FH Formelsammlung 9 Physik.pdf - TechBoard

Inhaltsverzeichnis 

FH Formelsammlung - Physik Editiert: 21.02.2011 

1 Grundlagen ...................................................................................................... 10 

1.1 Differentiation von Vektoren .......................................................................................................... 10 

1.2 Integration von Vektoren ............................................................................................................... 10 

1.3 quadrieren von Vektoren ............................................................................................................... 10 

2 Optik ................................................................................................................. 11 

2.1 Reflexion ....................................................................................................................................... 11 

2.2 Dispersion ..................................................................................................................................... 11 

2.3 Brechungsindex ............................................................................................................................ 11 

2.4 Brechung ....................................................................................................................................... 12 

2.4.1 Brechungsgesetz .............................................................................................................. 12 

2.4.2 Totalreflexion .................................................................................................................... 13 

2.4.3 Brewsterwinkel ................................................................................................................. 14 

2.4.4 Brechung an einer planparallelen Platte ........................................................................... 14 

2.5 Lichtwellenleiter, LWL ................................................................................................................... 15 

2.5.1 Aufbau .............................................................................................................................. 15 

2.5.2 Stufenindexfaser ............................................................................................................... 15 

2.5.3 Gradientenfaser ................................................................................................................ 16 

2.5.4 Monomodefaser ................................................................................................................ 16 

2.5.5 Streuverlust ...................................................................................................................... 16 

2.6 Prisma ........................................................................................................................................... 17 

2.7 Spiegel .......................................................................................................................................... 18 

2.7.1 Hohlspiegel, Konkavspiegel .............................................................................................. 18 

2.7.2 Wölbspiegel, Konvexspiegel ............................................................................................. 19 

2.7.3 Parabolspiegel .................................................................................................................. 19 

2.8 menschliches Auge ....................................................................................................................... 20 

2.9 Linsen ........................................................................................................................................... 20 

2.9.1 Linsenarten ....................................................................................................................... 20 

2.9.2 Brennweite ........................................................................................................................ 20 

2.9.3 Brechkraft ......................................................................................................................... 21 

2.9.4 Sammellinse, Konvexlinse ................................................................................................ 21 

2.9.4.1 Strahlengang ............................................................................................................... 21 

2.9.4.2 Abbildungen ................................................................................................................. 22 

2.9.4.3 Abbildungsgleichung .................................................................................................... 23 

2.9.5 Zerstreuungslinse, Konkavlinse ........................................................................................ 23 

2.9.5.1 Strahlengang ............................................................................................................... 23 

2.9.5.2 Abbildungen ................................................................................................................. 24 

2.9.6 Linsenfehler, Abbildungsfehler ......................................................................................... 24 

2.10 Linsensysteme ...................................................................................................................... 24 

2.10.1 Linsen in engem Kontakt .................................................................................................. 24 

2.10.2 beliebige Linsensysteme .................................................................................................. 25 

2.11 Fotometrie ............................................................................................................................. 26 

2.11.1 Grundgrössen ................................................................................................................... 26 

2.11.2 Umrechnungen ................................................................................................................. 26 

2.11.3 Raumwinkel ...................................................................................................................... 26 

2.11.4 Empfänger, Detektor ........................................................................................................ 28 

2.11.4.1 Lichtstärke ............................................................................................................... 28 

2.11.4.2 Raumwinkel ............................................................................................................ 28 

2.11.4.3 Beleuchtungsstärke ................................................................................................. 29 

2.11.4.4 Belichtung ............................................................................................................... 29 

2.11.5 Sender, Quelle .................................................................................................................. 30 

2.11.5.1 spezifische Lichtausstrahlung ................................................................................. 30 

2.11.5.2 Leuchtdichte ............................................................................................................ 30 

2.11.6 fotometrisches Grundgesetz ............................................................................................. 30 

2.11.7 Reflexionsgrad .................................................................................................................. 30 

3 Kinematik ......................................................................................................... 31 

3.1 Grundbegriffe ................................................................................................................................ 31 

3.1.1 Umrechnungen ................................................................................................................. 31 

3.1.2 Relationen ........................................................................................................................ 31 

3.2 geradlinige Bewegungen ............................................................................................................... 32 

3.2.1 Ableitung und Integral ....................................................................................................... 32 

3.2.2 Durchschnittswerte ........................................................................................................... 33 

3.2.3 gleichförmige Bewegung .................................................................................................. 34 

3.2.4 gleichmässig beschleunigte Bewegung ............................................................................ 35 

3.2.5 freier Fall ........................................................................................................................... 36 

3.2.6 senkrechter Wurf nach unten ............................................................................................ 37 

3.2.7 senkrechter Wurf nach oben ............................................................................................. 37 

3.3 Bewegungen im Raum .................................................................................................................. 38 

3.3.1 waagrechter Wurf ............................................................................................................. 38 

3.3.2 schiefer Wurf vom Boden ausgehend ............................................................................... 39 

3.3.3 schiefer Wurf aus erhöhter Position .................................................................................. 41 

3.4 Kreisbewegungen ......................................................................................................................... 43 

3.4.1 Ableitung und Integral ....................................................................................................... 43 

FH Formelsammlung 9 Physik.doc 1


3.4.2 Durchschnittswerte ........................................................................................................... 44 

3.4.3 Zusammenhänge .............................................................................................................. 45 

3.4.4 Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft .................................................................................. 46 

3.4.5 gleichförmige Kreisbewegung ........................................................................................... 47 

3.4.6 gleichmässig beschleunigte Kreisbewegung .................................................................... 48 

3.4.7 Karussell ........................................................................................................................... 50 

4 Dynamik ........................................................................................................... 51 

4.1 Federn ........................................................................................................................................... 51 

4.1.1 Reihenschaltung ............................................................................................................... 51 

4.1.2 Parallelschaltung .............................................................................................................. 51 

4.1.3 Federkraft ......................................................................................................................... 52 

4.2 Rollen ............................................................................................................................................ 52 

4.2.1 lose Rolle .......................................................................................................................... 52 

4.2.2 Flaschenzug ..................................................................................................................... 52 

4.3 newtonsche Axiome ...................................................................................................................... 54 

4.4 Reibung ......................................................................................................................................... 55 

4.5 Arbeit ............................................................................................................................................. 56 

4.5.1 Allgemein .......................................................................................................................... 56 

4.5.2 Hubarbeit .......................................................................................................................... 56 

4.5.3 Reibungsarbeit ................................................................................................................. 57 

4.5.4 Beschleunigungsarbeit ..................................................................................................... 57 

4.5.5 Spannarbeit und Zugarbeit ............................................................................................... 58 

4.5.6 Rotationsarbeit ................................................................................................................. 59 

4.5.7 Arbeit auf der schiefen Ebene .......................................................................................... 60 

4.6 Energie .......................................................................................................................................... 61 

4.6.1 kinetische Energie ............................................................................................................ 61 

4.6.2 potentielle Energie ............................................................................................................ 62 

4.6.3 potentielle Federenergie, Spannungsenergie ................................................................... 62 

4.6.4 Rotationsenergie .............................................................................................................. 63 

4.6.5 Energie eines rollenden Objekts ....................................................................................... 63 

4.6.6 Energieerhaltung .............................................................................................................. 64 

4.7 Leistung ........................................................................................................................................ 64 

4.7.1 mechanische Leistung ...................................................................................................... 65 

4.7.2 Rotationsleistung .............................................................................................................. 65 

4.8 Impulse ......................................................................................................................................... 66 

4.8.1 Impuls ............................................................................................................................... 66 

4.8.2 Impulserhaltung ................................................................................................................ 66 

4.8.3 Drehimpuls ....................................................................................................................... 67 

4.8.4 Drehimpulserhaltung ........................................................................................................ 68 

4.8.5 Beziehung zwischen Impuls, Drehimpuls und Energie ..................................................... 68 

4.9 Stösse ........................................................................................................................................... 69 

4.9.1 elastischer Stoss .............................................................................................................. 69 

4.9.2 unelastischer Stoss .......................................................................................................... 70 

4.9.3 teilelastischer Stoss .......................................................................................................... 71 

4.9.4 Stosszahl .......................................................................................................................... 71 

4.9.5 Kraftstoss .......................................................................................................................... 72 

4.10 Trägheitsmoment .................................................................................................................. 73 

4.10.1 Berechnung ...................................................................................................................... 73 

4.10.2 spezielle Trägheitsmomente ............................................................................................. 73 

4.11 Drehmoment .......................................................................................................................... 75 

4.12 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt .......................................................................................... 76 

4.12.1 Massen der Körper bekannt ............................................................................................. 76 

4.12.2 Körper durch Funktion beschrieben .................................................................................. 77 

4.12.2.1 2-dimensional .......................................................................................................... 77 

4.12.2.2 3-dimensional .......................................................................................................... 77 

4.12.3 externe und interne Kräfte ................................................................................................ 78 

4.13 Raketengleichung .................................................................................................................. 78 

4.14 Bewegungen im Raum .......................................................................................................... 79 

4.14.1 stehender Körper auf horizontaler Ebene ......................................................................... 79 

4.14.2 gleitender Körper auf horizontaler Ebene ......................................................................... 79 

4.14.3 Körper auf schiefer Ebene ................................................................................................ 80 

4.14.4 Körper auf bewegendem Körper ....................................................................................... 81 

4.14.5 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper I .............................................................. 82 

4.14.6 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper II ............................................................. 82 

4.14.7 über Flaschenzüge zusammenhängende Körper ............................................................. 83 

4.14.8 Pendel .............................................................................................................................. 84 

4.14.9 rollendes rundes Objekt auf schiefer Ebene ..................................................................... 85 

4.14.10 gleitfreies Rollen von rundem Objekt (z. B. Billardkugel) ............................................. 87 

4.14.11 gleitendes rundes Objekt auf horizontaler Ebene (z. B. Bowlingkugel) ........................ 88 

4.14.12 gleitende Kugel in Looping ........................................................................................... 89 

4.14.13 rollende Kugel in Looping ............................................................................................ 90 

4.14.14 Garnrolle ...................................................................................................................... 91 



4.14.15 Punktmasse auf Kugel ................................................................................................. 93 

4.14.16 beschleunigte Drehung eines Rades ........................................................................... 94 

4.14.17 Jojo aus einer Scheibe ................................................................................................. 95 

4.14.18 Jojo aus masselosem Stab und zwei Scheiben ........................................................... 96 

5 Schwingungen ................................................................................................ 98 

5.1 ungedämpfte Schwingung ............................................................................................................. 98 

5.1.1 Federschwinger, Federpendel .......................................................................................... 98 

5.1.1.1 Schwingungsgleichung ................................................................................................ 98 

5.1.1.2 Energie ........................................................................................................................ 99 

5.1.2 Drehschwinger, Drehpendel, Torsionspendel ................................................................. 100 

5.1.2.1 Schwingungsgleichung .............................................................................................. 100 

5.1.2.2 Energie ...................................................................................................................... 101 

5.1.2.3 Drehschwinger eines Feder-Masse-Systems ............................................................ 102 

5.1.3 Stabsschwinger eines Stab-Masse-Systems .................................................................. 102 

5.1.4 Biegeschwinger eines Balken-Masse-Systems .............................................................. 103 

5.1.5 Systeme mit mehreren Federn ....................................................................................... 103 

5.1.5.1 Parallelschaltung ....................................................................................................... 103 

5.1.5.2 Reihenschaltung ........................................................................................................ 104 

5.1.5.3 kombinierte Parallel- und Reihenschaltung ................................................................ 105 

5.1.6 mathematisches Pendel, Fadenpendel .......................................................................... 106 

5.1.7 physikalisches Pendel, Körperpendel ............................................................................. 107 

5.2 gedämpfte Schwingung ............................................................................................................... 108 

5.2.1 Federschwinger, Federpendel ........................................................................................ 108 

5.2.2 Drehschwinger eines Dämpfer-Feder-Masse-Systems .................................................. 109 

5.2.3 logarithmisches Dekrement δ ∙ T .................................................................................... 110 

5.2.4 aperiodische Bewegung ................................................................................................. 111 

5.3 erzwungene Schwingung ............................................................................................................ 113 

5.3.1 allgemein ........................................................................................................................ 113 

5.3.2 Unwucht .......................................................................................................................... 114 

5.3.3 Zwangsführung ............................................................................................................... 114 

5.4 gekoppelte Schwingung .............................................................................................................. 115 

5.4.1 gekoppelte Massen ........................................................................................................ 115 

5.4.2 gekoppelte Pendel .......................................................................................................... 117 

5.5 Interferenz ................................................................................................................................... 119 

5.5.1 Interferenzarten .............................................................................................................. 119 

5.5.2 gleiche Frequenz und Amplitude aber unterschiedliche Phasenverschiebung ............... 119 

5.5.3 gleiche Frequenz aber unterschiedliche Amplitude und Phasenverschiebung ............... 120 

5.6 Schwebung ................................................................................................................................. 121 

6 elektromagnetische Wellen .......................................................................... 122 

6.1 Grundlagen ................................................................................................................................. 122 

6.1.1 Wellenarten .................................................................................................................... 122 

6.1.2 Absorption ...................................................................................................................... 123 

6.1.3 Phasensprung ................................................................................................................ 124 

6.1.4 Totalreflexion .................................................................................................................. 125 

6.1.5 Energiedichte und Intensität ........................................................................................... 126 

6.2 Wellenparameter ......................................................................................................................... 128 

6.2.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit εr und μr .............................. 128 

6.2.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit n ......................................... 130 

6.2.3 Gruppengeschwindigkeit ................................................................................................ 131 

6.2.4 Phasenkoeffizient, Phasenbelag .................................................................................... 131 

6.2.5 Wellenvektor ................................................................................................................... 132 

6.3 Amplitude und Intensität .............................................................................................................. 133 

6.3.1 Addition von Amplituden und Intensitäten....................................................................... 133 

6.3.2 Dämpfung der Amplitude und Intensität ......................................................................... 134 

6.3.2.1 Kreiswelle, Dimensional ............................................................................................. 134 

6.3.2.2 Kugelwelle, 3 Dimensional ......................................................................................... 134 

6.4 Interferenz ................................................................................................................................... 135 

6.4.1 Interferenz ebener kontinuierlicher Wellen ..................................................................... 135 

6.4.2 Interferenz ebener nicht kontinuierlicher Wellen ............................................................. 136 

6.5 stehende Welle ........................................................................................................................... 137 

6.5.1 stehende Welle mit losen Enden .................................................................................... 137 

6.5.2 stehende Welle mit festen Enden ................................................................................... 138 

6.5.3 stehende Welle mit einem festen und einem losen Ende ............................................... 139 

6.6 Wellenfunktionen, Wellengleichungen ........................................................................................ 140 

6.6.1 laufende Welle ................................................................................................................ 140 

6.6.1.1 nach rechts laufend (in positive z-Richtung) .............................................................. 140 

6.6.1.2 nach links laufend (in negative z-Richtung) ............................................................... 141 

6.6.2 stehende Welle ............................................................................................................... 142 

6.6.2.1 lose Enden ................................................................................................................. 142 

6.6.2.2 feste Enden ................................................................................................................ 143 

6.6.2.3 Berechnung der Grundschwingungen........................................................................ 144 

6.6.3 gedämpfte Welle ............................................................................................................. 147 



6.6.4 Umrechnungen ............................................................................................................... 148 

6.7 Übergang an Grenzflächen ......................................................................................................... 149 

6.7.1 Faktoren, Amplituden und Intensitäten ........................................................................... 149 

6.7.2 Lichtleiter ........................................................................................................................ 150 

6.8 Reflexion an dünnen Schichten ................................................................................................... 151 

6.8.1 Reflexion an beschichtetem Material .............................................................................. 151 

6.8.2 Reflexion an Schicht in Luft ............................................................................................ 152 

6.8.3 Reflexionsfreiheit, Antireflexschicht ................................................................................ 153 

6.9 Transmission an dünnen Schichten ............................................................................................ 154 

6.9.1 Transmission an beschichtetem Material ........................................................................ 154 

6.9.2 Transmission an Schicht in Luft ...................................................................................... 155 

6.10 Beugung .............................................................................................................................. 156 

6.10.1 Beugungsmuster an Objekten ........................................................................................ 156 

6.10.2 Beugungsmuster und Interferenzmuster......................................................................... 156 

6.10.3 Beugung am Einzelspalt ................................................................................................. 157 

6.10.4 Beugung am Doppelspalt ............................................................................................... 159 

6.10.5 Beugung am Beugungsgitter / Mehrfachspalt ................................................................. 160 

6.10.6 Beugung an der Kreisblende .......................................................................................... 161 

6.11 Divergenz von Laserstrahlen ............................................................................................... 161 

6.12 Dopplereffekt ....................................................................................................................... 162 

6.12.1 Dopplereffekt beim Schall ............................................................................................... 162 

6.12.2 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und einem Winkel von 0° oder 180° ...... 163 

6.12.3 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und beliebigem Winkel .......................... 164 

6.12.4 Radar, Geschwindigkeitsmessung ................................................................................. 165 

6.13 Polarisation .......................................................................................................................... 166 

6.13.1 Polarisationsarten ........................................................................................................... 166 

6.13.2 Schwingungsformen ....................................................................................................... 167 

6.13.3 Polarisationsgrad ............................................................................................................ 168 

6.13.4 Polarisatoren .................................................................................................................. 169 

6.13.4.1 Folienpolarisator .................................................................................................... 169 

6.13.4.2 Brewsterpolarisator ............................................................................................... 169 

6.13.4.3 Berechnung ........................................................................................................... 170 

6.13.5 Doppelbrechung ............................................................................................................. 172 

6.13.6 Polarisationswandler, Verzögerungsplatten .................................................................... 173 

6.13.6.1 λ/4 Plättchen, Zirkularpolarisator ........................................................................... 173 

6.13.6.2 λ/2 Plättchen, Polarisationsdreher ......................................................................... 174 

6.13.7 Flüssigkristallanzeige, LCD ............................................................................................ 175 

7 Akustik ........................................................................................................... 176 

7.1 Dezibel, Phon und Sone ............................................................................................................. 176 

7.2 Schallpegel.................................................................................................................................. 176 

7.2.1 Schalldruckpegel ............................................................................................................ 176 

7.2.2 Schallleistungspegel ....................................................................................................... 176 

7.2.3 Schallintensitätspegel ..................................................................................................... 176 

8 Wärmelehre ................................................................................................... 177 

8.1 Temperatureinheiten ................................................................................................................... 177 

8.2 thermische Ausdehnung ............................................................................................................. 178 

8.2.1 Wärmeausdehnung ........................................................................................................ 178 

8.2.2 Bimetallstreifen ............................................................................................................... 179 

8.2.2.1 Krümmung mit einem festen Ende ............................................................................. 180 

8.2.2.2 Krümmungsradius bei losen Enden ........................................................................... 180 

8.2.3 temperaturunabhängiger Massstab ................................................................................ 181 

8.2.4 eingespanntes Metall mit einem Querschnitt .................................................................. 181 

8.2.5 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten ................................................................. 182 

8.2.6 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten und Feder ............................................... 183 

8.3 Wärmekapazität .......................................................................................................................... 184 

8.3.1 spezifische Wärmekapazität ........................................................................................... 184 

8.3.2 Kalorimeter ..................................................................................................................... 185 

8.3.3 richmannsche Mischungsregel ....................................................................................... 186 

8.4 stationärer Wärmetransport ......................................................................................................... 187 

8.4.1 Zusammenhänge zwischen thermischen und elektrischen Kreisen ............................... 187 

8.4.2 Mechanismen des Wärmetransportes ............................................................................ 187 

8.4.2.1 Wärmeleitung ............................................................................................................. 188 

8.4.2.2 Wärmeströmung, Konvektion ..................................................................................... 189 

8.4.2.3 Wärmestrahlung ........................................................................................................ 190 

8.4.2.4 Wärmeübergang und Wärmedurchgang .................................................................... 195 

8.4.3 Wärmewiderstand ........................................................................................................... 195 

8.4.3.1 Definition .................................................................................................................... 195 

8.4.3.2 Reihenschaltung von Wärmewiderständen ................................................................ 196 

8.4.3.3 Parallelschaltung von Wärmewiderständen ............................................................... 197 

8.4.4 Wärmestrom durch Oberflächen und Wärmestromdichte ............................................... 198 

8.4.5 Wärmestrom durch Materie ............................................................................................ 199 

8.4.6 spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl, λ ........................................................... 200 



8.4.7 Wärmedurchgangskoeffizient, Wärmedämmwert, k-Wert, U-Wert ................................. 200 

8.4.8 Situationen bei Wärmeleitung ......................................................................................... 201 

8.4.8.1 Formelzeichen ........................................................................................................... 201 

8.4.8.2 einschichtige Wand ohne Grenzschichten ................................................................. 201 

8.4.8.3 einschichtige Wand mit Grenzschichten .................................................................... 202 

8.4.8.4 mehrschichtige Wand ohne Grenzschichten .............................................................. 203 

8.4.8.5 mehrschichtige Wand mit Grenzschichten ................................................................. 203 

8.4.8.6 einschichtiger Hohlzylinder ohne Grenzschichten ..................................................... 204 

8.4.8.7 einschichtiger Hohlzylinder mit Grenzschichten ......................................................... 204 

8.4.8.8 mehrschichtiger Hohlzylinder ..................................................................................... 205 

8.4.8.9 Hohlkugel ................................................................................................................... 205 

8.4.9 Situationen bei Wärmeströmung, Konvektion und Wärmestrahlung ............................... 206 

8.4.9.1 Wärme abstrahlender Körper im Raum ..................................................................... 206 

8.5 instationärer Wärmetransport ...................................................................................................... 207 

8.5.1 Erwärmung eines Körpers über einen Wärmestrom ....................................................... 207 

8.5.2 Erwärmung eines Körpers über mehrere Wärmeströme ................................................ 209 

8.5.3 Abkühlung eines Körpers über einen Wärmestrom ........................................................ 212 

8.5.4 Abkühlung eines Körpers über mehrere Wärmeströme .................................................. 214 

0 .................................. 217 

8.5.5 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 

8.5.6 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 8.5.7 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 Körper U 

