L 5<br />
vp<br />
2<br />
f2<br />
<br />
5<br />
4<br />
L<br />
4<br />
L<br />
n<br />
<br />
2n 1<br />
2 1<br />
Welle<br />
Umgebung<br />
nvp fn n f<br />
4<br />
L<br />
2 10<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 139<br />
n<br />
0
Herleitung<br />
normale<br />
Schreibweise<br />
alternative<br />
Schreibweise<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6 Wellenfunktionen, Wellengleichungen<br />
6.6.1 laufende Welle<br />
6.6.1.1 nach rechts laufend (in positive z-Richtung)<br />
(A = 1, ω = 1 und β = 1)<br />
y z, t : komplexe Amplitude V m -1<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1<br />
A : maximale Amplitude V m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
, <br />
jtz jtjz y z t A e A e e<br />
Amplituden<br />
Welle<br />
jtjz , Re cos cos sin sin<br />
<br />
y z t A e e A t z t z<br />
, cos <br />
y z t A t z<br />
y z, t A sin t z<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
, cos <br />
y z t A z t<br />
y z, t A sin z t<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 140
Herleitung<br />
normale<br />
Schreibweise<br />
alternative<br />
Schreibweise<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.1.2 nach links laufend (in negative z-Richtung)<br />
(A = 1, ω = 1 und β = 1)<br />
y z, t : komplexe Amplitude V m -1<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1<br />
A : maximale Amplitude V m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
, <br />
jtz jtjz y z t A e A e e<br />
Amplituden<br />
Welle<br />
jtjz , Re cos cos sin sin<br />
<br />
y z t A e e A t z t z<br />
, cos <br />
y z t A t z<br />
y z, t A sin t z<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
, cos <br />
y z t A z t<br />
y z, t A sin z t<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 141
überlagerte Cosinusschwingungen<br />
überlagerte Sinusschwingungen<br />
Randbedingungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.2 stehende Welle<br />
6.6.2.1 lose Enden<br />
(A = 1, ω = 1 und β = 1)<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1<br />
A : maximale Amplitude einer Welle V m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
Amplituden<br />
Welle<br />
, cos cos<br />
<br />
, cos cos sin sin<br />
<br />
y z t A t z A t z<br />
y z t A t z t z<br />
Acostz cos cos sin sin<br />
<br />
A t z t z<br />
, 2 cos cos <br />
y z t A t z<br />
Acostz , sin sin <br />
, sin cos cos sin<br />
<br />
y z t A t z A t z<br />
y z t A t z t z<br />
Asintz sin cos cos sin<br />
<br />
A t z t z<br />
, 2 sin cos <br />
y z t A t z<br />
<br />
1 y 0, t 1<br />
Asintz <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 142
überlagerte Cosinusschwingungen<br />
überlagerte Sinusschwingungen<br />
Randbedingungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.2.2 feste Enden<br />
(A = 1, ω = 1 und β = 1)<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1<br />
A : maximale Amplitude einer Welle V m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
Amplituden<br />
Welle<br />
, cos cos<br />
<br />
, cos cos sin sin<br />
<br />
y z t A t z A t z<br />
y z t A t z t z<br />
Acostz cos cos sin sin<br />
<br />
A t z t z<br />
Acostz , 2 sin sin <br />
y z t A t z<br />
, sin sin <br />
, sin cos cos sin<br />
<br />
y z t A t z A t z<br />
y z t A t z t z<br />
Asintz sin cos cos sin<br />
<br />
A t z t z<br />
Asintz , 2 cos sin <br />
y z t A t z<br />
y0, t 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 143
gegeben<br />
Wellenparameter<br />
mögliche<br />
Wellenfunktionen<br />
Randbedingungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.2.3 Berechnung der Grundschwingungen<br />
6.6.2.3.1 Beispiel mit losen Enden<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1 Amplitude<br />
: Wellenlänge m<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
L : betrachtete Länge m<br />
v p :<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
L 1m<br />
v<br />
p<br />
2500ms<br />
-1<br />
2 L 2m<br />
2 <br />
-1<br />
m<br />
<br />
v 2500 s<br />
p<br />
-1<br />
Welle<br />
Umgebung<br />
, 0.5 cos 0.5 cos<br />
<br />
, 0.5 cos 2500 0.5 cos 2500<br />
<br />
y z t t z t z<br />
y z t t z t z<br />
, cos cos cos2500 cos<br />
<br />
Überlagerung<br />
y z t t z t z<br />
vereinfacht<br />
, 0.5 sin 0.5 sin<br />
<br />
, 0.5 sin 2500 0.5 sin 2500<br />
<br />
y z t t z t z<br />
y z t t z t z<br />
, sin cos sin 2500 cos<br />
<br />
Überlagerung<br />
y z t t z t z<br />
vereinfacht<br />
<br />
<br />
1 y 0, t 1<br />
1 y L, t 1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 144
gegeben<br />
Wellenparameter<br />
mögliche<br />
Wellenfunktionen<br />
Randbedingungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.2.3.2 Beispiel mit festen Enden<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1 Amplitude<br />
: Wellenlänge m<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
L : betrachtete Länge m<br />
v p :<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
L 1m<br />
v<br />
p<br />
2500ms<br />
-1<br />
2 L 2m<br />
2 <br />
-1<br />
m<br />
<br />
v 2500 s<br />
p<br />
-1<br />
Welle<br />
Umgebung<br />
, 0.5 cos 0.5 cos<br />
<br />
, 0.5 cos 2500 0.5 cos 2500<br />
<br />
y z t t z t z<br />
y z t t z t z<br />
, sin sin sin 2500 sin<br />
<br />
Überlagerung<br />
y z t t z t z<br />
vereinfacht<br />
, 0.5 sin 0.5 sin<br />
<br />
, 0.5 sin 2500 0.5 sin 2500<br />
<br />
y z t t z t z<br />
y z t t z t z<br />
, cos sin cos 2500 sin<br />
<br />
Überlagerung<br />
y z t t z t z<br />
vereinfacht<br />
<br />
<br />
y 0, t 0<br />
y L, t 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 145
gegeben<br />
Wellenparameter<br />
mögliche<br />
Wellenfunktionen<br />
Randbedingungen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.2.3.3 Beispiel mit einem festen und einem losen Ende<br />
y z, t : reelle Amplitude V m -1 Amplitude<br />
: Wellenlänge m<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
L : betrachtete Länge m<br />
v p :<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit<br />
m s -1<br />
L 1m<br />
v<br />
p<br />
2500ms<br />
-1<br />
4 L 4m<br />
2 <br />
-1<br />
m<br />
2<br />
v 1250 s<br />
p<br />
-1<br />
, 0.5 cos 0.5 cos<br />
<br />
y z t t z t z<br />
Welle<br />
Umgebung<br />
<br />
y z, t 0.5 cos1250 t z 0.5 cos1250 t z <br />
2 2 <br />
Überlagerung<br />
y z, t sin t sin z sin1250 t <br />
sin z <br />
2 vereinfacht<br />
, 0.5 sin 0.5 sin<br />
<br />
y z t t z t z<br />
<br />
y z, t 0.5 sin1250 t z 0.5 sin1250 t z <br />
2 2 <br />
Überlagerung<br />
y z, t cos t sin z cos 1250 t <br />
sin z <br />
2 vereinfacht<br />
0, 0<br />
y L t<br />
y t<br />
1 , 1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 146
nach rechts laufend<br />
nach links laufend<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.6.3 gedämpfte Welle<br />
Dämpfung ab z ≥ 0,<br />
Welle nach rechts laufend<br />
y z, t : reelle Amplitude<br />
A : maximale Amplitude einer Welle<br />
: Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag Np m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
: Kreisfrequenz rad s -1<br />
t : Zeit s<br />
z : Position m<br />
Welle Hinweise<br />
z , cos <br />
y z t A e t z<br />
z , cos <br />
y z t A e z t<br />
Welle Hinweise<br />
z<br />
, cos <br />
y z t A e t z<br />
z<br />
, cos <br />
y z t A e z t<br />
Dämpfung ab z ≤ 0,<br />
Welle nach links laufend<br />
Amplitude<br />
Welle<br />
A = 1, ω = 1, β = 1 und α = 0.25<br />
Dämpfung ab z ≥ 0<br />
A = 1, ω = 1, β = 1 und α = 0.25<br />
Dämpfung ab z ≤ 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 147
lose Enden<br />
feste Enden<br />
Dämpfungskoeffizient<br />
Phasenkoeffizient<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
Welle Hinweise<br />
z , 2 cos cos <br />
y z t A e t z<br />
z , 2 sin cos <br />
y z t A e t z<br />
Welle Hinweise<br />
z , 2 sin sin <br />
y z t A e t z<br />
z , 2 cos sin <br />
y z t A e t z<br />
6.6.4 Umrechnungen<br />
: Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag Np m -1<br />
dB : Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag dB m -1<br />
: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1<br />
grad : Phasenkoeffizient, Phasenbelag ° m -1<br />
<br />
ln 10<br />
<br />
20 Np<br />
dB<br />
grad<br />
2 rad<br />
<br />
360<br />
A = 0.5, ω = 1, β = 1 und α = 0.25<br />
Dämpfung ab z ≥ 0<br />
A = 0.5, ω = 1, β = 1 und α = 0.25<br />
Dämpfung ab z ≥ 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 148
Zusammenhänge<br />
Amplitudentransmissionsfaktor <br />
Amplitudenreflexionsfaktor <br />
Intensitätstransmissionsfaktor <br />
Intensitätsreflexionsfaktor<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.7 Übergang an Grenzflächen<br />
6.7.1 Faktoren, Amplituden und Intensitäten<br />
t : Amplitudentransmissionsfaktor<br />
r : Amplitudenreflexionsfaktor<br />
T :<br />
Intensitätstransmissionsfaktor,<br />
Transmissionsgrad (leistungsbezogen)<br />
R :<br />
Intensitätsreflexionsfaktor,<br />
Reflexionsgrad (leistungsbezogen)<br />
A : einfallende Amplitude<br />
e<br />
A : transmittierte Amplitude<br />
t<br />
A : reflektierte Amplitude<br />
e<br />
r<br />
I : einfallende Intensität<br />
I : transmittierte Intensität<br />
t<br />
I : reflektierte Intensität<br />
r<br />
c 1 : Ausbreitungsgeschwindigkeit m s -1<br />
n : Brechungsindex<br />
1<br />
1 : Kreiswellenzahl m -1<br />
c 2 : Ausbreitungsgeschwindigkeit m s -1<br />
n : Brechungsindex<br />
2<br />
2 : Kreiswellenzahl m -1<br />
t1 r rt 1<br />
T 1 R R1 T<br />
At Ae Ar<br />
t <br />
A A<br />
A<br />
e e<br />
A A<br />
r t e<br />
r <br />
Ae Ae<br />
I<br />
T <br />
I<br />
t<br />
e<br />
I<br />
R <br />
I<br />
r<br />
e<br />
T<br />
n A<br />
n A<br />
2 <br />
1<br />
2<br />
r<br />
2<br />
e<br />
2 c2<br />
t <br />
c c<br />
1 2<br />
c c<br />
r <br />
c c<br />
2<br />
t<br />
2<br />
e<br />
2 1<br />
2 1<br />
n<br />
T t<br />
n<br />
ye: einfallende Welle<br />
yt: transmittierte Welle<br />
yr: reflektierte Welle<br />
2 n1<br />
t <br />
n n<br />
1 2<br />
n n<br />
r <br />
n n<br />
1 2<br />
1 2<br />
Faktoren<br />
Amplituden<br />
Intensitäten<br />
Startmedium<br />
Endmedium<br />
2<br />
1<br />
t <br />
<br />
1 2<br />
12 r <br />
<br />
1 2<br />
2 2<br />
auch Transmissionsgrad (leistungsbezogen)<br />
1<br />
A<br />
R 2<br />
R r auch Reflexionsgrad (leistungsbezogen)<br />
