Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

5 Perfekte Zero–Knowledge Arguments mit polynomieller Rundenzahl
Mit der Tschebyschev’schen Ungleichung ergibt sich
Pr
ah − E
ah ≥ λ V ar ah
≤ 1
λ2 h Frage von U
h Frage von U
V ar[
h ah] ist dabei 2 n−j und daher ist (1) höchstens 2 −3
4(n−j) .
Lemma 5.2
Für jeden Knoten U der Stufe j und jedes zufällige Bild y von U gilt: Die Wahrscheinlichkeit,
dass y voll ausgeglichen ist, beträgt mindestens 1 − γ für γ = n2 −5
8(n−j) .
Beweis:
Seien U1, . . . , Uj = U die Knoten auf dem Pfad nach U. Für jedes 1 ≤ i ≤ j werden die
2n−i Fragen von Ui in 2j−i Teilmengen H1, . . . , H2j−i mit der Größe 2n−j unterteilt, so
dass für jedes 1 ≤ ℓ ≤ 2j−i und h ′ , h ′′ ∈ Hℓ gilt, dass die h ′ linear unabhängig von den
hi+1, . . . , hj, h ′′ sind. Entsprechend Lemma 5.1 gilt daher Pr[|
h∈Hℓ −E[h∈Hℓ
ah]| >
2 7
8(n−j) ≤ 2 −3
4(n−j) , so dass nach der Markov Ungleichung die Wahrscheinlichkeit, dass mehr
als 2 −1
8(n−j) Anteile der Hℓ’s eine Abweichung größer als 2 7
8(n−j) haben, höchstens 2 −5
8(n−j)
beträgt. Damit beträgt mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1−2 −5
8(n−j) die totale
Abweichung am Knoten Ui höchstens
2 −1
8(n−j) 2 n−j 2 j−i + (1 − 2 −1
8(n−j) )2 7
8(n−j) 2 j−i ≤ 2 · 2 7 1
+ 8n 8j −i
und schließlich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 1 − 2 −5
8(n−j)
1 − 1
n
−1
≤ 1 − 2 8(n−j)+1 ≤ A(Ui, y)
−1
≤ 1 + 2 8(n−j)+1 ≤ 1 +
2n−i−1 1
n .
Die Wahrscheinlichkeit, dass y in allen Stufen ausgeglichen ist, beträgt daher mindestens
1 − n2 −5
8(n−j) = 1γ
Lemma 5.3
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten U auf Stufe j von einer Programmausführung
durch A erreicht wird, beträgt 1−γ
der Wahrscheinlichkeit, dass U von einer Programm-
e
ausführung durch S ∗ erreicht wird.
Beweis:
Seien U1, . . . , Uj = U die Knoten auf dem Pfad von der Wurzel zu U. Die Wahrscheinlichkeit
für jeden Knoten Ui, dass dieser in S ∗ erreicht wird, beträgt j−1 1
i=1 2n−i . Es gilt
48
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