Aufgabe 1 (2 Punkte) Geworfen werden zwei sechsseitige Würfel ...
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<strong>Aufgabe</strong> 1 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
<strong>Geworfen</strong> <strong>werden</strong> <strong>zwei</strong> <strong>sechsseitige</strong> <strong>Würfel</strong>. Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten<br />
für die Augensumme der <strong>Würfel</strong> aus?<br />
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete<br />
Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 2 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Wie oft muss ein <strong>sechsseitige</strong>r <strong>Würfel</strong> mindestens geworfen <strong>werden</strong>, damit<br />
mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 mindestens einmal die<br />
Zahl 6 erscheint?<br />
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete<br />
Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 3 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:<br />
1. Ist B eine nicht-leere Teilmenge von Ω, so ist<br />
eine σ-Algebra über B.<br />
A ∩ B := {A ∩ B : A ∈ A}<br />
2. Sei B ∈ A mit P (B) > 0 und setze<br />
PB(A) :=<br />
P (A)<br />
P (B)<br />
für alle A ∈ A ∩ B.<br />
Dann ist (B, A ∩ B, PB) ein Wahrscheinlichkeitsraum.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 4 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Die Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 <strong>werden</strong> in zufälliger Reihenfolge aufgeschrieben.<br />
Es ergibt sich somit eine siebenstellige Zahl mit lauter verschiedenen Ziffern.<br />
Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten an, dass die so gebildete siebenstellige<br />
Zahl<br />
a) durch 2, b) durch 3, bzw. c) durch 4 teilbar ist.<br />
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete<br />
Modell an. Hinweis:<br />
Eine Zahl ist durch drei teilbar, falls die Quersumme durch drei teilber ist.<br />
Eine Zahl ist durch vier teilbar, falls die Zahl bestehend aus den letzten<br />
beiden Ziffern durch vier teilbar ist.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 5 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Anton und Birgit spielen das folgende Spiel:<br />
Birgit beschriftet drei <strong>sechsseitige</strong> <strong>Würfel</strong> mit Zahlen zwischen 1 und 6, dabei<br />
darf Sie jede der Zahlen 1 bis 6 beliebig oft verwenden (z.B. könnte<br />
sie auf einen <strong>Würfel</strong> lauter Einsen schreiben). Erst sucht sich Anton einen<br />
<strong>Würfel</strong> aus. Danach wählt Birgit einen der beiden übrigen <strong>Würfel</strong> aus. Jetzt
würfeln beide gleichzeitig. Gewonnen hat derjenige, der die größere Augenzahl<br />
würfelt.<br />
Ist das Spiel für Birgit vorteilhaft, d.h. gibt es eine Beschriftung der <strong>Würfel</strong><br />
so, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit strikt größer 1<br />
2 gewinnt?<br />
Beweisen Sie Ihre Antwort! Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 6 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Ein Dozent hat einen Fundus von 36 Klausuraufgaben, von denen er in<br />
jeder Klausur 12 zufällig mit Gleichverteilung auswählt. Ein bestimmter<br />
Bachelor-Student hat fleißig gelernt und kann genau 20 <strong>Aufgabe</strong>n korrekt<br />
lösen. Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 6 <strong>Aufgabe</strong>n richtig<br />
gelöst wurden.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student besteht?<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 7 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Beim Lottospiel “6 aus 49” <strong>werden</strong> zufällig sechs Kugeln aus einer Urne mit<br />
49 durchnummerierten Kugeln gezogen. Die Spieler können auf einem Lottoschein<br />
tippen, welche sechs der 49 Zahlen gezogen <strong>werden</strong>.<br />
Birgit füllt sechs Lottoscheine aus. Dabei tippt sie so, dass keine ihrer ausgewählten<br />
Zahlen auf <strong>zwei</strong> verschiedenen Lottoscheinen auftritt.<br />
Nach der Ziehung der Lottozahlen stellt sie fest, dass keine ihrer ausgewählten<br />
Zahlen gezogen wurde.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 8 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Eine Urne enthalte n Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 10 durchnummeriert<br />
sind. Es wird nun eine Kugel gezogen. Deren Zahl wird notiert, falls diese<br />
noch nicht gezogen wurde. Anschließend wird die Kugel zurück in die Urne<br />
gelegt.<br />
Dieser Vorgang wird k-mal hintereinander ausgeführt.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man nur genau <strong>zwei</strong> Zahlen notiert<br />
hat? Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 9 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Aus einer Urne mit neun schwarzen und einer weißen Kugel <strong>werden</strong> nacheinander<br />
4 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der<br />
Ziehung mindestens einmal die weiße Kugel zu ziehen, falls<br />
1. die gezogene Kugel nach jedem Zug in die Urne zurückgelegt <strong>werden</strong>?<br />
2. die gezogenen Kugeln nicht zurückgelegt <strong>werden</strong>?<br />
Geben Sie die von Ihnen verwendeten Modelle an.