A<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 149
Hinweise<br />
erste Grenzfläche<br />
zweite Grenzfläche<br />
wichtige Resultate<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.7.2 Lichtleiter<br />
t : Amplitudentransmissionsfaktor<br />
r : Amplitudenreflexionsfaktor<br />
T :<br />
Intensitätstransmissionsfaktor,<br />
Transmissionsgrad (leistungsbezogen)<br />
R :<br />
Intensitätsreflexionsfaktor,<br />
Reflexionsgrad (leistungsbezogen)<br />
A : einfallende Amplitude<br />
ei<br />
A : transmittierte Amplitude<br />
ti<br />
A : reflektierte Amplitude<br />
ri<br />
I : einfallende Intensität<br />
ei<br />
I : transmittierte Intensität<br />
ti<br />
I : reflektierte Intensität<br />
ri<br />
n , n : Brechungsindex des Aussenmediums<br />
1 3<br />
n : Brechungsindex des Lichtleiters<br />
2<br />
n n 1 n 1.5<br />
1 3 2<br />
A A I I<br />
t1 e2 t1 e2<br />
Faktoren<br />
Amplituden<br />
Intensitäten<br />
Brechungsindex<br />
Amplituden Intensitäten<br />
At1 2<br />
n1<br />
t <br />
A n n<br />
0.8 At1 0.8<br />
Ae1<br />
It1 n2<br />
2<br />
T t 0.96<br />
I n<br />
I 0.96<br />
I<br />
e1<br />
1 2<br />
A n n<br />
r1<br />
1 2<br />
r 0.2 Ar1 0.2 Ae1<br />
Ae1 n1 n2<br />
e1<br />
1<br />
t1 e1<br />
r1<br />
2<br />
R r 0.04 Ir1 0.04<br />
Ie1<br />
Ie1<br />
Amplituden Intensitäten<br />
At 2 2<br />
n2<br />
t <br />
A n n<br />
1.2 At2 1.2 Ae2<br />
It2 n3<br />
2<br />
T t 0.96<br />
I n<br />
I 0.96<br />
I<br />
A<br />
A e1<br />
e2<br />
2 3<br />
n n<br />
r 2 2 3<br />
r 0.2 Ar2 0.2<br />
Ae2<br />
Ae 2 n2 n3<br />
A 1.2 A 1.2 A 1.2 0.8 A 0.96<br />
A<br />
t2 e2 t1 e1 e1<br />
A 0.96 A<br />
t2 e1<br />
I 0.96 I 0.96 I 0.96 0.96 I 0.923<br />
I<br />
t2 e2 t1 e1 e1<br />
I 0.9216 I<br />
t2 e1<br />
A t1<br />
A e2<br />
A t 2<br />
n 1 A r1<br />
2 A r 2 n 3 n<br />
I e1<br />
I t1<br />
I e2<br />
I t 2<br />
n 1 I r1<br />
2 I r 2 n 3 n<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 150<br />
I<br />
e2<br />
2<br />
I<br />
t2 e2<br />
r 2 2<br />
R r 0.04 Ir2 0.04<br />
Ie2<br />
Ie2
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
Maxima<br />
Einfallswinkel α = 0°<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.8 Reflexion an dünnen Schichten<br />
6.8.1 Reflexion an beschichtetem Material<br />
1 n <br />
Die reflektierte Welle 1 erfährt beim Übergang von n1 zu n2 einen Phasensprung.<br />
Die reflektierte Welle 2 erfährt beim Übergang von n2 zu n3 einen Phasensprung.<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
d : Dicke der Schicht m<br />
n : Brechungsindex der Luft<br />
1<br />
1<br />
1.25 n <br />
n : Brechungsindex der Schicht<br />
2<br />
2<br />
1.5 n <br />
3<br />
Aufbau<br />
n 3 : Brechungsindex des beschichteten Materials<br />
:<br />
:<br />
Wellenlänge<br />
Einfallswinkel zur vertikalen<br />
m<br />
°<br />
Welle<br />
2 2 2<br />
2 1<br />
<br />
2 d n n sin <br />
1 <br />
k 2 <br />
2 2 2 1 <br />
2 d n2 n1 sin k 2 <br />
k <br />
k <br />
k <br />
k 0<br />
2 sin<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
d n2 n1 k k 0<br />
Minima Maxima<br />
1 <br />
2<br />
d n2 k 2 <br />
2 d n2 k <br />
1 2<br />
0<br />
0<br />
k <br />
d<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 151<br />
<br />
0<br />
Phasensprung
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
Maxima<br />
Einfallswinkel α = 0°<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.8.2 Reflexion an Schicht in Luft<br />
1 n <br />
Die reflektierte Welle 1 erfährt beim Übergang von n1 zu n2 einen Phasensprung.<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
d : Dicke der Schicht m<br />
n : Brechungsindex der Luft<br />
1<br />
1<br />
1.25 n <br />
n : Brechungsindex der Schicht<br />
2<br />
2<br />
1 n <br />
3<br />
Aufbau<br />
n 3 : Brechungsindex der Luft<br />
:<br />
:<br />
Wellenlänge<br />
Einfallswinkel zur vertikalen<br />
m<br />
°<br />
Welle<br />
2 2 2 <br />
2 d n2 n1<br />
sin <br />
2<br />
1 <br />
k 2 <br />
<br />
<br />
2 sin 1<br />
k <br />
2 2 2<br />
d n2 n1 k k 0<br />
k <br />
k 0<br />
2 2 2 1 <br />
2 d n2 n1 sin k 2 <br />
1 2<br />
k <br />
Minima Maxima<br />
2dn2k1 <br />
1 <br />
2<br />
d n2 k 2 <br />
0<br />
0<br />
d<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 152<br />
k <br />
<br />
0<br />
Phasensprung
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Antireflexbedingung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.8.3 Reflexionsfreiheit, Antireflexschicht<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
d : Dicke der Schicht m<br />
n : Brechungsindex der Luft<br />
L<br />
n : Brechungsindex der Schicht<br />
S<br />
Aufbau<br />
n G : Brechungsindex des Glases<br />
: Wellenlänge m Welle<br />
2 d nS<br />
<br />
2k 1<br />
k 0<br />
2<br />
<br />
d k<br />
4 nS<br />
nS nL nG<br />
2 1<br />
k <br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 153
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
Maxima<br />
Einfallswinkel α = 0°<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.9 Transmission an dünnen Schichten<br />
6.9.1 Transmission an beschichtetem Material<br />
1 n <br />
Die reflektierte Welle 2 erfährt beim Übergang von n2 zu n3 einen Phasensprung.<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
d : Dicke der Schicht m<br />
n : Brechungsindex der Luft<br />
1<br />
1<br />
1.25 n <br />
n : Brechungsindex der Schicht<br />
2<br />
2<br />
1.5 n <br />
3<br />
Aufbau<br />
n 3 : Brechungsindex des beschichteten Materials<br />
:<br />
:<br />
Wellenlänge<br />
Einfallswinkel zur vertikalen<br />
m<br />
°<br />
Welle<br />
2 2 2 <br />
2 d n2 n1<br />
sin <br />
2<br />
1 <br />
k 2 <br />
<br />
<br />
2 sin 1<br />
k <br />
2 2 2<br />
d n2 n1 k k 0<br />
k <br />
k 0<br />
2 2 2 1 <br />
2 d n2 n1 sin k 2 <br />
k <br />
Minima Maxima<br />
2dn2k1 <br />
1 <br />
2<br />
d n2 k 2 <br />
<br />
0<br />
0<br />
d<br />
1 2<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 154<br />
k <br />
<br />
0<br />
Phasensprung
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
Maxima<br />
Einfallswinkel α = 0°<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.9.2 Transmission an Schicht in Luft<br />
1 n <br />
Kein für die Berechnung relevanter Phasensprung.<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
d : Dicke der Schicht m<br />
n : Brechungsindex der Luft<br />
1<br />
1<br />
1.25 n <br />
n : Brechungsindex der Schicht<br />
2<br />
2<br />
1 n <br />
3<br />
Aufbau<br />
n 3 : Brechungsindex der Luft<br />
:<br />
:<br />
Wellenlänge<br />
Einfallswinkel zur vertikalen<br />
m<br />
°<br />
Welle<br />
2 2 2<br />
2 1<br />
<br />
2 d n n sin <br />
1 <br />
k 2 <br />
2 2 2 1 <br />
2 d n2 n1 sin k 2 <br />
k <br />
k <br />
k <br />
k 0<br />
2 sin<br />
<br />
<br />
2 2 2<br />
d n2 n1 k k 0<br />
<br />
Minima Maxima<br />
1 <br />
2<br />
d n2 k 2 <br />
2 d n2 k <br />
0<br />
0<br />
k <br />
d<br />
1 2<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 155<br />
<br />
0
Kreisblende<br />
Draht<br />
Schirmkante<br />
Einzelspalt<br />
Doppelspalt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.10 Beugung<br />
6.10.1 Beugungsmuster an Objekten<br />
Aufbau Beugungsmuster<br />
Aufbau Beugungsmuster<br />
Aufbau Beugungsmuster<br />
Aufbau Beugungsmuster<br />
Aufbau Beugungsmuster<br />
6.10.2 Beugungsmuster und Interferenzmuster<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 156
Aufbau<br />
Spaltbreiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.10.3 Beugung am Einzelspalt<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
: Winkel °<br />
Winkel der Minima,<br />
n :<br />
Winkel der Maxima<br />
°<br />
: Wellenlänge m<br />
d : Spaltbreite m<br />
d d <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 157
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
(exakte Formel)<br />
Maxima<br />
(Näherungsformel)<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
d sin <br />
k <br />
k <br />
<br />
dsinnk <br />
k <br />
1 <br />
k 2 <br />
1 <br />
dsinnk 2 <br />
k <br />
k <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 158
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
Maxima<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.10.4 Beugung am Doppelspalt<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
: Winkel °<br />
k : Winkel der Minima, Winkel der Maxima °<br />
: Wellenlänge m<br />
d : Abstand zwischen den Spalten m<br />
<br />
d sin <br />
1 <br />
k 2 <br />
1 <br />
dsin k k 2 <br />
k <br />
k <br />
k <br />
k 0<br />
<br />
dsinkk <br />
k 0<br />
0<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 159
optischer<br />
Gangunterschied<br />
Minima<br />
Maxima<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.10.5 Beugung am Beugungsgitter / Mehrfachspalt<br />
: optischer Gangunterschied m<br />
: Winkel °<br />
k : Winkel der Minima, Winkel der Maxima °<br />
: Wellenlänge m<br />
d : Abstand zwischen den Spalten m<br />
<br />
d sin <br />
1 <br />
k 2 <br />
1 <br />
dsin k k 2 <br />
k <br />
k <br />
k <br />
k 0<br />
<br />
dsinkk <br />
k 0<br />
0<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 160
Minima<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.10.6 Beugung an der Kreisblende<br />
n : Winkel der Minima °<br />
: Wellenlänge m<br />
a : Blendenradius m<br />
<br />
sin n 1.22 n <br />
2<br />
a<br />
n<br />
6.11 Divergenz von Laserstrahlen<br />
: Divergenzhalbwinkel rad<br />
: Wellenlänge m<br />
s 0 : Blendenradius,<br />
Linsenradius<br />
m<br />
<br />
<br />
s<br />
0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 161
Quelle bewegt sich<br />
Empfänger<br />
bewegt sich<br />
Quelle und<br />
Empfänger<br />
bewegen sich<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.12 Dopplereffekt<br />
6.12.1 Dopplereffekt beim Schall<br />
Quelle bewegt sich<br />
auf den Empfänger zu<br />
Empfänger bewegt sich<br />
auf die Quelle zu<br />
f E : Frequenz am Empfänger Hz<br />
v E : Geschwindigkeit des Empfängers m s -1<br />
f : Frequenz der Quelle Hz<br />
Q<br />
v Q : Geschwindigkeit der Quelle m s -1<br />
c : Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle m s -1<br />
: Winkel °<br />
Ma : Machsche Zahl<br />
T : Temperatur °C<br />
f<br />
f<br />
E<br />
E<br />
fQ<br />
<br />
vQ<br />
1<br />
c<br />
fQ<br />
<br />
vQ<br />
1<br />
c<br />
vE<br />
<br />
fE fQ<br />
1 c <br />
vE<br />
<br />
fE fQ<br />
1 c <br />
vE<br />
1<br />
