Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de
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6 Perfekte Zero–<strong>Knowledge</strong> Arguments mit konstanter Run<strong>de</strong>nzahl<br />
Da ein 0–Commitment und ein 1–Commitment ununterscheidbar sind, ist die Wahl<br />
<strong>de</strong>s Verifiers unabhängig von <strong>de</strong>m Münzwurf <strong>de</strong>s Simulators. Daher ist die erwartete<br />
Anzahl <strong>de</strong>r Versuche für eine erfolgreiche Simulation einer Run<strong>de</strong> 2.<br />
Somit ist die Simulation vollständig und alle k Run<strong>de</strong>n können eine nach <strong>de</strong>r an<strong>de</strong>ren<br />
in ungefähr doppelt soviel Zeit simuliert wer<strong>de</strong>n.<br />
6.7 Perfektes Zero–<strong>Knowledge</strong> Argument in konstanter<br />
Run<strong>de</strong>nzahl<br />
Nun kann die formale Beschreibung <strong>de</strong>s endgültigen Protokolls für das perfekte Zero–<br />
<strong>Knowledge</strong> Argument in konstanter Run<strong>de</strong>nzahl für das SAT-Problem erfolgen. Da das<br />
SAT–Problem N P-vollständig ist, folgt daraus, dass dieses Protokoll für alle Behauptungen,<br />
die in N P liegen, geeignet ist.<br />
Zusammenfassend wer<strong>de</strong>n hier nochmal alle Bezeichnungen aufgeführt, die in <strong>de</strong>m<br />
Protokoll verwen<strong>de</strong>t wer<strong>de</strong>n.<br />
• p, α und s entsprechen <strong>de</strong>m Protokoll 6.1, ∗ p einer multiplikativen Gruppe und<br />
p−1 einer additiven Gruppe gemäß Seite 54.<br />
• Σ = {0, 1}<br />
• Γ = {0, 1, }<br />
• ν das <strong>zu</strong> verschlüsseln<strong>de</strong> Bit<br />
• z ∈R p−1<br />
• x = α z s ν<br />
• β : Σ R<br />
−→ ∗ p × p−1 wird <strong>de</strong>finiert mit β(ν) = (x, z).<br />
Das Tupel (x, z) entspricht <strong>de</strong>m Commitment <strong>de</strong>s Bits ν, wobei x das eigentliche<br />
Commitment und z das Zeugnis darstellt.<br />
Diese Notation wird in natürlicher Weise erweitert auf β(ν) für ν ∈ Σ ⋆ . Sie wird<br />
ebenfalls erweitert auf β(ɛ) für ɛ ∈ Γ ⋆ , wobei hier β(ɛ) = β(♦(ɛ)) be<strong>de</strong>utet.<br />
O.b.d.A. wird für diesen Fall willkürlich ɛ[i] = als ɛ[i] = 0 angenommen.<br />
• ϕ : ∗ p × p−1 × Γ → {wahr, falsch} wird <strong>de</strong>finiert mit ϕ(x, z, ν) = wahr, wenn<br />
entwe<strong>de</strong>r ν = o<strong>de</strong>r x = α z s ν gilt, d.h. dann und nur dann, wenn entwe<strong>de</strong>r das<br />
Commitment x ungeöffnet bleibt o<strong>de</strong>r z ein korrektes Zeugnis dafür ist, dass x ein<br />
ν–Commitment ist.<br />
Diese Notation wird ebenfalls entsprechend erweitert auf ϕ : ( ∗ p) ℓ ×(p−1) ℓ ×Γ ℓ →<br />
{wahr, falsch} für je<strong>de</strong> ganze Zahl ℓ. In diesem Fall gilt ϕ(x, z, ν) = wahr dann<br />
und nur dann, wenn x[i] = α z[i] s ν[i] für alle i mit ν[i] = , 1 ≤ i ≤ ℓ.<br />
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