Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Sei n = pq eine Blum-Zahl und a ∈ Qn. Dann hat a genau vier Quadratwurzeln
modulo n, von denen genau eine ebenfall in Qn liegt. Diese einzige in Qn liegende Zahl
wird Hauptquadratwurzel genannt.
Beispiel 6
Sei n = 21 eine Blum-Zahl. Die vier Wurzeln für eine Zahl a = 4 lauten dann 2, 5, 16
und 19. Die einzige in Qn liegende Hauptquadratwurzel ist dabei 16.
Ist n = pq eine Blum-Zahl, dann ist die Funktion f : Qn → Qn definiert durch
f(x) = x 2 (mod n) eine Permutation. Das Inverse der Funktion f ist
2.8.5 Diskreter Logarithmus
f −1 (x) = x (p−1)(q−1)+4
8 mod n.
Die Sicherheit vieler kryptographischer Techniken basiert auf der Schwierigkeit des diskreten
logarithmischen Problems (DLP).
Für diesen Abschnitt bezeichnet G eine endliche zyklische Gruppe vom Grad n mit
dem erzeugenden Element α. G kann sich vorgestellt werden als eine multiplikative
Gruppe ∗ n vom Grad p−1, beim dem die Gruppenoperation eine Multiplikation modulo
p ist.
Diskreter Logarithmus
Seien G und α wie beschrieben und sei β ∈ G. Der diskrete Logarithmus von β zur Basis
α, bezeichnet mit log α β, ist die eindeutige ganze Zahl x mit 0 ≤ x ≤ n − 1, so dass
β = α x gilt.
Beispiel 7
Sei p = 97. Dann hat die zyklische Gruppe ∗ 97 den Grad n = 96. Ein erzeugendes
Element von ∗ 97 ist α = 5. Da 5 32 ≡ 35 (mod 97) gilt, liegt log 5 35 = 32 in ∗ 97.
Nachfolgend ein paar elementare Regeln über Logarithmen:
Sei G eine zyklische Gruppe vom Grad n mit einem erzeugenden Elemente α. Seien
weiterhin β, γ ∈ G und s eine beliebige ganze Zahl. Dann gilt:
(i) log α(βγ) = (log α β + log α γ) mod n
(ii) log α β s = s log α β mod n
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