Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

7 Berechenbare Zero–Knowledge Arguments mit konstanter Rundenzahl
7.2.3 Zero–Knowledge Argument of Knowledge
Neben den bisher definierten Zero–Knowledge Beweissystemen, die ausschließlich beweisen,
dass ein Wort in einer Sprache vorhanden ist, existieren noch interaktive Systeme,
die beweisen, dass ” jemand“ ein Geheimnis bzw. ein Wort aus einer Sprache kennt (proof
of knowledge). Diese Systeme werden als Zero–Knowledge Proof of Knowledge bzw. Zero–Knowledge
Argument of Knowledge bezeichnet. Da hier keine Proof of Knowledge
benötigt werden, beschränkt sich dieser Abschnitt auf die Einführung von Argument of
Knowledge.
In einem Zero–Knowledge Argument of Knowledge möchte der Prover den Verifier
davon überzeugen, dass er dazu ein Zeugnis kennt, welches beweist, dass x ∈ L gilt.
Dabei ist zu beachten, dass sich der Beweis über die Kenntnis von x von dem Beweis der
bloßen Existenz von x unterscheidet. So erfordert z.B. die Kenntnis der Primfaktoren
einer Zahl n einen anderen Beweis als der Beweis, dass n zusammengesetzt ist. Aus
diesem Grund kann jedes Zero–Knowledge Argument in ein Zero–Knowledge Argument
of Knowledge überführt werden. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen jedoch nicht.
Die Grundidee zu Zero–Knowledge Proof of Knowledge stammt aus [GMR85] und
wurde von Feige, Fiat und Shamir in [FFS87] und in [TW87] formal definiert. Von Bellare
und Goldreich wurden in [BG92] einige Lücken dieser Definitionen geschlossen.
Zur Definition des Zero–Knowledge Argument of Knowledge wird der Begriff der
Orakel–Maschine benötigt.
Definition 7.2 (Orakel–Maschine)
Sei E eine probabilistische Turing Maschine mit einem zusätzlichen Orakel–Band und den
beiden Zuständen Anrufung des Orakels (engl. oracle invocation) und Orakel–Auskunft
(engl. oracle appeared). Die Berechnung von E mit der Eingabe x erfolgt dabei mittels
Zugriff auf eine interaktive Funktion A : {0, 1} ∗ → {0, 1} ∗ , die als Orakel bezeichnet wird.
Dann heißt E eine Orakel–Maschine. E Ax (x) ist eine Zufallsvariable, die die Ausgabe
von E mit dem Orakel Ax und der Einabe x beschreibt, wobei die Wahrscheinlichkeit
von den Münzwürfen von E und A abhängt.
Die Laufzeit der Orakel–Maschine ist wie bei Turing Maschinen die Anzahl der Schritte
während der Berechnung. Die Anrufung des Orakels und dessen Antwort für jede
Anfrage wird dabei als ein Schritt definiert. Jede Auskunft des Orakels an die Orakel–
Maschine ist dabei unabhängig von den vorhergehenden Anrufungen.
Sei p(x) die Wahrscheinlichkeit, dass der Prover P den Verifier V davon überzeugen
kann, bei Eingabe von x zu akzeptieren. Dann ist zwinged erforderlich, dass es
eine Maschine E gibt, genannt den Extraktor (engl. knowledge extractor), der in einer
ein Zeugnis für die Behauptung von P ausgibt.
(erwarteten) Zeit proportional zu 1
p(x)
Die Standardformulierung der Definition von [BG92] wird hier durch eine Definition
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