PR ................... 219 

Körper th U 

PR ................... 221 

Körper th U 


Stichwortverzeichnis 


Akustik ......................................................... 176 

Akustik ..................................................... 176 

Dezibel ..................................................... 176 

Grössen ................................................... 176 

Pegel ........................................................ 176 

Phon ........................................................ 176 

Schalldruckpegel ..................................... 176 

Schallintensitätspegel .............................. 176 

Schallleistungspegel ................................ 176 

Schallpegel .............................................. 176 

Sone ........................................................ 176 

Differentiation von Vektoren .......................... 10 

Dynamik ........................................................ 51 

Aktionsprinzip ............................................ 54 

Arbeit ......................................................... 56 

Arbeit auf der schiefen Ebene .................... 60 

beschleunigte Drehung eines Rades ......... 94 

Beschleunigungsarbeit ............................... 57 

Bewegungen im Raum ............................... 79 

Differentialflaschenzug ............................... 52 

Drehimpuls ................................................. 67 

Drehimpulserhaltung .................................. 68 

Drehmoment .............................................. 75 

elastischer Stoss ........................................ 69 

Energie ...................................................... 61 

Energie eines rollenden Objekts ................ 63 

Energieerhaltung ....................................... 64 

externe Kräfte ............................................ 78 

Faktorenflaschenzug.................................. 52 

Federenergie ............................................. 62 

Federkraft .................................................. 52 

Federn ....................................................... 51 

Flaschenzug .............................................. 52 

Flaschenzüge ............................................ 83 

Garnrolle .................................................... 91 

gleitende Kugel .......................................... 89 

gleitender Körper ....................................... 79 

gleitfreies Rollen ........................................ 87 

gleitfreies rundes Objekt ............................ 88 

Gleitreibung ............................................... 55 

Haftreibung ................................................ 55 

horizontale Ebene ................................ 79, 88 

Hubarbeit ................................................... 56 

Impuls ........................................................ 66 

Impulserhaltung ......................................... 66 

interne Kräfte ............................................. 78 

Jojo aus einer Scheibe ............................... 95 

Jojo aus masselosem Stab und zwei 

Scheiben ................................................ 96 

kinetische Energie ..................................... 61 

Körper auf bewegendem Körper ................ 81 

Körper auf schiefer Ebene ......................... 80 

Kraftstoss ................................................... 72 

Leistung ..................................................... 64 

Looping ................................................ 89, 90 

lose Rolle ................................................... 52 

Massenmittelpunkt ..................................... 76 

mechanische Leistung ............................... 65 

newtonsche Axiome ................................... 54 

Parallelschaltung von Federn .................... 51 

Pendel ........................................................ 84 

potentielle Energie ..................................... 62 

potentielle Federenergie ............................ 62 

Potenzflaschenzug..................................... 52 

Punktmasse auf Kugel ............................... 93 

Raketengleichung ...................................... 78 

Reaktionsprinzip ........................................ 54 

Reibung ..................................................... 55 

Reibungsarbeit ........................................... 57 

Reihenschaltung von Federn ..................... 51 

Rolle ........................................................... 91 

Rollen ......................................................... 52 

rollende Kugel .............................................90 

rollendes Objekt ..........................................63 

rollendes rundes Objekt ..............................85 

Rollreibung..................................................55 

Rotationsarbeit ............................................59 

Rotationsenergie .........................................63 

Rotationsleistung ........................................65 

Satz von Steiner .........................................73 

schiefe Ebene ................................. 60, 80, 85 

Schwerpunkt ...............................................76 

Spannarbeit ................................................58 

Spannungsenergie ......................................62 

stehender Körper ........................................79 

Steiner ........................................................73 

Stoss gegen Wand .....................................69 

Stösse .........................................................69 

Stosszahl ....................................................71 

Superpositionsprinzip .................................54 

teilelastischer Stoss ....................................71 

Trägheitsmoment ........................................73 

Trägheitsmomente ......................................73 

Trägheitsprinzip ..........................................54 

Umlenkrolle .................................................82 

unelastischer Stoss .....................................70 

Verformungsarbeit ................................ 70, 71 

Zugarbeit ....................................................58 

zusammenhängende Körper................. 82, 83 

elektromagnetische Wellen .......................... 122 

k .............................................................. 132 

Absorber ................................................... 123 

Absorption......................................... 123, 147 

Absorptionsgesetz .................................... 123 

Addition von Amplituden ........................... 133 

Addition von Intensitäten .......................... 133 

Amplitude .................................................. 133 

Amplitudendämpfung ................................ 134 

Amplitudenreflexionsfaktor ....................... 149 

Amplitudentransmissionsfaktor ................. 149 

Anfangsbedingungen 142, 143, 144, 145, 146 

Antireflexschicht ........................................ 153 

Ausbreitungsgeschwindigkeit ............ 128, 130 

ausserordentliche Welle ........................... 172 

Bäuche ..................................................... 138 

beschichtetes Material ...................... 151, 154 

Beugung ................................................... 156 

Beugung am Beugungsgitter .................... 160 

Beugung am Doppelspalt ................. 156, 159 

Beugung am Einzelspalt ................... 156, 157 

Beugung am Mehrfachspalt ...................... 160 

Beugung an der Kreisblende ............ 156, 161 

Beugung an einem Draht .......................... 156 

Beugung an einer Schirmkante ................. 156 

Beugungsgitter .......................................... 160 

Beugungsmuster ....................................... 156 

Beugungsmuster an Objekten .................. 156 

Blauverschiebung ..................................... 163 

Brechungsindex ........................................ 130 

Brewsterpolarisator ................................... 169 

Dämpfung ................................................. 134 

Dämpfungsbelag ....................................... 148 

Dämpfungskoeffizient ............................... 148 

destruktive Interferenz ...................... 135, 136 

Dezibel ...................................................... 148 

Divergenz.................................................. 161 

Divergenz von Laserstrahlen .................... 161 

Doppelbrechung ....................................... 172 

Doppellochblende ..................................... 159 

Doppelspalt ....................................... 156, 159 

doppelter Phasensprung ........................... 151 

Dopplereffekt ............................................ 162 



Dopplereffekt bei elektromagnetischen 

Wellen .......................................... 163, 164 

Dopplereffekt beim Schall ........................ 162 

Draht ........................................................ 156 

Dünnschichtpolarisator .................... 169, 170 

Durchgangskoeffizient ............................. 149 

Durchtritt an Grenzflächen ....................... 149 

ebene kontinuierliche Wellen ................... 135 

ebene nicht kontinuierliche Wellen .......... 136 

einfacher Phasensprung .................. 152, 154 

einfallende Welle ..................................... 149 

Einfallsebene ........................................... 166 

Einzellochblende ...................................... 157 

Einzelspalt ....................................... 156, 157 

elliptische Polarisation ............................. 166 

Energiedichte ........................................... 126 

feste Enden ....................... 138, 143, 145, 147 

festes Ende ............................... 125, 139, 146 

Flüssigkristallanzeige ............................... 175 

Folienpolarisator .............................. 169, 170 

gedämpfte Welle ...................................... 147 

geschlossene Enden138, 139, 143, 145, 146, 

147 

Geschwindigkeitsmessung ...................... 165 

Gitter ........................................................ 160 

Grenzflächen ........................................... 149 

Grundschwingungen ................................ 144 

Gruppengeschwindigkeit .......................... 131 

Intensität .......................................... 126, 133 

Intensitätsdämpfung ................................. 134 

Intensitätsreflexionsfaktor ........................ 149 

Intensitätstransmissionsfaktor .................. 149 

Interferenz ................................................ 135 

Interferenzmuster ..................................... 156 

Kalkspat ................................................... 172 

Kante ....................................................... 156 

Knoten ..................................................... 138 

konstruktive Interferenz .................... 135, 136 

kontinuierliche Wellen .............................. 135 

Kreisblende ...................................... 156, 161 

Kreiswelle ................................................ 134 

Kreiswellenzahl ........................................ 132 

Kugelwelle ............................................... 134 

Lambda/2 Plättchen ................................. 174 

Lambda/4 Plättchen ................................. 173 

Längswelle ............................................... 122 

Laserstrahl ............................................... 161 

laufende Welle ......................................... 140 

LCD .......................................................... 175 

Lichtgeschwindigkeit ................................ 128 

Lichtleiter ................................................. 150 

lineare Polarisation .......................... 166, 167 

links laufend ..................................... 141, 147 

linkszirkular .............................................. 167 

Lochblende ............................... 157, 159, 160 

longitudinaler Dopplereffekt ............. 163, 164 

Longitudinalwelle ..................................... 122 

lose Enden ........................ 137, 142, 144, 147 

loses Ende ....................................... 139, 146 

Mach ........................................................ 162 

Machscher Kegel ..................................... 162 

Mehrfachlochblende................................. 160 

Mehrfachspalt .......................................... 160 

Neper ....................................................... 148 

nicht kontinuierliche Wellen ..................... 136 

offene Enden .... 137, 139, 142, 144, 146, 147 

offenes Ende ............................................ 125 

optischer Dopplereffekt .................... 163, 164 

ordentliche Welle ..................................... 172 

Orgelpfeife ............................................... 137 

parallele Polarisation ................................ 166 

Phasenbelag .................................... 131, 148 

Phasengeschwindigkeit ................... 128, 130 

Phasenkoeffizient ............................. 131, 148 

Phasensprung ................... 124, 151, 152, 154 

Phasenverschiebung ................................ 167 

Plättchen ................................................... 173 

Polarisation ............................................... 166 

Polarisationsarten ..................................... 166 

Polarisationsdreher ................................... 174 

Polarisationsfolie ............................... 169, 170 

Polarisationsgrad ...................................... 168 

Polarisationsrichtung ........................ 166, 167 

Polarisationswandler ................................. 173 

Polarisatoren ............................................. 169 

Querwelle.................................................. 122 

Radar ........................................................ 165 

Randbedingungen .... 142, 143, 144, 145, 146 

rechts laufend ................................... 140, 147 

rechtszirkular ............................................ 167 

reell ........................................................... 125 

reflektierte Welle ....................................... 149 

Reflexion an beschichtetem Material ........ 151 

Reflexion an dünnen Schichten ................ 151 

Reflexion an Schicht in Luft ...................... 152 

Reflexionsfreiheit ...................................... 153 

Reflexionsgrad (leistungsbezogen) ........... 149 

Rotverschiebung ....................................... 163 

Schallgeschwindigkeit ............................... 162 

Schicht in Luft ................................... 152, 155 

Schirmkante .............................................. 156 

Schwingungsformen ................................. 167 

senkrechte Polarisation ............................ 166 

Spaltbreiten............................................... 157 

Startbedingungen ..... 142, 143, 144, 145, 146 

stehende Welle ................................. 137, 142 

Totalreflexion ............................................ 125 

Transmission an beschichtetem Material .. 154 

Transmission an dünnen Schichten .......... 154 

Transmission an Schicht in Luft ................ 155 

Transmissionsgrad (leistungsbezogen) .... 149 

transmittierte Welle ................................... 149 

transversaler Dopplereffekt ....................... 164 

Transversalwelle ....................................... 122 

Übergang an Grenzflächen ....................... 149 

Überschallgeschwindigkeit........................ 162 

Umpolarisator ........................................... 174 

Umrechnungen ......................................... 148 

Verzögerungsplatten ................................. 173 

virtuell ....................................................... 125 

Wellenbäuche ........................................... 138 

Wellenfunktionen ...................................... 140 

Wellengleichungen ................................... 140 

Wellenknoten ............................................ 138 

Wellenparameter ...................................... 128 

Wellenvektor ............................................. 132 

Wellenzahl ................................................ 132 

zirkulare Polarisation ........................ 166, 167 

Zirkularpolarisator ..................................... 173 

β ∙ z – ω ∙ t ........................................ 140, 147 

β ∙ z + ω ∙ t ........................................ 141, 147 

λ/2 Plättchen ............................................. 174 

λ/4 Plättchen ............................................. 173 

ω ∙ t – β ∙ z ........................................ 140, 147 

ω ∙ t + β ∙ z ........................................ 141, 147 

Fotometrie ......................................................26 

Beleuchtungsstärke ....................................29 

Belichtung ...................................................29 

Detektor ......................................................28 

Empfänger ..................................................28 

fotometrisches Grundgesetz .......................30 

Grundgrössen .............................................26 

Halbkugel ....................................................26 

Kugelausschnitt ..........................................26 

Leuchtdichte ...............................................30 

Lichtstärke ..................................................28 



Öffnungswinkel .......................................... 26 

Pyramide .................................................... 26 

Quelle ........................................................ 30 

Raumwinkel ......................................... 26, 28 

Reflexionsgrad ........................................... 30 

Sender ....................................................... 30 

spezifische Lichtausstrahlung .................... 30 

Umrechnungen .......................................... 26 

Vollkugel .................................................... 26 

Integration von Vektoren ............................... 10 

Kinematik ....................................................... 31 

Bewegungen im Raum ............................... 38 

Durchschnittswerte .............................. 33, 44 

freier Fall .................................................... 36 

geradlinige Bewegungen ........................... 32 

Geschwindigkeitsdiagramm ....................... 31 

gleichförmige Bewegung ............................ 34 

gleichförmige Kreisbewegung .................... 47 

gleichmässig beschleunigte Bewegung ..... 35 

gleichmässig beschleunigte Kreisbewegung 

............................................................... 48 

Karussell .................................................... 50 

Kreisbewegungen ...................................... 43 

schiefer Wurf aus erhöhter Position ........... 41 

schiefer Wurf vom Boden ausgehend ........ 39 

senkrechter Wurf nach oben ...................... 37 

senkrechter Wurf nach unten ..................... 37 

waagrechter Wurf ...................................... 38 

Weg-Zeit-Diagramm ................................... 31 

Winkelgeschwindigkeitsdiagramm ............. 31 

Winkel-Zeit-Diagramm ............................... 31 

Zentrifugalkraft ........................................... 46 

Zentripetalkraft ........................................... 46 

Optik .............................................................. 11 

Abbildungsfehler ........................................ 24 

Auge .......................................................... 20 

Brechkraft .................................................. 21 

Brechung ............................................. 12, 16 

Brechung an einer planparallelen Platte .... 14 

Brechungsgesetz ....................................... 12 

Brechungsindex ......................................... 11 

Brechzahl ................................................... 11 

Brennweite ................................................. 20 

Brewsterwinkel ........................................... 14 

Dämpfung .................................................. 16 

Dispersion .................................................. 11 

Gradientenfaser ......................................... 16 

Hohlspiegel ................................................ 18 

Hyperopie .................................................. 20 

Konkavlinse ............................................... 23 

Konkavspiegel ........................................... 18 

Konvexlinse ............................................... 21 

Konvexspiegel ........................................... 19 

Kurzsichtigkeit ............................................ 20 

Lichtwellenleiter ................................... 13, 15 

Linsen ........................................................ 20 

Linsen in engem Kontakt ........................... 24 

Linsenarten ................................................ 20 

Linsenfehler ............................................... 24 

Linsensysteme ........................................... 24 

LWL ........................................................... 15 

menschliches Auge .................................... 20 

Monomodefaser ......................................... 16 

Myopie ....................................................... 20 

Parabolspiegel ........................................... 19 

planparallele Platte .................................... 14 

Polarisationswinkel .................................... 14 

Prisma .................................................. 13, 17 

Reflexion .................................................... 11 

Sammellinse .............................................. 21 

Snellius ...................................................... 12 

Spiegel ....................................................... 18 

Streuverlust ................................................ 16 

Stufenindexfaser .........................................15 

Totalreflexion ........................................ 13, 15 

Weitsichtigkeit .............................................20 

Wellenführung .............................................16 

Wölbspiegel ................................................19 

Zerstreuungslinse .......................................23 

quadrieren von Vektoren ................................10 

Schwingungen ................................................98 

aperiodische Bewegung ........................... 111 

aperiodischer Grenzfall ............................. 111 

aperiodischer Kriechfall ............................ 111 

asymmetrische Schwingung ..................... 115 

Balken-Masse-System .............................. 103 

Biegeschwinger ........................................ 103 

Biegestab .................................................. 103 

Dämpfer-Feder-Masse-System ................. 109 

destruktive Interferenz .............................. 119 

Drehpendel ....................................... 100, 109 

Drehschwinger .................................. 100, 109 

erzwungene Schwingung .......................... 113 

Fadenpendel ............................................. 106 

Feder-Masse-System ............................... 102 

Federpendel ........................................ 98, 108 

Federschwinger .................................. 98, 108 

gedämpfte Schwingung ............................ 108 

gegensinnige Schwingung ........................ 115 

gekoppelte Massen ........................... 115, 138 

gekoppelte Pendel .................................... 117 

gekoppelte Schwingung ............................ 115 

gemeinsame Amplitude ............................ 119 

gemeinsame Phase .................................. 119 

gleichsinnige Schwingung ........................ 115 

Grenzfall ................................................... 111 

Interferenz................................................. 119 

kombinierte Parallel- und Reihenschaltung 

.............................................................. 105 

konstruktive Interferenz ............................ 119 

Körperpendel ............................................ 107 

Kriechfall ................................................... 111 

kritische Dämpfung ................................... 111 

logarithmisches Dekrement ...................... 110 

mathematisches Pendel ........................... 106 

mehrere Federn ........................................ 103 

Parallelschaltung ...................................... 103 

Pendel .............................................. 106, 107 

physikalisches Pendel .............................. 107 

Reihenschaltung ....................................... 104 

Resonanz.................................................. 113 

Resonanzkatastrophe ............................... 113 

resultierende Amplitude ............................ 119 

resultierende Phase .................................. 119 

resultierende Schwingung ........................ 121 

Schwebung ....................................... 115, 121 

Stab-Masse-System ................................. 102 

Stabsschwinger ........................................ 102 

symmetrische Schwingung ....................... 115 

Systeme mit mehreren Federn ................. 103 

Torsionspendel ................................. 100, 109 

überkritisch ............................................... 113 

ungedämpfte Schwingung ..........................98 

ungleichsinnige Schwingung..................... 115 

unterkritisch .............................................. 113 

Unwucht .................................................... 114 

Unwuchtbelastung .................................... 114 

Zwangsführung ......................................... 114 

δ ∙ T .......................................................... 110 

Wärmelehre .................................................. 177 

Abkühlung eines Körpers .......... 209, 212, 214 

absoluter Wärmewiderstand ..................... 195 

Absorption......................................... 191, 192 

Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers 

.............................................. 217, 219, 221 

Ausdehnung .............................................. 178 



Ausstrahlung ............................................ 194 

Austauschkoeffizient ................................ 193 

Bimetall .................................................... 179 

Bimetallstreifen ........................................ 179 

Bimetallthermometer ................................ 179 

Celsius ..................................................... 177 

Druck ........................................ 181, 182, 183 

Durchgangswiderstand ............................ 195 

Durchlässigkeit ........................................ 191 

Ebene ....................................... 201, 202, 203 

eingespanntes Metall ................ 181, 182, 183 

einschichtige Ebene ......................... 201, 202 

einschichtige Wand .......................... 201, 202 

einschichtiger Hohlzylinder ...................... 204 

einschichtiges Rohr.................................. 204 

elektrische Kreise .................................... 187 

Emission .................................................. 192 

Erwärmung eines Körpers ....................... 207 

erzwungene Konvektion ........................... 187 

Fahrenheit ................................................ 177 

Feder ....................................................... 183 

Flächenausdehnung ................................ 178 

freie Konvektion ....................................... 187 

Grad Celsius ............................................ 177 

Grad Fahrenheit ....................................... 177 

Grenzschichten ......................... 202, 203, 204 

Hohlkugel ................................................. 205 

Hohlraumstrahlung................................... 194 

Hohlzylinder ..................................... 204, 205 

hookesches Gesetz .................. 181, 182, 183 

instationärer Wärmetransport .................. 207 

Kalorimeter .............................................. 185 

Kelvin ....................................................... 177 

kirchhoffsches Strahlungsgesetz ............. 192 

Konvektion ................................ 187, 189, 206 

Konvektionskoeffizient ............................. 189 

Krümmung eines Bimetallsteifens ............ 180 

Kugel ........................................................ 205 

k-Wert ...................................................... 200 

Längenausdehnung ................................. 178 

magnetische Kreise ................................. 187 

Massentransport ...................................... 199 

Mechanismen des Wärmetransportes ..... 187 

mehrere Wärmeströme .................... 209, 214 

mehrschichtige Ebene ............................. 203 

mehrschichtige Wand .............................. 203 

mehrschichtiger Hohlzylinder ................... 205 

mehrschichtiges Rohr .............................. 205 

Mischungsregel ........................................ 186 

Mischungstemperatur .............................. 186 

Oberflächenausdehnung .......................... 178 

Parallelschaltung ...................... 217, 219, 221 

Parallelschaltung von Wärmewiderständen 

............................................................. 197 

plancksche Strahlungsspektren ............... 194 

Raumausdehnung ................................... 178 

Raumausdehnung in einem Gefäss ......... 178 

Reflexion .................................................. 191 

Reihenschaltung .............................. 207, 212 

Reihenschaltung von Wärmewiderständen 

............................................................. 196 

richmannsche Mischungsregel ................ 186 

Rohr ................................................. 204, 205 

schwarze Flächen .................................... 192 

schwarze Strahler .................................... 194 

Schwarzkörperstrahlung ........................... 194 

Situationen bei Wärmeleitung ................... 201 

Situationen bei Wärmestrahlung ............... 206 

Situationen bei Wärmeströmung, Konvektion 

.............................................................. 206 

Spannung ................................. 181, 182, 183 

spektrale spezifische Ausstrahlung ........... 194 

spektrale Zusammensetzung .................... 194 

spezifische Ausstrahlung .......................... 194 

spezifische Wärmekapazität ..................... 184 

spezifische Wärmeleitfähigkeit .......... 188, 200 

spezifischer Wärmewiderstand ................. 195 

stationärer Wärmetransport ...................... 187 

Strahlungsaustauschkoeffizient ................ 193 

Strahlungsgesetz ...................................... 192 

Strahlungskoeffizient ........................ 190, 193 

Strahlungsleistung .................................... 194 

Strahlungsspektren ................................... 194 

Stromverbraucher ..................... 217, 219, 221 

Temperatureinheiten ................................. 177 

temperaturunabhängiger Massstab .......... 181 

thermische Ausdehnung ........................... 178 

thermische Energie ................................... 184 

Transmission ............................................ 191 

transportierte Masse pro Zeit .................... 199 

transportiertes Volumen pro Zeit ............... 199 

U-Wert ...................................................... 200 

Verschiebungsgesetz ............................... 194 

Volumenausdehnung ................................ 178 

Volumenausdehnung in einem Gefäss ..... 178 

Volumentransport ..................................... 199 

Wand ........................................ 201, 202, 203 

Wärme abstrahlender Körper .................... 206 

Wärmeausdehnung .................................. 178 

Wärmedämmwert ..................................... 200 

Wärmedurchgang ............................. 187, 195 

Wärmedurchgangskoeffizient ................... 200 

Wärmedurchgangswiderstand .................. 195 

Wärmeenergie .......................................... 184 

Wärmekapazität ........................................ 184 

Wärmeleitfähigkeit ............................ 188, 200 

Wärmeleitung ............................ 187, 188, 201 

Wärmeleitwiderstand ................................ 188 

Wärmeleitzahl ................................... 188, 200 

Wärmestrahlung ....................... 187, 190, 206 

Wärmestrahlungswiderstand .................... 190 

Wärmestrom durch Materie ...................... 199 

Wärmestrom durch Oberflächen ............... 198 

Wärmestromdichte .................................... 198 

Wärmeströmung ....................... 187, 189, 206 

Wärmeströmungswiderstand .................... 189 

Wärmetransport ................................ 187, 207 

Wärmeübergang ............................... 187, 195 

Wärmeübergangskoeffizient ..................... 189 

Wärmeübertragungsarten ......................... 187 

Wärmeübertragungskoeffizient ......... 190, 193 

Wärmewiderstand ..................................... 195 

Wasserkühlung ......................................... 199 

Wasserwert ............................................... 185 

wiensches Verschiebungsgesetz .............. 194 

Zug ........................................... 181, 182, 183 

αK .............................................................. 189 

αS ...................................................... 190, 193 

λ 188, 200 


FH Formelsammlung - Grundlagen Editiert: 21.02.2011 

1 Grundlagen 

1.1 Differentiation von Vektoren 

r i : Komponenten des Vektoren 

e : Einheitsvektoren 

i 

rx 

r r 

 

y 

r z 

dr dr dr dr 

 

dt dt dt dt 

x y 

z 

ex ey ez 

1.2 Integration von Vektoren 

vit : Komponenten des Vektoren 

e : Einheitsvektoren 

i 

 

 

 

vxt 

 

v t vyt v t 

z 

 

 

v t dt e v t dt e v t dt e v t dt 

x x y y z z 

1.3 quadrieren von Vektoren 

vit : Komponenten des Vektoren 

vx 

v v 

 

y 

v z 

2 2 2 2 2 

x y 

z 

v v v v v 


in einem Material 

im Vakuum 

FH Formelsammlung - Optik Editiert: 21.02.2011 

2 Optik 

2.1 Reflexion 

2.2 Dispersion 

2.3 Brechungsindex 

n : Brechungsindex Brechungsindex 

c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 

v p : Ausbreitungsgeschwindigkeit, 

Phasengeschwindigkeit im Medium 

: elektrische Feldkonstante des Dielektrikums 

r 

: magnetische Feldkonstante des Materials 

r 

c 

n 

v 

p 

n r r 

n 1 

Ausbreitungsgeschwindigkeit 

FH Formelsammlung 9 Physik.doc 11 

m s -1 

Materialkonstanten


2.4 Brechung 

2.4.1 Brechungsgesetz 

n ε und μ 

1 : Winkel zwischen einfallendem oder reflektiertem Stahl und Lot ° 

n : Brechungsindex 

1 

v 1 : Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit m s -1 


1 


1 

a : Winkel zwischen gebrochenen Strahl und Lot ° 

2 


2 

v 2 : Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit m s -1 


2 


2 

 

 

sin 1 n2v1 22 

sin a n v 

 

a 

2 1 2 1 1 

 

sin a n 

2 2 

1 arcsin 

 

n1 

 

 

sin n 

1 1 

2 arcsin 

 

n2 

 

Medium 1 

Medium 2 


Ebene 

Lichtwellenleiter 

Lichtquelle unter 

Wasser 

Prisma 

beliebige Materialien 

Glas (n1 = 1.5) und 

Luft (n2 = 1) 


2.4.2 Totalreflexion 

Grenz : Winkel der Totalreflexion, gemessen zur brechenden Fläche ° 

: Winkel der Totalreflexion, gemessen zum Lot ° 

 

1 

GrenzGlas 

n : Brechungsindex vom optisch dichteren Medium 

n : Brechungsindex vom optisch dünneren Medium 

2 

n 2 

Grenz 90 arcsin 

n2 n1 

n1 

 

GrenzGlas 

1 

 

arcsin 41.81 

1.5 FH Formelsammlung 9 Physik.doc 13

Bedeutung 

Berechnung 

Glas 


2.4.3 Brewsterwinkel 

B : Winkel zwischen einfallendem oder reflektiertem Stahl und Lot ° 

n : Brechungsindex von Medium 1 

1 

n : Brechungsindex von Medium 2 

2 

Er gibt den Winkel an, bei dem von einfallendem, unpolarisiertem Licht nur die senkrecht zur 

Einfallsebene (d. h. parallel zur Grenzfläche) polarisierten Anteile reflektiert werden. Das reflektierte Licht 

ist dann linear polarisiert. 

 

n 2 

B arctan 

 

n1 

BGlas 

 

1.55 arctan 57.17 

1 

2.4.4 Brechung an einer planparallelen Platte 

s : parallele Verschiebung des Stahles m 

d : Dicke der Platte m 

: Winkel zwischen einfallendem Strahl und Lot ° 

n : Brechungsindex der Platte 

cos 

 

sdsin 

1 2 2 

n sin 

 

 


nummerische 

Apertur 

optischer Weg 


2.5 Lichtwellenleiter, LWL 

2.5.1 Aufbau 

2.5.2 Stufenindexfaser 

NA : nummerische Apertur 

: maximaler Einstrahlwinkel ° 

0 

s : optischer Weg des direkten, schnellsten Strahls m 

min 

s max : optischer Weg des total reflektierten, langsamsten Strahls m 

l : Länge des Lichtwellenleiters m 

n : Brechungsindex vom Aussenmedium 

0 

n : Brechungsindex Kern 

1 

n : Brechungsindex Mantel 

2 

2 2 

0 sin 

0 1 2 

NA n n n 

2 2 

n1 n 

2 

0 

arcsin 

 

n 

smin l 

n 

1 smaxl n2 

0 

Andere 

Abmessungen 

Materialkonstanten 



2.5.3 Gradientenfaser 

2.5.4 Monomodefaser 

2.5.5 Streuverlust 

Mit zunehmender Wellenlänge nimmt der Streuverlust ab. Verunreinigung, z.B. OH-lonen, die bei der 

Faserherstellung in die Faser gelangen, absorbieren das Licht bei verschiedenen Wellenlängen. Bedingt 

durch die OH-Absorptionsspitzen gibt es Dämpfungsspitzen (bei ca. 950, 1.200 und 1.400 nm) und 

günstige Wellenlängenbereiche, die auch Fenster oder Arbeitswellenlängenbereiche genannt werden. 

Folgende Fenster (Wellenlängenbereiche) werden heute zur optischen leistungs- gebundenen 

Signalübertragung mittels LWL-Systemen genutzt: 

1. Fenster 850 nm 

2. Fenster 1.300 nm 

3. Fenster 1.550 nm 


allgemeine Situation 

symmetrischer 

Strahlengang 


2.6 Prisma 

; 

1 1 2 2 1 2 

 

1 2 

1 

 

2 2 

n 

arcsin sin sin cos sin 

sin 

n 

sin 

1 1 1 

1 

: minimaler Ablenkungswinkel ° 

2 arcsin nsin 

2 

; 

2 2 2 

 

sin 

2 2 

n 

 

sin 

2 FH Formelsammlung 9 Physik.doc 17

Berechnung 

Strahlengang 

Situationen 


2.7 Spiegel 

2.7.1 Hohlspiegel, Konkavspiegel 

M : Krümmungsmittelpunkt, Radius 

F : Brennpunkt 

G : Gegenstandspunkt 

B : Bildpunkt 

f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt m 

g : Abstand optischer Mittelpunkt zu Gegenstandspunkt (horizontal) m 

b : Abstand optischer Mittelpunkt zu Bildpunkt (horizontal) m 

y : Abstand optische Achse zu Bildpunkt (vertikal) m 

B 

y G : Abstand optische Achse zu Gegenstandspunkt (vertikal) m 

: Abbildungsverhältnis von Gegenstand zu Bild 

β > 0: Bild aufrecht; β < 0: Bild invertiert 

virtuelle Abstände sind negativ 

M 

f 

2 

1 1 1 

 

f g b 

b y 

 

g y 

B 

G 

Situation Bildeigenschaften 

g > M reell verkleinert invertiert 

g = M reell 1:1 invertiert 

M > g > f reell vergrössert invertiert 

g = f reell ∞ invertiert 

g < f virtuell vergrössert aufrecht 

Punkte 

Abstände 

Andere 


Berechnung 

Strahlengang 


2.7.2 Wölbspiegel, Konvexspiegel 

es gelten die gleichen Formeln wie beim Konkavspiegel, jedoch ist der Abstand optischer Mittelpunkt 

zu Brennpunkt f negativ. 

2.7.3 Parabolspiegel 

a 

 

f x ax 1 

F x y F 0 4a 

 

2 



2.8 menschliches Auge 

(Myopie: Kurzsichtigkeit ; Hyperopie: Weitsichtigkeit) 

2.9 Linsen 

2.9.1 Linsenarten 

2.9.2 Brennweite 

f : Brennweite der Linse m 

n : Brechungsindex des Linsenmaterials 

r, r : Krümmungsradien der Linse m 

1 2 

1 11 n 1 

f r r 

1 2 


mehrere Strahlen 

einzelne Strahlen 


2.9.3 Brechkraft 

f : Brennweite der Linse m 

D : Brechkraft der Linse dpt 

[D] = m -1 

1 

D 

f 

2.9.4 Sammellinse, Konvexlinse 

2.9.4.1 Strahlengang 

Achsenparalleler Strahl wird Brennstrahl: 

Mittelpunktstrahl geht ungebrochen hindurch: 

Brennstrahl wird achsenparalleler Strahl: 


Strahlengang 

Situationen 


2.9.4.2 Abbildungen 

Situation Bildeigenschaften 

g > 2f reell verkleinert invertiert 

g = 2f reell 1:1 invertiert 

f < g < 2f reell vergrössert invertiert 

g = f kein Bild (geht ins unendliche) 

g < f virtuell vergrössert aufrecht 


mehrere Strahlen 

einzelne Strahlen 


2.9.4.3 Abbildungsgleichung 

f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt m 

g : Abstand optischer Mittelpunkt zu Gegenstandspunkt (horizontal) m 

b : Abstand optischer Mittelpunkt zu Bildpunkt (horizontal) m 

y : Abstand optische Achse zu Bildpunkt (vertikal) m 

B 

y G : Abstand optische Achse zu Gegenstandspunkt (vertikal) m 

: Abbildungsverhältnis 



1 1 1 

 

f g b 

b y 

 

g y 

B 

G 

2.9.5 Zerstreuungslinse, Konkavlinse 

2.9.5.1 Strahlengang 

Achsenparalleler Strahl wird Brennstrahl: 

Mittelpunktstrahl geht ungebrochen hindurch: 

Brennstrahl wird achsenparalleler Strahl: 

Abstände 

Andere 



2.9.5.2 Abbildungen 

Das Bild ist stets verkleinert, aufrecht und virtuell. Die Brennweite (virtuell) ist bei der 

Zerstreuungslinse immer negativ. 

2.9.6 Linsenfehler, Abbildungsfehler 

Sphärische Abberation: nicht alle Lichtstrahlen vereinigen sich hinter der Linse in einem Punkt. 