<strong>Aufgabe</strong> 10 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Lottospiel “6 aus 49” keine<br />
benachbarten Zahlen gezogen <strong>werden</strong>?<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
Hinweis:<br />
Als Ergebnisraum bietet sich Ω :=<br />
<br />
w ∈ {1, ..., 49} 6 : w1 < ... < w6<br />
<br />
an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 11 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Anton, Birgit und Christian spielen Skat. Beim Skatspiel spielen die drei<br />
Spieler mit 32 Karten (Farbe: Kreuz, Pik, Herz, Karo; Werte: As, König,<br />
Dame, Bube, Zehn, Neun, Acht, Sieben). Jeder Spieler erhält zehn Karten,<br />
<strong>zwei</strong> Karten kommen als “Skat” verdeckt auf den Tisch.<br />
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Skat genau <strong>zwei</strong> Asse<br />
enthält?<br />
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anton mindestens drei Buben<br />
erhält?<br />
Geben Sie die von Ihnen verwendeten Modelle an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 12 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeigen Sie:<br />
Für alle n ∈ und alle Ereignisse A1, ..., An ∈ A gilt<br />
P (<br />
n<br />
j=1<br />
Aj) ≤ min<br />
1≤i≤n [<br />
n<br />
P (Aj) −<br />
j=1<br />
n<br />
j=1,j=i<br />
P (Aj ∩ Ai)]<br />
<strong>Aufgabe</strong> 13 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Der Mathematiker und Raucher Stefan Banach hatte in seinen beiden Hosentaschen<br />
je eine Schachtel Zigaretten, anfänglich in jeder n Stück. Jedesmal,<br />
wenn er sich eine Zigarette anzünden möchte, greift er zufällig mit Gleichverteilung<br />
in eine der beiden Hosentaschen und nimmt sich aus der Schachtel<br />
eine Zigarette heraus. Als Banach die letzte Zigarette einer Packung ansteckt,<br />
wird er nachdenklich. Da Rauchen ungesund ist, will er aufhören.<br />
Dazu wirft er alle Zigaretten, die er noch in der anderen Schachtel hat,<br />
weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Banach genau r Zigaretten<br />
wegwirft? Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 14 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit P (B) > 0.<br />
Weiterhin sei Ci ∈ A, i ∈ eine disjunkte Zerlegung von B mit<br />
Zeigen Sie<br />
P (B ∩ Ci) > 0 für alle i ∈ .<br />
P (A|B) =<br />
∞<br />
P (A|B ∩ Ci)P (Ci|B)<br />
i=1
<strong>Aufgabe</strong> 15 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Es wird gleichzeitig mit einem roten und einem grünen <strong>Würfel</strong> gewürfelt.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme gerade ist, gegeben<br />
der rote <strong>Würfel</strong> zeigt eine 3?<br />
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete<br />
Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 16 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Bei Shakespeare sagt Caesar zu Antonius: “Die Mageren sind gefährlich”.<br />
In die Sprache der Stochastik übersetzt: “Die bedingte Wahrscheinlichkeit<br />
dafür, dass jemand gefährlich ist, von dem man weiß, dass er mager ist, ist<br />
größer als die bedingte Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand gefährlich ist,<br />
von dem weiß, dass er nicht mager ist.”<br />
Es bezeichne G das Ereignis “die Person ist gefährlich” und M das Ereignis<br />
“die Person ist mager”.<br />
Welche der folgenden Ungleichungen kann man aus Caesers Aussage ableiten?<br />
1. P (G|M) > P (G c |M).<br />
2. P (M|G) > P (M|G c ).<br />
3. P (M|G) > P (M c |G).<br />
Geben Sie entsprechend einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.<br />
Hierbei soll stets vorausgesetzt <strong>werden</strong>, dass die bedingenden Ereignisse eine<br />
Wahrscheinlichkeit größer 0 besitzen.<br />
Hinweis:<br />
Zu einem Gegenbeispiel muss natürlich ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum<br />
angegeben <strong>werden</strong>.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 17 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Vor einem bestimmten Café auf dem Campus ist eine Person, der man begegnet,<br />
in <strong>zwei</strong> von drei Fällen ein Student. Jeder vierte Student, aber nur<br />
jeder sechste Nichtstudierende, trinkt ausschliesslich Latte Macchiato.<br />
Man begegnet einer Person vor dem Café, die Latte Macchiato trinkt.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person studiert?<br />
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete<br />
Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 18 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
In einem Gefängnis sitzen drei zum Tode verurteilte Gefangene A,B und C.<br />
Mit Hilfe eines Losentscheids, bei dem alle drei die gleiche Chance hatten,<br />
wurde ein Gefangener begnadigt. Der Gefangene A, der also eine Überlebens-<br />
Wahrscheinlichkeit von 1/3 hat, bittet den Wärter, der das Ergebnis des
Losentscheids kennt, ihm einen seiner Leidensgenossen B oder C zu nennen,<br />
der sterben muss. Der Wärter antwortet “B”.<br />
Nun denkt sich der Gefangene A: “Da entweder ich oder C überleben <strong>werden</strong>,<br />
habe ich eine Überlebens-Wahrscheinlichkeit von 50%”.<br />
Würden Sie dem zustimmen? Begründen Sie ihre Antwort, indem sie die<br />
geschilderte Situtation modellieren und in Ihrem Modell die Überlebens-<br />
Wahrscheinlichkeit von A angeben.<br />
Gehen Sie davon aus, dass der Wärter mit gleicher Wahrscheinlichkeit “B”<br />
oder “C” sagt, falls er weiß, dass A der Begnadigte ist.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 19 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Bei der Herstellung von n Schokoladentafeln mit ganzen Nüssen <strong>werden</strong><br />
k ≥ n Nüsse in die Abfüllanlage gegeben. Alle Nüsse bleiben ganz. Jede<br />
Nuss wird von der Anlage mit gleicher Wahrscheinlichkeit in einer der n<br />
Tafeln verarbeitet.<br />
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tafel keine Nuss enthält?<br />
Geben Sie in der Voraussetzung Ihres Beweises das von Ihnen verwendete<br />
Modell an.<br />
