Diplomarbeit zu "`Zero-Knowledge Arguments"' - Telle-Online.de

Relation und Zeugnis
2 Definitionen
Sei R ⊆ {0, 1} ∗ × {0, 1} ∗ eine binäre Relation, dann ist L(R) def
= {x | ∃y; (x, y) ∈
R}. Wenn x ∈ L(R) gilt und y eine Zeichenkette mit der Eigenschaft (x, y) ∈ R ist,
dann heißt y ein Zeugnis für x ∈ L(R). Die Menge der Zeugnisse für x wird mit R(x)
bezeichnet, d.h. R(x) = {y | (x, y) ∈ R}. Bezeichne T : → eine beliebige Funktion.
Für eine Sprache L gilt L ∈ Ntime(T (n)), wenn eine Relation R mit L = L(R) sowie
eine Turing Maschine M existieren, so dass M bei Eingabe von (x, y) höchstens T (|x|)
Schritte durchläuft und eine ” 1“ ausgibt, wenn (x, y) ∈ R gilt, und ” 0“ sonst.
2.2 Knowledge und Zero–Knowledge
Eine erste Frage im Zusammenhang mit Zero–Knowledge Arguments betrifft die Bedeutung
und den Umfang des Begriffs Knowledge. Seit der Veröffentlichung von Goldwasser,
Micali und Rackoff [GMR85] sowie darauf aufbauend von Goldreich, Micali und Widgerson
[GMW86] wird mit diesem Begriff ein dynamischer Prozess in Beweisverfahren
verbunden, der nur die Kommunikation zwischen Teilnehmern, hier Prover und Verifier
genannt, betrifft. Im Gegensatz dazu stehen statische Beweisverfahren z.B. in mathematischen
Beweisen, die für sich alleine Gültigkeit haben.
Mit ” Knowledge“ werden hier nur solche Kommunikationsinhalte in den zu betrachtenden
Beweisen bezeichnet, die seitens des Provers über die Korrektheit der behaupteten
Tatsache hinaus Informationen offenbaren.
Der Begriff ” Zero–Knowledge“ ist dabei die (relative) Sicherheit dafür, dass ein Verifier
mit keinem (berechenbaren) Verfahren und mit keiner Täuschungshandlung weitere
Informationen über die Behauptung hinaus erlangen kann. Einschränkend sind mit diesen
Informationen jedoch nur solche gemeint, die von dem Verifier nicht selbst gewonnen
bzw. berechnet werden können, für ihn also fremd und (fast) unmöglich allein zu erlangen
sind. Die Idee, die hinter der Definition von Zero–Knowledge liegt, besteht darin,
dass alles, was der Verifier aus einer Kommunikation lernen kann, auch dadurch erlangt
werden kann, dass der Verifier lediglich seine Eingabe betrachtet.
Ein Beispiel aus [Gol01] soll dieses deutlich machen. Wenn Alice behauptet, sie wisse,
was die Summe aus ” 1+1“ ist, könnte sich Bob dieses durch einen später noch zu klärenden
Zero–Knowledge Beweis beweisen lassen. Aber selbst, wenn Alice Bob das Ergebnis
direkt mitteilte, gewönne er keine neuen Informationen, da die übermittelte Information
von Bob sehr einfach in polynomieller Zeit selbst ermittelt werden könnte. Somit sind in
diesem Zusammenhang nur solche Informationen mit dem Begriff ” Knowledge“ verbunden,
die entweder überhaupt nicht berechenbar oder zumindest durch den Teilnehmer
Bob nicht berechenbar sind.
Ein Teilbereich der Forschung befasst sich mit den Aspekten der nichtinteraktiven
Beweissystemen. Auf diese wird in dieser Arbeit jedoch nicht eingegangen. Daraus folgt
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