2.10 Linsensysteme 

2.10.1 Linsen in engem Kontakt 

f Ges : Gesamtbrennweite m 

f : Brennweite der ersten Linse m 

1 

f : Brennweiter der zweiten Linse m 

2 

1 1 1 

 

f f f 

Ges 

1 2 



2.10.2 beliebige Linsensysteme 

G B 

f1 f1’ f2 f2’ 

G : Gegenstandspunkt 

Z : Zwischenbildpunkt 

B : Bildpunkt 

F : Brennpunkt der ersten Linse 

1 

F : Brennpunkt der zweiten Linse 

2 

f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt (erste Linse) m 

1 

f : Abstand optischer Mittelpunkt zu Brennpunkt (zweite Linse) m 

2 

g : Abstand optischer Mittelpunkt von erster Linse zu Gegenstandspunkt m 

1 

g : Abstand optischer Mittelpunkt von zweiter Linse zu Zwischenbildpunkt m 

1 

2 

b : Abstand optischer Mittelpunkt zu Zwischenbildpunkt (erste Linse) m 

b 2 : Abstand optischer Mittelpunkt zu Bildpunkt (zweite Linse) m 

: Abbildungsverhältnis von Gegenstand zu Bild 

1 : Abbildungsverhältnis von Gegenstand zu Zwischenbild 

: Abbildungsverhältnis von Zwischenbild zu Bild 

2 



1 1 1 

 

b f g 

1 1 1 

g db 2 1 

1 1 1 

 

b f g 

2 2 2 

g1 

b 1 b 2 

12 

g g 

1 2 

d 

F1 F1’ F2 F2’ 

b1 

Z 

Punkte 

Abstände 

Andere 


g2 

b2

Lichtstrom 

Beleuchtungsstärke 

einzelne Fläche 

mehrere Flächen 


2.11 Fotometrie 

2.11.1 Grundgrössen 

Bezeichnung Symbol Einheit Bedeutung 

Lichtstrom 

Lumen 

lm = cd sr 

pro Sekunde abgestrahlte Leistung im 

Wellenbereich des sichtbaren Lichts 

Lichtstärke I 

Candela 

cd = lm sr -1 

Lichtstrom, der in einem bestimmten 

Raumwinkel ausgestrahlt wird 

Beleuchtungsstärke E 

Lux 

lx = lm m -2 

Lichtstrom, der auf einer bestimmten 

Fläche auf einem Empfänger auftrifft 

Leuchtdichte L 

cd m -2 

= lm sr m -2 

Lichtstrom, der von einer bestimmten 

Fläche ausgestrahlt wird 

ANSI-Lumen 

Lumen 

lm = cd sr 

Lichtgrösse eines Beamers in Richtung 

Leinwand, der über ein genormtes 

Verfahren gemessen wird 

2.11.2 Umrechnungen 

1 lm 1.464 mW bei einer Wellenlänge von 555 nm 

2 

1 lx 1.464 mW m 

bei einer Wellenlänge von 555 nm 

2.11.3 Raumwinkel 

: Raumwinkel sr 

A : Kugeloberfläche m 2 

r : Kugelradius m 

: Öffnungswinkel des Kugelausschnitts ° 

: horizontaler Öffnungswinkel rad 

x 

: vertikaler Öffnungswinkel rad 

y 

w x : Länge m 

w : Breite m 

y 

h : Höhe m 

Kugel 

Pyramide 


eliebig 

Vollkugel 

Halbkugel 

Kugelausschnitt 

Pyramide 


A 

2 

r 

4 

2 

 

2 1cos 

2 

xy 4 arcsin sin sin 

Rechner auf Rad 

wx w 

y 

4 arctan Rechner auf Rad 

2 2 2 

2h4hwx w 

y 



2.11.4 Empfänger, Detektor 

2.11.4.1 Lichtstärke 

I v : vertikale Lichtstärke cd 

v : vertikaler Lichtstrom lm 


v Iv 

 

 

2.11.4.2 Raumwinkel 


A d : Empfängeroberfläche (bestrahlte Fläche) m 2 

d : Winkel zwischen Blickrichtung des Empfängers und Senders 

r : Abstand zwischen Empfänger und Sender m 

 

A cos 

r 

d d 

2 



2.11.4.3 Beleuchtungsstärke 

E v : vertikale Beleuchtungsstärke lx 

: vertikaler Lichtstrom lm 

v 


I v : vertikale Lichtstärke cd 



E 

E 

E 

v 

v 

v 

 

 

A 

v 

d 

Iv 

 

 

A 

I 

 

r 

v 

2 

d 

E : mittlere Beleuchtungsstärke lx 

: Winkel zwischen Blickrichtung des Empfängers und Senders 

d 

 

I cos E 

r 

v d 

2 

2.11.4.4 Belichtung 

H : Belichtung lx s 

E : Beleuchtungsstärke lx 

t : Zeit s 

H E t 



2.11.5 Sender, Quelle 

2.11.5.1 spezifische Lichtausstrahlung 

M : spezifische Lichtausstrahlung lx 

: Lichtstrom lm 

A s : Senderoberfläche (strahlende Fläche) m 2 

 

M 

A 

s 

2.11.5.2 Leuchtdichte 

L : Leuchtdichte cd m -2 

I : vertikale Lichtstärke cd 

v 


: Winkel zwischen Blickrichtung des Senders und Empfängers 

s 

Iv 

L 

A cos 

s s 

2.11.6 fotometrisches Grundgesetz 

: Lichtstrom lm 




: Winkel zwischen Blickrichtung des Senders und Empfängers 

s 

d : Winkel zwischen Blickrichtung des Empfängers und Senders 



s cos s d cos 

d 

L A A 

 

2 

r 

2.11.7 Reflexionsgrad 

E : mittlere Beleuchtungsstärke lx 

: mittlerer Reflexionsgrad des Umfelds 

M : spezifische Lichtausstrahlung lx 


E M L 

 


Weg-Zeit-Diagramm 

und Winkel-Zeit- 

Diagramm 

FH Formelsammlung - Kinematik Editiert: 21.02.2011 

3 Kinematik 

3.1 Grundbegriffe 


1km 

m 1000 3600km km 

1 1 1 3.6 

s 1h 1000h h 

3600 

km 1000m 10m m 

1 0.278 

h 3600s 36s s 

3.1.2 Relationen 

Für die Momentan(winkel)geschwindigkeit gilt: 

gleich Null bei lokalem Maximum oder lokalem Minimum (schwarz) 

positives Maximum bei Wendepunkt von Links- zu Rechtskurve (grün) 

negatives Maximum bei Wendepunkt von Rechts- zu Linkskurve (rot) 

Für die Momentan(winkel)beschleunigung gilt: 

gleich Null bei Wendepunkt 

positiv bei Linkskurve 

negativ bei Rechtskurve 


(Winkel)geschwindig 

keits-Zeit-Diagramm 

Funktionsmässig 


Für die Momentan(winkel)beschleunigung gilt: 

gleich Null bei lokalem Maximum oder lokalem Minimum (schwarz) 

positives Maximum bei Wendepunkt von Links- zu Rechtskurve (grün) 

negatives Maximum bei Wendepunkt von Rechts- zu Linkskurve (rot) 

3.2 geradlinige Bewegungen 

3.2.1 Ableitung und Integral 

st , r t : Wegfunktion m 

r i : Komponenten der Wegfunktion m 

r , r : Startpunkt m 

0 0 

r : Komponenten des Startpunkts m 

0i 

vt , v t : Geschwindigkeitsfunktion m s -1 

v i : Komponenten der Geschwindigkeitsfunktion m s -1 

v , v : Anfangsgeschwindigkeit m s -1 

0 0 

v 0i : Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit m s -1 

at , at : Beschleunigungsfunktion m s -2 

a i : Komponenten der Beschleunigungsfunktion m s -2 

2 

ds dv d s 

 

v t t a t t a t t 2 

dt dt dt 

t1 t1 t1 t1 

Strecke 

 

 

s t v t dt v t a t dt s t a t dt 

t0 t0 t0 t0 

t1 t1 t1 t1 

 

 

0 0 0 0 

t0 t0 t0 t0 

Geschwindigkeit 

Beschleunigung 

s t r v t dt v t v a t dt s t r v a t dtdt 


vektoriell 


x y 

T 

z 

x y 

T 

z 

x y z 

r t r r r 

v t v v v 

a t a a a 

T 

dr dr dr 

x y dr z 

v t t t t t 

dt dt dt dt 

dv dv dv 

x y dv z 

a t t t t t 

dt dt dt dt 

2 2 

T 

2 

2 

dr dr dr 

x y drz 

a t 2 t 2 t 2 t 2 t 

dt 

 

dt dt dt 

 

t r 1 0x 

t1 

r t r0 v t dt 

 

r0y vx t dt t0 t0 r 

0z 

 

t1 v y t dt t0 T 

t1 

 

v 

z t dt 

 

 

t0 

 

t v 1 0x 

t1 

v t v0 a t dt 

 

v0y ax t dt t0 t0 v 

0z 

 

t1 ay t dt t0 t1 

 

az t dt 

 

 

t0 

 

 

 

t1 t1 

r t r v a t dtdt 

0 0 

t t 

0 

0 

r0 

x t1 t1 t1 t1 t1 t1 

 

r t r v a t dtdt v a t dtdt v a t dtdt 

0 y 0x x 0 y y 0z 

z 

 

t0 t0 t0 t0 t0 t0 

r 

0z 

 

 

 

T 

T 

 

 

3.2.2 Durchschnittswerte 

r : Wegänderung m 

ri 

: 

v 

vi 

v 

Komponenten der Wegänderung m 

: Geschwindigkeitsänderung m s -1 

: Komponenten der Geschwindigkeitsänderung m s -1 

: durchschnittliche Geschwindigkeit m s -1 

vi: Komponenten der durchschnittlichen Geschwindigkeit m s -1 

a : durchschnittliche Beschleunigung m s -2 


T 

Strecke 

ai: Komponenten der durchschnittlichen Beschleunigung m s -2 

t : Zeitänderung t Zeit 

r 

T rr x y r 

z 

v vx vy vz 

t t t t 

 

v 

T vv x y v 

z 

a a x ay az 

t t t t 

 

T 

T 

T 


Beschleunigung

allgemein 

Formeln 


3.2.3 gleichförmige Bewegung 

 

s, s t : zurückgelegte Strecke m 

s 0 : Startpunkt m 

 

v, v t : Geschwindigkeit m s -1 

at : Beschleunigung m s -2 

t : Zeit s 

: Anstieg der s-t-Kurve 

 

 

 

s t s v t 

0 

v t const. 

a t 

0 

s 

v 

t 

v tan 

s vt s 

t 

v 

 

Strecke 

Andere 


allgemein 

ohne Anfangsgeschwindigkeit 


3.2.4 gleichmässig beschleunigte Bewegung 

 

s, s t : zurückgelegte Strecke m 

s 0 : Startpunkt m 

 

v, v t : Geschwindigkeit nach der Zeit t m s -1 

v 0 : Anfangsgeschwindigkeit m s -1 

v : mittlere Geschwindigkeit m s -1 

 

a, a t : Beschleunigung m s -2 

t : Zeit s 

1 

s t s0 v0t a t 

2 

v t v a t 

 

 

0 

a t const. 

v at 2a s 

v 

s 

a 

t 

tan 

s 

t 

vt 2 

v 

t 

v 

a 

v 

t 

at 2 

2 s 

2 

t 

2 

2 s 

a 

2 

2 s 

t 

2 

v 

2 a 

2 

v 

2 s 

2 s 

v 

Strecke 

Geschwindigkeiten 

Andere 


mit Anfangsgeschwindigkeit 

allgemein 

ohne Anfangsgeschwindigkeit 


v 

v 

0 

2 

v0 a t v 2 

a s 

v0 v 

2 

at v0 

 

2 

2 

v 2 

a s 

v v a t 

s v v 

t 

a 

0 

t 

 

2 

at v0t 2 

2 s 

v v 

vv0 a 

0 

vv t 

3.2.5 freier Fall 

 

0 

0 

v v 

2 

s 

2 2 

0 

2 

s 

t 

2 

2 v 2 v 8 

a s 

0 0 

2a h, h t : Höhe m 

h 0 : Starthöhe m 

v : Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t m s -1 


v : mittlere Fallgeschwindigkeit m s -1 

 


Höhen 


g : Fallbeschleunigung 

9.81 m s 

Beschleunigungen 

-2 

t : Zeit die für den Fall benötigt wird s Zeit 

1 

ht h0 v0t g t 

2 

v t v g t 

 

 

0 

a t g 

v g t 2g h 

v 

h 

t 

g 

s 

t 

vt 2 

v 

g 

v 

t 

gt 2 

2 h 

v 

2 

2 h 

2 

t 

2 

2 h 

t 

2 

v 

2 g 

2 h 

g 

2 

v 

2 h 


mit Anfangsgeschwindigkeit 

Fallgeschwindigkeit 

Fallhöhe 


Höhe 

maximale Höhe 


v 

2 

v0 g t v 2 

g h 

v 

v0 v 

2 

gt v0 

 

2 

v 0 v g t 

2 

v 2 

g h 

h v v 

t 

g 

0 

0 

 

2 h 

v v 

vv t 

0 

t 

2 

0 

gt v0t 2 

vv g 

0 

v v 

2 

h 

2 2 

0 

3.2.6 senkrechter Wurf nach unten 

2 

h 

t 

2 

2 v 2 v 8 

g h 

0 0 

2g v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1 

v : Fallgeschwindigkeit nach Ablauf der Zeit t m s -1 

g : Fallbeschleunigung 

9.81 m s -2 

h : Fallhöhe die während der Zeit t durchflogen wird m 

t : Zeit die für den Fall benötigt wird s 

v v g t 

0 

v v 2 

g h 

2 

0 

t 

h v0 v 

 

2 

1 

h v0 t g t 

2 

2 

3.2.7 senkrechter Wurf nach oben 

ht : Höhe m 

h max : maximale Steighöhe m 

h : Abwurfhöhe m 

0 

vt : Geschwindigkeit m s -1 


Andere 

Höhen 

v 0 : Abwurfgeschwindigkeit m s -1 

g : Fallbeschleunigung 9.81 m s -2 Andere 

t max : Zeit zum erreichen der maximalen Steighöhe s 

vt v0 g t 

1 

ht v t g t h 

2 

v 

h h 

2 g 

t 

2 

0 0 

max 

2 

0 0 

max 

v0 

 

g 



vektorielle Form 

Distanzen 

Wurfbahngleichung 

Bahngeschwindigkeit 

Flugzeit 


3.3 Bewegungen im Raum 

3.3.1 waagrechter Wurf 

rt : Position m 

rxt : horizontale Position m 

ryt : vertikale Position m 

 

 

x, x t : Wurfweite m 

y, y t : Wurftiefe m 

h 0 : Abwurfhöhe m 


 

 

v , v t : horizontale Geschwindigkeit m s -1 

x x 

v , v t : vertikale Geschwindigkeit m s -1 

y y 

vit : Komponenten der Geschwindigkeit m s -1 


v B : Bahngeschwindigkeit m s -1 

t : Flugzeit s 

: Richtung (Winkel) der Bahngeschwindigkeit ° 

g : Fallbeschleunigung 9.81 m s -2 

Positionsvektor Geschwindigkeitsvektor 

2 

t 

r t r0 v0tg 2 

2 

rxt 0 vx 0 t 

t 

ryt 

h 

 

0 0 g 

2 

v t v0 g t 

vxt vx 

vyt 0 

0 

g 

 

x t vt 

y t 

0 

gt 

2 

gx y f x 

 

2 

v 

2 

v v v 

2 2 

B x y 

v v g t 

B 

2 

2 

0 

2 

0 

2 2 

v v 2 

g y 

B 

t 

2 

0 

2 y 

g 

 

t 

 

Distanzen 


Andere 


Richtung 



gt arctan 

v 

0 

2 gy 

arctan 

 

 

v 

0 

3.3.2 schiefer Wurf vom Boden ausgehend 




 


y, yt , 

h : Wurfhöhe m 

x max : maximale Wurfweite, Aufprallpunkt m 

y : maximale Wurfhöhe m 

max 


 

 


x x 


y y 




t : Flugzeit bis zum Aufprall s 

x max 

t : Flugzeit bis zur maximalen Wurfhöhe s 

y max 

: Abwurfwinkel ° 

: Abwurfwinkel für maximale Reichweite ° 

Distanzen 


Zeiten 

Winkel 

max 

: Aufprallwinkel ° 



2 

t 

r t r0 v0tg 2 

2 

rxt 0v0cos00 t 

t 

ryt 

0 v0 sin 

 

0 

g 

2 

v t v0 g t 

vxt v0 

0 

y 

0 sin 0 

 

 

cos 0 

t 

v t 

v 

 

g FH Formelsammlung 9 Physik.doc 39

Distanzen 


Bahngeschwindigkeit 

Flugzeiten 

Aufprallwinkel 

maximale Reichweite 


cos 

 

x t v t 

max 

0 

gt yt v0 t sin 

2 

2 

v0 

sin 2 

xmax 

 

g 

y 

 

v0 sin 

 

2 g 

2 

gx y f x x tan 

 

2vcos v v v 

2 2 

B x y 

0 

0 

 

 

2 

2 

 

2 2 

0 

v v 2 v g t sin g t 

B 

v v cos 

x 

 

2 2 2 

0 0 

v v sin g t 

t 

y 

x max 

t 

y max 

2 v0sin 

g 

v0 

sin 

 

g 

 

vy arctan 

 

vx 

 

cos 

 

v0 sin 0 g t 

x max 

arctan 

 

v 

 

45 max 

0 0 



Distanzen 


3.3.3 schiefer Wurf aus erhöhter Position 




 

 


y, y t : Wurfhöhe m 

x max : maximale Wurfweite, Aufprallpunkt m 

y : maximale Wurfhöhe m 

max 

hh , 0 : Abwurfhöhe m 


 

 


x x 


y y 



v A : Aufprallgeschwindigkeit m s -1 


t : Flugzeit bis zum Aufprall s 

x max 

t : Flugzeit bis zur maximalen Wurfhöhe s 

y max 

: Abwurfwinkel ° 

: Abwurfwinkel für maximale Reichweite ° 

Distanzen 


Zeiten 

Winkel 

max 

: Aufprallwinkel ° 



2 

t 

r t r0 v0tg 2 

2 

rxt 0 v0cos0 0 t 

t 

ryt 

h0v0sin 

0 g 2 

v t v0 g t 

vxt v0 

0 

y 

0 sin 0 

cos 

 

x t v t 

max 

0 

gt yt h0 v0tsin 

2 

x 

max 0 

 

2 2 

 

v cos v sin v sin 2 

g h 

 

g 

y h 

v0 sin 

 

2 

0 0 0 0 

2 g 

2 

 

 

cos 0 

t 

v t 

v 

 

g FH Formelsammlung 9 Physik.doc 41



Flugzeit 

Aufprallwinkel 

maximale Reichweite 


2 

gx y f x x tan 

h 

2vcos v v v 

2 2 

B x y 

0 

0 

 

 

2 2 

0 

 

v v 2 v g t sin g t 

B 

v v cos 

x 

 

2 2 2 

0 0 

v v sin g t 

y 

v v 2 

g h 

t 

A 

x max 

t 

y max 

2 

0 0 

2 2 

v sin v sin 2 

g h 

 

g 

0 0 0 

v0 

sin 

 

g 

 

vy arctan 

 

vx 

cos 

 

v0 sin g t 

x max 

arctan 

 

v 

 

 

max 

0 

 

 

 

1 

arcsin 

 

2gh0 

 

2 2 

v 

0 

0 


funktionsmässig 


3.4 Kreisbewegungen 

3.4.1 Ableitung und Integral 

t, t : Winkelfunktion rad 

i : Komponenten der Winkelfunktion rad 

, : Startwinkel rad 

0 0 

: Komponenten des Startwinkels rad 

0i 

t, t : Winkelgeschwindigkeitsfunktion rad s -1 

i : 

0, 0 

Komponenten der 

Winkelgeschwindigkeitsfunktion 

rad s -1 

: Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1 

i : 

t, t Komponenten der 

Anfangswinkelgeschwindigkeit 

rad s -1 

: Winkelbeschleunigungsfunktion rad s -2 

i : 

Komponenten der 

Winkelbeschleunigungsfunktion 

rad s -2 

Winkel 

d d d 

 

dt dt dt 

2 

 

t t t t t t 

t1 t1 t1 t1 

Winkelgeschwindigkeit 

Winkelbeschleunigung 

 

 

t t dt t t dt t t dt 

t0 t0 t0 t0 

t1 t1 t1 t1 

 

 

t t dt t t dt t t dtdt 

0 0 0 0 

t0 t0 t0 t0 


2

vektoriell 


t x y 

T 

z 

t x y z 

t x y z 

 

 

 

 

 

 

T 

T 

d 

ddd 

dt dt dt dt 

x y 

z 

t t t t t 

d 

ddd 

dt dt dt dt 

x y 

z 

t t t t t 

2 2 

T 

2 

2 

d d d d 

2 2 2 2 

dt 

 

dt dt dt 

 

x y 

z 

t t t t t 

t 1 0x 

t1 

t 0 t dt 

 

0y x t dt t0 t0 

0z 

 

t1 y t dt t0 T 

t1 

 

 

z t dt 

 

 

t0 

 

t 1 0x 

t1 

t 0 t dt 

 

0y x t dt t0 t0 

0z 

 

t1 y t dt t0 T 

t1 

 

 

z t dt 

 

 

t0 

 

 

t 

t1 t1 

t t dtdt 

0 0 

t t 

0 

0 

0 

x t1 t1 t1 t1 t1 t1 

 

t dtdt t dtdt t dtdt 

0 y 0x x 0 y y 0z 

z 

 

t0 t0 t0 t0 t0 t0 

 

0z 

 

 

 

T 

T 

 

 

3.4.2 Durchschnittswerte 

: Winkeländerung rad 

i 

: Komponenten der Winkeländerung rad 

: Winkelgeschwindigkeitsänderung rad s -1 

i 

: Komponenten der Winkelgeschwindigkeitsänderung rad s -1 

: durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

i : 

Komponenten der durchschnittlichen 


rad s -1 

: durchschnittliche Winkelbeschleunigung rad s -2 

i : 

Komponenten der durchschnittlichen 


rad s -2 

Winkel 

t : Zeitänderung t Zeit 

 

T x y 

z 

x y z 

t t t t 

 

 

T x y 

z 

x y z 

t t t t 

 




T 

T 

T


Andere 


3.4.3 Zusammenhänge 

at 

 

t : Winkel rad Winkel 

vt , v t : Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1 

t 

: Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

atan t : 

Zp 

Tangentialbeschleunigung, 

Bahnbeschleunigung 



m s -2 

a t : Zentripetalbeschleunigung m s -2 


t 

: Winkelbeschleunigung rad s -2 

r : Radius m 

 

r t : Richtungsvektor m 

tan 

Zp 

 

a t r t 

2 

a t r t 

 

2 

v t 

2 2 

 

a t a t a t 

tan 

Zp 

rcos t 

r sin t 

 

 

 

sin 

t 

cos 

t 

 

sin 

t 

cos 

t 

r t 

t 

rt 

 

v t r t 

 

 

a t tan 

atan t 

aZp t 

r 

 

 

 

 

 

2 

a t r t t r t 

a t Zp 


Andere

Zusammenhänge 

eindimensional 

dreidimensional 


3.4.4 Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft 

Die Zentripetalkraft zeigt bei einer Kreisbewegung zum Kreismittelpunkt. Die Zentrifugalkraft zeigt bei 

einer Kreisbewegung stets vom Kreismittelpunkt fort. 

FZp, F Zp : Zentripetalkraft N 

FZf, F Zf : Zentrifugalkraft N 

vv: , Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s 

: , Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

a : Beschleunigung m s -2 

aZp, a Zp : Zentripetalbeschleunigung m s -2 

aZf, a Zf : Zentrifugalbeschleunigung m s -2 


m : Masse des Teilchens kg 

rr: , Radius m 

vr ar 2 

v 

2 

r 

2 

 

F F 

Zp Zf 

a a 

Zp Zf 

2 

mv FZp FZf m a 

r 

2 

FZp FZf m r m r 2 

v 

aZp aZf 

r 

2 

aZp aZf r 

Zp 

Zp 

Zp 

 

 

F m r a r 

a r r 

Zf 

Zf 

Zf 

2 

F 

Zp 

2 

 

 

F m r a r 

a r r 

m 

v 

F Zf 

Kräfte 



Andere 


allgemein 

Formeln 


3.4.5 gleichförmige Kreisbewegung 

, t : Drehwinkel rad 

0 : Startdrehwinkel rad 

v 0 : Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1 


, , t 

a zp : 

Zentripetalbeschleunigung, 

Radialbeschleunigung 

Drehwinkel 



m s -2 

a tan : Tangentialbeschleunigung m s -2 

t : Winkelbeschleunigung rad s -2 

 

r : 

s : 

Radius 

Kreisbogen 

m 

m 

t : Zeit s 

T : Umlaufdauer s 

n : Drehzahl U s -1 

f : Drehfrequenz Hz 

N : Anzahl Umdrehungen 

 

 

t 

t t 

0 

t const. 

 

0 

t 

 

v 0 

 

t 

2r T 

 

s r 

t 

T 

 

 

1 

f 

a 2 

zp 

a tan 0 

r 

s 

r 

v0 

r 

s 

rt 2 f r r 

v0 t r t 

s 

v 

0 

1 

n 

s 

r 

2 N 

2 n 2 f 


Abmessungen 

Zeiten 

Andere 

2 

T

allgemein 

ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit 


3.4.6 gleichmässig beschleunigte Kreisbewegung 

, t : Drehwinkel rad 

: Drehwinkeländerung rad Drehwinkel 

0 : Startdrehwinkel rad 

vv: , 0 Geschwindigkeit auf der Umlaufbahn m s -1 

, t : Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit t rad s -1 

: mittlere Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

: Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1 

0, 0 

a zp : 

Zentripetalbeschleunigung, 

Radialbeschleunigung 



m s -2 

a tan : Tangentialbeschleunigung m s -2 

, , t : Winkelbeschleunigung rad s -2 

t : Zeit s 

t : Zeitänderung s 

r : Radius m 

N : Anzahl Umdrehungen 

1 

t 0 0t t 

2 

t t 

 

 

0 

t const. 

 

 

 

t 

t 

2 

2 

2 

t 

t 

2 

t 2 

t 

a zp 

at 2 

2 

 

2 

v 

r 

a r 

tan 

v r 

 

t 

 

 

2 

r t 

2 2 

2 

2 

 

2 

2 

 

2 

2 

t 

2 

 

2 

r 

2 

 

4N 2 N 


Zeit 

Andere

mit Anfangswinkelgeschwindigkeit 


 

 

t 

 

0 

 

t 

2 

2 2 

0 

2 

t 

0 t 

2 

 

 

2 

0 t 2 

 

2 t 2 

 

0 

t 

0 2 

0 

a 2 

zp 

a r 

tan 

r t 

0 

0 

t 

0 

 

2 

2 

 

0 

2 

 

t 


Kräfte 

Winkel 

Radius 


Drehfrequenz 


3.4.7 Karussell 

m 

FZp, F Zp : Zentripetalkraft des Sessels N 

FG, F G : Gewichtskraft des Sessels N 

FS, F S : Zugkraft im Seil N 

r : Radius des Karussells m 

R : Radius der Umlaufbahn m 

l : Seillänge m 

v : Geschwindigkeit eines Sessels m s -1 

: Winkelgeschwindigkeit eines Sessels rad s -1 

: Winkel zwischen Vertikalen und Seil ° 

f : Drehfrequenz Hz 

g : Gravitationskonstante 9.81 m s -2 

mv R 

F mg 2 

2 

FZp m R 

G 

l r 

F F F 

2 2 

S Zp G 

2 2 

FZp v R 

 

arctan arctan arctan 

FG g R g 

 

R r l sin 

v R g tan 

v 2 

f R 

1 

f 

2 

 

R 

 

g tan 

R 

F Zp 

F S 

 

m 

F G 

Kräfte 

Abmessungen 


Andere 


allgemein 

Kräfte bei 2 Federn 

allgemein 

Kräfte bei 2 Federn 

FH Formelsammlung - Dynamik Editiert: 21.02.2011 

4 Dynamik 

4.1 Federn 

4.1.1 Reihenschaltung 

S ges : gesamte Federkonstante N m -1 

N : Anzahl von Federn 

S i : einzelne Federkonstante N m -1 

N 1 1 1 1 1 

... 

S S S S S 

ges i1 

i 1 2 

N 

F : Zugkraft N 

u : Auslenkung m 

u uu a b 

F FF a b 

1 

F Sges u u 

1 1 

 

S S 

a b 

4.1.2 Parallelschaltung 

S ges : gesamte Federkonstante N m -1 

N : Anzahl von Federn 

S i : einzelne Federkonstante N m -1 

N 

 

S S S S ... S 

i1 

i 1 2 

N 


u : Auslenkung m 

u uu a b 

F FF a b 

 

F S u S S u 

ges a b 


Faktorenflaschenzug 


4.1.3 Federkraft 

F : Federkraft N 

k : Federkonstante N m -1 

x : Dehnung der Feder m 

x : Auslenkungsposition m 

x : Ruheposition m 

0 

 

F k x k x x 

4.2 Rollen 

4.2.1 lose Rolle 

4.2.2 Flaschenzug 

F Z : Zugkraft N 

F : Gewichtskraft der Last N 

L 

n : 

m : 

g : 

Anzahl Rollen 

Masse der Last 

Gravitationskonstante 

kg 

9.81 m s -2 

F 

F mg n n 

L 

Z 

E : Energie J 

s : Zugstrecke m 

h : Höhe um die die Last angehoben wird m 

FL 

E FZ s n h FLhmg h 

n 

0 


Potenzflaschenzug 

Differentialflaschenzug 

Wirkungsgrad 


n : Anzahl der losen Rollen 

F 

F 

2 

L 

Z n 

R : Radius der grossen Rolle m 

r : Radius der kleinen Rolle m 

F 

Z 

FL Rr 

2 R 

W nutz : genutzte Arbeit J 

W : zugeführte Arbeit J 

zu 

Wnutz FLh 

W F s 

zu Z 


Trägheitsprinzip 

Aktionsprinzip 

Reaktionsprinzip 

(actio = reactio) 

Superpositionsprinzip 

der Kräfte 


4.3 newtonsche Axiome 

Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange keine 

äusseren Einflüsse auf ihn wirken. Die Geschwindigkeit eines solchen sich „frei“ bewegenden Körpers ist 

nach Betrag und Richtung konstant. 

Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eine Beschleunigung, die der Kraft proportional ist und 

deren Richtung besitzt. 

F : resultierende Kraft, die auf den Körper beschleunigend wirkt N 

m : Masse des beschleunigten Körpers kg 

a : erzielte Beschleunigung m s -2 

v : erzielte Geschwindigkeit m s -1 

s : zurückgelegte Strecke m 

M : 

Drehmoment N m 

L : Drehimpuls kg m2 s -1 

J : Trägheitsmoment kg m 2 


Translation: 

2 

dv d s 

F m a F m F m 

dt dt 

Rotation: 

dL 

M J 

dt 

2 

Translation 

Rotation 

Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft aus (actio), so übt auch B auf A eine Kraft aus, 

Gegenkraft (reactio) genannt, die entgegengesetzt gleich der ersten Kraft ist. 

FA B : Kraft die Körper A auf Körper B ausübt N 

FB A : Kraft die Körper B auf Körper A ausübt N 

F F 

ABBA Wirken auf einen Punkt (oder einen starren Körper) mehrere Kräfte , so addieren sich diese vektoriell zu 

einer resultierenden Kraft auf. 

F : resultierende Kraft N 

F : einzelne Kraft N 

i 

F F1F2 ... Fn 


Haftreibung 

Gleitreibung 

Rollreibung 

allgemein 

vektoriell 


4.4 Reibung 

FN, F N : Normalkraft (senkrecht zur Ebene) N 

F : Haftreibungskraft N 

H 

FG, F G : Gleitreibungskraft N 

FR, F R : Rollreibungskraft N 

FX, F X : Reibungskraft N 

: Haftreibungskoeffizient 

H 

: Gleitreibungskoeffizient 

G 

: Rollreibungskoeffizient 

R 

: Reibungskoeffizient 

Kräfte 

Koeffizienten 

X 

v : Geschwindigkeitsvektor m s -1 Andere 

Tritt auf zwischen zwei Körpern die sich in Ruhe befinden. Überschreiten die äusseren Kräfte die 

maximale Haftreibungskraft so beginnt der Körper zu gleiten oder gegebenenfalls zu rollen. 

F F 

H H N 

Tritt auf wenn ein Körper auf einem anderen gleitet. 

F F 

G G N 

Tritt auf wenn ein Körper auf einem anderen rollt. 

F F 

R R N 

F F 

X X N 

F F 

X X N 

v 

FGGFN 

v 

 

v 

FRRFN 

v 

 



vektoriell 

Integral 

Formel 


4.5 Arbeit 

4.5.1 Allgemein 

W : verrichtete Arbeit J 

F s, F : Kraftfunktion, Kraftvektor N 

: Winkel zwischen Kraftvektor und Wegvektor ° 

ss: , zurückgelegter Weg, Wegvektor m 

s 0 : Anfangspunkt des Weges m 

s : Endpunkt des Weges m 

1 

s1 

s0 

 

W F s ds 

 

 

 

W F ds F s F s cos 

 

Andere 

Strecke 

Steht die Kraft senkrecht auf dem Weg, wird keine physikalische Arbeit verrichtet: 

F s W 0 

4.5.2 Hubarbeit 

W H : verrichtete Hubarbeit J 

FG, F G : Gewichtskraft des Körpers N 

m : Masse des Körpers kg 


hh: , Höhe um die der Körper hochgehoben wurde m 

 

F 

W F dh F h 

H G G 

WH m g h FG h 

s 


Integral 

Formel 

Integrale 

Formeln 


4.5.3 Reibungsarbeit 

W R : Reibungsarbeit J 

ss: , zurückgelegter Weg m 


Andere 

FR, F R : Reibungskraft N 

Kräfte 

F : Normalkraft N 

N 

 

W F ds F s 

R R R 

W F s F s 

R N R 

4.5.4 Beschleunigungsarbeit 

W B : Beschleunigungsarbeit J 

FB, F B : Beschleunigungskraft N 

m : Masse des beschleunigten Körpers kg 

a : auf den Körper ausgeübte Beschleunigung m s -2 

ss: , zurückgelegte Strecke m 

vv: , Geschwindigkeit des Körpers m s -1 

v 0 : Startgeschwindigkeit des Körpers m s -1 

v 1 : Enggeschwindigkeit des Körpers m s -1 

 

W F ds F s 

B B B 

1 

WB m v dv m v 

2 

2 

W m a s F s 

B B 

1 2 

WB m v 

2 

1 

WB m 

2 

v v 

2 2 1 0 

Andere 



Situationen 

Berechnung mit 

Federkraft oder 

Federkonstante 


berechnen 


4.5.5 Spannarbeit und Zugarbeit 



F : Kraft, die die Länge der Feder verändert N 

F : Kraftänderung N 

x : Ruheposition m 

1 

x : Auslenkung (negativ beim Spannen, positiv beim Ziehen) m 

2 

x 3 : beliebige Position m 

x : Längenänderung m 

Feder spannen 

(negative x-Kraft, negativer Weg) 

Feder auseinanderziehen 

(positive x-Kraft, positiver Weg) 

 

F k x x k x 

x1 

2 1 

k 

W k x dx k x dx x 

2 

F k x x k x 

2 1 

2 

 

2 

x2 x2 

0 

x2 x2 

Bewegung von Ruhelage ausgehend beliebige Bewegung 

F 

W x 

2 

k 2 

W x 

2 

F 

k 

x 

F 

x 2 

x 1 

2 x 

Andere 

Kräfte 

Längen 

k 

W k x dx k x dx x 

2 


x1 

k 

W x x 

2 

2 2 2 3 

0 

F 

2 

2

Integrale 

Formeln 


4.5.6 Rotationsarbeit 

W Rot : Arbeit bei der Rotation J 



M : Drehmomentfunktion N m 

M : Drehmoment N m 

: Winkel um den sich der Körper dreht rad 

0 : Startwinkel rad 

: Endwinkel rad 

1 

: Winkelgeschwindigkeit des Körpers rad s -1 

0 : Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1 

1 : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1 

Rot 

Rot 

Rot 

Rot 

 

1 

 

0 

1 

0 

 

W M d 

 

 

 

 

W J 

d 

 

 

 

W M d 

 

W J 

d 

W M 

Rot 

W J Rot 

1 2 

WRot J 

2 

1 

WRot J 

2 

2 2 1 0 

 

Andere 

Drehmoment 

Winkel 

Winkelgeschwindigkeiten 


Einzelarbeiten 

Gesamtarbeit 


4.5.7 Arbeit auf der schiefen Ebene 

F H 

W R : Reibungsarbeit J 

W : Hubarbeit J 

H 

W tot : Gesamtarbeit J 


F : Reibungskraft N 

R 

F H : Hangabtriebkraft N 

l : Weg m 

h : Höhe m 

d : Länge m 

m : Masse kg 


G 


 

 

W F l m g cos l 

R R G 

W F l m g sin l 

H H 

W m g d 

R G 

W m g h 

H 

m 

l h 

F R 

 

d 

F 

Arbeit 

Kräfte 

schiefe Ebene 

Andere 

cos sin 

 

 

W W W m g l 

tot R H G 

W W W m g d h 

tot R H G 


Integral 

kartesische 

Koordinaten 

eine Geschwindigkeit 

zwei 


Impuls 


4.6 Energie 

4.6.1 kinetische Energie 

E kin : kinetische Energie J 

E : benötige Energie für Geschwindigkeitsänderung J 

kin 

v : Geschwindigkeit des Körpers m s -1 


v 1 : Endgeschwindigkeit m s -1 

x : x-Koordinate 

y : y-Koordinate 

z : 

m : 

p : 

z-Koordinate 

Masse des Körpers 

Impuls 

kg 

N s 

dv 

1 

Ekin F ds mvdtmvdv m v 

dt 

2 

2 

2 2 2 

 

1 2 2 2 1 dx dy dz 

Ekin m x ' y' z ' m 

2 2 dt dt dt 

 

1 

Ekin m v 

2 

1 

Ekin m v v 

2 

E 

kin 

2 

1 p 

 

2 m 

2 

2 2 1 0 

Energien 


Koordinaten 

Andere 


Integral 

geschlossener Weg, 

konservative Kraft 

Körper mit 

konstanter Masse 

Integral 

Formel 


4.6.2 potentielle Energie 

E pot : potentielle Energie J 

Epot 

: Änderung der potentiellen Energie J 

E pot0 

: potentielle Energie auf Anfangshöhe J 

E pot1 

: potentielle Energie auf Endhöhe J 

h : Höhe m 

h : Anfangshöhe m 

0 

h 1 : Endhöhe m 



F G : Gewichtskraft des Körpers N 

pot pot1 pot 0 

h1 

E E E F dh 

 

F ds0 Epot m g h FG h 

 

h0 

4.6.3 potentielle Federenergie, Spannungsenergie 

E pot : potentielle Energie der gespannten Feder J 


x : Auslenkung der Feder m 

pot 

x 

 

0 

 

E F ds k x dx 

1 

Epot k x 

2 

2 

Energien 

Höhen 

Andere 


Integral 

Formeln 


4.6.4 Rotationsenergie 

E : Rotationsenergie J 

Rot 

ERot 

: 

Energiedifferenz nach 

Winkelgeschwindigkeitsänderung J 

Energien 


0 : Anfangswinkelgeschwindigkeit rad s -1 

1 : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1 

L : Drehimpuls kg m 2 s -1 J : Trägheitsmoment kg m 

Andere 

2 

Rot 

 

1 

 

0 

 

E J 

d 

 

1 

ERot L 

2 

2 

1 L 

ERot 

 

2 J 

1 2 

ERot J 

2 

1 

ERot J 

2 

2 2 1 0 

 

4.6.5 Energie eines rollenden Objekts 

E tot : Gesamtenergie J 

E : Translationsenergie J 

Trans 


Winkelgeschwindigkeiten 

Energien 

Rot 

J S : Trägheitsmoment um Schwerpunktachse kg m 2 J M : Trägheitsmoment um Drehachse kg m 

Trägheitsmomente 

2 

v : Geschwindigkeit m s -1 

: Winkelgeschwindigkeit rad s 


-1 

m : Masse kg 

R : Radius m 

1 2 1 2 

Etot ETrans ERot m v JS 

2 2 

1 2 1 v 

Etot m v J S 

2 2 R 1 2 1 

2 v 

Etot IM J S m R 

 

2 2 

R 2 

2 

v 

 

R 


Rolle

Energieerhaltung 

beim Pendel 

Umrechnungen 

mathematische 

Definition 

mittlere Leistung 


4.6.6 Energieerhaltung 


E : potentielle Energie J 

pot 

Q : Startpunkt 

P : Endpunkt 

Energien 

Punkte 

. 

E Q E Q E P E P const 

kin pot kin pot 

E pot 

Epot Ekin 

4.7 Leistung 

1PS 0.7352941kW 

1kW=1.3605442PS 

 

P, P t : Leistung W 

P : mittlere Leistung W 

Wt : Arbeit J 

Et : Energie J 

T : Gesamtzeit s 

t : Startzeit s 

0 

t : Endzeit s 

1 

F : Kraft N 

s t : Strecke m 

 

E kin 

E 

pot 


Leistungen 

Arbeit und Energie 

Zeit 

Andere 

dE dW ds 

Pt t t F t F v 

dt dt dt 

t1 t1 

1 1 

P Pt dt Pt dt 

T 

t t 

t0 1 0 t0 


Normalform 


Normalform 



4.7.1 mechanische Leistung 

P : Leistung W 

FF , : Kraft N 

vv: , Geschwindigkeit m s -1 


E : aufgewendete Energie J 

t : benötigte Zeit s 

P Fv E W 

P 

t t 

P F v 

4.7.2 Rotationsleistung 

P Rot : Rotationsleistung W 

MM , : Drehmoment N m 


n : Drehzahl s -1 

P M 

Rot 

P M 2 

n 

Rot 

PRotM 


Definition 

Beziehung mit dem 

Schwerpunkt 


4.8 Impulse 

4.8.1 Impuls 

F : Kraft N 

p : Impuls N s 


t : Zeit s 

m : Masse kg 

m : einzelne Masse kg 

i 

m : Gesamtmasse kg 

ges 

N : Anzahl Massen 


v S : Geschwindigkeit des Schwerpunkts m s -1 

v i : Geschwindigkeit einer einzelnen Masse m s -1 

 

dp d m v 

F m a 

dt dt 

p mv N 

p m v m v ... m v 

1 

v m v 

1 1 2 2 

N N 

S 

mgesmgesmgesn1 n n 

4.8.2 Impulserhaltung 


p vor : Gesamtimpuls vor dem Ereignis N s 

p : Gesamtimpuls nach dem Ereignis N s 

nach 

v i : einzelne Geschwindigkeit vor dem Ereignis m s -1 

u i : einzelne Geschwindigkeit nach dem Ereignis m s -1 

 

F : Kraft N 


i 

Andere 

Massen 


Impulse 


Andere 

Wirkt in einem mechanischen System keine resultierende Kraft so ist der Gesamtimpuls konstant: 

dp 

F 0 dt 

p const. 

Der Impuls vor dem Ereignis ist gleich gross wie der Impuls nach dem Ereignis: 

p p 

vor nach 

m v m v ... m v m u m u ... m u 

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 

n n 





4.8.3 Drehimpuls 

LL: , Drehimpuls kg m 2 s -1 

pp: , Impuls des Massenpunkts N s 


vv: , Geschwindigkeit m s -1 



m : Masse kg 

L p r 

L m r 

2 

 

L m r v 

L J 

L r p 

L m r 

2 

 

L m r v 

L J 

 

 



4.8.4 Drehimpulserhaltung 

L : Drehimpuls kg m 2 s -1 

L vor : Gesamtdrehimpuls vor dem Ereignis kg m 2 s -1 

L nach : Gesamtdrehimpuls nach dem Ereignis kg m 2 s -1 

i : einzelne Winkelgeschwindigkeit vor dem Ereignis rad s -1 

: einzelne Winkelgeschwindigkeit nach dem Ereignis rad s -1 

' i 



i 

Drehimpulse 


Andere 

Wirkt in einem mechanischen System kein resultierendes Drehmoment so ist der Gesamtdrehimpuls 

konstant: 

dL 

M 0 dt 

L const. 

Der Drehimpuls vor dem Ereignis ist gleich gross wie der Drehimpuls nach dem Ereignis: 

L L 

vor nach 

m m ... m m ' m ' ... m 

' 

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 

n n 

4.8.5 Beziehung zwischen Impuls, Drehimpuls und Energie 


E Rot Rotationsenergie J 



m : Masse kg 

L : Drehimpuls kg m 2 s -1 



2 

1 1 p 

Ekin vdppdp m 

2 m 

2 

1 1 L 

ERot dLLdL J 

2 J 

Energie 

Impuls 

Drehimpuls 


Grundgleichungen 


nach dem Stoss 

Stoss gegen Wand 

Energie- und 

Impulsbilanz 


4.9 Stösse 

4.9.1 elastischer Stoss 

v 1 : Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoss m s -1 

v 2 : Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoss m s -1 

v '1 

: Geschwindigkeit des ersten Körpers nach dem Stoss m s -1 

v '2 

: Geschwindigkeit des zweiten Körpers nach dem Stoss m s -1 

m : Masse des ersten Körpers kg 

1 

m : Masse des zweiten Körpers kg 

2 


Massen 

E tot : 

u : 

gesamte kinetische Energie 

innere Energie vor und nach dem Stoss 

J 

J 

Energien 

p : gesamter Impuls N s Andere 

tot 

m v m v m v ' m v 

' 

1 1 2 2 1 1 2 2 

v v' v v' 

1 1 2 2 

Situation 

beliebige Massen 

gleiche Massen 

Geschwindigkeit des ersten 

Körpers nach dem Stoss 

v' 

 

1 

 

m m v 2 

m v 

1 2 1 2 2 

m m 

1 2 

1 2 

v'1 v2 

v'2 v1 

m m m 

doppelte Massen 

Geschwindigkeit des zweiten 

Körpers nach dem Stoss 

 

2 1 2 1 1 


v' 

2 

 

m m v 2 

m v 

m m 

1 2 2 

v'1 v2 v1 

v'2 v1 v2 

m m m m 

dreifache Masse 

4 1 

3 3 

v' 3 

2 

v 

1 

2 

v 

2 1 

3 3 

1 1 

v' v v 

2 2 

1 2 3 

1 2 1 

2 1 2 

m m m m 

m m 

v' lim v v 

 

1 2 

1 1 1 

m2 

m1m2 2 

m 1 

v'2 lim v1 

0 

m2 

 

m2 m1 

Zeitpunkt gesamte kinetische Energie gesamter Impuls 

vor dem Stoss Etot 1 

2 

m1 2 

v1 1 

2 

m2 2 

v2 u tot 


p m v m v 

1 1 2 2 

1 1 

E m v m v u 

2 2 

p m v ' m v' 

2 2 

tot 1 '12'2 tot 1 1 2 2 

2 1


Energien 

Verformungsarbeit 

Energie- und 

Impulsbilanz 


4.9.2 unelastischer Stoss 

v : gemeinsame Geschwindigkeit nach dem Stoss m s -1 




1 


2 

E : gesamte kinetische Energie J 

tot 

E : Bewegungsenergien beider Körper vor dem Stoss J 

vor 


Massen 

E nach : 

E kin1 

: 

u : 

Bewegungsenergien beider Körper nach dem Stoss 

kinetische Energie des ersten Körpers vor dem Stoss 

innere Energie vor dem Stoss 

J 

J 

J 

Energie und Arbeit 

u ' : innere Energie nach dem Stoss J 

W : Verformungsarbeit J 

p : gesamter Impuls N s Andere 

tot 

m v m v 

v 

m m 

E 

E 

vor 

nach 

1 1 2 2 

1 2 

m vmv 

2 2 

2 

m1m2v 

2 

2 2 

1 1 2 2 

Situation Verformungsarbeit 

beliebige Werte 

gleiche Massen 

m mm v 

2 

1 2 

0 

m m 

1 2 

W Evor Enach v 1v22 2m1m2 

1 

W E 

2 

kin1 

Zeitpunkt gesamte kinetische Energie gesamter Impuls 

vor dem Stoss 

E 

1 

2 

m v 

1 

2 

m v u 

Etot 1 

2 

m1 m2 v u ' 

p m v m v 

2 2 

tot 1 1 2 2 tot 1 1 2 2 

nach dem Stoss 2 

p m m v 

 

1 2 


tot



Verformungsarbeit 

elastischer Stoss 

unelastischer Stoss 

teilelastischer Stoss 


4.9.3 teilelastischer Stoss 



v '1 


v '2 



1 


2 

E : Bewegungsenergien beider Körper vor dem Stoss J 

vor 

E : Bewegungsenergien beider Körper nach dem Stoss J 

nach 


Massen 

W : Verformungsarbeit J 

k : Stosszahl, Stossparameter Andere 

v' 

2 

 

m v m v k m v v 

v'1 

 

m m 

1 1 2 2 2 1 2 

1 2 

 

m v m v k m v v 

 

m m 

1 1 2 2 1 1 2 

1 2 

m m 

W Evor Enach 1kvv1k 2 

 

4.9.4 Stosszahl 

m m 

2 

1 2 

 

2 1 2 

2 

1 2 

k : Stosszahl, Stossparameter Andere 

h 1 : 

h : 

Fallhöhe 

Steighöhe 

m 

m 

Höhen 

2 



v '1 


v '2 


k 1 

k 0 

0k1 v'2v'1 k 

v v 

k 

2 1 

h 

h 

2 

1 

Energie und Arbeit 




vektoriell 


4.9.5 Kraftstoss 

p, p : Kraftstoss N s Andere 

Ft : Kraftfunktion N 

F : zeitlicher Mittelwert der Kraft N Kräfte 

F : Kraftvektor N 

t : Länge des Zeitintervalls s 

t : Startzeit s 

0 

t : Endzeit s 

1 

t1 

 

t0 

 

p F t dt 

t1 t1 

1 1 

F F t dt F t dt 

t t t 

p F t 

t1 

 

p F dt 

t0 

t0 1 0 t0 

Zeiten 


Formelzeichen 

starrer Körper 

Satz von Steiner 

Massenpunkt 

Hantel 


4.10 Trägheitsmoment 

4.10.1 Berechnung 

J M : Trägheitsmoment um die Drehachse kg m 2 

J S : Trägheitsmoment um die Schwerpunktachse kg m 2 

m : Gesamtmasse des Körpers kg 

m : Masse eines einzelnen Körpers kg 

i 

r i : Radius einer einzelnen Kreisbahn m 

l : Abstand zu parallelen Drehachse m 

IJ , , 

n 

S i1 

i 

2 

i 

J m r 

m 

2 

J S r dm 

0 

J J m l 

M S 

2 

4.10.2 spezielle Trägheitsmomente 


Massen 

Abmessungen 

J : Trägheitsmoment die Schwerpunktsachse kg m 2 

J x : Trägheitsmoment bei Rotation um die x-Schwerpunktachse kg m 2 

J y : Trägheitsmoment bei Rotation um die y-Schwerpunktachse kg m 2 

J z : Trägheitsmoment bei Rotation um die z-Schwerpunktachse kg m 2 

r : Radius des Körpers m 

r : Innenradius des Körpers m 

i 

r a : Aussenradius des Körpers m 

h : Höhe des Körpers m 

abc: , , Seitenlängen des Körpers m 

J 2 

m r 

2 

2 

J m r 

J 4 

m r 

2 


Abmessungen 


Kreisring, dünn 

Kreisscheibe, dünn 

Kugeln 

Vollzylinder 

Hohlzylinder 

Stab, lang, dünn 

Quader 

Kegel 


J r 

x 

2 

m 

Jy r 

2 

m 

Jx r 

2 

m 

Jy r 

4 

2 

2 

2 

Vollkugel Hohlkugel 

2 

J m r 

5 

m 2 

Jx r 

2 

m 

J y 

12 

r h 

Hohlzylinder 

Hohlkugel, dünnwandig 

r r 


2 

2 2 3 

m 

J r r 

2 

2 2 

x i a 

2 

m 2 2 h 

y i a 

J rr 4 3 

m 

J l 

12 

m 

J x b 

12 

c 

m 

J y 

12 

a b 

m 

J z 

12 

a c 

2 

2 2 

2 2 

2 2 

3 

J x m r 

10 

2 

2 r r 

J m 5 r r 

2 2 h 

3 

J y m r 20 4 

5 5 

a i 

3 3 

a i 

i a 

2 

J m r 

3 

Hohlzylinder, dünnwandig 

r r 

i a 

J mr x 

2 

2 2 

m h 

Jy2r 

4 3 

2

Ableitung 




4.11 Drehmoment 



FF , : Kraft N 

rr: , Kraftarm m 


: , Winkelbeschleunigung rad s -2 


m : Masse kg 

t : Zeit s 

dL 

M 

dt 

M rF M J 

M m r 

2 

 

 

M m r a 

M rF M J 


Schwerpunkt 




4.12 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt 

4.12.1 Massen der Körper bekannt 

r S : Ortsvektor zum Schwerpunkt m 

r : Ortsvektor einer einzelnen Masse m 

Position 

i 


v i : Geschwindigkeit einer einzelnen Masse m s 


-1 

a S : Beschleunigung des Schwerpunkts m s -2 a i : Beschleunigung einer einzelnen Masse m s 


-2 


i 


ges 

N : Anzahl Massen 

N 

m r m r ... m r 1 

r m r 

 

1 1 2 2 

N N 

S 

mgesmgesn1 n n 

N 

m v m v ... m v 

1 

v m v 

 

1 1 2 2 

N N 

S 


N 

m a m a ... m a 1 

a m a 

 

1 1 2 2 

N N 

S 


Massen 


homogene 

Massenverteilung 

inhomogene 

Massenverteilung 


4.12.2 Körper durch Funktion beschrieben 

4.12.2.1 2-dimensional 

x S : x-Koordinate des Schwerpunkts 

y : y-Koordinate des Schwerpunkts 

S 

Koordinaten 

r S : Ortsvektor zum Schwerpunkt 

A : Oberfläche des Körpers Andere 

1 1 

xS x dA yS y dA 

A 

A 

1 

rS r dA 

A 

A 

A A 

4.12.2.2 3-dimensional 

x S : x-Koordinate des Schwerpunkts 

y : y-Koordinate des Schwerpunkts 

S 

z : z-Koordinate des Schwerpunkts 

S 

r S : Ortsvektor zum Schwerpunkt 

V : Volumen des Körpers 

M : Masse des Körpers 

: Dichte 

Koordinaten 

Andere 

1 1 1 

xS x dV yS y dV zS z dV 

V 

V V 

1 

rS r dV 

V 

V 

V V V 

1 1 1 

xS x dm yS y dm zS z dm 

M 

M M 

1 

rS r dm 

M 

V 

V V V 

dm 

dm 

dV 

dV 



4.12.3 externe und interne Kräfte 

e 

F i : externe Kräfte der einzelnen Körper 

F : interne Kräfte der einzelnen Körper 

i 

n, j 

Kräfte 

F ext : externe Gesamtkraft 

a S : 

M : 

Beschleunigung des Schwerpunkts 

Gesamtmasse 

Andere 

N 1 N 

e i 

aS Fn Fn 

, j 

M n1 j1, n1 

 

Die internen Kräfte heben sich immer auf: 

N 1 e Fext 

aS Fn 

 

M M 

n1 

4.13 Raketengleichung 

vt : Raketengeschwindigkeit zur Zeit t m s -1 

v g : Ausströmgeschwindigkeit des Antriebstrahls m s -1 

v 0 : Anfangsgeschwindigkeit der Rakete m s -1 

m 0 : Startmasse der Rakete kg 

mt : Masse der Rakete zur Zeit t kg 

0 

m vt vg ln v 

mt 

 

0 


Massen 


Bremsbeschleunigung 

Bremszeit 

Bremsweg 

Bremsleistung 


4.14 Bewegungen im Raum 

4.14.1 stehender Körper auf horizontaler Ebene 


F : Normalkraft (senkrecht zur Ebene) N 

N 

F R : Reibungskraft (immer entgegengesetzt zu F) N 

m : Masse der Körpers kg 



F mg G 

F mg N 

F F 

R N 

4.14.2 gleitender Körper auf horizontaler Ebene 

F R : Reibungskraft N 


R 



a : Bremsbeschleunigung m s -2 


P max : maximale Bremsleistung W 

Pt : Bremsleistung W 


t : Bremszeit s 

s : Bremsweg m 

F mg R 

m m 

R R 

a g 

v0 

t 

g 

R 

2 

v0 

s 

2gR P F v m g v 

max R 0 R 0 

 

P t F v t m g v a t 

R R 

0 

Reibung 



Leistungen 

Andere 

Kräfte 

Andere 


Steigung und 

Anstieg 

Kräfte 

Ruhezustand 

Aufwärtsbewegung 

Abwärtsbewegung 



4.14.3 Körper auf schiefer Ebene 


F : Normalkraft (senkrecht zur Ebene) N 

GN 

F Hangabtriebkraft N 

GH 

F R : Reibungskraft (immer entgegengesetzt zu F) N 

F : resultierende Kraft N 

h : Höhe die durch die Ebene überwunden wird m 

b : Strecke die durch die Ebene überwunden wird m 

l : Länge der Ebene m 



m : Masse der Körpers kg 

: Neigungswinkel der schiefen Ebene ° 


h 

 

b 

h 

 

l 

Steigung: tan 

 

Ansteig: sin 

 

F mg G 

b 

FGN FG cos 

FG 

l 

h 

FGH FG sin FG 

l 

F F 

R GN 

FR FGH 

sin cos 

 

F F F F 

G GH R 

sin cos 

 

F F F F 

G GH R 

sin cos 

 

ag 

F 

a 

m 

Kräfte 

Abmessungen 


Andere 


F = Fmax (m2 rutscht 

gerade nicht) 

F < Fmax (m2 rutscht 

nicht) 

F > Fmax (m2 rutscht) 


4.14.4 Körper auf bewegendem Körper 

a 1 : Beschleunigung des unteren Körpers m s -2 

a 2 : Beschleunigung des oberem Körpers m s -2 

a max : Beschleunigung damit m2 gerade nicht rutscht m s -2 


m 1 : Masse des unteren Körpers kg 

m : Masse des oberen Körpers kg 

2 


ges 


F max : Zugkraft damit m2 gerade nicht rutscht N 


H 

F : Gleitreibungskraft N 

G 


H 


G 

a aa max 1 2 

F 

H amaxHg m2 

 