Hinweis: Siebformel.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 20 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Die Westernhelden A, B und C duellieren sich. A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von 0,5, B mit 0,7 und C trifft immer. Alle Personen haben nur noch<br />
<strong>zwei</strong> Patronen übrig. Es wird immer in der Reihenfolge A,B,C geschossen.<br />
Dies geschieht so lange, bis nur noch einer lebt.<br />
Sobald ein Schütze an der Reihe ist, kann er sich aussuchen auf welchen<br />
lebenden Kontrahenten er schießt, der Schütze muss aber zwingend auf eine<br />
Person schießen.<br />
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass A, B bzw. C das Duell<br />
überlebt.<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
Hinweis:<br />
Gehen Sie davon aus, dass alle Westernhelden rational denken.<br />
Überlegen Sie sich zunächst, welche Strategie für C am sinnvollsten ist.<br />
Danach überlegen Sie sich, welche Strategie für B am sinnvollsten ist, gegeben<br />
C hat die für ihn am sinnvollsten Strategie gewählt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 21 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.<br />
Seien A, B ∈ A mit P (A) > 0, P (B) > 0. Dann wird A angezogen von B<br />
definiert als P (A|B) > P (A).<br />
Zeigen Sie<br />
1. wird A angezogen von B, so wird B angezogen von A,
2. wird A angezogen von B und P (B c ) > 0, so wird B c nicht angezogen<br />
von A.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 22 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Eine Münze wird solange geworfen, bis zum ersten Mal “Kopf” erscheint,<br />
maximal aber n Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze<br />
zum Zeitpunkt k = 1, ..., n erstmalig “Kopf” zeigt?<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 23 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Aus einer Gesamtheit von n Kugeln, die mit den Zahlen 1, ..., n nummeriert<br />
sind, <strong>werden</strong> ohne Zurücklegen k Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass die größte gezogene Zahlen den Wert m = 1, ..., n hat?<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 24 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Anton und Birgit spielen folgendes <strong>Würfel</strong>spiel. Anton würfelt mit <strong>zwei</strong><br />
<strong>Würfel</strong>n so, dass weder er noch Birgit sehen können welche Augenzahlen<br />
gewürfelt wurden. Anton sagt nun Birgit eine Zahl zwischen 2 und 12. Birgit<br />
tippt entweder darauf, dass die von Anton gewürfelte Augensumme echt<br />
größer bzw. echt kleiner als die von Anton genannten Zahl ist. Birgit gewinnt<br />
dieses Spiel, wenn sie richtig getippt hat.<br />
Welche Zahl sollte Anton angeben, so dass er mit möglichst großer Wahrscheinlichkeit<br />
gewinnt?<br />
Gehen Sie davon aus, dass Birgit mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit<br />
gewinnen will.<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 25 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Urne I enthalte einen <strong>Würfel</strong>, der immer eine 6 würfelt, und einen normalen<br />
<strong>Würfel</strong>. Urne II enthalte <strong>zwei</strong> normale <strong>Würfel</strong>. Anton wählt mit Gleichverteilung<br />
eine Urne aus und würfelt mit den darin enthaltenen <strong>Würfel</strong>n.<br />
Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass er die <strong>Würfel</strong> aus der<br />
Urne I genommen hat, gegeben er würfelt einen “6er Pasch”?<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 26 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Seien n, k ∈ mit n, k ≥ 3.<br />
Eine Urne enthalte n Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis n durchnummeriert<br />
sind. Es <strong>werden</strong> k Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zahl auf einer gezogenen<br />
Kugel wird genau dann notiert, falls diese bei den vorherigen Zügen<br />
noch nicht erschienen ist. Die Nummer auf der ersten Kugel wird auf jeden
Fall notiert.<br />
Wie groß ist nach dem Ziehen von k Kugeln die Wahrscheinlichkeit, dass man<br />
genau 3 Zahlen notiert hat? Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 27 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Die Westernhelden A, B und C duellieren sich. A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von 0,5, B mit 0,7 und C trifft immer. Alle Personen haben nur noch<br />
<strong>zwei</strong> Patronen übrig. Es wird immer in der Reihenfolge A,B,C geschossen.<br />
Dies geschieht so lange, bis nur noch einer lebt.<br />
Sobald ein Schütze an der Reihe ist, kann er sich aussuchen auf welchen<br />
lebenden Kontrahenten er schießt, der Schütze muss aber zwingend auf eine<br />
Person schießen.<br />
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass A, B bzw. C das Duell<br />
überlebt.<br />
Geben Sie das von Ihnen verwendete Modell an.<br />
Hinweis:<br />
Gehen Sie davon aus, dass alle Westernhelden mit möglichst hoher Wahrscheinlichkeit<br />
überleben wollen.<br />
Überlegen Sie sich zunächst, welche Strategie für C am sinnvollsten ist.<br />
Danach überlegen Sie sich, welche Strategie für B am sinnvollsten ist, gegeben<br />
C hat die für ihn am sinnvollsten Strategie gewählt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 28 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (X, C) ein messbarer Raum und<br />
X : Ω → X eine Zufallsgröße. Zeigen Sie, dass die Abbildung<br />
P X : C → [0, 1]; B ↦→ P (X −1 (B))<br />
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (X, C) definiert.<br />
Das Maß P X wird als die Verteilung der Zufallsgröße X bezeichnet.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 29 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. Weiterhin sei X eine nicht-leere Menge und<br />
X : Ω → X eine beliebige Abbildung. Zeigen Sie<br />
C := B ⊆ X : X −1 (B) ∈ A ist eine σ-Algebra und X ist A-C-messbar.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 30 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei Ω eine nicht-leere Menge und E ⊆ Pot(Ω). Zeigen Sie, dass für jedes<br />
A ∈ σ(E) gibt es eine abzählbare Menge E ′ ⊆ E mit A ∈ σ(E ′ ).<br />
Hinweis:<br />
Welche Eigenschaften hat die Menge aller A ∈ σ(E), für die es eine abzählbare<br />
Menge E ′ ⊆ E mit A ∈ σ(E ′ ) gibt?
