Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

(ii) (Reflexivität) a ≡ a (mod n)
2 Definitionen
(iii) (Symmetrie) a ≡ b (mod n) ⇐⇒ b ≡ a (mod n).
(iv) (Transitivität) Aus a ≡ b (mod n) und b ≡ c (mod n) folgt a ≡ c (mod n).
(v) Wenn a ≡ a1 (mod n) und b ≡ b1 (mod n) gilt, dann gilt auch a + b ≡ a1 + b1
(mod n) und ab ≡ a1b1 (mod n).
Die Äquivalenzklasse einer ganzen Zahl a ∈ ist die Menge aller ganzen Zahlen, die
kongruent zu a mod n sind. Aus den Eigenschaften (ii), (iii) und (iv) folgt, das für ein
festes n die Relation der Kongruenz modulo n die Menge in Äquivalenzklassen teilt.
Sei a = qn+r mit 0 ≤ r < n, dann gilt a ≡ r (mod n). Jede ganze Zahl a, die kongruent
modulo n zu einer eindeutigen ganzen Zahl x mit 0 ≤ x ≤ n − 1 ist, wird als kleinster
Rest eines Modulo n bezeichnet. Somit sind a und r in der selben Äquivalenzklasse und
r kann als Repräsentant dieser Äquivalenzklasse dienen.
Restklassenring von n: n
Die Menge aller ganzen Zahlen modulo n werden als n bezeichnet und stellen die
Menge der (äquivalenten Klassen der) ganzen Zahlen von {0, 1, . . . , n−1} dar. Addition,
Subtraktion und Multiplikation in n werden jeweils modulo n ausgeführt.
Multiplikatives inverses Element
Seien a, b, x ∈ n. Das multiplikative Inverse von a mod n ist eine ganze Zahl x, so dass
ax ≡ 1 (mod n) gilt. Wenn so ein inverses Element existiert, dann ist es einmalig und a
wird invertierbar genannt. Das inverse Element von a wird mit a −1 bezeichnet.
Eine Division von a durch b mod n ist ein Produkt von a und b −1 mod n und ist nur
dann definiert, wenn b invertierbar modulo n ist.
Beispiel 1
Die invertierbaren Elemente von 9 sind 1, 2, 4, 5, 7 und 8, wie am Beispiel der 4 zu
sehen ist. 4 −1 = 7 da 4 · 7 ≡ 1 (mod 9).
Sei d = ggT(a, n). Die Kongruenzrelation ax ≡ b (mod n) hat eine Lösung x dann
und nur dann, wenn d|b gilt. In diesem Fall existieren exakt d Lösungen zwischen 0 ≤
n − 1. Alle Lösungen sind kongruent modulo n
d .
2.8.2 Multiplikative Gruppe ∗
n
Die mulitplikative Gruppe von n wird mit ∗ n = {a ∈ Zn | ggT(a, n) = 1} bezeichnet.
Insbesondere gilt, falls n eine Primzahl ist, ∗ n = {a | 1 ≤ a ≤ n − 1}
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