F m a m m a 

max ges max 1 2 max 

F F 

a1 a2 

mges m1m2 F m g 

G G 

F ma G 

2 

G 

m 2 

m 1 

2 2 

a g F FG 

a1 

 

m 

1 

2 

F 


Massen 

Kräfte 

Reibungskoeffizienten 



Seilkraft 


Seilkraft 

Rollenlagerkraft 


4.14.5 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper I 

F G : Gewichtskraft des Gewichtes N 

F : Beschleunigungskraft des Wagens N 

W 

F : Seilkraft N 

S 



m G : Masse des Gewichtes kg 

m : Masse des Wagens kg 

W 


ges 

F m g 

G G 

a 

mges mW mG 

F F m a 

S W W 

S G 

 

F m g a 

Kräfte 


Massen 

4.14.6 über Umlenkrolle zusammenhängende Körper II 

F G1 

: Gewichtskraft des ersten Gewichtes N 

F G2 

: Gewichtskraft des zweiten Gewichtes N 


S 

F : Rollenlagerkraft N 

R 



m 1 : Masse des ersten Gewichtes kg 

m : Masse des zweiten Gewichtes kg 

2 


ges 

F FFF a 

m m m 

S 

S 

G1 G2 G1 G2 

1 

2 

ges 

 

 

F m g a 

F m g a 

F 2 F 

R S 

1 2 

Kräfte 


Massen 


allgemeines 

Vorgehen 

Kräfte 


Gleichungen und 



4.14.7 über Flaschenzüge zusammenhängende Körper 

Kräftegleichungen aufstellen 

Zusammenhänge der Beschleunigungen notieren 

Gleichungen erstellen und anschliessend umformen 

F G1 

: Gewichtskraft N 

a 1 : Beschleunigung m s -2 

m : Masse kg 

1 

F : Gewichtskraft N 

G2 

a 2 : Beschleunigung m s -2 

m : Masse kg 

2 


S 


System 1: System 2: 

F FF F F 2 

F 

G1 a1 S 

 

m g a F 

1 1 


a 2 a 

1 2 

S 

a a 

2 

1 

2 1 

G2 a2 S 

 

m g a 2 

F 

2 2 

S 

System 1, Umlenkrolle 

System 2, Flaschenzug 

Andere 


1 m2 g a 2 1 2 

m1 g a1 

 

g 2 

m1m2 a1 

 

1 2 

m12m2 m 

m1g2a2 g 2 

m1m2 a2 

 

4m 

m 

g a 

2 

1 2 

 

2 2 


Energien 

Höhen 


Winkel 


4.14.8 Pendel 

E pot : potentielle Energie J 



v h : horizontale Geschwindigkeit m s -1 

l : Seillänge m 

h : Höhe m 

h max : maximale Höhe m 

: Winkel ° 

max : maximaler Winkel ° 

m : Masse kg 


E E 

pot kin 

E m g h 

pot 

1 

E m v 

2 

2 

kin h 

hl h 

max 

1 cos 

 

2 

vh 

 

2 

g 

2 2 

h h 

 

v v 2 g h v 2 g l 1 cos 

2 2 

v v h 

arccos1 

2 gl 

 

E pot 

max 

l 

E kin 

 

2 v h 

arccos1 

2 gl v h 

h 

Energien 


Abmessungen 

Winkel 

Andere 



Energie am 

Startpunkt 

Energie am 

Endpunkt 


4.14.9 rollendes rundes Objekt auf schiefer Ebene 


E : potentielle Energie J 

pot 



Rot 

E : ... Energie am Startpunkt J 

...,i 

E ...,x : ... Energie an beliebigem Punkt J 

E ..., f : ... Energie am Endpunkt J 

h : Höhe des Startpunktes m 

y : Höhe bei beliebigem Punkt m 

R : Radius der Rolle m 

vv , f : Geschwindigkeit, Endgeschwindigkeit m s -1 

, f : Winkelgeschwindigkeit, Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1 

aa: , Beschleunigung m s -2 

, 

gg : Gravitationskonstante 9.81 m s -2 

fH, f H : Haftreibungskraft N 

f : Reibungskraft N 

R 

f N : Normalkraft N 

m : Masse kg 


: 

2 

Trägheitsfaktor J m R 

: Neigungswinkel der schiefen Ebene ° 



E E E E 

tot pot, i kin, f Rot, f 

1 2 1 2 

Etot m g h m v f J 

f 

2 2 

2 

Etot m g h v f m 2 

2 R 

E m g h 

E 

E 

E 

pot, i 

kin, i 

Rot, i 

pot, f 

0 

0 

0 

1 

J 

 

 

1 2 

Ekin, f Epot , i ERot, f m g h J 

f 

2 

1 2 

ERot, f Epot , i Ekin, f m g h m v f 

2 

v f 

f 

R 

Energien 

Abmessungen 



Kräfte 

Objekt 

Andere 


Energie an 

beliebigem Punkt x 

Endgeschwindigkeit 


Haftreibungskraft 

Drehmoment 

Rollen ohne Gleiten 

Trägheitsfaktoren 


E E E E E 

tot pot, i pot, x kin, x Rot, x 

1 2 1 2 

Etot m g h m g y m v J 

2 2 

v 

f 

2gh2gh 

J 

1 

1 

 

2 

mR gsin gsin 

a 

J 

1 

1 

 

2 

mR 

f m g sin m a 

f 

H 

H 

J Ja 2 

R R 

M fR R 

Kein Gleiten solange: 

f f 

H R 

 

cos 

 

f m g sin m a 

H 

f m g N 

Objekt Trägheitsfaktor 

Massenpunkt 0 

Kreisring, dünn 1 

Kreisscheibe, dünn 

Vollkugel 

Hohlkugel, dünnwandig 

Vollzylinder 

Hohlzylinder, dünnwandig 1 

1 

2 

2 

5 

2 

3 

1 

2 



Translation und 

Rotation 


Impuls und 

Drehimpuls 


4.14.10 gleitfreies Rollen von rundem Objekt (z. B. Billardkugel) 

F : Kraft N 




R : Radius den runden Objekts m 

x : horizontale Distanz zum Schwerpunkt m 



a S : Beschleunigung des Schwerpunkts m s -2 



m : Masse kg 

Rollbedingung: 

a R 

S 

Gleichungen: 

F m a m R 

M F x J 

JJ x 

F m R 

S 

Rollbedingung: 

v R 

S 

Gleichungen: 

p m v m R 

L p x J 

J 

J 

x 

p m R 

Translation und Rotation 

Impulse 

Abmessungen 



Andere 


Drehmoment 

Bremsbeschleunigung 


Rollgeschwindigkeit 


4.14.11 gleitendes rundes Objekt auf horizontaler Ebene (z. B. Bowlingkugel) 


fG, f G : Gleitreibungskraft N 

t : Zeit bis Objekt nur noch rollt s 


G 

v 0 : Geschwindigkeit bei der Objekt nur gleitet m s -1 

v 1 : Geschwindigkeit bei der Objekt nur noch rollt m s -1 

0 : Winkelgeschwindigkeit bei der Objekt nur gleitet 0 rad s -1 

1 : Winkelgeschwindigkeit bei der Objekt nur noch rollt rad s -1 

a : Bremsbeschleunigung während Gleiten m s -2 

: Winkelbeschleunigung während Gleiten rad s -2 

, 

rr: Radius m 

m : Masse kg 


: Trägheitsfaktor 

M r f 

G 

J m r 

10 v1 

M r fG J J J 

t 

 

r t 

v1v0 v1 

M r m a r m J 

t 

 

r t 

f mg G 

m m 

G G 

a g 

M r m g g 

 

J mrr v0 v0 

v1 

 

J 

1 

1 

 

2 

mr G G 

2 

2 

Andere 



Objekt 


Kräfte 

Schwerelosbedingung 

Energien 

benötige Starthöhe 


4.14.12 gleitende Kugel in Looping 

F Zf : Zentrifugalkraft N 

F G : Gewichtskraft N 


N 

E : Gesamtenergie J 

tot 

E : kinetische Energie J 

kin 


...,i 

E ..., f : ... Energie am höchsten Punkt des Loopings J 

m : Masse kg 

v : Geschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings m s -1 

h : Starthöhe m 

R : Radius des Loopings m 


mv FZf 

 

R 

F mg G 

h 

i 

2 

F F F 

N G Zf 

F 0 F F 

N G Zf 

tot pot, i 

2 

v 

g 

R 

E E m g h 

1 

Etot Epot, f Ekin, f m g 2 

R m v 

2 

E EE pot, i pot, f kin, f 

1 

m g h m g 2 

R m v 

2 

2 

v 2gh4gR g R 2gh4g R 

h2.5 R 

2 

F Zf 

F G 

f 

R 

2 

Kräfte 

Energien 

Kugel 

Andere 


Kräfte 

Schwerelosbedingung 

Energien 

benötigte Starthöhe 


4.14.13 rollende Kugel in Looping 

F Zf : Zentrifugalkraft N 

F G : Gewichtskraft N 


N 


tot 

E : potentielle Energie am Startpunkt J 

pot, i 

E pot, f : potentielle Energie am höchsten Punkt des Loopings J 

E kin, f : kinetische Energie höchsten Punkt des Loopings J 

E Rot, f : Rotationsenergie höchsten Punkt des Loopings J 

m : Masse kg 

r : Radius m 


v : Geschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings m s -1 

: Winkelgeschwindigkeit am höchsten Punkt des Loopings rad s -1 

h : Starthöhe m 

R : Radius des Loopings m 


2 

mv FZf 

 

Rr F mg G 

h 

i 

F F F 

N G Zf 

F 0 F F 

N G Zf 

tot pot, i 

2 

v 

g 

Rr E E m g h 

pot, i pot, f kin, f Rot, f 

2 

Kräfte 

Energien 

Kugel 

Andere 

1 

Etot Epot, f Ekin, f ERot, f m g 2Rrmv 2 

1 7 

J m g 2Rrmv 2 10 

E E E E 

7 

m g h m g 2R 

r m v 

10 

2 10 g r h 2R 

v 

7 

 

10 g r h 2 

R 

g R r 

 

7 

h 2.7 R 1.7 r 

F Zf 

F G 

f 

R 

2 2 2 


Situationen 

Vorzeichenwechsel 

des Drehmoments 



4.14.14 Garnrolle 


F : Beschleunigungskraft N 

a 

F : horizontal wirkende Kraft am Auflagepunkt N 

H 


HR 


N 

x S : Beschleunigung des Schwerpunkts m s -2 

: Winkelbeschleunigung des Schwerpunkts rad s -2 


m : Masse m 


r : Innenradius m 

R : Aussenradius m 

: Winkel zwischen Zugkraft und Horizontalen ° 



H 

Kräfte 


Garnrolle 

Andere 

heranrollen wegrollen heranrutschen 

r 

arccos 

 

R horizontal wirkende Kraft am Auflagepunkt: 

F F cos F F cos m x 

 

H a S 

Drehmoment: 

M J FH R F r 

xS 

xS 

M J FH R F r mit 

R 

R 


minimaler μH für 

reines Rollen 


Drehmomentgleichung nach F H auflösen und mit Kraftgleichung gleichsetzen: 

Jx Fr F F cos m x 

R R 

S 

H 2 

S 

Beschleunigung: 

r r 

F cos 0,wenn arccos 

 

R R 

xS 

 

 

J 

 

m 

r 

2 0,wenn arccos R 

 

R Rollbedingung 

H HR H N H 

sin 

 

F F F m g F 

J xS Fr 2 

H 

R R 

m g F sin 

 

Einsetzen von S x und auflösen nach H : 

 

H 

 

cos 

 

sin 

F r R m J 

2 m R J m g F 


Kräfte 

Abhebekriterium 

Energien 

Abhebewinkel 


4.14.15 Punktmasse auf Kugel 

h 

F Zf : Zentrifugalkraft (zeigt vom Zentrum weg) N 

F Gz : Gewichtskraft zum Zentrum N 


N 


tot 

E : kinetische Energie J 

kin 


...,i 

E ..., f : ... Energie am Abhebepunkt J 

m : Masse kg 

: Winkel beim Abheben ° 

v : Geschwindigkeit beim Abheben m s -1 

h : Höhe beim Abheben m 

R : Radius der Kugel m 


2 

mv FZf 

 

R 

F m g cos 

Gz 

R 

F FF N Gz Zf 

 

F 0 F F 

N Gz Zf 

tot pot, i 

pot, i pot, f kin, f 

2 

v 

g cos R 

E E m g 2 

R 

2 

v g R g R 

 

Kräfte 

Energien 

Punktmasse 

Andere 

1 

Etot Epot, f Ekin, f m g h m v 

2 

1 

m g R R cos 

 

m v 

2 

E EE 1 

m g 2 R m g R R cos 

 

m v 

2 

2 2 cos 

g R cos 2 g R 2 g R 

cos 

2 

cos 48.19 

3 

i 

 

f 

F Gz 

F Zf 

2 2 

2 


vektorielle 

Gleichungen 

Drehmomentgleichung 

Kräftegleichung 


Extremfälle 


4.14.16 beschleunigte Drehung eines Rades 




: , Winkelbeschleunigung rad s -2 

FF , : Zugkraft N 

m : Masse des Klotzes kg 

aa: , Beschleunigung des Klotzes m s -2 

gg , : Gravitationskonstante 9.81 m s -2 

M r F J 

m g F m a 

a 

M r F J J 

r 

m g F m a 

J 

m g a m a 

2 

r 

g 

a 

J 

1 

mr g 

r 

J 

1 

mr 2 

2 

Situation Beschleunigung 

m a g 

m 0 a 0 

J 

J 

 

0 

a 0 

a g 

a 

 

r 

a 

 

r 


Rad 

Klotz


Fadenkraft 

Drehmoment 




4.14.17 Jojo aus einer Scheibe 



pot, i 

E kin, f : kinetische Energie am Endpunkt J 

E Rot, f : Rotationsenergie am Endpunkt J 

v f : Endgeschwindigkeit m s -1 

f : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1 




m : Masse kg 

R : Radius m 



J m R 

FF , : Fadenkraft N 

M : Drehmoment N 

h : zurückgelegte Höhe m 

E E E E 


1 2 1 2 


f 

2 2 

2 


2 R 

 

F m g a 

a 

F J 

R 

2 

1 

a 

M R F J J 

R 

v 

f 

R 

M 

g 

J 

 

 

2gh2gh 

J 

1 

1 

 

2 

mR g g 

a 

J 

1 

1 

 

2 

mR F 

2 

v f 

f 

R 

Energien 




Jojo 

Andere


Fadenkraft 

Drehmoment 




4.14.18 Jojo aus masselosem Stab und zwei Scheiben 



pot, i 

E kin, f : kinetische Energie am Endpunkt J 

E Rot, f : Rotationsenergie am Endpunkt J 

v f : Endgeschwindigkeit m s -1 

f : Endwinkelgeschwindigkeit rad s -1 




m : Masse kg 

r : innerer Radius m 

R : äusserer Radius m 



J m R 

FF , : Fadenkraft N 

M : Drehmoment N 

h : zurückgelegte Höhe m 

E E E E 


1 2 1 2 


f 

2 2 

2 


2 r 

 

F m g a 

a 

F J 2 

r 

1 

a 

M r F J J 

r 

v 

f 

R 

J 

 

 

2gh2gh 

J 

1 R 

1 

mr r 

2 2 

g g 

a 

J 

1 R 

1 

mr r 

r 

m g 

F 

2 2 

2 

2 

2 

v f 

f 

r 

Energien 




Jojo 

Andere

FH Formelsammlung - Schwingungen Editiert: 21.02.2011 


Spannen und 

loslassen 

Auslenkung aus der 

Ruhelage 


5 Schwingungen 

5.1 ungedämpfte Schwingung 

5.1.1 Federschwinger, Federpendel 

5.1.1.1 Schwingungsgleichung 

Aufbau Ruhelage 

Weg, Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung 

Weg, Auslenkung Geschwindigkeit Beschleunigung 

0 : Kreisfrequenz rad s -1 

: Phasenverschiebung rad 

0 

T 0 : Periodendauer s 

A : Auslenkungsamplitude m 

v 0 : 

Anfangsgeschwindigkeit 

beim Durchgang durch die Ruhelage 

xt : Weg, Auslenkung m 

 

m s-1 



t : Zeit s 

x : maximale Auslenkung m 

max 

v max : maximale Geschwindigkeit m s -1 

a max : maximale Beschleunigung m s -2 

F : Gewichtskraft der Masse N 

G 

m : Masse kg 

c : Federkonstante N m -1 


Eigenschwingung 

Schwingung 

Maximalgrössen 

Andere 


Kreisfrequenz 

Periodendauer 

Auslenkungsamplitude 

Bewegungsgleichung 

Amplituden 

bei maximaler 

Auslenkung 

bei Nulldurchgang 

bei beliebiger 

Position 


 

0 

0 

c 

m 

T 2 

 

A x 

A 

m 

c 

F mg c c 

G max 

mv c 

2 

0 

beim Anstossen aus der Ruhelage 

m at c xt 0 

cos00 

0sin00 

2 

cos 

 

x t A t 

v t A t 

a t A t 

0 0 0 

Spannen und loslassen Auslenkung aus der Ruhelage 

cos 0 

0sin0 

2 

cos 

 

x t A t 

v t A t 

a t A t 

x A 

max 

v A 

max 0 

a A 

2 

max 0 

5.1.1.2 Energie 

0 0 

sin0 

0cos0 

2 

sin 

x t A t 


, 

pot pot 

 

 

E E t : potentielle Energie J 

E , E t : kinetische Energie J 

v t A t 

a t A t 

0 0 

Energien 

kin kin 

0 : Kreisfrequenz rad s -1 Eigenschwingung 

0 : Phasenverschiebung rad 

A : Auslenkungsamplitude m 


 


m : Masse kg 


1 

Etot Epot c A 

2 

2 

1 1 c 1 

Etot Ekin m A m A c A 

2 2 m 2 

2 2 

0 

2 2 

Epot t 

1 

2 

c x t 

1 

2 

c A t 

Ekin t 

1 

2 

m v t 

1 

2 

m A t 

2 2 2 

cos 

0 0 

Schwingung 

Andere 

2 2 2 2 

sin 

0 0 0 


Spannen und 

loslassen 

Auslenkung aus der 

Ruhelage 

Kreisfrequenz 

Periodendauer 


5.1.2 Drehschwinger, Drehpendel, Torsionspendel 

5.1.2.1 Schwingungsgleichung 

Winkel, Drehung Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung 

Winkel, Drehung Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung 



0 


A : Drehamplitude rad 

0 : 

Anfangswinkelgeschwindigkeit 

beim Durchgang durch die Ruhelage 

rad s -1 

: Winkel, Drehung rad 

t 

t : Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

t 


t : Zeit s 

: maximale Drehung rad 

max 

max : maximale Winkelgeschwindigkeit rad s -1 

max : maximale Winkelbeschleunigung rad s -2 



c r : Drehfederkonstante N m rad -1 

 

0 

0 

cr 

J 

T 2 

 

J 

c 

r 


Schwingung 

Maximalgrössen 

Andere 


Drehamplitude 


Amplituden 

bei maximaler 

Auslenkung 

bei Nulldurchgang 

bei beliebiger 

Position 


M 

A max c 

A 

2 

J 0 

c 

r 

r 

z. B. beim Anstossen aus der Ruhelage 

0 

J t c t 

r 

t A cos 

0t0 t A 0 sin 0 t 0 

 

t A 

2 

cos 

t 

 

 

 

 

0 0 0 

Spannen und loslassen Auslenkung aus der Ruhelage 

t A cos 

0 t 

 

t A 0sin 0t 

t A 

2 

cos 

t 

 

 

 

 

max 

A 

A 

max 0 

A 

2 

max 0 

5.1.2.2 Energie 

tot 

0 0 

t A sin 

0 t 

 

t A 0cos0t t A 

2 

sin t 

 

 

 

 


, 

pot pot 

 

 

E E t : 

potentielle Federenergie, 

Spannungsenergie 

J 

0 0 

ERot , ERot t : Rotationsenergie J 


0 : Phasenverschiebung rad 

A : Drehamplitude rad 

t : Winkel, Drehung rad 

 

t : Winkelgeschwindigkeit rad s -1 



1 

Etot Epot cr A 

2 

2 

1 1 c 1 

E E J A J A c A 

2 2 J 2 

2 2 2 r 

2 

tot Rot 0 

r 

Epot t 

1 

2 

cr t 

1 

2 

cr A t 

ERot t 

1 

2 

J t 

1 

2 

J A t 

2 2 2 

cos 

0 0 

2 2 2 2 

sin 

0 0 0 

Energien 


Schwingung 

Andere 


Drehfederkonstante 

Trägheitsmoment 


5.1.2.3 Drehschwinger eines Feder-Masse-Systems 

c r : Drehfederkonstante N m rad -1 c : Federkonstante N m 

Federkonstanten 

-1 

J ges : Gesamtträgheitsmoment kg m 2 

J st : Trägheitsmoment des Stabes kg m 2 

J k : Trägheitsmoment der Kugel kg m 2 

m st : 

m k : 

Masse des Stabes 

Masse der Kugel 

kg 

kg 

Massen 

L : Länge des Stabes m Andere 

c c L 

2 

r 2 

für kleine Auslenkungen 

1 

J st mst L 

3 

J m 2 

L 

k k 

2 

1 J ges Jst Jk mst mk L 

3 2 


5.1.3 Stabsschwinger eines Stab-Masse-Systems 

c 

cc , S : Federkonstante des Stabschwingers N m -1 

E : Elastizitätsmodul N m -2 

A : Querschnitt m 2 

l : Länge m 

S 

EA 

l 


Federn 

Stäbe 


5.1.4 Biegeschwinger eines Balken-Masse-Systems 

c 

cc , B : Federkonstante des Biegeschwingers N m -1 


J : axiales Flächenträgheitsmoment m 4 

l : Länge m 

B 

3EJ 

3 

l 

5.1.5 Systeme mit mehreren Federn 

5.1.5.1 Parallelschaltung 

c : gesamte Federkonstante N m -1 c i : einzelne Federkonstante N m 


-1 


J : axiales Flächenträgheitsmoment m 

Stäbe 

4 

ab: , Längen m 


c c1 c2 

3 

E J E A 

c c c 

B S 

3 

a b 


Federn 

Stäbe 


5.1.5.2 Reihenschaltung 

c : gesamte Federkonstante N m -1 c i : einzelne Federkonstante N m 


-1 


J : axiales Flächenträgheitsmoment m 

Stäbe 

4 

ab: , Längen m 


c1c2 c 

c c 

1 2 

cB cS 3 

E J A 

c 

c c 3 

J b A a 

B S 

3 



Kreisfrequenz 


5.1.5.3 kombinierte Parallel- und Reihenschaltung 

(Aufbaumasse m gleichmässig auf beide Achsen verteilt.) 

c ges : gesamte Federkonstante N m -1 

c F : gesamte Federkonstante des Fahrzeugaufbaus N m -1 

c R : gesamte Federkonstante der Reifen N m -1 

c , c : Federkonstanten des Fahrzeugaufbaus N m -1 

F1 F2 

c , c : Federkonstanten der Reifen N m -1 

R1 R2 

0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1 Andere 

c 

m : Aufbaumasse kg 

c c 

cF cF cR cR 

 

F R 

1 2 1 2 

ges 

cF cR cF c 

1 F c 

2 R c 

1 R2 

0 

 

c 

m 

2 

 

2 

c 

m 

ges ges 




Kreisfrequenz 

Periodendauer 


5.1.6 mathematisches Pendel, Fadenpendel 


T : Periodendauer s 

0 

F : Zentripetalkraft N 

Zp 

F n : Normalkraft N 

l : Länge des Fadens m 

t : Winkel rad 

t 



F F 

Zp n 

sin 

 

m l t m g t 

 

l t g sin t 0 

0 

l t g t für kleine Auslenkungen 

0 

g 

l 


l 

T0 

2 


g 


Kräfte 

Andere 



Kreisfrequenz 

Periodendauer 

Bezug zum mathematischen 

Pendel 


5.1.7 physikalisches Pendel, Körperpendel 



m : Masse des Pendels kg 


l : Abstand zum Schwerpunkt m 

l r : Länge des äquivalenten Fadenpendels m 

t : Winkel rad 

t 



 

J t m g l sin t 0 

0 

J t m g l t für kleine Auslenkungen 

 

0 

0 

m gl J 


T 2 

 

J 

lr 

ml 

J 

m gl für kleine Auslenkungen 


Pendel 

Andere 


Dämpfung 

Anordnung 

Kreisfrequenz der 



realen Schwingung 

Periodendauer 

Dämpfung 


5.2 gedämpfte Schwingung 

5.2.1 Federschwinger, Federpendel 

normale Anordnung alternative Anordnung 

0 : Kreisfrequenz rad s -1 Eigenschwingung 


0 

: Kreisfrequenz rad s -1 


: Abklingkonstante s -1 

m : Masse kg 


k : Dämpfungskonstante N s m -1 

 

0 

c 

m 

 

2 

 

T0 

 

 

2 2 

0 

0 

2 

 

T 

 

k 

 

2 

m 

reale Schwingung 

Andere 





realen Schwingung 

Periodendauer 

Dämpfung 

Konstanten 


5.2.2 Drehschwinger eines Dämpfer-Feder-Masse-Systems 



0 



J ges : Gesamtträgheitsmoment kg m 2 

J st : Trägheitsmoment des Stabes kg m 2 

J k : Trägheitsmoment der Kugel kg m 2 

m : Masse des Stabes kg 

st 

m : Masse der Kugel kg 

k 


L : Länge des Stabes m 


k r : Drehdämpfungskonstante N s m rad -1 



 

0 

c 

J 

r 

ges 

 

2 

 

T0 

 

 

2 2 

0 

0 

2 

 

T 

 

kr 

 

2 

J 

c c L 

ges 

2 

r für kleine Auslenkungen 

k k L 

L 

2 

r für kleine Auslenkungen 

c 

m 

k 


reale Schwingung 


Massen 

Andere 

Konstanten 


Trägheitsmoment 

aufeinanderfolgende 

Amplituden 

beliebige Amplituden 


1 

J st mst L 

3 

J m 2 

L 

k k 

2 

1 J ges Jst Jk mst mk L 

3 5.2.3 logarithmisches Dekrement δ ∙ T 



A : Auslenkungsamplitude i m 

i 

A : Auslenkungsamplitude i + 1 m 

i 1 

A : Auslenkungsamplitude i + n m 

i n 

A i ln T 

A 

i1 

 

A i1 

 

ln 

Ai 

 

T 

A i ln nT 

Ain 

 

A in ln nT 

Ai 

 

Ai 

A 

i1 

A 

A 

i1 

i 

Ai 

A 

in A 

A 

in i 

2 

e 

e 

e 

e 

T 

T nT nT reale Schwingung 

Amplituden 

n 


Dämpfungsgrad 


5.2.4 aperiodische Bewegung 

0 : Kreisfrequenz der Eigenschwingung rad s -1 


: Dämpfungsgrad 

m : Masse kg 


Amplitude Phase 

 

 

 

0 

k 

 

2m 

0 


Grenzfall, kritische 

Dämpfung 

Kriechfall 


0 

2 2 

0 

0 

1 

0 

2 2 

0 

0 

1 


Frequenzverhältnis 

Kreisfrequenz 

Amplitude 

Phasenverschiebung 


5.3 erzwungene Schwingung 

5.3.1 allgemein 


e : Erregerkreisfrequenz rad s -1 

: Frequenzverhältnis 


A : Amplitude m 


t : Zeit s 

F : Erregerkraft N 

0 

m : 

c : 

Masse 


kg 

N m -1 


Amplitudengang Situationen 

e 

 

 

 

0 

A 

0 

c 

m 

2 

2 ke 

2 2 0e F0 

m 

k e 

 

 

arctan 

m 

 

2 2 

0e 

 

m 

Kreisfrequenzen 

erzwungene Schwingung 

Andere 

η < 1: unterkritischer Bereich 

η = 1: Resonanzkatastrophe 

η > 1: überkritischer Bereich 


stationäre Lösung 

Amplitude 

Amplitude 


 

x t A cos e t 

5.3.2 Unwucht 

statische Unwucht Momentenunwucht dynamische Unwucht 




F 0 : 

m : 

Erregerkraft 

Masse 

N 

kg 

m : Unwuchtmasse kg 

u 

r : 

c : 

Abstand zur Unwuchtmasse 


m 

N m -1 


A 

2 

2 ke 

2 2 0e 2 

mu re m 

m 

5.3.3 Zwangsführung 

F m r 

0 u 

2 

e 




F 0 : 

m : 

Erregerkraft 

Masse 

N 

kg 

x : Auslenkung durch die Zwangsführung m 

0 


A 

x 

0 

2 2 0e 

2 

e 

2 

2 ke 

m 

F m x 

0 0 

2 

e 


Situationen 


5.4 gekoppelte Schwingung 

5.4.1 gekoppelte Massen 

c1 c2 c3 

m1 

x1 

1 1 

1 

m1 

m1 

1 1 

m1 

m1 

1: Kräfte die auf die Masse m1 wirken. 