<strong>Aufgabe</strong> 31 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. A heißt abzählbar erzeugt, falls es eine<br />
abzählbare Menge E ⊆ A gibt mit σ(E) = A. Zeigen Sie, ist A abzählbar<br />
erzeugt, so enthält jeder Erzeuger von A einen abzählbaren Erzeuger von A.<br />
Hinweis: <strong>Aufgabe</strong> 3.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 32 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Im folgendem wird ein n-facher Münzwurf mit einer “unfairen” Münze betrachtet,<br />
d.h. die Münze zeigt mit Wahrscheinlichkeit p = 1/2 “Kopf”.<br />
Definiere Ω := {0, 1} n , A := Pot(Ω) und<br />
p(w1, ..., wn) := p P n<br />
i=1 wi · (1 − p) n− P n<br />
i=1 wi<br />
für alle (w1, ..., wn) ∈ Ω. Setze P : A → [0, ∞[, A ↦→ <br />
w∈A p(ω).<br />
Zeigen Sie, dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A) definiert, und bestimmen<br />
Sie die Verteilung der Zufallsgrößen<br />
1. X : Ω → {0, ..., n} , w ↦→ n<br />
wi,<br />
2. Y : Ω → {0, ..., n} , w ↦→<br />
i=1<br />
<br />
min {1 ≤ i ≤ n : wi = 1} , falls {1 ≤ i ≤ n : wi = 1} = ∅<br />
0, sonst<br />
Hinweis:<br />
Bei (i) und (ii) genügt es P ({X = k}) bzw. P ({Y = k}) anzugeben.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 33 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum. A ∈ A heißt Atom, falls es kein B ∈ A mit<br />
B ⊆ A und ∅ = B = A gibt. Zeigen Sie<br />
1. <strong>zwei</strong> verschiedene Atome sind disjunkt,<br />
2. ist Ω abzählbar, so existiert zu jedem w ∈ Ω ein Atom Aw mit w ∈ Aw<br />
und A ist die Menge aller Vereinigungen seiner Atome.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 34 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei Ω := {0, 1} 4 und P sei das Laplacemaß auf (Ω, Pot(Ω)) und seien<br />
Aj := {ω ∈ Ω : wj = 1} für j = 1, 2, 3, 4;<br />
B := {ω ∈ Ω : ω1 + ω2 + ω3 + ω4 ist ungerade }<br />
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Familie von Mengen<br />
1. {A1, A2, A3, A4, B},<br />
2. {A1, A2, A3, A4},<br />
3. {A2, A3, A4, B}
stochastisch unabhängig ist.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 35 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Seien X, Y unabhängige Zufallsgrößen (auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum<br />
(Ω, A, P )) mit<br />
P ({X = k}) = P ({Y = k}) = (1 − p) k p für alle k ∈ 0 = {0, 1, 2, ....},<br />
wobei p ∈]0, 1[ ist. Definiere Z : Ω → 0; ω ↦→ max(X(ω), Y (ω)).<br />
Zeigen Sie<br />
P ({Z = k}) = p(1 − p) k [2 − (1 − p) k (2 − p)]<br />
<strong>Aufgabe</strong> 36 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A ∈ A derart, dass A von<br />
allen Ereignissen stochastisch unabhängig ist. Bitte formalisieren Sie dies<br />
und zeigen Sie, dass P (A) ∈ {0, 1}.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 37 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ai) i∈{1,...,n} eine Familie<br />
von Unter-σ-Algebren von A. Zeigen Sie, dass (Ai) i∈{1,...,n} genau dann unabhängig<br />
ist, wenn für jede Wahl von Ereignissen Ai ∈ Ai, i = 1, ..., n gilt<br />
P ( <br />
1≤i≤n<br />
Ai) =<br />
n<br />
P (Ai).<br />
Hinweis:<br />
Man beachte, dass eine Familie (Ei) i∈{1,...,n} von Ereignismengen genau dann<br />
stochastisch unabhängig ist, falls für alle J ⊂ {1, ..., n} und jede Wahl Aj ∈<br />
Ej j ∈ J gilt P ( <br />
j∈J Aj) = <br />
P (Aj).<br />
j∈J<br />
<strong>Aufgabe</strong> 38 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei Ω := {0, 1} 4 , P das Laplacemaß auf (Ω, Pot(Ω)) und<br />
B := {ω ∈ Ω : ω1 + ω2 + ω3 + ω4 ist ungerade }. Ferner sei für alle j ∈<br />
{1, 2, 3, 4} Aj := {ω ∈ Ω : wj = 1} .<br />
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Familie von Mengen<br />
1. (A1, A2, A3, A4, B),<br />
2. (A1, A2, A3, A4),<br />
3. (A2, A3, A4, B)<br />
stochastisch unabhängig ist.<br />
i=1
<strong>Aufgabe</strong> 39 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei n ∈ mit n > 2.<br />
Ein <strong>Würfel</strong> wird n-mal gewürfelt. Für alle 1 ≤ i < j ≤ n bezeichne Ai,j das<br />
Ereignis, dass beim i-ten und j-ten Mal <strong>Würfel</strong>n die gleiche Zahl erscheint.<br />
Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an, definieren Sie die<br />
Ai,j f.a. i = j ∈ {1, ..., n} formal und zeigen, dass die Ereignisse Ai,j, 1 ≤<br />
i < j ≤ n paarweise stochastisch unabhängig sind. Zeigen oder widerlegen<br />
Sie, dass die Ereignisse auch stochastisch unabhängig sind.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 40 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → 0, Y : Ω → 0<br />
unabhängige Zufallsgrößen mit<br />
P ({X = k}) = P ({Y = k}) = (1 − p) k p für alle k ∈ 0 = {0, 1, 2, ....},<br />
wobei p ∈]0, 1[ ist. Definiere Z : Ω → 0; ω ↦→ max(X(ω), Y (ω)).<br />
Zeigen Sie<br />
P ({Z = k}) = p(1 − p) k [2 − (1 − p) k (2 − p)]<br />
Hinweis:<br />
Bestimmen Sie zunächst P ({Z = k, Y = l}) für alle k, l ∈ 0.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 41 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei Poisson-verteilt zum Parameter λ<br />
1 . Aus jedem der sich unabhängig voneinander entwickelnden Eier schlüpfe<br />
mit Wahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ eine Larve. Zeigen Sie, dass die zufällige<br />
Anzahl der Larven Poisson-verteilt Y ist, zum Parameter p · λ.<br />
Geben Sie ein geeignetes Modell an!<br />
<strong>Aufgabe</strong> 42 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Zeigen Sie, dass keine abzählbar-unendliche σ-Algebra existiert.<br />
Hinweis:<br />
Betrachten Sie dabei zu einer Folge (Ai)i∈ paarweise verschiedener Mengen<br />
