Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
3. Schwer, Claws zu erzeugen: Ein Paar (x, y), welches f 0 i (x) = f 1 i (y) erfüllt, wird als
Claw für den Index i bezeichnet. Bezeichne Ci die Menge der Claws für den Index
i. Es ist erforderlich, dass für jeden probabilistischen polynomiell–beschränkten
Algorithmus A ∗ und alle ausreichend großen n
Pr[A ∗ (In) ∈ CIn] < µ(n)
gilt, wobei In eine Zufallsvariable ist, die die Ausgabeverteilung des Algorithmus
I bei Eingabe von 1 n beschreibt.
Die erste Forderung in Definition 2.24 entspricht derjenigen in Definition 2.22, wohingegend
die beiden anderen Forderungen sich widersprechen. Auf der einen Seite wird
gefordert, dass Claws existieren. Auf der anderen Seite sollen diese Claws nicht effizient
berechnet werden können. Es ist klar, dass eine Kollektion von Claw-Free Funktionen
eine Kollektion von Einweg–Funktionen liefert. Von besonderem Interesse sind dabei
Funktionen mit identischem Wertebereich (d.h. Di
def 0 = Di = D1 i ), wenn die Zufallsvariable
D(σ, i) gleichverteilt über Di ist und die Funktionen f 0 i und f 1 i Permutationen über
Di sind. Derartige Kollektionen werden Kollektionen von Claw-Free Permutationen von
Paaren genannt.
Den Abschnitt der Einweg–Funktionen soll die Definition der Hashfunktionen und
insbesondere der kollisions-resistenten Hashfunktionen abschließen. Diese Funktionen
werden ebenfalls in einem Großteil der modernen kryptographischen Algorithmen verwendet.
Definition 2.25 (Hashfunktionen)
Seien h eine Funktion, lh ∈ ein beliebiger aber fester Wert und x aus dem Definitionsbereich
von h. Dann heißt h Hashfunktion, wenn die folgenden drei Bedingungen
erfüllt sind:
1. Komprimierung: ∀x, ∃lh : |h(x)| = lh
2. Einfach zu berechnen: Bei Eingabe von x ist h(x) einfach zu berechnen.
3. Schwer zu invertieren: Sei y = h(x). Dann ist es ohne Kenntnis von x berechenbar
unmöglich, ein x ′ zu finden, so dass h(x ′ ) = y gilt.
Hashfunktionen haben dabei zwei wesentliche Eigenschaften:
• Sei M eine Nachricht und h eine Hashfunktion. Dann steht y = h(M) in keinem
erkennbaren Zusammenhang mehr mit M.
• Der erzeugte Hashwert ist im Allgemeinen wesentlich kürzer als die beliebig lange
Nachricht |y| < |M|.
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