2: Kräfte die auf die Masse m2 wirken. 

1 

m1 

m1 

2 

1 


m2 

m2 

m2 

m2 

x2 

2 

m2 

2 2 

m2 

2 2 

1 

m1 

1 1 

1 

m1 

m1 

m2 

2 2 

m2 

1 

2 

m2 

2 2 

m2 

2

Bewegungsgleichungen 

gleichsinnige, 

Schwingung 

(x1 = x2) 

gegensinnige, 

Schwingung 

(x1 = - x2) 


m i : Masse kg 

c i : Federkonstante N m -1 

x : Auslenkung m 

i 

x i : Beschleunigung m s -2 

1 : 

2 : 

Kreisfrequenz der gleichsinnigen 

Eigenschwingung des Systems 

Kreisfrequenz der gegensinnigen 


 

 

m1 x1 c1 x1 c2 x2 x1 

 

m x c x c x x 

 

1 

 

1 

 

2 

 

2 

2 2 3 2 2 2 1 

c 

m 

c 

m 

3 c 

m 

c2c m 

2 

m mm 1 2 

c c c c 

1 2 3 

m mm 1 2 

c cc 1 3 

m mm 1 2 

c c c c 

1 2 3 

m mm 1 2 

c cc 1 3 

rad s -1 

rad s -1 

Aufbau 

Andere 


Bewegungsgleichungen 

gleichsinnige 

Schwingung 

(θ1 = θ2) 

gegensinnige 

Schwingung 

(θ1 = - θ2) 


5.4.2 gekoppelte Pendel 

m i : Masse eines Pendels kg 

J : Trägheitsmoment eines Pendels kg m 2 


l : Angriffshöhe der Feder m 

L : Länge des Fadens m 

: Auslenkungswinkel rad 

i 

i : Winkelbeschleunigung rad s -2 

1 : 

2 : 

Kreisfrequenz der gleichsinnigen 


Kreisfrequenz der gegensinnigen 


rad s -1 

rad s -1 


 

 

2 

J 1 m g L 1 k l 2 1 

2 

J 2 m g L 2 k l 2 1 

g 

L 

1 1 2 

g 2kl 

2 

2 

L m L 

m m m 

2 

m1 m2 m 

m1 m2 m 

Aufbau 

Andere 


Schwebungsfall 

maximale Länge 


g 

1 l L 

l 

g m m 

2 

k 

l m m 

1 2 

1 2 

l L 


einzelne Wellen 

resultierende Welle 


5.5 Interferenz 

5.5.1 Interferenzarten 

konstruktive Interferenz destruktive Interferenz 

5.5.2 gleiche Frequenz und Amplitude aber unterschiedliche 


yit : einzelne Welle m 

i : Phasenverschiebung rad 

yt : resultierende Welle m 



t : Zeit s 

sin 

sin 

y t A t 

1 1 

y t A t 

2 2 

Wellen 

Andere 

1 212 yt y1ty2t2Acossin t 

2 2 





5.5.3 gleiche Frequenz aber unterschiedliche Amplitude und 


yit : Welle m 

A i : Amplitude m 

i : Phasenverschiebung rad 

yt : Welle m 



: Kreisfrequenz rad s -1 Andere 

t : Zeit s 

sin 

sin 

y t A t 

1 1 1 

y t A t 

2 2 2 

 

A A A 2 A A cos 

 

2 2 

1 2 1 2 1 2 

 

 

A sin A sin 

 

1 1 2 2 

arctan 

A1cos1A2cos 2 

 

 

y t y t y t A t 

1 2 sin 


resultierende Welle, 

Interferenzmuster 



resultierende 

Schwingung 

Schwebung 



5.6 Schwebung 

sin10 sin11 y t sin10 t y t 2 sin11 t 

y t t y t t 

1 2 

y1t : erste Welle m 

2 

y t : zweite Welle m 

yt : 

resultierende Welle, 

Interferenzmuster 

1 : Kreisfrequenz der ersten Welle rad s -1 

2 : Kreisfrequenz der zweiten Welle rad s -1 

R : resultierende Kreisfrequenz rad s -1 

S : Kreisfrequenz der Schwebung rad s -1 

T : resultierende Periodendauer s 

R 

T S : Periodendauer der Schwebung s 


t : Zeit s 

sin 

sin 

y t A t 

1 1 

y t A t 

2 2 

 

 

T 

R 

R 

S 

2 

 

 

 

1 2 

2 

R 

 

TS 

1 2 

2 

 

 

 

1 2 

m 

1 2 

(leicht unterschiedlich) 

1 2 

Wellen 

Kreisfrequenzen 

Periodendauer 

Andere 

1 212 yt y1ty2t2Asin t cos 

t 

 

2 2 


Longitudinalwelle 

Transversalwelle 

FH Formelsammlung - elektromagnetische Wellen Editiert: 21.02.2011 

6 elektromagnetische Wellen 

6.1 Grundlagen 

6.1.1 Wellenarten 

Longitudinalwelle, 

Längswelle 

Transversalwelle, 

Querwelle 

Teilchen schwingen in Ausbreitungsrichtung der Welle (z. B. Federwelle oder Schall): 

Teilchen schwingen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle (z. B. Saite oder Wasserwelle): 


Absorptionsgesetz 

einzelner Absorber 

zwei Absorber 



6.1.2 Absorption 

Iz : Intensität W m -2 

I 0 : einfallende Intensität W m -2 

I 1 : austretende Intensität W m -2 

: Absorptionskoeffizient m -1 

l : Länge des Absorbers m 

z : Abstand zum Einfallspunkt m 

0 

I z I e 

 

I I e 

 

1 0 

1 0 

l 

I I e 

 

z 

I 0 

1 I 

2l 2 

2 

 

I z I z 

 

I0 I0 

 

3 

3 

 

I z I z 

 

I0 I0 

 

l 

I 0 

1 I 

l 

l 

Intensitäten 

Andere 


Beschreibung 

Kriterien 

Enden 


6.1.3 Phasensprung 

n 1 

n2 n1 

n 1 

c 1 : Ausbreitungsgeschwindigkeit m s -1 


1 

1 : Kreiswellenzahl m -1 



2 


Startmedium 

Endmedium 

Beim Übergang in ein (optisch) dichteres Medium (grösserer Brechungsindex) erfährt die reflektierte 

Welle einen Phasensprung um π (180° / Vorzeichenwechsel). 

c1 c2 

n2 n1 

2 1 

n2 

n1 

Phasensprung bei festem Ende kein Phasensprung bei losem Ende 


festes Ende 

loses Ende 


6.1.4 Totalreflexion 

: Phasenverschiebung ° 

feste Ende reell und virtuell 

180 loses Ende reell und virtuell 

0 FH Formelsammlung 9 Physik.doc 125

mittlere Grössen 

elektrische 

Energiedichte 

magnetische 

Energiedichte 


6.1.5 Energiedichte und Intensität 

el : elektrische Energiedichte J m -3 

el mittlere elektrische Energiedichte J m -3 

mag : magnetische Energiedichte J m -3 

mag mittlere magnetische Energiedichte J m -3 

em : Energiedichte der elektromagnetischen Welle J m -3 

em : mittlere Energiedichte der elektromagnetischen Welle J m -3 

I : Intensität W m -2 

I : mittlere Intensität W m -2 

S : Energiestromdichte, Poyntingvektor W m -2 

E : elektrische Feldstärke V m -1 

Energiedichte 

Intensität 

D : elektrische Flussdichte C m 

Amplituden 

-2 

H : magnetische Feldstärke A m -1 

B : magnetische Flussdichte T 

: elektrische Feldkonstante F m -1 : magnetische Feldkonstante H m 


-1 

v p : 

Ausbreitungsgeschwindigkeit, 

Phasengeschwindigkeit 

m s -1 


K : Konstante 

T 

1 1 

K cos t dt 

K 

T 

2 

0 

2 

E 

el 

 

2 

DE el 

 

2 

2 

D 

el 

 

2 

 

 

 

mag 

mag 

mag 

2 2 2 

H 

 

2 

BH 

2 

2 

B 

 

2 

2 

Andere 


Energiedichte 

Intensität 


E 

 

 

em 

em 

em 

em 

em 

em 

2 

DE 2 

D 

 

 

H 

 

BH 2 

B 

 

 

2 

 

el 

2 

em 

 

mag 

2 

em 

1 B 1 1 

 

2 2 2 

2 

em 

2 

E 

2 

E 

2 2 

vp B 

2 

E 

2 

E 

2 

E 

1 

em E 

2 

2 

em vp E B E vp B 

1 B 1 B 1 B B 

 

2 2 2 

2 2 2 2 

em 

2 

E 

2 2 

v p B 

2 

H 

1 

em 

H 

2 

 

em 

I S 

p 

2 

EH E vp B 

v 

I v 

em p 

I v E 

p 

p 

2 

I v H 

2 

2 1 

I v p E B E B E H 

 

1 

2 

I vp E 

2 

1 

I vp H 

2 

1 

I E H 

2 

2 

E vp B 

E vp B 


elektrische und 

magnetische 

Feldstärke 

Ausbreitung 


6.2 Wellenparameter 

6.2.1 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit εr und μr 

t = const. z = const. 




m s -1 


: Wellenlänge m 


f : Frequenz Hz 


: Phasenkoeffizient, Phasenbelag rad m -1 

r : elektrische Feldkonstante des Dielektrikums 

0 : elektrische Feldkonstante des Vakuums 8.85419 ∙ 10 -12 F m -1 


r 

0 : magnetische Feldkonstante des Vakuums 4 ∙ π ∙ 10 -7 H m -1 


Welle 

Materialkonstanten

Bedeutung 

allgemein 

in einem Material 

im Vakuum 


Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen. 

vp 

p 

 

 

T 

v f 

vp 

v 

v 

p 

p 

p 

 

 

 

 

 

v c 1 

 

0 r 0 r 

c 

 

r r 

 

vpc T 

p 

1 

 

v c f 

0 0 


Brechungsindex 

Ausbreitungsgeschwindigkeit 

Wellenlänge 



6.2.2 Ausbreitungsgeschwindigkeit, Phasengeschwindigkeit mit n 

v p : 




z : 

n : 

Dicke 


m 


m s -1 

Medium 

c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 Vakuum 

0 : Wellenlänge m 


t : zusätzliche Zeit s 



r 


r 

n r r r 

bei sichtbarem Licht mit ca. 550 THz 

v 

p 

c 

 

n 

0 

 

n 

z 

2 n 1 

z 

n1 

c 

Andere

zusätzliche Zeit 

Bedeutung 

Berechnung 


z 

t n1 c 

6.2.3 Gruppengeschwindigkeit 

v g : Gruppengeschwindigkeit m s -1 




m s -1 




Welle 

Gibt an mit welcher Geschwindigkeit sich ein Wellenpaket als Ganzes fortbewegt. 

v 

g 

d 

 

d 

dvp 

vg vp 

 

d 

dvp 

vg vp 

 

d 

6.2.4 Phasenkoeffizient, Phasenbelag 






2 

 

 

 

 

vp 

m s -1 


Bedeutung 

Berechnung 


6.2.5 Wellenvektor 

k : Wellenvektor, Wellenzahlvektor m -1 

k : Kreiswellenzahl m -1 

: Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag Np m -1 






m s -1 

Der Wellenvektor k gibt die Ausbreitungsrichtung einer Welle an. 

Die Kreiswellenzahl k gibt den Betrag des Wellenvektors an. 

2 

 

k k 0 

 

 

k k 0 

v 

p 


einzelne Amplituden 

einzelne Intensitäten 

resultierende 

Amplitude 

resultierende 

Intensität 


6.3 Amplitude und Intensität 

6.3.1 Addition von Amplituden und Intensitäten 

Ait : Amplitude V m -1 

A i : maximale Amplitude V m -1 

Iit : Intensität W m -2 

I i : maximale Intensität W m -2 


i 

At : Amplitude V m -1 

A : maximale Amplitude V m -1 

 

I t : Intensität W m -2 

I : maximale Intensität W m -2 


: Kreisfrequenz rad s -1 Andere 

t : Zeit s 

sin 

sin 

A t A t 

1 1 1 

A t A t 

2 2 2 

2 

sin 

2 

sin 

I t A t 

1 1 1 

I t A t 

2 2 2 

 

A A A 2 A A cos 

 

2 2 

1 2 1 2 1 2 

 

 

A sin A sin 

 

1 1 2 2 

arctan 

A1cos1A2cos 2 

 

 

A t A t A t A t 

1 2 sin 

 

I I I 2 I I cos 

 

1 2 1 2 1 2 

 

 

I sin I sin 

 

1 1 2 2 

arctan 

I1cos1I2cos 2 

 

I t I t I t I t 

1 2 sin 

einzelne Grössen 

resultierende Grössen 


Amplitude 

Intensität 

Amplitude 

Intensität 


6.3.2 Dämpfung der Amplitude und Intensität 

6.3.2.1 Kreiswelle, Dimensional 

A : Amplitude V m -1 


r : Entfernung m 

A 

I 

1 

r 

1 

r 

6.3.2.2 Kugelwelle, 3 Dimensional 

Kugelwelle Entfernungen und Oberflächen 

A : Amplitude V m -1 


r : Entfernung m 

1 

A r 

I 

1 

2 

r 


konstruktive 

Interferenz 

destruktive 

Interferenz 

Gangunterschied 

Phasenunterschied 


6.4 Interferenz 

6.4.1 Interferenz ebener kontinuierlicher Wellen 

s : 

 

Gangunterschied m 

: Phasenunterschied rad 

s 1 : Abstand zwischen erster Quelle und Überlagerungspunkt m 

s 2 : Abstand zwischen zweiter Quelle und Überlagerungspunkt m 

b : Abstand der Quellen m 

: Winkel zwischen horizontalen und Überlagerungspunkt ° 



f : Frequenz Hz 

v p : 

s s1 s2 

s 

2 

 

 

 

s 



2 

f s 

v 

p 

Überlagerungspunkt 

Aufbau 

Wellen 


m s -1

konstruktive 

Interferenz 

destruktive 

Interferenz 

konstruktive 

Interferenz 

destruktive 

Interferenz 


2 

 

sk k 0 

 

 

s2k1 k 0 

2 

6.4.2 Interferenz ebener nicht kontinuierlicher Wellen 

t = 0 t = 1 t = 2 

t = 0 t = 1 t = 2 


1. Ordnung, 

Grundschwingung 

2. Ordnung 

3. Ordnung 

n-te Ordnung 


6.5 stehende Welle 

6.5.1 stehende Welle mit losen Enden 

i : Wellenlänge m 

f i : Frequenz Hz 

L : betrachtete Länge m 



m s -1 

1 2 L f1 

vp 

 

2 

L 

2 L p 

f2 2 

f1 

 

2 

L 

3 

p 

3 f3 3 

f1 

v 

L 

3 

v 

2 

L 

2 

L nvp n 

fn n f1 

n 2 

L 

n 

Welle 

Umgebung 


1. Ordnung, 


2. Ordnung 

3. Ordnung 

4. Ordnung 

n-te Ordnung 

Knoten und Bäuche 


6.5.2 stehende Welle mit festen Enden 






m s -1 

1 2 L f1 

vp 

 

2 

L 

2 L p 

f2 2 

f1 

2 

3 L 

3 p 

f3 3 

f1 

2 

4 L 

v 

L 

3 

v 

2 

L 

4 

v 

4 p 

f4 4 

f1 

2 

L 

2 

nvp n L fn n f1 

n 

2 

L 

n 

Welle 

Umgebung 


gekoppelte Massen 

0. Ordnung, 


1. Ordnung 

2. Ordnung 

n-te Ordnung 


eine Masse zwei Massen drei Massen 

6.5.3 stehende Welle mit einem festen und einem losen Ende 






m s -1 

0 4 L f0 

vp 

 

4 

L 

4 

L 3 

vp 

1 

f1 

 

3 

4 

L 

4 

L 5 

vp 

2 

f2 

 

5 

4 

L 

4 

L 

n 

 

2n 1 

2 1 

Welle 

Umgebung 

nvp fn n f 

4 

L 

2 10 


n 

0

Herleitung 

normale 

Schreibweise 

alternative 

Schreibweise 


6.6 Wellenfunktionen, Wellengleichungen 

6.6.1 laufende Welle 

6.6.1.1 nach rechts laufend (in positive z-Richtung) 

(A = 1, ω = 1 und β = 1) 

y z, t : komplexe Amplitude V m -1 

y z, t : reelle Amplitude V m -1 




t : Zeit s 

z : Position m 

, 

jtz jtjz y z t A e A e e 

Amplituden 

Welle 

jtjz , Re cos cos sin sin 

 

y z t A e e A t z t z 

, cos 

y z t A t z 

y z, t A sin t z 

2 

 

 

 

, cos 

y z t A z t 

y z, t A sin z t 

2 

 

 

 


Herleitung 

normale 

Schreibweise 

alternative 

Schreibweise 


6.6.1.2 nach links laufend (in negative z-Richtung) 

(A = 1, ω = 1 und β = 1) 

y z, t : komplexe Amplitude V m -1 





t : Zeit s 


, 

jtz jtjz y z t A e A e e 

Amplituden 

Welle 

jtjz , Re cos cos sin sin 

 

y z t A e e A t z t z 

, cos 

y z t A t z 

y z, t A sin t z 

2 

 

 

 

, cos 

y z t A z t 

y z, t A sin z t 

2 

 

 

 


überlagerte Cosinusschwingungen 

überlagerte Sinusschwingungen 

Randbedingungen 


6.6.2 stehende Welle 

6.6.2.1 lose Enden 

(A = 1, ω = 1 und β = 1) 


A : maximale Amplitude einer Welle V m -1 



t : Zeit s 


Amplituden 

Welle 

, cos cos 

 

, cos cos sin sin 

 

y z t A t z A t z 

y z t A t z t z 

Acostz cos cos sin sin 

 

A t z t z 

, 2 cos cos 

y z t A t z 

Acostz , sin sin 

, sin cos cos sin 

 



Asintz sin cos cos sin 

 

A t z t z 

, 2 sin cos 

y z t A t z 

 

1 y 0, t 1 

Asintz FH Formelsammlung 9 Physik.doc 142

überlagerte Cosinusschwingungen 

überlagerte Sinusschwingungen 



6.6.2.2 feste Enden 

(A = 1, ω = 1 und β = 1) 


A : maximale Amplitude einer Welle V m -1 



t : Zeit s 


Amplituden 

Welle 

, cos cos 

 

, cos cos sin sin 

 



Acostz cos cos sin sin 

 

A t z t z 

Acostz , 2 sin sin 

y z t A t z 

, sin sin 

, sin cos cos sin 

 



Asintz sin cos cos sin 

 

A t z t z 

Asintz , 2 cos sin 

y z t A t z 

y0, t 0 


gegeben 

Wellenparameter 

mögliche 

Wellenfunktionen 



6.6.2.3 Berechnung der Grundschwingungen 

6.6.2.3.1 Beispiel mit losen Enden 

y z, t : reelle Amplitude V m -1 Amplitude 




t : Zeit s 



v p : 



m s -1 

L 1m 

v 

p 

2500ms 

-1 

2 L 2m 

2 

-1 

m 

 

v 2500 s 

p 

-1 

Welle 

Umgebung 

, 0.5 cos 0.5 cos 

 

, 0.5 cos 2500 0.5 cos 2500 

 

y z t t z t z 

y z t t z t z 

, cos cos cos2500 cos 

 

Überlagerung 

y z t t z t z 

vereinfacht 

, 0.5 sin 0.5 sin 

 

, 0.5 sin 2500 0.5 sin 2500 

 

y z t t z t z 

y z t t z t z 

, sin cos sin 2500 cos 

 

Überlagerung 

y z t t z t z 

vereinfacht 

 

 

1 y 0, t 1 

1 y L, t 1 


gegeben 


mögliche 




6.6.2.3.2 Beispiel mit festen Enden 





t : Zeit s 



v p : 



m s -1 

L 1m 

v 

p 

2500ms 

-1 

2 L 2m 

2 

-1 

m 

 

v 2500 s 

p 

-1 

Welle 

Umgebung 

, 0.5 cos 0.5 cos 

 

, 0.5 cos 2500 0.5 cos 2500 

 

y z t t z t z 

y z t t z t z 

, sin sin sin 2500 sin 

 

Überlagerung 

y z t t z t z 

vereinfacht 

, 0.5 sin 0.5 sin 

 

, 0.5 sin 2500 0.5 sin 2500 

 

y z t t z t z 

y z t t z t z 

, cos sin cos 2500 sin 

 

Überlagerung 

y z t t z t z 

vereinfacht 

 

 

y 0, t 0 

y L, t 0 


gegeben 


mögliche 




6.6.2.3.3 Beispiel mit einem festen und einem losen Ende 





t : Zeit s 



v p : 



m s -1 

L 1m 

v 

p 

2500ms 

-1 

4 L 4m 

2 

-1 

m 

2 

v 1250 s 

p 

-1 

, 0.5 cos 0.5 cos 

 

y z t t z t z 

Welle 

Umgebung 

 

y z, t 0.5 cos1250 t z 0.5 cos1250 t z 

2 2 

Überlagerung 

y z, t sin t sin z sin1250 t 

sin z 

2 vereinfacht 

, 0.5 sin 0.5 sin 

 

y z t t z t z 

 

y z, t 0.5 sin1250 t z 0.5 sin1250 t z 

2 2 

Überlagerung 

y z, t cos t sin z cos 1250 t 

sin z 

2 vereinfacht 

0, 0 

y L t 

y t 

1 , 1 


nach rechts laufend 

nach links laufend 


6.6.3 gedämpfte Welle 

Dämpfung ab z ≥ 0, 

Welle nach rechts laufend 

y z, t : reelle Amplitude 

A : maximale Amplitude einer Welle 




t : Zeit s 


Welle Hinweise 

z , cos 

y z t A e t z 

z , cos 

y z t A e z t 


z 

, cos 

y z t A e t z 

z 

, cos 

y z t A e z t 

Dämpfung ab z ≤ 0, 

Welle nach links laufend 

Amplitude 

Welle 

A = 1, ω = 1, β = 1 und α = 0.25 

Dämpfung ab z ≥ 0 

A = 1, ω = 1, β = 1 und α = 0.25 

Dämpfung ab z ≤ 0 


lose Enden 

feste Enden 

Dämpfungskoeffizient 

Phasenkoeffizient 



z , 2 cos cos 

y z t A e t z 

z , 2 sin cos 

y z t A e t z 


z , 2 sin sin 

y z t A e t z 

z , 2 cos sin 

y z t A e t z 



dB : Dämpfungskoeffizient, Dämpfungsbelag dB m -1 


grad : Phasenkoeffizient, Phasenbelag ° m -1 

 

ln 10 

 

20 Np 

dB 

grad 

2 rad 

 

360 

A = 0.5, ω = 1, β = 1 und α = 0.25 


A = 0.5, ω = 1, β = 1 und α = 0.25 




Amplitudentransmissionsfaktor 

Amplitudenreflexionsfaktor 

Intensitätstransmissionsfaktor 

Intensitätsreflexionsfaktor 


6.7 Übergang an Grenzflächen 

6.7.1 Faktoren, Amplituden und Intensitäten 

t : Amplitudentransmissionsfaktor 

r : Amplitudenreflexionsfaktor 

T : 

Intensitätstransmissionsfaktor, 

Transmissionsgrad (leistungsbezogen) 

R : 

Intensitätsreflexionsfaktor, 

Reflexionsgrad (leistungsbezogen) 

A : einfallende Amplitude 

e 

A : transmittierte Amplitude 

t 

A : reflektierte Amplitude 

e 

r 

I : einfallende Intensität 

I : transmittierte Intensität 

t 

I : reflektierte Intensität 

r 



1 




2 


t1 r rt 1 

T 1 R R1 T 

At Ae Ar 

t 

A A 

A 

e e 

A A 

r t e 

r 

Ae Ae 

I 

T 

I 

t 

e 

I 

R 

I 

r 

e 

T 

n A 

n A 

2 

1 

2 

r 

2 

e 

2 c2 

t 

c c 

1 2 

c c 

r 

c c 

2 

t 

2 

e 

2 1 

2 1 

n 

T t 

n 

ye: einfallende Welle 

yt: transmittierte Welle 

yr: reflektierte Welle 

2 n1 

t 

n n 

1 2 

n n 

r 

n n 

1 2 

1 2 

Faktoren 

Amplituden 

Intensitäten 

Startmedium 

Endmedium 

2 

1 

t 

 

1 2 

12 r 

 

1 2 

2 2 

auch Transmissionsgrad (leistungsbezogen) 

1 

A 

R 2 

R r auch Reflexionsgrad (leistungsbezogen) 

A 


Hinweise 

erste Grenzfläche 

zweite Grenzfläche 

wichtige Resultate 


6.7.2 Lichtleiter 

t : Amplitudentransmissionsfaktor 

r : Amplitudenreflexionsfaktor 

T : 

Intensitätstransmissionsfaktor, 

Transmissionsgrad (leistungsbezogen) 

R : 

Intensitätsreflexionsfaktor, 

Reflexionsgrad (leistungsbezogen) 

A : einfallende Amplitude 

ei 

A : transmittierte Amplitude 

ti 

A : reflektierte Amplitude 

ri 

I : einfallende Intensität 

ei 

I : transmittierte Intensität 

ti 

I : reflektierte Intensität 

ri 

n , n : Brechungsindex des Aussenmediums 

1 3 

n : Brechungsindex des Lichtleiters 

2 

n n 1 n 1.5 

1 3 2 

A A I I 

t1 e2 t1 e2 

Faktoren 

Amplituden 

Intensitäten 


Amplituden Intensitäten 

At1 2 

n1 

t 

A n n 

0.8 At1 0.8 

Ae1 

It1 n2 

2 

T t 0.96 

I n 

I 0.96 

I 

e1 

1 2 

A n n 

r1 

1 2 

r 0.2 Ar1 0.2 Ae1 

Ae1 n1 n2 

e1 

1 

t1 e1 

r1 

2 

R r 0.04 Ir1 0.04 

Ie1 

Ie1 


At 2 2 

n2 

t 

A n n 

1.2 At2 1.2 Ae2 

It2 n3 

2 

T t 0.96 

I n 

I 0.96 

I 

A 

A e1 

e2 

2 3 

n n 

r 2 2 3 

r 0.2 Ar2 0.2 

Ae2 

Ae 2 n2 n3 

A 1.2 A 1.2 A 1.2 0.8 A 0.96 

A 

t2 e2 t1 e1 e1 

A 0.96 A 

t2 e1 

I 0.96 I 0.96 I 0.96 0.96 I 0.923 

I 

t2 e2 t1 e1 e1 

I 0.9216 I 

t2 e1 

A t1 

A e2 

A t 2 

n 1 A r1 

2 A r 2 n 3 n 

I e1 

I t1 

I e2 

I t 2 

n 1 I r1 

2 I r 2 n 3 n 


I 

e2 

2 

I 

t2 e2 

r 2 2 

R r 0.04 Ir2 0.04 

Ie2 

Ie2

optischer 


Minima 

Maxima 

Einfallswinkel α = 0° 


6.8 Reflexion an dünnen Schichten 

6.8.1 Reflexion an beschichtetem Material 

1 n 

Die reflektierte Welle 1 erfährt beim Übergang von n1 zu n2 einen Phasensprung. 


: optischer Gangunterschied m 

d : Dicke der Schicht m 

n : Brechungsindex der Luft 

1 

1 

1.25 n 

n : Brechungsindex der Schicht 

2 

2 

1.5 n 

3 

Aufbau 

n 3 : Brechungsindex des beschichteten Materials 

: 

: 

Wellenlänge 

Einfallswinkel zur vertikalen 

m 

° 

Welle 

2 2 2 

2 1 

 

2 d n n sin 

1 

k 2 

2 2 2 1 

2 d n2 n1 sin k 2 

k 

k 

k 

k 0 

2 sin 

 

 

2 2 2 

d n2 n1 k k 0 

Minima Maxima 

1 

2 

d n2 k 2 

2 d n2 k 

1 2 

0 

0 

k 

d 

0 


 

0 

Phasensprung

optischer 


Minima 

Maxima 



6.8.2 Reflexion an Schicht in Luft 

1 n 





1 

1 

1.25 n 


2 

2 

1 n 

3 

Aufbau 

n 3 : Brechungsindex der Luft 

: 

: 

Wellenlänge 


m 

° 

Welle 

2 2 2 

2 d n2 n1 

sin 

2 

1 

k 2 

 

 

2 sin 1 

k 

2 2 2 

d n2 n1 k k 0 

k 

k 0 

2 2 2 1 

2 d n2 n1 sin k 2 

1 2 

k 

Minima Maxima 

2dn2k1 

1 

2 

d n2 k 2 

0 

0 

d 

0 


k 

 

0 

Phasensprung

optischer 


Antireflexbedingung 


6.8.3 Reflexionsfreiheit, Antireflexschicht 




L 


S 

Aufbau 

n G : Brechungsindex des Glases 

: Wellenlänge m Welle 

2 d nS 

 

2k 1 

k 0 

2 

 

d k 

4 nS 

nS nL nG 

2 1 

k 

0 


optischer 


Minima 

Maxima 



6.9 Transmission an dünnen Schichten 

6.9.1 Transmission an beschichtetem Material 

1 n 





1 

1 

1.25 n 


2 

2 

1.5 n 

3 

Aufbau 

n 3 : Brechungsindex des beschichteten Materials 

: 

: 

Wellenlänge 


m 

° 

Welle 

2 2 2 

2 d n2 n1 

sin 

2 

1 

k 2 

 

 

2 sin 1 

k 

2 2 2 

d n2 n1 k k 0 

k 

k 0 

2 2 2 1 

2 d n2 n1 sin k 2 

k 

Minima Maxima 

2dn2k1 

1 

2 

d n2 k 2 

 

0 

0 

d 

1 2 

0 


k 

 

0 

Phasensprung

optischer 


Minima 

Maxima 



6.9.2 Transmission an Schicht in Luft 

1 n 

Kein für die Berechnung relevanter Phasensprung. 