aus einer unendlichen σ-Algebra A das Mengensystem<br />
⎧<br />
⎨<br />
C := Ai ∩<br />
⎩<br />
<br />
A c ⎫<br />
⎬<br />
j : I ⊆ <br />
⎭<br />
i∈I<br />
j∈I c<br />
<strong>Aufgabe</strong> 43 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
In Antons Tasche befindet sich eine zufällige Anzahl Y von Münzen, wobei<br />
Y eine Poisson-Verteilung mit dem Parameter λ besitzt.<br />
Er wirft jede Münze genau einmal, wobei jede Münze mit Wahrscheinlichkeit<br />
p ∈]0, 1[ “Kopf” zeigt. Bestimmen Sie die Verteilung der Gesamtanzahl der<br />
Münzen, die “Kopf” zeigen.<br />
1 Eine Zufallsgröße Y ist Poisson-verteilt zum Parameter λ, wenn gilt P (Y = k) =<br />
−λ λk<br />
e k!<br />
für alle k ∈ {0, 1, 2, 3, ...}
<strong>Aufgabe</strong> 44 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A) ein messbarer Raum und µ, ν Maße auf (Ω, A).<br />
Definiere<br />
µ ∨ ν : A → [0, ∞]A ↦→ sup (µ(B) + ν(A\B))<br />
B⊆A,B∈A<br />
Zeigen Sie, dass µ ∨ ν ein Maß auf (Ω, A) ist.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 45 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → eine Zufallsgröße<br />
und F : → [0, 1], t ↦→ P (X ≤ t) die Verteilungsfunktion von X.<br />
Zeigen Sie, dass F höchstens abzählbar viele Sprungstellen besitzt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 46 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Anton würfelt mit drei <strong>Würfel</strong>n, einer hat 6 Seiten, einer hat 12 Seiten und<br />
einer hat 20 Seiten. Die Seiten der einzelnen <strong>Würfel</strong> seien durchnummeriert<br />
und jede Seite hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu <strong>werden</strong>.<br />
Berechnen Sie den Erwartungswert der Summe der drei Augenzahlen der<br />
<strong>Würfel</strong> von Anton.<br />
Hinweis:<br />
Modellieren Sie die Augenzahl der einzelnen <strong>Würfel</strong> als Zufallsgrößen.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 47 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei Wn die zufällige Augenzahl eines fiktiven n-seitigen <strong>Würfel</strong>s, dessen Seiten<br />
alle mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten.<br />
Zeigen Sie Var <br />
Wn 1<br />
n −→ 12 für n −→ ∞.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 48 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
1. Seien X, Y unabhängige Zufallsgrößen mit Werten in 0. Zeigen Sie<br />
P (X + Y = n) = n<br />
P (X = k)P (Y = n − k) für alle n ∈ 0.<br />
k=0<br />
2. Seien λ, ρ > 0. X sei Poisson-verteilt zum Parameter λ und Y sei<br />
Poisson-verteilt zum Parameter ρ und X, Y seien unabhängig.<br />
Bestimmen Sie mittels der obigen Formel die Verteilung von X + Y .<br />
<strong>Aufgabe</strong> 49 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei λ das Lebesque-Maß auf (, B). Sei f : → [0, ∞) eine Lebesgueintegierbare<br />
Funktion mit fdλ = 1 und g : → eine messbare Abbildung<br />
so, dass gf Lebesgue-integierbar ist. Zeigen Sie, dass durch<br />
<br />
P : B → [0, 1]; A ↦→ 1A · fdλ<br />
ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (, B) definiert wird und<br />
<br />
g dP = gf dλ.<br />
gilt.
<strong>Aufgabe</strong> 50 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Die Rechteckverteilung Uniform(a, b) mit den Parametern a, b ∈ , a < b, ist<br />
durch die Dichte f := 1<br />
b−a 1 (a,b) gegeben. Sei X eine Uniform(a, b)-verteilte<br />
Zufallsgröße. Berechnen Sie E(X) und Var(X).<br />
<strong>Aufgabe</strong> 51 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Seien N, k, r ∈ mit N = k · r. Sei θ ∈]0, 1[.<br />
Bei einer Reihenunersuchung von N Blutproben auf Hepatitis stehen <strong>zwei</strong><br />
Vorgehensweisen zur Wahl:<br />
1. Die direkte Methode sieht eine Untersuchung jeder Blutprobe auf einen<br />
positiven Befund vor und erfordert somit N Arbeitsgänge.<br />
2. Die alternative, mehrstufige Methode teilt zunächst die N Blutgruppen<br />
in r Gruppen der Größe k auf, entnimmt dann innerhalb jeder<br />
Gruppe jeder Blutprobe die Hälfte und mischt diese, so dass r Mischungen<br />
entstehen, welche anschließend untersucht <strong>werden</strong>. Bleibt eine<br />
untersuchte Mischung ohne positiven Befund, so gilt dies offensichtlich<br />
auch für jede einzelne Blutprobe innerhalb der jeweiligen Gruppe.<br />
Tritt ein positiver Befund auf, so <strong>werden</strong> alle Blutproben der jeweilligen<br />
Gruppe einzeln untersucht.<br />
Nehmen Sie für die Modellierung an, dass eine jede untersuchte Blutprobe<br />
mit Wahrscheinlichkeit θ einen positive Befund liefert. Weiterhin sollen die<br />
Ereignisse, dass die jeweilige untersuchte Blutprobe einen positiven Befund<br />
lieferen, stochastisch unabhängig sein.<br />
Ermitteln Sie den Erwartungswert für die Anzahl der notwendigen Untersuchungen,<br />
die man bei Methode (ii) benötigt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 52 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (pn)n∈ ∈]0, 1[ mit limn→∞ pn = 0.<br />
Sei (Xn)n∈ eine Folge von Zufallsgrößen mit P (Xn = 1) = pn = 1−P (Xn =<br />
0) für jedes n ∈ .<br />
Zeigen Sie, dass für jedes ɛ > 0 gilt<br />
lim<br />
n→∞ P (|Xn − EXn| ≥ ɛ) = 0.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 53 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Seien X1, ..., Xn stochastisch unabhängige, identisch verteilte, strikt positive<br />
Zufallsgrößen. Zeigen Sie für alle 1 ≤ k ≤ n<br />
k i=1 E<br />
Xi<br />
n i=1 Xi<br />
<br />
= k<br />
n<br />
Hinweis:<br />
Es gilt im Allgemeinen E( 1 1<br />
X ) = EX !