c cv fE fQ fQ<br />
<br />
v cv 1<br />
c<br />
E<br />
Q Q<br />
vE<br />
1<br />
c cv fE fQ fQ<br />
<br />
v cv 1<br />
c<br />
E<br />
Q Q<br />
Überschallgeschwindigkeit<br />
(Machscher Kegel)<br />
Empfänger<br />
Quelle<br />
Schall<br />
Quelle bewegt sich auf den Empfänger zu Q E<br />
Quelle bewegt sich vom Empfänger weg Q E<br />
Empfänger bewegt sich auf die Quelle zu Q E<br />
<br />
Empfänger bewegt sich von der Quelle weg Q E <br />
bewegen sich aufeinander zu Q E<br />
bewegen sich voneinander weg Q E<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 162
Überschall<br />
Mach<br />
Schallgeschwindigkeit<br />
bei T<br />
Schallgeschwindigkeit<br />
bei 20°C<br />
relative Annäherung<br />
relative<br />
Wegbewegung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
vE<br />
1<br />
c cv fE fQ fQ<br />
<br />
v cv 1<br />
c<br />
E<br />
Q Q<br />
vE<br />
1<br />
c cv fE fQ fQ<br />
<br />
v cv 1<br />
c<br />
c<br />
sin<br />
<br />
v<br />
v<br />
Ma <br />
c<br />
c <br />
E<br />
Q Q<br />
T<br />
-1<br />
331.5ms 1<br />
273.15<br />
-1<br />
c 343ms<br />
C<br />
bewegen sich in die gleiche Richtung Q E<br />
bewegen sich in die gleiche Richtung Q E<br />
<br />
6.12.2 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und einem Winkel von 0°<br />
oder 180°<br />
f E : Frequenz am Empfänger Hz<br />
f : Frequenz der Quelle Hz<br />
Q<br />
v :<br />
Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts<br />
(Empfänger oder Quelle)<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 163<br />
m s -1<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1<br />
Longitudinaler Dopplereffekt mit Blauverschiebung:<br />
f f <br />
E Q<br />
v<br />
1<br />
c<br />
v<br />
1<br />
c<br />
QE Q E<br />
Longitudinaler Dopplereffekt mit Rotverschiebung:<br />
f f <br />
E Q<br />
v<br />
1<br />
c<br />
v<br />
1<br />
c<br />
Q E<br />
Q E
eliebiger Winkel<br />
im Vakuum<br />
beliebiger Winkel<br />
in Materie<br />
longitudinaler<br />
Dopplereffekt<br />
transversaler<br />
Dopplereffekt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.12.3 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und beliebigem Winkel<br />
v v<br />
f E : Frequenz am Empfänger Hz<br />
f : Frequenz der Quelle Hz<br />
Q<br />
vv: ,<br />
v p :<br />
Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts<br />
(Empfänger oder Quelle)<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeit,<br />
Phasengeschwindigkeit im Medium<br />
Frequenzen<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 164<br />
m s -1<br />
m s -1<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1<br />
:<br />
<br />
<br />
Q E Q E<br />
Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und<br />
Verbindungsstrecke zwischen Quelle und Empfänger<br />
2<br />
v<br />
1<br />
2<br />
fE f<br />
c<br />
Q <br />
v<br />
1 cos<br />
c<br />
2<br />
v<br />
1<br />
2<br />
fE f<br />
c<br />
Q <br />
v<br />
1 cos<br />
v<br />
p<br />
<br />
<br />
2<br />
v v<br />
2<br />
1 1<br />
fE f<br />
c c<br />
Q fQ<br />
<br />
v v<br />
1 1<br />
c c<br />
2<br />
v v<br />
2<br />
1 1<br />
fE f<br />
c c<br />
Q fQ<br />
<br />
v v<br />
1 1<br />
c c<br />
2<br />
v<br />
fE fQ<br />
1<br />
2 90<br />
c<br />
<br />
<br />
0 , relative Annäherung<br />
<br />
180 , relative Wegbewegung<br />
°<br />
Geschwindigkeiten<br />
Andere
Hinsendung<br />
Rücksendung<br />
Dopplerfrequenz<br />
Geschwindigkeit bei<br />
gleicher Richtung<br />
Geschwindigkeit bei<br />
beliebiger Richtung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.12.4 Radar, Geschwindigkeitsmessung<br />
v<br />
,<br />
vv: Geschwindigkeit des Objekts m s -1<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1<br />
f D : Dopplerfrequenz, Schwebungsfrequenz Hz<br />
f : Frequenz des ausgesendeten Signals Hz<br />
f r : Frequenz des am Objekt reflektierten Signals Hz<br />
f e : Frequenz des am Messgeräts empfangenen Signals Hz<br />
: Wellenlänge des ausgesendeten Signals m<br />
:<br />
Winkel zwischen ausgesendetem Signal<br />
und Geschwindigkeitsvektor<br />
°<br />
v<br />
v <br />
frf 1 c <br />
v<br />
f<br />
e<br />
fr<br />
<br />
v<br />
1<br />
c<br />
Objekt<br />
E<br />
v <br />
1 f c<br />
<br />
D f fe f f <br />
v<br />
<br />
1 c <br />
c <br />
v f f<br />
2f2 Objekt Messgerät<br />
E, f r<br />
Objekt<br />
Q, f r<br />
D D<br />
<br />
c<br />
<br />
v f f<br />
2 f cos 2 cos<br />
D D<br />
Messgerät<br />
Q<br />
Q, f<br />
Messgerät<br />
E, f e<br />
Geschwindigkeiten<br />
Frequenzen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 165
lineare Polarisation<br />
zirkulare Polarisation<br />
elliptische<br />
Polarisation<br />
senkrechte<br />
Polarisation<br />
parallele Polarisation<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13 Polarisation<br />
6.13.1 Polarisationsarten<br />
Bei der senkrechten Polarisation, bildet die einfallende Welle mit der Einfallsebene einen rechten Winkel:<br />
Bei paralleler Polarisation schwingt die einfallende Welle in der Einfallsebene:<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 166
echtszirkular<br />
linkszirkular<br />
lineare Polarisation<br />
lineare Polarisation<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.2 Schwingungsformen<br />
Phasenverschiebung um 0°:<br />
Ansicht im Raum Komponenten, Hinteransicht<br />
Phasenverschiebung um 180°, π, λ/2:<br />
Ansicht im Raum Komponenten, Hinteransicht<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 167
zirkulare<br />
Polarisation,<br />
rechtszirkular<br />
zirkulare<br />
Polarisation,<br />
linkszirkular<br />
Ermittlung<br />
von Imax und Imin<br />
unpolarisiertes Licht<br />
Polarisationsgrad<br />
Werte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
Phasenverschiebung um 90°, π/2, λ/4<br />
Ansicht im Raum Komponenten, Hinteransicht<br />
Phasenverschiebung um 270°, (3∙π)/2, (3∙λ)/4<br />
Ansicht im Raum Komponenten, Hinteransicht<br />
6.13.3 Polarisationsgrad<br />
P : Polarisationsgrad<br />
I max : maximale Intensität W m -2<br />
I min : minimale Intensität W m -2<br />
Analysator bis zur maximalen Intensität Imax drehen (z. B. 0°)<br />
Analysator bis zur minimalen Intensität Imin drehen (z. B. 90°)<br />
I I<br />
P <br />
I I<br />
keine Drehung<br />
max min<br />
max min<br />
P Imin Licht<br />
0 1 unpolarisiert<br />
1 0 vollständig polarisiert<br />
Drehung um 90°,<br />
unpolarisiertes Licht<br />
Drehung um 90°,<br />
vollständig polarisiertes Licht<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 168
schematische<br />
Darstellung<br />
detaillierte<br />
Darstellung<br />
linear polarisierte<br />
Lichtquelle,<br />
ein Polarisator<br />
unpolarisierte<br />
Lichtquelle,<br />
zwei Polarisatoren<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.4 Polarisatoren<br />
6.13.4.1 Folienpolarisator<br />
keine Drehung Drehung um 45° Drehung um 90°<br />
keine Drehung Drehung um 45° Drehung um 90°<br />
6.13.4.2 Brewsterpolarisator<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 169
gedrehter Polarisator<br />
gedrehte Amplitude<br />
oder Intensität<br />
Amplitude<br />
Intensität<br />
Situationen mit<br />
Molekülketten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.4.3 Berechnung<br />
E : austretende Amplitude V m -1<br />
E 0 : einfallende Amplitude V m -1<br />
I : austretende Intensität W m -2<br />
I 0 : einfallende Intensität W m -2<br />
Amplituden<br />
Intensitäten<br />
, , : Winkel zur Transmissionsachse ° Andere<br />
0 cos<br />
<br />
EE <br />
2<br />
0 cos<br />
<br />
I I <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 170
Situationen mit<br />
Transmissionsachsen<br />
► Beispiel<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
E 0<br />
E 0<br />
E 0<br />
<br />
<br />
E0, I 0<br />
Amplituden Intensitäten<br />
<br />
<br />
30<br />
0 cos <br />
0 cos <br />
<br />
E <br />
<br />
E <br />
0 cos<br />
Die austretende Amplitude beträgt noch 65 % der einfallenden Amplitude:<br />
3 33 E E cos 30 cos 30 cos 30 E cos 30 E<br />
8<br />
0 0 0<br />
Die austretende Intensität beträgt noch 42 % der einfallenden Intensität:<br />
27<br />
I I cos 30 cos 30 cos 30 I cos 30 I<br />
64<br />
2 2 2 6<br />
0 0 0<br />
<br />
<br />
<br />
E <br />
2<br />
0 cos<br />
<br />
I <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 171<br />
60<br />
I 0<br />
I 0<br />
I 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
90<br />
<br />
2<br />
0 cos <br />
2<br />
0 cos <br />
<br />
I <br />
<br />
I <br />
<br />
EI ,
Kalkspat<br />
Wellen<br />
Vektoren<br />
Ausbreitungsgeschwindigkeiten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.5 Doppelbrechung<br />
v<br />
v : Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
n o : Brechungsindex<br />
v : Ausbreitungsgeschwindigkeit<br />
n a : Brechungsindex<br />
E :<br />
D :<br />
elektrische Feldstärke V m-1<br />
elektrische Flussdichte C m-2<br />
k : Wellenvektor m -1<br />
ordentliche Welle<br />
ausserordentliche Welle<br />
Vektoren<br />
S : Energiestromdichte, Poyntingvektor W m -2<br />
c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 Andere<br />
Polarisation optische Achse<br />
ordentliche Welle ausserordentliche Welle<br />
ordentliche Welle ausserordentliche Welle<br />
<br />
c<br />
n<br />
a<br />
o<br />
c<br />
v <br />
n<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 172
Eigenschaften<br />
Phasenverschiebung<br />
optischer<br />
Gangunterschied<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.6 Polarisationswandler, Verzögerungsplatten<br />
6.13.6.1 λ/4 Plättchen, Zirkularpolarisator<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
: Wellenlänge m<br />
d : Dicke des Plättchens m<br />
n : Brechungsindex für die ordentliche Welle<br />
o<br />
n : Brechungsindex für die unordentliche Welle<br />
a<br />
Linear polarisiertes Licht wird im Allgemeinen zu elliptisch polarisiertem Licht.<br />
Elliptisch polarisiertes Licht wird im Allgemeinen zu linear polarisiertem Licht.<br />
Zu 45° linear polarisiertes Licht wird zu rechtszirkular polarisiertem Licht.<br />
Zu 135° linear polarisiertes Licht wird zu linkszirkular polarisiertem Licht.<br />
Rechtszirkular polarisiertes Licht wird zu 45° linear polarisiertem Licht.<br />
Linkszirkular polarisiertes Licht wird zu 135° linear polarisiertem Licht.<br />
Zwei hintereinander geschaltete λ/4-Plättchen ergeben bei paralleler Ausrichtung ihrer optischen<br />
