Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Beispiel 2
Sei n = 21 = prim. Dann ist ∗ 21 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}. Sei n = 13 =
prim. Dann ist ∗ 13 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.
Sei p ein Primzahl. Dann gilt
(i) (kleiner Fermat’schen Satz) Wenn ggT(a, p) = 1, dann gilt a p−1 ≡ 1 (mod p).
(ii) Aus r ≡ s (mod p−1) folgt a r ≡ a s (mod p) für alle ganzen Zahlen a. Mit anderen
Worten, wenn modulo einer Primzahl p gearbeitet wird, können die Exponenten
mit modulo (p − 1) reduziert werden.
(iii) Insbesondere gilt a p ≡ a (mod p) für alle a ∈ .
Grad von a
Sei a ∈ ∗ n. Der Grad von a, bezeichnet mit grad(a), ist die kleinste Zahl t ∈ , für die
gilt: a t ≡ 1 (mod n).
Beispiel 3
Sei n = 21 mit ∗ 21 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20}. Dann ist φ(21) = φ(7)·φ(3) =
12 = | ∗ 21|. Die Grade der Elemente von ∗ 21 sind in der Tabelle 1 aufgelistet.
a ∈ ∗ 21 1 2 4 5 8 10 11 13 16 17 19 20
Grade von a 1 6 3 6 2 6 6 2 3 6 6 2
Erzeugendes Element von ∗
n
Tabelle 1: Grad der Elemente von ∗ 21
Sei α ∈ ∗ n. Ist grad(α) = φ(n), dann heißt α das erzeugende Element (engl. generator)
oder auch primitive Elemenet von ∗ n. ∗ n heißt zyklisch, wenn es ein erzeugendes Element
α hat.
Eigenschaften des erzeugenden Elements
(i) ∗ n hat dann und nur dann ein erzeugendes Element, wenn n = 2, 4, p k , 2p k gilt,
wobei p eine ungerade Primzahl und k ≥ 1 sind. Insbesondere gilt, wenn p prim
ist, dass ∗ n ein erzeugendes Element hat.
(ii) Wenn α ein erzeugendes Element von ∗ n ist, dann ist ∗ n = {α i mod n | 0 ≤ i ≤
φ(n) − 1}.
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