Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
2.4 Unterscheidbarkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
In der weiteren Diskussion, vor allem aber für die Definition der Zero–Knowledge Proof-
Systeme in Kapitel 3 ab Seite 30 und darauf aufbauend der Zero–Knowledge Arguments
spielt die Ausgabe der an einem solchen System beteiligten Maschinen eine besondere
Rolle. Da i.d.R. alle Teilnehmer eines Beweissystems probabilistische Turing Maschinen
sind, kann die jeweilige Ausgabe nur über deren Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine
Eingabe x betrachtet werden. Zur Überprüfung der übermittelten Informationen wird
der Unterschied eines Wahrscheinlichkeitsraums in noch zu präzisierenden Verfahren mit
anderen Wahrscheinlichkeitsverteilungen verglichen.
In der Literatur z.B. bei Meyer [Mey92], Goldreich [Gol01] u.a. werden mehrere
Unterscheidungen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben. Für die vorliegende
Arbeit ist die Einteilung in zwei Grade jedoch ausreichend. Es handelt sich dabei
um perfekt ununterscheidbar (engl. perfect indistinguishable) und algorithmisch ununterscheidbar
(engl. computational indistinguishable). 4 Einfach ausgedrückt sind zwei Familien
von Wahrscheinlichkeitsverteilungen perfekt ununterscheidbar, wenn sie identisch
sind. Sie sind algorithmisch ununterscheidbar, wenn die Unterscheidbarkeit kleiner ist als
eine Funktion, die schneller klein wird, als der Kehrwert jedes Polynoms. Diese Funktion
wird als vernachlässigbare Funktion (engl. negligible function) oder auch µ-Funktion
bezeichnet.
Definition 2.13 (vernachlässigbare Funktion)
Eine Funktion µ : → [0, 1] heißt vernachlässigbar, wenn gilt
∀k ∈ , ∃nk ∈ , ∀n ≥ nk : µ(n) ≤ 1
n k
Es existieren noch andere Definitionen der vernachlässigbaren Funktion, so z.B. von
Bellare, Jakobsson und Yung [BJY97]. Wie von Bellare in [Bel02] gezeigt wurde, sind
diese jedoch equivalent.
Es sei darauf hingewiesen, dass es für die kryptographische Untersuchung nicht ausreichend
ist, wie in einigen Arbeiten (z.B. [Wel90, Mey92]) zu fordern, dass
lim
|x|→∞
x∈L
µ(x) = 0
gilt, da z.B. f(x) = 1 dieses erfüllte. Anders als in der theoretischen Informatik wird
x
in der theoretischen Kryptographie eine Bearbeitung mit endlichen Zahlen betrachtet,
um eine Berechenbarkeit mit gegebenen Maschinen zu erhalten. Es ist daher erforderlich,
dass eine Funktion die erforderliche Ununterscheidbarkeit schon bei relativ kleinen
4 Weitere Unterscheidungsgrade sind die statistische und die Schaltkreis-Ununterscheidbarkeit, wobei
für die vorliegende Arbeit ausreichend ist, die statistischen den perfekten Verfahren und die schaltkreisunterscheidbaren
Verfahren den algorithmischen zuzuordnen.
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