<strong>Aufgabe</strong> 54 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei X eine quadratintegrierbare Zufallsgröße und a > 0. Zeigen Sie<br />
P (X − E(X) ≥ a) ≤<br />
V ar(X)<br />
a 2 + V ar(X)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω →]0, ∞[ eine Zufallsgröße<br />
so, dass X und e X integrierbar sind.<br />
Zeigen Sie E(X) ≤ E(X·eX )<br />
E(e X ) .<br />
<strong>Aufgabe</strong> 55 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Seien Xk, k ∈ {1, ..., 1000} unabhängige Zufallsgrößen, die Bernoulli-verteilt<br />
1000 <br />
. Setze Y := Xk.<br />
sind zum Parameter 1<br />
4<br />
Schätzen Sie mittels<br />
1. der Tschebycheff Ungleichung,<br />
2. der Hoeffding Ungleichung<br />
k=1<br />
die Wahrscheinlichkeit P ({Y > 600}) ab.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 56 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
1. Sei X > 0 eine Zufallsgröße so, dass X und ln(X) integrierbar sind.<br />
Zeigen Sie<br />
exp( E(ln(X)) ) ≤ E(X).<br />
2. Seien x1, ..., xn > 0. Zeigen Sie mit Hilfe von (i) die Ungleichung zwischen<br />
dem geometrischen und arithmetischen Mittel<br />
n<br />
k=1<br />
xk<br />
1<br />
n<br />
≤ 1<br />
n ·<br />
<strong>Aufgabe</strong> 57 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Seien X, Y unabhängig auf {1, ..., n} Laplace-verteilte Zufallsgrößen. Setze<br />
U := min {X, Y }<br />
V := max {X, Y }<br />
a) Berechnen Sie die Verteilung von U und V .<br />
b) Zeigen Sie, dass (n + 1) − U die gleiche Verteilung hat wie V .<br />
c) Zeigen Sie EU = 1 3n+1<br />
3n + 6n<br />
n<br />
k=1<br />
xk<br />
2 3n−1<br />
und EV = 3n + 6n .
<strong>Aufgabe</strong> 58 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Aus einer Sendung von N gleichartigen Produkten, von denen M einer gewissen<br />
Qualitätsnorm nicht genügen, wird zur Überprüfung eine Stichprobe<br />
vom Umfang n gezogen. X bezeichne die zufällige Anzahl der dabei gezogenen<br />
ungenügenden Produkte. Es wird eine Konventionalstrafe in Höhe von<br />
K := X(X − 1) vereinbart. Zeigen Sie EK = M(M − 1) n(n−1)<br />
N(N−1)<br />
<strong>Aufgabe</strong> 59 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Anton möchte überprüfen, ob eine Münze “fair” ist, d.h. mit Wahrscheinlichkeit<br />
1/2 “Kopf” zeigt.<br />
Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen weiß er, dass die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass die relative Häufigkeit für das Werfen der “Kopf”-Seite nahe<br />
bei 1/2 ist, für eine große Anzahl von Würfen nahe bei Eins liegt.<br />
Ausgehend von der Annahme, dass die Münze “fair” ist, möchte nun wissen,<br />
wie oft er seine Münze mindestens werfen muss, damit die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass sich die relative Häufigkeit für das Werfen der “Kopf”-Seite nicht<br />
mehr als 0.01 von 1/2 unterscheidet, mindestens 0.95 beträgt.<br />
Geben Sie<br />
<strong>Aufgabe</strong> 60 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (λn)n∈ ∈ >0 mit sup n∈ λn < ∞.<br />
Seien (Xn)n∈ eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen so, dass für<br />
jedes n ∈ Xn Poisson-verteilt zum Parameter λn ist.<br />
Zeigen Sie, dass für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen<br />
Zahlen gilt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 61 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Eine Fabrik stellt Schrauben her, wobei eine Schraube mit Wahrscheinlichkeit<br />
p := 1/10 defekt sei. Eine Schraube sei unabhängig von allen anderen<br />
Schrauben defekt.<br />
Wie viele Schrauben sollte der Fabrikant in ein Paket tun, damit die Wahrscheinlichkeit,<br />
dass die relative Häufigkeit der defekten Schrauben in einem<br />
Paket von p mehr als ɛ := 10 −3 abweicht, durch eine Abschätzung mit<br />
a) der Tschebycheff-Ungleichung,<br />
b) der Hoeffding Ungleichung<br />
garantiert kleiner als 0.05 wird? Geben Sie ein geeignetes Modell an!<br />
<strong>Aufgabe</strong> 62 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Eine Lotterie-Gesellschaft bietet folgende Variante des Spiels “6 aus 49” an.<br />
Der komplette Einsatz, d.h. die Summe der Einsätze aller Mitspieler, wird zu<br />
gleichen Teilen an diejenigen ausgezahlt, die sechs “Richtige” getippt haben.<br />
Gewinnt keiner, so behält die Lotto-Gesellschaft den kompletten Einsatz.<br />
Ein findiger Multimillionär tippt nun auf jede mögliche Sechser-Kombination.
