Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Definition 2.19 (Einweg–Funktionen)
Eine Funktion f : {0, 1} ∗ → {0, 1} ∗ wird Einweg–Funktion genannt, wenn die folgenden
beiden Bedingungen erfüllt sind:
1. Einfach zu berechnen: Es existiert ein (deterministischer) polynomiell–beschränkter
Algorithmus A, so dass dieser bei Eingabe von x f(x) ausgibt (A(x) =
f(x)).
2. Schwer zu invertieren: Für jeden probabilistischen polynomiell–beschränkten Algorithmus
A ∗ , alle genügend großen n ∈ und alle r, r ′ ∈R {0, 1} n gilt
mit µ als vernachlässigbarer Funktion.
Pr[A ∗ (f(r ′ ), 1 n ) ∈ f −1 (f(r))] < µ(n)
Die Wahrscheinlichkeit der zweiten Bedingung wird dabei über alle n, r, r ′ und die
Münzwürfe von A ∗ mit gleichverteilter Wahrscheinlichkeit berechnet.
Anmerkung: Es wird nicht gefordert, dass A ∗ das spezifische Urbild von f(x) berechnet.
Jedes Urbild, d.h. jedes Element aus f −1 (f(x)) ist ausreichend. Natürlich gilt
x = f −1 (f(x)), falls f bijektiv ist, aber im Allgemeinen können andere Urbilder die
Voraussetzung erfüllen.
Die zusätzliche Eingabe 1 n dient lediglich dem Zweck zu verhindern, dass eine Funktion
nur deshalb als Einweg–Funktion gilt, weil deren Ausgabe so stark verkürzt wurde,
dass der Invertierung keine Zeit verbleibt, die Ausgabe auszugeben. Sei z.B. y = bin(x)
die Funktion, um die binäre Darstellung von x auszugeben. Dann ist |bin(x)| = log 2 |x|
und kein Algorithmus kann in Polynomialzeit bezüglich |y| bin invertieren. Die Hilfseingabe
1 n verhindert, dass eine praktisch invertierbare Funktion als Einweg–Funktion
bezeichnet wird.
Neben dieser Definition existieren noch weitere, die entweder auf die obige zurückgeführt
werden können oder deren Unterschiede für die vorliegende Arbeit nicht relevant
sind.
Von weiterer Bedeutung sind noch injektive Einweg–Funktionen, die in der Fachliteratur
oft mit 1-1 oder one-one bezeichnet werden, da diese Funktionen in vielen Zero–Knowledge
Protokollen Anwendung finden. Ist eine Einweg–Funktion sogar bijektiv,
dann wird diese Funktion zur
Definition 2.20 (Einweg–Permutationen)
Sei f eine Einweg–Funktion gemäß Definition 2.19 und bijektiv. Dann heißt f eine Einweg–Permutation.
Die Bijektivität erscheint für eine Einweg–Funktion auf den ersten Blick sinnlos. Sie
ist aber insbesondere dann von Wichtigkeit, wenn für die Invertierung eine Zusatzinformation
vorhanden ist, die es erlaubt, f −1 effizient zu berechnen. Diese Umkehrfunktionen
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