Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

3 Zero–Knowledge Proof
Von Goldreich, Micali und Widgerson wurde in [GMW86] gezeigt, dass jede Sprache
in N P einen Zero–Knowledge Proof besitzt. Das wurde mittels der N P-vollständigen
3-färbbaren Graphen nachgewiesen, die zur Klasse 3C gehören, für die die Existenz von
Zero–Knowledge Proofs bewiesen wurde. Somit gilt 3C ∈ ZK.
Der dazugehörige Zero–Knowledge Proof wurde wie folgt durchgeführt.
Definition 3.3 (Zero–Knowledge Proof für Dreifärbbare Graphen)
Sei G(V, E) ein Graph. Die Knotenfärbung sei eine Funktion φ : V → {1, 2, 3}. Seien
n = |V |, m = |E| und der Einfachheit halber V = {1, 2, . . . , n}.
Die folgenden vier Schritte werden m 2 Mal ausgeführt, wobei in jedem Schritt unabhängige
Münzwürfe benötigt werden.
Unter der Voraussetzung, dass ein sicheres und eindeutiges Verschlüsselungsverfahren
mit f(x, r) = f(y, r) ⇒ x = y mit r als zufälligem Münzwurf existiert, gilt:
1. P wählt eine Permutation π ∈R Sym({1, 2, 3}) mit zufälligen rv’s der Drei-Färbung,
verschlüsselt diese, indem für jedes v ∈ V die Rv = f(π(φ(v)), rv) berechnet
werden, und sendet diesen verschlüsselten Graphen als Folge R1, . . . , Rn an V.
2. V wählt zufällig eine Kante e ∈R E und sendet diese an P. Damit fragt V nach der
Färbung der Endpunkte von e ∈ E.
3. Wenn e = (u, v) ∈ E gilt, offenbart P die Färbung von u und v, indem er die
Verschlüsselung dieser Färbungen als (π(φ(u)), ru) und (π(φ(v)), rv) an V sendet.
Ist e /∈ E stoppt P.
4. V prüft den aus Schritt (3) übermittelten ” Beweis“. Insbesondere prüft V ob
• Ru = f(π(φ(u)), ru),
• Rv = f(π(φ(v)), rv),
• π(φ(u)) = π(φ(v)) und
• π(φ(u)), π(φ(v)) ∈ {1, 2, 3}.
Ist eine der Bedingungen verletzt, dann lehnt V ab und stoppt. Andernfalls fährt
V mit der nächsten Iteration fort.
Die Drei-Färbung wird akzeptiert, wenn V alle Iterationen erfolgreich durchlaufen
hat.
Der Nachweis über die Korrektheit ist etwas umfangreicher und kann in [GMW86]
nachgelesen werden. Darüber hinaus wird dort gezeigt, dass nicht nur jede N P-Sprache
sondern jede Sprache in IP einen Zero–Knowledge Proof hat. Damit sind auch diejenigen
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