Achse ein λ/2-Plättchen.<br />
2<br />
<br />
d n n<br />
<br />
<br />
d no na<br />
<br />
4<br />
<br />
2<br />
o a<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 173
Eigenschaften<br />
Phasenverschiebung<br />
optischer<br />
Gangunterschied<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.6.2 λ/2 Plättchen, Polarisationsdreher<br />
: Phasenverschiebung rad<br />
: Wellenlänge m<br />
d : Dicke des Plättchens m<br />
n : Brechungsindex für die ordentliche Welle<br />
o<br />
n : Brechungsindex für die unordentliche Welle<br />
a<br />
Drehung um dem doppelten Einfallswinkel zur optischen Achse.<br />
Zu 45° linear polarisiertes Licht wird umpolarisiert.<br />
2<br />
<br />
d n n<br />
<br />
<br />
d no na<br />
<br />
2<br />
<br />
o a<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 174
ohne Moleküle<br />
mit Molekülen<br />
Strahlengang<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011<br />
6.13.7 Flüssigkristallanzeige, LCD<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 175
Dezibel<br />
Phon<br />
Sone<br />
Bedeutung<br />
Luft<br />
Wasser oder Andere<br />
Berechnung<br />
Bedeutung<br />
Bezugswert<br />
Berechnung<br />
Bedeutung<br />
Bezugswert<br />
Berechnung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Akustik Editiert: 21.02.2011<br />
7 Akustik<br />
7.1 Dezibel, Phon und Sone<br />
Dezibel ist ein Zehntel von einem Bel und ist das Verhältnis zweier Grössen, das dimensionslos, also<br />
ohne Einheit angegeben wird.<br />
Phon gibt die empfundene Lautstärke im Verhältnis zu 1000 Hz Sinus an. Bei dieser Frequenz (1000 Hz<br />
Sinus) ist Phon mit Dezibel gleich.<br />
Sone ist die Masseinheit der subjektiven Lautheit eines Klangs.<br />
7.2 Schallpegel<br />
7.2.1 Schalldruckpegel<br />
L p : Schalldruckpegel dB<br />
P : Effektivwert des Schalldrucks Pa<br />
P : Bezugswert Pa<br />
0<br />
Der Schalldruckpegel Lp beschreibt die Schalleinwirkung auf einen bestimmten Ort.<br />
P 20μPa<br />
0<br />
1μPa P <br />
0<br />
2 P P <br />
Lp 10dB log 20db log<br />
2 <br />
P0 P0<br />
<br />
7.2.2 Schallleistungspegel<br />
L W : Schallleistungspegel dB<br />
P : Schallleistung W<br />
P : Bezugswert W<br />
0<br />
Der Schallleistungspegel LW beschreibt die Stärke einer Schallquelle.<br />
P<br />
0<br />
<br />
12<br />
10 W<br />
P <br />
LW 10dBlog <br />
P<br />
0 <br />
7.2.3 Schallintensitätspegel<br />
L I : Schallintensitätspegel dB<br />
I : Schallintensität W m -2<br />
I 0 : Bezugswert W m -2<br />
Der Schallintensitätspegel LI beschreibt die Schallintensität I zu einem Bezugswert I0.<br />
I<br />
0<br />
10 Wm<br />
12<br />
-2<br />
I <br />
LI 10dBlog <br />
I<br />
0 <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 176
Kelvin<br />
Grad Celsius<br />
Grad Fahrenheit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8 Wärmelehre<br />
8.1 Temperatureinheiten<br />
T K : Temperatur K<br />
: Temperatur °C<br />
C<br />
: Temperatur °F<br />
F<br />
273.15<br />
TK C 5<br />
9<br />
TKF 459.67<br />
273.15 T <br />
C K<br />
5<br />
9<br />
CF 32<br />
9<br />
F K 459.67<br />
5<br />
<br />
T<br />
9<br />
32<br />
5<br />
<br />
F C<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 177
Längenausdehnung<br />
Oberflächenausdehnung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.2 thermische Ausdehnung<br />
8.2.1 Wärmeausdehnung<br />
L 0 : Länge m<br />
A 0 : Oberfläche m 2<br />
V 0 : Volumen m 3<br />
0 : Dichte kg m -3<br />
L : Länge m<br />
A : Oberfläche m 2<br />
V : Volumen m 3<br />
: Dichte kg m -3<br />
L :<br />
A<br />
V<br />
Längenausdehnung m<br />
: Oberflächenausdehnung m 2<br />
: Volumenausdehnung m 3<br />
: linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1<br />
i : stoffspezifischer Volumenausdehnungskoeffizient K -1<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K<br />
L L T<br />
0 K<br />
<br />
L L T<br />
A 0<br />
L <br />
L<br />
0<br />
0 1 K<br />
A A T<br />
0 2 K<br />
A0 A<br />
2<br />
1 1 2 <br />
A A T A T<br />
0 K 0<br />
K<br />
kalter Zustand<br />
erwärmter Zustand<br />
Ausdehnung<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 178
Volumenausdehnung <br />
Volumenausdehnung<br />
in<br />
einem Gefäss<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
V 0<br />
V V T<br />
0 3 K<br />
3<br />
1 1 3 <br />
V V T V T<br />
0 K 0<br />
K<br />
V V T<br />
0 K<br />
<br />
V V T<br />
0 1 K<br />
T<br />
<br />
0 1 K<br />
3 <br />
kubische (isotrope) Festkörper<br />
1<br />
273.15<br />
-1<br />
K ideale Gase<br />
V 0<br />
V0 V<br />
V0 V<br />
V V T V T<br />
0 Flüssigkeit K 0 Gefäss K<br />
<br />
V V T T<br />
0 1 Flüssigkeit K Gefäss K<br />
8.2.2 Bimetallstreifen<br />
Aufbau Bimetallthermometer<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 179
Grundgleichung<br />
Krümmungsradius<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.2.2.1 Krümmung mit einem festen Ende<br />
A : Krümmung des Bimetallsteifens m<br />
L : Länge des Bimetallsteifens m<br />
d : Dicke beider Metallsteifen m<br />
1 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient der aktiven Komponente K -1<br />
2 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient der inaktiven Komponente K -1<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K<br />
2<br />
3<br />
L<br />
A12TK 4<br />
d<br />
8.2.2.2 Krümmungsradius bei losen Enden<br />
R :<br />
Krümmungsradius in erwärmtem Zustand<br />
(vom Zentrum bis zur Mittellinie des inneren Metalls)<br />
m<br />
L : Länge des inneren Metalls in erwärmtem Zustand m<br />
Stahl<br />
L Alu : Länge der äusseren Metalls in erwärmten Zustand m<br />
d : Dicke eines Metallsteifens m<br />
Stahl : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient des inneren Metalls K -1<br />
Alu : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient des äusseren Metalls K -1<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K<br />
: Krümmungswinkel rad<br />
LStahlLAlu <br />
R R d<br />
1<br />
Stahl<br />
TK<br />
R<br />
<br />
1<br />
T R d<br />
Alu K<br />
1 Stahl<br />
K <br />
<br />
dT R <br />
T <br />
K Alu Stahl<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 180
Grundgleichungen<br />
Kraft<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.2.3 temperaturunabhängiger Massstab<br />
L 1 : Länge m<br />
1 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1<br />
L : Länge m<br />
2<br />
2 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1<br />
L<br />
L<br />
<br />
L2 L1 const.<br />
<br />
1 2<br />
2 1<br />
erstes Metall<br />
zweites Metall<br />
8.2.4 eingespanntes Metall mit einem Querschnitt<br />
F : Kraft auf das Metall N<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
A : Querschnittsfläche m 2<br />
L : Startlänge m<br />
0<br />
L : mechanische Längenausdehnung m<br />
mech<br />
L : thermische Längenausdehnung m<br />
therm<br />
: linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
F<br />
K<br />
L 1<br />
A E L<br />
L<br />
mech<br />
hookesches Gesetz<br />
0<br />
0 Ltherm LmechEinspannvorrichtung<br />
fest<br />
FL0 <br />
AE 0 L0TK FL0 <br />
AE 0 L0TK L 2<br />
F A E T<br />
K<br />
L L<br />
2 1<br />
L2 L1<br />
kalt warm<br />
L 0<br />
F<br />
warm kalt<br />
Elastizität<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
0 K , Zugkraft wirkt auf Vorrichtung<br />
TK<br />
0 K , Druckkraft wirkt auf Vorrichtung<br />
TK<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 181<br />
F
Grundgleichungen<br />
Kraft<br />
Verschiebung des<br />
Übergangs<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.2.5 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten<br />
F : Kraft auf das Metall N<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
A i : Querschnittsfläche m 2<br />
L : Startlänge m<br />
i<br />
L : mechanische Längenausdehnung m<br />
mechi<br />
Lthermi<br />
: thermische Längenausdehnung m<br />
x : Verschiebung des Übergangs m<br />
: linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
F<br />
K<br />
A 1<br />
2 A<br />
L 1<br />
2 L<br />
warm kalt<br />
A E L A E L<br />
L L<br />
Elastizität<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
1 mech1 2 mech2<br />
hookesches Gesetz<br />
1 2<br />
0 Ltherm1 Lmech1 Ltherm 2 Lmech<br />
2<br />
Einspannvorrichtung fest<br />
F LFL 1 2<br />
0 L1TK L2TK <br />
A1EA2E F LFL 1 2<br />
0 L1TK L2TK <br />
A1EA2E 1 2<br />
<br />
E TK L L<br />
F <br />
L1 L2<br />
<br />
A A<br />
F F<br />
x<br />
1 2<br />
FL1 x Ltherm1 Lmech1 L1 TK <br />
A E<br />
<br />
L L T A A<br />
x L A L A<br />
1 2 K 1 2<br />
1 2 2 1<br />
1<br />
0 K , Zugkraft wirkt auf Vorrichtung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 182<br />
x<br />
TK<br />
0 K , Druckkraft wirkt auf Vorrichtung<br />
TK
Grundgleichungen<br />
Kraft<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.2.6 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten und Feder<br />
F : Kraft auf das Metall N<br />
E : Elastizitätsmodul N m -2<br />
A i : Querschnittsfläche m 2<br />
L : Startlänge m<br />
i<br />
L : mechanische Längenausdehnung m<br />
mechi<br />
A 1<br />
2 A<br />
L 1<br />
2 L<br />
warm kalt<br />
Lthermi<br />
: thermische Längenausdehnung m<br />
L : Längenänderung des Metalls und der Feder m<br />
: linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K<br />
c : Federkonstante N m -1<br />
1 mech1 2 mech2<br />
F c L<br />
1 2<br />
Elastizität<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
A E L A E L<br />
hookesches Gesetz<br />
L L<br />
L L L L L<br />
Einspannvorrichtung fest<br />
therm1 mech1 therm2 mech2<br />
F LFL L L TLT 1 2<br />
1 K<br />
A1E 2 K<br />
A2E F LFL L L TLT 1 2<br />
1 K<br />
A1E 2 K<br />
A2E <br />
E T L L<br />
K 1 2<br />
F c L<br />
E L1 L2<br />
<br />
c A A<br />
1 2<br />
L<br />
c<br />
F F<br />
0 K , Zugkraft wirkt auf Vorrichtung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 183<br />
TK<br />
0 K , Druckkraft wirkt auf Vorrichtung<br />
TK<br />
L
verschiedene Stoffe<br />
Wasser<br />
Wärmekapazität<br />
spezifische<br />
Wärmekapazität<br />
thermische Energie<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.3 Wärmekapazität<br />
8.3.1 spezifische Wärmekapazität<br />
C : Wärmekapazität J K -1<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
Q, dQ : thermische Energie J<br />
T , dT : Temperaturdifferenz K<br />
K K<br />
m : Masse kg<br />
Q<br />
C <br />
T<br />
C<br />
