Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
• InP ⊆ In ist die Menge der probabilistischen Eingangsknoten.
InD = In\InP ist die Menge der deterministischen Eingangsknoten von C.
• p : InP → [0, 1] ist eine Funktion, die für jeden Knoten v ∈ InP die Wahrscheinlichkeit
p(v) angibt, dass v den Wert 1 annimmt.
In [Mey92] und [Wel90] sind weiterführende formale Darstellungen der Schaltkreise
nachzulesen. Dort wird auch gezeigt, dass jede probabilistische Turing Maschine in eine
Familie probabilistischer Schaltkreise überführt werden kann. Insbesondere wird in
[Wel90] gezeigt, dass für zwei polynomiell–beschränkte Familien von Wahrscheinlichkeitsfunktion
U = {Ux}x∈L und V = {Vx}x∈L folgende Beziehung gilt:
2.7 Einweg–Funktionen
U, V identisch
⇓
U, V Schaltkreis - ununterscheidbar
⇓
U, V algorithmisch ununterscheidbar
Einweg–Funktionen (engl. one-way-function) sind einfach gesagt Funktionen, die leicht
zu berechnen praktisch aber nicht zu invertieren sind. Die Einschränkung ” praktisch“ ist
dabei im Zusammenhang mit dem Einsatz innerhalb der Kryptographie zu sehen beim
Einsatz genügend großer Zahlen. So kann z.B. die Funktion y = f(x) eine Komplexität
von O(n log n) haben, die von x = f −1 (y) jedoch O(2 n ).
Einweg–Funktionen stellen dabei eines der bedeutendsten Primitive innerhalb der
modernen Kryptographie dar. Dabei ist wichtig zu beachten, dass die gesamten Überlegungen
bezüglich der Einweg–Funktionen auf P = N P beruhen.
Es existiert noch kein mathematischer Beweis dafür, das es Einweg–Funktionen gibt.
Trotzdem gibt es Funktionen wie die Multiplikation zweier großer Primzahlen mit dem
Problem der Primfaktorzerlegung oder Restklassenringe mit dem Problem des diskreten
Logarithmus, 5 die vermutete Einweg–Funktionen sind.
Die Angaben in diesem Abschnitt stammen unter anderem aus den Veröffentlichungen
von Mattern [Mat01], Menezes, van Oorschot und Vanstone [MvV01] sowie insbesondere
aus dem Buch von Goldreich [Gol01].
5 Siehe dazu den Abschnitt 2.8 Zahlentheorie ab Seite 23.
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