Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de
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2 Definitionen<br />
für <strong>de</strong>n In<strong>de</strong>x i, bezeichnet mit t(i) kann nicht effizient von i berechnet wer<strong>de</strong>n, obwohl<br />
es leicht möglich ist, ein korrespondieren<strong>de</strong>s Tupel (i, t(i)) <strong>zu</strong> erzeugen.<br />
Definition 2.23 (Kollektion von Trapdoor Permutationen)<br />
Sei I : 1 ∗ → {0, 1} ∗ × {0, 1} ∗ ein probabilistischer Algorithmus und bezeichne I1(1 n ) das<br />
erste Element <strong>de</strong>s Tupels, welches von I(1 n ) ausgegeben wird. Ein Tripel von Algorithmen<br />
(I, D, F ) wird als Kollektion von Trapdoor Permutationen genannt, wenn<br />
die bei<strong>de</strong>n folgen<strong>de</strong>n Bedingungen erfüllt sind.<br />
1. Das Tripel (I1, D, F ) bil<strong>de</strong>t eine Kollektion von Einweg–Permutationen. (Dabei<br />
gilt insbeson<strong>de</strong>re F (i, x) = fi(x).)<br />
2. Es existiert ein polynomieller Algorithmus F −1 , so dass für je<strong>de</strong>s (i, t) im In<strong>de</strong>xbereich<br />
von I und für je<strong>de</strong>s x ∈ Di gilt, dass F −1 (t, fi(x)) = x ist.<br />
Eine nützliche Abschwächung <strong>de</strong>r Bedingungen ist die For<strong>de</strong>rung, dass die Bedingungen<br />
mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit erfüllt wer<strong>de</strong>n. Insbeson<strong>de</strong>re wird <strong>de</strong>m In<strong>de</strong>x–<br />
generieren<strong>de</strong>n Algorithmus I gestattet, mit vernachlässigbarer Wahrscheinlichkeit Tupel<br />
(i, t) als Ausgaben <strong>zu</strong> erzeugen, für die sowohl fi keine Permutation ist als auch<br />
F −1 (t, fi(x)) = x nicht für alle x ∈ Di erfüllt ist. Weiterführen<strong>de</strong> Abhandlungen <strong>zu</strong><br />
Trapdoor Funktionen sind unter an<strong>de</strong>rem von Yao in [Yao82] veröffentlicht wor<strong>de</strong>n.<br />
Eine weitere für die mo<strong>de</strong>rne Kryptographie be<strong>de</strong>utsame Klasse von Funktionen sind<br />
die Claw-Free Funktionen. 7 Bei einer Claw-Free Kollektion han<strong>de</strong>lt es sich um eine Menge<br />
von Paaren von Funktionen, die leicht <strong>zu</strong> evaluieren sind, bei <strong>de</strong>m je<strong>de</strong>s Paar von<br />
Funktionen <strong>de</strong>nselben Bildbereich haben, und für die es unmöglich ist, ein Element aus<br />
<strong>de</strong>m Bildbereich <strong>zu</strong> fin<strong>de</strong>n, welches in bei<strong>de</strong>n Funktionen <strong>de</strong>nselben Ursprungswert hat.<br />
Definition 2.24 (Claw-Free Kollektion)<br />
Eine Kollektion von Paaren von Funktionen besteht aus einer unendlich großen Menge<br />
von Indizes Ī, zwei endlichen Mengen D0 i und D1 i für je<strong>de</strong>s i ∈ Ī und zwei Funktionen<br />
f 0 i und f 1 i , <strong>de</strong>finiert über D0 i rsp. D1 i . Eine solche Kollektion wird Claw-Free genannt,<br />
wenn drei probabilistische polynomiell–beschränkte Algorithmen I, D und F existieren,<br />
so dass die folgen<strong>de</strong>n drei Bedingungen erfüllt sind:<br />
1. Leicht aus<strong>zu</strong>wählen und <strong>zu</strong> berechnen: Die Zufallsvariable I(1n ) ist Werten <strong>de</strong>r<br />
Menge Ī ∩{0, 1}n <strong>zu</strong>geordnet. Für je<strong>de</strong>s i ∈ Ī und σ ∈ {0, 1} ist die Zufallsvariable<br />
D(σ, i) verteilt über Dσ i und für je<strong>de</strong>s x ∈ Dσ i gilt F (σ, i, x) = f σ i (x).<br />
2. I<strong>de</strong>ntische Bildverteilung: Für je<strong>de</strong>s i in <strong>de</strong>r In<strong>de</strong>xmenge Ī sind die Zufallsvariablen<br />
f 0 i (D(0, i)) und f 1 i (D(1, i)) i<strong>de</strong>ntisch verteilt.<br />
7 Ähnlich wie bei <strong>de</strong>n Trapdoor Funktionen existiert für die Claw-Free Funktionen keine sinnvolle<br />
<strong>de</strong>utsche Überset<strong>zu</strong>ng. Claw, im Englischen Klaue o<strong>de</strong>r Kralle, meint hier die Be<strong>de</strong>utung von Aneinan<strong>de</strong>rklammern<br />
o<strong>de</strong>r wie mit einer Klaue <strong>zu</strong>sammengehalten.<br />
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