c <br />
m<br />
K<br />
Q c m TK<br />
dQ c m dTK<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 184
Situationen<br />
Berechnung<br />
Wasserwert<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.3.2 Kalorimeter<br />
QKörper<br />
: thermische Energieänderung des Körpers J<br />
QWasser<br />
: thermische Energieänderung des Wassers J<br />
Q : thermische Energieänderung des Kalorimeters J<br />
Kal<br />
T : Temperatur des Körpers vor dem Eintauchen K<br />
Körper<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K , Körper<br />
c Körper : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
m Körper : Masse kg<br />
T Wasser : Temperatur vor dem Eintauchen des Körpers K<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K , Wasser<br />
c Wasser : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
m : Masse kg<br />
Wasser<br />
c Kal : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
m : Masse kg<br />
Kal<br />
C Kal : Wärmekapazität J K -1<br />
W : Wasserwert kg<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
m<br />
K<br />
T Temperatur nach dem Eintauchen des Körpers K<br />
thermische Energie<br />
Körper<br />
Wasser<br />
Kalorimeter<br />
Andere<br />
Körper wärmer als Kalorimeter mit Wasser Körper kälter als Kalorimeter mit Wasser<br />
T T T<br />
T T T<br />
Q Q<br />
K , Körper Körper m<br />
T T T<br />
Körper Wasser<br />
K , Wasser m Wasser<br />
c m T c m T<br />
Körper Körper K , Körper Wasser Wasser K , Wasser<br />
Q Q Q<br />
Körper Wasser Kal<br />
<br />
c m T c m c m T<br />
K , Körper m Körper<br />
T T T<br />
K , Wasser Wasser m<br />
Körper Körper K , Körper Wasser Wasser Kal Kal K , Wasser<br />
C c m<br />
W <br />
c c<br />
Kal Kal Kal<br />
Wasser Wasser<br />
ideales Kalorimeter<br />
reales Kalorimeter<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 185
thermische Energie<br />
Mischungstemperatur<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.3.3 richmannsche Mischungsregel<br />
Q ab : abgegebene thermische Energie J<br />
m : Masse kg<br />
1<br />
c 1 : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
T : Temperatur K<br />
1<br />
Q : aufgenommene thermische Energie J<br />
auf<br />
m 2 : Masse kg<br />
c 2 : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
T : Temperatur K<br />
2<br />
T : Temperatur beider Körper nach der Mischung K Andere<br />
m<br />
Qab Qauf<br />
<br />
m c T T m c T T<br />
T<br />
1 1 1 m 2 2 m 2<br />
m<br />
vorher nachher<br />
m1, c1, T 1<br />
m2, c2, T 2<br />
m c T m c T<br />
<br />
m c m c<br />
1 1 1 2 2 2<br />
1 1 2 2<br />
1 2 , m m Tm<br />
wärmerer Körper<br />
kälterer Körper<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 186
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4 stationärer Wärmetransport<br />
8.4.1 Zusammenhänge zwischen thermischen und elektrischen Kreisen<br />
elektrischer Kreis thermischer Kreis<br />
Bezeichnung Formelzeichen Einheit Bezeichnung Formelzeichen Einheit<br />
Spannung U V Temperaturdifferenz ΔTK K<br />
Stromstärke I A Wärmestrom IQ, Q W<br />
Stromdichte J A m -2 Wärmestromdichte JQ, q W m -2<br />
Leitfähigkeit ζ Ω -1 m -1 Wärmeleitfähigkeit λ W m -1 K -1<br />
Widerstand R Ω Wärmewiderstand Rth K W -1<br />
Leitwert G S Wärmeleitwert kλ ∙ A W K -1<br />
ohmsches<br />
U = R ∙ I Wärmeleitung ΔTK = Rth ∙ IQ<br />
Gesetz<br />
Reihen-<br />
schaltung<br />
I<br />
R el<br />
th R<br />
Q<br />
U<br />
U = U1 + U2 + ... + Un<br />
R = R1 + R2 + ... + Rn<br />
Reihen-<br />
schaltung<br />
8.4.2 Mechanismen des Wärmetransportes<br />
Wärmeleitung Wärmeströmung, Konvektion Wärmestrahlung<br />
ΔTKges = ΔTK1 + ΔTK2 + ... + ΔTKn<br />
Rthges = Rth 1 + Rth 2 + ... + Rth n<br />
Wärmeleitung Wärmeverbreitung in Festkörpern (meist Metalle)<br />
erzwungene Wärmeströmung, Konvektion Wärmeumwälzung die mit einem Lüfter (aktiv) entsteht<br />
freie Wärmeströmung, Konvektion Wärmeumwälzung die ohne Lüfter (passiv) entsteht<br />
Wärmestrahlung elektromagnetische Strahlung die jeder Körper ausstrahlt<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 187<br />
I<br />
TK
Zeitverlauf<br />
Beschreibung<br />
Wärmeleitwiderstand<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.1 Wärmeleitung<br />
t = 1 t = 2 t = 3<br />
R thL : Wärmeleitwiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
d : Dicke des Materials m<br />
: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1<br />
A : Oberfläche des Materials m 2<br />
Wärmeleitung ist an einem festen Körper mit einer Temperaturdifferenz gebunden. Bei einer punktuellen<br />
Erwärmung eines festen Körpers wird die Wärmeenergie auf die unmittelbar in der Nähe liegenden<br />
Teilchen übertragen.<br />
R<br />
thL<br />
d<br />
<br />
A<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 188
Zeitverlauf<br />
Beschreibung<br />
Wärmeströmungswiderstand<br />
typische Werte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.2 Wärmeströmung, Konvektion<br />
freie Wärmeströmung,<br />
Konvektion<br />
erzwungene Wärmeströmung,<br />
Konvektion<br />
t = 1 t = 2 t = 3<br />
R thK : Wärmeströmungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
K : Wärmeübergangskoeffizient, Konvektionskoeffizient W m -2 K -1<br />
A : Oberfläche m 2<br />
Wärmeströmung ist ähnlich wie die Wärmeleitung an einen materiellen Stoff gebunden. Doch im<br />
Gegensatz zur Wärmeleitung kann eine Wärmeströmung nur in einer Flüssigkeit oder in einem<br />
gasförmigen Stoff stattfinden.<br />
R<br />
thK<br />
1<br />
<br />
A<br />
K<br />
Kühlungsart K<br />
ruhende Luft (Passivkühlung) 10…20 W m -2 K -1<br />
Luftstrom (Aktivkühlung) 100 W m -2 K -1<br />
Wasserstrom (Wasserkühlung) 1000 W m -2 K -1<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 189
Beschreibung<br />
Wärmestrahlungswiderstand<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.3 Wärmestrahlung<br />
8.4.2.3.1 Wärmestrahlungswiderstand<br />
R thS : Wärmestrahlungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
S : Wärmeübertragungskoeffizient, Strahlungskoeffizient W m -2 K -1<br />
A : Oberfläche des Wärme abstrahlenden Materials m 2<br />
Wärmestrahlung ist eine Form des Energietransportes, der nicht an eine stoffliche Materie gebunden ist.<br />
Wärmestrahlung ist eine elektromagnetische Wellenstrahlung, deren Wellenlänge zwischen 400 nm bis<br />
1 mm beträgt. Damit umfasst sie den Bereich des sichtbaren Lichts sowie des Infrarotbereiches.<br />
R<br />
thS<br />
1<br />
<br />
A<br />
S<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 190
Beschreibung<br />
Transmission<br />
Reflexion<br />
Absorption<br />
Zusammenhänge<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.3.2 Transmission, Reflexion und Absorption<br />
Transmission, Durchlässigkeit Reflexion Absorption<br />
: Transmissionsfaktor<br />
: Reflexionsfaktor<br />
: Absorptionsfaktor<br />
I I : einfallende Strahlungsleistung W<br />
einfallend ,<br />
Q Qe<br />
I Qtransmittiert<br />
: transmittierte Strahlungsleistung W<br />
I Qreflektiert<br />
: reflektierte Strahlungsleistung W<br />
I Qabsorbiert<br />
: absorbierte Strahlungsleistung W<br />
Faktoren<br />
Strahlungsleistung<br />
Von Transmission (Durchlässigkeit) spricht man, wenn ein Teil der Strahlungsleistung durch den<br />
Stoff gelassen wird.<br />
Von Reflexion spricht man, wenn ein Teil der Strahlungsleistung zurückgeworfen wird.<br />
Von Absorption spricht man, wenn ein Grossteil der Strahlungsleistung vom Stoff aufgenommen wird.<br />
I<br />
<br />
I<br />
I<br />
<br />
I<br />
I<br />
<br />
I<br />
Qtransmittiert<br />
Qeinfallend<br />
Qreflektiert<br />
Qeinfallend<br />
Qabsorbiert<br />
Qeinfallend<br />
IQtransmittiert IQreflektiertIQabsorbiertIQeinfallend 1<br />
I I<br />
QeinfallendQeinfallend <strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 191
Eigenschaften<br />
graue Körper<br />
schwarze Körper<br />
Absorption<br />
Emission<br />
kirchhoffsches<br />
Strahlungsgesetz<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.3.3 Emission, Absorption und kirchhoffsches Strahlungsgesetz<br />
gute Absorption gute Emission schlechte Absorption schlechte Emission<br />
: Emissionsfaktor<br />
: Absorptionsfaktor<br />
I I : einfallende Strahlungsleistung W<br />
einfallend ,<br />
Q Qe<br />
I Qabsorbiert<br />
: absorbierte Strahlungsleistung W<br />
I Qreflektiert<br />
: reflektierte Strahlungsleistung W<br />
I Qemittiert<br />
: emittierte Strahlungsleistung W<br />
Faktoren<br />
Strahlungsleistung<br />
Eine schwarze Fläche emittiert am meisten Wärmestrahlung.<br />
Eine schwarze Fläche muss genau soviel Wärmestrahlung emittieren wie absorbieren.<br />
Absorbiert eine Fläche alle Wärmestrahlung, ist sie perfekt schwarz.<br />
I I I I I<br />
Qeinfallend Qabsorbiert Qreflektiert Qemittiert Qreflektiert<br />
I I I<br />
Qeinfallend Qabsorbiert Qemittiert<br />
I<br />
<br />
I<br />
I<br />
<br />
I<br />
<br />
Qabsorbiert<br />
Qeinfallend<br />
Qemittiert<br />
Qeinfallend<br />
Der Wärmefluss durch Strahlung muss in beiden Richtungen gleich<br />
sein, sonst würde sich eine Fläche abkühlen und die andere sich<br />
aufheizen.<br />
Der Wärmefluss durch Strahlung muss in beiden Richtungen gleich<br />
sein, sonst würde sich eine Fläche abkühlen und die andere sich<br />
aufheizen.<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 192
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Strahlungsaustauschkoeffizient <br />
Wärmeübertragungskoeffizient <br />
Wärmestrahlungswiderstand<br />
Wärmestrom<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.3.4 Strahlungsaustauschkoeffizient<br />
C 12 : Strahlungsaustauschkoeffizient W m -2 K -4<br />
S :<br />
1<br />
Wärmeübertragungskoeffizient,<br />
Strahlungskoeffizient<br />
: Emissionsfaktor der warmen Fläche<br />
: Emissionsfaktor der kalten Fläche<br />
2<br />
T : Temperatur der warmen Fläche K<br />
1<br />
T : Temperatur der kalten Fläche K<br />
2<br />
A : Oberfläche m 2<br />
R thS :<br />
Wärmestrahlungswiderstand,<br />
absoluter Wärmewiderstand<br />
IQ, Q : Wärmestrom W<br />
W m -2 K -1<br />
K W -1<br />
1,2<br />
: Stefan-Boltzmann Konstante 5.6704 ∙ 10 -8 W m -2 K -4<br />
C<br />
12<br />
<br />
<br />
1 1<br />
1<br />
<br />
1 2<br />
C12 1 2 ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1<br />
2 2 <br />
S 1 2 T1 T2 T1 T2<br />
ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1<br />
R<br />
thS<br />
1<br />
<br />
A<br />
S<br />
