Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
sozusagen mit ” Hintertür“ werden als Trapdoor Funktion bezeichnet. 6 Um die Trapdoor
Funktionen genauer definieren zu können, werden Familien oder Kollektionen von Funktionen
benötigt.
Definition 2.21 (Kollektion von Funktionen)
Eine Kollektion von Funktionen besteht aus einer endlichen Menge Ī von Indizees und einer
dazugehörigen endlichen Menge von Funktionen {fi} i∈Ī. D.h. für jedes i ∈ Ī existiert
ein endlicher Wertebereich Di, in der die Funktion fi enthalten ist.
Weiterhin wird ein effizienter Algorithmus I benötigt, der nach Eingabe einer Zahl n
zufällig einen Index i mit |i| = poly(n) auswählt und damit eine Funktion fi sowie den
dazugehörigen Wertebereich Di festlegt. Das führt zu folgender Definition.
Definition 2.22 (Kollektion von Einweg–Funktionen)
Eine Kollektion von Funktionen {fi : Di → {0, 1} ∗ } i∈Ī wird Kollektion von Einweg–
Funktionen genannt, wenn drei probabilistische polynomiell–beschränkte Algorithmen
I, D und F existieren, so dass die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
1. Leicht zu berechnen: Die Verteilung der Ausgabe von I bei Eingabe von 1 n ist eine
Zufallsvariable über der Menge Ī ∩ {0, 1}n . Die Verteilung der Ausgabe von D bei
Eingabe von i ∈ Ī ist eine Zufallsvariable über die Werte in Di. Bei Eingabe von
i ∈ Ī und x ∈ Di gibt F stets fi(x) aus.
Somit ist Di ⊆
m≤poly(|i|) {0, 1}m , wobei angenommen werden kann, dass Di ⊆
{0, 1} poly(|i|) gilt und dass F deterministisch ist.
2. Schwer zu invertieren: Für jeden probabilistischen polynomiell–beschränkten Algorithmus
A ∗ , und alle genügend großen n gilt
Pr[A ∗ (In, fIn(Xn)) ∈ f −1
In (fIn(Xn))] < µ(n)
wobei In eine Zufallsvariable ist, die die Ausgabe des Algorithmus I bei Eingabe
von 1 n darstellt, und Xn eine Zufallsvariable ist, die die Ausgabe des Algorithmus
D bei Eingabe von In darstellt.
Jede Kollektion von Einweg–Funktionen kann durch eine Einweg–Funktion repräsentiert
werden und umgekehrt, wobei jede Formulierung Vorteile hat.
Trapdoor Funktionen können nun als Kollektionen von Einweg–Permutationen {fi}
angesehen werden, die die Eigenschaft haben, dass fi leicht zu invertieren ist, wenn erst
einmal eine Hilfseingabe als ” Abkürzung“ für den Index i gegeben ist. Diese Hilfseingabe
6 Da die Übersetzung Falltür Funktion irreführend ist, sich jedoch kein besserer deutscher Begriff etabliert
hat, wird hier weiterhin der Begriff Trapdoor verwendet.
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