Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Definition 2.5 (Klasse BPP)
Eine Sprache L wird von einer probabilistischen polynomiell–beschränkten Turing Maschine
M akzeptiert, wenn gilt:
• ∀x ∈ L : Pr[M(x) = 1] ≥ 2
3
• ∀x /∈ L : Pr[M(x) = 0] ≥ 2
3
Die Klasse BPP (engl. Bounded-Probability Polynomial-time) enthält alle Sprachen
L, die durch eine probabilistische polynomiell–beschränkte Turing Maschine erkannt
werden kann.
Die Wahl von 2 ist dabei willkürlich. Es muss lediglich sichergestellt werden, dass die
3
Wahrscheinlichkeit der Akzeptanz deutlich größer als 1 ist. Somit erfüllt jede Konstante
2
die Klassendefinition.
größer 1
2
oder auch Funktion mit einer Funktionswert größer 1
2
Anmerkung: In [GMR85] wurde erstmalig gezeigt, dass jede Sprache L ∈ N P ein
interaktives Beweissystem hat, somit also N P ⊆ IP gilt. Weiterhin kann in [Gol99] und
[Gol01] nachgelesen werden, dass N P ∪ BPP ⊆ IP gilt, wobei nicht bekannt ist, ob
BPP ⊆ N P gilt. Bekannt ist jedoch, dass jede Sprache L ∈ PSPACE ein interaktives
Beweissystem hat, so dass IP = PSPACE gilt.
Die Komplexität von interaktiven Systemen wird sowohl für den Zeit- als auch für
den Rundenaufwand wie folgt angegeben.
Definition 2.6 (Zeitaufwand, Mächtigkeit des Provers)
Sei T : → eine Funktion, P eine interaktive probabilistische Turing Maschine. Mit
IPT wird die Menge der Sprachen L aus IP bezeichnet, in der für beliebige interaktive
probabilistische Turing Maschinen V ∗ der Prover in dem interaktiven Beweissystem
(P, V ∗ ) für jede Eingabe x ∈ L in T (|x|) Schritten hält.
Definition 2.7 (Rundenaufwand)
Sei f : → eine Funktion, (P, V) ein interaktives Beweissystem L eine Sprache und
x ∈ L eine beliebige Eingabe. Dann wird mit IP[f] die Menge der Sprachen aus IP
bezeichnet, für deren Beweis die Maschinen P und V höchstens f(|x|) Runden benötigen.
Für die weitere Diskussion wird noch eine Möglichkeit benötigt, das Empfangs- und
Zufallsband 3 einer einzelnen Maschine in einem interaktiven Beweissystem formal zu
beschreiben. Dazu wird das für eine Maschine sichtbare Protokoll wie folgt definiert.
Definition 2.8 (viewA(·))
Sei (A, B) ein interaktives Beweissystem. Dann bezeichnet viewA(A(·), B(·)) oder kurz
viewB A (·) eine Zufallsvariable, die den Inhalt des Empfangsbandes von A und des von A
benutzten Teil des Zufallbandes der Kommunikation mit B enthält. Entsprechend gilt
viewB(·) für die Sicht der Maschine B.
3 Dabei werden nur die Münzwürfe des Zufallsbandes erfasst, die von der Maschine verarbeitet wurden.
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