Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

5 Perfekte Zero–Knowledge Arguments mit polynomieller Rundenzahl
2. E berechnet y = f(x) und überprüft,
• ob die B(hj, y), 1 ≤ j ≤ n − 1, den von S in der Festlegungshase Pkt.
3 übersandten ηj entsprechen und
• ob y = yσ, falls η = 0 bzw. ob y = y1−σ, falls η = 1 ist .
Es ist klar, dass das Protokoll in Polynomialzeit von beiden Parteien ausgeführt
werden kann. Nachfolgend wird gezeigt, dass es tatsächlich ein perfekt sicheres Bit–
Commitment-Protokoll ist.
5.4 Beweis der Sicherheit
Als erstes wird die grundlegende Eigenschaft als Bit–Commitment–Scheme bewiesen.
Satz 5.2
Falls eine Einweg–Permutation f existiert, dann ist das Schema aus Protokoll 5.1 ein
perfekt–sicheres berechenbar–eindeutiges Bit–Commitment–Scheme.
Der Beweis folgt aus den beiden folgenden Sätzen, dem Sicherheits-Satz und dem
Eindeutigkeits-Satz.
Satz 5.3 (Sicherheits-Satz)
Nach der Festlegungsphase ist für jeden Empfänger E ∗ das Bit σ informationstheoretisch
sicher verborgen.
Beweis:
Induktiv kann über j geprüft werden, dass für jede Wahl der h1, . . . , hj die bedingte
Wahrscheinlichkeit von y über h1, . . . , hj und η1, . . . , ηj in dem von h1, . . . , hj und
η1, . . . , ηj definierten Unterraum gleichverteilt ist. Somit ist die Wahrscheinlichkeit in
der Festlegungsphase bei Pkt. 4, dass y = y0 ist, exakt 1.
Daher wird mit η keine Infor-
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mation über σ verbreitet.
Satz 5.4 (Eindeutigkeits-Satz)
Angenommen, es existiert eine probabilistische polynomiell–beschränkte Maschine S ∗ (n),
die dem Protokoll in der Festlegungsphase folgt, und einem ehrlichen Empfänger für ein
σ zwei unterschiedliche Werte mit nichtvernachlässigbarer Wahrscheinlichkeit (bezüglich
der Münzwürfe) ε = ε(n) offenbarte. Dann existierte auch eine probabilistische polynomiell–beschränkte
Maschine A, die für eine nichtvernachlässigbare Anzahl von y ∈
{0, 1} n f invertieren kann.
Beweis:
Es wird eine Maschine A zum Invertieren von f unter Anwendung eines derartigen
S ∗ konstruiert. A hat eine feste Polynomialzeit-Grenze und bricht die Berechnung ab,
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