Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de
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2 Definitionen<br />
(iii) Vorausgesetzt, α ist ein erzeugen<strong>de</strong>s Element von ∗ n. b = α i mod n ist ebenfalls<br />
ein erzeugen<strong>de</strong>s Element von ∗ n dann und nur dann, wenn ggT(i, φ(nI) = 1). Falls<br />
∗ n zyklisch ist, folgt daraus, dass die Anzahl <strong>de</strong>r erzeugen<strong>de</strong>n Elemente φ(φ(n))<br />
ist.<br />
(iv) α ∈ ∗ n ist ein erzeugen<strong>de</strong>s Element von ∗ n dann und nur dann, wenn für je<strong>de</strong>n<br />
Primzahlteiler p von φ(n) gilt α φ(n)<br />
p ≡ 1 (mod n).<br />
Beispiel 4<br />
∗ 21 ist nicht zyklisch, weil φ(21) = 12 ∈ ∗ 21 (siehe Tabelle 1). Beachte, dass α = 21<br />
nicht die Eigenschaft (i) für erzeugen<strong>de</strong> Elemente erfüllt. Dagegen ist ∗ 25 zyklisch und<br />
hat α = 2 als erzeugen<strong>de</strong>s Element.<br />
2.8.3 Quadratischer Rest<br />
a ∈ ∗ n wird als quadratischer Rest modulo n bezeichnet, wenn ein x ∈ ∗ n exisiert, so<br />
dass x 2 ≡ a (mod n) gilt. Existiert kein <strong>de</strong>rartiges x, dann wird a als quadratischer<br />
Nichtrest modulo n bezeichnet.<br />
Die Menge aller quadratischen Reste modulo n wird mit Qn, die <strong>de</strong>r quadratischen<br />
Nichtreste modulo n mit Q n bezeichnet. Dabei gilt per Definition 0 ∈ ∗ n, wobei 0 ∈ Qn<br />
und 0 ∈ Q n gilt.<br />
Sei p eine ungera<strong>de</strong> Primzahl und a ein erzeugen<strong>de</strong>s Element von ∗ n. x ∈ ∗ n ist<br />
ein quadratischer Rest modulo p dann und nur dann, wenn x = ai (mod p) für eine<br />
gera<strong>de</strong> Zahl i ∈ . Es folgt, dass |Q| = p−1<br />
p−1<br />
und |Q| = . Das heißt, dass die Hälfte<br />
2 2<br />
<strong>de</strong>r Elemente von ∗ n quadratische Reste und die an<strong>de</strong>re Hälfte quadratische Nichtreste<br />
sind.<br />
Beispiel 5<br />
a = 6 ist erzeugen<strong>de</strong>s Element von ∗ 13. Die Potenzen von a ergeben sich aus folgen<strong>de</strong>r<br />
Tabelle:<br />
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12<br />
a i mod 13 1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11<br />
Daraus folgt Q13 = {1, 3, 4, 9, 10, 12} sowie Q 13 = {2, 5, 6, 7, 8, 11}.<br />
2.8.4 Blum-Zahl<br />
Eine Zahl n ∈ wird Blum-Zahl genannt, wenn es zwei Primzahlen p = q mit n = pq<br />
gibt, die kongruent <strong>zu</strong> 3 modulo 4 sind<br />
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