Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de
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Relation und Zeugnis<br />
2 Definitionen<br />
Sei R ⊆ {0, 1} ∗ × {0, 1} ∗ eine binäre Relation, dann ist L(R) <strong>de</strong>f<br />
= {x | ∃y; (x, y) ∈<br />
R}. Wenn x ∈ L(R) gilt und y eine Zeichenkette mit <strong>de</strong>r Eigenschaft (x, y) ∈ R ist,<br />
dann heißt y ein Zeugnis für x ∈ L(R). Die Menge <strong>de</strong>r Zeugnisse für x wird mit R(x)<br />
bezeichnet, d.h. R(x) = {y | (x, y) ∈ R}. Bezeichne T : → eine beliebige Funktion.<br />
Für eine Sprache L gilt L ∈ Ntime(T (n)), wenn eine Relation R mit L = L(R) sowie<br />
eine Turing Maschine M existieren, so dass M bei Eingabe von (x, y) höchstens T (|x|)<br />
Schritte durchläuft und eine ” 1“ ausgibt, wenn (x, y) ∈ R gilt, und ” 0“ sonst.<br />
2.2 <strong>Knowledge</strong> und Zero–<strong>Knowledge</strong><br />
Eine erste Frage im Zusammenhang mit Zero–<strong>Knowledge</strong> Arguments betrifft die Be<strong>de</strong>utung<br />
und <strong>de</strong>n Umfang <strong>de</strong>s Begriffs <strong>Knowledge</strong>. Seit <strong>de</strong>r Veröffentlichung von Goldwasser,<br />
Micali und Rackoff [GMR85] sowie darauf aufbauend von Goldreich, Micali und Widgerson<br />
[GMW86] wird mit diesem Begriff ein dynamischer Prozess in Beweisverfahren<br />
verbun<strong>de</strong>n, <strong>de</strong>r nur die Kommunikation zwischen Teilnehmern, hier Prover und Verifier<br />
genannt, betrifft. Im Gegensatz da<strong>zu</strong> stehen statische Beweisverfahren z.B. in mathematischen<br />
Beweisen, die für sich alleine Gültigkeit haben.<br />
Mit ” <strong>Knowledge</strong>“ wer<strong>de</strong>n hier nur solche Kommunikationsinhalte in <strong>de</strong>n <strong>zu</strong> betrachten<strong>de</strong>n<br />
Beweisen bezeichnet, die seitens <strong>de</strong>s Provers über die Korrektheit <strong>de</strong>r behaupteten<br />
Tatsache hinaus Informationen offenbaren.<br />
Der Begriff ” Zero–<strong>Knowledge</strong>“ ist dabei die (relative) Sicherheit dafür, dass ein Verifier<br />
mit keinem (berechenbaren) Verfahren und mit keiner Täuschungshandlung weitere<br />
Informationen über die Behauptung hinaus erlangen kann. Einschränkend sind mit diesen<br />
Informationen jedoch nur solche gemeint, die von <strong>de</strong>m Verifier nicht selbst gewonnen<br />
bzw. berechnet wer<strong>de</strong>n können, für ihn also fremd und (fast) unmöglich allein <strong>zu</strong> erlangen<br />
sind. Die I<strong>de</strong>e, die hinter <strong>de</strong>r Definition von Zero–<strong>Knowledge</strong> liegt, besteht darin,<br />
dass alles, was <strong>de</strong>r Verifier aus einer Kommunikation lernen kann, auch dadurch erlangt<br />
wer<strong>de</strong>n kann, dass <strong>de</strong>r Verifier lediglich seine Eingabe betrachtet.<br />
Ein Beispiel aus [Gol01] soll dieses <strong>de</strong>utlich machen. Wenn Alice behauptet, sie wisse,<br />
was die Summe aus ” 1+1“ ist, könnte sich Bob dieses durch einen später noch <strong>zu</strong> klären<strong>de</strong>n<br />
Zero–<strong>Knowledge</strong> Beweis beweisen lassen. Aber selbst, wenn Alice Bob das Ergebnis<br />
direkt mitteilte, gewönne er keine neuen Informationen, da die übermittelte Information<br />
von Bob sehr einfach in polynomieller Zeit selbst ermittelt wer<strong>de</strong>n könnte. Somit sind in<br />
diesem Zusammenhang nur solche Informationen mit <strong>de</strong>m Begriff ” <strong>Knowledge</strong>“ verbun<strong>de</strong>n,<br />
die entwe<strong>de</strong>r überhaupt nicht berechenbar o<strong>de</strong>r <strong>zu</strong>min<strong>de</strong>st durch <strong>de</strong>n Teilnehmer<br />
Bob nicht berechenbar sind.<br />
Ein Teilbereich <strong>de</strong>r Forschung befasst sich mit <strong>de</strong>n Aspekten <strong>de</strong>r nichtinteraktiven<br />
Beweissystemen. Auf diese wird in dieser Arbeit jedoch nicht eingegangen. Daraus folgt<br />
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