Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de
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2 Definitionen<br />
Zahlen beschreibt. Durch die Wahl <strong>de</strong>r µ-Funktion als z.B. eine exponentiell kleine Funktion,<br />
die für genügend große x schneller klein wird, als je<strong>de</strong>s Polynom, ist diese For<strong>de</strong>rung<br />
erfüllt.<br />
Damit kann die Definition <strong>de</strong>r Ununterscheidbarkeit erfolgen.<br />
Definition 2.14 (Ununterscheidbarkeit)<br />
Sei L ⊆ {0, 1} ∗ eine Sprache, U = {Ux}x∈L und V = {Vx}x∈L Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen,<br />
eine für je<strong>de</strong>s x ∈ L.<br />
1. Die Familien U und V heißen berechenbar ununterscheidbar, wenn es eine<br />
vernachlässigbare Funktion µ(·) gibt, so dass für alle probabilistischen polynomiell–beschränkten<br />
Turing Maschinen A gilt<br />
<br />
Pr[A(Ux) = 1] − Pr[A(Vx) = 1] ≤ µ(|x|)<br />
2. Die Familien U und V heißen statistisch ununterscheidbar, wenn es eine vernachlässigbare<br />
Funktion µ(·) gibt, so dass für alle (nicht nur polynomiell–beschränkten)<br />
Turing Maschinen B gilt<br />
<br />
Pr[B(Ux) = 1] − Pr[B(Vx) = 1] ≤ µ(|x|)<br />
3. Die Familien U und V heißen perfekt ununterscheidbar o<strong>de</strong>r auch i<strong>de</strong>ntisch,<br />
wenn U = V gilt.<br />
2.4.1 Pseudo Zufallsgeneratoren<br />
Da in <strong>de</strong>r Kryptographie polynomiell–beschränkte Maschinen eingesetzt wer<strong>de</strong>n, spielt<br />
die Zufälligkeit eine entschei<strong>de</strong>n<strong>de</strong> Rolle. Mehr noch als in <strong>de</strong>r theoretischen Kryptographie<br />
kommt in <strong>de</strong>r mo<strong>de</strong>rnen praktischen Kryptographie <strong>de</strong>r Nut<strong>zu</strong>ng von maschinenerzeugbaren<br />
Zufallsfolgen eine <strong>de</strong>r entschei<strong>de</strong>n<strong>de</strong>n Be<strong>de</strong>utungen <strong>zu</strong>. Dabei wird in <strong>de</strong>r<br />
Literatur oftmals die Abkür<strong>zu</strong>ng PRG für Pseudo Random Generator genutzt. Diese<br />
können wie folgt <strong>de</strong>finiert wer<strong>de</strong>n:<br />
Definition 2.15 (Pseudo Zufallsgenerator PRG)<br />
Seien l, n ∈ mit l < n und Ul rsp. Un gleichverteilte Wahrscheinlichkeitsräume über<br />
die Mengen {0, 1} l rsp. {0, 1} n . Eine <strong>de</strong>terministische polynomiell berechenbare Funktion<br />
PRG : {0, 1} l → {0, 1} n heißt Pseudo Zufallsgenerator, wenn die Zufallsvariable<br />
PRG(Ul) berechenbar ununterscheidbar von Un ist.<br />
Es gibt weitere Definitionen für Pseudo Zufallsgeneratoren insbeson<strong>de</strong>re für statistische<br />
und perfekte Ununterscheidbarkeit. Diese wer<strong>de</strong>n in dieser Arbeit jedoch nicht<br />
benötigt. Das grundlegen<strong>de</strong> Prinzip, aus einem Ausgangswert einen neuen <strong>zu</strong>fälligen<br />
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