Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

6 Perfekte Zero–Knowledge Arguments mit konstanter Rundenzahl
Lemma 6.5
Protokoll 6.3 ist effizient auszuführen.
Beweis:
Seien ℘, Λ sowie die festen Parameter wie im Beweis zum Lemma 6.4. Offensichtlich
ist ℘ exakt die Wahrscheinlichkeit, mit der der Simulator in Protokoll 6.4 den Schritt
S7 erreicht, da bis dahin der Simulator dem Protokoll 6.3 ohne Abweichung entspricht.
Interessanter ist, dass ℘ ebenfalls exakt der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass der Simulator,
wenn er erst einmal Schritt S7 erreicht hat, ebenfalls Schritt 13 erreichen kann
(und damit erfolgreich mit Schritt 15 die Simulation beenden kann), ohne dabei wenigstens
einmal zurück zu Schritt S7 gegangen zu sein. Um das zu sehen, ist zu beachten,
dass die Familien der xi’s, uij’s und tij’s, die in den Schritten S8 und S10 zufällig erzeugt
wurden, über Λ gleichverteilt sind.
Infolgedessen ist die erwartete Anzahl, wie oft Schritt S7 erreicht wird, exakt 1 (solange
nicht ℘ = 0 ist, weil dann die Anzahl ebenfalls 0 ist). Es ist aber auch klar, dass
die Schritte S0 bis S6 nicht mehr als einmal erreicht werden und dass kein Schritt nach
S7 häufiger erreicht wird, als Schritt S7 selber. Daher ist die erwartete Zeit, die das Protokoll
des Simulators benötigt, nicht mehr als die einmalige Ausführung jeden Schrittes
dieses Protokolls, was unter der Berücksichtigung der Effizient des Verifiers insgesamt
gesehen effizient ist.
Satz 6.2
Das Protokoll 6.3 ist effizient und für einen ehrlichen Prover bei einer Kommunikation
mit jedem beliebigen Verifier perfekt Zero–Knowledge.
Beweis:
Der Beweis ergibt sich aus dem Lemma 6.4 und dem Lemma 6.5.
71