Zeigen Sie, dass der Erwartungswert des Nettogewinns (= Differenz von Gewinn<br />
und Einsatz) des Multimillionärs größer Null ist.<br />
Geben Sie ein geeignetes Modell an, wobei Sie davon ausgehen, dass alle<br />
Spieler unabhängig voneinander tippen.<br />
Hinweis: Jensen-Ungleichung.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 63 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Xn)n∈ eine Folge identisch verteilter Zufallsgrößen mit m := EX1, σ 2 :=<br />
Var(X1) < ∞. Es gebe ein k ∈ {1, ..., n − 1} so, dass für alle i, j ∈ mit<br />
|i − j| ≥ k die Zufallsgrößen Xi und Xj unkorreliert sind. Zeigen Sie, dass<br />
für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 64 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
a) Seien a, b ∈ und seien (Xn)n∈, (Yn)n∈ Folgen von Zufallsgrößen so,<br />
dass (Xn)n∈ gegen a und (Yn)n∈ gegen b stochastisch konvergiert.<br />
Zeigen Sie:<br />
Ist g : 2 → eine im Punkt (a, b) stetige Abbildung, so konvergiert<br />
(g(Xn, Yn))n∈ stochastisch gegen g(a, b).<br />
b) Seien X, Y Zufallsgrößen und (Xn)n∈, (Yn)n∈ Folgen von Zufallsgrößen<br />
so, dass (Xn)n∈ gegen eine Zufallsgröße X und (Yn)n∈ gegen eine<br />
Zufallsgröße Y stochastisch konvergiert.<br />
Zeigen Sie, dass dann (Xn + Yn)n∈ gegen X + Y konvergiert.<br />
Hinweis: ɛ-δ-Kriterium für stetige Funktionen.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 65 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
In jedem Jahr müssen eine zufällige Anzahl von Schiffen bei der Abschlußregatta<br />
der Kieler Woche wegen technischer Problemen vorzeitig aufgeben.<br />
In diesem Jahr nehmen 1000 Schiffe teil. Wenn man annimmt, dass jedes<br />
Schiff unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 1<br />
1000<br />
ausfällt, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Jahr mehr<br />
als 2 Ausfälle zu beklagen sind?<br />
Geben Sie ein geeignetes Modell an, und benutzen Sie die Poisson-Approximation<br />
um die Wahrscheinlichkeit abzuschätzen.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 66 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Jemand bietet Ihnen folgendes Spiel an: <strong>Geworfen</strong> wird eine “unfaire” Münze.<br />
“Kopf” fällt dabei mit einer Wahrscheinlichkeit von 3<br />
5 . Bei “Kopf” erhalten<br />
Sie das Doppelte ihres Einsatzes zurück, ansonsten verlieren Sie das eingesetze<br />
Geld. Sie starten mit einem Kapital von 1 Euro. In jeder Spielrunde<br />
setzen Sie die Hälfte Ihres verbliebenen Kapitals auf “Kopf”.<br />
Mit Xn sei das Kapital nach n Spielen bezeichnet. Zeigen Sie:<br />
a) limn→∞ EXn = ∞,
) Xn P<br />
−→ 0 für n −→ ∞.<br />
Geben Sie ein geeignetes Modell an!<br />
<strong>Aufgabe</strong> 67 (4 <strong>Punkte</strong> (Hoppes Urnenmodell))<br />
Sei Θ ∈]0, 1[. Eine Urne enthalte genau eine schwarze Kugel mit Masse Θ und<br />
Kugeln mit Masse 1, die nicht schwarz gefärbt sind. Man ziehe nacheinander<br />
eine Kugel:<br />
• Falls die schwarze Kugel gezogen wurde, so ist diese zurückzulegen.<br />
Außerdem legt man zusätzlich eine Kugel der Masse 1 und einer bislang<br />
noch nicht aufgetretenden Farbe in die Urne.<br />
• In allen anderen Fällen wird die gezogene Kugel und eine weitere Kugel<br />
mit identischer Farbe und gleichem Gewicht in die Urne gelegt.<br />
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Kugel zu ziehen sei gegeben durch<br />
den Quotienten des Gewicht der Kugel zum Gesamtgewicht aller Kugeln in<br />
der Urne.<br />
Zum Zeitpunkt der ersten Ziehung liegt die schwarze und eine weiße Kugel<br />
in der Urne.<br />
Sei Kn die zufällige Anzahl der Farben ( außer schwarz ) in der Urne nach<br />
dem n-ten Ziehen ( und dem Zurücklegen von Kugeln nach obiger Regel ).<br />
Zeigen Sie:<br />
EKn<br />
−→ Θ für n → ∞.<br />
ln n<br />
Tipp:<br />
Betrachten Sie Zufallsgrößen Xi, i ∈ mit Xi = 1 falls im i-ten Schritt<br />
die schwarze Kugel gezogen wurde und 0 sonst. Begründen Sie, warum Xi<br />
Bernoulli- verteilt ist, zum Parameter Θ/(Θ + i). Wie kann man Kn aus den<br />
Xi’s berechnen?<br />
<strong>Aufgabe</strong> 68 (5 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei Z der Vektorraum aller<br />
Zufallsgrößen auf Ω. Für jedes X ∈ Z definiere [X] := {Y ∈ Z : P (X = Y ) = 1},<br />
offenbar ist dies eine Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation der fast<br />
sicheren Gleichheit <strong>zwei</strong>er Zufallsgrößen.<br />
Sei<br />
d : {[X] : X ∈ Z} × {[X] : X ∈ Z} → , ([X], [Y ]) ↦→ E<br />
Zeigen Sie:<br />
a) Die Abbildung d ist wohldefiniert.<br />
b) d ist eine Metrik auf {[X] : X ∈ Z}.<br />
<br />