T T<br />
I A T T<br />
1 2<br />
Q<br />
RthS<br />
S<br />
Q<br />
<br />
1 2<br />
2 2<br />
<br />
I A T T T T T T ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1<br />
Q<br />
I<br />
T 1<br />
R thS<br />
2 T<br />
Q<br />
T1 T2<br />
1 2 1 2 1 2 1 2<br />
4 4 <br />
I A T T ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1<br />
1 2 1 2<br />
Aufbau<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 193
Eigenschaften<br />
wiensches<br />
Verschiebungsgesetz<br />
gesamte Strahlung<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.3.5 spektrale Zusammensetzung der Wärmestrahlung<br />
plancksche Strahlungsspektren schwarzer Strahler<br />
max :<br />
Wellenlänge bei der die grösste<br />
Strahlungsintensität auftritt<br />
: Stefan-Boltzmann Konstante 5.6704 ∙ 10 -8 W m -2 K -4<br />
T : Temperatur K<br />
Körper<br />
µm<br />
A : Oberfläche m 2<br />
M : spektrale spezifische Ausstrahlung W m -2<br />
P : Strahlungsleistung W<br />
: Emissionsfaktor<br />
Andere<br />
Körper<br />
Je höher die Temperatur eines Körpers ist, desto kürzer ist die Wellenlänge, bei der das<br />
Strahlungsintensitätsmaximum ausgesandt wird.<br />
Stahl gibt bei Raumtemperatur unsichtbares infrarotes Licht als Wärmestrahlung ab.<br />
Warmer glühender Stahl leuchtet dunkelrot und heisser flüssiger Stahl glüht fast weiss.<br />
Die Strahlungsleistung nimmt mit der 4. Potenz der absoluten Temperatur zu.<br />
2897.8 μm K<br />
<br />
max<br />
TKörper<br />
3000 K 6000 K<br />
M T 4<br />
Körper<br />
P M A A T<br />
M T<br />
4<br />
Körper<br />
4<br />
Körper<br />
P M A A T<br />
4<br />
Körper<br />
schwarzer Körper<br />
beliebiger Körper<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 194
Wärmeübergang<br />
Wärmedurchgang<br />
Eigenschaften<br />
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.2.4 Wärmeübergang und Wärmedurchgang<br />
Wärmeübergang Wärmedurchgang<br />
Die Wärmeenergie wird von einem abgeschlossenen System auf ein angrenzendes System übertragen.<br />
Die Wärmeenergie wird von einem abgeschlossenen System über ein angrenzendes auf ein weiteres<br />
abgeschlossenes System übertragen.<br />
8.4.3 Wärmewiderstand<br />
8.4.3.1 Definition<br />
R th : absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
R : spezifischer Wärmewiderstand K m W -1<br />
R T : Wärmedurchgangswiderstand K m 2 W -1<br />
d : Dicke des Materials m<br />
A : Oberfläche des Materials m 2<br />
T : Temperaturdifferenz K<br />
K<br />
I : Wärmestrom W<br />
Q<br />
: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient bei Wärmeleitung W m -2 K -1<br />
Wärmewiderstand<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
Ein kleiner Wärmewiderstand bedeutet schlechte Wärmedämmung.<br />
Ein kleiner Wärmewiderstand bedeutet gute Wärmeleitung.<br />
Ein grosser Wärmewiderstand bedeutet gute Wärmedämmung.<br />
Ein grosser Wärmewiderstand bedeutet schlechte Wärmeleitung.<br />
Über einem kleinen Wärmewiderstand befindet sich eine kleine Temperaturdifferenz.<br />
Über einem grossen Wärmewiderstand befindet sich eine grosse Temperaturdifferenz.<br />
R<br />
R<br />
th<br />
th<br />
d 1<br />
<br />
AkA T<br />
<br />
I<br />
Q<br />
K<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 195
spezifischer<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmedurchgangswiderstand <br />
Gesamtwärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
R <br />
R<br />
R<br />
R<br />
<br />
T<br />
T<br />
1<br />
<br />
<br />
TKA <br />
I d<br />
Q<br />
1 d<br />
<br />
<br />
k <br />
TKA <br />
I<br />
Q<br />
8.4.3.2 Reihenschaltung von Wärmewiderständen<br />
Einzelwärmewiderstände Gesamtwärmewiderstand<br />
R th, ges : Gesamtwärmewiderstand K W -1<br />
R th, i : Einzelwärmewiderstände K W -1<br />
k ges : Gesamtwärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
k i : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
n : Anzahl Wärmewiderstände<br />
IQ, Q: Wärmestrom W<br />
i : Temperaturen °C<br />
n<br />
<br />
R R R R ... R<br />
th, ges th, i th,1 th,2 th, n<br />
i1<br />
I Q<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 2 3 n n 1 1 n 1<br />
Q ... <br />
Rth,1 Rth,1 Rth, n Rth,<br />
ges<br />
k<br />
1 1<br />
<br />
1 1 1 1<br />
... <br />
k k k k<br />
ges n<br />
i1i12n Wärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 196
Gesamtwärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.3.3 Parallelschaltung von Wärmewiderständen<br />
Einzelwiderstände Gesamtwiderstand<br />
R th, ges : Gesamtwärmewiderstand K W -1<br />
R th, i : Einzelwärmewiderstände K W -1<br />
k ges : Gesamtwärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
k i : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
n : Anzahl Wärmewiderstände<br />
IQ, Q: Wärmestrom W<br />
i : Temperaturen °C<br />
1 1<br />
Rth, ges Rth,1 Rth,2 ... Rth,<br />
n <br />
n 1 1 1 1<br />
... <br />
R R R R<br />
n<br />
<br />
I Q Q Q Q ... Q<br />
Q i 1 2<br />
n<br />
i1<br />
i1 th, i th,1 th,2 th, n<br />
n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2<br />
IQQ ... <br />
R R R R R<br />
n<br />
<br />
i1 th, i th,1 th,2 th, n th, ges<br />
k k k k ... k<br />
ges i 1 2<br />
n<br />
i1<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 197
Wärmestrom<br />
Wärmestromdichte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.4 Wärmestrom durch Oberflächen und Wärmestromdichte<br />
IQ, Q: Wärmestrom W<br />
JQ, q : Wärmestromdichte W m -2<br />
Q : Wärmemenge J<br />
TK<br />
: Temperaturdifferenz K<br />
d : Dicke des Materials m<br />
A : Oberfläche des Materials m 2<br />
t : Zeit s<br />
Wärmetransport<br />
Abmessungen<br />
Andere<br />
R th : absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1 k : Wärmedurchgangskoeffizient bei Wärmeleitung W m<br />
Materialkonstanten<br />
-2 K -1<br />
dQ<br />
IQQ dt<br />
I<br />
Q<br />
T<br />
<br />
R<br />
th<br />
K<br />
ATK IQ k A TK<br />
ebene Wand<br />
d<br />
Q 1 dQ<br />
JQq <br />
A A dt<br />
J<br />
Q<br />
TK<br />
<br />
AR th<br />
TK<br />
JQ k TK<br />
ebene Wand<br />
d<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 198
Prinzip<br />
Wasserkühlung<br />
Wärmestrom<br />
transportierte<br />
Masse pro Zeit<br />
transportiertes<br />
Volumen pro Zeit<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.5 Wärmestrom durch Materie<br />
P : abzuführende Verlustleistung W<br />
I : Wärmestrom W<br />
Q<br />
T 1 : Temperatur der eintretenden Materie K<br />
T : Temperatur der austretenden Materie K<br />
2<br />
eintretende<br />
Materie<br />
T 1<br />
m transportierte Masse pro Zeit kg s -1<br />
V : transportiertes Volumen pro Zeit m 3 s -1<br />
m : Masse kg<br />
V : Volumen m 3<br />
t : Zeit s<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
: Dichte kg m -3<br />
dm<br />
IQ c T2 T1 m c T2 T1<br />
dt<br />
dm I<br />
m <br />
dt c T T<br />
Körper<br />
<br />
<br />
Q<br />
2 1<br />
dV 1 dm m<br />
V <br />
dt dt <br />
austretende<br />
Materie<br />
P IQ<br />
2 T<br />
m<br />
Leistung und Wärmestrom<br />
Materie, z. B. Luft oder Wasser<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 199
Bedeutung<br />
Eigenschaften<br />
Berechnung<br />
Bedeutung<br />
Eigenschaften<br />
Wärmeleitung<br />
Wärmeströmung,<br />
Konvektion<br />
Wärmestrahlung<br />
Zusammenhänge<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.6 spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl, λ<br />
: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient bei Wärmeleitung W m -2 K -1<br />
d : Dicke des Materials m<br />
Die spezifische Wärmeleitfähigkeit die Wärmemenge an, die durch einen Quadratmeter eines ein<br />
Meter dicken Bauteils während einer Sekunde bei einem Temperaturunterschied von einem Kelvin<br />
hindurchgeht.<br />
Die spezifische Wärmeleitfähigkeit kann für ein fertiges Produkt, zum Beispiel einen Ziegelstein<br />
oder ein komplettes Wärmefenster nicht angegeben werden, weil die Dicke schon festliegt.<br />
Eine kleine spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet gute Wärmedämmung.<br />
Eine kleine spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet schlechte Wärmeleitung.<br />
Eine grosse spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet schlechte Wärmedämmung.<br />
Eine grosse spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet gute Wärmeleitung.<br />
k d<br />
8.4.7 Wärmedurchgangskoeffizient, Wärmedämmwert, k-Wert, U-Wert<br />
k :<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
bei Wärmeleitung<br />
W m -2 K -1<br />
k K : Wärmedurchgangskoeffizient<br />
bei Wärmeströmung, Konvektion W m-2 K -1<br />
k S :<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
bei Wärmestrahlung<br />
d : Dicke des Materials m<br />
A : Oberfläche des Materials m 2<br />
:<br />
spezifische Wärmeleitfähigkeit,<br />
Wärmeleitzahl<br />
K : Wärmeübergangskoeffizient,<br />
Konvektionskoeffizient<br />
S : Wärmeübertragungskoeffizient,<br />
Strahlungskoeffizient<br />
W m -2 K -1<br />
W m -1 K -1<br />
W m -2 K -1<br />
W m -2 K -1<br />
R th : absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
Abmessungen<br />
Materialkonstanten<br />
Andere<br />
Der Wärmedurchgangskoeffizient gibt die Wärmemenge an, die durch einen Quadratmeter eines<br />
Bauteils während einer Sekunde bei einem Temperaturunterschied von einem Kelvin hindurchgeht.<br />
Der Wärmedurchgangskoeffizient kann für ein fertiges Produkt, zum Beispiel einen Ziegelstein oder<br />
ein komplettes Wärmefenster angegeben werden.<br />
Ein kleiner Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet gute Wärmedämmung.<br />
Ein kleiner Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet schlechte Wärmeleitung.<br />
Ein grosser Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet schlechte Wärmedämmung.<br />
Ein grosser Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet gute Wärmeleitung.<br />
k<br />
<br />
<br />
<br />
d<br />
kK K<br />
kS S<br />
Rth<br />
1<br />
<br />
k A<br />
<br />
k<br />
<br />
1<br />
R A<br />
th<br />
1<br />
k <br />
R A<br />
th<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 200
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmedurchgangso<br />
effizient<br />
Wärmestrom<br />
Wärmestromdichte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.8 Situationen bei Wärmeleitung<br />
8.4.8.1 Formelzeichen<br />
R th : absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient bei Wärmeleitung W m -2 K -1<br />
