Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

Weiterhin gilt
5 Perfekte Zero–Knowledge Arguments mit polynomieller Rundenzahl
z∈F(U)
Pr[U wird erreicht und das Bild
ist voll ausgeglichen] =
Pr[z gewählt, U wird erreicht] =
y∈F(U)
≤
y∈F(U)
≤
y∈F(U)
1
2n j−1 1
A(Ui, y)
i=1
1
2n j−1
i=1
1
(1 − 1
n )2n−i−1
e
2n j−1 1
2
i=1
n−i−1
≤ 2n−j
j−1 1
· e
2n 2
i=1
n−i−1
j−1 1
≤ e
2n−i Wie schon im Beweis zum Lemma 5.3 gezeigt wurde, gilt für alle z ∈ F(U)
i=1
Pr[z ist gewählt und U wird erreicht] ≥
Daher ist (3) mindestens
1
e2n−j+1 j−1 1
2
i=1
n−i
1
e22n−j+1 .
Lemma 5.7
Die Wahrscheinlichkeit, das A erfolgreich ist, beträgt mindestens ε 10
4ε 3 n 8 .
Beweis:
Angenommen, (i) dass A einen guten Knoten U der Stufe j erreicht und dass y voll
ausgeglichen ist, und (ii), dass hj, hj+1, ..., hn−1 einen Pfad zu einem guten Blatt definiert,
das mindestens ein Bild in F(U) hat. Nach Lemma 5.6 ist bekannt, dass die
Wahrscheinlichkeit für y = z mindestens 1
e 2 2 n−j beträgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass (i)
eintritt, ist nach Lemma 5.4 mindestens ε (1−γ)2
und dass (ii) bei gegebenem (i) eintritt,
e
. Daher beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit mindestens
nach Lemma 5.5 mindestens ε
2
ε2 (1−γ) 2
2n−je3 ≥ ε10
4e3n8 .
Anzumerken ist, dass A’s Erfolg nur für den Fall betrachtet wurde, dass y auf Stufe
j voll ausgeglichen ist. Dennoch ist die Wahrscheinlichkeit unter der Voraussetzung,
dass y auf Stufe j voll ausgeglichen ist, für A, viele nicht erfolgreiche Kandidaten bis
51