Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
(iii) Vorausgesetzt, α ist ein erzeugendes Element von ∗ n. b = α i mod n ist ebenfalls
ein erzeugendes Element von ∗ n dann und nur dann, wenn ggT(i, φ(nI) = 1). Falls
∗ n zyklisch ist, folgt daraus, dass die Anzahl der erzeugenden Elemente φ(φ(n))
ist.
(iv) α ∈ ∗ n ist ein erzeugendes Element von ∗ n dann und nur dann, wenn für jeden
Primzahlteiler p von φ(n) gilt α φ(n)
p ≡ 1 (mod n).
Beispiel 4
∗ 21 ist nicht zyklisch, weil φ(21) = 12 ∈ ∗ 21 (siehe Tabelle 1). Beachte, dass α = 21
nicht die Eigenschaft (i) für erzeugende Elemente erfüllt. Dagegen ist ∗ 25 zyklisch und
hat α = 2 als erzeugendes Element.
2.8.3 Quadratischer Rest
a ∈ ∗ n wird als quadratischer Rest modulo n bezeichnet, wenn ein x ∈ ∗ n exisiert, so
dass x 2 ≡ a (mod n) gilt. Existiert kein derartiges x, dann wird a als quadratischer
Nichtrest modulo n bezeichnet.
Die Menge aller quadratischen Reste modulo n wird mit Qn, die der quadratischen
Nichtreste modulo n mit Q n bezeichnet. Dabei gilt per Definition 0 ∈ ∗ n, wobei 0 ∈ Qn
und 0 ∈ Q n gilt.
Sei p eine ungerade Primzahl und a ein erzeugendes Element von ∗ n. x ∈ ∗ n ist
ein quadratischer Rest modulo p dann und nur dann, wenn x = ai (mod p) für eine
gerade Zahl i ∈ . Es folgt, dass |Q| = p−1
p−1
und |Q| = . Das heißt, dass die Hälfte
2 2
der Elemente von ∗ n quadratische Reste und die andere Hälfte quadratische Nichtreste
sind.
Beispiel 5
a = 6 ist erzeugendes Element von ∗ 13. Die Potenzen von a ergeben sich aus folgender
Tabelle:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a i mod 13 1 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11
Daraus folgt Q13 = {1, 3, 4, 9, 10, 12} sowie Q 13 = {2, 5, 6, 7, 8, 11}.
2.8.4 Blum-Zahl
Eine Zahl n ∈ wird Blum-Zahl genannt, wenn es zwei Primzahlen p = q mit n = pq
gibt, die kongruent zu 3 modulo 4 sind
26