I Q : Wärmestrom W<br />
J Q : Wärmestromdichte W m -2<br />
TK<br />
: Temperaturdifferenz K<br />
d z : Dicke des Materials m<br />
, i<br />
r i : Radius m<br />
l : Länge m<br />
A : Oberfläche des Materials m 2<br />
i : spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1<br />
i : Wärmeübergangskoeffizient der inneren Grenzschicht W m -2 K -1<br />
a : Wärmeübergangskoeffizient der äusseren Grenzschicht W m -2 K -1<br />
8.4.8.2 einschichtige Wand ohne Grenzschichten<br />
R<br />
k<br />
I<br />
J<br />
th<br />
<br />
Q<br />
Q<br />
1 d<br />
<br />
A<br />
<br />
<br />
d<br />
AT <br />
d<br />
T<br />
<br />
d<br />
K<br />
K<br />
Wärmetransport<br />
Abmessungen<br />
Materialkonstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 201
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
Wärmestrom<br />
Wärmestromdichte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.8.3 einschichtige Wand mit Grenzschichten<br />
R<br />
k<br />
I<br />
J<br />
th<br />
<br />
Q<br />
Q<br />
1 1 d 1 <br />
<br />
A i a<br />
<br />
1<br />
<br />
1 d 1<br />
<br />
<br />
i a<br />
ATK <br />
1 d 1<br />
<br />
<br />
i a<br />
TK<br />
<br />
1 d 1<br />
<br />
<br />
i a<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 202
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
Wärmestrom<br />
Wärmestromdichte<br />
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmedurchgangskoeffizient<br />
Wärmestrom<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.8.4 mehrschichtige Wand ohne Grenzschichten<br />
R<br />
k<br />
I<br />
J<br />
1<br />
z z<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
1 2 3<br />
th <br />
A 1 2 3<br />
<br />
Q<br />
Q<br />
1<br />
<br />
z1 z2<br />
z3<br />
<br />
<br />
1 2 3<br />
ATK <br />
z1 z2<br />
z3<br />
<br />
<br />
1 2 3<br />
TK<br />
<br />
z1 z2<br />
z3<br />
<br />
<br />
1 2 3<br />
Δz1: innere Materialdicke<br />
Δz2: mittlere Materialdicke<br />
Δz3: äussere Materialdicke<br />
8.4.8.5 mehrschichtige Wand mit Grenzschichten<br />
R<br />
k<br />
I<br />
1 1 z z<br />
z<br />
1 <br />
<br />
<br />
1 2 3<br />
th <br />
A i 1 2 3 a<br />
<br />
Q<br />
1<br />
<br />
1 z1 z2<br />
z3<br />
1<br />
<br />
<br />
i 1 2 3 a<br />
ATK <br />
1 z1 z2<br />
z3<br />
1<br />
<br />
<br />
i 1 2 3 a<br />
δ1: innere Grenzschicht<br />
δ2: äussere Grenzschicht<br />
Δz1: innere Materialdicke<br />
Δz2: mittlere Materialdicke<br />
Δz3: äussere Materialdicke<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 203
Wärmestromdichte<br />
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
J<br />
Q<br />
TK<br />
<br />
1 z1 z2<br />
z3<br />
1<br />
<br />
<br />
i 1 2 3 a<br />
8.4.8.6 einschichtiger Hohlzylinder ohne Grenzschichten<br />
R<br />
I<br />
1 1 r ln<br />
<br />
2<br />
th <br />
2 l r1<br />
Q<br />
2<br />
lT <br />
r 2 ln<br />
<br />
r<br />
1 <br />
K<br />
r1: innerer Radius<br />
r2: äusserer Radius<br />
8.4.8.7 einschichtiger Hohlzylinder mit Grenzschichten<br />
R<br />
I<br />
1 1 1 r 1 <br />
<br />
<br />
2<br />
th ln<br />
<br />
2<br />
l i r1 r1 a<br />
r2<br />
Q<br />
2<br />
lTK <br />
1 1 r 2 1<br />
ln <br />
r r r<br />
i 1 1 a 2<br />
r1: innerer Radius<br />
r2: äusserer Radius<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 204
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
absoluter<br />
Wärmewiderstand<br />
Wärmestrom<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.8.8 mehrschichtiger Hohlzylinder<br />
R<br />
I<br />
th<br />
Q<br />
r1: innerster Radius<br />
r2: zweit innerster Radius<br />
r3: zweit äusserster Radius<br />
r4: äusserster Radius<br />
1 1 r 2 1 r 3 1 r <br />
4<br />
ln ln ln<br />
<br />
2l1r12r23r<br />
3 <br />
2<br />
lTK <br />
1 r 2 1 r 3 1 r 4<br />
ln ln ln <br />
1 r1 2 r2 3<br />
r3 8.4.8.9 Hohlkugel<br />
R<br />
I<br />
th<br />
Q<br />
1 1<br />
<br />
1 r1 r2<br />
<br />
4<br />
<br />
4<br />
T <br />
1 1<br />
<br />
r r<br />
1 2<br />
K<br />
r1: innerer Radius<br />
r2: äusserer Radius<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 205
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
absolute<br />
Wärmewiderstände<br />
Wärmeströme<br />
Wärmestromdichten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.4.9 Situationen bei Wärmeströmung, Konvektion und Wärmestrahlung<br />
8.4.9.1 Wärme abstrahlender Körper im Raum<br />
R thK : Wärmeströmungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
I : Wärmestrom W<br />
QK<br />
J QK : Wärmestromdichte W m -2<br />
K : Wärmeübergangskoeffizient, Konvektionskoeffizient W m -2 K -1<br />
R thS : Wärmestrahlungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
I : Wärmestrom W<br />
QS<br />
J QS : Wärmestromdichte W m -2<br />
S : Wärmeübertragungskoeffizient, Strahlungskoeffizient W m -2 K -1<br />
T : Oberflächentemperatur des Körpers K<br />
Körper<br />
T Wand : Oberflächentemperatur der Wand K<br />
T : Lufttemperatur K<br />
R<br />
R<br />
T Körper<br />
T Körper<br />
Luft<br />
Konvektion<br />
Strahlung<br />
Temperaturen<br />
A : Oberfläche des Körpers Andere<br />
thK<br />
thS<br />
1<br />
<br />
A<br />
K<br />
1<br />
<br />
A<br />
S<br />
<br />
I A T T<br />
QK K Körper Luft<br />
<br />
I A T T<br />
QS S Körper Wand<br />
<br />
J T T<br />
QK K Körper Luft<br />
<br />
J T T<br />
T Luft T Wand<br />
I<br />
QK<br />
I QS<br />
QS S Körper Wand<br />
R thK<br />
TKörper TLuft<br />
R thS<br />
TKörper TWand<br />
T Luft<br />
T Wand<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 206
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperatur- und<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5 instationärer Wärmetransport<br />
8.5.1 Erwärmung eines Körpers über einen Wärmestrom<br />
U<br />
<br />
0<br />
IQt <br />
t 0<br />
0<br />
U<br />
<br />
R th<br />
<br />
U Körper t<br />
mc <br />
t <br />
Temperatur Wärmestrom<br />
Körper t : Temperatur K<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
A : Oberfläche m 2<br />
m : Masse kg<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
Umgebung, U : Umgebungstemperatur, konstant K<br />
IQt : Wärmestrom W<br />
P : Initialwärmestrom W<br />
R th : Wärmewiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
U<br />
U<br />
Körper t <br />
Körper<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 207
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
<br />
<br />
I t k A t<br />
Q Umgebung Körper<br />
d<br />
IQ t m c Körper t<br />
dt<br />
<br />
d k A<br />
<br />
dt m c<br />
<br />
tt Körper Umgebung Körper<br />
0 <br />
kA <br />
t<br />
mc <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 208<br />
Q<br />
0 I P<br />
Körper<br />
0 0<br />
<br />
Körper t Umgebung Umgebung e Körper0 0<br />
0 <br />
1<br />
t<br />
m c Rth<br />
Körper t Umgebung Umgebung e Körper0 0<br />
0<br />
I t k A e<br />
Q Umgebung<br />
1<br />
t<br />
Umgebung 0 m c Rth<br />
<br />
IQ t e<br />
R<br />
t <br />
limKörper Umgebung<br />
t<br />
<br />
lim I t 0<br />
t<br />
Q<br />
th<br />
mc <br />
m c R<br />
kA th<br />
kA <br />
t<br />
mc <br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Erwärmungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperatur- und<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5.2 Erwärmung eines Körpers über mehrere Wärmeströme<br />
<br />
W<br />
L<br />
P<br />
0<br />
<br />
<br />
t 0<br />
L<br />
0<br />
P<br />
R thS<br />
R thK<br />
R thL<br />
<br />
W Körper t<br />
<br />
<br />
L Körper t<br />
<br />
P Körper t<br />
mc <br />
IQt <br />
W<br />
Körper t <br />
Temperatur Wärmestrom<br />
t <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 209<br />
L<br />
E<br />
P<br />
W
Konstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
Körper t : Temperatur K<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
E : Endtemperatur K<br />
m : Masse kg<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
R thL : Wärmeleitwiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
A L : Oberfläche der Wärmeleitung m 2<br />
d : Dicke m<br />
: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1<br />
Platte, P : Temperatur K<br />
R thK : Wärmeströmungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
A K : Oberfläche der Konvektion m 2<br />
K : Wärmeübergangskoeffizient, Konvektionskoeffizient W m -2 K -1<br />
Luft, L : Temperatur K<br />
R thS : Wärmestrahlungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
A S : Oberfläche der Strahlung m 2<br />
S : Wärmeübertragungskoeffizient, Strahlungskoeffizient W m -2 K -1<br />
: Temperatur K<br />
,<br />
Wand W<br />
IQt : Wärmestrom W<br />
P : Initialwärmestrom W<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
a : Konstante K -1 W<br />
b : Konstante W<br />
1 1 1<br />
a <br />
R R R<br />
thL thK thS<br />
<br />
b <br />
R R R<br />
Platte Luft Wand<br />
thL thK thS<br />
Körper<br />
Platte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 210<br />
Luft<br />
Wand<br />
Andere
Wärmewiderstände<br />
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
R<br />
R<br />
R<br />
thL<br />
thK<br />
thS<br />
Q<br />
d<br />
<br />
A<br />
L<br />
1<br />
<br />
A<br />
K K<br />
1<br />
<br />
A<br />
<br />
I t<br />
S S<br />
<br />
t t t <br />
<br />
<br />
R R R<br />
Platte Körper Luft Körper Wand Körper<br />
d<br />
IQ t m c Körper t<br />
dt<br />
thL thK thS<br />
d<br />
m c Körper t a Körper t b<br />
dt<br />
a b<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 211<br />
Q<br />
0 I P<br />
d<br />
1 1 1 <br />
Platte Luft Wand<br />
m c Körper t Körper t <br />
dt RthL RthK RthS RthL RthK RthS<br />
<br />
<br />
a<br />
b t<br />
b mc <br />
Körpert0e Körper0 0<br />
a a<br />
Q<br />
<br />
I t b a e<br />
t <br />
limKörperE t<br />
<br />
lim I t 0<br />
t<br />
Q<br />
mc <br />
a<br />
0<br />
b<br />
<br />
a<br />
a<br />
t<br />
mc <br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Erwärmungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %<br />
Körper<br />
0 0
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperatur- und<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5.3 Abkühlung eines Körpers über einen Wärmestrom<br />
U<br />
<br />
U<br />
IQt <br />
t 0<br />
0<br />
U<br />
t <br />
<br />
Körper U<br />
R th<br />
mc <br />
t <br />
Temperatur Wärmestrom<br />
Körper t : Temperatur K<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