1 

1 

1.25 n 


2 

2 

1 n 

3 

Aufbau 

n 3 : Brechungsindex der Luft 

: 

: 

Wellenlänge 


m 

° 

Welle 

2 2 2 

2 1 

 

2 d n n sin 

1 

k 2 

2 2 2 1 

2 d n2 n1 sin k 2 

k 

k 

k 

k 0 

2 sin 

 

 

2 2 2 

d n2 n1 k k 0 

 

Minima Maxima 

1 

2 

d n2 k 2 

2 d n2 k 

0 

0 

k 

d 

1 2 

0 


 

0

Kreisblende 

Draht 

Schirmkante 

Einzelspalt 

Doppelspalt 


6.10 Beugung 

6.10.1 Beugungsmuster an Objekten 

Aufbau Beugungsmuster 





6.10.2 Beugungsmuster und Interferenzmuster 


Aufbau 

Spaltbreiten 


6.10.3 Beugung am Einzelspalt 


: Winkel ° 

Winkel der Minima, 

n : 

Winkel der Maxima 

° 


d : Spaltbreite m 

d d 


optischer 


Minima 

(exakte Formel) 

Maxima 

(Näherungsformel) 


 

d sin 

k 

k 

 

dsinnk 

k 

1 

k 2 

1 

dsinnk 2 

k 

k 


optischer 


Minima 

Maxima 


6.10.4 Beugung am Doppelspalt 


: Winkel ° 

k : Winkel der Minima, Winkel der Maxima ° 


d : Abstand zwischen den Spalten m 

 

d sin 

1 

k 2 

1 

dsin k k 2 

k 

k 

k 

k 0 

 

dsinkk 

k 0 

0 

0 


optischer 


Minima 

Maxima 


6.10.5 Beugung am Beugungsgitter / Mehrfachspalt 


: Winkel ° 

k : Winkel der Minima, Winkel der Maxima ° 


d : Abstand zwischen den Spalten m 

 

d sin 

1 

k 2 

1 

dsin k k 2 

k 

k 

k 

k 0 

 

dsinkk 

k 0 

0 

0 


Minima 


6.10.6 Beugung an der Kreisblende 

n : Winkel der Minima ° 


a : Blendenradius m 

 

sin n 1.22 n 

2 

a 

n 

6.11 Divergenz von Laserstrahlen 

: Divergenzhalbwinkel rad 


s 0 : Blendenradius, 

Linsenradius 

m 

 

 

s 

0 


Quelle bewegt sich 

Empfänger 

bewegt sich 

Quelle und 

Empfänger 

bewegen sich 


6.12 Dopplereffekt 

6.12.1 Dopplereffekt beim Schall 

Quelle bewegt sich 

auf den Empfänger zu 

Empfänger bewegt sich 

auf die Quelle zu 

f E : Frequenz am Empfänger Hz 

v E : Geschwindigkeit des Empfängers m s -1 

f : Frequenz der Quelle Hz 

Q 

v Q : Geschwindigkeit der Quelle m s -1 

c : Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle m s -1 

: Winkel ° 

Ma : Machsche Zahl 

T : Temperatur °C 

f 

f 

E 

E 

fQ 

 

vQ 

1 

c 

fQ 

 

vQ 

1 

c 

vE 

 

fE fQ 

1 c 

vE 

 

fE fQ 

1 c 

vE 

1 

c cv fE fQ fQ 

 

v cv 1 

c 

E 

Q Q 

vE 

1 

c cv fE fQ fQ 

 

v cv 1 

c 

E 

Q Q 

Überschallgeschwindigkeit 

(Machscher Kegel) 

Empfänger 

Quelle 

Schall 

Quelle bewegt sich auf den Empfänger zu Q E 

Quelle bewegt sich vom Empfänger weg Q E 

Empfänger bewegt sich auf die Quelle zu Q E 

 

Empfänger bewegt sich von der Quelle weg Q E 

bewegen sich aufeinander zu Q E 

bewegen sich voneinander weg Q E 

 


Überschall 

Mach 

Schallgeschwindigkeit 

bei T 

Schallgeschwindigkeit 

bei 20°C 

relative Annäherung 

relative 

Wegbewegung 


vE 

1 

c cv fE fQ fQ 

 

v cv 1 

c 

E 

Q Q 

vE 

1 

c cv fE fQ fQ 

 

v cv 1 

c 

c 

sin 

 

v 

v 

Ma 

c 

c 

E 

Q Q 

T 

-1 

331.5ms 1 

273.15 

-1 

c 343ms 

C 

bewegen sich in die gleiche Richtung Q E 

bewegen sich in die gleiche Richtung Q E 

 

6.12.2 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und einem Winkel von 0° 

oder 180° 



Q 

v : 

Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts 

(Empfänger oder Quelle) 


m s -1 


Longitudinaler Dopplereffekt mit Blauverschiebung: 

f f 

E Q 

v 

1 

c 

v 

1 

c 

QE Q E 

Longitudinaler Dopplereffekt mit Rotverschiebung: 

f f 

E Q 

v 

1 

c 

v 

1 

c 

Q E 

Q E

eliebiger Winkel 

im Vakuum 

beliebiger Winkel 

in Materie 

longitudinaler 

Dopplereffekt 

transversaler 

Dopplereffekt 


6.12.3 Dopplereffekt bei elektromagnetischen Wellen und beliebigem Winkel 

v v 



Q 

vv: , 

v p : 

Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts 

(Empfänger oder Quelle) 


Phasengeschwindigkeit im Medium 

Frequenzen 


m s -1 

m s -1 


: 

 

 

Q E Q E 

Winkel zwischen Geschwindigkeitsvektor und 

Verbindungsstrecke zwischen Quelle und Empfänger 

2 

v 

1 

2 

fE f 

c 

Q 

v 

1 cos 

c 

2 

v 

1 

2 

fE f 

c 

Q 

v 

1 cos 

v 

p 

 

 

2 

v v 

2 

1 1 

fE f 

c c 

Q fQ 

 

v v 

1 1 

c c 

2 

v v 

2 

1 1 

fE f 

c c 

Q fQ 

 

v v 

1 1 

c c 

2 

v 

fE fQ 

1 

2 90 

c 

 

 

0 , relative Annäherung 

 

180 , relative Wegbewegung 

° 


Andere

Hinsendung 

Rücksendung 

Dopplerfrequenz 

Geschwindigkeit bei 

gleicher Richtung 

Geschwindigkeit bei 

beliebiger Richtung 


6.12.4 Radar, Geschwindigkeitsmessung 

v 

, 

vv: Geschwindigkeit des Objekts m s -1 


f D : Dopplerfrequenz, Schwebungsfrequenz Hz 

f : Frequenz des ausgesendeten Signals Hz 

f r : Frequenz des am Objekt reflektierten Signals Hz 

f e : Frequenz des am Messgeräts empfangenen Signals Hz 

: Wellenlänge des ausgesendeten Signals m 

: 

Winkel zwischen ausgesendetem Signal 

und Geschwindigkeitsvektor 

° 

v 

v 

frf 1 c 

v 

f 

e 

fr 

 

v 

1 

c 

Objekt 

E 

v 

1 f c 

 

D f fe f f 

v 

 

1 c 

c 

v f f 

2f2 Objekt Messgerät 

E, f r 

Objekt 

Q, f r 

D D 

 

c 

 

v f f 

2 f cos 2 cos 

D D 

Messgerät 

Q 

Q, f 

Messgerät 

E, f e 


Frequenzen 

Andere 


lineare Polarisation 

zirkulare Polarisation 

elliptische 

Polarisation 

senkrechte 

Polarisation 

parallele Polarisation 


6.13 Polarisation 

6.13.1 Polarisationsarten 

Bei der senkrechten Polarisation, bildet die einfallende Welle mit der Einfallsebene einen rechten Winkel: 

Bei paralleler Polarisation schwingt die einfallende Welle in der Einfallsebene: 


echtszirkular 

linkszirkular 




6.13.2 Schwingungsformen 

Phasenverschiebung um 0°: 

Ansicht im Raum Komponenten, Hinteransicht 

Phasenverschiebung um 180°, π, λ/2: 



zirkulare 

Polarisation, 

rechtszirkular 

zirkulare 

Polarisation, 

linkszirkular 

Ermittlung 

von Imax und Imin 

unpolarisiertes Licht 

Polarisationsgrad 

Werte 


Phasenverschiebung um 90°, π/2, λ/4 


Phasenverschiebung um 270°, (3∙π)/2, (3∙λ)/4 


6.13.3 Polarisationsgrad 

P : Polarisationsgrad 

I max : maximale Intensität W m -2 

I min : minimale Intensität W m -2 

Analysator bis zur maximalen Intensität Imax drehen (z. B. 0°) 

Analysator bis zur minimalen Intensität Imin drehen (z. B. 90°) 

I I 

P 

I I 

keine Drehung 

max min 

max min 

P Imin Licht 

0 1 unpolarisiert 

1 0 vollständig polarisiert 

Drehung um 90°, 

unpolarisiertes Licht 

Drehung um 90°, 

vollständig polarisiertes Licht 


schematische 

Darstellung 

detaillierte 

Darstellung 

linear polarisierte 

Lichtquelle, 

ein Polarisator 

unpolarisierte 

Lichtquelle, 

zwei Polarisatoren 


6.13.4 Polarisatoren 

6.13.4.1 Folienpolarisator 

keine Drehung Drehung um 45° Drehung um 90° 

keine Drehung Drehung um 45° Drehung um 90° 

6.13.4.2 Brewsterpolarisator 


gedrehter Polarisator 

gedrehte Amplitude 

oder Intensität 

Amplitude 

Intensität 

Situationen mit 

Molekülketten 


6.13.4.3 Berechnung 

E : austretende Amplitude V m -1 

E 0 : einfallende Amplitude V m -1 

I : austretende Intensität W m -2 

I 0 : einfallende Intensität W m -2 

Amplituden 

Intensitäten 

, , : Winkel zur Transmissionsachse ° Andere 

0 cos 

 

EE 

2 

0 cos 

 

I I 


Situationen mit 

Transmissionsachsen 

► Beispiel 


E 0 

E 0 

E 0 

 

 

E0, I 0 


 

 

30 

0 cos 

0 cos 

 

E 

 

E 

0 cos 

Die austretende Amplitude beträgt noch 65 % der einfallenden Amplitude: 

3 33 E E cos 30 cos 30 cos 30 E cos 30 E 

8 

0 0 0 

Die austretende Intensität beträgt noch 42 % der einfallenden Intensität: 

27 

I I cos 30 cos 30 cos 30 I cos 30 I 

64 

2 2 2 6 

0 0 0 

 

 

 

E 

2 

0 cos 

 

I 


60 

I 0 

I 0 

I 0 

 

 

 

 

90 

 

2 

0 cos 

2 

0 cos 

 

I 

 

I 

 

EI ,

Kalkspat 

Wellen 

Vektoren 

Ausbreitungsgeschwindigkeiten 


6.13.5 Doppelbrechung 

v 

v : Ausbreitungsgeschwindigkeit 

n o : Brechungsindex 

v : Ausbreitungsgeschwindigkeit 

n a : Brechungsindex 

E : 

D : 

elektrische Feldstärke V m-1 

elektrische Flussdichte C m-2 

k : Wellenvektor m -1 

ordentliche Welle 

ausserordentliche Welle 

Vektoren 

S : Energiestromdichte, Poyntingvektor W m -2 

c : Lichtgeschwindigkeit 299792458 m s -1 Andere 

Polarisation optische Achse 

ordentliche Welle ausserordentliche Welle 

ordentliche Welle ausserordentliche Welle 

 

c 

n 

a 

o 

c 

v 

n 


Eigenschaften 


optischer 



6.13.6 Polarisationswandler, Verzögerungsplatten 

6.13.6.1 λ/4 Plättchen, Zirkularpolarisator 



d : Dicke des Plättchens m 

n : Brechungsindex für die ordentliche Welle 

o 

n : Brechungsindex für die unordentliche Welle 

a 

Linear polarisiertes Licht wird im Allgemeinen zu elliptisch polarisiertem Licht. 

Elliptisch polarisiertes Licht wird im Allgemeinen zu linear polarisiertem Licht. 

Zu 45° linear polarisiertes Licht wird zu rechtszirkular polarisiertem Licht. 

Zu 135° linear polarisiertes Licht wird zu linkszirkular polarisiertem Licht. 

Rechtszirkular polarisiertes Licht wird zu 45° linear polarisiertem Licht. 

Linkszirkular polarisiertes Licht wird zu 135° linear polarisiertem Licht. 

Zwei hintereinander geschaltete λ/4-Plättchen ergeben bei paralleler Ausrichtung ihrer optischen 

Achse ein λ/2-Plättchen. 

2 

 

d n n 

 

 

d no na 

 

4 

 

2 

o a 


Eigenschaften 


optischer 



6.13.6.2 λ/2 Plättchen, Polarisationsdreher 



d : Dicke des Plättchens m 

n : Brechungsindex für die ordentliche Welle 

o 

n : Brechungsindex für die unordentliche Welle 

a 

Drehung um dem doppelten Einfallswinkel zur optischen Achse. 

Zu 45° linear polarisiertes Licht wird umpolarisiert. 

2 

 

d n n 

 

 

d no na 

 

2 

 

o a 


ohne Moleküle 

mit Molekülen 

Strahlengang 


6.13.7 Flüssigkristallanzeige, LCD 


Dezibel 

Phon 

Sone 

Bedeutung 

Luft 

Wasser oder Andere 

Berechnung 

Bedeutung 

Bezugswert 

Berechnung 

Bedeutung 

Bezugswert 

Berechnung 

FH Formelsammlung - Akustik Editiert: 21.02.2011 

7 Akustik 

7.1 Dezibel, Phon und Sone 

Dezibel ist ein Zehntel von einem Bel und ist das Verhältnis zweier Grössen, das dimensionslos, also 

ohne Einheit angegeben wird. 

Phon gibt die empfundene Lautstärke im Verhältnis zu 1000 Hz Sinus an. Bei dieser Frequenz (1000 Hz 

Sinus) ist Phon mit Dezibel gleich. 

Sone ist die Masseinheit der subjektiven Lautheit eines Klangs. 

7.2 Schallpegel 

7.2.1 Schalldruckpegel 

L p : Schalldruckpegel dB 

P : Effektivwert des Schalldrucks Pa 

P : Bezugswert Pa 

0 

Der Schalldruckpegel Lp beschreibt die Schalleinwirkung auf einen bestimmten Ort. 

P 20μPa 

0 

1μPa P 

0 

2 P P 

Lp 10dB log 20db log 

2 

P0 P0 

 

7.2.2 Schallleistungspegel 

L W : Schallleistungspegel dB 

P : Schallleistung W 

P : Bezugswert W 

0 

Der Schallleistungspegel LW beschreibt die Stärke einer Schallquelle. 

P 

0 

 

12 

10 W 

P 

LW 10dBlog 

P 

0 

7.2.3 Schallintensitätspegel 

L I : Schallintensitätspegel dB 

I : Schallintensität W m -2 

I 0 : Bezugswert W m -2 

Der Schallintensitätspegel LI beschreibt die Schallintensität I zu einem Bezugswert I0. 

I 

0 

10 Wm 

12 

-2 

I 

LI 10dBlog 

I 

0 


Kelvin 

Grad Celsius 

Grad Fahrenheit 

FH Formelsammlung - Wärmelehre Editiert: 21.02.2011 

8 Wärmelehre 

8.1 Temperatureinheiten 

T K : Temperatur K 

: Temperatur °C 

C 

: Temperatur °F 

F 

273.15 

TK C 5 

9 

TKF 459.67 

273.15 T 

C K 

5 

9 

CF 32 

9 

F K 459.67 

5 

 

T 

9 

32 

5 

 

F C 


Längenausdehnung 

Oberflächenausdehnung 


8.2 thermische Ausdehnung 

8.2.1 Wärmeausdehnung 

L 0 : Länge m 

A 0 : Oberfläche m 2 

V 0 : Volumen m 3 

0 : Dichte kg m -3 

L : Länge m 

A : Oberfläche m 2 

V : Volumen m 3 

: Dichte kg m -3 

L : 

A 

V 

Längenausdehnung m 

: Oberflächenausdehnung m 2 

: Volumenausdehnung m 3 

: linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1 

i : stoffspezifischer Volumenausdehnungskoeffizient K -1 

T : Temperaturdifferenz K 

K 

L L T 

0 K 

 

L L T 

A 0 

L 

L 

0 

0 1 K 

A A T 

0 2 K 

A0 A 

2 

1 1 2 

A A T A T 

0 K 0 

K 

kalter Zustand 

erwärmter Zustand 

Ausdehnung 

Andere 


Volumenausdehnung 

Volumenausdehnung 

in 

einem Gefäss 


V 0 

V V T 

0 3 K 

3 

1 1 3 

V V T V T 

0 K 0 

K 

V V T 

0 K 

 

V V T 

0 1 K 

T 

 

0 1 K 

3 

kubische (isotrope) Festkörper 

1 

273.15 

-1 

K ideale Gase 

V 0 

V0 V 

V0 V 

V V T V T 

0 Flüssigkeit K 0 Gefäss K 

 

V V T T 

0 1 Flüssigkeit K Gefäss K 

8.2.2 Bimetallstreifen 

Aufbau Bimetallthermometer 


Grundgleichung 

Krümmungsradius 


8.2.2.1 Krümmung mit einem festen Ende 

A : Krümmung des Bimetallsteifens m 

L : Länge des Bimetallsteifens m 

d : Dicke beider Metallsteifen m 

1 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient der aktiven Komponente K -1 

2 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient der inaktiven Komponente K -1 


K 

2 

3 

L 

A12TK 4 

d 

8.2.2.2 Krümmungsradius bei losen Enden 

R : 

Krümmungsradius in erwärmtem Zustand 

(vom Zentrum bis zur Mittellinie des inneren Metalls) 

m 

L : Länge des inneren Metalls in erwärmtem Zustand m 

Stahl 

L Alu : Länge der äusseren Metalls in erwärmten Zustand m 

d : Dicke eines Metallsteifens m 

Stahl : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient des inneren Metalls K -1 

Alu : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient des äusseren Metalls K -1 


K 

: Krümmungswinkel rad 

LStahlLAlu 

R R d 

1 

Stahl 

TK 

R 

 

1 

T R d 

Alu K 

1 Stahl 

K 

 

dT R 

T 

K Alu Stahl 

Abmessungen 

Andere 

Abmessungen 

Andere 



Kraft 


8.2.3 temperaturunabhängiger Massstab 

L 1 : Länge m 

1 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1 

L : Länge m 

2 

2 : linearer Wärmeausdehnungskoeffizient K -1 

L 

L 

 

L2 L1 const. 

 

1 2 

2 1 

erstes Metall 

zweites Metall 

8.2.4 eingespanntes Metall mit einem Querschnitt 

F : Kraft auf das Metall N 


A : Querschnittsfläche m 2 

L : Startlänge m 

0 

L : mechanische Längenausdehnung m 

mech 

L : thermische Längenausdehnung m 

therm 



F 

K 

L 1 

A E L 

L 

mech 

hookesches Gesetz 

0 

0 Ltherm LmechEinspannvorrichtung 

fest 

FL0 

AE 0 L0TK FL0 

AE 0 L0TK L 2 

F A E T 

K 

L L 

2 1 

L2 L1 

kalt warm 

L 0 

F 

warm kalt 

Elastizität 

Abmessungen 

Andere 

0 K , Zugkraft wirkt auf Vorrichtung 

TK 

0 K , Druckkraft wirkt auf Vorrichtung 

TK 


F


Kraft 

Verschiebung des 

Übergangs 


8.2.5 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten 



A i : Querschnittsfläche m 2 


i 


mechi 

Lthermi 

: thermische Längenausdehnung m 

x : Verschiebung des Übergangs m 



F 

K 

A 1 

2 A 

L 1 

2 L 

warm kalt 

A E L A E L 

L L 

Elastizität 

Abmessungen 

Andere 

1 mech1 2 mech2 


1 2 

0 Ltherm1 Lmech1 Ltherm 2 Lmech 

2 

Einspannvorrichtung fest 

F LFL 1 2 

0 L1TK L2TK 

A1EA2E F LFL 1 2 

0 L1TK L2TK 

A1EA2E 1 2 

 

E TK L L 

F 

L1 L2 

 

A A 

F F 

x 

1 2 

FL1 x Ltherm1 Lmech1 L1 TK 

A E 

 

L L T A A 

x L A L A 

1 2 K 1 2 

1 2 2 1 

1 



x 

TK 


TK


Kraft 


8.2.6 eingespanntes Metall mit zwei Querschnitten und Feder 



A i : Querschnittsfläche m 2 


i 


mechi 

A 1 

2 A 

L 1 

2 L 

warm kalt 

Lthermi 

: thermische Längenausdehnung m 

L : Längenänderung des Metalls und der Feder m 



K 


1 mech1 2 mech2 

F c L 

1 2 

Elastizität 

Abmessungen 

Andere 

A E L A E L 


L L 

L L L L L 

Einspannvorrichtung fest 

therm1 mech1 therm2 mech2 

F LFL L L TLT 1 2 

1 K 

A1E 2 K 

A2E F LFL L L TLT 1 2 

1 K 

A1E 2 K 

A2E 

E T L L 

K 1 2 

F c L 

E L1 L2 

 

c A A 

1 2 

L 

c 

F F 



TK 


TK 

L

verschiedene Stoffe 

Wasser 

Wärmekapazität 

spezifische 

Wärmekapazität 

thermische Energie 


8.3 Wärmekapazität 

8.3.1 spezifische Wärmekapazität 

C : Wärmekapazität J K -1 

c : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1 

Q, dQ : thermische Energie J 

T , dT : Temperaturdifferenz K 

K K 

m : Masse kg 

Q 

C 

T 

C 

c 

m 

K 

Q c m TK 

dQ c m dTK 


Situationen 

Berechnung 

Wasserwert 


8.3.2 Kalorimeter 

QKörper 

: thermische Energieänderung des Körpers J 

QWasser 

: thermische Energieänderung des Wassers J 

Q : thermische Energieänderung des Kalorimeters J 

Kal 

T : Temperatur des Körpers vor dem Eintauchen K 

Körper 


K , Körper 

c Körper : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1 

m Körper : Masse kg 

T Wasser : Temperatur vor dem Eintauchen des Körpers K 


K , Wasser 

c Wasser : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1 

m : Masse kg 

Wasser 

c Kal : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1 

m : Masse kg 

Kal 

C Kal : Wärmekapazität J K -1 

W : Wasserwert kg 


m 

K 

T Temperatur nach dem Eintauchen des Körpers K 


Körper 

Wasser 

Kalorimeter 

Andere 

Körper wärmer als Kalorimeter mit Wasser Körper kälter als Kalorimeter mit Wasser 

T T T 

T T T 

Q Q 

K , Körper Körper m 

T T T 

Körper Wasser 

K , Wasser m Wasser 

c m T c m T 

Körper Körper K , Körper Wasser Wasser K , Wasser 

Q Q Q 

Körper Wasser Kal 

 

c m T c m c m T 

K , Körper m Körper 

T T T 

K , Wasser Wasser m 

Körper Körper K , Körper Wasser Wasser Kal Kal K , Wasser 

C c m 

W 

c c 

Kal Kal Kal 

Wasser Wasser 

ideales Kalorimeter 

reales Kalorimeter 



Mischungstemperatur 


8.3.3 richmannsche Mischungsregel 

Q ab : abgegebene thermische Energie J 

m : Masse kg 

1 

c 1 : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1 

T : Temperatur K 

1 

Q : aufgenommene thermische Energie J 

auf 

m 2 : Masse kg 

c 2 : spezifische Wärmekapazität J kg -1 K -1 


2 

T : Temperatur beider Körper nach der Mischung K Andere 

m 

Qab Qauf 

 

m c T T m c T T 

T 

1 1 1 m 2 2 m 2 

m 

vorher nachher 

m1, c1, T 1 

m2, c2, T 2 

m c T m c T 

 

m c m c 

1 1 1 2 2 2 

1 1 2 2 

1 2 , m m Tm 

wärmerer Körper 

kälterer Körper 



8.4 stationärer Wärmetransport 

8.4.1 Zusammenhänge zwischen thermischen und elektrischen Kreisen 

elektrischer Kreis thermischer Kreis 

Bezeichnung Formelzeichen Einheit Bezeichnung Formelzeichen Einheit 

Spannung U V Temperaturdifferenz ΔTK K 

Stromstärke I A Wärmestrom IQ, Q W 

Stromdichte J A m -2 Wärmestromdichte JQ, q W m -2 

Leitfähigkeit ζ Ω -1 m -1 Wärmeleitfähigkeit λ W m -1 K -1 

Widerstand R Ω Wärmewiderstand Rth K W -1 

Leitwert G S Wärmeleitwert kλ ∙ A W K -1 

ohmsches 

U = R ∙ I Wärmeleitung ΔTK = Rth ∙ IQ 

Gesetz 

Reihen- 

schaltung 

I 

R el 

th R 

Q 

U 

U = U1 + U2 + ... + Un 

R = R1 + R2 + ... + Rn 

Reihen- 

schaltung 

8.4.2 Mechanismen des Wärmetransportes 

Wärmeleitung Wärmeströmung, Konvektion Wärmestrahlung 

ΔTKges = ΔTK1 + ΔTK2 + ... + ΔTKn 

Rthges = Rth 1 + Rth 2 + ... + Rth n 

Wärmeleitung Wärmeverbreitung in Festkörpern (meist Metalle) 

erzwungene Wärmeströmung, Konvektion Wärmeumwälzung die mit einem Lüfter (aktiv) entsteht 

freie Wärmeströmung, Konvektion Wärmeumwälzung die ohne Lüfter (passiv) entsteht 

Wärmestrahlung elektromagnetische Strahlung die jeder Körper ausstrahlt 


I 

TK

Zeitverlauf 

Beschreibung 

Wärmeleitwiderstand 


8.4.2.1 Wärmeleitung 

t = 1 t = 2 t = 3 

R thL : Wärmeleitwiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1 

d : Dicke des Materials m 

: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1 

A : Oberfläche des Materials m 2 

Wärmeleitung ist an einem festen Körper mit einer Temperaturdifferenz gebunden. Bei einer punktuellen 

Erwärmung eines festen Körpers wird die Wärmeenergie auf die unmittelbar in der Nähe liegenden 

Teilchen übertragen. 

R 

thL 

d 

 

A 


Zeitverlauf 

Beschreibung 

Wärmeströmungswiderstand 

typische Werte 


8.4.2.2 Wärmeströmung, Konvektion 

freie Wärmeströmung, 

Konvektion 

erzwungene Wärmeströmung, 

Konvektion 

t = 1 t = 2 t = 3 

R thK : Wärmeströmungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1 

K : Wärmeübergangskoeffizient, Konvektionskoeffizient W m -2 K -1 


Wärmeströmung ist ähnlich wie die Wärmeleitung an einen materiellen Stoff gebunden. Doch im 

Gegensatz zur Wärmeleitung kann eine Wärmeströmung nur in einer Flüssigkeit oder in einem 

gasförmigen Stoff stattfinden. 

R 

thK 

1 

 

A 

K 

Kühlungsart K 

ruhende Luft (Passivkühlung) 10…20 W m -2 K -1 

Luftstrom (Aktivkühlung) 100 W m -2 K -1 

Wasserstrom (Wasserkühlung) 1000 W m -2 K -1 


Beschreibung 

Wärmestrahlungswiderstand 


8.4.2.3 Wärmestrahlung 

8.4.2.3.1 Wärmestrahlungswiderstand 

R thS : Wärmestrahlungswiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1 

S : Wärmeübertragungskoeffizient, Strahlungskoeffizient W m -2 K -1 

A : Oberfläche des Wärme abstrahlenden Materials m 2 

Wärmestrahlung ist eine Form des Energietransportes, der nicht an eine stoffliche Materie gebunden ist. 

