Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

7 Berechenbare Zero–Knowledge Arguments mit konstanter Rundenzahl
Satz 7.5
Sei GenProt’ ein nicht-uniformes Generator Protokoll in Bezug auf eine Ntime(t)
Sprache Λ (wobei T : −→ eine polynomiell berechenbare Funktion ist). Sei ZuProt
ein Zeugnis–ununterscheidbares Argument System für N P ∪ Ntime(T ) Sprachen. Sei L
eine N P Sprache und FLSProt’ das Argument für L, welches dadurch entsteht, wenn
GenProt’ und ZuProt in das Protokoll 7.5 eingefügt werden. Dann ist FLSProt’
ein nicht-uniformes Zero–Knowledge Argument für L.
Beweis:
Der Beweis von Satz 7.5 ist ähnlichem dem Beweis von Satz 7.3, der in Abschnitt 7.3.1
skizziert wurde. Um zu zeigen, dass FLSProt’ ein Zero–Knowledge Argument ist, müssen
die drei Eigenschaften Vollständigkeit, Korrektheit und Zero–Knowledge bewiesen
werden. Davon wird zuerst die Korrektheit bewiesen, da in diesem Beweis der größte
Unterschied zum Beweis von Satz 7.3 liegt.
Korrektheit: Es wird ein Widerspruchsbeweis geführt. Sei P FLSProt′
ein polynomiell
großer Prover für FLSProt’. Für den Widerspruch wird angenommen, dass die
Ausführung von P FLSProt′
und dem ehrlichen Verifier für beliebige x /∈ L mit einer nicht
vernachlässigbaren Wahrscheinlichkeit von ε zu einem akzeptierenden Zustand führt.
P FLSProt′
wird genutzt, um einen täuschenden Prover P GenProt′
zu konstruieren, der der
berechenbaren Korrektheit des Generator Protokolls GenProt’ widerspricht.
Der Prover P GenProt′
arbeitet wie folgt: Bei der Interaktion mit dem Verifier des Protokolls
GenProt’ nutzt der Prover P GenProt′
die Strategie des Provers P FLSProt′
in der
ersten Stufe von FLSProt’ bei Eingabe von x. Bezeichne τ das Kommunikationsprotokoll
und v die Sicht des Provers dieser Interaktion. Nachdem die Interaktion beendet
ist, wird der Prover P GenProt′
den restlichen Teil des Provers P FLSProt′
mit dem Zustand
v ausführen. Dieser zweite, restliche Teil des Provers wird als P ZuProt bezeichnet,
da er die Strategie der zweiten Stufe von FLSProt’, der Zeugnis–ununterscheidbaren
Beweisstufe, spezifiziert. Der Prover P GenProt′
wendet dabei den Extraktor des Zeugnis–
ununterscheidbaren Systems für P ZuProt an. Dieses kostet T (n) O(1) Schritte. Wenn die
Extraktion erfolgreich ist, erhält P GenProt′
ein Zeugnis für die Behauptung x ∈ L oder
”
τ ∈ Λ“. Da x /∈ L angenommen wurde, bedeutet das, dass ein Zeugnis für τ ∈ Λ erlangt
wurde.
Um den Widerspruchsbeweis zur berechenbaren Korrektheit von GenProt’ zu führen,
reicht es daher aus zu zeigen, dass die Ausführung mit nicht-vernachlässigbarer
Wahrscheinlichkeit erfolgreich ist. Wenn die Wahrscheinlichkeit über das ganze Protokoll
einer erfolgreichen Ausführung von P FLSProt′
mit einem ehrlichen Verifier ε ist,
der Ausführungen der ersten Stufe, dass es eine ε
2 Wahr-
dann gilt für mindestens ε
2
scheinlichkeit dafür gibt, die zweite Stufe erfolgreich zu beenden. Das impliziert mit
einer Wahrscheinlichkeit von ε
2 , dass es dem Prover PZuProt mit einer Wahrscheinlichkeit
von ε
2 gelingt, den Verifier von x ∈ L oder τ ∈ Λ“ zu überzeugen. Damit existiert
”
aber eine nicht-vernachlässigbare Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Extraktion, was
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