A : Oberfläche m 2<br />
m : Masse kg<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
Umgebung, U : Umgebungstemperatur, konstant K<br />
IQt : Wärmestrom W<br />
P : Initialwärmestrom W<br />
R th : Wärmewiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
U<br />
U<br />
Körper t <br />
Körper<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 212
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
<br />
I t k A t <br />
Q Körper Umgebung<br />
d<br />
IQ t m c Körper t<br />
dt<br />
<br />
d k A<br />
tt dt m c<br />
<br />
Körper Körper Umgebung<br />
0 <br />
kA <br />
t<br />
mc <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 213<br />
Q<br />
0 I P<br />
Körper<br />
0 0<br />
<br />
Körper t Umgebung Umgebung e Körper0 0<br />
0 <br />
1<br />
t<br />
m c Rth<br />
Körper t Umgebung Umgebung e Körper0 0<br />
0 <br />
I t k A e<br />
Q Umgebung<br />
1<br />
0 <br />
t<br />
Umgebung m c Rth<br />
<br />
IQ t e<br />
R<br />
t <br />
limKörper Umgebung<br />
t<br />
<br />
lim I t 0<br />
t<br />
Q<br />
th<br />
mc <br />
m c R<br />
kA th<br />
kA <br />
t<br />
mc <br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Abkühlungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperatur- und<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5.4 Abkühlung eines Körpers über mehrere Wärmeströme<br />
<br />
W<br />
L<br />
P<br />
E<br />
t 0<br />
L<br />
0<br />
P<br />
t <br />
<br />
Körper W<br />
R thS<br />
t <br />
<br />
Körper L<br />
R thK<br />
t <br />
<br />
Körper P<br />
R thL<br />
mc <br />
IQt <br />
W<br />
Körper t <br />
Temperatur Wärmestrom<br />
t <br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 214<br />
L<br />
E<br />
P<br />
W
Konstanten<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
Körper t : Temperatur K<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
E : Endtemperatur K<br />
m : Masse kg<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
R thL : Wärmeleitwiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
A L : Oberfläche der Wärmeleitung m 2<br />
d : Dicke m<br />
: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1<br />
Platte, P : Temperatur K<br />
R thK : Wärmeströmungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
A K : Oberfläche der Konvektion m 2<br />
K : Wärmeübergangskoeffizient, Konvektionskoeffizient W m -2 K -1<br />
Luft, L : Temperatur K<br />
R thS : Wärmestrahlungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
A S : Oberfläche der Strahlung m 2<br />
S : Wärmeübertragungskoeffizient, Strahlungskoeffizient W m -2 K -1<br />
: Temperatur K<br />
,<br />
Wand W<br />
IQt : Wärmestrom W<br />
P : Initialwärmestrom W<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
a : Konstante K -1 W<br />
b : Konstante W<br />
1 1 1<br />
a <br />
R R R<br />
thL thK thS<br />
<br />
b <br />
R R R<br />
Platte Luft Wand<br />
thL thK thS<br />
Körper<br />
Platte<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 215<br />
Luft<br />
Wand<br />
Andere
Wärmewiderstände<br />
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
R<br />
R<br />
R<br />
thL<br />
thK<br />
thS<br />
Q<br />
d<br />
<br />
A<br />
L<br />
1<br />
<br />
A<br />
K K<br />
1<br />
<br />
A<br />
<br />
I t<br />
S S<br />
t t t <br />
<br />
<br />
R R R<br />
Körper Platte Körper Luft Körper Wand<br />
d<br />
IQ t m c Körper t<br />
dt<br />
<br />
thL thK thS<br />
d<br />
m c Körper t a Körper t b<br />
dt<br />
a b<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 216<br />
Q<br />
0 I P<br />
d 1 1 1 <br />
Platte Luft Wand<br />
m c Körper t Körper t <br />
dt RthL RthK RthS RthL RthK RthS<br />
<br />
<br />
a<br />
b t<br />
b mc <br />
Körpert0e Körper0 0<br />
a a<br />
Q<br />
<br />
I t a b e<br />
t <br />
limKörperE t<br />
<br />
lim I t 0<br />
t<br />
Q<br />
mc <br />
a<br />
0<br />
b<br />
<br />
a<br />
a<br />
t<br />
mc <br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Abkühlungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %<br />
Körper<br />
0 0
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperaturverlauf<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5.5 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 Körper t <br />
<br />
Umgebung<br />
Wärmestrom an die Umgebung Wärmestrom an den Körper<br />
Körper t : Temperatur K<br />
<br />
Körper U<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
P : Verlustleistung W<br />
A : Oberfläche m 2<br />
m : Masse kg<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
Umgebung, U : Umgebungstemperatur, konstant K<br />
IQabgabet : Wärmestrom an die Umgebung W<br />
Qerwärmung<br />
t 0<br />
U<br />
U<br />
<br />
P<br />
R th<br />
IQabgabet <br />
mc <br />
t <br />
PRth U<br />
I t : Wärmestrom an den Körper W<br />
R th : Wärmewiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
U<br />
<br />
I t<br />
Qerwärmung<br />
Körper<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 217<br />
t <br />
Körper Umgebung
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
<br />
I t k A t <br />
Qabgabe Körper Umgebung<br />
d<br />
IQerwärmung t m c Körper t<br />
dt<br />
<br />
<br />
P ItIt Qabgabe Qerwärmung<br />
d<br />
P k A t m c t<br />
dt<br />
Körper Umgebung Körper<br />
<br />
kA <br />
P t<br />
mc <br />
KörpertUmgebung1e <br />
kA <br />
1<br />
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KörpertUmgebungRth P 1e <br />
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t<br />
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IQabgabe t P 1eP1e <br />
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<br />
Qerwärmung<br />
<br />
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lim IQabgabe t P<br />
t<br />
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lim I t 0<br />
t<br />
Qerwärmung<br />
mc <br />
m c R<br />
kA th<br />
Qabgabe<br />
Qerwärmung<br />
<br />
0 0 0<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 218<br />
I<br />
I P<br />
0 <br />
Körper Umgebung<br />
0 <br />
Körper Umgebung<br />
0 <br />
Körper Umgebung<br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Erwärmungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperaturverlauf<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5.6 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 Körper t <br />
<br />
Umgebung<br />
Wärmestrom an die Umgebung Wärmestrom an den Körper<br />
Körper t : Temperatur K<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
P : Verlustleistung W<br />
A : Oberfläche m 2<br />
m : Masse kg<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
Umgebung, U : Umgebungstemperatur, konstant K<br />
IQabgabet : Wärmestrom an die Umgebung W<br />
Qerwärmung<br />
t 0<br />
<br />
0<br />
U<br />
P<br />
R th<br />
IQabgabet <br />
mc <br />
t <br />
PRth U<br />
I t : Wärmestrom an den Körper W<br />
R th : Wärmewiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
U<br />
<br />
I t<br />
Qerwärmung<br />
PR <br />
Körper th U<br />
Körper<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 219<br />
t <br />
Körper Umgebung
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
<br />
I t k A t <br />
Qabgabe Körper Umgebung<br />
d<br />
IQerwärmung t m c Körper t<br />
dt<br />
<br />
<br />
P ItIt Qabgabe Qerwärmung<br />
d<br />
P k A t m c t<br />
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Körper Umgebung Körper<br />
<br />
0 0 <br />
0 0 <br />
I k A<br />
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Abkühlung<br />
Qabgabe Umgebung<br />
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Qerwärmung Umgebung<br />
Erwärmung<br />
kAkA t t<br />
mcmc IQabgabe t k A 0Umgebunge P 1e <br />
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Qerwärmung Umgebung<br />
kAkA t t<br />
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P<br />
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kA limKörperUmgebung t<br />
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lim IQabgabe t P<br />
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Qerwärmung<br />
mc <br />
m c R<br />
kA th<br />
0 0<br />
<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 220<br />
Körper<br />
Körper<br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Abkühlungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %<br />
0 0
Situation<br />
Ersatzschaltung<br />
Temperaturverlauf<br />
Wärmestromverlauf<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
8.5.7 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 Körper t <br />
<br />
Umgebung<br />
Wärmestrom an die Umgebung Wärmestrom an den Körper<br />
Körper t : Temperatur K<br />
0 : Anfangstemperatur K<br />
P : Verlustleistung W<br />
A : Oberfläche m 2<br />
m : Masse kg<br />
k : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1<br />
c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1<br />
Umgebung, U : Umgebungstemperatur, konstant K<br />
IQabgabet : Wärmestrom an die Umgebung W<br />
Qerwärmung<br />
t 0<br />
<br />
0<br />
U<br />
P<br />
R th<br />
IQabgabet <br />
mc <br />
t <br />
PRth U<br />
I t : Wärmestrom an den Körper W<br />
R th : Wärmewiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1<br />
: Zeitkonstante s<br />
t : Zeit s<br />
U<br />
<br />
I t<br />
Qerwärmung<br />
PR <br />
Körper th U<br />
Körper<br />
Andere<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 221<br />
t <br />
Körper Umgebung
Differentialgleichung<br />
instationäre Werte<br />
stationäre Werte<br />
Zeitkonstante<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011<br />
<br />
<br />
I t k A t <br />
Qabgabe Körper Umgebung<br />
d<br />
IQerwärmung t m c Körper t<br />
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P ItIt Qabgabe Qerwärmung<br />
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Körper Umgebung Körper<br />
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Qerwärmung Umgebung<br />
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kA limKörperUmgebung t<br />
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Qerwärmung<br />
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<br />
<strong>FH</strong> <strong>Formelsammlung</strong> 9 <strong>Physik</strong>.doc 222<br />
Körper<br />
Körper<br />
0 0<br />
<br />
t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η<br />
Erwärmungsvorgang<br />
abgeschlossen zu<br />
50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %