Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

2 Definitionen
Analog der probabilistischen Turing Maschine ist die Wahrscheinlichkeit jeder Berechnung,
die von (A, B) bei Eingabe von x ausgeführt wird, abhängig von den Münzwürfen,
die von den Maschinen A und B durchgeführt werden.
2.3.4 Interaktives Beweissystem
Von Goldwasser, Micali und Rackoff wurde in [GMR85] gezeigt, dass mit interaktiven Systemen
Sprachen bewiesen werden können, so dass interaktive Beweissysteme entstehen.
In diesen interaktiven Beweissystemen übernimmt A die Rolle der beweisenden Partei
und wird daher mit Prover P bezeichnet. B kommt die Rolle der zu überzeugenden
Partei, dem Prüfer, zu und wird Verifier V genannt.
Definition 2.3 (Interaktives Beweissystem)
Sei L ⊆ {0, 1} ∗ eine Sprache, P und V interaktive probabilistische Turing Maschinen,
wobei V polynomiell–beschränkt ist, und sei (P, V) ein interaktives System, welches beim
Akzeptieren einer Eingabe eine ” 1“ auf die Ausgabe schreibt. Dann ist (P, V) ein interaktives
Beweissystem für eine Sprache L, wenn gilt:
• Vollständigkeitsbedingung (engl. completeness):
∀k ∈ , ∃N ∈ : ∀x ∈ L, |x| ≥ N : Pr[(P, V)(x) = 1] ≥ 1 − 1
|x| k
• Korrektheits- oder Eindeutigkeitsbedingung (engl. soundness):
Für jede (möglicherweise täuschende) interaktive probabilistische Turing Maschine
P ∗ gilt
∀P ∗ : ∀k ∈ , ∃N ∈ : ∀x /∈ L, |x| ≥ N : Pr[(P ∗ , V)(x) = 1] < 1
|x| k
Die erste Bedingung besagt somit, dass der Nachweis für x ∈ L mit einer beliebig
kleinen Fehlerwahrscheinlichkeit erbracht werden kann. Die zweite Bedingung sagt aus,
dass es fast unmöglich ist, x ∈ L zu beweisen, wenn x /∈ L gilt.
Anmerkung: Während im Regelfall die Vollständigkeitsbedingung relativ einfach
nachweisbar ist, muss die Korrektheitsbedingung besonderes sorgfältig geprüft werden.
Daher wurden von Micali und Reyzin Arbeiten veröffentlicht, die interaktive Beweissysteme
nach dem Grad der Korrektheit unterteilen. Einzelheiten dazu können in
[MR01b, Rey01] nachgelesen werden.
Definition 2.4 (Klasse IP)
Sei (P, V) ein interaktives Beweissystem gemäß Definition 2.3, wobei V polynomiell zeitbeschränkt
ist. Die Klasse IP (engl. Interactiv Proof) enthält alle Sprachen L, für die
ein interaktives Beweissystem (P, V) existiert.
10