Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Im Gegensatz zu den unbeschränkten Körpern wie z.B. oder , die unendlich viele
Elemente beinhalten, werden in der modularen Arithmetik nur Körper mit endlich vielen
Elementen betrachtet. Endliche Körper werden auch Galois-Felder genannt und mit GF
bezeichnet, wobei mit einer Zahl p der Grad des Körpers GF (p) angegeben wird. Dieser
Körper enthält genau p unterschiedliche Elemente. Die Zahl p darf nicht beliebig gewählt
werden, um die Axiome der endlichen Körper zu erfüllen. Sie muss eine Primzahl oder
eine geradzahlige Potenz einer Primzahl sein.
Das Rechnen modulo p von ganzen Zahlen aus genügt allen Axiomen eines Ringes.
Dabei bildet die Menge aller Zahlen unter den beiden Rechenoperationen Addition und
Multiplikation jeweils modulo p den Restklassenring GF (p) = (p, ⊕, ⊙).
Hier soll keine vertiefende Einführung in die endlichen Körper vorgenommen werden.
Dazu wird auf weiterführende Literatur verwiesen, die hauptsächlich der Nachrichtentechnik
und den Codierungsverfahren entstammt. Dort werden Galois-Felder unterschiedlicher
Grade verwendet. Als ein Einstieg zu Galois-Feldern kann u.a. [Sta02]
empfohlen werden.
Für die moderne Kryptographie ist besonders der zweielementige oder binäre Körper
GF (2) = ({0, 1}, +, ∗) von Interesse. Aufgrund der Modulo-Rechnung gelten folgende
Rechenregeln, die in Form einer Additions- und Multiplikationstabelle dargestellt werden:
+ 0 1 * 0 1
0 0 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1
Tabelle 2: Additions- und Multiplikationstabelle im GF (2)
Der Umgang mit dem Körper GF (2) ist im Hinblick auf die moderne Kryptographie
und die zuvor beschriebenen Schaltkreise besonders gut geeignet, da eine Addition in
GF (2) einem XOR-Gatter und eine Multiplikation einem AND-Gatter entspricht (siehe
auch Beschreibung von Schaltkreisen in Abschnitt 2.6 ab Seite 17).
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