Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
für den Index i, bezeichnet mit t(i) kann nicht effizient von i berechnet werden, obwohl
es leicht möglich ist, ein korrespondierendes Tupel (i, t(i)) zu erzeugen.
Definition 2.23 (Kollektion von Trapdoor Permutationen)
Sei I : 1 ∗ → {0, 1} ∗ × {0, 1} ∗ ein probabilistischer Algorithmus und bezeichne I1(1 n ) das
erste Element des Tupels, welches von I(1 n ) ausgegeben wird. Ein Tripel von Algorithmen
(I, D, F ) wird als Kollektion von Trapdoor Permutationen genannt, wenn
die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
1. Das Tripel (I1, D, F ) bildet eine Kollektion von Einweg–Permutationen. (Dabei
gilt insbesondere F (i, x) = fi(x).)
2. Es existiert ein polynomieller Algorithmus F −1 , so dass für jedes (i, t) im Indexbereich
von I und für jedes x ∈ Di gilt, dass F −1 (t, fi(x)) = x ist.
Eine nützliche Abschwächung der Bedingungen ist die Forderung, dass die Bedingungen
mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit erfüllt werden. Insbesondere wird dem Index–
generierenden Algorithmus I gestattet, mit vernachlässigbarer Wahrscheinlichkeit Tupel
(i, t) als Ausgaben zu erzeugen, für die sowohl fi keine Permutation ist als auch
F −1 (t, fi(x)) = x nicht für alle x ∈ Di erfüllt ist. Weiterführende Abhandlungen zu
Trapdoor Funktionen sind unter anderem von Yao in [Yao82] veröffentlicht worden.
Eine weitere für die moderne Kryptographie bedeutsame Klasse von Funktionen sind
die Claw-Free Funktionen. 7 Bei einer Claw-Free Kollektion handelt es sich um eine Menge
von Paaren von Funktionen, die leicht zu evaluieren sind, bei dem jedes Paar von
Funktionen denselben Bildbereich haben, und für die es unmöglich ist, ein Element aus
dem Bildbereich zu finden, welches in beiden Funktionen denselben Ursprungswert hat.
Definition 2.24 (Claw-Free Kollektion)
Eine Kollektion von Paaren von Funktionen besteht aus einer unendlich großen Menge
von Indizes Ī, zwei endlichen Mengen D0 i und D1 i für jedes i ∈ Ī und zwei Funktionen
f 0 i und f 1 i , definiert über D0 i rsp. D1 i . Eine solche Kollektion wird Claw-Free genannt,
wenn drei probabilistische polynomiell–beschränkte Algorithmen I, D und F existieren,
so dass die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:
1. Leicht auszuwählen und zu berechnen: Die Zufallsvariable I(1n ) ist Werten der
Menge Ī ∩{0, 1}n zugeordnet. Für jedes i ∈ Ī und σ ∈ {0, 1} ist die Zufallsvariable
D(σ, i) verteilt über Dσ i und für jedes x ∈ Dσ i gilt F (σ, i, x) = f σ i (x).
2. Identische Bildverteilung: Für jedes i in der Indexmenge Ī sind die Zufallsvariablen
f 0 i (D(0, i)) und f 1 i (D(1, i)) identisch verteilt.
7 Ähnlich wie bei den Trapdoor Funktionen existiert für die Claw-Free Funktionen keine sinnvolle
deutsche Übersetzung. Claw, im Englischen Klaue oder Kralle, meint hier die Bedeutung von Aneinanderklammern
oder wie mit einer Klaue zusammengehalten.
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