Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Zahlen beschreibt. Durch die Wahl der µ-Funktion als z.B. eine exponentiell kleine Funktion,
die für genügend große x schneller klein wird, als jedes Polynom, ist diese Forderung
erfüllt.
Damit kann die Definition der Ununterscheidbarkeit erfolgen.
Definition 2.14 (Ununterscheidbarkeit)
Sei L ⊆ {0, 1} ∗ eine Sprache, U = {Ux}x∈L und V = {Vx}x∈L Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,
eine für jedes x ∈ L.
1. Die Familien U und V heißen berechenbar ununterscheidbar, wenn es eine
vernachlässigbare Funktion µ(·) gibt, so dass für alle probabilistischen polynomiell–beschränkten
Turing Maschinen A gilt
Pr[A(Ux) = 1] − Pr[A(Vx) = 1] ≤ µ(|x|)
2. Die Familien U und V heißen statistisch ununterscheidbar, wenn es eine vernachlässigbare
Funktion µ(·) gibt, so dass für alle (nicht nur polynomiell–beschränkten)
Turing Maschinen B gilt
Pr[B(Ux) = 1] − Pr[B(Vx) = 1] ≤ µ(|x|)
3. Die Familien U und V heißen perfekt ununterscheidbar oder auch identisch,
wenn U = V gilt.
2.4.1 Pseudo Zufallsgeneratoren
Da in der Kryptographie polynomiell–beschränkte Maschinen eingesetzt werden, spielt
die Zufälligkeit eine entscheidende Rolle. Mehr noch als in der theoretischen Kryptographie
kommt in der modernen praktischen Kryptographie der Nutzung von maschinenerzeugbaren
Zufallsfolgen eine der entscheidenden Bedeutungen zu. Dabei wird in der
Literatur oftmals die Abkürzung PRG für Pseudo Random Generator genutzt. Diese
können wie folgt definiert werden:
Definition 2.15 (Pseudo Zufallsgenerator PRG)
Seien l, n ∈ mit l < n und Ul rsp. Un gleichverteilte Wahrscheinlichkeitsräume über
die Mengen {0, 1} l rsp. {0, 1} n . Eine deterministische polynomiell berechenbare Funktion
PRG : {0, 1} l → {0, 1} n heißt Pseudo Zufallsgenerator, wenn die Zufallsvariable
PRG(Ul) berechenbar ununterscheidbar von Un ist.
Es gibt weitere Definitionen für Pseudo Zufallsgeneratoren insbesondere für statistische
und perfekte Ununterscheidbarkeit. Diese werden in dieser Arbeit jedoch nicht
benötigt. Das grundlegende Prinzip, aus einem Ausgangswert einen neuen zufälligen
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