Wärmestrahlung ist eine elektromagnetische Wellenstrahlung, deren Wellenlänge zwischen 400 nm bis 

1 mm beträgt. Damit umfasst sie den Bereich des sichtbaren Lichts sowie des Infrarotbereiches. 

R 

thS 

1 

 

A 

S 


Beschreibung 

Transmission 

Reflexion 

Absorption 



8.4.2.3.2 Transmission, Reflexion und Absorption 

Transmission, Durchlässigkeit Reflexion Absorption 

: Transmissionsfaktor 

: Reflexionsfaktor 

: Absorptionsfaktor 

I I : einfallende Strahlungsleistung W 

einfallend , 

Q Qe 

I Qtransmittiert 

: transmittierte Strahlungsleistung W 

I Qreflektiert 

: reflektierte Strahlungsleistung W 

I Qabsorbiert 

: absorbierte Strahlungsleistung W 

Faktoren 

Strahlungsleistung 

Von Transmission (Durchlässigkeit) spricht man, wenn ein Teil der Strahlungsleistung durch den 

Stoff gelassen wird. 

Von Reflexion spricht man, wenn ein Teil der Strahlungsleistung zurückgeworfen wird. 

Von Absorption spricht man, wenn ein Grossteil der Strahlungsleistung vom Stoff aufgenommen wird. 

I 

 

I 

I 

 

I 

I 

 

I 

Qtransmittiert 

Qeinfallend 

Qreflektiert 

Qeinfallend 

Qabsorbiert 

Qeinfallend 

IQtransmittiert IQreflektiertIQabsorbiertIQeinfallend 1 

I I 

QeinfallendQeinfallend FH Formelsammlung 9 Physik.doc 191

Eigenschaften 

graue Körper 

schwarze Körper 

Absorption 

Emission 

kirchhoffsches 

Strahlungsgesetz 


8.4.2.3.3 Emission, Absorption und kirchhoffsches Strahlungsgesetz 

gute Absorption gute Emission schlechte Absorption schlechte Emission 

: Emissionsfaktor 

: Absorptionsfaktor 

I I : einfallende Strahlungsleistung W 

einfallend , 

Q Qe 

I Qabsorbiert 

: absorbierte Strahlungsleistung W 

I Qreflektiert 

: reflektierte Strahlungsleistung W 

I Qemittiert 

: emittierte Strahlungsleistung W 

Faktoren 

Strahlungsleistung 

Eine schwarze Fläche emittiert am meisten Wärmestrahlung. 

Eine schwarze Fläche muss genau soviel Wärmestrahlung emittieren wie absorbieren. 

Absorbiert eine Fläche alle Wärmestrahlung, ist sie perfekt schwarz. 

I I I I I 

Qeinfallend Qabsorbiert Qreflektiert Qemittiert Qreflektiert 

I I I 

Qeinfallend Qabsorbiert Qemittiert 

I 

 

I 

I 

 

I 

 

Qabsorbiert 

Qeinfallend 

Qemittiert 

Qeinfallend 

Der Wärmefluss durch Strahlung muss in beiden Richtungen gleich 

sein, sonst würde sich eine Fläche abkühlen und die andere sich 

aufheizen. 

Der Wärmefluss durch Strahlung muss in beiden Richtungen gleich 

sein, sonst würde sich eine Fläche abkühlen und die andere sich 

aufheizen. 


Situation 

Ersatzschaltung 

Strahlungsaustauschkoeffizient 

Wärmeübertragungskoeffizient 

Wärmestrahlungswiderstand 

Wärmestrom 


8.4.2.3.4 Strahlungsaustauschkoeffizient 

C 12 : Strahlungsaustauschkoeffizient W m -2 K -4 

S : 

1 

Wärmeübertragungskoeffizient, 

Strahlungskoeffizient 

: Emissionsfaktor der warmen Fläche 

: Emissionsfaktor der kalten Fläche 

2 

T : Temperatur der warmen Fläche K 

1 

T : Temperatur der kalten Fläche K 

2 


R thS : 

Wärmestrahlungswiderstand, 

absoluter Wärmewiderstand 

IQ, Q : Wärmestrom W 

W m -2 K -1 

K W -1 

1,2 

: Stefan-Boltzmann Konstante 5.6704 ∙ 10 -8 W m -2 K -4 

C 

12 

 

 

1 1 

1 

 

1 2 

C12 1 2 ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1 

2 2 

S 1 2 T1 T2 T1 T2 

ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1 

R 

thS 

1 

 

A 

S 

T T 

I A T T 

1 2 

Q 

RthS 

S 

Q 

 

1 2 

2 2 

 

I A T T T T T T ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1 

Q 

I 

T 1 

R thS 

2 T 

Q 

T1 T2 

1 2 1 2 1 2 1 2 

4 4 

I A T T ε1 ≈ 1 oder ε2 ≈ 1 

1 2 1 2 

Aufbau 

Andere 


Eigenschaften 

wiensches 

Verschiebungsgesetz 

gesamte Strahlung 


8.4.2.3.5 spektrale Zusammensetzung der Wärmestrahlung 

plancksche Strahlungsspektren schwarzer Strahler 

max : 

Wellenlänge bei der die grösste 

Strahlungsintensität auftritt 

: Stefan-Boltzmann Konstante 5.6704 ∙ 10 -8 W m -2 K -4 


Körper 

µm 


M : spektrale spezifische Ausstrahlung W m -2 

P : Strahlungsleistung W 

: Emissionsfaktor 

Andere 

Körper 

Je höher die Temperatur eines Körpers ist, desto kürzer ist die Wellenlänge, bei der das 

Strahlungsintensitätsmaximum ausgesandt wird. 

Stahl gibt bei Raumtemperatur unsichtbares infrarotes Licht als Wärmestrahlung ab. 

Warmer glühender Stahl leuchtet dunkelrot und heisser flüssiger Stahl glüht fast weiss. 

Die Strahlungsleistung nimmt mit der 4. Potenz der absoluten Temperatur zu. 

2897.8 μm K 

 

max 

TKörper 

3000 K 6000 K 

M T 4 

Körper 

P M A A T 

M T 

4 

Körper 

4 

Körper 

P M A A T 

4 

Körper 

schwarzer Körper 

beliebiger Körper 


Wärmeübergang 

Wärmedurchgang 

Eigenschaften 

absoluter 

Wärmewiderstand 


8.4.2.4 Wärmeübergang und Wärmedurchgang 

Wärmeübergang Wärmedurchgang 

Die Wärmeenergie wird von einem abgeschlossenen System auf ein angrenzendes System übertragen. 

Die Wärmeenergie wird von einem abgeschlossenen System über ein angrenzendes auf ein weiteres 

abgeschlossenes System übertragen. 

8.4.3 Wärmewiderstand 

8.4.3.1 Definition 

R th : absoluter Wärmewiderstand K W -1 

R : spezifischer Wärmewiderstand K m W -1 

R T : Wärmedurchgangswiderstand K m 2 W -1 




K 

I : Wärmestrom W 

Q 


k : Wärmedurchgangskoeffizient bei Wärmeleitung W m -2 K -1 


Abmessungen 

Andere 

Ein kleiner Wärmewiderstand bedeutet schlechte Wärmedämmung. 

Ein kleiner Wärmewiderstand bedeutet gute Wärmeleitung. 

Ein grosser Wärmewiderstand bedeutet gute Wärmedämmung. 

Ein grosser Wärmewiderstand bedeutet schlechte Wärmeleitung. 

Über einem kleinen Wärmewiderstand befindet sich eine kleine Temperaturdifferenz. 

Über einem grossen Wärmewiderstand befindet sich eine grosse Temperaturdifferenz. 

R 

R 

th 

th 

d 1 

 

AkA T 

 

I 

Q 

K 

 


spezifischer 


Wärmedurchgangswiderstand 

Gesamtwärmewiderstand 

Wärmestrom 

Wärmedurchgangskoeffizient 


R 

R 

R 

R 

 

T 

T 

1 

 

 

TKA 

I d 

Q 

1 d 

 

 

k 

TKA 

I 

Q 

8.4.3.2 Reihenschaltung von Wärmewiderständen 

Einzelwärmewiderstände Gesamtwärmewiderstand 

R th, ges : Gesamtwärmewiderstand K W -1 

R th, i : Einzelwärmewiderstände K W -1 

k ges : Gesamtwärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1 

k i : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1 

n : Anzahl Wärmewiderstände 

IQ, Q: Wärmestrom W 

i : Temperaturen °C 

n 

 

R R R R ... R 

th, ges th, i th,1 th,2 th, n 

i1 

I Q 

 

 

 

1 2 2 3 n n 1 1 n 1 

Q ... 

Rth,1 Rth,1 Rth, n Rth, 

ges 

k 

1 1 

 

1 1 1 1 

... 

k k k k 

ges n 

i1i12n Wärmewiderstand 

Wärmestrom 


Gesamtwärmewiderstand 

Wärmestrom 



8.4.3.3 Parallelschaltung von Wärmewiderständen 

Einzelwiderstände Gesamtwiderstand 

R th, ges : Gesamtwärmewiderstand K W -1 

R th, i : Einzelwärmewiderstände K W -1 

k ges : Gesamtwärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1 

k i : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1 

n : Anzahl Wärmewiderstände 


i : Temperaturen °C 

1 1 

Rth, ges Rth,1 Rth,2 ... Rth, 

n 

n 1 1 1 1 

... 

R R R R 

n 

 

I Q Q Q Q ... Q 

Q i 1 2 

n 

i1 

i1 th, i th,1 th,2 th, n 

n 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 

IQQ ... 

R R R R R 

n 

 

i1 th, i th,1 th,2 th, n th, ges 

k k k k ... k 

ges i 1 2 

n 

i1 


Wärmestrom 


Wärmestrom 

Wärmestromdichte 


8.4.4 Wärmestrom durch Oberflächen und Wärmestromdichte 


JQ, q : Wärmestromdichte W m -2 

Q : Wärmemenge J 

TK 

: Temperaturdifferenz K 



t : Zeit s 

Wärmetransport 

Abmessungen 

Andere 


: spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1 k : Wärmedurchgangskoeffizient bei Wärmeleitung W m 


-2 K -1 

dQ 

IQQ dt 

I 

Q 

T 

 

R 

th 

K 

ATK IQ k A TK 

ebene Wand 

d 

Q 1 dQ 

JQq 

A A dt 

J 

Q 

TK 

 

AR th 

TK 

JQ k TK 

ebene Wand 

d 


Prinzip 

Wasserkühlung 

Wärmestrom 

transportierte 

Masse pro Zeit 

transportiertes 

Volumen pro Zeit 


8.4.5 Wärmestrom durch Materie 

P : abzuführende Verlustleistung W 


Q 

T 1 : Temperatur der eintretenden Materie K 

T : Temperatur der austretenden Materie K 

2 

eintretende 

Materie 

T 1 

m transportierte Masse pro Zeit kg s -1 

V : transportiertes Volumen pro Zeit m 3 s -1 

m : Masse kg 

V : Volumen m 3 

t : Zeit s 


: Dichte kg m -3 

dm 

IQ c T2 T1 m c T2 T1 

dt 

dm I 

m 

dt c T T 

Körper 

 

 

Q 

2 1 

dV 1 dm m 

V 

dt dt 

austretende 

Materie 

P IQ 

2 T 

m 

Leistung und Wärmestrom 

Materie, z. B. Luft oder Wasser 


Bedeutung 

Eigenschaften 

Berechnung 

Bedeutung 

Eigenschaften 

Wärmeleitung 

Wärmeströmung, 

Konvektion 

Wärmestrahlung 



8.4.6 spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl, λ 




Die spezifische Wärmeleitfähigkeit die Wärmemenge an, die durch einen Quadratmeter eines ein 

Meter dicken Bauteils während einer Sekunde bei einem Temperaturunterschied von einem Kelvin 

hindurchgeht. 

Die spezifische Wärmeleitfähigkeit kann für ein fertiges Produkt, zum Beispiel einen Ziegelstein 

oder ein komplettes Wärmefenster nicht angegeben werden, weil die Dicke schon festliegt. 

Eine kleine spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet gute Wärmedämmung. 

Eine kleine spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet schlechte Wärmeleitung. 

Eine grosse spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet schlechte Wärmedämmung. 

Eine grosse spezifische Wärmeleitfähigkeit bedeutet gute Wärmeleitung. 

k d 

8.4.7 Wärmedurchgangskoeffizient, Wärmedämmwert, k-Wert, U-Wert 

k : 


bei Wärmeleitung 

W m -2 K -1 

k K : Wärmedurchgangskoeffizient 

bei Wärmeströmung, Konvektion W m-2 K -1 

k S : 


bei Wärmestrahlung 



: 

spezifische Wärmeleitfähigkeit, 

Wärmeleitzahl 

K : Wärmeübergangskoeffizient, 

Konvektionskoeffizient 

S : Wärmeübertragungskoeffizient, 

Strahlungskoeffizient 

W m -2 K -1 

W m -1 K -1 

W m -2 K -1 

W m -2 K -1 



Abmessungen 


Andere 

Der Wärmedurchgangskoeffizient gibt die Wärmemenge an, die durch einen Quadratmeter eines 

Bauteils während einer Sekunde bei einem Temperaturunterschied von einem Kelvin hindurchgeht. 

Der Wärmedurchgangskoeffizient kann für ein fertiges Produkt, zum Beispiel einen Ziegelstein oder 

ein komplettes Wärmefenster angegeben werden. 

Ein kleiner Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet gute Wärmedämmung. 

Ein kleiner Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet schlechte Wärmeleitung. 

Ein grosser Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet schlechte Wärmedämmung. 

Ein grosser Wärmedurchgangskoeffizient bedeutet gute Wärmeleitung. 

k 

 

 

 

d 

kK K 

kS S 

Rth 

1 

 

k A 

 

k 

 

1 

R A 

th 

1 

k 

R A 

th 


absoluter 


Wärmedurchgangso 

effizient 

Wärmestrom 



8.4.8 Situationen bei Wärmeleitung 

8.4.8.1 Formelzeichen 



I Q : Wärmestrom W 

J Q : Wärmestromdichte W m -2 

TK 

: Temperaturdifferenz K 

d z : Dicke des Materials m 

, i 

r i : Radius m 

l : Länge m 


i : spezifische Wärmeleitfähigkeit, Wärmeleitzahl W m -1 K -1 

i : Wärmeübergangskoeffizient der inneren Grenzschicht W m -2 K -1 

a : Wärmeübergangskoeffizient der äusseren Grenzschicht W m -2 K -1 

8.4.8.2 einschichtige Wand ohne Grenzschichten 

R 

k 

I 

J 

th 

 

Q 

Q 

1 d 

 

A 

 

 

d 

AT 

d 

T 

 

d 

K 

K 

Wärmetransport 

Abmessungen 



absoluter 



Wärmestrom 



8.4.8.3 einschichtige Wand mit Grenzschichten 

R 

k 

I 

J 

th 

 

Q 

Q 

1 1 d 1 

 

A i a 

 

1 

 

1 d 1 

 

 

i a 

ATK 

1 d 1 

 

 

i a 

TK 

 

1 d 1 

 

 

i a 


absoluter 



Wärmestrom 


absoluter 



Wärmestrom 


8.4.8.4 mehrschichtige Wand ohne Grenzschichten 

R 

k 

I 

J 

1 

z z 

z 

 

 

 

1 2 3 

th 

A 1 2 3 

 

Q 

Q 

1 

 

z1 z2 

z3 

 

 

1 2 3 

ATK 

z1 z2 

z3 

 

 

1 2 3 

TK 

 

z1 z2 

z3 

 

 

1 2 3 

Δz1: innere Materialdicke 

Δz2: mittlere Materialdicke 

Δz3: äussere Materialdicke 

8.4.8.5 mehrschichtige Wand mit Grenzschichten 

R 

k 

I 

1 1 z z 

z 

1 

 

 

1 2 3 

th 

A i 1 2 3 a 

 

Q 

1 

 

1 z1 z2 

z3 

1 

 

 

i 1 2 3 a 

ATK 

1 z1 z2 

z3 

1 

 

 

i 1 2 3 a 

δ1: innere Grenzschicht 

δ2: äussere Grenzschicht 

Δz1: innere Materialdicke 

Δz2: mittlere Materialdicke 

Δz3: äussere Materialdicke 



absoluter 


Wärmestrom 

absoluter 


Wärmestrom 


J 

Q 

TK 

 

1 z1 z2 

z3 

1 

 

 

i 1 2 3 a 

8.4.8.6 einschichtiger Hohlzylinder ohne Grenzschichten 

R 

I 

1 1 r ln 

 

2 

th 

2 l r1 

Q 

2 

lT 

r 2 ln 

 

r 

1 

K 

r1: innerer Radius 

r2: äusserer Radius 

8.4.8.7 einschichtiger Hohlzylinder mit Grenzschichten 

R 

I 

1 1 1 r 1 

 

 

2 

th ln 

 

2 

l i r1 r1 a 

r2 

Q 

2 

lTK 

1 1 r 2 1 

ln 

r r r 

i 1 1 a 2 




absoluter 


Wärmestrom 

absoluter 


Wärmestrom 


8.4.8.8 mehrschichtiger Hohlzylinder 

R 

I 

th 

Q 

r1: innerster Radius 

r2: zweit innerster Radius 

r3: zweit äusserster Radius 

r4: äusserster Radius 

1 1 r 2 1 r 3 1 r 

4 

ln ln ln 

 

2l1r12r23r 

3 

2 

lTK 

1 r 2 1 r 3 1 r 4 

ln ln ln 

1 r1 2 r2 3 

r3 8.4.8.9 Hohlkugel 

R 

I 

th 

Q 

1 1 

 

1 r1 r2 

 

4 

 

4 

T 

1 1 

 

r r 

1 2 

K 




Situation 


absolute 

Wärmewiderstände 

Wärmeströme 

Wärmestromdichten 


8.4.9 Situationen bei Wärmeströmung, Konvektion und Wärmestrahlung 

8.4.9.1 Wärme abstrahlender Körper im Raum 



QK 

J QK : Wärmestromdichte W m -2 




QS 

J QS : Wärmestromdichte W m -2 


T : Oberflächentemperatur des Körpers K 

Körper 

T Wand : Oberflächentemperatur der Wand K 

T : Lufttemperatur K 

R 

R 

T Körper 

T Körper 

Luft 

Konvektion 

Strahlung 

Temperaturen 

A : Oberfläche des Körpers Andere 

thK 

thS 

1 

 

A 

K 

1 

 

A 

S 

 

I A T T 

QK K Körper Luft 

 

I A T T 

QS S Körper Wand 

 

J T T 

QK K Körper Luft 

 

J T T 

T Luft T Wand 

I 

QK 

I QS 

QS S Körper Wand 

R thK 

TKörper TLuft 

R thS 

TKörper TWand 

T Luft 

T Wand 


Situation 


Temperatur- und 

Wärmestromverlauf 


8.5 instationärer Wärmetransport 

8.5.1 Erwärmung eines Körpers über einen Wärmestrom 

U 

 

0 

IQt 

t 0 

0 

U 

 

R th 

 

U Körper t 

mc 

t 

Temperatur Wärmestrom 

Körper t : Temperatur K 

0 : Anfangstemperatur K 


m : Masse kg 

k : Wärmedurchgangskoeffizient W m -2 K -1 


Umgebung, U : Umgebungstemperatur, konstant K 

IQt : Wärmestrom W 

P : Initialwärmestrom W 

R th : Wärmewiderstand, absoluter Wärmewiderstand K W -1 

: Zeitkonstante s 

t : Zeit s 

U 

U 

Körper t 

Körper 

Andere 


Differentialgleichung 

instationäre Werte 

stationäre Werte 

Zeitkonstante 


 

 

 

I t k A t 

Q Umgebung Körper 

d 

IQ t m c Körper t 

dt 

 

d k A 

 

dt m c 

 

tt Körper Umgebung Körper 

0 

kA 

t 

mc 


Q 

0 I P 

Körper 

0 0 

 

Körper t Umgebung Umgebung e Körper0 0 

0 

1 

t 

m c Rth 


0 

I t k A e 

Q Umgebung 

1 

t 

Umgebung 0 m c Rth 

 

IQ t e 

R 

t 

limKörper Umgebung 

t 

 

lim I t 0 

t 

Q 

th 

mc 

m c R 

kA th 

kA 

t 

mc 

t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 

Erwärmungsvorgang 

abgeschlossen zu 

50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %

Situation 





8.5.2 Erwärmung eines Körpers über mehrere Wärmeströme 

 

W 

L 

P 

0 

 

 

t 0 

L 

0 

P 

R thS 

R thK 

R thL 

 

W Körper t 

 

 

L Körper t 

 

P Körper t 

mc 

IQt 

W 

Körper t 


t 


L 

E 

P 

W

Konstanten 




E : Endtemperatur K 

m : Masse kg 



A L : Oberfläche der Wärmeleitung m 2 

d : Dicke m 


Platte, P : Temperatur K 


A K : Oberfläche der Konvektion m 2 


Luft, L : Temperatur K 


A S : Oberfläche der Strahlung m 2 


: Temperatur K 

, 

Wand W 




t : Zeit s 

a : Konstante K -1 W 

b : Konstante W 

1 1 1 

a 

R R R 

thL thK thS 

 

b 

R R R 

Platte Luft Wand 

thL thK thS 

Körper 

Platte 


Luft 

Wand 

Andere





Zeitkonstante 


R 

R 

R 

thL 

thK 

thS 

Q 

d 

 

A 

L 

1 

 

A 

K K 

1 

 

A 

 

I t 

S S 

 

t t t 

 

 

R R R 

Platte Körper Luft Körper Wand Körper 

d 


dt 

thL thK thS 

d 

m c Körper t a Körper t b 

dt 

a b 


Q 

0 I P 

d 

1 1 1 


m c Körper t Körper t 

dt RthL RthK RthS RthL RthK RthS 

 

 

a 

b t 

b mc 

Körpert0e Körper0 0 

a a 

Q 

 

I t b a e 

t 

limKörperE t 

 

lim I t 0 

t 

Q 

mc 

a 

0 

b 

 

a 

a 

t 

mc 

t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 



50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 % 

Körper 

0 0

Situation 





8.5.3 Abkühlung eines Körpers über einen Wärmestrom 

U 

 

U 

IQt 

t 0 

0 

U 

t 

 

Körper U 

R th 

mc 

t 





m : Masse kg 








t : Zeit s 

U 

U 

Körper t 

Körper 

Andere 





Zeitkonstante 


 

 

I t k A t 

Q Körper Umgebung 

d 


dt 

 

d k A 

tt dt m c 

 

Körper Körper Umgebung 

0 

kA 

t 

mc 


Q 

0 I P 

Körper 

0 0 

 


0 

1 

t 

m c Rth 


0 

I t k A e 

Q Umgebung 

1 

0 

t 

Umgebung m c Rth 

 

IQ t e 

R 

t 

limKörper Umgebung 

t 

 

lim I t 0 

t 

Q 

th 

mc 

m c R 

kA th 

kA 

t 

mc 

t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 

Abkühlungsvorgang 


50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %

Situation 





8.5.4 Abkühlung eines Körpers über mehrere Wärmeströme 

 

W 

L 

P 

E 

t 0 

L 

0 

P 

t 

 

Körper W 

R thS 

t 

 

Körper L 

R thK 

t 

 

Körper P 

R thL 

mc 

IQt 

W 

Körper t 


t 


L 

E 

P 

W

Konstanten 




E : Endtemperatur K 

m : Masse kg 



A L : Oberfläche der Wärmeleitung m 2 

d : Dicke m 


Platte, P : Temperatur K 


A K : Oberfläche der Konvektion m 2 


Luft, L : Temperatur K 


A S : Oberfläche der Strahlung m 2 


: Temperatur K 

, 

Wand W 




t : Zeit s 

a : Konstante K -1 W 

b : Konstante W 

1 1 1 

a 

R R R 

thL thK thS 

 

b 

R R R 


thL thK thS 

Körper 

Platte 


Luft 

Wand 

Andere





Zeitkonstante 


R 

R 

R 

thL 

thK 

thS 

Q 

d 

 

A 

L 

1 

 

A 

K K 

1 

 

A 

 

I t 

S S 

t t t 

 

 

R R R 

Körper Platte Körper Luft Körper Wand 

d 


dt 

 

thL thK thS 

d 

m c Körper t a Körper t b 

dt 

a b 


Q 

0 I P 

d 1 1 1 


m c Körper t Körper t 

dt RthL RthK RthS RthL RthK RthS 

 

 

a 

b t 

b mc 

Körpert0e Körper0 0 

a a 

Q 

 

I t a b e 

t 

limKörperE t 

 

lim I t 0 

t 

Q 

mc 

a 

0 

b 

 

a 

a 

t 

mc 

t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 



50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 % 

Körper 

0 0

Situation 


Temperaturverlauf 



8.5.5 Anlauferwärmung eines Stromverbrauchers mit 0 Körper t 

 

Umgebung 

Wärmestrom an die Umgebung Wärmestrom an den Körper 


 

Körper U 


P : Verlustleistung W 


m : Masse kg 




IQabgabet : Wärmestrom an die Umgebung W 

Qerwärmung 

t 0 

U 

U 

 

P 

R th 

IQabgabet 

mc 

t 

PRth U 

I t : Wärmestrom an den Körper W 



t : Zeit s 

U 

 

I t 

Qerwärmung 

Körper 

Andere 


t 

Körper Umgebung




Zeitkonstante 


 

 

I t k A t 

Qabgabe Körper Umgebung 

d 

IQerwärmung t m c Körper t 

dt 

 

 

P ItIt Qabgabe Qerwärmung 

d 

P k A t m c t 

dt 

Körper Umgebung Körper 

 

kA 

P t 

mc 

KörpertUmgebung1e 

kA 

1 

t 

m c Rth 

KörpertUmgebungRth P 1e 

 

kA 1 

t 

t 

mc 

m c Rth 

IQabgabe t P 1eP1e 

 

 

Qerwärmung 

 

kA 1 

t 

t 

mc 

m c Rth 

I t P e P e 

t 

P 

 

kA limKörperUmgebung t 

 

limKörperUmgebungth t 

t R P 

 

lim IQabgabe t P 

t 

 

lim I t 0 

t 

Qerwärmung 

mc 

m c R 

kA th 

Qabgabe 

Qerwärmung 

 

0 0 0 


I 

I P 

0 

Körper Umgebung 

0 


0 


t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 



50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %

Situation 






 

Umgebung 






m : Masse kg 





Qerwärmung 

t 0 

 

0 

U 

P 

R th 

IQabgabet 

mc 

t 

PRth U 




t : Zeit s 

U 

 

I t 

Qerwärmung 

PR 

Körper th U 

Körper 

Andere 


t 

Körper Umgebung




Zeitkonstante 


 

 

I t k A t 


d 


dt 

 

 


d 

P k A t m c t 

dt 


 

0 0 

0 0 

I k A 

kAkA t P t 

 

mcmc Körper t Umgebung 0 Umgebung 

e 1e kA 

Abkühlung 

Qabgabe Umgebung 

I k A P 

Qerwärmung Umgebung 

Erwärmung 

kAkA t t 

mcmc IQabgabe t k A 0Umgebunge P 1e 

0 


kAkA t t 

mcmc I t k A e P e 

t 

P 

 


 


t 

 

lim I t 0 

t 

Qerwärmung 

mc 

m c R 

kA th 

0 0 

 


Körper 

Körper 

t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 



50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 % 

0 0

Situation 






 

Umgebung 






m : Masse kg 





Qerwärmung 

t 0 

 

0 

U 

P 

R th 

IQabgabet 

mc 

t 

PRth U 




t : Zeit s 

U 

 

I t 

Qerwärmung 

PR 

Körper th U 

Körper 

Andere 


t 

Körper Umgebung




Zeitkonstante 


 

 

I t k A t 


d 


dt 

 

 


d 

P k A t m c t 

dt 


 

0 0 

0 0 

I k A 

Qabgabe Umgebung 

kAkA t P t 

mcmc Körper t Umgebung Umgebung 0 

e 1e kA 

Erwärmung 

I k A P 


Erwärmung 

kAkA t t 

mcmc IQabgabe t k A Umgebung0eP1e 

0 


kAkA t t 

mcmc I t k A e P e 

t 

P 

 


 


t 

 

lim I t 0 

t 

Qerwärmung 

mc 

m c R 

kA th 

0 0 

 


Körper 

Körper 

0 0 

 

t ln(2) ∙ η η 2 ∙ η 3 ∙ η 4 ∙ η 5 ∙ η 



50 % 63.2 % 86.5 % 95 % 98.2 % 99.3 %

FH Formelsammlung 9 Physik.pdf - TechBoard

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