Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

5 Perfekte Zero–Knowledge Arguments mit polynomieller Rundenzahl
Ein Knoten wird als gut bezeichnet, wenn mindestens ε der Blätter des Teilbaums,
der von U als neuer Wurzel aufgespannt wird, die Eigenschaft hat, dass S ∗ erfolgreich
täuschen kann, d.h. beide Bilder invertieren kann. Gemäß Annahme ist der Anteil der
guten Knoten U mindestens ε. Daher beträgt gemäß Lemma 5.3 die Wahrscheinlichkeit,
dass A einen gutes U auf Stufe j erreicht, mindestens (1−γ)2
e ε.
Lemma 5.5
In jedem guten U auf Stufe j beträgt der Anteil der guten Blätter, die wenigstens ein
Bild aus F(U) haben, mindestens ε
2 .
Beweis:
1
Jedes Paar von Bildern y1 = y2 in I(U) kann in höchstens 2n−j der Blätter zusammen
vorkommen: In jedem Knoten U ′ auf dem Weg von U zu den Blätter. Darüber hinaus
gilt für zufällige Fragen von U ′ Pr[B(h, y1) = B(h, y2)] = 1.
Weil höchstens γ2n−j+1
2
Bilder existieren, die in U nicht voll ausgeglichen sind, haben höchstens
γ2 n−j+1
2
2n−j−1 ≤ 2γ22 n−1 ≤ n 2 2 −1
4(n−j) +1 = n 2 log n
−2
2 ε+1 +1 ≤ ε2
2
der Blätter ihre beiden Bilder von den unausgeglichenen. Daher sind mindestens ε− ε2
2 ≥
der Blätter beide gut und haben mindestens ein in U voll ausgeglichenes Bild.
ε
2
Lemma 5.6
Für jeden guten Knoten U der Stufe j, der mit einem voll ausgeglichenem y erreicht wird,
und für ein z ∈ F(U), ist die Wahrscheinlchkeit, dass y = z gilt, mindestens
Beweis:
Für die untere Schranke gilt
Pr[z ist gewählt und U wird erreicht]
Pr[U wird erreicht und das Bild ist voll ausgeglichen]
50
1
e22n−j+1 .
(3)