Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de
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7 Berechenbare Zero–<strong>Knowledge</strong> Arguments mit konstanter Run<strong>de</strong>nzahl<br />
Satz 7.5<br />
Sei GenProt’ ein nicht-uniformes Generator Protokoll in Be<strong>zu</strong>g auf eine Ntime(t)<br />
Sprache Λ (wobei T : −→ eine polynomiell berechenbare Funktion ist). Sei ZuProt<br />
ein Zeugnis–ununterscheidbares Argument System für N P ∪ Ntime(T ) Sprachen. Sei L<br />
eine N P Sprache und FLSProt’ das Argument für L, welches dadurch entsteht, wenn<br />
GenProt’ und ZuProt in das Protokoll 7.5 eingefügt wer<strong>de</strong>n. Dann ist FLSProt’<br />
ein nicht-uniformes Zero–<strong>Knowledge</strong> Argument für L.<br />
Beweis:<br />
Der Beweis von Satz 7.5 ist ähnlichem <strong>de</strong>m Beweis von Satz 7.3, <strong>de</strong>r in Abschnitt 7.3.1<br />
skizziert wur<strong>de</strong>. Um <strong>zu</strong> zeigen, dass FLSProt’ ein Zero–<strong>Knowledge</strong> Argument ist, müssen<br />
die drei Eigenschaften Vollständigkeit, Korrektheit und Zero–<strong>Knowledge</strong> bewiesen<br />
wer<strong>de</strong>n. Davon wird <strong>zu</strong>erst die Korrektheit bewiesen, da in diesem Beweis <strong>de</strong>r größte<br />
Unterschied <strong>zu</strong>m Beweis von Satz 7.3 liegt.<br />
Korrektheit: Es wird ein Wi<strong>de</strong>rspruchsbeweis geführt. Sei P FLSProt′<br />
ein polynomiell<br />
großer Prover für FLSProt’. Für <strong>de</strong>n Wi<strong>de</strong>rspruch wird angenommen, dass die<br />
Ausführung von P FLSProt′<br />
und <strong>de</strong>m ehrlichen Verifier für beliebige x /∈ L mit einer nicht<br />
vernachlässigbaren Wahrscheinlichkeit von ε <strong>zu</strong> einem akzeptieren<strong>de</strong>n Zustand führt.<br />
P FLSProt′<br />
wird genutzt, um einen täuschen<strong>de</strong>n Prover P GenProt′<br />
<strong>zu</strong> konstruieren, <strong>de</strong>r <strong>de</strong>r<br />
berechenbaren Korrektheit <strong>de</strong>s Generator Protokolls GenProt’ wi<strong>de</strong>rspricht.<br />
Der Prover P GenProt′<br />
arbeitet wie folgt: Bei <strong>de</strong>r Interaktion mit <strong>de</strong>m Verifier <strong>de</strong>s Protokolls<br />
GenProt’ nutzt <strong>de</strong>r Prover P GenProt′<br />
die Strategie <strong>de</strong>s Provers P FLSProt′<br />
in <strong>de</strong>r<br />
ersten Stufe von FLSProt’ bei Eingabe von x. Bezeichne τ das Kommunikationsprotokoll<br />
und v die Sicht <strong>de</strong>s Provers dieser Interaktion. Nach<strong>de</strong>m die Interaktion been<strong>de</strong>t<br />
ist, wird <strong>de</strong>r Prover P GenProt′<br />
<strong>de</strong>n restlichen Teil <strong>de</strong>s Provers P FLSProt′<br />
mit <strong>de</strong>m Zustand<br />
v ausführen. Dieser zweite, restliche Teil <strong>de</strong>s Provers wird als P ZuProt bezeichnet,<br />
da er die Strategie <strong>de</strong>r zweiten Stufe von FLSProt’, <strong>de</strong>r Zeugnis–ununterscheidbaren<br />
Beweisstufe, spezifiziert. Der Prover P GenProt′<br />
wen<strong>de</strong>t dabei <strong>de</strong>n Extraktor <strong>de</strong>s Zeugnis–<br />
ununterscheidbaren Systems für P ZuProt an. Dieses kostet T (n) O(1) Schritte. Wenn die<br />
Extraktion erfolgreich ist, erhält P GenProt′<br />
ein Zeugnis für die Behauptung x ∈ L o<strong>de</strong>r<br />
”<br />
τ ∈ Λ“. Da x /∈ L angenommen wur<strong>de</strong>, be<strong>de</strong>utet das, dass ein Zeugnis für τ ∈ Λ erlangt<br />
wur<strong>de</strong>.<br />
Um <strong>de</strong>n Wi<strong>de</strong>rspruchsbeweis <strong>zu</strong>r berechenbaren Korrektheit von GenProt’ <strong>zu</strong> führen,<br />
reicht es daher aus <strong>zu</strong> zeigen, dass die Ausführung mit nicht-vernachlässigbarer<br />
Wahrscheinlichkeit erfolgreich ist. Wenn die Wahrscheinlichkeit über das ganze Protokoll<br />
einer erfolgreichen Ausführung von P FLSProt′<br />
mit einem ehrlichen Verifier ε ist,<br />
<strong>de</strong>r Ausführungen <strong>de</strong>r ersten Stufe, dass es eine ε<br />
2 Wahr-<br />
dann gilt für min<strong>de</strong>stens ε<br />
2<br />
scheinlichkeit dafür gibt, die zweite Stufe erfolgreich <strong>zu</strong> been<strong>de</strong>n. Das impliziert mit<br />
einer Wahrscheinlichkeit von ε<br />
2 , dass es <strong>de</strong>m Prover PZuProt mit einer Wahrscheinlichkeit<br />
von ε<br />
2 gelingt, <strong>de</strong>n Verifier von x ∈ L o<strong>de</strong>r τ ∈ Λ“ <strong>zu</strong> überzeugen. Damit existiert<br />
”<br />
aber eine nicht-vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Extraktion, was<br />
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