|X − Y |<br />
.<br />
1 + |X − Y |
c) Eine Folge von Zufallsgrößen (Xn)n∈ konvergiert genau dann stochastisch<br />
gegen eine Zufallsgröße X, wenn lim<br />
n→∞ d([Xn], [X]) = 0 vorliegt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 69 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Aus einer Sendung von N gleichartigen Produkten, von denen M einer gewissen<br />
Qualitätsnorm nicht genügen, wird zur Überprüfung eine Stichprobe<br />
vom Umfang n gezogen. X bezeichne die zufällige Anzahl der dabei gezogenen<br />
ungenügenden Produkte. Es wird eine Konventionalstrafe in Höhe von<br />
K := X(X − 1) vereinbart. Zeigen Sie EK = M(M − 1) n(n−1)<br />
N(N−1)<br />
<strong>Aufgabe</strong> 70<br />
Ein Gefäß, das in <strong>zwei</strong> gleich große, miteinander verbundene Teilkammern<br />
unterteilt ist, enthalte n := 0.25 · 10 2 3 Gas-Moleküle. Wegen der Irregularität<br />
der Bewegung wird zu einem festen Zeitpunkt jedes Molekül mit Wahrscheinlichkeit<br />
1/2 in der linken oder der rechten Kammer sein, unabhängig<br />
von allen anderen.<br />
Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Anteil der Moleküle in der<br />
linken Kammer um (1 + 10 −8 )/2 größer ist als der Anteil der Moleküle in<br />
der rechten Kammer, mit Hilfe der Tschebycheff-Ungleichung ab.<br />
Geben Sie ein geeignetes Modell an!<br />
<strong>Aufgabe</strong> 71 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (λn)n∈ ∈ >0 mit sup n∈ λn < ∞.<br />
Seien (Xn)n∈ eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen so, dass für<br />
jedes n ∈ Xn Poisson-verteilt zum Parameter λn ist.<br />
Zeigen Sie, dass für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen<br />
Zahlen gilt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 72 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
<strong>Aufgabe</strong> 73 (2 <strong>Punkte</strong>)<br />
Sei (Xn)n∈ eine Folge identisch verteilter Zufallsgrößen mit m := EX1, σ 2 :=<br />
Var(X1) < ∞. Es gebe ein k ∈ {1, ..., n − 1} so, dass für alle i, j ∈ mit<br />
|i − j| ≥ k die Zufallsgrößen Xi und Xj unkorreliert sind. Zeigen Sie, dass<br />
für die Folge (Xn)n∈ das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 74 (3 <strong>Punkte</strong>)<br />
Ein Affe gibt eine zufällig eine unendliche Folge von Buchstaben {A, B, ..., Z}<br />
in einem Computer ein. Jeder der Buchstaben sei gleichberechtigt.<br />
Betrachten Sie die relative Häufigkeit Hn vom Auftreten des Wortes “BAHN-<br />
HOF” in den ersten n getippten Buchstaben.<br />
Was passiert für n → ∞?
<strong>Aufgabe</strong> 75 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
L.v.Bortkiewicz gab eine Aufstellung der Anzahl der Hufschlagtoten, die<br />
während der Dauer eines Jahres in verschiedenen preußischen Kavallerieregimentern<br />
verzeichnet waren. Dabei legte er die Daten von n := 200 Regimentern<br />
über einen Zeitraum von einem Jahr zugrunde. Die nachfolgende<br />
Tabelle gibt die Anzahl An(r) der Fälle mit genau r Hufschlagtoten an.<br />
use packages: array<br />
r 0 1 2 3 4 ≥ 5<br />
An(r) 109 65 22 3 1 0<br />
Ein Regiment besteht aus m := 1000 Soldaten und die Wahrscheinlichkeit<br />
für eine Person durch Hufschlag zu sterben sei eine unbekannte Größe p ∈<br />
]0, 1[.<br />
Um die Daten zu analysieren, nehmen wir an, dass X1, ..., Xn unabhängige<br />
Binomial-verteilte Zufallsgrößen zu den Parametern m und p sind, die die<br />
Anzahl der Hufschlagtoten angeben.<br />
a) Sei (x1, ..., xn) ∈ n 0 die beobachte Zahl der Hufschlagtoten in den einzelnen<br />
Regimentern.<br />
Bestimmen ein ˆp ∈]0, 1[ so, dass die Poissonapproximation der Wahrscheinlichkeit<br />
P (X1 = x1, ..., Xn = xn) maximal wird.<br />
b) Vergleichen Sie die relativen Häufigkeiten, die sich aus der obigen Tabelle<br />
ergeben, mit den Wahrscheinlichkeiten, die sich mit der Poissonapproximation<br />
ergeben.<br />
<strong>Aufgabe</strong> 76 (4 <strong>Punkte</strong>)<br />
Ein Raum wird von einer einzelnen Glühbirne erleuchtet. Falls die Glühbirne<br />
durchbrennt wird diese sofort durch eine gleichartige Birne ersetzt.<br />
Sei (Xn))n∈ eine Folge von unabhängigen identisch Zufallsgrößen mit X ≥<br />
0 und EX1 < ∞.<br />
Dann beschreibt Xi die zufällige Lebensdauer der i-ten Glühbirne.<br />
Setze Sn := n k=1 Xi für alle n ∈ . Dann gibt Sn die vergangene Zeit bis<br />
zum n-ten Ausfall einer Glühbirne an. Setze S0 := 0. Dann beschreibt<br />
N(t) := max {n ∈ : Sn ≤ t}<br />
die zufällige Anzahl der kaputten Glühbirnen bis zum Zeitpunkt t ∈ [0, ∞).<br />
Zeigen Sie, dass<br />
N(t) f.s.<br />
−→<br />
t<br />
1<br />
für t −→ ∞.<br />
E(X1)